El documento aborda el concepto intuitivo de límite en matemáticas, explorando su aplicación práctica y métodos de cálculo como algebraicos, numéricos y gráficos. Se destaca la importancia de la aproximación a valores específicos y la condición para la existencia del límite, así como ejemplos ilustrativos de funciones. El objetivo es que los estudiantes comprendan y apliquen el concepto de límite en diferentes contextos matemáticos.

1. Límites
Escuela Superior de Actopan
Ing. Miguel Ángel Mejía Ordoñez

2. Asignatura: La matemática del cambio
Bloque I: Límites y Continuidad
Tema: 1. Concepto intuitivo de límite de una función.
2. Situaciones prácticas donde se presenta el concepto de límite.
3. Cálculo de límites por métodos algebraicos, numéricos y gráficos.

3. Objetivo general
Interpretar el concepto de límite para calcular y explicar
procedimientos y modelos algebraicos.

4. Aprendizaje esperado
-Conceptualizar gráficamente el concepto de límite.
-Identificar situaciones donde se apliqué el concepto de
límite.
-Calcular límites por métodos algebraicos, numéricos y
gráficos.
-Calcular límites al infinito.

5. Competencias Genéricas
COMUNICACIÓN:
4.Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos
mediante
la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
CREATIVIDAD:
5.Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de
métodos establecidos.
PENSAMIENTO CRÍTICO:
6.Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia
general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

6. Competencias Disciplinares
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos,
gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y
el uso de las tecnologías de la
información y la comunicación.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos
matemáticos y científicos.

7. Abstract
Keywords:
Resumen
Alguna vez han estado en un estacionamiento en el que puede “aproximarse” al
automóvil de enfrente, pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta noción de estar
cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y
en la cual está involucrada el concepto de límite, en el que descansa el
fundamento del cálculo.
Palabras clave: Aproximación, cerca, matemáticas, límite y cálculo.
Have you ever been in a parking lot where you can “approximation” the car in front
of you, but don't want to touch or hit it. This notion of being closer and closer
to something, but without touching it, is very important in mathematics and in
which the concept of limit is involved, on which the foundation of calculus rests.
Approximation, near, mathematics, limit and calculation.

8. Cuando una variable “se aproxima” a
un valor particular, examinaremos el
efecto que tiene sobre los valores
de la función.
Noción de límite

9. Acercamientos Laterales
Por izquierda Por derecha

10. Gráfica de un acercamiento por derecha
Matemáticamente: x  3+
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio
de valores mayores que el 3, se dice
que x se aproxima a 3 por la derecha
3
5
x

11. Gráfica de un acercamiento por izquierda
Matemáticamente: x  3-
Cuando x se aproxima a 3 por medio de
valores menores que el 3, se dice que x se
aproxima a 3 por la izquierda
Gráficamente:
3
5
x

12. Si realizamos ambas aproximaciones
al mismo tiempo, obtenemos:
3
5
x x

13. Lím f (x) 
5
x3
Observando lo anterior, se puede decir que
si x tiende a 3 por la izquierda, la función
tiende al valor de 5.

14. Lím f (x) 5
x 3
Mientras que, si x tiende a 3 por la derecha,
la función tiende al valor de 5.

15. Nótese que para que el límite exista,
cuando la variable tiende a un número “a”
(en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la
izquierda como por la derecha, la función
tiende a adoptar un único valor “L” (en
nuestro ejemplo L = 5)
Condición para la existencia del límite

16. ¡ Importante !
No es lo mismo decir “ x es igual a tres”
, que decir “ x tiende a tres ”

17. ¿qué ocurre con el valor de f(x)
cuando x  3 ?
3
7
5
x x

18. Condición para la existencia del límite
Nótese que cuando x tiende a 3 por
la izquierda, la función tiende al valor de 5.
Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la
función tiende al valor de 7
En este caso se dice que el límite de
f(x) cuando x tiende a 3, no existe

19. Definición
Una función f tiene límite L cuando x tiende a “a”
por cualquier lado (derecha o izquierda); y se
escribe:
Lim f (x)  L
xa
Si todos los valores f(x) para f se encuentran
cerca de L para todos los valores de que se
encuentran arbitrariamente cerca, pero que no
son iguales a “a”.

20. Conclusión
x  a
Lím f (x) 
L
si y solo si :
Lím f (x)  Lím
xa
Nótese que para que el límite de una
función (en un valor de x) exista, no es
necesario que la función esté definida
en este valor de x.

21. Ejemplo :
Analice el comportamiento de las
funciones en los siguientes gráficos a
medida que x se acerca a los
valores indicados:
1. x = 2
2. x = 1

22. Ejemplo 1:
x  2
2x2
 5x  2
f(x)


23. Ejemplo 2:


1, si x 
2
f(x)
2x  1, si x 
2

24. Ejemplo 3:
f(x ) = x2 - 1

25. Ejemplo 4: x=1
si x  1
si x 
1


1
(x
1),
f(x)  
2
(x1)2

2,

26. Graficar:
; x  2
x2
 4
x  2
f (x)


27. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,12
f(x) 3,88 3,90 3,99 --- ? --- 4,01 4,10 4,12
; x 
2
x2
 4
x  2
f (x)


28. • En ambos casos la información apunta a la
misma conclusión: los valores de f(x) se
aproxima a 4 cuando los valores de x se
aproximan a 2. Este comportamiento se denota
por:
2
 4



 x
 2




x  4
Lim
x2
x  2
 4
x2
◼ Y se lee “ límite de la función f(x)

aproxima 2 es 4”
cuando x se

29. Referencia bibliográfica
 BIBLIOGRAFÍA BÁSICA
Granville. W. (2009). Cálculo Diferencial e Integral.
México Limusa.
Ortiz. F
. (2015). Cálculo Diferencial 2ª Edición. México
Patria.
 BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA
Conamat. (2009). Cálculo Diferencial. México
Pearson.