El documento explica las ecuaciones diferenciales parciales (E.D.P.), que son expresiones matemáticas que contienen una o más variables dependientes y dos o más variables independientes. Las E.D.P. se pueden clasificar según su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera. Se proveen ejemplos para ilustrar el concepto y orígenes comunes de las E.D.P., como problemas de física.

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Ecuaciones Diferenciales Parciales (E.D.P.)
Una ecuación diferencial parcial es una expresión matemática que contiene una o más variables dependientes (o incógnitas) y dos o más variables independientes.
Las E.D.P. se pueden clasificar de acuerdo a su orden, linealidad y tipo de condiciones de frontera.
El orden de una E.D.P está determinado por la derivada parcial de mayor orden presente en la expresión.
Ejemplo:
1) La ecuación 휕푢 휕푥 − 푘 휕푢 휕푥 =0 es de primer orden.
2) La ecuación 휕2푢 휕푥2− 푘 휕푢 휕푥 =0 es de segundo orden.
3) La ecuación ( 휕3푢 휕푥3) 2+ 휕2푢 휕푦2+ 휕2푢 휕푡2=0 es de tercero orden.
NOTA: Usaremos en lo sucesivo la notación que se emplea en cálculo diferencial:
푝= 휕푧 휕푥 ,푞= 휕푧 휕푦 ,푟= 휕2푧 휕푥2 ,푠= 휕2푧 휕푥휕푦 ,푡= 휕2푧 휕푦2
Origen de las E.D.P.
El origen de las E.D.P. son de primitivas, problemas geométricos y de problemas físicos.
Ejemplo: Eliminando las constantes arbitrarias a y b de la función z de dos variables independientes x e y, definidas por la relación:
푥2푦+푎푧+푏푦=0 ………. (i)
Hallar la E.D.P.:
SOLUCIÓN:
Derivando parcialmente (i) con respecto a x e y, obtenemos:
2푥푦+푎 휕푧 휕푥 =0 ………. (ii)
푥2+푎 휕푧 휕푦 =0 ………. (iii)

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Para determinar a y b entre las ecuaciones (i), (ii) y (iii), multiplicamos (i) por 휕푢 휕푥 , (ii) por 푦 휕푧 휕푥 −푧 y (ii) por −푦 휕푧 휕푥 , sumando las 3 ecuaciones resultantes y dividiendo entre 2푥푦 , se tiene: 푦 휕푧 휕푥 −푧=0
Ejemplo: Dado 푧=푎푥2+푏푦2 ………. (i)
Hallar la E.D.P. eliminando constantes arbitrarias a y b.
SOLUCIÓN: 휕푧 휕푥 =2푎푥 o bien 푝=2푎푥 ……….. (ii)
휕푧 휕푦 =2푏푦 o bien 푞=2푏푥 ……….. (iii)
Despejando a y b de (ii) y (iii) se obtiene que 푎= 푝 2푥 y 푏= 푞 2푦 y sustituyendo en (i), se obtiene: 푝 2푥 푥2+ 푞 2푦 푦2=푧 푝 2푥 푥2+ 푞 2푦 푦2=푧
푝푥2+푞푦2=2푥푦푧 ………. (iv)
La ecuación (iv) es una E.D.P de orden uno.
Ejemplo: Eliminando a y b de 푧=푎푥+푏푦+푐푥푦 . Hallar la E.D
SOLUCIÓN: 푧=푎푥+푏푦+푐푥푦 ………. (i)
Derivando parcialmente (i) respecto de x e y, se tiene:
휕푧 휕푥 =푎+푐푦 o bien 푝=푎+푐푦 ………. (ii)
휕푧 휕푦 =푏+푐푥 o bien 푞=푏+푐푥 ………. (iii)
Estas relaciones juntas no son suficientes para eliminar las constantes.

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Derivamos (ii) parcialmente respecto a x:
휕 휕푥 (푝)= 휕 휕푥 ( 휕푧 휕푥 )= 휕2푧 휕푥2=0 o bien: 푟=0 ……….. (iv)
Derivamos (iii) parcialmente respecto a y:
휕 휕푦 (푞)= 휕 휕푦 ( 휕푧 휕푦 )= 휕2푧 휕푦2=0 o bien: 푡=0 ……….. (v)
Derivando (ii) parcialmente respecto de y y (iii) respecto de x, obtenemos:
휕 휕푦 (푝)= 휕 휕푥 (푞)= 휕2푧 휕푥휕푦 =푐 o bien 푠=푐 ………. (vi)
Sustituyendo (vi) en (ii) y (iii), resulta:
푝=푎+푠푦 de donde 푎=푝−푠푦
푞=푏+푠푦 de donde 푏=푞−푠푦 y 푐=푠
Sustituyendo a, b y c en (i), obtenemos:
푧=(푝−푠푦)푥+(푞−푠푦)푦+푠푥푦
푧=푝푥+푞푦−푠푥푦 (es una ecuación de orden dos)………. (vii)
Considerando la E.D.P.:
푎 휕2푢 휕푥2+푏 휕2푢 휕푥휕푦 +푐 휕2푢 휕푦2+푑=0 ………. (1)
Que se pueden clasificar según su linealidad en: lineales, cuasi lineales y no lineales, como sigue:
A. Si los coeficientes a, b, c y d en (1) son constantes o función de las variables independientes x, y; entonces se trata de una E.D.P. lineal.
B. Si los coeficientes a, b, c y d en (1) son funciones de la variable dependiente, y/o de sus derivadas de menor orden que el de la educación diferencial(x, y, u, 휕푢 휕푥 , 휕푢 휕푦 ), entonces se trata de una E.D.P. cuasi lineal.
C. Si los coeficientes a, b, c y d en (1) son funciones de derivadas del mismo orden que el de la ecuación diferencial (x, y, u, 휕2푢 휕푥2, 휕2푢 휕푦2, 휕2푢 휕푥휕푦 ), entonces se trata de una E.D.P. cuasi no lineal.

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Ejemplo:
1) La E.D.P. 휕푢 휕푥 −푘 휕푢 휕푦 =0 , k=constante; es lineal.
2) La E.D.P. 휕2푢 휕푥2−푢 휕푢 휕푦 =0 es cuasi lineal.
3) La E.D.P. ( 휕2푢 휕푥2) 2+ 휕2푢 휕푦2+ 휕2푢 휕푧2=0 es no lineal.
Forma General de una E.D.P. de Segundo Grado
Es de la forma:
푎 휕2푢 휕푥2+푏 휕2푢 휕푥휕푦 +푐 휕2푢 휕푦2+푑 휕푢 휕푥 +푒 휕푢 휕푦 +푓푢=푔 ………. (2)
Donde los coeficientes 푎,푏,푐,푑,푒,푓y 푔 de (2) son constantes o funciones de las variables independientes.
Si 푔≡0 entonces se trata de una E.D.P. homogénea.
Las tres formas canónicas de la E.D.P. de segundo orden (2), son determinados por los siguientes criterios.
Si 푏2−푎푐<0, entonces es una ecuación ELÍPTICA.
Si 푏2−푎푐=0, entonces es una ecuación PARABÓLICA.
Si 푏2−푎푐>0, entonces es una ecuación HIPERBOLÍCA.
Ejemplo: 1) La ecuación 휕2푢 휕푥2+ 휕2푢 휕푦2=0 ………. (i) es elíptica.
En efecto, comparando (i) con (2), tenemos:
푎=1,푏=0,푐=0
푏2−푎푐=(0)2−(1)(1)=−1<0
Por lo tanto, la ecuación (i) es elíptica.
2) La ecuación 푘 휕2푢 휕푥2= 휕푢 휕푡 con 푘>0 es parabólica.
Las condiciones INICIALES y de FRONTERA que están asociados con una E.D.P., se debe especificar con la finalidad de poder obtener una solución particular de la ecuación. En general, el tipo de condiciones de frontera de una E.D.P. se divide en tres

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categorías: condiciones de Dirichlet, las condiciones de Cauchy y condiciones de Robbins.
Condición de Dirichlet: En las condiciones de Dirichlet, los valores de la variable dependiente son conocidos, para valores fijos de la variable independiente. Por ejemplo, para la ecuación parte (2) del ejemplo anterior, unas condiciones de Dirichlet podrían ser:
Para la condición inicial:
푢=푓(푥) para 푡=0 y 0≤푥≤퐿, otro caso podría ser, 푢=푢0 con 푢0=푐표푛푠푡푎푛푡푒 , para 푡=0 y 0≤푥≤퐿
Para la condición de frontera:
푢=푓(푥) para 푥=0 y 푡=0, o bien podría ser 푢=푢1 con 푢1= 푐표푛푠푡푎푛푡푒 para 푥=퐿 y 푡>0.
ALGUNAS E.D.P. IMPORTANTES
1. Ecuación de la conducción de calor
휕푢 휕푡 =푘∇2푢
Aquí 푢(푥,푦,푧,푡) es la temperatura de un sólido que está situada en el punto(푥,푦,푧) en el instante 푡. La constante 푘 llamada difusibilidad es igual a 푘 휎휏⁄ donde la conductividad térmica 푘, el calor específico 휎 y la densidad (masa por unidad de volumen) 휏 se toma como constante.
휕푢 휕푡 =푘 휕2푢 휕푥2 con 푘>0 ………. (3)
La ecuación (3) es llamada Ecuación de la conducción de calor unidimensional.
La E.D.P. (6) es parabólica pues:
푏=0, 푐=0 y a=푘, entonces 푏2−푎푐=0
En (6), la variable dependiente 푢(푥,푡) representa la temperatura de una varilla en una posición y tiempo dado.
Esta ecuación también puede representar el flujo eléctrico en un cable.
2. La Ecuación de Laplace en dos dimensiones o temperatura de estado estable en una placa rectangular
∇2푢= 휕2푢 휕푥2+휕2푢 휕푦2=0 ………. (4)

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La cual es una E.D.P. elíptica, pues en (4), la variable dependiente 푢(푥,푡) representa la temperatura de una placa plana en una posición 푥 e 푦, en condiciones de estado estable. Esta E.D. también puede representar desplazamiento estático de membranas.
3. Ecuación de Onda unidimensional
휕2푢 휕푥2= 휕2푢 휕푡2 ………. (5)
La ecuación (5) es E.D.P. hiperbólica, acomodando se tiene:
휕2푢 휕푥2− 휕2푢 휕푡2=0
De aquí 푏=0, 푎>0 y c<0, entonces 푏2−푎푐>0.
En esta ecuación, la variable dependiente 푢(푥,푡) representa pequeños desplazamientos de una cuerda vibrante idealizada.
4. Vibraciones longitudinales de una viga
휕2푢 휕푡2=푐2휕2푢 휕푥2
Esta ecuación es la misma que la ecuación de la cuerda vibrante
5. Vibraciones transversales de una viga
휕2푦 휕푡2+푏2휕4푦 휕푥4=0
Aquí 푦(푥,푡) es la elongación transversal de un punto cualquiera 푥 en un instante cualquiera 푡.
MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA LA SOLUCIÓN DE LA E.D.P
El método de separación de una variable para la solución de una E.D.P consiste en proponer una solución del tipo:
푢(푥,푦)=푋(푥)푌(푦)
Donde 푋(푥) es una función de 푥 y 푌(푦) es una función exclusivamente de 푦, así que cualquier E.D. que se pueda representar de esta manera podrá ser resuelta con el método que a continuación se presenta.

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Ejemplo: Resolver la ecuación de calor propuesto en (3), por el método de separación de variables.
휕푢 휕푡 =푘 휕2푢 휕푥2 con 푘>0 ………. (6)
SOLUCIÓN: Puesto que 푢(푥,푡)=푋(푥)푇(푡), haremos el cambio de variable de 푌 a 푇, así:
푢(푥,푡)=푋(푥)푇(푡)
Y las derivadas parciales toman la forma:
휕푢 휕푥 =푋′(푥)푇(푡) ………. (7)
휕2푢 휕푥2=푋′′(푥)푇(푡) ………. (8)
휕푢 휕푡 =푋(푥)푇′(푡) ………. (9)
Al sustituir (7), (8) y (9) en (6) 푘푋′′(푥)푇(푡)=푋(푥)푇′(푡)
Separando variables:
푋′′(푥) 푋(푥) = 1 푘 푇′(푡) 푇(푡) ………. (10)
Para que la igualdad (10) se cumpla, y dado que el miembro de la izquierda es función solo de 푥 y el de la derecha solo de 푡, la única manera de que esto sea posible, es haciendo que la ecuación (10) sea igual a una constante, a la que por conveniencia llamaremos 휆2, así:
푋′′(푥) 푋(푥) = 1 푘 푇′(푡) 푇(푡) =휆2 ………. (11)
La constante 휆2puede ser positiva (휆2>0), negativa (−휆2<0) o bien cero (휆2=0).
Para obtener las funciones de 푋(푥) y 푇(푡), tomaremos tanto la parte de la izquierda como la derecha de (11), y los tres posibles valores de 휆2.
Caso 휆2>0 푋′′(푥)−휆2푋(푥)=0
la cual es una E.D. lineal de segundo grado, cuya ecuación característica es 푚2−휆2=0, donde la solución es: 푋(푥)=푐1푒휆푥+푐2푒−휆푥

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la cual puede ser escrita de manera alternativa como: 푋(푥)=푐1푐표푠ℎ (휆푥)+푐2푠푒푛ℎ(휆푥)
Y con el segundo miembro de (11) 푇′(푡)−휆2푘푇(푡)=0
Que es una E.D. lineal de primer orden, cuya solución es: 푇(푡)=푐3푒휆2푥
Una vez obtenida las funciones 푋(푥) y 푇(푡), una solución particular propuesta por el método tiene la forma: 푢(푥,푡)=푋(푥)푇(푡)=(푐1푒휆푥+푐2푒−휆푥)푐3푒휆2푥
O también: 풖(풙,풕)=(풄ퟏ퐜퐨퐬퐡(흀풙)+풄ퟐ풔풆풏풉(흀풙))풄ퟑ풆흀ퟐ풙
Caso −휆2<0 푋′′(푥)+휆2푋(푥)=0
El cual es una E.D. lineal de segundo orden, cuya ecuación característica es 푚2+휆2=0, donde la solución es: 푋(푥)=푐1cos (휆푥)+푐2푠푒푛(휆푥)
Y 푇′(푡)+휆2푘푇(푡)=0
Que es una E.D. lineal de primer orden, cuya solución es: 푇(푡)=푐3푒−휆2푥
De aquí la solución particular es: 풖(풙,풕)=푿(풙)푻(풕)=(풄ퟏ퐜퐨퐬 (흀풙)+풄ퟐ풔풆풏(흀풙))풄ퟑ풆흀ퟐ풙

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Caso 휆2=0 푋′′(푥)=0
La cual E.D. lineal de segundo orden, cuya ecuación característica es 푚2,donde la solución es: 푋(푥)=푐1+푐2푥
Y 푇′(푡)=0
Que es una E.D. lineal de primer orden, cuya solución es: 푇(푡)=푐3
Una vez obtenidas las funciones 푋(푥) y 푇(푡), una tercera solución particular, tiene la forma: 풖(풙,풕)=푿(풙)푻(풕)=(풄ퟏ+풄ퟐ풙)풄ퟑ