Este documento define la ecuación de Cauchy-Euler como una ecuación diferencial lineal donde el grado de los coeficientes monomiales coincide con el orden de derivación. Explica tres métodos para resolverla dependiendo si las raíces son reales distintas, reales iguales o complejas. Incluye ejemplos ilustrativos de cada caso.

2. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
Diego Sandoval
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER: DEFINICI ´ON
Una ecuaci´on diferencial lineal de la forma:
anxn dny
dxn
+ an−1xn−1 dn−1y
dxn−1
+ ... + a1x
dy
dx
+ a0y = g(x)
donde los coeficientes an, an−1, ..., a0 son constantes, se conoce como
ecuaci´on de Cauchy-Euler.
La caracter´ıstica observable de este tipo de ecuaci´on es que el grado
k = n, n − 1, ... , 1, 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el
orden k de la derivaci´on
dky
dxk
EJEMPLOS DE ECUACIONES DE CAUCHY-EULER
1 x2y + 5xy + 3y = 0
2 x3y − 3x2y + 6xy − 6y = 3 + lnx3

4. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
M ´ETODO DE SOLUCI ´ON
En las ecuaciones de Cauchy-Euler se buscan soluciones de la forma: y = xm.
Para establecer las soluciones se debe sustituir: y = xm
y sus respectivas derivadas: y = mxm−1 y = m(m − 1)xm−2 ...
En la ED homog´enea asociada, de manera que la ecuaci´on se transforma en
un polinomio en el cual se puede determinar los valores de m.
Hay tres casos a considerar que dependen de si las ra´ıces de la ecuaci´on son:
Reales y distintas. En este caso la soluci´on es de la forma
y = c1xm1 + c2xm2 + ... + cnxmn
Reales e iguales. Con soluci´on general:
y = c1xm1 + c2xm2 ln x + ... + c2xmn ln xn
Complejas conjugadas. En el ´ultimo caso las ra´ıces aparecen como
pares conjugados del tipo:
xα(c1cos(β ln x) + c2sen(β ln x))

5. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
EJEMPLO CASO 1: RA´ICES REALES DISTINTAS
1 Resolver la ecuaci´on diferencial: x2y − 3xy + 3y = 2x4ex
Soluci´on: Se inicia por resolver la ecuaci´on homog´enea asociada:
x2y − 3xy + 3y = 0
Haciendo la sustituci´on: y = xm y = mxm−1 y = m(m − 1)xm−2
La ED toma la forma: x2m(m − 1)xm−2 − 3xmxm−1 + 3xm = 0
Se operan los coeficientes de x y se toma el factor com´un xm:
xm(m − 1)(m − 3) = 0
De esta manera: m1 = 1 o m2 = 3
Como las ra´ıces son distintas, la soluci´on la ecuaci´on es homog´enea es:
y = C1x + C2x3
Mediante el m´etodo de variaci´on de par´ametros se encuentra la soluci´on
particular: yp = 2x2ex − 2xex.
Es decir, la soluci´on general de la ED es:
y = C1x + C2x3 + 2x2ex − 2xex

6. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
EJEMPLO CASO 2: RA´ICES REALES REPETIDAS
1 Resolver la ecuaci´on diferencial: x2y + 3xy + y = 0
Soluci´on: Para resolver esta ecuaci´on se inicia por hacer la sustituci´on:
y = xm y = mxm−1 y = m(m − 1)xm−2
Luego se reemplaza en la ecuaci´on diferencial.
x2m(m − 1)xm−2 + 3xmxm−1 + xm = 0
Se operan los coeficientes de x y se toma el factor com´un xm:
xm(m2 + 2m + 1) = 0
xm(m + 1)(m + 1) = 0
De esta forma: m1 = −1 o m2 = −1
Como las ra´ıces son iguales, la soluci´on general de la ecuaci´on es:
y = C1x−1 + C2x−1 ln x

7. ECUACI ´ON DE CAUCHY-EULER
EJEMPLO CASO 3: RA´ICES COMPLEJAS
1 Resolver la ecuaci´on diferencial: x3y + 5x2y 7xy + 8y = 0
Soluci´on: Para resolver esta ecuaci´on se inicia por hacer la sustituci´on:
y = xm y = mxm−1 y = m(m − 1)xm−2
y = m(m − 1)(m − 2)xm−3
Luego se reemplaza en la ecuaci´on diferencial.
x3m(m−1)(m−2)xm−3 +5x2m(m−1)xm−2 +7xmxm−1 +8xm = 0
Se operan los coeficientes de x y se toma el factor com´un xm:
xm(m3 + 2m2 + 4m + 8) = 0
xm(m + 2)(m2 + 4) = 0
De esta forma: m1 = −2, m2 = 2i o m3 = −2i
Y la soluci´on general de la ecuaci´on es:
y = c1x−2 + c2 cos(2 ln x) + c3 sen(2 ln x)

8. BIBLIOGRAF´IA
ZILL, D., CULLEN, M., Ecuaciones diferenciales con problemas con valores
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BOYCE, W., DIPRIMA, R., Elementary Differential Equation and Boundary
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POLKING, J., BOGGESS, A., ARNOLD, D., Differential equations with boun-
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