Este documento presenta los conceptos fundamentales de límites y continuidad en cálculo diferencial de una variable. Explica las nociones de límite, dominio, recorrido y continuidad de funciones. También incluye ejemplos de cómo calcular límites gráfica y analíticamente, y revisa las propiedades básicas de límites de funciones. El objetivo es desarrollar habilidades para resolver problemas matemáticos aplicando estos conceptos a situaciones reales.

4. Red de contenidos FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD LA DERIVADA APLICACIONES INTEGRALES

9. Noción de límite Alguna vez ha estado Ud. en una playa de estacionamiento en el que puede “aproximarse” al automóvil de enfrente, pero no quiere tocarlo ni golpearlo. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo.

10. Noción de límite Cuando una variable “ se aproxima ” a un valor particular, examinaremos el efecto que tiene sobre los valores de la funciòn.

12. Gráfica de un acercamiento por derecha Matemáticamente : x  3 + Gráficamente: Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores mayores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha 3 5 x

13. Gráfica de un acercamiento por izquierda Matemáticamente: x  3 - Gráficamente: Cuando x se aproxima a 3 por medio de valores menores que el 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda 3 5 x

14. Si realizamos ambas aproximaciones al mismo tiempo, obtenemos: 3 5 x x

15. Observando los slides anteriores, se puede decir que si x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5.

16. Mientras que, si x tiende a 3 por la derecha, la función tiende al valor de 5.

17. Nótese que para que el límite exista , cuando la variable tiende a un número “ a ” (en nuestro ejemplo a = 3) tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a adoptar un único valor “ L ” (en nuestro ejemplo L = 5) Condición para la existencia del límite

18. ¡ Importante ! No es lo mismo decir “ x es igual a tres” , que decir “ x tiende a tres ”

19. ¿qué ocurre con el valor de f ( x ) cuando x  3 ? 3 5 7 x x

20. Condición para la existencia del límite Nótese que cuando x tiende a 3 por la izquierda, la función tiende al valor de 5. Mientras que si x tiende a 3 por derecha, la función tiende al valor de 7 En este caso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a 3, no existe

21. Graficar:

22. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x 1,88 1,90 1,99 --- 2,00 --- 2,01 2,10 2,12 f(x) 3,88 3,90 3,99 --- ? --- 4,01 4,10 4,12

25. Conclusión si y solo si : Nótese que para que el límite de una función (en un valor de x) exista, no es necesario que la función esté definida en este valor de x.

26. Propiedades de los límites de funciones 2. Si k es un número real lim(k · f(x)) = k · lim f(x) = k · p Sean dos funciones tales que .

27. Calcule El peso en kilos de un niño t años después de su nacimiento está modelada por la ecuación: a)¿Cuantos kilos tenia el niño al nacer? b)¿Cuál es el peso aproximado del niño cuando cumpla cinco años? c)¿Cuál es el peso aproximado del niño cuando cumpla diez años?