teller de logica matematica 10-1 jornada tarde

1. LOGICA MATEMATICA (1)
La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal, o
logística,1 es parte tanto de la lógica y como de la matemática, y consiste en el estudio
matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la
matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las
ciencias de la computación y con la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que
codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números,
demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro su campos: teoría de modelos, teoría de la
demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica
matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las
matemáticas.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la
lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas
matemáticamente.
La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera es la
aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento
matemático y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de técnicas matemáticas a la
representación y el análisis de la lógica formal.
Si la teoría de la demostración y la teoría de modelos han sido el fundamento de la lógica
matemática, no han sido más que dos de los cuatro pilares del sujeto. La teoría de
conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de
muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, a partir del
teorema de Cantor, a través del estatus del axioma de elección y la cuestión de la
independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas
cardinales.
La teoría de la recursión captura la idea de la computación en términos lógicos y
aritméticos. Sus logros más clásicos son la indivisibilidad del Entscheidungsproblem de
Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. Hoy en día, la teoría de la
recursión se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de
complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente solucionable?) y de la clasificación
de los grados de insolubilidad.

2. CLASES DE PROPORCIONES (2)
1) Carlos Fuentes es un escritor. (Simple)
2) Sen(x) no es un número mayor que 1. (Compuesta)
3) El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple)
4) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta)
5) El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple)
6) El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta)
7) Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta)
8) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta)
9) No todos los números primos son impares. (Compuesta)

3. CONECTIVOS LOGICOS EN PROPORCIONES COMPUESTAS (3)
NEGACIÓN
Palabras conectivas: no, no es cierto que, no es verdad que, nunca, carece de, sin, etc.
Prefijos negativos: a, des, in, i.
Condición: lo V se transforma en F (y al revés) P -p
CONJUNCIÓN: .
Palabras conectivas: y, aunque, pero, mas, también, sin embargo, además, etc.
Condición: es V cuando ambas son V.
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "el auto enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene
corriente en la batería"
Sean:
p= tiene gasolina el tanque
q = tiene corriente la batería
r = el auto enciende = p ^ q
La conclusión resultante es que para que el auto encienda se debe tener gasolina en el
tanque y corriente en la batería, sino se tiene una de estas dos condiciones el arrancará.

4. DISYUNCIÓN INCLUSIVA
Una, otra o ambas a la vez. (y/o)
Palabras conectivas: o
Condición: es F cuando las dos son F.
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra boleto u obtiene
un pase"
Sean:
p= compra boleto
q = obtiene un pase
r = una persona entra al cine = p v q
La conclusión resultante es obvia, puesto que para entrar al cine es necesario tener por lo
menos una de las dos condiciones: comprar un boleto o tener un pase, si se tiene ambas
también se puede entrar, si no tengo ninguna de las dos alternativas entonces no se
puede entrar al cine.
DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
O una o la otra (NUNCA ambas juntas)
Palabras conectivas:
O ......... o .....
O bien .... o bien
.... a menos que ....
.... salvo que ......
Condición: es V cuando uno es V y el otro es F.

5. LA CONDICIONAL
Palabras conectivas: Si ..p.. entonces ..q.. Si ..p.. , ..q.. Cuando .......p............. , ......q..
Siempre ......p............. , ....q.. Es condición suficiente..p..para que..q.. .........q........ sólo si
......p....... Es condición necesaria...q..para que..p..
Condición: es falsa sólo si el antecedente (p) es V y el consecuente (q) es F.
Ejemplo:
Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que
estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la
segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es
verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el
cuerpo se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe
LA BICONDICIONAL
Palabras conectivas: si y sólo si; cuando y sólo cuando; es equivalente a; es condición
suficiente y necesaria para; etc.
Condición: son verdaderas si ambas proposiciones tienen el mismo "valor de verdad".

6. NEGACION CONJUNTA
Simbolizaciones equivalentes:
Palabras conectivas:
Ni.... ni.....
No.... ni.....
Condición: es V si sólo ambas proposiciones son F.
NEGACION CONJUNTA
Simbolizaciones equivalentes:
Palabras conectivas:
O no............... o no......
Es incompatible.... con.......
Condición: es F si las proposiciones son ambas V

7. PROPORCIONES CONDICIONALES (4)
Las Proposiciones Condicionales expresan la condición necesaria para que tenga efecto
lo que indica la oración principal; ésta indica la causa o efecto de tal condición,
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES CONDICIONALES:
1.Me alegraría mucho, si me acompañaras.
2.Si quieres, paso por ti a las seis.
3.Te llevaré al baile; si me prometes ser puntual.
4.Si pones atención, aprenderás más pronto.
5.Podría llevar dos materias, si asisto por las tardes.
Observe cada caso y constata que la proposición indica una condición para que se lleve a
cabo lo aseverado en la oración principal:
CONDICION
1. si me acompañaras
2. si quieres
3. si me prometes ser puntual
4. si pones atención
5. si asisto por las tardes
ASEVERACION
1. me alegraría mucho
2. paso por ti a las seis
3. te llevaré al baile
4. aprenderás más pronto
5. podría llevar dos materias
Las proposiciones condicionales funcionan sintácticamente como modificadores
circunstanciales del núcleo del verbo de la oración principal.
La conjunción si, que funciona como subordinante es el encabezado que aceptan las
oraciones subordinadas condicionales, en la mayoría de los casos. Los sintagmas
conjuntivos; siempre que, con tal que, etc., también funcionan como encahezadores de
este tipo de proposiciones.

8. PROPORCION BICONDICIONAL (5)
En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble
implicación, en ocasiones abreviado en español como ssi), es una proposición de la forma
«P si y solo si Q» y se admite el bicondicional es verdadero en el caso de que ambos
componentes tengan el mismo valor vertitativo. En otras palabras, que si P ocurre
entonces también ocurre Q; y viceversa: si Q ocurre entonces también ocurre P.
Otra forma de expresar el bicondicional es decir que Q es una condición necesaria y
suficiente para P. También se conoce con el nombre de coimplicación.1
En Lógica es usual la notación {displaystyle Pleftrightarrow Q} {displaystyle
Pleftrightarrow Q}, mientras que en matemáticas es más común la notación {displaystyle
Piff Q} {displaystyle Piff Q} para denotar la equivalencia entre dos enunciados.
El valor de verdad de un bicondicional «p si y solo si q» es verdadero cuando ambas
proposiciones (p y q) tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o
falsas simultáneamente; de lo contrario, es falso.
Se tiene así que la afirmación «p si y solo si q» es lógicamente equivalente al par de
afirmaciones «Si p, entonces q», y «si q, entonces p». Escrito utilizando conectivas
lógicas :

9. TAUTOLOGIA (6)
En lógica proposicional, una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo") es una
fórmula bien formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para
cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas.1 2 La
construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una fórmula
cualquiera es una tautología o no.
EQUIVALENCIA
En lógica y matemáticas, equivalencia lógica.
En física puede significar:
Equivalencia entre masa y energía, un concepto derivado de la física relativista.
Equivalencia estática, un concepto de la mecánica clásica.
En química, un equivalente es la unidad de masa que representa a la mínima unidad que
puede reaccionar.
En traducción puede referirse a Equivalencia dinámica y formal.
En economía, equivalencia ricardiana es una teoría económica que sugiere que el déficit
fiscal no afecta a la demanda agregada de la economía.
En historia, equivalente fue un impuesto creado en 1715 por Felipe V de España para el
Reino de Valencia en aplicación del Decreto de Nueva Planta de 1707.
En derecho, el equivalente jurisdiccional es un medio diverso de la jurisdicción apto para
la legítima solución de los conflictos.
Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre equivalencia.
Wikcionario tiene definiciones y otra información sobre equivalente.

10. CONTRADICCION
En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por
ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena»
expresan contradicciones.En lógica proposicional, una contradicción se define como una
fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación
de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. Por ejemplo, la siguiente tabla
demuestra una contradicción:

11. LEYES NOTABLES EN LOGICA (7)
1.Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble negación, esto
es, la negación de la negación de una proposición p, eslógicamente equivalente a p.
Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición implica su
doble negación, pero no al revés. Esto marca una importante diferencia entre la negación
clásica e intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada una involución de
periodo dos.
Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más,
en el caso proposicional, una oración es demostrable de forma clásica, si su doble
negación es demostrable de manera intuicionista. Este resultado es conocido como el
teorema de Glivenko.
2.Leyes de idempotencia: En matemática y lógica, la idempotencia es la propiedad para
realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que
se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un
elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse
por sí mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente. Por ejemplo,
los dos únicos números reales que son idempotentes, para la operación producto (·), son
0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
3.Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes
los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
4.Leyes conmutativas:Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que puedes
intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la
misma.
a + b = b + a
a × b = b × a
5.Leyes distributivas:La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay que usarla con
mucho cuidado Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:
sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados
Así:
(a + b) × c = a × c + b × c
6.Leyes de De Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De
Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia
válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente
en términos de sí vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:

12. La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
o informalmente como:
"no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
y también,
"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de
esta forma:
METODOS DE DEMOSTRACION (8)
En matemáticas, una demostración o bien una prueba es un argumento deductivo para
asegurar la verdad de una proposición matemática. En la argumentación se pueden usar
otras afirmaciones previamente establecidas, tales como teoremas o bien las afirmaciones
iniciales o axiomas.2 En principio una demostración se puede rastrear hasta afirmaciones
generalmente aceptadas, conocidas como axiomas.3 4 Las demostraciones son ejemplos
de razonamiento deductivo y se distinguen de argumentos inductivos o empíricos; una
demostración debe demostrar que una afirmación es siempre verdadera (ocasionalmente
al listar todos los casos posibles y mostrar que es válida en cada uno), más que enumerar
muchos casos confirmatorios. Una afirmación no probada que se cree verdadera se
conoce como conjetura.
Las demostraciones emplean lógica pero normalmente incluyen una buena parte de
lenguaje natural, el cual usualmente admite alguna ambigüedad. De hecho, la gran
mayoría de las demostraciones en las matemáticas escritas puede ser considerada como
aplicaciones de lógica informal rigurosa. Las demostraciones puramente formales,
escritas en lenguaje simbólico en lugar de lenguaje natural, se consideran en teoría de la
demostración. La distinción entre demostraciones formales e informales ha llevado a
examinar la lógica matemática histórica y actual, el cuasi-empirismo matemático y el
formalismo matemático. La filosofía de las matemáticas concierne al rol del lenguaje y la
lógica en las demostraciones, y en las matemáticas como lenguaje.
El hecho de no conocer ninguna demostración de un teorema no implica su no veracidad;
sólo la demostración de la negación de este resultado implica que es falso.
Demostración directa[editar]
Artículo principal: Demostración directa
Se plantea una proposición, en la forma si p entonces q, donde p se denomina hipótesis (
condición suficiente) y q, se llama tesis o conclusión ( condición necesaria). Por ejemplo,
si llueve la pista está mojada; esto es: que es una condición suficiente para que se
aniegue la pista, es que llueva. Y si llueve necesariamente se moja la pista. En el contexto
matemático, de la verdad de la hipótesis se llega a la verdad de la conclusión, usando
proposiciones cuya certeza se conoce previamente.13

13. En la demostración directa, la conclusión se establece al combinar lógicamente los
axiomas, definiciones, y teoremas previos.14 Por ejemplo, la demostración directa puede
ser usada para establecer que la suma de dos enteros pares es siempre par:
Considere dos enteros pares x e y. Como son pares, pueden ser escritos como x = 2a e y
= 2b, respectivamente, para enteros a y b. Luego la suma x + y = 2a + 2b = 2(a+b). Por lo
tanto x+y tiene un factor de 2 y, por definición, es par. Por lo tanto la suma de dos enteros
pares es par.
Esta demostración usa la definición de enteros pares, las propiedades de los enteros para
la clausura bajo la adición y la multiplicación, y la distributividad.
También un teorema se puede enunciar en la forma "p si, sólo si q", que conlleva dos
enunciados "si...entonces". Se prueba " si p...entonces q" y además, " si q... entonces p".
Como ejemplo, {displaystyle a} a es un número impar si, sólo si {displaystyle a+1}
{displaystyle a+1} es par. Enunciados de esta índole, en la práctica, pueden demostrase
directamente los dos o bien por reducción la absurdo. Lo importante es el enlace
bicondicional.15
Demostración por Principio de inducción matemática[editar]
Artículo principal: Inducción matemática
La inducción matemática no es una forma de razonamiento inductivo. En una
demostración por inducción matemática se demuestra un único «caso base» y también
una «regla de inducción», la cual establece que un cierto caso implica el siguiente.
Aplicando la regla de inducción repetidamente, empezando del caso base
independientemente probado, demostración muchos, a veces infinitos en número, otros
casos.16 Como el caso base es verdadero, el infinito de los otros casos debe también
serlo, incluso si todos ellos no pueden ser probados directamente dada su infinitud. Un
subconjunto de inducción es infinitamente descendiente. El descenso infinito puede ser
usado para probar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos.
Una aplicación común de la inducción matemática es la de probar que una propiedad
conocida por mantenerse para un número se mantiene para todos los naturales:17
Sea N = {1,2,3,4,...} el conjunto de los números naturales,y P(n) la afirmación matemática
que involucra al número natural n que pertenece a N tal que:
(i) P(1) es verdadero, p.e., P(n) es verdadero para n = 1.
(ii) P(n+1) es verdadero donde sea que P(n) sea verdadero, p.e., P(n) es verdadero
implica que P(n+1) es verdadero.
Por lo tanto P(n) es verdadero para todos los números naturales n.
Por ejemplo, podemos probar por inducción que todos los enteros de la forma 2n + 1 son
impares:
(i) Para n = 1, 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3, y 3 es impar. Luego P(1) es verdadero.
(ii) Para 2n + 1 para algún n, 2(n+1) + 1 = (2n+1) + 2. Si 2n + 1 es impar, luego (2n+1) + 2
debe ser impar, porque añadir 2 a un número impar da un número impar. Así que P(n+1)
es verdadero si P(n) es verdadero.

14. Por lo tanto 2n + 1 es impar, para todos los números naturales n.
Es común decir «demostración por inducción» en vez de «demostración por inducción
matemática».18
Un ejemplo lógico no matemático puede ser el siguiente: Imaginemos que un restaurante
ofrece en su menú paella todos los jueves. Es decir, el evento "jueves" implica el evento
"paella". Puede ser que vayamos un lunes y haya paella. O puede ser que vayamos un
martes y no la haya. Pero lo que sabemos seguro es que todos los jueves hay paella. De
todas las posibles conclusiones lógicas que se derivan de la anterior afirmación, sólo una
de ellas es cierta: que si vamos un día y no hay paella, entonces seguro que no es jueves.
O dicho de otro modo, "no paella" implica "no jueves".
Un ejemplo matemático: la contraposición se puede usar para establecer que si a² es
impar, entonces a es impar. Es evidente que a par implica a² par (si multiplicamos un
número par por él mismo, obtenemos otro número par). Por lo tanto, podemos afirmar que
si a² no es par, entonces a tampoco lo es. O dicho de otro modo, si a² es impar, entonces
a es impar.
Demostración constructiva o por construcción[editar]
Artículo principal: Demostración por construcción
La Demostración por construcción, o demostración por ejemplo, es la construcción de un
ejemplo concreto con una propiedad específica para mostrar que algo que posea esa
propiedad existe. Joseph Liouville, por ejemplo, probó la existencia de los números
trascendentes construyendo un ejemplo explicito. También puede ser usado para
construir un contraejemplo para probar negativamente una proposición de que todos los
elementos tienen una cierta propiedad.
Esta forma de demostración fue aplicada por Cantor para probar que el conjunto de los
números reales es no numerable. El esquema demostrativo parte de la hipótesis de que
todos los números reales pueden ser enumerados y dispuestos en una sucesión, y se
construye luego un número real que no figura en tal sucesión. Salta una contradicción con
la hipótesis inicial , que asumía que todos los números reales estaban incluidos en la
sucesión. De aquí que la hipótesis de la enumeración de los números reales resulta
absurda; de modo que hipótesis contraria, esto es, la proposición de Cantor de que el
conjunto de los números reales no es numerable queda probada.20
Demostración por exhaustividad[editar]
Artículo principal: Demostración por exhaustividad
En la demostración por exhaustividad, la conclusión se establece al dividirla en un número
finito de casos y probarlos cada uno por separado. El número de casos a veces puede ser
muy grande. Por ejemplo, la primera demostración del teorema de los cuatro colores fue
una demostración por exhaustividad con 1936 casos. Esta demostración fue controvertida
pues la mayoría de los casos fueron verificados con un programa de computador y no a
mano. La demostración conocida más corta del teorema de los cuatro colores fue de 2011
y todavía tiene más de 600 casos.
Demostración probabilística[editar]
Artículo principal: Método probabilístico

15. Una demostración probabilística es una en la cual se muestra que un ejemplo existe, con
certeza, usando métodos de la teoría de probabilidad. Esto no se debe confundir con un
argumento de que un teorema es 'probablemente' cierto. Este tipo de razonamiento puede
ser llamado un «argumento de plausibilidad» y no conlleva una demostración. En el caso
de la conjetura de Collatz está claro que tan lejos está eso de ser una demostración
genuina.21 La demostración probabilística, como la demostración por construcción, es
una de las muchas formas de demostrar teoremas de existencia.
Demostración por combinatoria[editar]
Artículo principal: Demostración por combinatoria
Una demostración por combinatoria establece la equivalencia de expresiones diferentes al
mostrar que cuentan para el mismo objeto en formas diferentes. A menudo se usa una
biyección entre dos conjuntos para mostrar que las expresiones para sus dos tamaños
son iguales. Alternativamente, un argumento de doble conteo provee dos expresiones
diferentes para el tamaño de un solo conjunto, mostrando nuevamente que las dos
expresiones son iguales.