Resumen de la unidad 2

1. 19-05-2016
Estudiante: Maria Gabriela Castillo
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Calculo de Predicados
Es una ampliación del cálculo proposicional mediante la formalización de las
inferencias que se basan en la estructura interna de las proposiciones, uno de
los conceptos fundamentales del cálculo de predicados es el de predicado de
una o varias objeto-variables: P (X1 ... Xn), donde P es predicativa y X1 ... Xn, son
objeto-variables. El cálculo de predicados es no-contradictorio y completo en el
sentido de que en él puede inferirse toda fórmula de identidad-veracidad.
Una función proposicional es una función cuyas variables son proposiciones.
Esto es, una afirmación expresada de manera que podría asumir los valores de
verdad de falso o verdadero con la excepción de que existe alguna variable que
no está definida o especificada y que por tanto no permite asignar un valor de
verdad definido
Considérense las siguientes proposiciones:
Gustavo es médico.
Álvaro es médico.
Enrique es médico.
Estas proposiciones tienen algo en común, y es la propiedad de "ser médico".
Esto puede formularse recurriendo a la expresión "x es médico" en donde x es
una variable individual, la cual indica que el sujeto o término que tiene la
propiedad de ser médico es indeterminada. La expresión "x es médico" no puede
considerarse como una proposición puesto que no es en cuanto tal ni verdadera
ni falsa. Aquí x es una variable que toma valores dentro de un
conjunto. Expresiones de esta forma, dadas en términos de una o varias
variables, reciben el nombre de funciones proposicionales.
Cuando en una función proposicional se sustituyen las variables por constantes
individuales o términos específicos, se convierte en proposición. Comúnmente
se usarán las letras x, y, z, w para denotar las variables.

2. Cuantificadores: En lógica, teoría de conjuntos y matemáticas en general,
los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de
un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.
Para un cuantificador universal se usa el símbolo , antepuesto a
una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple
la proposición dada. Indica que algo es cierto para todos los individuos
Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es
verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A. (∀x) es
cuantificador universal. A es el ámbito (alcance) del cuantificador.
Ejemplo:
Expresar “todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados.
Hallar primero el ámbito del cuantificador universal, que es “Si x es un gato,
entonces x tiene cola” y se define como
Gx ↔ x es un gato
Cx ↔ x tiene cola
∴ (∀x) Gx → Cx
La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un
elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”. Se usa el
símbolo: , antepuesto a una variable para decir que "existe" al menos un
elemento del conjunto al que hace referencia la variable, que cumple la
proposición escrita a continuación.
Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal
que…)”, “hay al menos un x tal que..." o "para algún x.
Ejemplo:
Expresar “Algunos gatos no tienen cola” en cálculo de predicados. ·
Sean C(x) = “x es un gato que no tiene cola”.
Donde x = “Animales carnívoros”
∴ ∃x(C(x) )
Cuantificador existencial de unidad, se utiliza para indicar que existe
exactamente un elemento en el conjunto A que cumple con una condición o
propiedad determinada. Se denota por ∃! Y se lee existe un único; su expresión
es: ∃!x∈A:P(x)

3. Regla de negación de cuantificadores
Los cuantificadores se niegan de la siguiente manera
Estas reglas expresan que para negar una proposición con cuantificadores se cambia
el cuantificador, de universal a existencial o viceversa, y se niega la proposición
cuantificada


Ejemplo
Si consideramos el conjunto universo como los números reales, queremos negar el
enunciado
Proposiciones con dos Cuantificadores: se denotan por (A,B,P(x)) con
dominio de x el conjunto A y dominio de y el conjunto B.
Ejemplo:
Sólo en la tierra hay vida.
Significa que no existe otro planeta en el cual haya vida. Esta expresión es una
proposición en la cual se usa el cuantificador existencial y su valor de verdad
es verdadero.
Negación de proposiciones con cuantificadores
La negación de la proposición en la cual se ha utilizado el cuantificador
universal, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el cuantificador
existencial; a su vez, la negación de una proposición en la cual se ha usado el
cuantificador existencial, corresponde a una proposición en la cual se utiliza el
cuantificador universal.
Ejemplo:
Todos los números naturales son impares
Negación: Existe por lo menos un números natural que no es impar