Limite Trigonometrico
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- 2. Supongamos que 0 <x< pi/2 y la circunferencia centrada en el origen de radio 1
- 3. El punto T, pasa por el origen (0,0) y por el punto P( cos x, sen x) Obtenemos la recta conociendo los dos senx puntos y= t cos x Cuando t=1, obtenemos el punto T (1, senx/ cosx)
- 4. De la figura se observa que BOP(TRIANGULO) ≤ BOP( SECTORCIRC ) ≤ BOT (TRIANGULO) 1 1 1 AP OB ≤ r 2θ ≤ BT OB 2 2 2 1 ( sen x ) (1) ≤ 1 (1) 2 ( x) ≤ 1 sen x (1) 2 2 2 cos x Multiplica cada miembro por 2/senx , entre 0<x<pi/2 x 1 1≤ senx ≤ cos x
- 5. Se toma el reciproco de cada miembro de esta desigualdad (invertimos los signos de la desigualdad) senx cos x ≤ ≤1 x La expresión senx/x es positiva para –pi/ 2<x<pi/2 lim cos x = 1 x→ 0 y lim 1 = 1 x→ 0
- 6. sen x lim x = 1 x→ 0
- 7. Demostración 2 1 − cos x lim x = 0 x→ 0 Multiplico y divido por un factor 1 − cos x 1 + cos x lim x . 1 + cos x x→ 0 1 − cos 2 x lim x(1 + cos x) x→ 0 Aplico identidad trigonométrica lim x→ 0 sen 2 x x (1 + cos x )
- 8. senx senx lim x lim 1 + cos x x→ 0 x→ 0 1. 0 2 = 0
- 9. RESUMEN sen x =1 lim x x→ 0 1 − cos x lim x = 0 x→ 0
- 10. EJEMPLOS 1 − cos x lim sen x x→ 0 1.− tg x lim x x→ 0 4.− 2.− x lim sen x x→ 0 5.− lim sen 4 x 3.− sen 4 x lim x x→ 0 sen 5 x x→ 0 6.− 2 tan 2 x lim x 2 x→ 0
- 11. EJEMPLOS 1 − cos x lim sen x x→ 0 1.− tg x lim x x→ 0 4.− 2.− x lim sen x x→ 0 5.− lim sen 4 x 3.− sen 4 x lim x x→ 0 sen 5 x x→ 0 6.− 2 tan 2 x lim x 2 x→ 0