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![´
1.2. MATEMATICAS I - PRUEBA NO 2 FORMA 1 9
1.2 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 1
a
1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 + 2x − 3
o a
(a) Determine el conjunto de im´genes de f (Ind: Un gr´fico le ser´
a a a
de gran utilidad).
(b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta
(c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que
a u
f es inyectiva
(d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I)
2. Un observador ve un globo aerost´tico, que se eleva verticalmente, bajo
a
o
un ´ngulo de elevaci´n de 30 despu´s de 2 minutos, el ´ngulo de ele-
a o e a
vaci´n es de 60o . En un principio la distancia entre el observador y el
o
globo era de 200 metros.
(a) ¿A que distancia est´ el observador del punto de lanzamiento del
a
globo?
(b) Si los ojos del observador est´n a 1,7 metros del suelo, ¿a que
a
altura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos?
3. Resuelva la ecuaci´n trigonom´trica
o e
1
− sin x cos x = 0
2
en el intervalo [−π, 5π]
√ √ √
2 2 3 i
4. Dados los n´meros complejos z1 =
u 2
+i 2
y z2 = 2
+ 2
(a) Escriba z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica
e
z1
(b) Encuentre z2
(c) Calcule ( z1 )8
z2](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-9-320.jpg)
![10 CAP´
ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 1999
1.3 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 2
a
1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 − 6x + 8
o a
(a) Determine el conjunto de im´genes de f (Ind: Un gr´fico le ser´
a a a
de gran utilidad).
(b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta
(c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que
a u
f es inyectiva
(d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I)
2. Resuelva la ecuaci´n trigonom´trica
o e
1
− cos x sin x = 0
2
en el intervalo [−π, 5π]
√ √ √
1 3 2 2
3. Dados los n´meros complejos z1 =
u 2
+i 2
y z2 = 2
+i 2
(a) Escriba z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica
e
z1
(b) Encuentre z2
z1
(c) Calcule ( z2 )8
4. Un observador ve un globo aerost´tico, que se eleva verticalmente, bajo
a
o
un ´ngulo de elevaci´n de 30 despu´s de 2 minutos, el ´ngulo de ele-
a o e a
o
vaci´n es de 60 . En un principio la distancia entre el observador y el
o
globo era de 300 metros.
(a) ¿A que distancia est´ el observador del punto de lanzamiento del
a
globo?
(b) Si los ojos del observador est´n a 1,6 metros del suelo, ¿a que
a
altura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos?](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-10-320.jpg)
![2.1. GU´ NUMERO 1
IA ´ 15
3. Observe que
1 1
1− =
2 2
1 1 1
1− 1− =
2 3 3
1 1 1 1
1− 1− 1− =
2 3 4 4
Deduzca una ley general y demu´strela por inducci´n.
e o
4. Usando propiedades de las sumatorias demuestre las f´rmulas:
o
n
n(n + 1)
(a) i=
i=1 2
n 2
Sugerencia, considere la sumatoria i=1 [i − (i + 1)2 ]
n
n(n + 1)(2n + 1)
(b) i2 =
i=1 6
n 3
Sugerencia, considere la sumatoria i=1 [i − (i + 1)3 ]
Calcule adem´s n i3 ;
a i=1
n 4
i=1 i ;
n
i=1 i
5
5. Calcule y pruebe su respuesta usando inducci´n
o
n
1 1
(a) −
i=1 i+1 i
n
1 1
(b) −
i=1 i + 2 i
Para esta ultima parte considere la siguiente igualdad:
´
1 1 1 1 1 1
− = − + −
i+2 i i+2 i+1 i+1 i](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-15-320.jpg)
![2.5. GU´ NUMERO 5
IA ´ 21
2.5 Gu´ n´ mero 5
ıa u
1. Un rect´ngulo tiene 200 [cm] de per´
a ımetro. Expresar su ´rea como
a
funci´n de x.
o
2. Vamos a construir una caja abierta con una pieza cuadrada de metal de
16 [cm] de lado, cortando cuadrados iguales de sus esquinas y doblando
por las l´
ıneas de puntos (ver figura). Exprese el volumen V en funci´n
o
de x.
√
3. Un rect´ngulo est´ acotado por el eje X y el semicirculo y = 16 − x2
a a
(ver figura). Escriba el ´rea A del rect´ngulo como funci´n de x.
a a o
4. Una caja cerrada de secci´n cuadrada de lado x tiene un ´rea de
o a
2
200[cm ] (ver figura). Exprese el volumen V como funci´n de x.
o
√
5. Dadas las funciones f (x) = 2x − 3 y g(x) = x + 1. Encuentre
(a) Dom(f ), Dom(g)
(b) f + g
(c) f · g
(d) f ◦ g
(e) g ◦ f
y los respectivos dominios.
6. Determine si las siguientes funciones son inversas una de la otra:
x+3
(a) f (x) = 2x + 3 g(x) = 2
√ 2
(b) f (x) = x − 4 g(x) = x + 4 x ≥ 0
√
(c) f (x) = 1 − x3 g(x) = 3 1 − x
1
(d) f (x) = x−2 ,x > 0 g(x) = x− 2 ,x > 0
1 1−x 1
(e) f (x) = x2 +1
g(x) = x
en ] 2 , 1[
7. Encuentre la funci´n inversa (si existe). Represente aproximadamente
o
un gr´fico de f y de f −1
a
(a) f (x) = x2 x≥0](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-21-320.jpg)
![2.10. GU´ NUMERO 10 (EJERCICIOS PROPUESTOS)
IA ´ 31
2.10 Gu´ n´ mero 10 (Ejercicios Propuestos)
ıa u
1. Dada f (x) = 5 − encuentre los c ∈]1, 4[ tales que f (c) = f (4)−f (1)
4
x 4−1
√
2. Considere la funci´n f (x) = x en el intervalo [1, 9]. Dibuje
o
(a) Encuentre la ecuaci´n de la secante que pasa por (1, f (1)) y
o
(9, f (9))
(b) Calcular el valor c ∈]1, 9[ para el cual f (c) = f (9)−f (1) . Encuentre
9−1
la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto
o a
(c, f (c))
3. Sea f (x) = 1 − x2/3 . Pruebe que f (1) = f (−1) = 0, pero que f (x)
nunca es cero en [−1, 1]. Explicar por qu´ este resultado no contradice
e
el teorema de Rolle.
4. Vea que las siguientes funciones satisfacen el Teorema de Rolle y en-
cuentre los puntos c que satisfacen las conclusiones del teorema
(a) f (x) = 9x2 − x4 en [−3, 3]
1−x2
(b) f (x) = 1+x2
en [−1, 1]
5. Pruebe que f (x) = (x − 1)2/3 satisface la hip´tesis del T.V.M. en [1, 2]
o
y encuentre c ∈]1, 2[ que satisfacen la conclusi´n del mismo.
o
6. Si f (x) = x2 − 5x + 2. Encuentre las funciones F tales que F = f .
Al graficarlas ¿que propiedades tienen estas funciones? ¿Habr´ alguna
a
π
funci´n F tal que F (8) = √2 ?
o
7. Sea F : C → C funci´n definida por F (z) = F (x + yi) = x2 + 2xy + y 2 .
o
Para cada y = a fijo hay fa funci´n real tal que fa (x) = x2 + 2ax + a2 .
o
df
Calcule dx
8. Encuentre los puntos cr´ıticos de f si los hay. Encuentre los intervalos
abiertos donde f es creciente o decreciente.
(a) f (x) = (x − 1)2/3
(b) f (x) = x3 − 6x2 + 15
(c) f (x) = x4 − 2x3](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-31-320.jpg)
![32 CAP´
ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999
IAS ˜
x
(d) f (x) = x+1
9. La concentraci´n C de cierto producto qu´
o ımico en la sangre, t horas
despu´s de ser inyectado en el tejido muscular viene dado por
e
3t
C(t) =
27 + t3
¿Cu´ndo es m´xima la concentraci´n?
a a o
10. Al nacer un beb´ perder´ peso normalmente durante unos pocos d´
e a ıas
y despu´s comenzar´ a ganarlo. Un modelo para el peso medio W de
e a
los beb´s durante las 2 primeras semanas de vida es P (t) = 0.015t2 −
e
0.18t + 3.3. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de
P
11. Calcular las dimensiones del mayor rect´ngulo inscrito en un c´
a ırculo de
radio r
12. Una p´gina rectangular ha de contener 96[cm2 ] de texto. Los m´rgenes
a a
superior e inferior tienen 3[cm] de ancho y los laterales 2[cm] ¿Qu´e
dimensiones de la p´gina minimizar´n la cantidad de papel requerida?
a a
√
13. Considere la funci´n f (x) = x en el intervalo [1, 9]. Dibuje. Calcular
o
el valor c ∈]1, 9[ para el cual se cumple f (c) = f (9)−f (1) y encuentre la
9−1
ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto (c, f (c)).
o a
14. Dada f (x) = 2x5/3 − 5x4/3 . Calcule f (x) y f (x). Encuentre si los hay
puntos cr´
ıticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, m´ximos y
a
m´ınimos. Intersecciones de f (x) con los ejes coordenados. Dibuje.
15. Solucione el problema anterior para
x 2
(a) f (x) = √ f (x) =
x2+2 (x2 + 2)3/2
−6x
f (x) =
(x2 + 2)5/2](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-32-320.jpg)
![36 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
3.1 Soluci´n Prueba 1 MatI
o
1. (a) |3x + 4| + |x − 4| ≥ 20 (3.1)
Primero, encontremos los puntos cr´
ıticos
3x1 + 4 = 0
3x1 = −4
4
x1 = − (3.2)
3
x2 − 4 = 0
x2 = 4 (3.3)
4
Debemos primero evaluar la expresi´n (3.1) para x ≤ − 3
o
−(3x + 4) − (x − 4) ≥ 20
−3x − 4 − x + 4 ≥ 20
−4x − 4 + 4 ≥ 20
−4x ≥ 20
x ≤ −5 (3.4)
4
Ahora, debemos hacer lo mismo para los x ∈ (− 3 , 4)
(3x + 4) − (x − 4) ≥ 20
3x + 4 − x + 4 ≥ 20
2x + 8 ≥ 20
2x ≥ 12
x ≥ 6 (3.5)
Por ultimo debemos evaluar (3.1) para x ≥ 4
´
(3x + 4) + (x − 4) ≥ 20
4x ≥ 20
x ≥ 5 (3.6)
Por lo tanto, los intervalos en donde (3.1) tiene soluci´n son:
o
S1 = (−∞, −5] S2 = φ S3 = [5, ∞)](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-36-320.jpg)
![´
3.1. SOLUCION PRUEBA 1 MATI 37
Entonces la soluci´n ser´:
o a
S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = (−∞, −5] ∪ [5, ∞) (3.7)
(b) Resolvamos (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10
Para ello encontremos los ceros de la desigualdad
(x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10
x2 + x − 12 ≤ 2x2 − 5x − 10
0 ≤ x2 − 6x + 2 (3.8)
Ahora usando que la soluci´n de una ecuaci´n cuadr´tica es
o o a
√
−b ± b2 − 4ac
x1/2 = (3.9)
2a
Usando esto en la ecuaci´n (8) obtenemos
o
√ √ √
6 ± 36 − 8 6 ± 28 6±2 7 √
x1/2 = = = = 3 ± 7(3.10)
2 2 2
Por lo tanto tenemos
√ √
0 ≤ (x − (3 + 7))(x − (3 − 7)) (3.11)
Por lo tanto la soluci´n ser´
o ıa
√ √
S = (−∞, 3 − 7] ∪ [3 + 7, ∞) (3.12)
2. (a) Calcular
n n n
(7 + 5k) = 7+ 5k
k=1 k=1 k=1
n n
= 7 +5 k
k=1 k=1
n(n + 1)
= 7n + 5
2
5n2 5n
= 7n + +
2 2
2
5n + 5n + 14n
=
2
5n2 + 19n
= (3.13)
2](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-37-320.jpg)
![´ ´
3.2. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 1, MATEMATICAS I 41
a2 − b2 + 2(a − b) = 0
(a + b)(a − b) + 2(a − b) = 0
(a − b)[(a + b) + 2] = 0 (3.21)
Esto nos da dos soluciones, a = b, o bien, a = −2 − b, lo cual dice
que f no es inyectiva, i.e. f (a) = f (b) no implica necesariamente
que a = b.
(c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que
a u
f es inyectiva.
Para que una funci´n f sea inyectiva en un intervalo, la funci´n f
o o
debe ser creciente o bien decreciente, luego el intervalo son todos
los Reales positivos pues ah´ la funci´n es creciente.
ı o
(d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I)
J = f (I) = { de todos los reales mayores o iguales a − 3}
Luego es f´cil ver que la preim´gen de este conjunto es el conjunto
a a
S = (−∞, −2] ∪ [0, +∞)
2. (a) Sea D la distancia que est´ el observador del punto de lanzamiento
a
del globo, entonces tenemos
D
sin(30) = ⇒ D = 200 sin(30)
200 √
3
D = 200
2 √
D = 100 3 (3.22)
(b) Es f´cil ver que la altura inicial (H) era de
a
H
cos(30) = ⇒ H = 200 cos(30)
200
1
H = 200
2
H = 100 (3.23)](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-41-320.jpg)
![42 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
¯
Para encontrar la altura final (H) tenemos que
D ¯ D
tan(60) = ¯ ⇒H =
H tan(60)
¯ D
H = 1
√
3
√
¯ 100 3
H = 1
√
3
¯
H = 300[m] (3.24)
Luego, la altura al suelo es 300 + 1, 7 = 301, 7[m]
3. Reolver
1
− sin x cos x = 0 (3.25)
2
El producto de dos n´meros natirales es igual a cero si cada uno de los
u
n´meros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que
u
1
cos x = 0 o bien − sin x (3.26)
2
Pero cos(x) = 0 si x ∈ {− 3π , − π , π , 3π , 5π , 7π , 9π , etc.}
2 2 2 2 2 2 2
Luego, los valores que se encuentran en el intervalo pedido son
π π 3π 5π 7π 9π
x∈ − , , , , , (3.27)
2 2 2 2 2 2
Ahora hay que ver las soluciones de sin(x) = 1 , estos valores son
2
2π π 4π 7π 10π 13π
x∈ − , , , , , (3.28)
3 3 3 3 3 3
√ √ √
2 2 3 i
4. Sean z1 = 2
+i 2
y z2 = 2
+ 2](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-42-320.jpg)
![46 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
(d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I)
La preim´gen de este conjunto son claramente todos los reales.
a
2. Reolver
1
− cos(x) sin(x) = 0 (3.38)
2
El producto de dos n´meros natirales es igual a cero si cada uno de los
u
n´meros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que
u
1
sin(x) = 0 o bien − cos(x) (3.39)
2
Para sin(x) = 0 el conjunto de soluciones en [−π, 5π] ser´
a
x∈ − π, 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π (3.40)
1
El conjunto de valores de cos(x) = 2
ser´
a
5π π 7π 13π 17π 23π 29π
x∈ − , , , , , , (3.41)
6 6 6 6 6 6 6
√ √ √
1 3 2 2
3. Dados los n´meros complejos z1 =
u 2
+i 2
y z2 = 2
+i 2
(a) Escribir z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica.
e
Para esto debemos ver los ´ngulos y m´dulos de estos complejos.
a o
√
1 2 2 2
|z1 | = +
2 2
1 3
= +
4 4
4
=
4
√
= 1
|z1 | = 1 (3.42)](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-46-320.jpg)
![48 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
(c) Calculemos ahora ( z1 )8
z2
8 8
z1 π
= e−i 12
z2
π
= e−i8 12
2π
= e−i 3 (3.49)
4. (a) Sea D la distancia que est´ el observador del punto de lanzamiento
a
del globo, entonces tenemos
D
sin(30) = ⇒ D = 300 sin(30)
300 √
3
D = 300
2 √
D = 150 3 (3.50)
(b) Para ver la altura del globo a los 2 minutos tenemos que
D
tan(60) = ¯ (3.51)
H
¯
donde H es la altura desconocida.
Luego
√
¯ = D 150 3
H = 1 = 150 · 3 = 450 (3.52)
tan(60) 3
Ahora a esta altura debemos agregarle la altura de los ojos del
observador que es 1, 6[m], por lo tanto la altura ser 451, 6[m].](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-48-320.jpg)
![50 CAP´
ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS
(b) Para encontrar la recta tangente que pasa por el punto x = 1
debemos primero derivar f (x)
f (x) = 15x4 − 105x2 + 180 (3.56)
A continuaci´n debemos evaluar f (x) y f (x) en x0 = 1
o
y0 = f (x0 ) = 15 − 105 + 180 = 148 (3.57)
m = f (x0 ) = 15 − 105 + 180 = 90 (3.58)
Por lo tanto la recta tangente que pasa por x = 1 ser´
a
y = y0 + m(x − x0 ) = 148 + 90(x − 1) = 90x + 58 (3.59)
3. (a) Para este ejercicio, debemos primero encontrar los puntos cr´
ıticos
de f (x). Para ello debemos derivar e igualar a cero.
f (x) = x4 − 7x2 + 12 (3.60)
f (x) = 0 ⇒ x4 − 7x2 + 12 = 0
(x2 − 3)(x2 − 4) = 0 (3.61)
⇒ x2 − 3 = 0 ∧ x2 − 4 = 0
x2 = 3 x2 = 4
√
x=± 3 x = ±2 (3.62)
Ahora, debemos saber si la funci´n es creciente o decreciente. Para
o
ello usaremos los puntos cr´
ıticos, viendo si la primera derivada es
positiva o negativa.
En el intervalo (−∞, −2] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente
√
En el intervalo [−2, − 3] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente
√ √
En el intervalo [− 3, 3] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente
√
En el intervalo [ 3, 2] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente
En el intervalo [2, ∞) ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-50-320.jpg)
![102 CAP´
ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´
IAS
4.5 Soluci´n Gu´ 5
o ıa
1. Debemos encontrar el Area como funci´ de x. Para ello tenemos como
n
dato el per´
ımetro de un rect´ngulo que es
a
P = 2x + 2y = 200 (4.183)
x + y = 100
y = 100 − x (4.184)
Adem´s el ´rea de una rect´ngulo es A = x · y, reemplazando (4.184)
a a a
obtenemos
A(x) = x · y = x(100 − x) (4.185)
A(x) = 100x − x2 (4.186)
2. Como el lado de la pieza cuadrada es 16[cm2 ] si recortamos cuadrados
iguales de lado x de cada esquina podemos expresar el volumen en
funci´n de x.
o
V (x) = (16 − 2x)2 x (4.187)
= (256 − 64x + 4x2 )x
V (x) = 4x3 − 64x2 + 256x (4.188)
3. La ecuaci´n del c´
o ırculo es:
√
y = 16 − x2 (4.189)
Si tomamos como x la distancia entre el eje Y y la circunferencia.
Adem´s tomamos como y la distancia entre el eje X y la circunferencia
a
obtenemos que el ´rea ser´
a a
A √
= x · y = x 16 − x2 (4.190)
2](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-102-320.jpg)
![4.5. SOLUCION GU´ 5
´ IA 103
Por lo tanto el ´rea total de en funci´n de x ser´
a o a
√
A(x) = 2x 16 − x2 (4.191)
4. Sabemos que el ´rea A = 100[cm2 ]
a
Adem´s sabemos que
a
2x2 + 4xy = 200
x2 + 2xy = 100
2xy = 100 − x2
100 − x2
y = (4.192)
2x
Por otro lado sabemos que el volumen lo podemos expreasar como
V (x) = x2 · y (4.193)
100 − x2
V (x) = x2 (4.194)
2x
x
= (100 − x2 )
2
x3
= 50x − (4.195)
2
√
5. Dadas f (x) = 2x − 3 y g(x) = x + 1. Encontrar
(a) Dom(f ), Dom(g)
Dom(f ) = {x ∈ R} (4.196)
Dom(g) = {x ∈ R|x ≥ −1} (4.197)
(b) f + g
√
f (x) + g(x) = 2x − 3 + x+1 (4.198)
El dominio ser´ Dom(f + g) = {x ∈ R|x ≥ −1}
a
(c) f · g
√
f (x) · g(x) = x + 1(2x − 3) (4.199)
El dominio ser´ Dom(f · g) = {x ∈ R|x ≥ −1}
a](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-103-320.jpg)
![4.5. SOLUCION GU´ 5
´ IA 105
1
(d) f (x) = x−2 ,x > 0 g(x) = x− 2 x>0
f (x) = y = x−2
1
y = 2
x
yx2 = 1
1
x2 =
y
1
x = √
y
1
x = y − 2 = g(y) (4.206)
Por lo tanto g(y) = g(x), entonces las funciones son inversas una
de la otra.
1 1−x
(e) f (x) = x2 +1
g(x) = x
en ] 1 , 1[
2
1
f (x) = y =
x2 +1
1
(x2 + 1) =
y
1
x2 = −1
y
1−y
x2 =
y
1−y
x = = g(y) (4.207)
y
Por lo tanto hemos encontrado la inversa que adem´s es igual a la
a
entregada.
7. Encontrar la inversa y graficar f y f −1
(a) f (x) = x2 x≥0
f (x) = y = x2
√
2 = x = f −1 (y) (4.208)](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-105-320.jpg)
![4.6. SOLUCION GU´ 6
´ IA 119
(a) sin(x) = 0
Debemos notar que sin(x) = 0 se cumple para x = 0, x = π,
x = 2π, etc.
Por lo tanto se cumple para todo x = kπ k = 0, 1, 2, . . .
(b) cos(x) = 0
Vemos que cos(x) = 0 se cumple para x = π , x =
2
3π 5π
2
, 2, etc.
Por lo tanto se cumple para todo x = (2k + 1) π
2
k = 0, 1, 2, . . .
(c) sin(x) = −1
3π 5π
Vemos que sin(x) = −1 se cumple para x = 2
, 2, etc.
3π
Por lo tanto se cumple para todo x = 2
+ 2kπ k = 0, 1, 2, 3, . . .
(d) cos(x) = −1
Vemos que cos(x) = −1 se cumple para x = π, 2π, etc.
Por lo tanto se cumple para todo x = kπ k = 1, 2, 3, 4, . . .
7. Encontrar x en [0, 2π] para los que se cumple
1
(a) sin(x) = 2
Los valores son x = π , 5π
6 6
1
(b) cos(x) = √
2
Los valores son x = π , 3π
4 4
√
3
(c) sin(x) = 2
Los valores son x = π , 2π
3 3
1
(d) cos(x) = 2
Los valores son x = π , 5π
3 3](https://image.slidesharecdn.com/librowilcken-120915205117-phpapp01/85/Librowilcken-119-320.jpg)
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Este documento presenta las soluciones a pruebas y ejercicios de matemáticas del primer semestre de 1999. Contiene las respuestas a 4 pruebas distintas con ejercicios de álgebra, trigonometría, funciones y ecuaciones. Además, incluye las soluciones a 10 guías de ejercicios de funciones cuadráticas, trigonométricas y raíces cuadradas. Por último, presenta figuras gráficas que ilustran las soluciones.
![Algebra[ufro]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/algebraufro-110119125653-phpapp01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
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- 1. Ejercicios Resueltos de ´ Matematicas I Cristian Wilckens Abril 2000
- 2.
- 3. Indice 1 Pruebas PrimerSemestre 1999 7 1.1 Matematicas I - Prueba No 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 1 a . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 2 a . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Matem´ticas I - Prueba Global . . . a . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Gu´ de ıas Ejercicios a˜ o 1999 n 13 2.1 Gu´ ıa n´mero 1 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Gu´ ıa n´mero 2 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Gu´ ıa n´mero 3 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 18 2.4 Gu´ ıa n´mero 4 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 20 2.5 Gu´ ıa n´mero 5 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 21 2.6 Gu´ ıa n´mero 6 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Gu´ ıa n´mero 7 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 25 2.8 Gu´ ıa n´mero 8 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 26 2.9 Gu´ ıa n´mero 9 . . . . . . . . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 29 2.10 Gu´ıa n´mero 10 (Ejercicios Propuestos) . u . . . . . . . . . . . . 31 3 Soluciones de las Pruebas 35 3.1 Soluci´n Prueba 1 MatI . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 36 3.2 Soluci´n Prueba 2 forma 1, Matem´ticas I o a . . . . . . 40 3.3 Soluci´n Prueba 2 forma 2, Matem´ticas I o a . . . . . . 45 3.4 Soluci´n Prueba Global -MatI . . . . . . . . . . . . o . . . . . . 49 4 Soluciones de las Gu´ıas 53 4.1 Soluci´n Gu´ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 o ıa 4.2 Soluci´n Gu´ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 o ıa 4.3 Soluci´n Gu´ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 o ıa 3
- 4. 4 INDICE 4.4 Soluci´n o Gu´ ıa 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Soluci´n o Gu´ ıa 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.6 Soluci´n o Gu´ ıa 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.7 Soluci´n o Gu´ ıa 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.8 Soluci´n o Gu´ ıa 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.9 Soluci´n o Gu´ ıa 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
- 5. Figuras 3.1 Gr´ficode f (x) = x2 + 2x − 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 a 3.2 Gr´fico de f (x) = x2 − 6x + 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 a 5 3 3.3 Gr´fico de f (x) = x − 7x + 12x . . . . . . . . . . . . . . . . 51 a 5 3 4.1 Gr´fico a de f (x) = x2 . . . . . . . . . . √ . . . . . . . . . . . . . 106 4.2 Gr´fico a de f (x) = √x x ≥ 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.3 Gr´fico a de f (x) = √x2 − 4 x ≥ 2 . . . . . . . . . . . . . . . 107 4.4 Gr´fico a de f (x) = x2 + 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.5 Gr´fico a de f (x) = x3 + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.6 Gr´fico a de f (x) = sin(2x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.7 Gr´fico a de f (x) = cos(x) + 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.8 Gr´fico a de f (x) = 2 cos(x) − π ≤ x ≤ 2 π 2 . . . . . . . . . . . 115 4.9 Gr´fico a def (x) = 4 sin(x) 0 ≤ x ≤ π . . . . . . . . . . . . . . 116 4.10 Gr´fico a de f (x) = | sin(x)| 0 ≤ x ≤ 2π . . . . . . . . . . . . . 116 5
- 6. 6 FIGURAS
- 7. Cap´ ıtulo 1 Pruebas Primer Semestre 1999 7
- 8. 8 CAP´ ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 1999 1.1 Matematicas I - Prueba No1 1. Resuelva las siguientes inecuaciones (a) | 3x + 4 | + | x − 4 |≥ 20 (b) (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10 2. (a) Calcule n (7 + 5k) k=1 (b) Demuestre por inducci´n: o n (3 + 4k) = 2n2 + 5n i=1 3. (a) Encuentre el valor de 1999 1 1 − i=1 i+3 i+4 (b) En el desarrollo de (1 + 3x2 )19 , calcule el coeficiente de x6 .
- 9. ´ 1.2. MATEMATICAS I- PRUEBA NO 2 FORMA 1 9 1.2 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 1 a 1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 + 2x − 3 o a (a) Determine el conjunto de im´genes de f (Ind: Un gr´fico le ser´ a a a de gran utilidad). (b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta (c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que a u f es inyectiva (d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I) 2. Un observador ve un globo aerost´tico, que se eleva verticalmente, bajo a o un ´ngulo de elevaci´n de 30 despu´s de 2 minutos, el ´ngulo de ele- a o e a vaci´n es de 60o . En un principio la distancia entre el observador y el o globo era de 200 metros. (a) ¿A que distancia est´ el observador del punto de lanzamiento del a globo? (b) Si los ojos del observador est´n a 1,7 metros del suelo, ¿a que a altura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos? 3. Resuelva la ecuaci´n trigonom´trica o e 1 − sin x cos x = 0 2 en el intervalo [−π, 5π] √ √ √ 2 2 3 i 4. Dados los n´meros complejos z1 = u 2 +i 2 y z2 = 2 + 2 (a) Escriba z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica e z1 (b) Encuentre z2 (c) Calcule ( z1 )8 z2
- 10. 10 CAP´ ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 1999 1.3 Matem´ticas I - Prueba No 2 forma 2 a 1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 − 6x + 8 o a (a) Determine el conjunto de im´genes de f (Ind: Un gr´fico le ser´ a a a de gran utilidad). (b) ¿Es f inyectiva? Justifique su respuesta (c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que a u f es inyectiva (d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I) 2. Resuelva la ecuaci´n trigonom´trica o e 1 − cos x sin x = 0 2 en el intervalo [−π, 5π] √ √ √ 1 3 2 2 3. Dados los n´meros complejos z1 = u 2 +i 2 y z2 = 2 +i 2 (a) Escriba z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica e z1 (b) Encuentre z2 z1 (c) Calcule ( z2 )8 4. Un observador ve un globo aerost´tico, que se eleva verticalmente, bajo a o un ´ngulo de elevaci´n de 30 despu´s de 2 minutos, el ´ngulo de ele- a o e a o vaci´n es de 60 . En un principio la distancia entre el observador y el o globo era de 300 metros. (a) ¿A que distancia est´ el observador del punto de lanzamiento del a globo? (b) Si los ojos del observador est´n a 1,6 metros del suelo, ¿a que a altura se encuentra el globo al cabo de los dos minutos?
- 11. ´ 1.4. MATEMATICAS I- PRUEBA GLOBAL 11 1.4 Matem´ticas I - Prueba Global a 1. Calcule los siguientes l´ ımites: 1 − cos x 1 −1 (a) lim (b) lim x+5 6 x→0 x2 x→1 x−1 2. (a) Encuentre la derivada de la funci´n o f (x) = tan(5x2 cos x) (b) Encuentre la ecuaci´n de la recta tangente, en el punto de abscisa o x = 1, al gr´fico de a f (x) = 3x5 − 35x3 + 180x 3. (a) Dada la funci´n definida por la f´rmula o o x5 7x3 f (x) = − + 12x 5 3 encuentre los puntos cr´ıticos de f , los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f . Grafique la funci´n f . o (b) ¿Para que valores de x, es f (x) = 0? √ Nota: 3 ≈ 1, 73. 4. Una caja cerrada de secci´n cuadrada, de lado x, tiene un ´rea de 100 o a 2 cm . (a) Exprese el volumen V como funci´n de la variable x o (b) Encuentre las dimensiones de la caja de volumen m´ximo a
- 12. 12 CAP´ ITULO 1. PRUEBAS PRIMER SEMESTRE 1999
- 13. Cap´ ıtulo 2 Gu´ de Ejercicios a˜ o 1999 ıas n 13
- 14. 14 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 2.1 Gu´ n´ mero 1 ıa u 1. Por inducci´n demuestre que para todo n´mero natural n se cumple: o u (a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 n(3n−1) (b) 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = 2 3n −1 (c) 2 + 5 + 13 + · · · + (2n−1 + 3n−1 ) = 2n − 1 + 2 n4 (d) 13 + 23 + · · · + (n − 1)3 < 4 < 13 + 23 + · · · + n3 (e) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · n(n + 1) = n (n + 1)(n + 2) 3 1−q n+1 (f) 1 + q + q 2 + · · · + q n = 1−q ∀ q=1 (g) 1 − 4 + 9 − 16 + · · · + (−1)n+1 n2 = (−1)n+1 (1 + 2 + · · · + n) 1 1 1 1 n (h) 1·2 + 2·3 + ··· + n(n+1) =1− n+1 = n+1 4 1 (i) (1 − 1 )(1 − 9 ) · · · (1 − 1 n2 ) = n+1 2n (j) n2 + n es divisible por 2 (k) Si a y b son enteros, entonces: (a + b)n = a + bn ˙ a multiplo de a ˙ (l) n3 + 2n divisible por 3 (m) n5 − n es divisible por 5 (n) 32n+2 − 2n+1 divisible por 7 (o) xn − 1 es divisible por x − 1 ∀x (p) x2n − 1 es divisible por x + 1 ∀x 2. Considerese la proposici´n: o n2 + n − 6 Sn : 1 + 2 + · · · + n = 2 (a) Demuestre que Sk ⇒ Sk+1 (b) Sn no es v´lida ∀n ∈ N a
- 15. 2.1. GU´ NUMERO1 IA ´ 15 3. Observe que 1 1 1− = 2 2 1 1 1 1− 1− = 2 3 3 1 1 1 1 1− 1− 1− = 2 3 4 4 Deduzca una ley general y demu´strela por inducci´n. e o 4. Usando propiedades de las sumatorias demuestre las f´rmulas: o n n(n + 1) (a) i= i=1 2 n 2 Sugerencia, considere la sumatoria i=1 [i − (i + 1)2 ] n n(n + 1)(2n + 1) (b) i2 = i=1 6 n 3 Sugerencia, considere la sumatoria i=1 [i − (i + 1)3 ] Calcule adem´s n i3 ; a i=1 n 4 i=1 i ; n i=1 i 5 5. Calcule y pruebe su respuesta usando inducci´n o n 1 1 (a) − i=1 i+1 i n 1 1 (b) − i=1 i + 2 i Para esta ultima parte considere la siguiente igualdad: ´ 1 1 1 1 1 1 − = − + − i+2 i i+2 i+1 i+1 i
- 16. 16 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 2.2 Gu´ n´ mero 2 ıa u 1. Pruebe que (n + 2)! = n2 + 3n + 2 n! 2. Evalue 4! + 7! ; (4 + 7)! 3. Calcule 9 9 50 49 (a) + (b) − 4 3 10 9 4. Probar que para todo n natural se tiene n n n n − + + · · · + (−1)n =0 0 1 2 n 5. Usando el binomio de Newton, encuentre el desarrollo de (1 + x)n para todo real x tal que x ≥ −1 6. Calcule y simplifique 1 3 (a) (2x3 + x2 ) (c) (2a + 5b)8 1 2 1 (b) (y 4 − y5 ) (d) (3a − a )5 7. Sea x > −1. Pruebe que (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀n ∈ N (Desigualdad de Bernouilli). Sugerencia: Inducci´n sobre n. o 8. Sean p, q n´meros racionales q > 0 y n n´mero natural. Pruebe u u √ √ (a) (p + q)n = a + b q con a y b n´meros racionales u √ n √ (b) (p − q) = a − b q
- 17. 2.2. GU´ NUMERO2 IA ´ 17 9. Calcular i=n i=n n n (a) = 2n (b) i = n2n−1 i=0 i i=0 i 10. Calcular l=n k=l n=m i=n (a) 2k (c) i l=0 k=0 n=1 i=1 n=p l=n k=l (b) 2k n=0 l=0 k=0 11. Escribir usando s´ ımbolo(s) y n sumandos (a) 1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + · · · (b) 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + · · · (el 1 aparece n veces) 12. Calcular (x1 + x2 + x3 )3 Identifique la expresi´n usando coeficientes binomiales. o Idem para (x1 + x2 + x3 )4
- 18. 18 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 2.3 Gu´ n´ mero 3 ıa u 1. (a) a > 0 ⇒ a−1 > 0 (b) a < 0 ⇒ a−1 < 0 2. ab > 0 ⇔ (a > 0 y b > 0) ´ (a < 0 y b < 0) o 3. a ∈ R, a = 0 ⇒ a2 > 0 a+b 4. a, b ∈ R, a < b ⇒ a< 2 <b 5. (a) 0 ≤ a ≤ b , 0 ≤ x ≤ y ⇒ ax ≤ by (b) 0 < a < b ⇒ b−1 < a−1 1 (c) x > 0 ⇒x+ x ≥2 6. Sean a, b reales positivos. Pruebe: a b (a) b + a ≥2 1 1 (b) a + b (a + b) ≥ 4 1 (c) a + b = 1 ⇒ a 2 + b2 ≥ 2 7. Resuelva las siguientes desigualdades: 2 (a) x2 + x > 2 (h) 7−3x ≤ −5 2x+1 (b) x+2 <1 (i) 1 >3 2x+1 (c) (x + 1)(x − 2) > 0 2 (j) x − 2x − 8 > 0 (d) (3x − 8)(3x + 8) < 0 (k) (x + 2)(x − 3)(x + 5) > 0 (e) 4x + 1 < 2x (x−1)(x+2) (f) x2 + 2x ≤ 3 (l) (x−2) >0 x+2 (g) −3 < 2x + 5 < 7 (m) 1 − x−3 >6
- 19. 2.3. GU´ NUMERO3 IA ´ 19 8. Resuelva las siguientes desigualdades (a) |2x + 3| ≤ 6 (e) |x + 2| + |x − 3| > 12 (b) |3 − 2x| < 5 (f) |2x − 1| + |x − 3| > 9 (c) |x2 − 1| ≤ 3 (d) |x + 7| > 4 (g) |3x − 2| − |x − 7| < 6
- 20. 20 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 2.4 Gu´ n´ mero 4 ıa u 1. Demuestre que para todo x ∈ R, existe n ∈ N tal que n > x 2. Encuentre el dominio de las siguientes funciones reales 1 |x| (a) f (x) = x−1 (g) f (x) = x √ √ (b) f (x) = x+8 (h) f (x) = 3 x 1 √ x x>0 (i) f (x) = x−1 2−x (c) y = 5 x=0 √ x+3 2x x < 0 (j) f (x) = √ 1 + 3x−5 5 (d) f (x) = πx2 2x + 8 x > 3 5x+6 (k) f (x) = (e) f (x) = (x+2)(x+3) −3x x≤3 x √ x (f) f (x) = x2 +5x+11 (l) f (x) = x2 −x−20 √ 1 3. Dadas las funciones f1 (x) = x , f2 (x) = 2x2 + 3x + 5 y f3 (x) = x , evalue (a) fi (5) i = 1, 2, 3 (b) fi (x + h) − fi (x) h > 0 fi (x+h)−fi (x) (c) h 2 (d) fi (b ) con b ∈R 4. Dada la funci´n f (x) = x2 . Note que f : R → R no es inyectiva. o Encuentre 3 subconjuntos de R, Di i = 1, 2, 3 tal que f : Di → R es inyectiva. ¿Existe un dominio D formado por n´meros positivos y u negativos tal que f : D → R es inyectiva? √ 5. Pruebe que la funci´n f (x) = x es inyectiva en su dominio natural. o
- 21. 2.5. GU´ NUMERO5 IA ´ 21 2.5 Gu´ n´ mero 5 ıa u 1. Un rect´ngulo tiene 200 [cm] de per´ a ımetro. Expresar su ´rea como a funci´n de x. o 2. Vamos a construir una caja abierta con una pieza cuadrada de metal de 16 [cm] de lado, cortando cuadrados iguales de sus esquinas y doblando por las l´ ıneas de puntos (ver figura). Exprese el volumen V en funci´n o de x. √ 3. Un rect´ngulo est´ acotado por el eje X y el semicirculo y = 16 − x2 a a (ver figura). Escriba el ´rea A del rect´ngulo como funci´n de x. a a o 4. Una caja cerrada de secci´n cuadrada de lado x tiene un ´rea de o a 2 200[cm ] (ver figura). Exprese el volumen V como funci´n de x. o √ 5. Dadas las funciones f (x) = 2x − 3 y g(x) = x + 1. Encuentre (a) Dom(f ), Dom(g) (b) f + g (c) f · g (d) f ◦ g (e) g ◦ f y los respectivos dominios. 6. Determine si las siguientes funciones son inversas una de la otra: x+3 (a) f (x) = 2x + 3 g(x) = 2 √ 2 (b) f (x) = x − 4 g(x) = x + 4 x ≥ 0 √ (c) f (x) = 1 − x3 g(x) = 3 1 − x 1 (d) f (x) = x−2 ,x > 0 g(x) = x− 2 ,x > 0 1 1−x 1 (e) f (x) = x2 +1 g(x) = x en ] 2 , 1[ 7. Encuentre la funci´n inversa (si existe). Represente aproximadamente o un gr´fico de f y de f −1 a (a) f (x) = x2 x≥0
- 22. 22 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ √ (b) f (x) = x2 − 4 x ≥ 2 √ (c) f (x) = 3 x − 1 1 8. Dadas f (x) = 8 x − 3 y g(x) = x3 . Encuentre (a) (f −1 ◦ g −1 )(x) (b) (f −1 ◦ f −1 )(t) (c) (g −1 ◦ f −1 )(a) 9. Encuentre las raices de (a) p(x) = x4 + x (b) h(x) = x(4 − x2 ) (c) f (x) = x3 − 6x2 + 3x + 10 sabiendo que 2 es ra´ ¿Cu´les son ız a reales? 10. Divida los polinomios h(x) y p(x) encontrando q(x) y r(x) (a) h(x) = x4 + 3x3 + 2 y p(x) = x2 + 3x − 2 (b) h(x) = x5 + 5x − 1 y p(x) = x3 + 2x − 3 (c) h(x) = x4 + 1 y p(x) = x − 2 4 (d) h(x) = x + 1 y p(x) = x2 + 2x + 2
- 23. 2.6. GU´ NUMERO6 IA ´ 23 2.6 Gu´ n´ mero 6 ıa u 3 1. Se sabe que el polinomio x3 − ax − b, con la condici´n ∆ = b2 − 4 a ≥ 0 o 27 √ √ tiene 3 b+2 ∆ + 3 b−2 ∆ como una ra´ Usando este hecho calcule las ız. raices de x3 − 6x − 9 2. Haga un gr´fico aproximado de a (a) f (x) = sin 2x (b) f (x) = cos x + 7 (c) f (x) = 2 cos x −π ≤x≤ 2 π 2 (d) f (x) = 4 sin x 0≤x≤π (e) f (x) = | sin x| 0 ≤ x ≤ 2π 3. Calcule: (a) cos( 2π ) 3 (c) cos( 14π ) 3 (b) sin( 2π ) 3 (d) sin( 14π ) 3 Datos: π 2π π− 3 = 3 14π 2π 3 = 3 + 4π 4. Encuentre el dominio de las siguientes funciones 1 (c) f (x) = 5 tan x (a) f (x) = 2 + cos x x sin x 2 − sin x (b) f (x) = (d) f (x) = 1 + x2 2 + sin x sin x 1−cos x cos x−1 5. Ud. sabe que si x → 0 entonces x →1 y x →0 y x → 0. Pruebe que si h → 0 entonces sin(x + h) − sin(x) → cos(x) h y adem´s a cos(x + h) − cos(x) → − sin(x) h
- 24. 24 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 6. Encuentre todos los valores reales x tales que (a) sin(x) = 0 (c) sin(x) = −1 (b) cos(x) = 0 (d) cos(x) = −1 7. Encuentre los valores x, 0 ≤ x ≤ 2π para los cuales √ 1 3 (a) sin(x) = 2 (c) sin(x) = 2 1 1 (b) cos(x) = √ 2 (d) cos(x) = 2
- 25. 2.7. GU´ NUMERO7 IA ´ 25 2.7 Gu´ n´ mero 7 ıa u 1. Pruebe que √ π 5π 3−1 (a) sin = cos = √ 12 12 2 2 √ π 5π 3+1 (b) cos = sin = √ 12 12 2 2 π 1 + sin(β) 2. (a) 2α + β = ⇒ cos(α) = 2 2 a = b cos(γ) + c cos(β) (b) α+β+γ =π ⇒ b = c cos(α) + a cos(γ) c = a cos(β) + b cos(α) (c) α+β+γ =π ⇒ 1 + 2 sin(β) sin(γ) cos(α) + cos2 (α) = cos2 (β) + cos2 (γ) 3. Pruebe las siguientes identidades trigonom´tricas e (a) cos2 (x) = 1 (1 + cos(2x)) ; 2 sin2 (x) = 1 (1 − cos(2x)) 2 1−tan2 ( x ) (b) cos(x) = 2 1+tan2 ( x ) 2 (c) cos(x + y) cos(x − y) = cos2 (x) − sin2 (y) x+y (d) arctan(x) + arctan(y) = arctan( 1−xy ) √ (e) arcsin(x) = arccos( 1 − x2 ) 4. Resuelva las siguientes ecuaciones trigonom´tricas e (a) 3 sin2 (x) + 5 sin(x) = 2 √ (b) 3 cos(x) + sin(x) = 1 (c) cos(7x) = sin(3x) (d) cos(2x) = cos(x) + sin(x) (e) arcsin(x) = arccos(x) (f) arcsin(x) − arccos(x) = arcsin(3x − 2) (g) arctan( x−2 ) + arctan( x+2 ) = π x−1 x+1 4 √ (h) arccos(x) − arcsin(x) = arccos(x 3)
- 26. 26 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 2.8 Gu´ n´ mero 8 ıa u 1. Calcular los suiguientes l´ ımites (si existen) 3 (1 + h)3 − 1 (a) lim (g) lim x→−1 x + 2 h→0 h 1/(x + 1) − 1 √ (b) lim x−2 x→0 x (h) lim− x − 4 x→4 (c) lim |x − 2| x→2 √ x2 + x − 2 x+1−2 (i) lim (d) lim x→1 x2 − 1 x→3 x−3 √ 1/x + 4 − 1/4 (e) lim x2 + 5x + 3 (j) lim x→2 x→0 x √ √ 2+x− 2 1 (f) lim (k) lim a=0 x→0 x x→a x 2. Calcular los siguientes l´ ımites (si existen) (a) lim f (x) x→2 para 3 x≤2 f (x) = 0 x>2 (b) lim g(x) x→3 para x−2 x≤3 g(x) = −x2 + 8x − 14 x>3 3. Use la identidad √ √ |x − a| √ √ x− a= √ √ para demostrar que lim x= a x+ a x→a 4. Calcular el l´ ımite l y hallar δ > 0 tal que |f (x) − l| < 0.01 si 0 < |x − x0 | < δ
- 27. 2.8. GU´ NUMERO8 IA ´ 27 (a) lim (3x + 2) (b) lim (x2 − 3) x→2 x→2 5. Calcule f (x + h) − f (x) lim h→0 h (a) f (x) = x2 + 5x + 3 √ (b) f (x) = x 6. Demuestre que lim cos(x) = cos(x0 ) x→x0 ∀x ∈ R Sugerencia: Sea x = x0 + h y demuestre que lim cos(x0 + h) = cos(x0 ) h→0 7. Ud. sabe que sin(x) lim =1 x→0 x Pruebe que 1 − cos(x) tan(3x) (a) lim =0 (b) lim =3 x→0 x x→0 x 8. Calcular los siguientes l´ ımites 2x2 + 1 sin2 (x) (a) lim (e) lim x→2 2x x→0 x2 √ 1 x (b) lim x2 − 9 (f) lim sin x→3 − x→0 x 3 5x + 1 1 − cos(x) (c) lim (g) lim x→3 x2 − 8 x→0 x2 x 1 (d) lim √ (h) lim x2 sin 2 x→0+ sin( x) x→0 x
- 28. 28 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ √ 1 2−x (i) lim x sin (k) lim √ x→0 + x x→2+ 4 − 4x + x2 sin(2x) sin(3x) (j) lim (l) lim x→0 x cos(3x) x→0 sin(2x) 9. Discuta la continuidad de la funci´n compuesta h(x) = f (g(x)) para o 1 (a) f (x) = √ x g(x) = x − 1 1 1 (b) f (x) = x g(x) = x−1 1 1 (c) f (x) = √ x g(x) =x 10. Encuentre las discontinuidades de las funciones dadas. Si son evitables, o ¯ ¯ ¯ encuentre una funci´n f tal que dom(f ) = dom(f ) y f sea continua en esos puntos. x−1 (a) f (x) = x2 +x−2 |x + 2| (b) f (x) = x+2 x (c) f (x) = 2 x +1 x +1 x≤2 (d) f (x) = 2 3−x x>2 11. Dar un ejemplo de una funci´n f que no sea continua en ning´n punto o u pero tal que |f | sea continua en todos los puntos.
- 29. 2.9. GU´ NUMERO9 IA ´ 29 2.9 Gu´ n´ mero 9 ıa u 1. Pruebe que la funci´n f (x) = x1/3 es continua en x = 0 y no diferen- o ciable en x = 0 2 2. Calcular la derivada de la funci´n f (x) = 3x(x2 − x ) en x = 2 o 3. Encuentre la derivada de las siguientes funciones 1 1 (a) f (x) = sin(x) + − 2 2x 3x x2 (b) f (x) = x − sin(x) 1/x − 2/x2 (c) f (x) = 2/x3 − 3/x4 2x5 + 4x (d) f (x) = cos(x) 1 √ 1 (e) f (x) = √ + x + tan(x) + x tan(x) 4. Encuentre las dos intersecciones con el eje X de la gr´fica de f (x) = a 2 x − 3x + 2 y probar que f (x) = 0 en alg´n punto entre ellas. u 5. Encuentre la ecuaci´n de la tangente a la gr´fica de f en el punto o a especificado 1 (a) f (x) = x3 + √ en (5, f (5)) x √ (b) f (x) = x2 + 7 en (2, f (2)) 6. Encuentre la primera y segunda derivada de las siguientes funciones √ (a) f (x) = 3 3x3 + 4x (b) f (x) = cos(28x) √ (c) f (x) = x2 9 − x2 1 (d) f (x) = 2 sin(x) + √ x (e) f (x) = 2(x2 − 1)5 1 (f) f (x) = (x3 −3x)2
- 30. 30 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ 7. Dada f encuentre f para (a) f (x) = tan(10x) + sin3 (x) 1 √ 4 (b) f (x) = arcsin(x) + sec2 (x) + x3 + 5x cos5 (8x) (c) f (x) = arccos(5x) + tan2 (4x) + x2
- 31. 2.10. GU´ NUMERO10 (EJERCICIOS PROPUESTOS) IA ´ 31 2.10 Gu´ n´ mero 10 (Ejercicios Propuestos) ıa u 1. Dada f (x) = 5 − encuentre los c ∈]1, 4[ tales que f (c) = f (4)−f (1) 4 x 4−1 √ 2. Considere la funci´n f (x) = x en el intervalo [1, 9]. Dibuje o (a) Encuentre la ecuaci´n de la secante que pasa por (1, f (1)) y o (9, f (9)) (b) Calcular el valor c ∈]1, 9[ para el cual f (c) = f (9)−f (1) . Encuentre 9−1 la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto o a (c, f (c)) 3. Sea f (x) = 1 − x2/3 . Pruebe que f (1) = f (−1) = 0, pero que f (x) nunca es cero en [−1, 1]. Explicar por qu´ este resultado no contradice e el teorema de Rolle. 4. Vea que las siguientes funciones satisfacen el Teorema de Rolle y en- cuentre los puntos c que satisfacen las conclusiones del teorema (a) f (x) = 9x2 − x4 en [−3, 3] 1−x2 (b) f (x) = 1+x2 en [−1, 1] 5. Pruebe que f (x) = (x − 1)2/3 satisface la hip´tesis del T.V.M. en [1, 2] o y encuentre c ∈]1, 2[ que satisfacen la conclusi´n del mismo. o 6. Si f (x) = x2 − 5x + 2. Encuentre las funciones F tales que F = f . Al graficarlas ¿que propiedades tienen estas funciones? ¿Habr´ alguna a π funci´n F tal que F (8) = √2 ? o 7. Sea F : C → C funci´n definida por F (z) = F (x + yi) = x2 + 2xy + y 2 . o Para cada y = a fijo hay fa funci´n real tal que fa (x) = x2 + 2ax + a2 . o df Calcule dx 8. Encuentre los puntos cr´ıticos de f si los hay. Encuentre los intervalos abiertos donde f es creciente o decreciente. (a) f (x) = (x − 1)2/3 (b) f (x) = x3 − 6x2 + 15 (c) f (x) = x4 − 2x3
- 32. 32 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜ x (d) f (x) = x+1 9. La concentraci´n C de cierto producto qu´ o ımico en la sangre, t horas despu´s de ser inyectado en el tejido muscular viene dado por e 3t C(t) = 27 + t3 ¿Cu´ndo es m´xima la concentraci´n? a a o 10. Al nacer un beb´ perder´ peso normalmente durante unos pocos d´ e a ıas y despu´s comenzar´ a ganarlo. Un modelo para el peso medio W de e a los beb´s durante las 2 primeras semanas de vida es P (t) = 0.015t2 − e 0.18t + 3.3. Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de P 11. Calcular las dimensiones del mayor rect´ngulo inscrito en un c´ a ırculo de radio r 12. Una p´gina rectangular ha de contener 96[cm2 ] de texto. Los m´rgenes a a superior e inferior tienen 3[cm] de ancho y los laterales 2[cm] ¿Qu´e dimensiones de la p´gina minimizar´n la cantidad de papel requerida? a a √ 13. Considere la funci´n f (x) = x en el intervalo [1, 9]. Dibuje. Calcular o el valor c ∈]1, 9[ para el cual se cumple f (c) = f (9)−f (1) y encuentre la 9−1 ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de f en el punto (c, f (c)). o a 14. Dada f (x) = 2x5/3 − 5x4/3 . Calcule f (x) y f (x). Encuentre si los hay puntos cr´ ıticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, m´ximos y a m´ınimos. Intersecciones de f (x) con los ejes coordenados. Dibuje. 15. Solucione el problema anterior para x 2 (a) f (x) = √ f (x) = x2+2 (x2 + 2)3/2 −6x f (x) = (x2 + 2)5/2
- 33. 2.10. GU´ NUMERO10 (EJERCICIOS PROPUESTOS) IA ´ 33 2(x2 + 9) 20x (b) f (x) = √ 2 f (x) = x −4 (x2− 4)2 −20(3x2 + 4) f (x) = (x2 − 4)3 16. Pruebe que el punto t tal que f (t) = 0 est´ en el punto medio de los a extremos locales de f para f (x) = x(x − 6)2 17. Haga una an´lisis de la gr´fica de a a (a) f (x) = x4 − 12x3 + 48x2 − 64x (b) f (x) = x4 − 4x3
- 34. 34 CAP´ ITULO 2. GU´ DE EJERCICIOS ANO 1999 IAS ˜
- 35. Cap´ ıtulo 3 Soluciones de las Pruebas 35
- 36. 36 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS 3.1 Soluci´n Prueba 1 MatI o 1. (a) |3x + 4| + |x − 4| ≥ 20 (3.1) Primero, encontremos los puntos cr´ ıticos 3x1 + 4 = 0 3x1 = −4 4 x1 = − (3.2) 3 x2 − 4 = 0 x2 = 4 (3.3) 4 Debemos primero evaluar la expresi´n (3.1) para x ≤ − 3 o −(3x + 4) − (x − 4) ≥ 20 −3x − 4 − x + 4 ≥ 20 −4x − 4 + 4 ≥ 20 −4x ≥ 20 x ≤ −5 (3.4) 4 Ahora, debemos hacer lo mismo para los x ∈ (− 3 , 4) (3x + 4) − (x − 4) ≥ 20 3x + 4 − x + 4 ≥ 20 2x + 8 ≥ 20 2x ≥ 12 x ≥ 6 (3.5) Por ultimo debemos evaluar (3.1) para x ≥ 4 ´ (3x + 4) + (x − 4) ≥ 20 4x ≥ 20 x ≥ 5 (3.6) Por lo tanto, los intervalos en donde (3.1) tiene soluci´n son: o S1 = (−∞, −5] S2 = φ S3 = [5, ∞)
- 37. ´ 3.1. SOLUCION PRUEBA1 MATI 37 Entonces la soluci´n ser´: o a S = S1 ∪ S2 ∪ S3 = (−∞, −5] ∪ [5, ∞) (3.7) (b) Resolvamos (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10 Para ello encontremos los ceros de la desigualdad (x − 3)(x + 4) ≤ 2x2 − 5x − 10 x2 + x − 12 ≤ 2x2 − 5x − 10 0 ≤ x2 − 6x + 2 (3.8) Ahora usando que la soluci´n de una ecuaci´n cuadr´tica es o o a √ −b ± b2 − 4ac x1/2 = (3.9) 2a Usando esto en la ecuaci´n (8) obtenemos o √ √ √ 6 ± 36 − 8 6 ± 28 6±2 7 √ x1/2 = = = = 3 ± 7(3.10) 2 2 2 Por lo tanto tenemos √ √ 0 ≤ (x − (3 + 7))(x − (3 − 7)) (3.11) Por lo tanto la soluci´n ser´ o ıa √ √ S = (−∞, 3 − 7] ∪ [3 + 7, ∞) (3.12) 2. (a) Calcular n n n (7 + 5k) = 7+ 5k k=1 k=1 k=1 n n = 7 +5 k k=1 k=1 n(n + 1) = 7n + 5 2 5n2 5n = 7n + + 2 2 2 5n + 5n + 14n = 2 5n2 + 19n = (3.13) 2
- 38. 38 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS (b) Demostrar por induccci´n o n (3 + 4k) = 2n2 + 5n (3.14) i=1 Para demostrar por inducci´n debemos ver si se cumple para n = 1 o y luego suponemos que es v´lido para n = k y demostramos que a es v´lido para n = k + 1 a Para n = 1 1 ? (3 + 4k) = 2+5 i=1 ? 3+4 = 7 √ 7 = 7 Ahora, suponemos que es v´lido para n = k y demostramos para a n=k+1 V´lido para n = k a k (3 + 4k) = 2k 2 + 5k i=1 Demostremos para n = k + 1 k+1 ? (3 + 4k) = 2(k + 1)2 + 5(k + 1) i=1 k ? (3 + 4k) +(3 + 4(k + 1)) = 2(k + 1)2 + 5(k + 1) i=1 ? 2k 2 + 5k + 3 + 4k + 4 = (k + 1)(2(k + 1) + 5) 2 ? 2k + 9k + 7 = (k + 1)(2k + 7) ? 2k 2 + 7k + 2k + 7 = √ 2k 2 + 9k + 7 = 2k 2 + 9k + 7 (3.15) Por lo tanto demostramos por inducci´n la f´rmula (3.14) o o 3. Para calcular esta suma debemos darnos cuenta que es una suma telesc´pica, por lo tanto tenemos que o 1999 1 1 1 1 1 1 − = − = − i=1 i+3 i+4 1 + 3 1999 + 4 4 2003
- 39. ´ 3.1. SOLUCION PRUEBA1 MATI 39 2003 − 4 1999 = = (3.16) 8012 8012 4. Par encontrar el coeficiente que acompa˜a a x6 primero debemos cono- n cer cuales son los coeficientes del Binomio de Newton. n n−1 n (a + b)n = an + a b + ··· + abn−1 + bn (3.17) 1 n−1 Usando el coeficiente que necesitamos para obtener x6 , obtenemos 19 19 3 6 (3x2 )3 = 3x (3.18) 3 3 19! = 33 x6 3!(19 − 3)! 19! 3 6 = 3x 3!16! 19 · 18 · 17 · 16! 3 6 = 3x 3!16! 19 · 18 · 17 3 6 = 3x 3·2 = 19 · 17 · 34 x6 = 26163x6 (3.19) Por lo tanto el coeficiente que acompa˜a a x6 es 26163 n
- 40. 40 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS 3.2 Soluci´n Prueba 2 forma 1, Matem´ticas I o a Gr´fico de f (x) = x2 + 2x − 3 a 100 80 60 Eje y 40 20 0 −15 −10 −5 0 5 10 Eje x Figura 3.1: Gr´fico de f (x) = x2 + 2x − 3 a 1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 + 2x − 3 o a (a) Determine el conjunto de im´genes de f (un gr´fico le ser´ de gran a a a utilidad). De el gr´fico vemos que las ra´ son a ıces f (x) = (x + 3)(x − 1) (3.20) y por lo tanto es f´cil ver que Im(f ) = [−4, +∞). a (b) Es f inyectiva? Justifique su respuesta Es f´cil ver que f no es inyectiva pues f (−3) = f (1) = 0, es decir, a dos elementos del dominio de f tienen la misma im´gen.a Una soluci´n m´s general es ver lo siguiente. Suponemos que o a f (a) = f (b) ⇒ a = b Demostrar f (a) = f (b), significa que a2 + 2a − 3 = b2 + 2b − 3 resolviendo queda
- 41. ´ ´ 3.2. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 1, MATEMATICAS I 41 a2 − b2 + 2(a − b) = 0 (a + b)(a − b) + 2(a − b) = 0 (a − b)[(a + b) + 2] = 0 (3.21) Esto nos da dos soluciones, a = b, o bien, a = −2 − b, lo cual dice que f no es inyectiva, i.e. f (a) = f (b) no implica necesariamente que a = b. (c) Encuentre el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que a u f es inyectiva. Para que una funci´n f sea inyectiva en un intervalo, la funci´n f o o debe ser creciente o bien decreciente, luego el intervalo son todos los Reales positivos pues ah´ la funci´n es creciente. ı o (d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I) J = f (I) = { de todos los reales mayores o iguales a − 3} Luego es f´cil ver que la preim´gen de este conjunto es el conjunto a a S = (−∞, −2] ∪ [0, +∞) 2. (a) Sea D la distancia que est´ el observador del punto de lanzamiento a del globo, entonces tenemos D sin(30) = ⇒ D = 200 sin(30) 200 √ 3 D = 200 2 √ D = 100 3 (3.22) (b) Es f´cil ver que la altura inicial (H) era de a H cos(30) = ⇒ H = 200 cos(30) 200 1 H = 200 2 H = 100 (3.23)
- 42. 42 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS ¯ Para encontrar la altura final (H) tenemos que D ¯ D tan(60) = ¯ ⇒H = H tan(60) ¯ D H = 1 √ 3 √ ¯ 100 3 H = 1 √ 3 ¯ H = 300[m] (3.24) Luego, la altura al suelo es 300 + 1, 7 = 301, 7[m] 3. Reolver 1 − sin x cos x = 0 (3.25) 2 El producto de dos n´meros natirales es igual a cero si cada uno de los u n´meros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que u 1 cos x = 0 o bien − sin x (3.26) 2 Pero cos(x) = 0 si x ∈ {− 3π , − π , π , 3π , 5π , 7π , 9π , etc.} 2 2 2 2 2 2 2 Luego, los valores que se encuentran en el intervalo pedido son π π 3π 5π 7π 9π x∈ − , , , , , (3.27) 2 2 2 2 2 2 Ahora hay que ver las soluciones de sin(x) = 1 , estos valores son 2 2π π 4π 7π 10π 13π x∈ − , , , , , (3.28) 3 3 3 3 3 3 √ √ √ 2 2 3 i 4. Sean z1 = 2 +i 2 y z2 = 2 + 2
- 43. ´ ´ 3.2. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 1, MATEMATICAS I 43 (a) Para escribir estos n´meros en forma polar o trigonom´trica es u e necesario conocer el ´ngulo y el m´dulo de estos complejos. a o √ √ 2 2 2 2 |z1 | = + 2 2 2 2 = + 4 4 1 1 = + 2 2 √ = 1 |z1 | = 1 (3.29) √ 3 2 1 2 |z2 | = + 2 2 3 1 = + 4 4 √ = 1 |z2 | = 1 (3.30) Para conocer los ´ngulos demeboms calcular: a Para z1 vemos que el ´ngulo θ1 es a 2 2 tan(θ1 ) = √ 3 =1 (3.31) 2 Luego el ´ngulo θ1 = π a 4 Para z2 vemos que el ´ngulo θ2 es a 1 2 1 tan(θ2 ) = √ 3 =√ (3.32) 2 3 π Luego el ´ngulo θ2 = a 6
- 44. 44 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS Entonces los complejos se pueden escribir como π π π z1 = cos + i sin = ei 4 (3.33) 4 4 π π π z2 = cos + i sin = ei 6 (3.34) 6 6 (b) Encontrar z1 z2 La forma polar es la mejor forma para ver la divisi´n, entonces o tenemos que π z1 ei 4 = iπ z2 e6 π π = ei( 4 − 6 ) 3π−2π = ei( 12 ) π = ei( 12 ) (3.35) (c) Calcular ( z1 )8 z2 Como ya calculamos z1 entonces obtenemos usando nuevamente z2 la forma polar lo siguiente 8 8 z1 π i 12 = e z2 π = ei8 12 2π = ei 3 (3.36)
- 45. ´ ´ 3.3. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 2, MATEMATICAS I 45 3.3 Soluci´n Prueba 2 forma 2, Matem´ticas I o a Gr´fico de f (x) = x2 − 6x + 8 a 80 70 60 50 40 Eje y 30 20 10 0 −10 −10 −5 0 5 10 15 Eje x Figura 3.2: Gr´fico de f (x) = x2 − 6x + 8 a 1. Sea f : R → R la funci´n cuadr´tica definida por f (x) = x2 − 6x + 8 o a (a) Determine el conjunto de im´genes de f (un gr´fico le ser´ de gran a a a utilidad). De el gr´fico vemos que las ra´ son a ıces f (x) = (x − 4)(x − 2) (3.37) y por lo tanto es f´cil ver que Im(f ) = {x ∈ R|x ∈ [−1, +∞)}. a (b) Es f inyectiva? Justifique su respuesta Es f´cil ver que f no es inyectiva pues f (2) = f (4) = 0, es decir, a dos elementos del dominio de f tienen la misma im´gen, lo cual a implica que no es inyectiva. (c) Encontrar el intervalo m´s grande I, de n´meros positivos, en que a u f es inyectiva. Igual que la respuesta anterior, una funci´n f es inyectiva en un o intervalo si f es creciente o decreciente en ese intervalo. Luego, el conjunto de n´meros positivos m´s grande es [3, ∞). u a
- 46. 46 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS (d) Calcule f −1 (x) para x ∈ J = f (I) La preim´gen de este conjunto son claramente todos los reales. a 2. Reolver 1 − cos(x) sin(x) = 0 (3.38) 2 El producto de dos n´meros natirales es igual a cero si cada uno de los u n´meros es igual a cero. Por lo tanto, tenemos que u 1 sin(x) = 0 o bien − cos(x) (3.39) 2 Para sin(x) = 0 el conjunto de soluciones en [−π, 5π] ser´ a x∈ − π, 0, π, 2π, 3π, 4π, 5π (3.40) 1 El conjunto de valores de cos(x) = 2 ser´ a 5π π 7π 13π 17π 23π 29π x∈ − , , , , , , (3.41) 6 6 6 6 6 6 6 √ √ √ 1 3 2 2 3. Dados los n´meros complejos z1 = u 2 +i 2 y z2 = 2 +i 2 (a) Escribir z1 y z2 en forma polar o trigonom´trica. e Para esto debemos ver los ´ngulos y m´dulos de estos complejos. a o √ 1 2 2 2 |z1 | = + 2 2 1 3 = + 4 4 4 = 4 √ = 1 |z1 | = 1 (3.42)
- 47. ´ ´ 3.3. SOLUCION PRUEBA 2 FORMA 2, MATEMATICAS I 47 √ √ 2 2 2 2 |z2 | = + 2 2 1 3 = + 4 4 √ = 1 |z2 | = 1 (3.43) Luego, los ´ngulos para estos complejos son a √ 3 2 θ1 = arctan 1 2 √ = arctan( 3) π θ1 = (3.44) 6 √ 2 2 θ2 = arctan √ 2 2 = arctan(1) π θ2 = (3.45) 4 Luego, las formas polares y complejas son: π π π z1 = cos + i sin = ei 6 (3.46) 6 6 π π π z2 = cos + i sin = ei 4 (3.47) 4 4 z1 (b) Calcular z2 , para ello utilizamos la forma polar π z1 ei 6 = iπ z2 e4 π π = ei( 6 − 4 ) 2π−3π = ei( 12 ) π = e−i( 12 ) (3.48)
- 48. 48 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS (c) Calculemos ahora ( z1 )8 z2 8 8 z1 π = e−i 12 z2 π = e−i8 12 2π = e−i 3 (3.49) 4. (a) Sea D la distancia que est´ el observador del punto de lanzamiento a del globo, entonces tenemos D sin(30) = ⇒ D = 300 sin(30) 300 √ 3 D = 300 2 √ D = 150 3 (3.50) (b) Para ver la altura del globo a los 2 minutos tenemos que D tan(60) = ¯ (3.51) H ¯ donde H es la altura desconocida. Luego √ ¯ = D 150 3 H = 1 = 150 · 3 = 450 (3.52) tan(60) 3 Ahora a esta altura debemos agregarle la altura de los ojos del observador que es 1, 6[m], por lo tanto la altura ser 451, 6[m].
- 49. ´ 3.4. SOLUCION PRUEBAGLOBAL -MATI 49 3.4 Soluci´n Prueba Global -MatI o 1. Calcular (a) 1 − cos x 1 − cos x 1 + cos(x) lim 2 = lim · x→0 x x→0 x2 1 + cos(x) 2 sin (x) 1 = lim 2 · x→0 x 1 + cos(x) 2 sin (x) 1 = lim · lim x→0 x2 x→0 1 + cos(x) 1 − cos x 1 1 lim 2 = 1· = (3.53) x→0 x 1+1 2 (b) 1 6−(x+5) −1 x+5 6 6(x+5) lim = lim x→1 x − 1 x→1 x−1 6−x−5 6(x+5) = lim x−1 x→1 −x + 1 = lim x→1 6(x + 5)(x − 1) −(x − 1) = lim x→1 6(x + 5)(x − 1) −1 −1 1 = lim = =− (3.54) x→1 6(x + 5) 6(1 + 5) 36 2. (a) Para calcular la derivada de esta funci´n debemos usar la regla de o la cadena, por lo que obtenemos f (x) = tan(5x2 cos(x)) = sec2 (5x2 cos(x)) · 5x2 cos(x) = sec2 (5x2 cos(x)) · 10x cos(x) + 5x2 (− sin(x)) f (x) = sec2 (5x2 cos(x)) · 10x cos(x) − 5x2 sin(x) (3.55)
- 50. 50 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS (b) Para encontrar la recta tangente que pasa por el punto x = 1 debemos primero derivar f (x) f (x) = 15x4 − 105x2 + 180 (3.56) A continuaci´n debemos evaluar f (x) y f (x) en x0 = 1 o y0 = f (x0 ) = 15 − 105 + 180 = 148 (3.57) m = f (x0 ) = 15 − 105 + 180 = 90 (3.58) Por lo tanto la recta tangente que pasa por x = 1 ser´ a y = y0 + m(x − x0 ) = 148 + 90(x − 1) = 90x + 58 (3.59) 3. (a) Para este ejercicio, debemos primero encontrar los puntos cr´ ıticos de f (x). Para ello debemos derivar e igualar a cero. f (x) = x4 − 7x2 + 12 (3.60) f (x) = 0 ⇒ x4 − 7x2 + 12 = 0 (x2 − 3)(x2 − 4) = 0 (3.61) ⇒ x2 − 3 = 0 ∧ x2 − 4 = 0 x2 = 3 x2 = 4 √ x=± 3 x = ±2 (3.62) Ahora, debemos saber si la funci´n es creciente o decreciente. Para o ello usaremos los puntos cr´ ıticos, viendo si la primera derivada es positiva o negativa. En el intervalo (−∞, −2] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente √ En el intervalo [−2, − 3] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente √ √ En el intervalo [− 3, 3] ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente √ En el intervalo [ 3, 2] ⇒ f (x) < 0 ⇒ f (x) es decreciente En el intervalo [2, ∞) ⇒ f (x) > 0 ⇒ f (x) es creciente
- 51. ´ 3.4. SOLUCION PRUEBAGLOBAL -MATI 51 Un gr´fico de la funci´n ser´ a o ıa: 5 3 Gr´fico de x − 7x + 12x a 5 3 150 100 50 Eje y 0 -50 -100 -150 -6 -4 -2 0 2 4 6 Eje x x5 7x3 Figura 3.3: Gr´fico de f (x) = a 5 − 3 + 12x (b) El unico valor para que f (x) = 0 es x = 0, los dem´s puntos que ´ a aparecen como soluciones son n´meros complejos. u 4. (a) Para este ejercicio debemos usar dos ecuaciones que nos relacionen el volumen de la figura y el ´rea. a Sabemos que el volumen de una caja cerrada de secci´n cuadrada o ser´: a V = yx2 (3.63) Adem´s de la condici´n de que el ´rea de la caja es 100 cm2 a o a obtenemos 2x2 + 4xy = 100 (3.64) De la ecuaci´n (3.64) despejando y obtenemos o 50 − x2 y= (3.65) 2x
- 52. 52 CAP´ ITULO 3. SOLUCIONES DE LAS PRUEBAS Reemplazando (3.65) en (3.63) obtenemos la expresi´n del Volu- o men V como funci´n de x o − x2 2 50 50x − x3 x3 V =x = = 25x − (3.66) x2 2 2 (b) Para encontrar las dimensiones de la caja de volumen m´ximoa debemos derivar la ecuaci´n (3.66) e igualarla a cero para encon- o trar alg´n m´ximo o m´ u a ınimo: 3x2 V (x) = 25 − 2 3x2 V (x) = 0 ⇒ 25 − =0 (3.67) 2 3x2 ⇒ = 25 2 50 x2 = 3 50 x = (3.68) 3 Reemplazando (3.68) en (3.65) obtenemos para y 50 50 − 3 50 y= = (3.69) 2 50 3 3
- 53. Cap´ ıtulo 4 Soluciones de las Gu´ ıas 53
- 54. 54 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4.1 Soluci´n Gu´ 1 o ıa 1. (a) Demostrar por inducci´n que 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 . Para o ello debemos ver si es v´lido para n = 1 a ? 2 · 1 − 1 = 12 √ 1 = 1 (4.1) Suponemos que es v´lido para n = k y demostremos entonces que a es v´lido para n = k + 1. a ? 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + 2(k + 1) − 1 = (k + 1)2 ? 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) +(2k + 1) = (k + 1)2 ? k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 √ (k + 1)2 = (k + 1)2 Por lo tanto hemos demostrado que 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 (b) Por demostrar que n(3n − 1) 1 + 4 + 7 + · · · + (3n − 2) = (4.2) 2 Veamos si es v´lida para n = 1 a ? 1(3 · 1 − 1) 1 = 2 ? 1·2 1 = 2 ? √ 1 = 1 (4.3) Ahora, supones que (4.2) es v´lida para n = k y demostraremos a que es v´lida para n = k + 1 a ? (k + 1)(3(k + 1) − 1) 1 + · · · + (3k − 2) +3(k + 1) − 2 = 2 k(3k − 1) ? (k + 1)(3k + 2) + (3k + 1) = 2 2 3k 2 − k + 6k + 2 ? (k + 1)(3k + 2) = 2 2 3k 2 + 5k + 2 ? (k + 1)(3k + 2) = 2 2
- 55. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 55 (k + 1)(3k + 2) ? (k + 1)(3k + 2) √ = 2 2 Por lo tanto hemos demostrado (4.2). (c) Por demostrar que 3n − 1 2 + 5 + 13 + · · · + (2n−1 + 3n−1 ) = 2n − 1 + (4.4) 2 Veamos que es v´lido para n = 1 a 1−1 1−1 ? 31 − 1 1 2 +3 2 −1+ = (4.5) 2 0 0 ? 3−1 2 +3 = 2−1+ 2 ? 2 = 1+1 √ 2 = 2 Suponemos que (4.4) es v´lida para n = k, demostraremos que es a v´lida para n = k + 1 a ? 3k+1 − 1 2 + · · · + 2k−1 + 3k−1 +2k + 3k = 2k+1 − 1 + 2 3k − 1 ? 3k+1 − 1 2k − 1 + + 2k + 3k = 2k+1 − 1 + 2 2 k k+1 3 1 ? 3 −1 2 · 2k + 3 − 1 − = 2k+1 − 1 + 2 2 2 3k+1 − 1 3k+1 − 1 2k+1 − 1 + = 2k+1 − 1 + 2 2√ Por lo tanto hemos demostrado (4.4). (d) Demostrar por inducci´n o n4 13 + 23 + · · · + (n − 1)3 < < 13 + 23 + · · · + n3 (4.6) 4 Veamos si es v´lida para n = 2 a 24 13 < 4 < 1 3 + 23 16 1< 4 <1+8 √ 1< 4 <9 (4.7)
- 56. 56 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS Suponemos que (4.6) es v´lida para n = k, esto es a k4 13 + 23 + · · · + (k − 1)3 < < 1 3 + 23 + · · · + k 3 (4.8) 4 Demostremos ahora que las desigualdades son v´lidas para n = a k + 1 , o sea (k + 1)4 13 +· · ·+(k −1)3 +k 3 < < 13 +· · ·+k +(k +1)3 (4.9) 4 Resolvamos partiendo por una de las desigualdades (la de la izquierda), esto es, probemos ? (k + 1)4 13 + 23 + · · · + (k − 1)3 + k 3 (4.10) < 4 k4 k 4 + 4k 3 13 + 23 + · · · + (k − 1)3 + k 3 < + k3 = (4.11) 4 4 Ahora bien (k + 1)4 k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1 = (4.12) 4 4 Es obvio entonces que k 4 + 4k 3 k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1 < (4.13) 4 4 ya que 6k 2 + 4k + 1 > 0 Por lo tanto hemos demostrado que k 4 + 4k 3 (k + 1)4 13 + 23 + · · · + (k − 1)3 + k 3 < < (4.14) 4 4 Demostremos a continuaci´n la segunda parte de la desigualdad o para n = k + 1 , esto es (k + 1)4 < 13 + 23 + · · · + k 3 + (k + 1)3 (4.15) 4 Entonces k4 + (k + 1)3 < 13 + · · · + k 3 + (k + 1)3 4 k4 + k 3 + 3k 2 + 3k + 1 < 13 + · · · + k 3 + (k + 1)3 4
- 57. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 57 k 4 + 4k 3 + 12k 2 + 12k + 4 < 13 + · · · + k 3 + (k + 1)3 4 k 4 + 4k 3 + 6k 2 + 4k + 1 + 4 6k 2 + 8k + 3 + < 13 + · · · + k 3 + (k + 1)3 4 (k + 1)4 + algo positivo < 13 + · · · + k 3 + (k + 1)3 4 (k + 1)4 < 13 + · · · + k 3 + (k + 1)3 4 (4.16) Por lo que hemos demostrado la segunda desigualdad y con ello demostramos (4.6) (e) Demostrar por inducci´n o n 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) = (n + 1)(n + 2) (4.17) 3 Verifiquemos si el v´lido para n = 1, a 1 ? 1·2 = (1 + 1)(1 + 2) 3 ? 1 2 = ·2·3 3 √ 2 = 2 (4.18) Supongamos que (4.17) es v´lida para n = k, esto es a k 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + k(k + 1) = (k + 1)(k + 2) (4.19) 3 Probemos a continuaci´n para n = k + 1, por lo que debemos o demostrar que 1 · 2 + · · · + k(k + 1) + ? k+1 +(k + 1)(k + 2) = (k + 2)(k + 3) 3 k ? k+1 (k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) = (k + 2)(k + 3) 3 3 k ? k+1 (k + 1)(k + 2) + 1 = (k + 2)(k + 3) 3 3
- 58. 58 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS k+3 k+1 (k + 1)(k + 2) = (k + 2)(k + 3) 3 3 √ (4.20) (f) Por demostrar que 1 − q n+1 1 + q + q2 + · · · + qn = ∀ q=1 (4.21) 1−q Veamos que es v´lida para n = 1 a 1 − q2 ? 1+q = 1−q ? (1 − q)(1 + q) 1+q = 1−q √ 1+q = 1+q Asumimos que (4.21) es v´lida para n = k, demostremos a con- a tinuaci´n que es v´lida para n = k + 1 o a ? 1 − q (k+1)+1 1 + q + q 2 + · · · + q k +q k+1 = (4.22) 1−q 1 − q k+1 ? 1 − q k+2 + q k+1 = 1−q 1−q 1 − q k+1 + (1 − q)q k+1 ? 1 − q k+2 = 1−q 1−q 1 − q k+2 1 − q k+2 √ = 1−q 1−q Por lo tanto hemos demostrado (4.21). (g) Demostrar por inducci´n que o 1−4+9−16+· · ·+(−1)n+1 n2 = (−1)n+1 (1+2+· · ·+n)(4.23) Veamos si es v´lido para n = 1, esto es a ? (−1)1+1 12 = (−1)1+1 (1) √ 1 = 1 (4.24) Suponemos que (4.23) es v´lido para n = k, esto es a 1 − 4 + · · · + (−1)k+1 k 2 = (−1)k+1 (1 + 2 + · · · + k )
- 59. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 59 k(k + 1) 1 − 4 + · · · + (−1)k+1 k 2 = (−1)k+1 (4.25) 2 Ahora demostraremos para n = k + 1, esto es 1 − 4 + · · · + (−1)k+1 k 2 + ? (k + 1)(k + 2) +(−1)k+2 (k + 1)2 = (−1)k+2 2 k(k + 1) (−1)k+1 + 2 ? (k + 1)(k + 2) +(−1)k+2 (k + 1)2 = (−1)k+2 2 k ? (−1)k+1 − (k + 1) = 2 −k − 2 ? (−1)k+1 (k + 1) = 2 (k + 1)(k + 2) (k + 1)(k + 2) √ (−1)k+2 = (−1)k+2 2 2 (4.26) (h) Demostrar por inducci´n que o 1 1 1 n + + ··· = (4.27) 1·2 2·3 n(n + 1) n+1 Verifiquemos para n = 1, esto es 1 ? 1 = 1·2 1+1 1 1 √ = (4.28) 2 2 Suponemos que es v´lido para n = k, esto es a 1 1 1 k + + ··· = (4.29) 1·2 2·3 k(k + 1) k+1 Demostremos a continuaci´n para n = k + 1, esto es o 1 1 1 1 k+1 + + ··· + = 1·2 2·3 n(n + 1) (k + 1)(k + 2) k+2 k 1 ? k+1 + = k+1 (k + 1)(k + 2) k+2
- 60. 60 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 1 1 ? k+1 k+ = k+1 k+2 k+2 2 1 k + 2k + 1 ? k + 1 · = k+1 k+2 k+2 2 1 (k + 1) ? k+1 · = k+1 k+2 k+2 k+1 k+1 √ = k+2 k+2 (i) Por demostrar que 1 1 1 n+1 1− 1− ··· 1 − 2 = (4.30) 4 9 n 2n Para n = 1 1 ? 1+1 1− = 1 2·1 ? 0 = 1 →← Veamos si es v´lido para n = 2 a 1 2+1 ? 1− = 4 4 3 3 √ = 4 4 Asumimos que (4.30) es v´lida para n = k y demostremos que es a v´lida para n = k + 1 a 1 1 1 ? (k + 1) + 1 1− ··· 1 − 2 1− = 4 k (k + 1)2 2(k + 1) k+1 1 ? k+2 1− 2 = 2k (k + 1) 2k + 2 2 k + 1 (k + 1) − 1 ? k+2 = 2k (k + 1)2 2k + 2 2 k + 2k + 1 − 1 ? k + 2 = 2k(k + 1) 2k + 2 k+2 k+2 √ = 2(k + 1) 2k + 2
- 61. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 61 Por lo tanto hemos demostrado (4.30). (j) Por demostrar que n2 + n es divisible por 2 Veamos si es v´lido para n = 1 a √ n2 + n = 1 2 + 1 = 2 (4.31) Suponemos que es v´lido para n = k y demostraremos para a n=k+1 Que sea v´lido para n = k significa que k 2 + k = 2α con a α: n´mero cualquiera u Debemos demostrar para n = k + 1 esto es que (k + 1)2 + (k + 1) = 2β β: n´mero cualquiera u ? (k + 1)2 + (k + 1) = 2β ? k 2 + 2k + 1 + k + 1 = 2β ? k 2 + k +2k + 2 = 2β ? 2α + 2k + 2 = 2β ? 2(α + k + 1) = 2β √ 2β = 2β Por lo tanto hemos demostrado que n2 + n es divisible por 2. (k) Por demostrar que (a + b)n = a + bn ˙ a multiplo de a ˙ (4.32) √ Verifiquemos para n = 1, esto es, ⇒ (a + b)1 = a + b = a + b ˙ Lo cual se cumple. Suponemos v´lido para n = k, esto significa que (a + b)k = a + bk a ˙ Demostremos para n = k + 1 (a + b)k+1 = (a + b)k (a + b) (4.33) = (a + bk )(a + b) ˙ (4.34) k k+1 = (aa + ab + ab + b ˙ ˙ Como a es multiplo de a ⇒ ˙ a = αa ˙ = αa2 + αab + abk + bk+1
- 62. 62 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS = a(αa + αb + bk ) + bk+1 entero k+1 = a+b ˙ (4.35) Por lo tanto queda demostrado (4.32). (l) Por demostrar que n3 + 2n es divisible por 3 Verifiquemos que es v´lido para n = 1 a 13 + 2 · 1 = 1 + 2 = 3 · 1 (4.36) Por lo tanto es divisible por 3. Supongamos la divisibilidad para n = k. O sea, debemos probar que k 3 + 2k es divisible por 3, esto es que k 3 + 2k = 3α α : entero cualquiera (4.37) Por demostrar para n = k + 1, o sea ver que (k + 1)3 + 2(k + 1) = 3β β : entero cualquiera (4.38) sea divisible por 3 (k + 1)3 + 2(k + 1) = (k + 1)3 + 2k + 2 = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 + 2k + 2 = k 3 + 2k +3k 2 + 3k + 3 = 3α + 3k 2 + 3k + 3 = 3 (α + k 2 + k + 1) (4.39) β Por lo tanto n3 + 2n es divisible por 3 (m) Por demostrar que n5 − n es divisible por 5 (4.40) Verifiquemos que es v´lido para n = 1, tenemos que a 15 − 1 = 0 no es divisible por 5 (4.41) Veamos ahora para n = 2,esto es 25 − 2 = 32 − 2 = 30 = 5 · 6 divisible por 5 (4.42)
- 63. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 63 Supongamos la divisibilidad para n = k, o sea, k 5 − k es divisible por 5. Esto lo podemos expresar como k 5 − k = 5α α : entero cualquiera (4.43) Demostremos la divisibilidad por 5 para n = k + 1, esto es (k + 1)5 − (k + 1) = 5β β : entero cualquiera (4.44) (k + 1)5 − (k + 1) = (k + 1)5 − k − 1 = k 5 + 5k 4 + 10k 3 + 10k 2 + 5k − k = k 5 − k +5k 4 + 10k 3 + 10k 2 + 5k = 5α + 5(k 4 + 2k 3 + 2k 2 + k) = 5(α + k 4 + 2k 3 + 2k 2 + k ) (4.45) β Por lo tanto hemos demostrado (4.40). (n) Por demostrar que 32n+2 − 2n+1 divisible por 7 (4.46) Verifiquemos que es v´lido para n = 1 a 32+2 − 21+1 = 34 − 22 = 81 − 4 = 77 = 7 · 11 (4.47) Que es divisible por 7. Suponemos que es v´lido para n = k, esto es a 32k+2 − 2k+1 = 7α α : entero cualquiera (4.48) Demostremos para n = k + 1, eso es 32(k+1)+2 − 2(k+1)+1 = 7β β : entero cualquiera 32k+4 − 2k+2 = 7β (4.49) De (4.48) tenemos que 32k+2 − 2k+1 = 7α 32k+2 − 2k · 2 = 7α 32k+2 − 7α 32k+2 − 7α = 2k · 2 ⇒ 2k = (4.50) 2
- 64. 64 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS En (4.49) reemplazamos (4.50) y obtenemos 32k+2 − 7α 32k+4 − 2k · 22 = 32k+4 − 22 2 2k+4 2k+2 = 3 −2·3 − 2 · 7α = 3 · 3 − 2 · 3 · 32 − 2α7 2k 4 2k = 32k (34 − 2 · 32 ) − 2 · 7α = 32k (81 − 18) − 2 · 7α = 32k (56) − 2 · 7α = 32k (7 · 9) − 2 · 7α = 7(32k · 32 − 2α) β Por lo tanto hemos demostrado (4.46). (o) Por demostrar que xn − 1 divisible por x − 1 (4.51) Veamos que es v´lido para n = 1 a √ x1 − 1 es divisible por x − 1 (4.52) Suponemos v´lido para n = k lo que implica a xk − 1 = α(x − 1) (4.53) xk − 1 = x−1 α xk − 1 +1 = x (4.54) α Demostremos para n = k + 1 xk+1 − 1 = xk · x − 1 xk − 1 = xk +1 −1 α x2k − xk + αxk − α = α x2k + (α − 1)xk − α = α
- 65. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 65 (xk + α)(xk − 1) = α (xk + α) · α(x − 1) = = (x − 1)(xk + α) (4.55) α (p) Demostrar que x2n − 1 es divisible por x + 1 (4.56) Veamos que (4.56) sea v´lido para n = 1, obtenemos que a x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) es divisible por x + 1 (4.57) Suponemos que (4.56) es v´lida para n = k, esto es a x2k − 1 = (x + 1)α (4.58) Demostremos que (4.56) es v´lido para n = k + 1, eso es equiva- a lente a demostrar que x2(k+1) − 1 = (x + 1)β (4.59) x2(k+1) − 1 = x2k+2 − 1 = x2k x2 − 1 = (x2k − 1)x2 − 1 + x2 = (x2k − 1)x2 + (x + 1)(x − 1) = ((x + 1)α)x2 + (x + 1)(x − 1) = (x + 1) (αx2 + x − 1) (4.60) β 2. (a) Demostremos que Sk ⇒ Sk+1 k2 + k − 6 Sk : 1 + 2 + ··· + k = 2 ? (k + 1)2 + (k + 1) − 6 Sk+1 : 1 + 2 + · · · + (k + 1) = 2 k2 + k − 6 ? 2 k + 2k + 1 + k + 1 − 6 + (k + 1) = 2 2 k 2 + k − 6 + 2k + 2 ? k 2 + 3k − 4 = 2 2 k 2 + 3k − 4 k 2 + 3k − 4 √ = 2 2
- 66. 66 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS (b) Demostrar que Sn no es v´lida ∀n ∈ N a n2 + n − 6 1 + 2 + ··· + n = (4.61) 2 Por las propiedades de las sumatorias vista en clases sabemos que n n(n + 1) i= (4.62) i=1 2 Por lo tanto reemplazando (4.62) en (4.61) obtenemos n2 + n ? n2 + n − 6 →← (4.63) 2 = 2 Por lo tanto Sn no es v´lido ∀n ∈ N a 3. Deduzcamos una ley general 1 1 1 1 1 1− 1− 1− ··· 1 − = (4.64) 2 3 4 1+n 1+n Ahora demostremosla por inducci´n: o Veamos si es v´lida para n = 1 a 1 ? 1 √ 1− (4.65) 2 = 2 Suponemos que es v´lida para n = k y demostraremos que tambi´n lo a e es para n = k + 1 Para n = k + 1 tenemos que 1 1 1 ? 1 1− ··· 1 − 1− = 2 1+k 1 + (k + 1) 1 + (k + 1) 1 1 ? 1 1− = 1+k 2+k 2+k 1 k+1 ? 1 = 1+k 2+k 2+k 1 ? 1 √ = 2+k 2+k Por lo tanto hemos demostrado (4.64).
- 67. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 67 4. (a) Usemos la sugerencia n (i2 − (i + 1)2 ) = 1 − 22 + · · · + n2 − (n + 1)2 i=1 n (i2 − (i2 + 2i + 1)) = 1 − (n + 1)2 i=1 n −(2i + 1) = 1 − (n + 1)2 i=1 n − (2i + 1) = 1 − (n + 1)2 i=1 n n −2 i− 1 = 1 − (n + 1)2 i=1 i=1 n 2 i + n = (n + 1)2 − 1 i=1 n 2 i = (n + 1)2 − 1 − n i=1 n 2 i = n2 + 2n + 1 − 1 − n i=1 n 2 i = n2 + n i=1 n n(n + 1) i = (4.66) i=1 2 (b) Para este ejercicio tambi´n usaremos la sugerencia e n i3 − (i + 1)3 = 13 − (n + 1)3 i=1 n n i3 − (i + 1)3 = 1 − (n + 1)3 i=1 i=1 n n n 2 − 3i − 3i − 1 = 1 − (n + 1)3 i=1 i=1 i=1 n n n 3 i2 + 3 i+ 1 = (n + 1)3 − 1 i=1 i=1 i=1
- 68. 68 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS n n n 3 i2 = (n + 1)3 − 1 − 3 i− 1 i=1 i=1 i=1 n 3n(n + 1) 3 i2 = (n + 1)3 − 1 − −n i=1 2 n 3 i2 = (n + 1)3 − (n + 1) i=1 3n(n + 1) − 2 n 3n 3 i2 = (n + 1) (n + 1)2 − 1 − i=1 2 n 3n 3 i2 = (n + 1) n2 + 2n − i=1 2 n 3 3 i2 = n(n + 1) n + 2 − i=1 2 n 1 3 i2 = n(n + 1) n + i=1 2 n n(n + 1) 3 i2 = 2n + 1 i=1 2 n n(n + 1)(2n + 1) i2 = (4.67) i=1 6 Por lo tanto hemos demostrado lo que se nos pidi´. o El c´lculo de a i3 , i4 , i5 , quedan como ejercicios propuestos. 5. Calcular y probar por inducci´n o n 1 1 (a) − (4.68) i=1 i + 1 i Primero, calculemos esta suma. Para ello, vemos que la suma es una suma telesc´pica y por lo tanto obtenemos o n 1 1 1 1 1 − = −1 + − + ··· + i=1 i+1 i 2 3 2 1 1 1 1 + − + − n n−1 n+1 n
- 69. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 69 1 = −1 + n+1 1 − (n + 1) = n+1 n 1 1 −n − = (4.69) i=1 i+1 i n+1 Ahora, probemos (4.69) por inducci´n o Primero veamos si es v´lida para n = 1 a 1 1 ? −1 − = 1+1 1 1+1 1 ? 1 −1 = − 2 2 1 ? 1 √ − = − (4.70) 2 2 Ahora, suponemos que (4.69) es v´lida para n = k y demostramos a para n = k + 1 k+1 1 1 ? −(k + 1) − = i=1 i+1 i (k + 1) + 1 k 1 1 − + i=1 i+1 i 1 1 ? −(k + 1) − = (k + 1) + 1 k + 1 (k + 1) + 1 k 1 1 ? −(k + 1) − + − = k+1 k+2 k+1 k+2 1 −k − 1 ? −(k + 1) + = k+2 k+1 k+2 1 k+1 ? −(k + 1) − = k+2 k+1 k+2 1 ? −(k + 1) −1 = k+2 k+2
- 70. 70 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 1 − (k + 2) ? −(k + 1) = k+2 k+2 −(k + 1) ? −(k + 1) √ = (4.71) k+2 k+2 Por lo tanto hemos demostrado por inducci´n (4.69). o n 1 1 (b) − (4.72) i=1 i + 2 i Primero, calculemos esta suma. Para ello, vemos que la suma es una suma telesc´pica y por lo tanto obtenemos o n n 1 1 1 1 − = − + i=1 i+2 i i=1 i+2 i+1 n 1 1 + − i=1 i+1 i n 1 1 n = − +− i=1 i+2 i+1 n+1 1 1 = − + ··· 3 2 1 1 n ··· + − − n+2 n+1 n+1 1 1 n = − + − 2 n+2 n+1 −(n + 2) + 2 n = − 2(n + 2) n+1 n n = − − 2(n + 2) n + 1 n(n + 1) + n(n + 2) = − 2(n + 1)(n + 2) 2n2 + 3n = − (4.73) 2(n + 1)(n + 2)
- 71. 4.1. SOLUCION GU´1 ´ IA 71 La demostraci´n por inducci´n se deja propuesta. Se debe seguir o o el mismo procedimieto que en la parte a).
- 72. 72 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4.2 Soluci´n Gu´ 2 o ıa 1. Probemos que (n + 2)! = n2 + 3n + 2 (4.74) n! Para ello debemos calcular (n + 2)! (n + 2)(n + 1)n! = n! n! = (n + 1)(n + 2) = n2 + 3n + 2 (4.75) Por lo tanto hemos probado (4.74). 2. Calcular 4! + 7! = 4·3·2·1+7·6·5·4·3·2·1 = 12 · 2 + 42 · 20 · 6 = 24 + 42 · 120 = 24 + 5040 4! + 7! = 5064 (4.76) (4 + 7)! = 11! = 11 · 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 110 · 72 · 42 · 20 · 6 = 7920 · 5040 (4 + 7)! = 39916800 (4.77) 3. Calcular (a) 9 9 9! 9! + = + 4 3 5!4! 6!3! 9·8·7·6 9·8·7 = + 4·3·2 3·2 = 3 · 7 · 6 + 7 · 4 · 3 = 126 + 84 9 9 + = 210 (4.78) 4 3
- 73. 4.2. SOLUCION GU´2 ´ IA 73 (b) 50 49 50! 49! − = − 10 9 40!10! 40!9! 49! 50 = −1 40!9! 10 49! 50 − 10 = 40!9! 10 49! 40 = 40!9! 10 = 2054455634 · 4 = 8217822536 (4.79) 4. Demostar que para todo n natural n n n n − + + · · · + (−1)n =0 (4.80) 0 1 2 n Demostraci´n o n n n n n n − + + · · · + (−1)n = (−1)i 0 1 2 n i=0 i n n = (−1)i · 1i−n i=0 i Por Binomio de Newton = ((−1) + 1)n = 0n = 0 (4.81) 5. Encontrar el desarrollo de (1 + x)n para todo x ≥ −1 Para este ejercicio usaremos el teorema del Binomio de Newton, por lo tanto tenemos que n n n−i i (1 + x)n = 1 x i=0 i n n n 2 n n = + x+ x + ··· + x (4.82) 0 1 2 n
- 74. 74 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 6. Calcule y simplifique 1 3 (a) (2x3 + x2 ) 1 3 3 1 0 3 1 1 2x3 + = (2x3 )3 2 + (2x3 )2 2 + x2 0 x 1 x 3 1 2 3 1 3 + (2x3 )1 2 + (2x3 )0 2 2 x 3 x 1 1 1 = 1 · 8x9 + 3 · 4x6 · 2 + 3 · 2x3 · 4 + 1 · 6 x x x 1 3 1 1 2x3 + = 8x9 + 12x4 + 6 + 6 (4.83) x2 x x 1 2 (b) (y 4 − y5 ) 0 1 2 2 1 2 1 (y 4 − ) = (y 4 )2 − 5 (y 4 ) 5 + y5 0 y 1 y 2 2 1 + (y 4 )0 5 2 y 1 1 = y 8 − 2y 4 5 + 10 y y 1 1 = y 8 − 2 + 10 (4.84) y y (c) (2a + 5b)8 8 8 (2a + 5b)8 = (2a)8 (5b)0 + (2a)7 (5b)1 + 0 1 8 8 + (2a)6 (5b)2 + (2a)5 (5b)3 + 2 3 8 8 + (2a)4 (5b)4 + (2a)3 (5b)5 + 4 5 8 8 + (2a)2 (5b)6 + (2a)1 (5b)7 + 6 7
- 75. 4.2. SOLUCION GU´2 ´ IA 75 8 + (2a)0 (5b)8 8 = 256a8 + 8 · 128a7 · 5b + 28 · 64a6 · 25b2 + +56 · 32a5 · 125b3 + 70 · 16a4 · 625b4 + +56 · 8a3 · 3125b5 + 28 · 4a2 · 15625b6 + +8 · 2a · 78125b7 + 390625b8 = 256a8 + 5120a7 b + 44800a6 b2 + 224000a5 b3 +700000a4 b4 + 1400000a3 b5 +1750000a2 b6 + 1250000ab7 + 390625b8 1 (d) (3a − a )5 5 0 1 1 5 1 5 1 3a − = (3a)5 − (3a)4 + a 0 a 1 a 2 3 5 1 5 1 + (3a)3 − (3a)2 + 2 a 3 a 4 5 5 1 5 1 + (3a)1 − (3a)0 4 a 5 a 1 = 243a5 − 5 · 81a3 + 10 · 27a − 10 · 9 + a 1 1 +5 · 3 3 − 5 a a 1 1 1 = 243a5 − 405a3 + 270a − 90 + 15 3 − 5 a a a 7. Sea x > 1, porbar que (1 + x)n ≥ 1 + nx para todo n natural. Demostraremos esta desigualdad por inducci´n sobre n. o Para n = 1 tenemos que √ (1 + x)1 ≥ 1 + x (4.85) Suponemos v´lido para n = k, esto es a (1 + x)k ≥ 1 + kx (4.86)
- 76. 76 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS Demostremos a continuaci´n para n = k + 1, esto es demostremos que o (1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x (4.87) Demostraci´n o (1 + x)k+1 = (1 + x)k (1 + x) = (1 + kx)(1 + x) = 1 + kx + x + kx2 = 1 + (k + 1)x + k 2 Pero kx2 ≥ 0 = 1 + (k + 1)x + k 2 > 1 + (k + 1)x (4.88) Por lo tanto probamos que (1 + x)n ≥ 1 + nx (4.89) 8. Sean p y q n´meros racionales, con q > 0 y n natural. Probar u √ √ (a) (p + q)n = a + b q a,b racionales (4.90) Demostraremos esto de dos formas distintas Primero, usando Binomio de Newton n √ √ (p + q)n = pn−k ( q)k k=0 n n n−1 √ 1 n n−2 √ 2 = p+ p ( q) + p ( q) + 0 1 2 n n−3 √ 3 n √ n + p ( q) + · · · + ( q) 3 n n n n n−2 √ 2 = p + p ( q) + · · · + 0 2 a n n√ n n−3 √ 3 + p q+ p ( q) + · · · 1 3 n n√ n n−3 2 √ = a+ p q+ p q q + ··· 1 3
- 77. 4.2. SOLUCION GU´2 ´ IA 77 Observaci´n, como o √ √ √ √ ( q)2j+1 = ( q)2j q = q j q (4.91) y q j es un n´mero racional tenemos entonces que u √ n n√ n n−3 2 √ (p + q)n = a + p q+ p q q + ··· 1 3 √ n n n n−3 2 = a+ q p + p q + ··· 1 3 b √ = a+b q con a,b racionales (4.92) La segunda forma es utilizando inducci´n sobre n o Para ello primero debemos verificar para n = 1, o sea, √ √ (p + q)1 = p + q (4.93) Entonces si a = p y b = 1 se cumple la igualdad. Suponemos v´lido para n = k, esto es, suponemos que a √ √ (p + q)k = a + b q (4.94) es v´lido para a, b ∈ Q. a Demostremos para n = k + 1, o sea, demostremos que √ √ (p + q)k+1 = c + d q (4.95) con c, d ∈ Q, entonces tenemos √ √ √ (p + q)k+1 = (p + q)k (p + q) √ √ = (a + b q)(p + q) √ √ √ = ap + a q + bp q + b( q)2 √ = ap + (a + bp) q + bq √ = ap + bq + (a + bp) q c d √ = c+d q (4.96)
- 78. 78 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS √ √ (b) (p − q)n = a − b q (4.97) Esta igualdad la demostraremos unicamente por inducci´n sobre o n. Para ello primero debemos verificar para n = 1, esto es √ √ (p − q)1 = p − q (4.98) si a = p y b = 1 se cumple la igualdad. Suponemos v´lido para n = k, esto es, suponemos que a √ √ (p − q)k = a − b q (4.99) es v´lido para a, b ∈ Q. a Demostremos para n = k + 1, o sea, demostremos que √ √ (p − q)k+1 = c − d q (4.100) con c, d ∈ Q, entonces tenemos √ √ √ (p − q)k+1 = (p − q)k (p − q) √ √ = (a − b q)(p − q) √ √ √ = ap − a q − bp q + b( q)2 √ = ap − (a + bp) q + bq √ = (ap + bq) − (a + bp) q c d √ = c+d q (4.101) La otra forma de demostrarlo se deja como ejercicio propuesto. 9. Calcular i=n n (a) = 2n i=0 i i=n i=n n n n−i i = 1 ·1 i=0 i i=0 i = (1 + 1)n = 2n (4.102)
- 79. 4.2. SOLUCION GU´2 ´ IA 79 i=n n (b) i = n2n−1 i=0 i Una posible forma de calcular es n2n−1 = n(1 + 1)n−1 n−1 n−1 = n k=0 k n−1 (n − 1)! = n k=0 k!(n − 1 − k)! n−1 n! = k=0 k!(n − (k + 1))! n−1 n! = (k + 1) k=0 (k + 1)!(n − (k + 1))! n−1 n = (k + 1) Si i = k + 1 k=0 k+1 n n = i i=1 i n n n2n−1 = i (4.103) i=0 i 10. Calcular l=n k=l (a) 2k l=0 k=0 Para calcular esto, debemos darnos cuenta que debemos usar la suma de una serie geom´trica. e Tenemos entonces que l=n k=l l=n 2l+1 − 1 2k = l=0 k=0 l=0 2−1 l=n l=n = 2l+1 − 1 l=0 l=0 l=n = 2 2l − (n + 1) l=0
- 80. 80 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 2n+1 − 1 = 2 − (n + 1) 2−1 = 2n+2 − 2 − n − 1 = 2n+2 − n − 3 (4.104) n=p l=n k=l (b) 2k n=0 l=0 k=0 Debemos usar el resultado del ejercicio anterior, por lo tanto ten- emos que l=n k=l 2k = 2n+2 − n − 3 (4.105) l=0 k=0 Reemplazando esto en la suma que queremos calcular obtenemos n=p l=n k=l n=p k 2 = 2n+2 − n − 3 n=0 l=0 k=0 n=0 n=p n=p n=p 2 n = 2 2 − n−3 1 n=0 n=0 n=0 p+1 2− 1 p(p + 1) = 22 − − 3(p + 1) 2−1 2 p = 2p+2 − 4 − (p + 1) + 3 2 (p + 1)(p + 6) = 2p+2 − 4 (4.106) 2 n=m i=n (c) i n=1 i=1 Por la suma de una serie aritm´tica tenemos que e n=m i=n n=m n(n + 1) i = n=1 i=1 n=1 2 n=m n2 n = + n=1 2 2 n=m 1 1 n=m = n2 + n 2 n=1 2 n=1
- 81. 4.2. SOLUCION GU´2 ´ IA 81 1 m(m + 1)(2m + 1) 1 m(m + 1) = + 2 6 2 2 m(m + 1)(2m + 1) m(m + 1) = + (4.107) 12 4 n 11. (a) 1 + 6 + 36 + 216 + 1296 + · · · = 6i (4.108) i=1 (b) 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 3 + 4 + ··· = n · 1 + (n − 1) · 2 + · · · + 1 · n n = (n − k + 1)k (4.109) k=1
- 82. 82 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4.3 Soluci´n Gu´ 3 o ıa 1. Demostrar que (a) Si a > 0 ⇒ a−1 > 0 Para ello sea a > 0 eso implica que a2 > 0 entonces tenemos que a > 0 / : a2 −1 a > 0 (4.110) (b) Si a < 0 ⇒ a−1 > 0 Para este caso a < 0 pero a2 > 0, lo que implica que a < 0 / : a2 −1 a < 0 (4.111) 2. Demostrar que ab > 0 ⇔ (a > 0 y b > 0) ´ (a < 0 y b < 0). o Para esto veamos todos los casos posibles Si a > 0 y b > 0 ⇒ ab > 0 Si a > 0 y b < 0 ⇒ ab < 0 Si a < 0 y b > 0 ⇒ ab < 0 Si a < 0 y b < 0 ⇒ ab > 0 Por lo tanto hemos demostrado lo que se ped´ ıa. 3. a ∈ R, a = 0 ⇒ a2 > 0 Sea a > 0 ⇒ a2 > 0 Ademas si a < 0 ⇒ a2 > 0 Por lo tanto para cualquier a distinto de 0 tenemos lo que se ped´ ıa. 4. Sea a < b. Entonces a < b /+a a < b /+b 2a < a + b / : 2 a + b < 2b / : 2 a+b a+b a < (4.112) < b (4.113) 2 2
- 83. 4.3. SOLUCION GU´3 ´ IA 83 Por lo tanto obtenemos de las dos desigualdades que a+b a< <b (4.114) 2 5. (a) Si 0 ≤ a ≤ b y 0 ≤ x ≤ y ⇒ ax ≤ by Entonces 0≤x ≤ y 0 ≤ ax ≤ ay ≤ by (4.115) (b) Si 0 < a < b ⇒ b−1 < a−1 0<a < b a 0< < 1 b 1 1 0< < Pues a−1 , b−1 > 0 (4.116) b a 1 (c) Si x > 0 ⇒x+ x ≥2 Como (x − 1)2 ≥ 0 x2 − 2x + 1 ≥ 0 x2 + 1 ≥ 2x x2 1 + ≥ 2 x x 1 x+ ≥ 2 (4.117) x 6. (a) Probar que a b + ≥2 (4.118) b a Sean a, b reales positivos entonces (a − b)2 ≥ 0 a2 − 2ab + b2 ≥ 0 a2 + b2 ≥ 2ab
- 84. 84 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS a 2 + b2 ≥ 2 ab a b + ≥ 2 (4.119) b a (b) Demostrar 1 1 + (a + b) ≥ 4 (4.120) a b 1 1 + (a + b) ≥ 4 b a a+b (a + b) ≥ 4 ab (a + b)(a + b) ≥ 4ab (a + b)2 ≥ 4ab a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab a2 − 2ab + b2 ≥ 0 (a − b)2 ≥ 0 (4.121) Demostracion (a − b)2 ≥ 0 a2 − 2ab + b2 ≥ 0 a2 + 2ab + b2 ≥ 4ab (a + b)2 ≥ 4ab (a + b)(a + b) ≥ 4ab a+b (a + b) ≥ 4 ab 1 1 + (a + b) ≥ 4 (4.122) b a (c) Demostrar 1 a+b=1 ⇒ a2 + b2 ≥ (4.123) 2
- 85. 4.3. SOLUCION GU´3 ´ IA 85 Demostracion (a − b)2 ≥ 0 a2 − 2ab + b2 ≥ 0 a2 + b2 ≥ 2ab 2a2 + 2b2 ≥ a2 + 2ab + b2 2(a2 + b2 ) ≥ a2 + 2ab + b2 a2 + 2ab + b2 a2 + b2 ≥ 2 (a + b)2 1 a2 + b2 ≥ = Ya que a + b = 1 (4.124) 2 2 7. Resolver las siguientes desigualdades (a) x2 + x > 2 x2 + x > 2 x2 + x − 2 > 0 (x + 2)(x − 1) > 0 (4.125) Los puntos cr´ ıticos de esta desigualdad son x = 1 y x = −2 . Por lo tanto Si x < −2 (x + 2) (x − 1) > 0 − − Si −2 < x < 1 (x + 2) (x − 1) < 0 + − Si x > 1 (x + 2) (x − 1) > 0 + + Por lo tanto el conjunto de soluciones es S = (−∞, −2) ∪ (1, ∞)
- 86. 86 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 2x+1 (b) x+2 <1 2x + 1 < 1 x+2 2x + 1 −1 < 0 x+2 2x + 1 − (x + 2) < 0 x+2 2x + 1 − x − 2 < 0 x+2 x−1 < 0 (4.126) x+2 Los puntos cr´ ıticos de esta desigualdad son x = 1 y x = −2 Si x < −2 − x−1 >0 x+2 − Si −2 < x < 1 − x−1 <0 x+2 + Si x > 1 + x−1 >0 x+2 + (c) (x + 1)(x − 2) > 0 Los puntos cr´ıticos de esta desigualdad son x = −1 y x = 2 . Por lo tanto Si x < −1 (x + 1) (x − 2) > 0 − −
- 87. 4.3. SOLUCION GU´3 ´ IA 87 Si −1 < x < 2 (x + 1) (x − 2) < 0 + − Si x > 2 (x + 2) (x − 1) > 0 + + Por lo tanto el conjunto de soluciones es S = (−∞, −1) ∪ (2, ∞) (d) (3x − 8)(3x + 8) < 0 8 Los puntos cr´ ıticos de esta desigualdad son x = 3 y x = −8 . 3 Por lo tanto Si x < − 8 3 (3x + 8) (3x − 8) > 0 − − Si − 8 < x < 3 8 3 (3x + 8) (3x − 8) < 0 + − 8 Si x > 3 (3x + 8) (3x − 8) > 0 + + Por lo tanto el conjunto de soluciones es 8 8 S= − , 3 3 (e) 4x + 1 < 2x 4x + 1 < 2x 2x + 1 < 0 2x < −1 1 x < − (4.127) 2
- 88. 88 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS (f) x2 + 2x ≤ 3 x2 + 2x ≤ 3 x2 + 2x − 3 ≤ 0 (x + 3)(x − 1) ≤ 0 (4.128) Los puntos cr´ ıticos de esta desigualdad son x = −3 y x = 1 . Por lo tanto Si x ≤ −3 (x + 3) (x − 1) ≥ 0 − − Si −3 ≤ x ≤ 1 (x + 3) (x − 1) ≤ 0 + − Si x ≥ 1 (x + 3) (x − 1) ≥ 0 + + Por lo tanto el conjunto de soluciones es S = (−3, 1) (g) −3 < 2x + 5 < 7 −3 < 2x + 5 < 7 −8 < 2x <2 −4 < x <1 (4.129) 2 (h) 7−3x ≤ −5 2 ≤ −5 7 − 3x 2 +5 ≤ 0 7 − 3x 2 + 5(7 − 3x) ≤ 0 7 − 3x 2 + 35 − 15x ≤ 0 7 − 3x 37 − 15x ≤ 0 (4.130) 7 − 3x
- 89. 4.3. SOLUCION GU´3 ´ IA 89 Calculemos los puntos cr´ ıticos 37 − 15x = 0 7 − 3x = 0 15x = 37 3x = 7 37 7 x = (4.131) x = (4.132) 15 3 7 Si x ≤ 3 + 37 − 15x ≥0 7 − 3x + 7 37 Si 3 ≤x≤ 15 + 37 − 15x ≤0 7 − 3x − 37 Si x ≥ 15 − 37 − 15x ≥0 7 − 3x − Por lo tanto el conjunto de soluciones es 7 37 S= , 3 15 1 (i) 2x+1 >3 1 > 3 2x + 1 1 −3 > 0 2x + 1 1 − 3(2x + 1) > 0 2x + 1
- 90. 90 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS −6x + 1 − 3 > 0 2x + 1 −6x − 2 > 0 (4.133) 2x + 1 Calculemos los puntos cr´ ıticos −6x − 2 = 0 2x + 1 = 0 6x = −2 2x = −1 1 1 x = − (4.134) x = − (4.135) 3 2 1 Si x < − 2 + −6x − 2 <0 2x + 1 − Si − 1 < x < − 1 2 3 + −6x − 2 >0 2x + 1 + 1 Si x > − 3 − −6x − 2 <0 2x + 1 + Por lo tanto el conjunto de soluciones es 1 1 S = − ,− 2 3 (j) x2 − 2x − 8 > 0 x2 − 2x − 8 > 0 (x − 4)(x + 2) > 0 (4.136)
- 91. 4.3. SOLUCION GU´3 ´ IA 91 Los puntos cr´ ıticos de esta desigualdad son x = −2 y x = 4 . Por lo tanto Si x < −2 (x + 2) (x − 4) > 0 − − Si −2 < x < 4 (x + 2) (x − 4) < 0 + − Si x > 4 (x + 2) (x − 4) > 0 + + Por lo tanto el conjunto de soluciones es S = (−∞, −2) ∪ (4, ∞) (k) (x + 2)(x − 3)(x + 5) Los puntos cr´ ıticos son x = −2 , x = 3 y x = −5 Si x < −5 (x + 2) (x − 3) (x + 5) < 0 − − − Si −5 < x < −2 (x + 2) (x − 3) (x + 5) > 0 − − + Si −2 < x < 3 (x + 2) (x − 3) (x + 5) < 0 + − + Si x > 3 (x + 2) (x − 4) (x − 4) > 0 + + + Por lo tanto el conjunto de soluciones es S = (−5, −2) ∪ (3, ∞)
- 92. 92 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS (x−1)(x+2) (l) x−2 >0 Los puntos cr´ ıticos son x = −2 , x = 1 y x = 2 Si x < −2 − − (x − 1) (x + 2) <0 (x − 2) − Si −2 < x < 1 − + (x − 1) (x + 2) >0 (x − 2) − Si 1 < x < 2 + + (x − 1) (x + 2) <0 (x − 2) − Si x > 2 + + (x − 1) (x + 2) >0 (x − 2) + Por lo tanto el conjunto de soluciones es S = (−2, 1) ∪ (2, ∞) x+2 (m) 1 − x−3 >6 x+2 1− > 6 x−3 x+2 1−6− > 0 x−3 x+2 −5 − > 0 x−3 −5(x − 3) − (x + 2) > 0 x−3
- 93. 4.3. SOLUCION GU´3 ´ IA 93 −5x + 15 − x − 2 > 0 x−3 −6x + 13 > 0 (4.137) x−3 13 Los puntos cr´ ıticos ser´n entonces x = 3 y x = a 6 13 Si x < 6 + −6x + 13 <0 x−3 − 13 Si 6 <x<3 − −6x + 13 >0 x−3 − Si x > 3 − −6x + 13 <0 x−3 + Por lo tanto el conjunto de soluciones es 13 S= ,3 6 8. Resolver las siguientes desigualdades (a) |2x + 3| ≤ 6 |2x + 3| ≤ 6 −6 ≤ 2x + 3 ≤ 6 −9 ≤ 2x ≤3 9 3 − ≤ x ≤ (4.138) 2 2
- 94. 94 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS (b) |3 − 2x| < 5 |3 − 2x| <5 −5 < 3 − 2x <5 −8 < −2x <2 −4 < −x <1 4> x > −1 (4.139) (c) |x2 − 1| ≤ 3 −3 ≤ x2 − 1 ≤ 3 −2 ≤ x2 ≤4 No podemos calcular ra´ de un negativo ız 0≤ x ≤ ±2 (4.140) (d) |x + 7| > 4 |x + 7| > 4 −4 > x + 7 > 4 −11 > x > −3 (4.141) (e) |x + 2| + |x − 3| > 12 (4.142) Primero debemos encontrar los puntos cr´ ıticos de (4.142) x+2 = 0 x−3 = 0 x = −2 (4.143) x = 3 (4.144) Si x ≤ −2 −(x + 2) + (−(x − 3)) > 12 −x − 2 − x + 3 > 12 −2x + 1 > 12 −2x > 11 11 x < − (4.145) 2 Si −2 ≤ x ≤ 3
- 95. 4.3. SOLUCION GU´3 ´ IA 95 x + 2 + (−(x − 3)) > 12 −6 > 12 →← (4.146) Si x ≥ 3 x + 2 + x − 3 > 12 2x − 1 > 12 2x > 13 13 x > (4.147) 2 Por lo tanto la soluci´n ser´ o a 11 13 S = − ∞, − ∪ ,∞ (4.148) 2 2 (f) |2x − 1| + |x − 3| > 9 (4.149) Primero debemos encontrar los puntos cr´ ıticos de (4.149) 2x − 1 = 0 2x = 1 x−3 = 0 1 x = (4.150) x = 3 (4.151) 2 1 Si x < 2 −(2x − 1) + (x − 3) > 9 −2x + 1 + x − 3 > 9 −x − 2 > 9 −x > 11 x < −11 (4.152) 1 Si 2 ≤x≤3 2x − 1 + (−(x − 3)) > 9 2x − 1 − x + 3 > 9
- 96. 96 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS x+2 > 9 x > 11 →← (4.153) Si x ≥ 3 2x − 1 + x − 3 > 9 3x − 4 > 9 3x > 13 13 x > (4.154) 3 Por lo tanto la soluci´n ser´ o a 13 S = − ∞, −11 ∪ ,∞ (4.155) 3 (g) |2x − 1| + |x − 3| > 9 (4.156) Primero debemos encontrar los puntos cr´ ıticos de (4.156) 3x − 2 = 0 3x = 2 x−7 = 0 2 x = (4.157) x = 7 (4.158) 3 2 Si x < 3 −(3x − 2) − (−(x − 7)) < 6 −3x + 2 + x − 7 < 6 −2x − 5 < 6 −2x > 11 x < −11 (4.159) 2 Si 3 ≤x≤7 3x − 2 − (−(x − 7)) < 6 3x − 2 + x − 7 < 6 4x − 9 < 6
- 97. 4.3. SOLUCION GU´3 ´ IA 97 4x < 15 15 x < (4.160) 4 Si x ≥ 7 3x − 2 − (x − 7) < 6 3x − 2 − x + 7 < 6 2x + 5 < 6 2x < 1 1 x < →← (4.161) 2 Por lo tanto la soluci´n ser´ o a 2 15 S = − ∞, −11 ∪ , (4.162) 3 4
- 98. 98 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4.4 Soluci´n Gu´ 4 o ıa 1. Demostremos que ∀x ∈ R∃n ∈ N|n > x. Esto significa que no es acotado superiormente. Para la demostraci´n supondremos que fuera o acotado superiormente ⇒ ∃x ∈ R+ tal que ∀n ∈ Nn ≤ x Adem´s n + 1 ≤ x Por lo tanto tenemos a n ≤ x (4.163) n+1 ≤ x (4.164) Restando (4.163) de (4.164) obtenemos (n + 1) − n ≤ 0 −1 ≤ 0 →← (4.165) Por lo tanto existe n ∈ N tal que n > x 2. Encontrar el dominio de las siguientes funciones (a) Dom(f ) = {x ∈ R {1}} (b) Dom(f ) = {x ∈ R|x ≥ −8} (c) Dom(y) = {x ∈ R} (d) Dom(f ) = {x ∈ R} (e) Dom(f ) = {x ∈ R|x = −2 ∧ x = −3} (f) Dom(f ) = {x ∈ R} (g) Dom(f ) = {x ∈ R|x = 0} (h) Dom(f ) = {x ∈ R|x ≥ 0} (i) Dom(f ) = {x ∈ R|x ≥ 1 ∧ x = 2} (j) Dom(f ) = {x ∈ Rf alta (k) Dom(f ) = {x ∈ R} (l) Dom(f ) = {x ∈ R|x = −4 ∧ x = 5}Revisar √ 1 3. Dadas las funciones f1 (x) = x , f2 (x) = 2x2 + 3x + 5 y f3 (x) = x evaluar
- 99. 4.4. SOLUCION GU´4 ´ IA 99 (a) fi (5) i = 1, 2, 3 Calculemos √ f1 (5) = 5 = 2.2360679775 (4.166) f2 (5) = 2 · 52 + 3 · 5 + 4 = 50 + 15 + 4 = 69 (4.167) 1 f3 (5) = = 0.2 (4.168) 5 (b) fi (x + h) − fi (x) h > 0 √ √ f1 (x + h) − f1 (x) = x+h− x (4.169) f2 (x + h) − f2 (x) = 2(x + h)2 + 3(x + h) + 5 − 2x2 + 3x + 5 = 2x2 + 4xh + 2h2 + 3x +3h + 5 − 2x2 − 3x − 5 = 4xh + 2h2 + 3h = h(4x + 3 + 2h) (4.170) 1 1 f3 (x + h) − f3 (x) = − x+h x x − (x + h) = x(x + h) −h = (4.171) x(x + h) fi (x+h)−fi (x) (c) h Para los n´meradores usaremos (4.169), (4.170), u (4.171). Por lo tanto obtenemos √ √ f1 (x + h) − f1 (x) x+h− x = (4.172) h h f2 (x + h) − f2 (x) h(4x + 3 + 2h) = h h = 4x + 3 + 2h (4.173)
- 100. 100 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS −h f3 (x + h) − f3 (x) x(x+h) = h h −1 = (4.174) x(x + h) (d) fi (b2 ) con b ∈ R √ f1 (b2 ) = b2 = b (4.175) f2 (b2 ) = 2b2 + 3b + 5 (4.176) 1 f3 (b2 ) = (4.177) b2 4. Para encontrar los 3 subconjuntos donde f (x) sea inyectiva, primero debemos ver si f es inyectiva a no. Si f (x) = f (y) entonces ⇒ x = y x2 = y 2 √ x = ± y (4.178) Por lo tanto no es inyectiva Si hacemos un gr´fico de f (x) podremos encontrar los 3 subconjuntos a en donde f sea inyectiva. D 1 = R− (4.179) D 2 = R+ (4.180) D3 = (1, ∞) (4.181) ¿Existe un dominio D formado por n´meros positivos y negativos tal u que f : D → R inyectiva? No, porque no existe un intervalo formado por n´meros positivos y u negativos tal que f sea inyectiva.
- 101. 4.4. SOLUCION GU´4 ´ IA 101 5. Para este ejercicio debemos saber cual es el dominio natural de √ f (x) = x. DomN (f ) = {x ∈ R|x ≥ 0}. Probemos ahora que f es inyectiva. Supongamos que f (x) = f (y) para alg´n x e y. Y veamos que x = y. u √ √ x = y /()2 ⇒ x = y (4.182) Por lo tanto la funci´n f es inyectiva en su dominio natural. o
- 102. 102 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4.5 Soluci´n Gu´ 5 o ıa 1. Debemos encontrar el Area como funci´ de x. Para ello tenemos como n dato el per´ ımetro de un rect´ngulo que es a P = 2x + 2y = 200 (4.183) x + y = 100 y = 100 − x (4.184) Adem´s el ´rea de una rect´ngulo es A = x · y, reemplazando (4.184) a a a obtenemos A(x) = x · y = x(100 − x) (4.185) A(x) = 100x − x2 (4.186) 2. Como el lado de la pieza cuadrada es 16[cm2 ] si recortamos cuadrados iguales de lado x de cada esquina podemos expresar el volumen en funci´n de x. o V (x) = (16 − 2x)2 x (4.187) = (256 − 64x + 4x2 )x V (x) = 4x3 − 64x2 + 256x (4.188) 3. La ecuaci´n del c´ o ırculo es: √ y = 16 − x2 (4.189) Si tomamos como x la distancia entre el eje Y y la circunferencia. Adem´s tomamos como y la distancia entre el eje X y la circunferencia a obtenemos que el ´rea ser´ a a A √ = x · y = x 16 − x2 (4.190) 2
- 103. 4.5. SOLUCION GU´5 ´ IA 103 Por lo tanto el ´rea total de en funci´n de x ser´ a o a √ A(x) = 2x 16 − x2 (4.191) 4. Sabemos que el ´rea A = 100[cm2 ] a Adem´s sabemos que a 2x2 + 4xy = 200 x2 + 2xy = 100 2xy = 100 − x2 100 − x2 y = (4.192) 2x Por otro lado sabemos que el volumen lo podemos expreasar como V (x) = x2 · y (4.193) 100 − x2 V (x) = x2 (4.194) 2x x = (100 − x2 ) 2 x3 = 50x − (4.195) 2 √ 5. Dadas f (x) = 2x − 3 y g(x) = x + 1. Encontrar (a) Dom(f ), Dom(g) Dom(f ) = {x ∈ R} (4.196) Dom(g) = {x ∈ R|x ≥ −1} (4.197) (b) f + g √ f (x) + g(x) = 2x − 3 + x+1 (4.198) El dominio ser´ Dom(f + g) = {x ∈ R|x ≥ −1} a (c) f · g √ f (x) · g(x) = x + 1(2x − 3) (4.199) El dominio ser´ Dom(f · g) = {x ∈ R|x ≥ −1} a
- 104. 104 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS (d) f ◦ g √ f (x) ◦ g(x) = 2( x + 1) − 3 (4.200) El dominio ser´ Dom(f ◦ g) = {x ∈ R|x ≥ −1} a (e) g ◦ f √ g(x) ◦ f (x) = (2x − 3) + 1 = 2x − 2 (4.201) El dominio ser´ Dom(g ◦ f ) = {x ∈ R|x ≥ −1} a 6. Determinar si las funciones son inversas una de la otra. (a) f (x) = 2x + 3 x+3 g(x) = (4.202) 2 f (x) = y = 2x + 3 2x = y − 3 y−3 x = (4.203) 2 Comparando (4.202) con (4.203) vemos que no son iguales. Por lo tanto f no es inversa de g y viceversa. √ (b) f (x) = x − 4 g(x) = x2 + 4 x ≥ 0 √ f (x) = y = x−4 2 y = x−4 y 2 + 4 = x = g(y) (4.204) Por lo tanto hemos encontrado la inversa y es igual a g(x) √ (c) f (x) = 1 − x3 g(x) = 3 1 − x f (x) = y = 1 − x3 y − 1 = −x3 1 − y = x3 3 1 − y = x = g(y) (4.205)
- 105. 4.5. SOLUCION GU´5 ´ IA 105 1 (d) f (x) = x−2 ,x > 0 g(x) = x− 2 x>0 f (x) = y = x−2 1 y = 2 x yx2 = 1 1 x2 = y 1 x = √ y 1 x = y − 2 = g(y) (4.206) Por lo tanto g(y) = g(x), entonces las funciones son inversas una de la otra. 1 1−x (e) f (x) = x2 +1 g(x) = x en ] 1 , 1[ 2 1 f (x) = y = x2 +1 1 (x2 + 1) = y 1 x2 = −1 y 1−y x2 = y 1−y x = = g(y) (4.207) y Por lo tanto hemos encontrado la inversa que adem´s es igual a la a entregada. 7. Encontrar la inversa y graficar f y f −1 (a) f (x) = x2 x≥0 f (x) = y = x2 √ 2 = x = f −1 (y) (4.208)
- 106. 106 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 16 14 12 10 8 6 4 2 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figura 4.1: Gr´fico de f (x) = x2 a √ Por lo tanto f −1 (x) = x Los gr´ficos son las figuras (4.1) y (4.2) a √ (b) f (x) = x2 − 4 x ≥ 2 √ f (x) = y = x2 − 4 y 2 = x2 − 4 y 2 + 4 = x2 y2 + 4 = x (4.209) √ Por lo tanto f −1 (x) = x2 + 4 Los gr´ficos son las figuras (4.3) y (4.4) a √ (c) f (x) = 3 x − 1 √ f (x) = y = 3 x − 1 y3 = x − 1
- 107. 4.5. SOLUCION GU´5 ´ IA 107 10 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 √ Figura 4.2: Gr´fico de f (x) = a x x≥0 20 15 10 5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 √ Figura 4.3: Gr´fico de f (x) = a x2 − 4 x ≥ 2 y 3 + 1 = x = f −1 (y) (4.210)
- 108. 108 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 √ Figura 4.4: Gr´fico de f (x) = a x2 + 4 Por lo tanto f −1 (x) = x3 + 1 150 100 50 0 -50 -100 -150 -6 -4 -2 0 2 4 6 Figura 4.5: Gr´fico de f (x) = x3 + 1 a
- 109. 4.5. SOLUCION GU´5 ´ IA 109 El gr´fico lo vemos en la figura (4.5). a 1 8. f (x) = 8 x − 3 g(x) = x3 Debemos primero determinar f −1 (x) y g −1 (x). Calculemos f −1 (x) 1 f (x) = y = x−3 8 1 y+3 = x 8 8(y + 3) = x = f −1 (y) (4.211) Ahora calculemos g −1 (x) g(x) = y = x3 √3 y = y = g −1 (y) (4.212) (a) (f −1 ◦ g −1 )(x) √ f −1 (g −1 )(x) = 8( 3 x + 3) (4.213) (b) (f −1 ◦ f −1 )(t) f −1 (f −1 )(t) = 8(8(x + 3) + 3) = 8(8x + 27) (4.214) (c) (g −1 ◦ f −1 )(a) √ g −1 (f −1 )(a) = 3 8(x + 3) = 2 3 x + 3 (4.215) 9. Econtrar las ra´ de los siguientes polinomios ıces (a) p(x) = x4 + x Como el polinomio es de grado 4 debemos encontrar 4 ra´ ıces. La primera ra´ la obtenemos factorizando por x ız x4 + x = x(x3 + 1) = 0 ⇒ x1 = 0 (4.216) x2 = −1 (4.217) Ahora que tenemos dos ra´ ıces, dividiremos x3 + 1 por x + 1 para obtener las dem´s ra´ a ıces.
- 110. 110 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS x3 + 1 : x + 1 = x2 − x + 1 −(x3 + x2 ) −x2 + 1 −(−x2 − x) x+1 −(x + 1) 0 Por lo tanto debemos encontrar las ra´ de x2 − x + 1 Para esto ıces usaremos la f´rmula para resolver ecuaciones de segundo orden. o √ −b ± b2 − 4ac x1/2 = (4.218) 2a Para nuestra ecuaci´n a = 1 b = −1 c = 1. Por lo tanto o obtenemos que √ √ √ 1± 1−4 1 ± −3 1 3 x3/4 = = = ±i (4.219) 2 2 2 2 Por lo que las ra´ son ıces x1 = 0 (4.220) x2 = −1 (4.221) √ 1 3 x3 = +i (4.222) 2 √2 1 3 x4 = −i (4.223) 2 2 (b) Usando el mismo procedimiento esta vez para h(x) = x(4 − x2 ) obtenemos x(4 − x2 ) = 0 ⇒ x1 = 0 (4.224) x2 = 2 ⇒ x2 = 2 x3 = −2 (4.225) Por lo que obtuvimos las tres ra´ ıces.
- 111. 4.5. SOLUCION GU´5 ´ IA 111 (c) Como sabemos que x1 = 2 es una ra´ para obtener las dem´s ız, a debemos dividir f (x) por x − 2. x3 − 6x2 + 3x + 10 : x − 2 = x2 − 4x − 5 −(x3 − 2x2 ) −4x2 + 3x + 10 −(−4x2 + 8x) −5x + 10 −(−5x + 10) 0 Para obtener las ra´ usamos (4.218) y nos da ıces √ 4 ± 16 + 20 4±6 x1/2 = = =2±3 (4.226) 2 2 Por lo que las ra´ ser´n ıces a x1 = 2 (4.227) x2 = 2 + 3 = 5 (4.228) x3 = 2 − 3 = −1 (4.229) 10. Dividir h(x) y p(x) encontrando q(x) y r(x) (a) h(x) = x4 + 3x3 + 3 p(x) = x2 + 3x − 2 x4 + 3x3 + 3 : x2 + 3x − 2 = x2 + 2 = q(x) −(x4 + 3x3 − 2x2 ) 2x2 + 2 −(2x2 + 6x − 4) −6x + 6 = r(x) Por lo tanto hemos encontrado q(x) = x2 + 2 y r(x) = 6 − 6x (b) h(x) = x5 + 5x − 1 p(x) = x3 + 2x − 3 x5 + 5x − 1 : x3 + 2x − 3 = x2 − 2 = q(x) −(x5 + 2x3 − 3x2 ) −2x3 + 3x2 + 5x − 1
- 112. 112 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS −(−2x3 − 2x + 6) 3x2 + 7x − 7 = r(x) Por lo tanto hemos encontrado q(x) = x2 − 2 y r(x) = 3x2 + 7x − 7 (c) h(x) = x4 + 1 p(x) = x − 2 x4 + 1 : x−2 = x3 + 2x2 + 4x + 8 = q(x) −(x4 − 2x3 ) 2x3 + 1 −(2x3 − 4x2 ) 4x2 + 1 −(4x2 − 8x) 8x + 1 −(8x − 16) 17 = r(x) Por lo tanto hemos encontrado q(x) = x2 − 2 y r(x) = 3x2 + 7x − 7 (d) h(x) = x4 + 1 p(x) = x2 + 2x + 2 x4 + 1 : x2 + 2x + 2 = x2 − 2x + 4 = q(x) −(x4 + 2x3 + 2x) −2x3 + 2x + 1 −(−2x3 − 4x2 − 2x) 4x2 + 4x + 1 −(4x2 + 8x + 8) −4x − 7 = r(x) Por lo tanto hemos encontrado q(x) = x2 −2x+4 y r(x) = −4x−7
- 113. 4.6. SOLUCION GU´6 ´ IA 113 4.6 Soluci´n Gu´ 6 o ıa 1. Calculemos las ra´ de x3 − 6x − 9 ıces Para ello primero debemos calcular ∆ 63 216 ∆ = 92 − 4 = 81 − 4 = 49 (4.230) 27 27 Una ra´ est´ dada por ız a √ √ √ √ 3 b+ ∆ 3 b− ∆ 3 9+ 49 3 9− 49 + = + 2 2 2 2 3 9+7 3 9−7 = + 2 2 16 3 3 2 = + 2 2 √ 3 √3 = 8+ 1=2+1=3 (4.231) Por lo tanto una de las ra´ del polinomio de tercer grado es x = 3. ıces Dividamos ahora el polinomio x3 − 6x − 9 por x − 3 x3 − 6x − 9 : x − 3 = x2 + 3x + 3 −(x3 − 3x2 ) 3x2 − 6x − 9 −(3x2 − 9x) 3x − 9 −(3x − 9) Utilizando la f´rmula para resolver ecuaciones cuadr´ticas obtenemos o a que √ −b ± b2 − 4ac x1/2 = (4.232) √2a −3 ± 9 − 4 · 3 = 2
- 114. 114 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS √ −3 ± 9 − 12 = 2 √ √ −3 ± −3 3 = = −1.5 ± i (4.233) 2 2 Por lo que hemos encontrado todas las ra´ del polinomio. ıces 2. (a) El gr´fico lo vemos en la figura (4.6) a (b) El gr´fico de la funci´n lo vemos en la figura (4.7) a o (c) El gr´fico lo vemos en la figura (4.8) a (d) El gr´fico lo vemos en la figura (4.9) a (e) El gr´fico lo vemos en la figura (4.10) a Gr´fico de sin(2x) a 1 0.5 sin(2x) 0 -0.5 -1 -3 -2 -1 0 1 2 3 Eje x Figura 4.6: Gr´fico de f (x) = sin(2x) a
- 115. 4.6. SOLUCION GU´6 ´ IA 115 Gr´fico de cos(x) + 7 a 8 7.5 cos(x) + 7 7 6.5 6 -6 -4 -2 0 2 4 6 Eje x Figura 4.7: Gr´fico de f (x) = cos(x) + 7 a π π Gr´ ’afico de 2 cos(x) − 2 ≤x≤ 2 2.5 2 1.5 2 cos(x) 1 0.5 0 -0.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Eje x π π Figura 4.8: Gr´fico de f (x) = 2 cos(x) a − 2 ≤x≤ 2
- 116. 116 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS Gr´fico de 4 sin(x) 0 ≤ x ≤ π a 4 3.5 3 2.5 4 sin(x) 2 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Eje x Figura 4.9: Gr´fico def (x) = 4 sin(x) 0 ≤ x ≤ π a Gr´fico de | sin(x)| a 0 ≤ x ≤ 2π 1.2 1 0.8 0.6 | sin(x)| 0.4 0.2 0 -0.2 -3 -2 -1 0 1 2 3 Eje x Figura 4.10: Gr´fico de f (x) = | sin(x)| 0 ≤ x ≤ 2π a
- 117. 4.6. SOLUCION GU´6 ´ IA 117 3. Calcular (a) 2π π cos = cos π − 3 3 π π = cos(π) cos + sin(π) sin 3 3 1 = −1 · +0 2 1 = − (4.234) 2 (b) 2π π sin = sin π − 3 3 π π = sin(π) cos + cos(π) sin 3 3 √ 1 3 = 0· −1· √2 2 3 = − (4.235) 2 (c) 14π 2π cos = cos + 4π 3 3 2π 2π = cos cos(4π) − sin sin(4π) 3 3 2π = cos ·1−0 3 1 = − (4.236) 2 (d) 14π 2π sin = sin + 4π 3 3
- 118. 118 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 2π 2π = sin cos(4π) + cos sin(4π) 3 3 2π = sin ·1+0 3 √ 3 = − (4.237) 2 4. (a) dom(f ) = {x|x ∈ R} (b) dom(f ) = {x|x ∈ R} (c) dom(f ) = {x|x ∈ R} (d) dom(f ) = {x|x ∈ R} 5. Probemos ambas proposiciones sin(x + h) − sin(x) sin(x) cos(h) + sin(h) cos(x) − sin(x) = h h cos(h) − 1 sin(h) = sin(x) + cos(x) h h Si h → 0 ⇒ →0 →1 = sin(x) · 0 + 1 · cos(x) = cos(x) (4.238) cos(x + h) − cos(x) cos(x) cos(h) − sin(h) sin(x) − cos(x) = h h cos(h) − 1 sin(h) = cos(x) − sin(x) h h Si h → 0 ⇒ →0 →1 = cos(x) · 0 − 1 · sin(x) = − sin(x) (4.239) 6. Encontrar todos los valores de x tales que
- 119. 4.6. SOLUCION GU´6 ´ IA 119 (a) sin(x) = 0 Debemos notar que sin(x) = 0 se cumple para x = 0, x = π, x = 2π, etc. Por lo tanto se cumple para todo x = kπ k = 0, 1, 2, . . . (b) cos(x) = 0 Vemos que cos(x) = 0 se cumple para x = π , x = 2 3π 5π 2 , 2, etc. Por lo tanto se cumple para todo x = (2k + 1) π 2 k = 0, 1, 2, . . . (c) sin(x) = −1 3π 5π Vemos que sin(x) = −1 se cumple para x = 2 , 2, etc. 3π Por lo tanto se cumple para todo x = 2 + 2kπ k = 0, 1, 2, 3, . . . (d) cos(x) = −1 Vemos que cos(x) = −1 se cumple para x = π, 2π, etc. Por lo tanto se cumple para todo x = kπ k = 1, 2, 3, 4, . . . 7. Encontrar x en [0, 2π] para los que se cumple 1 (a) sin(x) = 2 Los valores son x = π , 5π 6 6 1 (b) cos(x) = √ 2 Los valores son x = π , 3π 4 4 √ 3 (c) sin(x) = 2 Los valores son x = π , 2π 3 3 1 (d) cos(x) = 2 Los valores son x = π , 5π 3 3
- 120. 120 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4.7 Soluci´n Gu´ 7 o ıa 1. Probar que π π π 5π (a) sin = cos − = cos (4.240) 12 2 12 12 π π π 5π (b) cos = sin − = sin (4.241) 12 2 12 12 π 1 + sin(β) 2. (a) 2α + β = ⇒ cos(α) = 2 2 Sea b ⇒ cos(2α) = (4.242) c b sin(β) = (4.243) c Por lo tanto tenemos que cos(2α) ≡ sin(β) Como cos(2α) = 2 cos2 (α) − 1 Tenemos que 2 cos2 (α) − 1 = sin(β) sin(β) + 1 cos2 (α) = 2 sin(β) + 1 cos(α) = (4.244) 2 a = b cos(γ) + c cos(β) (b) α+β+γ =π ⇒ b = c cos(α) + a cos(γ) c = a cos(β) + b cos(α) Sea Entonces cos(α) = cb1 y cos(β) = ca 2 Tenemos que b cos(α) = c1 y a cos(β) = c2 Como c = c2 + c2 obtenemos que c = a cos(β) + b cos(α) (4.245) Sea
- 121. 4.7. SOLUCION GU´7 ´ IA 121 Entonces cos(γ) = ab1 y cos(β) = ac2 Tenemos que b cos(γ) = a1 y c cos(β) = a2 Como a = a1 + a2 obtenemos que a = c cos(β) + b cos(γ) (4.246) Sea Entonces cos(γ) = ba y cos(α) = bc1 2 Tenemos que a cos(γ) = b2 y c cos(α) = b1 Como b = b2 + b2 obtenemos que b = a cos(γ) + c cos(α) (4.247) (c) α+β+γ =π ⇒ 1 − 2 sin(β) sin(γ) cos(α) + cos2 (α) = cos2 (β) + cos2 (γ) Sea Entonces b2 + c2 = a2 + 2bc cos(α) (4.248) 1 Multiplicando (4.248) por a2 obtenemos 2 2 b c bc + =1+2 cos(α) (4.249) a a aa Como b a b sin(β) = ⇒ = (4.250) sin(β) sin(α) a sin(α) c a c sin(γ) = ⇒ = (4.251) sin(γ) sin(α) a sin(α) Reemplazando (4.250) y (4.251) en (4.248) obtenemos 2 2 sin(β) sin(γ) sin(β) sin(γ) + =1+2 cos(α) (4.252) sin(α) sin(α) sin(α) sin(α) sin2 (β) + sin2 (γ) = sin2 (α) + 2 sin(β) sin(γ) cos(α) (4.253) Como sin2 (x) = 1 − cos2 (x) si reemplazamos en la expresi´n an- o terior obtenemos
- 122. 122 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 1 − cos2 (β) + 1 − cos2 (γ) = 1 − cos2 (α) + 2 sin(β) sin(γ) cos(α) Reordenando esta expresi´n obtenemos o 1 − 2 sin(β) sin(γ) cos(α) + cos2 (α) = cos2 (β) + cos2 (γ) 3. Demostrar (a) cos2 (x) = 1 (1 + cos(2x)) 2 Sabemos que cos2 (x) + sin2 (x) =1 (4.254) cos2 (x) =1 − sin2 (x) 2 cos2 (x) =2 − 2 sin2 (x) 2 cos2 (x) =(1 − 2 sin2 (x)) + 1 2 cos2 (x) =cos(2x) + 1 1 cos2 (x) = (1 + cos(2x)) (4.255) 2 sin2 (x) = 2 (1 − cos(2x)) 1 Despejando sin2 (x) de (4.254) sin2 (x) 1 − cos2 (x) = 2 sin2 (x) 2 − 2 cos2 (x) = 2 sin2 (x) −(2 cos2 (x) − 1) + 1 = 2 sin2 (x) = − cos(2x) + 1 1 sin2 (x) = (1 − cos(2x)) (4.256) 2 1−tan2 ( x (b) cos(x) = 2 1+tan2 ( x ) 2 Sabemos que 1 − cos(2u) tan2 (u) = (4.257) 1 + cos(2u) 1−cos(x) 1 − tan2 ( x ) 1− 1+cos(x) 2 = 1 + tan2 ( x ) 2 1+ 1−cos(x) 1+cos(x) (1+cos(x))−(1−cos(x)) (1+cos(x)) = (1+cos(x))−(1−cos(x)) (1+cos(x))
- 123. 4.7. SOLUCION GU´7 ´ IA 123 2 cos(x) = 2 1 − tan2 ( x ) 2 = cos(x) (4.258) 1 + tan2 ( x ) 2 (c) cos(x + y) cos(x − y) = cos2 (x) − sin2 (x) cos(x + y) cos(x − y) = (cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)) · ·(cos(x) cos(y) + sin(x) sin(y)) = cos2 (x) cos2 (y) − sin2 (x) sin2 (y) = cos2 (x)(1 − sin2 (y)) − − sin2 (x) sin2 (y) = cos2 (x) − cos2 (x) sin2 (y) − − sin2 (x) sin2 (y) = cos2 (x) − sin2 (y)(cos2 (x) + + sin2 (x)) cos(x + y) cos(x − y) = cos2 (x) − sin2 (y) (4.259) (d) x+y (e) arctan(x) + arctan(y) = arctan( 1−xy ) tan(arctan(x) + arctan(y)) = tan(arctan(x) + arctan(y)) x+y tan(arctan(x) + arctan(y)) = 1 − xy x+y arctan(x) + arctan(y) = arctan (4.260) 1 − xy 4. Resuelva las siguientes ecuaciones (a) 3 sin2 (x) + 5 sin(x) = 2 Sea α = sin(x) entonces obtenemos 3α2 + 5α − 2 = 0 Resolviendo la ecuaci´n cuadr´tica obtenemos o a √ √ −5 ± 25 + 24 −5 ± 49 −5 ± 7 α1/2 = = = (4.261) 6 6 6 Por lo tanto obtenemos
- 124. 124 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS −5 + 7 1 −5 − 7 α1 = = α2 = = −2 6 3 6 Por lo tanto la unica soluci´n que nos sirve es α1 , de lo que obten- ´ o emos que sin(x) = 1 ⇒ x = arcsin( 1 ) ≈ 20o 3 3 √ (b) 3 cos(x) + sin(x) = 1 √ 3 cos(x) + sin(x) = 1 √ 3 cos(x) = 1 − sin(x) 3 cos2 (x) = (1 − sin(x))2 3(1 − sin2 (x)) = 1 − 2 sin(x) + sin2 (x) 3 − 3 sin2 (x) = 1 − 2 sin(x) + sin2 (x) 4 sin2 (x) − 2 sin(x) − 2 = 0 (4.262) Usando el cambio de varaibles α = sin(x) obtenemos 4α2 − 2α − 2 = 0 (4.263) Resoloviendo la ecuaci´n cuadr´tica obtenemos o a √ √ 2 ± 4 + 32 2 ± 36 2±6 α1/2 = = = (4.264) 8 8 8 2+6 2−6 1 α1 = =1 α2 = =− 8 6 2 Por lo tanto sin(x) = 1 ∧ sin(x) = − 1 2 ⇒ x = π ∧ x = 11π ∧ x = 7π 2 6 6 (c) cos(7x) = sin(3x) Como sin(3x) = cos( π − 3x) ,reemplazando obtenemos 2 π cos(7x) = cos − 3x 2 π 7x = − 3x 2 π 10x = 2 π x = (4.265) 20
- 125. 4.7. SOLUCION GU´7 ´ IA 125 (d) cos(2x) = cos(x) + sin(x) cos(2x) = cos(x) + sin(x) π cos(2x) = cos(x) + cos −x 2 π 2x = x + − x 2 π 2x = 2 π x = (4.266) 4 (e) arcsin(x) = arccos(x) arcsin(x) = arccos(x) x = sin(arccos(x)) pero sin(x) = 1 − cos2 (x) √ x = 1 − x2 x2 = 1 − x2 2x2 = 1 1 x2 = 2 1 x = ±√ (4.267) 2 (f) arcsin(x) − arccos(x) = arcsin(3x − 2) arcsin(x) − arccos(x) = arcsin(3x − 2) sin(arcsin(x) − arccos(x)) = sin(arcsin(3x − 2)) = 3x − 2 como sin(u + v) = sin(u) cos(v) + sin(v) cos(u) y adem´s sin(x) = a 1 − cos2 (x) y cos(x) = 1 − sin2 (x) obtenemos de lo anterior que
- 126. 126 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS sin(arcsin(x)) cos(arccos(x)) − sin(arccos(x)) cos(arcsin(x)) = 3x − 2 √ √ x·x − 1 − x2 · 1 − x2 = 3x − 2 x2 − (1 − x2 ) = 3x − 2 2x2 − 1 = 3x − 2 2x2 − 3x + 1 = 0 1 x=1 ∧ x= 2 (g) arctan( x−1 ) + arctan( x+1 ) = x−2 x+2 π 4 x−1 x+1 π arctan + arctan = x−2 x+2 4 x−1 tan arctan x−2 x+1 π + arctan = tan x+2 4 ( x−2 ) + ( x+1 ) x−1 x+2 x−1 x+1 = 1 1 − ( x−2 )( x+2 ) x−1 x+1 x−1 x+1 + = 1− · x−2 x+2 x−2 x+2 (x − 1)(x + 2)+ (x − 2)(x + 2) − (x + 1)(x − 2) = (x − 1)(x + 1) x + x − 2 + x2 − x − 2 2 = x − 4 − (x2 − 1) 2 2x2 − 4 = −3 2x2 = 1 1 x2 = 2√ 2 x = ± (4.268) 2 √ (h) arccos(x) − arcsin(x) = arccos(x 3) √ arccos(x) − arcsin(x) = arccos(x 3)
- 127. 4.7. SOLUCION GU´7 ´ IA 127 √ cos(arccos(x) − arcsin(x)) = cos(arccos(x 3)) cos(arccos(x)) cos(arcsin(x))+ √ + sin(arccos(x)) sin(arcsin(x)) x 3 = √ √ √ x · 1 − x2 + 1 − x2 · x = x 3 √ √ 2x 1 − x2 = x 3 √ √ 2 1 − x2 =3 √ 4(1 − x2 ) =3 3 1 − x2 = 4 1 x2 = 4 1 x = ± (4.269) 2
- 128. 128 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4.8 Soluci´n Gu´ 8 o ıa 1. Calcular los siguientes l´ ımites (a) 3 3 lim = x→−1 x+2 −1 + 2 3 = 1 = 3 (4.270) (b) 1 1−(x+1) x+1 −1 x+1 lim = lim x→0 x x→0 x −x = lim x→0 x(x + 1) −1 = lim x→0 x + 1 −1 = 0+1 = −1 (4.271) (c) lim |x − 2| = |2 − 2| x→2 = 0 (4.272) (d) √ √ √ x+1−2 x+1−2 x+1+2 lim = lim ·√ x→3 x−3 x→3 x−3 x+1+2 x+1−4 = lim √ x→3 (x − 3)( x + 1 + 2) x−3 = lim √ x→3 (x − 3)( x + 1 + 2) 1 = lim √ x→3 x+1+2
- 129. 4.8. SOLUCION GU´8 ´ IA 129 1 = √ 3+1+2 1 = √ 4+2 1 = 2+2 1 = (4.273) 4 (e) √ √ lim x2 + 5x + 3 = 22 + 5 · 2 + 3 x→2 √ = 4 + 10 + 3 √ = 17 (4.274) (f) √ √ √ √ √ √ 2+x− 2 2+x− 2 2+x+ 2 lim = lim ·√ √ x→0 x x→0 x 2+x+ 2 2+x−2 = lim √ √ x→0 x( 2 + x + 2) x = lim √ √ x→0 x( 2 + x + 2) 1 = lim √ √ x→0 2+x+ 2 1 = √ √ 2+ 2 1 = √ 2 2 √ 2 = (4.275) 4 (g) (1 + h)3 − 1 (1 + 3h + 3h2 + h3 ) − 1 lim = lim h→0 h h→0 h h(3 + h + h2 ) = lim h→0 h
- 130. 130 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS = lim 3 + h + h2 h→0 = 3 (4.276) (h) √ √ x−2 x−2 lim− x − 4 = lim √ − ( √ x→4 x→4 x − 2)( x + 2) 1 = lim √ x→4− x+2 1 = √ 4+2 1 = (4.277) 4 (i) x2 + x + 2 (x − 1)(x + 2) lim 2−1 = lim x→1 x x→1 (x − 1)(x + 1) x+2 = lim x→1 x + 1 1+2 = 1+1 3 = (4.278) 2 (j) 1 1 4−(x+4) x+4 − 4 4(x+4) lim = lim x→0 x x→0 x −x = lim x→0 4x(x + 4) −1 = lim x→0 4(x + 4) −1 = 4(0 + 4) 1 = − (4.279) 16
- 131. 4.8. SOLUCION GU´8 ´ IA 131 1 1 (k) lim = si a = 0 (4.280) x→a x a 2. (a) Para este ejercicio debemos ver los l´ımites por la izquierda y derecha de f (x). Primero calculemos el l´ ımite por la derecha lim f (x) = 3 (4.281) x→2+ Ahora, calculemos el l´ ımite por la izquierda, esto es lim f (x) = 0 (4.282) x→2− Como los l´ ımites no son iguales por la derecha como por la izquierda, conclu´ ımos que el l´ ımite def (x) no existe (b) Debemos seguir los mismos pasos que en el ejercicio anterior. lim g(x) = 3 − 2 = 1 (4.283) x→3+ lim g(x) = −(32 ) + 8 · 3 − 14 = 1 (4.284) x→3− Como ambos l´ ımites son iguales entonces el l´ ımite existe y es igual a lim g(x) = 1 (4.285) x→3 3. Calcular l y encontrar δ > 0 (a) l = lim (3x + 2) = 3 · 2 + 2 = 8 (4.286) x→2 Para encontrar δ > 0 tal que |(3x+2)−8| < 0.01 y 0 < |x−2| < . Encontremos una relaci´n entre estos dos valores absolutos. o Simplificando el primero obtenemos |3x − 6| = 3|x − 2| Con esto tenemos que la desigualdad |(3x + 2) − 8| < 0.01 es equivalente a que 3|x − 2| < 0.01 y por lo tanto 0.01 1 |x − 2| < = ≈ 0.00333333 3 300 1 Por esto escogemos δ = 300 y con esto cumplimos todas las condi- ciones.
- 132. 132 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS (b) Primero calculemos el l´ ımite l l = lim (x2 − 3) = 22 − 3 = 1 (4.287) x→2 Encontremos δ tal que |(x2 − 3) − 1| < 0.01 y 0 < |x − 2| < δ. Simplificando la primera relaci´n obtenemos o |x2 − 4| = |(x − 2)2 | = x − 2 Con esto tenemos que |x − 2| < 0.01 y por lo tanto |x − 2| < 0.01 = δ 4. Calcular (a) (x + h)2 + 5(x + h) + 3 − (x2 + 5x + 3) L = lim h→0 h x + 2xh + h + 5x + 5h + 3 − x2 − 5x − 3 2 2 = lim h→0 h 2xh + h2 + 5h = lim h→0 h = lim 2x + 5 + h h→0 = 2x + 5 (4.288) (b) √ √ √ √ √ √ x+h− x x+h− x x+h+ x lim = lim ·√ √ h→0 h h→0 h x+h+ x x+h−x = lim √ √ h→0 h( x + h + x) h = lim √ √ h→0 h( x + h + x) 1 = lim √ √ h→0 x+h+ x 1 = √ √ x+ x 1 = √ (4.289) 2 x
- 133. 4.8. SOLUCION GU´8 ´ IA 133 5. Usemos la sugerencia, esto es lim cos(x0 + h) = lim cos(x0 ) cos(h) − sin(x0 ) sin(h) h→0 h→0 = cos(x0 ) · 1 − sin(x0 ) · 0 = cos(x0 ) (4.290) Por lo tanto hemos demostrado lo que se ped´ ıa. 6. Probar (a) 1 − cos(x) 1 − cos(x) 1 + cos(x) lim = lim · x→0 x x→0 x 1 + cos(x) 2 1 − cos (x) = lim x→0 x(1 + cos(x)) sin2 (x) = lim x→0 x(1 + cos(x)) sin(x) sin(x) = lim x→0 x 1 + cos(x) →1 0 = 1+1 = 0 (4.291) (b) tan(3x) sin(3x) lim = lim x→0 3 x→0 cos(3x) sin(3x) 3 = lim · x→0 3 cos(3x) →1 3 = lim x→0 cos(3x) 3 = 1 = 3 (4.292)
- 134. 134 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 7. Calcular (a) 2x2 + 1 2 · 22 + 1 lim = x→2 2x 2·2 8+1 = 4 9 = 4 3 = (4.293) 2 √ (b) lim− x2 − 9 (4.294) x→3 Como x si x → 3− tiende a un n´mero menor que 9, entonces 2 u x2 − 9 ser´ menor que 0 cuando x → 3− . Por lo tanto el l´ a ımite no existe, al no existir las ra´ de un n´mero negativo. ıces u (c) 5x + 1 5·3+1 lim 2−8 = x→3 x 32 − 8 15 + 1 = 9−8 = 16 (4.295) (d) x 1 √ lim √ = lim √ x x→0 + sin( x) x→0 sin( x) √ x →1 = 0 (4.296) (e) sin2 (x) sin(x) sin(x) lim 2 = lim x→0 x x→0 x x →1 →1 = 1 (4.297)
- 135. 4.8. SOLUCION GU´8 ´ IA 135 (f) 1 x sin( x ) 3 lim sin = lim x→0 x 3 x→0 3x 3 1 sin( x ) 3 = lim x x→0 3 3 →1 1 = (4.298) 3 (g) 1 − cos(x) 1 − cos(x) 1 + cos(x) lim 2 = lim · x→0 x x→0 x2 1 + cos(x) 2 1 − cos (x) = lim 2 x→0 x (1 + cos(x)) sin2 (x) 1 = lim 2 · x→0 x 1 + cos(x) →1 1 = 1+1 1 = (4.299) 2 (h) 1 1 sin( x2 ) lim x2 sin = lim 1 x→0 x2 x→0 x2 = 1 (4.300) (i) 1 √ 1 sin( x ) 1 lim x sin = 1 √ x→0+ x x x →1 1 = √ 0 = ∞ (4.301)
- 136. 136 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS (j) sin(2x) sin(2x) 2 lim = lim · x→0 x cos(3x) x→0 2x cos(3x) 2 = cos(0) = 2 (4.302) (k) 2−x 2−x lim √ = lim x→2 + 4 − 4x + x2 x→2+ (2 − x)2 2−x = lim x→2+ 2 − x = lim 1 + x→2 = 1 (4.303) (l) sin(3x) sin(3x) 2x 3 lim = lim · · x→0 sin(2x) x→0 3x sin(2x) 2 →1 →1 3 = (4.304) 2 8. Ver discontinuidad de h(x) = f (g(x)) 1 (a) f (x) = √x g(x) = x − 1 Entonces 1 h(x) = √ (4.305) x−1 La funci´n h(x) es discontinua cuando el denominador es cero, o o sea, cuando x = 1. Adem´s no se puede calcular una ra´ de a ız un n´mero negativo. Por lo tanto esta funci´n es continua para u o todos los x > 1
- 137. 4.8. SOLUCION GU´8 ´ IA 137 1 1 (b) f (x) = x g(x) = x−1 Entonces 1 h(x) = 1 =x−1 (4.306) x−1 Esta funci´n es continua para todos los x ∈ R o 1 1 (c) f (x) = √x g(x) = x Entonces 1 √ h(x) = = x (4.307) 1 x Esta funci´n es continua para todos los x ≥ 0 o x−1 x−1 9. (a) f (x) = = (4.308) x2 + x − 2 (x + 2)(x − 1) Esta funci´n es discontinua en x = −2 y en x = 1. o Para ver si las discontinuidades son reparables debemos ver si el l´ ımite por la derecha y por la izquierda de cada discontinuidad es igual. Si lo son, entonces la discontinuidad es reparable. Primero veamos para x = 1 x−1 1 lim+ (x + 2)(x − 1) = lim + x + 2 x→1 x→1 1 = 1+2 1 = (4.309) 3 x−1 1 lim = lim x→1 − (x + 2)(x − 1) x→1− x+2 1 = 1+2 1 = (4.310) 3 Por lo tanto 1 lim f (x) = (4.311) x→1 3
- 138. 138 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS Ahora veamos para x = −2 x−1 1 lim + = lim + x→−2 (x + 2)(x − 1) x→−2 x+2 1 = −2+ +2 = ∞ (4.312) x−1 1 lim = lim x→1− (x + 2)(x − 1) x→1 − x+2 1 = −2− +2 = −∞ (4.313) Por lo tanto como los dos l´ ımites son diferentes, no existe el l´ ımite, y no podemos reparar la discontinuidad. o ¯ Definamos la nueva funci´n f como x−1 ¯ x2 +x−2 si x=1 f= 1 (4.314) 3 si x=1 |x + 2| (b) f (x) = (4.315) x+2 Esta funci´n tiene una discontinuidad no evitable en x = −2 o x (c) f (x) = 2 (4.316) x +1 Esta funci´n es continua para todos los x ∈ R o x +1 x≤2 (d) f (x) = 2 (4.317) 3−x x>2 Calculemos el l´ımite cuando x → 2 de f Para ello calculemos primero el l´ımite por la izquierda x lim f = lim + 1 = 2 − − 2 (4.318) x→2 x→2 Ahora calculemos el l´ımite por la derecha lim f = lim (3 − x) = 1 (4.319) x→2+ +x→2 Como ambos l´ ımites son distintos, entonces se trata de una dis- continuidad no evitable.
- 139. 4.8. SOLUCION GU´8 ´ IA 139 10. Una funci´n que sea discontinua en todos los puntos y que su m´dulo o o sea continuo, podr´ ser ıa 1 si x es irracional f (x) = (4.320) −1 si x es racional Si a esta funci´n le calculamos el m´dulo obtenemos la siguiente funci´n o o o |f (x)| = 1 (4.321) Que al ser una funci´n constante es continua en todos los puntos o
- 140. 140 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4.9 Soluci´n Gu´ 9 o ıa 1. Probar que f (x) = x1/3 es continua en x = 0 y no diferenciable en ese punto. Para ver si una funci´n es continua en un punto x0 se deben verificar o tres condiciones (a) f (x0 ) est´ definido a (b) lim f (x) existe x→x0 (c) lim f (x) = f (x0 ) x→x0 Veamos esto para f (x) = x1/3 Primero f (x0 ) = f (0) por lo tanto est´ definido. a Veamos si existe el l´ ımite lim f (x) = lim x1/3 x→x0 x→0 Por lo tanto el l´ ımite existe Calculemos este l´ ımite y veamos si es igual a f (x0 ) lim f (x) = lim x1/3 x→x0 x→0 1/3 = 0 = 0 = f (0) Por lo tanto f (x) es continua en x0 = 0 Ahora probemos que f (x) es no diferenciable en x = 0. Para ello usaremos la siguiente definici´n de derivada. o f (x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim (4.322) x→x0 x − x0
- 141. 4.9. SOLUCION GU´9 ´ IA 141 Por lo tanto para nuestra funci´n f (x) = x1/3 y el punto x0 = 0 o obtenemos x1/3 − 0 f (0) = lim x→0 x − 0 1 = lim 2/3 x→0 x = ∞ (4.323) Por lo tanto la tangente en x0 es vertical, por lo que f no es derivable en x0 = 0 2 2. Calcular f (x) par f (x) = 3x(x2 − x ) en x = 2 Hay dos maneras de calcular esta derivada, una es a trav´s del c´lculo directo y otra por e a medio de la definici´n de l´ o ımite. Para ello primero calculemos f (2) 2 f (2) = 3 · 2(22 − ) = 6 · (4 − 1) = 18 (4.324) 2 Ahora calculemos f (2) 2 3x(x2 − x ) − 18 f (2) = lim x→2 x−2 3 3x − 6 − 18 = lim x→2 x−2 3 3x − 24 = lim x→2 x − 2 3(x3 − 8) = lim x→2 x−2 3(x − 2)(x2 + 2x + 4) = lim x→2 x−2 2 = lim 3(x + 2x + 4) x→2 = 3(22 + 2 · 2 + 4) = 3(4 + 4 + 4) = 36 (4.325)
- 142. 142 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS Otra forma de calcular esto es calculando la derivada de f (x) y luego evaluarla en x = 2 2 f (x) = (3x(x2 − )) x 2 2 2 = 3(x − ) + 3x(2x + 2 ) x x Ahora evaluando en x = 2 2 2 f (2) = 3(22 − ) + 3 · 2(2 · 2 + 2 ) 2 2 1 = 3(4 − 1) + 6(4 + ) 2 9 = 9+6· 2 = 9 + 27 = 36 (4.326) 3. Calcular la derivada de f (x) (a) 1 1 f (x) = sin(x) + − 2 2x 3x 1 1 2 = cos(x) − 2 − − 3 x 3 x 1 2 = cos(x) − 2 + 3 (4.327) x 3x (b) x2 f (x) = x − sin(x) 2x(x − sin(x)) − x2 (1 − cos(x)) = (x − sin(x))2 2x2 − 2x sin(x) − x2 + x2 cos(x) = (x − sin(x))2 x2 − 2x sin(x) + x2 cos(x) = (4.328) (x − sin(x))2
- 143. 4.9. SOLUCION GU´9 ´ IA 143 (c) Primero simplifiquemos f (x) 1/x − 2/x2 f (x) = 2/x3 − 3/x4 x−2 x2 = 2x−3 x4 x − 2x2 3 = (4.329) 2x − 3 Ahora calculemos f (x) (3x2 − 2x)(2x − 3) − (x3 − 2x2 )(2) f (x) = (2x − 3)2 6x3 − 9x2 − 4x2 + 6x − 2x3 + 4x2 = (2x − 3)2 4x3 − 9x2 + 6x = (4.330) (2x − 3)2 (d) 2x5 + 4x f (x) = cos(x) (3x5 + 4x) (cos(x)) − (3x5 + 4x)(cos(x)) = cos2 (x) (15x4 + 4) cos(x) + (3x5 + 4x) sin(x) = (4.331) cos2 (x) (e) 1 √ 1 f (x) = √ + x + tan(x) + x tan(x) 1 1 = x− 2 + x 2 + tan(x) + tan−1 (x) 1 3 1 1 1 1 = − x− 2 + x− 2 + 2 (x) − 2 2 2 cos sin (x) 1 3 1 1 = − x− 2 + x− 2 + sec2 (x) − csc2 (x) (4.332) 2 2
- 144. 144 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 4. Encontrar las intersecciones de f (x) con el eje X. Para ello igualamos a cero f (x). f (x) = x2 − 3x + 2 = 0 (x − 1)(x − 2) = 0 x=1 ∧ x=2 Como f (1) = f (2) = 0, por el Teorema de Rolle se sabe que en el intervalo (1, 2) existe f (x) = 0. Encontremos ese punto f (x) = 2x − 3 f (x) = 0 ⇒ 2x − 3 = 0 2x = 3 3 x = (4.333) 2 5. Encontrar la ecuaci´n de la tangente a la gr´fica de f en el punto dado o a Para resolver este problema primero debemos saber como es la ecuaci´n o de una recta tangente, esto es y − y0 = m(x − x0 ) (4.334) Debemos encontrar la pendiente m, que es la derivada de la funci´n f o en el punto dado m = f (x0 ) (4.335) 1 (a) f (x) = x3 + √ (4.336) x Calculemos f (5) 1 1 f (5) = 53 + √ = 125 + √ = 125.447 (4.337) 5 5
- 145. 4.9. SOLUCION GU´9 ´ IA 145 Ahora calculemos f (5) 1 f (x) = 3x2 − (4.338) 2x3/2 1 f (5) = 3 · 52 − 2 · 53/2 1 f (5) = 75 − 2 · 53/2 f (5) = 69.4 (4.339) Por lo tanto la ecuaci´n de la recta tangente en (5, f (5)) es o y = m(x − x0 ) − f (x0 ) y = f (5)(x − 5) − f (5) y = 69.4(x − 5) − 125.447 (4.340) √ (b) f (x) = x2 + 7 (4.341) Calculemos f (2) √ √ √ f (2) = 22 + 7 = 4 + 7 = 11 (4.342) Ahora calculemos f (2) x f (x) = √ 2 (4.343) x +7 2 f (2) = √ 22 +7 2 f (2) = √ 11 f (2) = 0.603 (4.344) Entonces la ecuaci´n de la recta tangente ser´ en el punto (2, f (2)) o a 2 √ y = √ (x − 2) − 11 11 y = 0.603(x − 2) − 3.31 y = 0.602x − 4.522 (4.345)
- 146. 146 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 6. Encontrar f y f (a) Primero calculemos f (x) f (x) = (3x3 + 4x)1/3 1 = (3x3 + 4x)−2/3 (9x2 + 4) 3 9x2 + 4 = (4.346) 3(3x3 + 4x)2/3 Calculemos ahora f (x) 2 18x(3x3 + 4x)2/3 − (9x2 + 4)2 3 (3x3 + 4x)−1/3 f (x) = 3((3x3 + 4x)2/3 )2 2 18x(3x3 + 4x)2/3 − 3 (9x2 + 4)2 (3x3 + 4x)−1/3 = 3(3x3 + 4x)4/3 18x 2(9x2 + 4)2 = − 3(3x3 + 4x)2/3 9(3x3 + 4x)5/3 6x 2(9x2 + 4)2 = − (4.347) (3x3 + 4x)2/3 9(3x3 + 4x)5/3 (b) Calculemos f (x) f (x) = − sin(28x) · 28 = −28 sin(28x) (4.348) Calculemos f (x) f (x) = −28 cos(28x) · 28 = −282 cos(28x) (4.349) (c) Calculemos f (x) √ 2x f (x) = 2x 9 − x2 − x2 √ 2 9 − x2 √ x3 = 2x 9 − x2 − √ (4.350) 9 − x2 Calculemos f (x) √ x √ −(2x)2 3x2 9 − x2 + x3 √9−x2 f (x) = 2 9 − x 2+ √ − 2 9 − x2 9 − x2
- 147. 4.9. SOLUCION GU´9 ´ IA 147 √ x4 √ 2x2 3x2 9 − x2 + √9−x2 = 2 9 − x2 − √ + 9 − x2 9 − x2 3x2 (9−x2 )+x4 √ 2x2 √ 9−x2 = 2 9−x 2− √ + 9 − x2 9 − x2 √ 2x2 27x2 − 3x4 + x4 = 2 9 − x2 − √ + 9 − x2 (9 − x2 )3/2 √ 2x2 27x2 − 2x4 = 2 9 − x2 − √ + (4.351) 9 − x2 (9 − x2 )3/2 (d) Calculemos f (x) 1 f (x) = 2 cos(x) − (4.352) 2x3/2 Calculemos f (x) 3 f (x) = −2 sin(x) + (4.353) 4x5/2 (e) Calculemos f (x) f (x) = 10(x2 − 1)4 · (2x) f (x) = 20x(x2 − 1)4 (4.354) Calculemos f (x) f (x) = 80x(x2 − 1)3 · (2x) f (x) = 160x2 (x2 − 1)3 (4.355) (f) Calculemos f (x) f (x) = (x3 − 3x)−2 f (x) = −2(x3 − 3x)−3 (3x2 − 3) 6x2 − 6 f (x) = − 3 (4.356) (x − 3x)3 Calculemos f (x) 12x(x3 − 3x)3 − 3(x3 − 3x)2 2(3x2 − 3)2 f (x) = − (x3 − 3x)6
- 148. 148 CAP´ ITULO 4. SOLUCIONES DE LAS GU´ IAS 12x(x3 − 3x)3 − 6(3x2 − 3)2 (x3 − 3x) = − (x3 − 3x)6 12x(x3 − 3x)2 − 6(3x2 − 3) f (x) = − (4.357) (x3 − 3x)5 7. Calcular f (x) (a) f (x) = 10 sec2 (10x) + 3 sin2 (x) cos(x) (4.358) 1 √ 4 (b) f (x) = arcsin(x) + 2 (x) + x3 + 5x (4.359) sec 1 √ Sea h(x) = arcsin(x) , g(x) = sec2 (x) , i(x) = 4 x3 + 5x, calculemos h (x), g (x), i (x) Calculemos g (x) (1) sec2 (x) − 1(sec2 (x)) g (x) = sec4 (x) −2 sec(x) sec(x) tan(x) = sec4 (x) 2 tan(x) = − (4.360) sec2 (x) Calculemos h (x) Sea j(x) = sin(x) y h(x) = arcsin(x) entonces 1 h (x) = j h(x) 1 h (x) = cos(arcsin(x)) 1 h (x) = √ (4.361) 1 − x2 Calculemos i (x) 1 3 i (x) = (x − 5x)−3/4 (3x2 − 5) 4 3x2 − 5 = (4.362) 4(x3 − 5x)3/4
- 149. 4.9. SOLUCION GU´9 ´ IA 149 Ahora calculemos f (x) 1 2 tan(x) 3x2 − 5 f (x) = √ − + (4.363) 1−x sec(x) 4(x3 − 5x)3/4 (c) −5 f (x) = √ 2 + 8 tan(4x) sec2 (4x) + 1 − 25x 5 cos4 (8x)(− sin(8x)8)x2 − cos5 (8x) · 2x + x4 −5 = √ 2 + 8 tan(4x) sec2 (4x) + 1 − 25x −40x2 cos4 (8x) sin(8x) − 2x cos5 (8x) + x4 −5 = √ 2 + 8 tan(4x) sec2 (4x) + 1 − 25x −40x cos4 (8x) sin(8x) − 2 cos5 (8x) + (4.364) x3