alexandra escalona

1. Calculo de Predicados
1 .Funciones Proposicionales
Función Proposicional
Consideramos una función proposicional (A, P(x)) con dominio un conjunto A. Al reemplazar
la variable x de p(x) por elementos de A obtenemos proposiciones verdaderas o falsas. Nos
preguntamos ¿para cuántos elementos de A, P(x) es verdadera?
Para todos los elementos de A.
Los términos todos, algunos, un solo y ninguno, por indicar cantidad, son llamados
cuantificadores. De estos, los fundamentales son todos, algunos y, como caso particular de este
último, un único.
Así, podemos decir que una función proposicional está constituida por los siguientes elementos:
P(x): que es una proposición abierta que contiene la variable x.
A: que es un conjunto llamado dominio o universo del discurso.
Denotaremos a una función proposicional con dominio A y proposición abierta P(x) como (A,
P(x)). Los elementos de A que hacen a P(x) verdadera forman el conjunto llamado dominio de
verdad de la función proposicional.
2 .Cuantificador Universal
Cuantificador Universal
Se le denota con el símbolo  que es una A invertida (de "all" palabra inglesa para "todos").
Al cuantificar a la función proposicional P(x) mediante el cuantificador universal obtenemos la
proposición:
Para todo elemento x de A, P(x), que se simboliza del modo siguiente:
( xA) (P(x))
A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones universales.
Otras maneras de leer la proposición, son las siguientes:
a. Para cada x en A, P(x)
b. Cualquiera que sea x en A, p(x)
Con mucha frecuencia, cuando el dominio A de P(x) está sobreentendido, la proposición la
escribimos simplemente así: ( x) (p(x))
La proposición ( x A) (P(x)) es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera para todo elemento x
de A; esto es, si y sólo si el dominio de verdad P(x) coincide con A.
Ejemplo

2. Simbolizar la siguiente proposición y determinar su valor lógico:
a. Cada número natural es menor que.
Se escribe simbólicamente así:
( n  N) (n > 1)
Esta proposición es falsa, ya que para el número natural n=1 no es cierto que 1>1.
3 .Cuantificador Existencial
Cuantificador Existencial
Al cuantificador existencial se le denota con el símbolo, que es un E al revés.
A la Proposición: Existe al menos un x de A tal que P(x)
La escribiremos simbólicamente del modo siguiente:
A las proposiciones que tienen esta forma las llamaremos proposiciones existenciales.
Otras maneras de leer la proposición son:
a. Para algún x en A, P(x)
b. Existe un x en A tal que p(x)
c. P(x), para algún x en A
Si el dominio de la función proposicional está sobreentendido, a la proposición la escribiremos
simplemente así:
La proposición es verdadera si y sólo si P(x) es verdadera al menos para un x
de A. Esto es, si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es no vacío.
4 .Cuantificador Existencial de Unicidad
Existe solo un cuantificador existencial de unicidad y lo simbolizaremos por ! Así la expresión:
(! x  A) (P(x))
Se leerá de cualquiera de las siguientes formas:

3. a. Existe un único x en A tal que P(x)
b. Existe un sólo x en A tal que P(x)
c. Existe uno y sólo un x en A tal que P(x)
d. P(x), para un único x en A
La proposición (c) es verdadera si y sólo si el dominio de verdad de P(x) es un conjunto unitario,
esto es, si y sólo si P(x) es verdadero para un único x de A.
5 .Reglas de negación de Cuantificadores
Negación de cuantificadores
Estas dicen lo siguiente:
1.
2. Estas reglas nos dicen que para negar una
proposición con cuantificadores se cambia el cuantificador, de universal a existencial o viceversa, y se
niega la proposición cuantificada.
Proposiciones con dos Cuantificadores
Podemos considerar funciones proposicionales de varias variables de la forma
(A,B,C,P(x,y,z)), pero solo se trabajara con funciones proposicionales de dos variables, las cuales
denotaremos por (A,B,P(x)) con dominio de x el conjunto A y dominio de y el conjunto B. Así
podemos obtener las siguientes proposiciones:
(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))º (" yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
1. ($ xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y)) º ($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
2. (" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))
3. (" yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))
4. ($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))
5. ($ yÎ B)(" xÎ A)(P(x,y))
Proposiciones como las anteriores son llamadas funciones proposicionales de dos
variables. De dichas proposiciones obtenemos el valor lógico, analizando el dominio de sus variables
y los cuantificadores que contiene.
Negación de Proposiciones con dos Cuantificadores
~ [(" xÎ A)($ yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)(" yÎ B)(~ P(x,y))
~ [(" xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º ($ xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))

4. ~ [($ xÎ A)(" yÎ B)(P(x,y))] º (" xÎ A)($ yÎ B)(~ P(x,y))
~ [($ yÎ B)($ xÎ A)(P(x,y))] º (" yÎ B)(" xÎ A)(~ P(x,y))