Este documento resume los diferentes tipos de números reales, incluyendo su historia y clasificaciones. Comienza con los números naturales y cómo surgieron para contar objetos. Luego describe la evolución a números enteros, racionales y decimales periódicos para abarcar más situaciones matemáticas. Finalmente, introduce los números irracionales como aquellos que no pueden expresarse como fracciones y tienen decimales infinitos no periódicos, como raíz cuadrada de 2. En resumen, explica la jerarquía y propiedades de los distintos subconj

1. Números Reales.

2. Tabla de contenido…
• Historia
• Números naturales
• Números enteros
• Números racionales
• Números decimales periódicos
• Números irracionales

3. En matemáticas, los números reales (designados por ℝ) incluyen tanto a los numeros
racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; Con
los números reales podemos realizar la mayoría de las operaciones.

4. Historia.
El concepto de números reales surgió a partir de fracciones que los egipcios
desarrollaron, que se acabó de desarrollar con la ayuda de los griegos, quienes fueron
ellos los que encontraron o descubrieron mejor dicho los números irracionales.
Los números reales pueden ser expresados de distintas formas como lo pueden ser con
enteres con (2-25-48-5487) y los decimales como (1.258-5.26-0.21), Otra clasificación de los
números reales son los irracionales.

5. Números naturales
Los números naturales son los primeros que utilizo el hombre. Aparecieron con la
necesidad de contar rebaños, las personas de una tribu, etc. Indican el número de
elementos de un conjunto se define como el número de elementos de un conjunto, es
decir su cardinal.
Así, cardinal de un conjunto se define como el número de elementos que componen
dicho conjunto. Si A es el conjunto de las vocales.
A= {a, e, i, o, u}
Dos conjuntos se dicen equipolentes, si entre ellos se pueden establecer una
aplicación biyectiva. Por tanto, los dos conjuntos tienen el mismo número de
elementos, el mismo cardinal. La relación de equipotencia de conjuntos se representan
con el signo ~. Escribir A~B quiere decir que los conjuntos A y B son equipotentes:
A~B↔Ǝƒ: A→B; ƒ es biyectiva
La equipotencia de vectores es una relación de equivalencia que cumple las
propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

6. • Propiedad reflexiva: todo conjunto es equivalente consigo mismo, A~A. es evidente,
pues la aplicación de la identidad que, a cada elemento le hace corresponder el mismo
es una biyeccion.
• Propiedad simétrica: si un conjunto A es equipotente con otro, entonces el otro es
equipotente con el primero. A~B→B~A, A~B→ƒ:A→B: ƒ es biyeccion, luego Ǝƒ-1:B-A tal
que ƒ-1 es biyeccion, luego B~A:
• Propiedad transitiva: dice que si A, B y C son tres conjuntos tales que A~B y B~C,
entonces se verifica que A~C es evidente, pues la composición de las aplicaciones
biyectivas es una aplicación biyectiva.

7. Toda relación de equivalencia en un conjunto estable una clasificación donde los elementos
son las clases de equivalencia. Estas clases de equivalencia son los números naturales. A la
clase formada por el conjunto vacío se le llama cero y se le asigna el numero 0; a la clase
formada por los conjuntos unitarios se llaman número uno y se representa por el numero 1; la
clase formada por el conjunto de dos números se llama dos y se representa por el número 2, y
así sucesivamente. Por tanto, el conjunto de los números naturales que se designan por N, es
el conjunto de las clases de equivalencias N= [0, 1, 2, 3,4…].
Operaciones con números naturales
Adición o suma de los números naturales
Sean A y B de dos conjuntos tales que card (A)=a y card (B)=b y además A∩B=ᴓ. Se define la
suma de a y b y se representa por a+b, como el cardinal del conjunto AUB:
A+b=card (AUB), A∩B= ᴓ
Donde a y b son los sumadores, y el resultado se denomina suma.

8. Propiedades de la suma: son las siguientes
Propiedad conmutativa: si m y n ᴇ N, entonces m+n=n+m
Propiedad asociativa: si m,n y p son números naturales verifica que:
m+(n+p)=(m+n)+p
Sustracción o resta de números naturales
Para cada dos números naturales m y n, se llama diferencia de m y n otro número
natural p que verifica que m=n+p; myp se llama, respectivamente, minuendo y
sustraendo y p es la resta o diferencia.
La resta no es operación interna en el conjunto de los números naturales ya que solo
se puede realizar cuando m>n. 9-3=6, pues 9=6+3. Esta operación se puede realizar, pues
9>3. Sin embargo 6-8=no se puede realizar en N.
La resta no es asociativa ni conmutativa.

9. Multiplicación de los números naturales
Dodos dos números naturales llamados multiplicando y multiplicados (ambos denominados
factores), se llama multiplicación al resultado de sumar al multiplicando tantas veces como
indica el multiplicador. A este resultado se llama producto. La multiplicación se indica con el
signo “.” Ó “X”. Si m y n son dos números naturales: m.n=m+m+m+… (n)… +m
7.4=7+7+7+7=28
La multiplicación es operación interna en el conjunto de los números naturales. Siempre que
se multiplican dos números naturales se obtiene otro número natural. También es asociativa,
conmutativa y posee elemento neutro para N* conjunto de los números naturales menos el
cero. N*=N-{0}. Este elemento neutro es el 1, llamado elemento unidad.
División de números naturales
División en la operación matemática por la que se conoce el número de veces que un número
contiene a otro. En la división de números naturales se distingue dos casos: la división exacta
y la división inexacta
División inexacta: la división inexacta es aquella que el resultado o residuo diferente de 0 (Ɇ
de 0)
División exacta: la división exacta es aquella que el resultado o residió es 0.

10. Números Enteros
En la práctica existen situaciones que no se pueden explicar utilizando los
números naturales. Si se dice que una temperatura es de 4° C no queda
completamente determinada, pues pueden ser por encima o por debajo de 0. Los
números rojos o saldo devisitario de la cuenta corriente, no se expresa
claramente con los números naturales, situaciones como las anteriores crean la
necesidad de ampliar el campo numérico. El conjunto del número entero se
representa por la letra Z y está formado por los números naturales y los números
negativos:
Z= […,-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4,5…]

11. Números racionales.
Los números enteros si bien amplia el campo numérico de los números naturales, no
bastan para cubrir todas la necesidades que se presentan en la realidad. Al medir no
siempre se tiene un número exacto de veces la unidad. El conjunto de los números
enteros, los elementos no tienen inverso respecto de la multiplicación, etc. Estos
números, ellos se concibe con los números racionales, cuyo conjunto se representa por
Q.
Sea Z*=Z-[0]. En el conjunto producto Z. Z* se establece una relación R. Esta
relación así definida es de equivalencia, es decir, cumple las propiedades reflexiva,
simétrica y transitiva:
• Propiedad reflexiva
• Propiedad simétrica
• Propiedad transitiva

12. Números irracionales.
Los números irracionales tienen como definición que son números que poseen infinitas
cifras decimales no periódicas, que por lo tanto no pueden ser expresados como
fracciones.
Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un
cuadrado según el Teorema de Pitágoras. El resultado es la √2
Propiedades:
• Propiedad asociativa
• Propiedad cerrada
• Elemento expuesto
Clasificación de los números irracionales
• Numero algebraico
• Numero trascendente
El número más famoso es π cuyo resultado es 3.14159265359…….. Y aun se siguen
descubriendo mas decimales.

13. Fin…