El documento explica conceptos fundamentales del cálculo como límites y continuidad. Define el límite como el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor particular, sin llegar a él. Explica los acercamientos laterales por izquierda y derecha, y que para que exista el límite ambos acercamientos deben dar el mismo valor. Finalmente, provee ejemplos y ejercicios recomendados para practicar estos conceptos.

1. Cálculo diferencial (Arq)
Límites y continuidad

2. Alguna vez ha estado Ud. en una playa de
estacionamiento en el que puede
“aproximarse” al automóvil de enfrente,
pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta
noción de estar cada vez más cerca de
algo, pero sin tocarlo, es muy importante
en matemáticas y en la cual está
involucrada el concepto de límite, en el
que descansa el fundamento del cálculo.
Noción de límite

3. Cuando una variable “se aproxima” a
un valor particular, examinaremos el
efecto que tiene sobre los valores de
la funciòn.
Noción de límite

4. 2. Acercamientos Laterales
Por izquierda Por derecha

5. Gráfica de un acercamiento por derecha
Matemáticamente: x → 3+
Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio
de valores mayores que el 3, se dice
que x se aproxima a 3 por la derecha
3
5
x

6. Gráfica de un acercamiento por izquierda
Matemáticamente: x → 3-
3
5Gráficamente:
Cuando x se aproxima a 3 por medio de
valores menores que el 3, se dice que x se
aproxima a 3 por la izquierda
x

7. Si realizamos ambas aproximaciones al
mismo tiempo, obtenemos:
3
5
x x

8. 5)(
3
=−
→
xfLím
x
Observando los slides anteriores, se puede
decir que si x tiende a 3 por la izquierda, la
función tiende al valor de 5.

9. 5)(
3
=+
→
xfLím
x
Mientras que, si x tiende a 3 por la derecha,
la función tiende al valor de 5.

10. Nótese que para que el límite exista,
cuando la variable tiende a un número “a”
(en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la
izquierda como por la derecha, la función
tiende a adoptar un único valor “L” (en
nuestro ejemplo L = 5)
Condición para la existencia del límite

11. ¡ Importante !
No es lo mismo decir “ x es igual a tres” ,
que decir “ x tiende a tres ”

12. ¿qué ocurre con el valor de f(x)
cuando x → 3 ?
3
5
7
x x

13. Condición para la existencia del límite
Nótese que cuando x tiende a 3 por la
izquierda, la función tiende al valor de 5.
Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la
función tiende al valor de 7
En este caso se dice que el límite de f(x)
cuando x tiende a 3, no existe

14. Graficar:
2;
2
4
)(
2
≠
−
−
= x
x
x
xf

15. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,12
f(x) 3,88 3,90 3,99 --- ? --- 4,01 4,10 4,12
2;
2
4
)(
2
≠
−
−
= x
x
x
xf

16. En ambos casos la información apunta a la
misma conclusión: los valores de f(x) se
aproxima a 4 cuando los valores de x se
aproximan a 2. Este comportamiento se denota
por:
4
2
42
2
=







−
−
→ x
x
Limx
2x
4x
)x(f
2
−
−
=Y se lee “ límite de la función en 2 es 4”

17. Definición
Una función f tiene límite L cuando x tiende a
“a” por cualquier lado (derecha o izquierda);
y se escribe:
LxfLim
ax
=
→
)(
Si todos los valores f(x) para f se encuentran
cerca de L para todos los valores de que se
encuentran arbitrariamente cerca, pero que no
son iguales a “a”.

18. Conclusión
LxfLím
ax
=
→
)( si y solo si :
LxfLímxfLím
axax
== +−
→→
)()(
Nótese que para que el límite de una
función (en un valor de x) exista, no es
necesario que la función esté definida en
este valor de x.

19. Ejercicios del texto
Página 92: ejemplo 2, 3 y 6.

20. Ejemplo :
Analice el comportamiento de las
funciones en los siguientes gráficos a
medida que x se acerca a los valores
indicados:
1. x = 2
2. x = 1

21. Ejemplo 1:
2x
25x2x
f(x)
2
−
+−
=

22. Ejemplo 2:



=
≠−
=
2xsi1,
2xsi1,2x
f(x)

23. Ejemplo 3:
f(x ) = x2
- 1

24. Ejemplo 4: x=1




>+−
<+
=
1xsi2,1)(x
1xsi1),(x
2
1
f(x)
2

25. Ejercicios recomendados
Ejercicios 2.2: (pág. 99-102)
4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 y 18.
Ejercicios 2.3: (pág. 109-110)
43, 44, 45 y 46.