Este documento introduce conceptos básicos de conjuntos y operaciones entre conjuntos como unión e intersección. Explica que un conjunto es una colección de objetos que comparten una propiedad y provee ejemplos como equipos de fútbol y sus jugadores. También define operaciones entre conjuntos como unión, que incluye todos los elementos de ambos conjuntos, e intersección, que incluye solo los elementos comunes a ambos.

1. Introducción a la informática
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Conjuntos
Sets
Juan José Granada Taborda
Universidad Tecnológica de Pereira
jgt441@gmail.com
Resumen— conjuntos, sus operaciones y ejemplos básicos
Abstract— sets, their operations and basic examples
I. Definición
Un conjunto es la agrupación, clase, o colección de objetos o
en su defecto de elementos que pertenecen y responden a la
misma categoría o grupo de cosas, por eso se los puede
agrupar en el mismo conjunto.
¿
II. Ejemplos básicos
Vamos a designar como “A” al conjunto de un equipo de
fútbol al que llamaremos “blanco”; y los elementos son:
{Luís, José, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro, Ernesto,
Fausto…}
Para distinguirlo como elementos del conjunto A se escribiría
así:
A= {Luís, José, Mario, Rodrigo, Manuel, Jacinto, Pedro,
Ernesto, Fausto…}
Como resulta muy largo de escribir el nombre de cada uno; se
reducirá así:
A= {x½x miembro del equipo blanco}
Para aclarar que alguno de los jugadores es miembro del
equipo anotaríamos lo siguiente:
Sea A= {x½x es miembro del equipo blanco}
Todos los miembros del equipo blanco se llamarán
(hipotéticamente) “n” y este nombre se le asignará a cada
jugador escribiéndose así:
n ∈ A
Se lee “n pertenece al conjunto A” y por lo tanto n pertenece
al equipo blanco.
Si existe un equipo azul al que designaríamos como “B” y sus
elementos como f, decir que no pertenece al conjunto A se
harían de este modo:
f ∉ A
 Por comprensión y extensión
Extensión: el conjunto que enumera uno a uno todos los
elementos.
Ej: A= (a, e, i, o, u)
Comprensión: el conjunto que determina las propiedades

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que caracterizan a todos los elementos.
Ej: R= números pares menores que 20.
 Subconjuntos
Conjuntos disjuntos: son aquellos que no tienen ningún elemento en
común. Por ejemplo, los conjuntos de frutas y de animales son
disjuntos, porque no hay ninguna fruta que sea un animal, ni ningún
animal que sea una fruta: Conjuntos subconjuntos: se da cuando
todos los elementos de un conjunto pertenecen al otro.
El conjunto de los seres vivos es muy grande: tiene muchos
subconjuntos, por ejemplo:
 Las plantas son un subconjunto de los seres vivos
 Los animales son un subconjunto de los seres vivos
 Los seres humanos son un subconjunto de los animales
 Unión e intersección de conjuntos
 ¿Qué significa unir dos o más conjuntos?
La operación se denomina unión de conjuntos, y da como resultado
un nuevo conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a
ambos conjuntos. Escrito con símbolos, la unión de dos conjuntos
(por ejemplo llamados G y H) se denota así:
G ∪ H
Si queremos expresarlo en diagramas de Venn, deben primero
representarse todos los elementos en sus respectivos conjuntos y
luego incluyen todos (sin repetirlos) en un mismo diagrama. En la
siguiente imagen, se puede apreciar esta definición con mucha
claridad. Presta atención
 ¿Qué es intersección de conjuntos?
Realizar la intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo
conjunto formado solamente por aquellos elementos que estén
presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras: sólo
forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en
común.
Existe un símbolo matemático para la intersección. Para poner un
ejemplo,la intersección de dos conjuntos llamados G y H se denota
de la siguiente manera:

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G ∩ H
En vez de ejemplificar en diagramas, esta vez veremos cómo se
representa la intersección de conjuntos definida por extensión.
Primero definimos a los respectivos conjuntos:
G = { a, b, c, d, e, f, g, h }
H = { a,e,i,o,u }
G ∩ H = { a,e }
En efecto, a y e, son los únicos elementos en común, es decir que
están presentes en los dos conjuntos a la vez.
Veamos un ejercicio ejemplo:
Partimos de la existencia de dos conjuntos que son los siguientes:
R = {–7–2, 0, 2, 4}
S = {–4, –2, 5, 3, 4}
Se pide realizar las siguientes operaciones:
a) R ∪ S
b) R ∩ S
a) que la unión de conjuntos se plantea como la reunión de los
elementos de ambos conjunto, sin escribir repetidos los que están dos
veces. Entonces quedaría que:
R ∪ S = {–7–2, 0, 2, 4, –4, 5, 3}
b) Recordamos que la intersección de conjuntos, se plantea como la
lista de elementos que ambos tienen en común. Entonces, en este
caso, quedaría que:
R ∩ S = {–2, 4}
 Caso especial: conjuntos disjuntos
Podría ser que al intentar realizar la intersección de conjuntos, éstos
no tengan elementos en común. En ese caso, se dice que la
intersección es vacía, o sea, es un conjunto vacío. Escrito en
símbolos, esto se señala así:
A ∩ B = ∅
De la mano de esto, introducimos un nuevo concepto: el de conjuntos
disjuntos. Se dice que dos conjuntos son disjuntos, cuando
su intersección es vacía. Para citar un ejemplo podríamos decir que
si C, es el conjunto de las letras consonantes y V es el conjunto de las
letras vocales,
C ∩ V = ∅
 Conjunto universo
En matemáticas, principalmente en teoría de conjuntos y lógica
de clases, un conjunto universal es un conjunto formado por
todos los objetos de estudio en un contexto dado. Por ejemplo,
en aritmética los objetos de estudio son los números naturales,
por lo que el conjunto universal para este caso puede ser el
conjunto de los números naturales N. Al conjunto universal
también se le denomina conjunto referencial, universo del
discurso o clase universal, según el contexto, y se denota
habitualmente por U o V.
La elección de un conjunto universal se hace por conveniencia,
para establecer una distinción clara entre los objetos matemáticos,
todos ellos en el conjunto universal; y los conjuntos formados por
dichos objetos, todos ellos subconjuntos del conjunto universal.
Escogido un conjunto universal, para cada conjunto de objetos existe
su complementario, que contiene todos los elementos que no están en
dicho conjunto.
En teoría de conjuntos, los objetos matemáticos estudiados incluyen
a los propios conjuntos. El conjunto universal abarcaría entonces, no
sólo objetos simples como números, sino también conjuntos de
números, conjuntos de conjuntos de números, etc. Sin embargo, en
este caso suponer la existencia de un conjunto universal lleva una
contradicción conocida como la paradoja de Russell.
 Formalismos Matemáticos
Por formalismo matemático se entiende, en materias
relacionadas con las fundamentos de las matemáticas,
la filosofía de las matemáticas y la filosofía de la lógica,
una teoría que sostiene que las proposiciones de las matemáticas
y la lógica pueden considerarse como declaraciones sobre las
consecuencias de ciertas reglas de manipulación de símbolos o
términos o cadena de caracteres.12
Por ejemplo, la geometría euclidiana puede ser visto como
un juego (en el sentido de Wittgenstein) cuyo objetivo consiste
en mover ciertas cadenas de símbolos (llamados axiomas) de
acuerdo con un conjunto de reglas llamadas reglas de
inferencia para generar nuevas cadenas. En este juego se
puede demostrar o probar que el teorema de
Pitágoras es válido porque la cadena que representa el teorema
de Pitágoras se puede construir usando sólo las reglas
establecidas.
De acuerdo con el formalismo, las "verdades" expresadas en la
lógica y las matemáticas no son acerca de los números, series, o
triángulos o cualquier otra materia específica — de hecho, no
son "sobre" nada en absoluto. Son formas sintácticas cuyos
contenidos o significados o referencias (ver Sobre el sentido y la
referencia) no existen a menos que se les de una interpretación
(o semántica).
En la actualidad algunos1
— siguiendo a Michael Resnik3
—
clasifican el formalismo en "formalismo de juego" (aquel que
explícitamente propone que las matemáticas pueden ser vistas
como un juego), "formalismo de términos" (aquel en el cual los

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términos (axiomas) solo se denotan a si mismos y de ellos se
deriva proposiciones, pero sin pronunciarse acerca de la realidad
ontológica de los mismos; lo que se busca no es prueba de
existencia, pero coherencia. etc.
A partir de la década de los 80 del siglo XX, algunos han
propuesto que todo nuestro conocimiento matemático formal
debe ser sistemáticamente codificados en formatos legibles por
un ordenador, a fin de facilitar la comprobación o chequeo
automatizadas de las demostraciones matemáticas;
la Demostración automática de teoremas y el uso
de Demostración interactiva de teoremas en el desarrollo de las
teorías matemáticas y programas informáticos. Debido a su
estrecha relación con la informática, esta idea también es
atractiva a
matemáticos logicistas; intuicionistas y constructivistas de la
tradición de la "computabilidad"4
(ver también Proyecto Mizar,5
la biblioteca matemática que contiene la colección más grande
del mundo de obras matemáticas estrictamente formalizadas y
computarizadas.) (pero ver más abajo).
Se ha sugerido que la adopción del punto de vista formalista
exime a los matemáticos de la necesidad de preocuparse por
cuestiones de los “fundamentos de las matemáticas” y proceder
como si estos asuntos hubieran sido resueltos o carecieran de
interés matemático. Muchos agregan que, en la práctica, los
sistemas axiomáticos que se estudian son sugeridos por las
exigencias de la ciencia en cada caso particular.

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