Este documento presenta el método de Cross para determinar los momentos en elementos estructurales hiperestáticos. Explica que el método involucra liberar los nudos uno por uno, permitiendo que las barras interactúen y distribuyan los momentos de acuerdo a su rigidez. También describe que al rotar una barra genera un momento de respuesta en el otro extremo. El procedimiento requiere repetir ciclos de equilibrio y traspasos de momentos hasta que los desequilibrios sean menores al 10% del valor original. Finalmente, presenta un
Este documento describe el método de Cross, un método para calcular los momentos en elementos estructurales hiperestáticos. El método involucra liberar los nudos uno por uno, equilibrando los momentos aplicados en cada nudo distribuyéndolos entre las barras conectadas según su rigidez. Cada momento aplicado en una barra genera un momento de respuesta en el otro extremo. Repitiendo el proceso de equilibrio y traspaso de momentos varias veces se obtienen valores aproximados de los momentos hasta minimizar los desequilibrios.
Este documento presenta una introducción al método de Cross para el análisis de estructuras hiperestáticas. Explica las expresiones matemáticas utilizadas para determinar los ángulos de giro en los apoyos de tramos flexados, define conceptos como rigidez y transmisión, y describe los pasos iniciales del método para calcular las solicitaciones en estructuras hiperestáticas.
El documento describe el método de Cross, desarrollado por Hardy Cross en 1930 para analizar vigas estáticamente indeterminadas y marcos. El método distribuye iterativamente los momentos no equilibrados en los extremos de los miembros entre los miembros adyacentes hasta alcanzar el equilibrio. Se explican los pasos para aplicar el método, incluyendo calcular los momentos iniciales con las juntas fijas, determinar la rigidez de los miembros, calcular factores de distribución y transporte, y repetir el proceso hasta que no haya
El documento describe los conceptos fundamentales del método de Cross para resolver estructuras hiperestáticas. El método implica calcular primero los momentos de empotramiento en una estructura alterada donde los nudos están bloqueados, lo que genera momentos de desequilibrio en los nudos. Luego se realizan aproximaciones sucesivas para distribuir los momentos de desequilibrio entre las barras hasta alcanzar el equilibrio. El método permite resolver estructuras reticulares de forma relativamente sencilla sin sistemas complejos de ecuaciones.
Este documento presenta el método de Cross, el cual permite resolver sistemas de ecuaciones con múltiples incógnitas que surgen al aplicar el Teorema de Clapeyron para analizar estructuras hiperestáticas. Primero se explican conceptos previos como el coeficiente de traspaso y los coeficientes de distribución. Luego, se ilustra cómo el método de Cross facilita la resolución de ejemplos complejos con varias incógnitas, como marcos de varios pisos, donde Clapeyron sería tedioso.
El documento describe los conceptos de par de fuerzas y momento de un par de fuerzas. Un par de fuerzas consiste en dos fuerzas iguales en magnitud pero opuestas en dirección. El momento de un par de fuerzas depende del producto de la magnitud de una fuerza por la distancia entre ellas, conocida como el brazo del par. El momento determina el efecto rotacional de un par de fuerzas sobre un objeto.
1) Este documento presenta un método simplificado y rápido para calcular estructuras de varios pisos teniendo en cuenta el desplazamiento de los nudos.
2) El método divide el cálculo en etapas sucesivas considerando primero nudos rígidos e ignorando el desplazamiento, y luego incorporando este factor.
3) El método ofrece ventajas como cálculos correctivos en cada nudo, facilidad para actualizar cargas o dimensiones de barras, y precisión comparable a métodos más complejos.
Este documento describe el método de Cross, un método para calcular los momentos en elementos estructurales hiperestáticos. El método involucra liberar los nudos uno por uno, equilibrando los momentos aplicados en cada nudo distribuyéndolos entre las barras conectadas según su rigidez. Cada momento aplicado en una barra genera un momento de respuesta en el otro extremo. Repitiendo el proceso de equilibrio y traspaso de momentos varias veces se obtienen valores aproximados de los momentos hasta minimizar los desequilibrios.
Este documento presenta una introducción al método de Cross para el análisis de estructuras hiperestáticas. Explica las expresiones matemáticas utilizadas para determinar los ángulos de giro en los apoyos de tramos flexados, define conceptos como rigidez y transmisión, y describe los pasos iniciales del método para calcular las solicitaciones en estructuras hiperestáticas.
El documento describe el método de Cross, desarrollado por Hardy Cross en 1930 para analizar vigas estáticamente indeterminadas y marcos. El método distribuye iterativamente los momentos no equilibrados en los extremos de los miembros entre los miembros adyacentes hasta alcanzar el equilibrio. Se explican los pasos para aplicar el método, incluyendo calcular los momentos iniciales con las juntas fijas, determinar la rigidez de los miembros, calcular factores de distribución y transporte, y repetir el proceso hasta que no haya
El documento describe los conceptos fundamentales del método de Cross para resolver estructuras hiperestáticas. El método implica calcular primero los momentos de empotramiento en una estructura alterada donde los nudos están bloqueados, lo que genera momentos de desequilibrio en los nudos. Luego se realizan aproximaciones sucesivas para distribuir los momentos de desequilibrio entre las barras hasta alcanzar el equilibrio. El método permite resolver estructuras reticulares de forma relativamente sencilla sin sistemas complejos de ecuaciones.
Este documento presenta el método de Cross, el cual permite resolver sistemas de ecuaciones con múltiples incógnitas que surgen al aplicar el Teorema de Clapeyron para analizar estructuras hiperestáticas. Primero se explican conceptos previos como el coeficiente de traspaso y los coeficientes de distribución. Luego, se ilustra cómo el método de Cross facilita la resolución de ejemplos complejos con varias incógnitas, como marcos de varios pisos, donde Clapeyron sería tedioso.
El documento describe los conceptos de par de fuerzas y momento de un par de fuerzas. Un par de fuerzas consiste en dos fuerzas iguales en magnitud pero opuestas en dirección. El momento de un par de fuerzas depende del producto de la magnitud de una fuerza por la distancia entre ellas, conocida como el brazo del par. El momento determina el efecto rotacional de un par de fuerzas sobre un objeto.
1) Este documento presenta un método simplificado y rápido para calcular estructuras de varios pisos teniendo en cuenta el desplazamiento de los nudos.
2) El método divide el cálculo en etapas sucesivas considerando primero nudos rígidos e ignorando el desplazamiento, y luego incorporando este factor.
3) El método ofrece ventajas como cálculos correctivos en cada nudo, facilidad para actualizar cargas o dimensiones de barras, y precisión comparable a métodos más complejos.
El documento describe el método de Cross, un método de análisis estructural desarrollado por Hardy Cross en 1930. Explica que el método calcula solo los momentos flectores para determinar las fuerzas internas en vigas estáticamente indeterminadas y marcos. A continuación, detalla los pasos para aplicar el método de Cross a un ejemplo de viga, incluyendo el cálculo de momentos iniciales, factores de distribución, y la construcción de una tabla para iterar los valores hasta alcanzar el equilibrio.
El documento describe los conceptos fundamentales del método de Cross para resolver estructuras hiperestáticas. En particular, explica los conceptos de pares de empotramiento, nudos rígidos, factores de transmisión, rigidez y factores de distribución, que son elementos clave del método. El método de Cross permite resolver estructuras reticulares de forma relativamente sencilla mediante aproximaciones sucesivas.
Análisis de vigas indeterminadas y marcos por el método de pendienteMichael James Chele
El documento describe el análisis de vigas indeterminadas y marcos mediante el método de pendiente-deflexión. Introduce el método y cómo se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión para relacionar los momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos de los nudos y las cargas aplicadas. Luego, ilustra el procedimiento analizando una viga continua de dos claros y deduce la ecuación de pendiente-deflexión para un miembro típico a flexión.
Este documento presenta un resumen sobre el cálculo de deformaciones y deformadas en estructuras. Explica que el cálculo de deformaciones se basa en los diagramas de esfuerzos internos y que el método de doble integración utiliza la relación entre curvatura, momento flector y momento de inercia. Propone dos ejercicios para calcular la deformación vertical y el ángulo de la deformada en vigas con condiciones de contorno específicas.
Este documento describe los sistemas reticulados planos y los métodos para calcular los esfuerzos en sus barras. Explica que los sistemas reticulados están formados por barras y nudos articulados que forman triángulos. Luego describe los métodos de Cremona y de Bow para resolver estos sistemas mediante el análisis de equilibrio en cada nudo y la construcción de polígonos de fuerzas. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando estos métodos.
El documento introduce conceptos básicos de análisis sísmico e ingeniería sísmica. Explica que para diseñar elementos estructurales es necesario determinar las reacciones aplicadas mediante ecuaciones de equilibrio estático. También describe el análisis estático previo al diseño, incluyendo la identificación del tipo de elemento, establecimiento de convenciones de signos, y determinación de reacciones y diagramas de corte y momento.
El documento describe los pasos para analizar elementos de concreto armado estáticamente determinados e indeterminados. Para elementos determinados, como una viga simplemente apoyada, se aplican ecuaciones de equilibrio estático para determinar las reacciones. Para elementos indeterminados, como una viga con tres apoyos, se usa el método de Hardy Cross que distribuye momentos entre los miembros hasta alcanzar el equilibrio.
El documento explica el método de la viga conjugada, el cual permite calcular giros y desplazamientos en cualquier punto de una viga real utilizando una viga ficticia cargada con el diagrama de momentos de la viga real. Se establecen las relaciones entre la viga real y la conjugada, y cómo los apoyos en una corresponden a diferentes condiciones de contorno en la otra. Finalmente, se presentan algunos ejercicios para aplicar el método.
Este documento describe los métodos matriciales para el análisis de estructuras de elementos unidimensionales. Explica los conceptos clave como los grados de libertad, las matrices de rigidez y flexibilidad, y cómo se pueden modelar diferentes tipos de estructuras como pórticos, celosías y emparrillados usando este enfoque. También cubre temas como la discretización, los sistemas de referencia global y local, y cómo se definen y calculan los términos de las matrices de rigidez elementales.
Este documento presenta los métodos de los desplazamientos para analizar estructuras elásticas. Introduce una nueva convención de signos y define las ecuaciones de momentos y equilibrio en función de los desplazamientos y giros de las barras. Deriva expresiones para los momentos en los extremos de cada barra en términos de los desplazamientos, giros y momentos de empotramiento perfecto. Finalmente, establece que la suma de los momentos en cada nudo debe igualar al momento aplicado en dicho nudo.
El documento describe los métodos para analizar las deformaciones en vigas, incluyendo la línea elástica, supuestos base como la ley de Hooke y deducción de la fórmula de flexión. Explica el método del área de momentos, los teoremas de Mohr, y el método de doble integración para calcular ángulos de curvatura y flechas en vigas isostáticas y hiperestáticas. También presenta un ejemplo para una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.
Este documento presenta el método de rigidez según Gere para analizar vigas planas. Explica conceptos como acciones, desplazamientos, principio de superposición y rigidez. Luego detalla los pasos del método, incluyendo identificar grados de libertad, generar ecuaciones de rigidez, formular la matriz de rigidez y resolver para obtener desplazamientos. Finalmente aplica el método a una viga continua de tres tramos para calcular desplazamientos nodales.
El documento describe los conceptos básicos de las armaduras y los métodos para determinar las fuerzas internas en una armadura. Explica que una armadura está compuesta de barras unidas por sus extremos para formar una estructura rígida. Se limita al estudio de armaduras planas donde todas las fuerzas están en un mismo plano. Describe el método de los nudos y el método de las secciones para aplicar las ecuaciones de equilibrio y determinar las fuerzas internas. También explica cómo identificar barras de fuerza nula mediante aná
Este documento presenta el método de las fuerzas para analizar estructuras indeterminadas. Explica que este método involucra dividir la estructura en un sistema primario determinado y fuerzas redundantes. Luego, utiliza el principio de superposición y el método de trabajo virtual para establecer ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos que relacionan las fuerzas redundantes con los desplazamientos causados. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se pueden determinar las fuerzas finales en la estructura.
El documento describe el método para resolver la cubierta de un edificio cuando todas las pendientes de los faldones son iguales. Indica que en este caso no es necesario calcular los intervalos, sino que basta con colocar la misma medida en cada faldón. Explica que primero se trazan las intersecciones de los faldones a nivel 0 y luego se van cerrando los planos encontrando puntos de intersección y resolviendo.
El documento describe el procedimiento para resolver una cubierta cuando todas las pendientes son iguales. En estos casos, no es necesario calcular los intervalos, sino colocar la misma medida en cada faldón. También se pueden trazar bisectrices de los ángulos formados por los faldones. El procedimiento implica encontrar primero las intersecciones de los faldones a nivel 0 y luego ir cerrando los planos repitiendo los mismos pasos.
Este documento presenta ejercicios para trazar diagramas de esfuerzos en estructuras simples. Comienza analizando una viga biapoyada, calculando las reacciones y esfuerzos mediante cortes. Luego introduce relaciones diferenciales para calcular cortantes y momentos. Finalmente, muestra cómo usar los valores en los cortes para graficar los diagramas de esfuerzos.
Este documento presenta el método de Cross, el cual permite resolver sistemas estructurales hiperestáticos con múltiples incógnitas. El método considera inicialmente que todos los nudos son rígidos, generando momentos de empotramiento perfecto en cada barra. Luego se sueltan los nudos de forma secuencial, distribuyendo momentos entre las barras de acuerdo a su rigidez y generando momentos de respuesta en los apoyos opuestos. Este proceso se repite en ciclos sucesivos hasta equilibrar los desequ
Este documento presenta el método de Cross, un método para calcular los momentos en elementos estructurales hiperestáticos. Explica que el método involucra liberar los nudos uno por uno, distribuyendo los momentos aplicados en proporción a la rigidez de cada elemento. También describe que los momentos generados en un extremo se transmiten en la mitad de su valor al extremo opuesto. El procedimiento requiere repetir ciclos de equilibrio y transmisión hasta minimizar los desequilibrios residuales.
Este documento presenta el método de Cross para resolver sistemas estructurales hiperestáticos. El método involucra (1) considerar inicialmente todos los nudos como rígidos, (2) soltar los nudos uno por uno equilibrando las barras concurrentes según sus rigideces, y (3) repetir el proceso de equilibrio y traspaso de momentos entre barras hasta minimizar los desequilibrios. El método permite determinar los momentos en cada barra de forma aproximada mediante sucesivas iteraciones.
Este documento presenta el tema del Método de Cross para analizar estructuras hiperestáticas. Se detalla que el método implica considerar nudos rígidos de forma secuencial y calcular la distribución de momentos entre barras conectadas a cada nudo. También se explican conceptos como coeficientes de rigidez y traspaso de momentos entre extremos de barras. Finalmente, se provee un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método.
El documento describe el método de Cross, un método de análisis estructural desarrollado por Hardy Cross en 1930. Explica que el método calcula solo los momentos flectores para determinar las fuerzas internas en vigas estáticamente indeterminadas y marcos. A continuación, detalla los pasos para aplicar el método de Cross a un ejemplo de viga, incluyendo el cálculo de momentos iniciales, factores de distribución, y la construcción de una tabla para iterar los valores hasta alcanzar el equilibrio.
El documento describe los conceptos fundamentales del método de Cross para resolver estructuras hiperestáticas. En particular, explica los conceptos de pares de empotramiento, nudos rígidos, factores de transmisión, rigidez y factores de distribución, que son elementos clave del método. El método de Cross permite resolver estructuras reticulares de forma relativamente sencilla mediante aproximaciones sucesivas.
Análisis de vigas indeterminadas y marcos por el método de pendienteMichael James Chele
El documento describe el análisis de vigas indeterminadas y marcos mediante el método de pendiente-deflexión. Introduce el método y cómo se utiliza la ecuación de pendiente-deflexión para relacionar los momentos en los extremos de los miembros con los desplazamientos de los nudos y las cargas aplicadas. Luego, ilustra el procedimiento analizando una viga continua de dos claros y deduce la ecuación de pendiente-deflexión para un miembro típico a flexión.
Este documento presenta un resumen sobre el cálculo de deformaciones y deformadas en estructuras. Explica que el cálculo de deformaciones se basa en los diagramas de esfuerzos internos y que el método de doble integración utiliza la relación entre curvatura, momento flector y momento de inercia. Propone dos ejercicios para calcular la deformación vertical y el ángulo de la deformada en vigas con condiciones de contorno específicas.
Este documento describe los sistemas reticulados planos y los métodos para calcular los esfuerzos en sus barras. Explica que los sistemas reticulados están formados por barras y nudos articulados que forman triángulos. Luego describe los métodos de Cremona y de Bow para resolver estos sistemas mediante el análisis de equilibrio en cada nudo y la construcción de polígonos de fuerzas. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto paso a paso usando estos métodos.
El documento introduce conceptos básicos de análisis sísmico e ingeniería sísmica. Explica que para diseñar elementos estructurales es necesario determinar las reacciones aplicadas mediante ecuaciones de equilibrio estático. También describe el análisis estático previo al diseño, incluyendo la identificación del tipo de elemento, establecimiento de convenciones de signos, y determinación de reacciones y diagramas de corte y momento.
El documento describe los pasos para analizar elementos de concreto armado estáticamente determinados e indeterminados. Para elementos determinados, como una viga simplemente apoyada, se aplican ecuaciones de equilibrio estático para determinar las reacciones. Para elementos indeterminados, como una viga con tres apoyos, se usa el método de Hardy Cross que distribuye momentos entre los miembros hasta alcanzar el equilibrio.
El documento explica el método de la viga conjugada, el cual permite calcular giros y desplazamientos en cualquier punto de una viga real utilizando una viga ficticia cargada con el diagrama de momentos de la viga real. Se establecen las relaciones entre la viga real y la conjugada, y cómo los apoyos en una corresponden a diferentes condiciones de contorno en la otra. Finalmente, se presentan algunos ejercicios para aplicar el método.
Este documento describe los métodos matriciales para el análisis de estructuras de elementos unidimensionales. Explica los conceptos clave como los grados de libertad, las matrices de rigidez y flexibilidad, y cómo se pueden modelar diferentes tipos de estructuras como pórticos, celosías y emparrillados usando este enfoque. También cubre temas como la discretización, los sistemas de referencia global y local, y cómo se definen y calculan los términos de las matrices de rigidez elementales.
Este documento presenta los métodos de los desplazamientos para analizar estructuras elásticas. Introduce una nueva convención de signos y define las ecuaciones de momentos y equilibrio en función de los desplazamientos y giros de las barras. Deriva expresiones para los momentos en los extremos de cada barra en términos de los desplazamientos, giros y momentos de empotramiento perfecto. Finalmente, establece que la suma de los momentos en cada nudo debe igualar al momento aplicado en dicho nudo.
El documento describe los métodos para analizar las deformaciones en vigas, incluyendo la línea elástica, supuestos base como la ley de Hooke y deducción de la fórmula de flexión. Explica el método del área de momentos, los teoremas de Mohr, y el método de doble integración para calcular ángulos de curvatura y flechas en vigas isostáticas y hiperestáticas. También presenta un ejemplo para una viga simplemente apoyada con carga uniformemente repartida.
Este documento presenta el método de rigidez según Gere para analizar vigas planas. Explica conceptos como acciones, desplazamientos, principio de superposición y rigidez. Luego detalla los pasos del método, incluyendo identificar grados de libertad, generar ecuaciones de rigidez, formular la matriz de rigidez y resolver para obtener desplazamientos. Finalmente aplica el método a una viga continua de tres tramos para calcular desplazamientos nodales.
El documento describe los conceptos básicos de las armaduras y los métodos para determinar las fuerzas internas en una armadura. Explica que una armadura está compuesta de barras unidas por sus extremos para formar una estructura rígida. Se limita al estudio de armaduras planas donde todas las fuerzas están en un mismo plano. Describe el método de los nudos y el método de las secciones para aplicar las ecuaciones de equilibrio y determinar las fuerzas internas. También explica cómo identificar barras de fuerza nula mediante aná
Este documento presenta el método de las fuerzas para analizar estructuras indeterminadas. Explica que este método involucra dividir la estructura en un sistema primario determinado y fuerzas redundantes. Luego, utiliza el principio de superposición y el método de trabajo virtual para establecer ecuaciones de compatibilidad de desplazamientos que relacionan las fuerzas redundantes con los desplazamientos causados. Resolviendo este sistema de ecuaciones, se pueden determinar las fuerzas finales en la estructura.
El documento describe el método para resolver la cubierta de un edificio cuando todas las pendientes de los faldones son iguales. Indica que en este caso no es necesario calcular los intervalos, sino que basta con colocar la misma medida en cada faldón. Explica que primero se trazan las intersecciones de los faldones a nivel 0 y luego se van cerrando los planos encontrando puntos de intersección y resolviendo.
El documento describe el procedimiento para resolver una cubierta cuando todas las pendientes son iguales. En estos casos, no es necesario calcular los intervalos, sino colocar la misma medida en cada faldón. También se pueden trazar bisectrices de los ángulos formados por los faldones. El procedimiento implica encontrar primero las intersecciones de los faldones a nivel 0 y luego ir cerrando los planos repitiendo los mismos pasos.
Este documento presenta ejercicios para trazar diagramas de esfuerzos en estructuras simples. Comienza analizando una viga biapoyada, calculando las reacciones y esfuerzos mediante cortes. Luego introduce relaciones diferenciales para calcular cortantes y momentos. Finalmente, muestra cómo usar los valores en los cortes para graficar los diagramas de esfuerzos.
Este documento presenta el método de Cross, el cual permite resolver sistemas estructurales hiperestáticos con múltiples incógnitas. El método considera inicialmente que todos los nudos son rígidos, generando momentos de empotramiento perfecto en cada barra. Luego se sueltan los nudos de forma secuencial, distribuyendo momentos entre las barras de acuerdo a su rigidez y generando momentos de respuesta en los apoyos opuestos. Este proceso se repite en ciclos sucesivos hasta equilibrar los desequ
Este documento presenta el método de Cross, un método para calcular los momentos en elementos estructurales hiperestáticos. Explica que el método involucra liberar los nudos uno por uno, distribuyendo los momentos aplicados en proporción a la rigidez de cada elemento. También describe que los momentos generados en un extremo se transmiten en la mitad de su valor al extremo opuesto. El procedimiento requiere repetir ciclos de equilibrio y transmisión hasta minimizar los desequilibrios residuales.
Este documento presenta el método de Cross para resolver sistemas estructurales hiperestáticos. El método involucra (1) considerar inicialmente todos los nudos como rígidos, (2) soltar los nudos uno por uno equilibrando las barras concurrentes según sus rigideces, y (3) repetir el proceso de equilibrio y traspaso de momentos entre barras hasta minimizar los desequilibrios. El método permite determinar los momentos en cada barra de forma aproximada mediante sucesivas iteraciones.
Este documento presenta el tema del Método de Cross para analizar estructuras hiperestáticas. Se detalla que el método implica considerar nudos rígidos de forma secuencial y calcular la distribución de momentos entre barras conectadas a cada nudo. También se explican conceptos como coeficientes de rigidez y traspaso de momentos entre extremos de barras. Finalmente, se provee un ejemplo numérico para ilustrar la aplicación del método.
1. El método de Cross es un método de aproximaciones sucesivas para resolver estructuras hiperestáticas. Permite calcular la distribución de momentos de manera sencilla sin ecuaciones complejas.
2. El método se basa en conceptos como los pares de empotramiento, nudos rígidos, factores de transmisión, rigidez y factores de distribución.
3. El documento explica cómo calcular estos conceptos clave para piezas de sección constante, que son fundamentales para aplicar el método de Cross.
Este documento presenta el concepto de centro de corte y cuatro métodos para determinarlo: 1) método aproximado, 2) fórmulas de Rosenblueth y Esteva, 3) fórmulas de Wilbur, y 4) por definición. Se aplican los métodos a un edificio de 3 pisos y se concluye que el método por definición es el más exacto, ya que no requiere hipótesis y el centro de corte depende de las fuerzas sísmicas actuantes en cada piso.
1. El documento describe dos programas, Anesmef y Finterpo, que realizan cálculos numéricos y simbólicos de estructuras mediante el método de los elementos finitos. Anesmef resuelve problemas en 2D de estructuras articuladas, reticuladas y mixtas, mientras que Finterpo incluye elementos unidimensionales, triangulares, rectangulares y de cuerpo axilsimétrico.
2. Se incluye la solución de un problema del método de los elementos finitos donde se calcula la matriz de rig
Este documento describe el análisis de carga y esfuerzo en un bastidor de madera. Primero, analiza los esfuerzos axiales, flexión simple y combinada, y cómo varían los esfuerzos según la orientación del elemento. Luego, presenta un caso práctico donde se aplica este análisis al bastidor, determinando la inercia, estados de esfuerzo y verificando los valores calculados con software. El objetivo es comprender mejor el comportamiento mecánico del bastidor bajo carga.
P4 triangulo defuerzas 7junio2021 lunes 16 a 17 30BenjaminSoria
Este documento presenta los resultados de un experimento de mecánica sobre triángulos de fuerzas. En la práctica, el estudiante utilizó el método del triángulo de fuerzas para determinar la fuerza resultante de sistemas de fuerzas en equilibrio aplicando fuerzas iguales y diferentes. El estudiante realizó cálculos gráficos y analíticos y concluyó que el método analítico es más preciso que el método gráfico.
Este documento describe la historia y el marco teórico de los teoremas de los tres momentos. Explica que Clapeyron presentó el teorema de los tres momentos en 1857 para el análisis de vigas continuas, aunque Bertot ya lo había publicado antes. También define qué son las vigas continuas y cómo se pueden analizar usando los momentos en los apoyos como incógnitas principales. Finalmente, muestra un ejemplo numérico de cómo aplicar el método de los tres momentos para resolver un problema de ingeniería estructural.
Este documento trata sobre torsión en materiales. Explica que la torsión ocurre cuando una barra es torcida alrededor de su eje longitudinal por momentos de torsión. Describe que los esfuerzos de corte varían linealmente dentro de una sección transversal circular, siendo máximos en la superficie exterior. Presenta fórmulas para calcular los esfuerzos de corte máximos basados en el momento de torsión, momento polar de inercia y radio.
El documento describe los conceptos de flexibilidad y rigidez en estructuras. La flexibilidad es un valor que caracteriza el comportamiento deformacional bajo cargas y se define como el desplazamiento o giro producido por una carga unitaria. La rigidez es lo inverso de la flexibilidad y representa la carga necesaria para producir un desplazamiento o giro unitario. Se introduce la matriz de flexibilidad, la cual relaciona los desplazamientos en una estructura con las cargas aplicadas. Se proveen ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del análisis matricial de estructuras. Introduce las relaciones entre la carga distribuida, el cortante y el momento flector en una viga recta usando el equilibrio de fuerzas. Explica cómo relacionar el momento flector con el radio de curvatura de la deformada de la viga y deriva la ecuación de la elástica. Finalmente, describe la analogía de Mohr para determinar los giros en los extremos de una viga simplemente apoyada sometida a diferentes cargas aplicadas.
1. El documento explica el método de rigidez para analizar estructuras. Se describen las ecuaciones de rigidez que relacionan los desplazamientos de los nudos con los momentos en las barras. 2. Se analiza un ejemplo de estructura con 3 nudos y 3 barras para ilustrar cómo se determina el grado de desplazabilidad y las ecuaciones requeridas. 3. El ejemplo considera dos alternativas de vinculación y explica cómo cambian las incógnitas y ecuaciones para cada caso.
Este documento describe el método de Cross para el análisis estructural de pórticos de vigas continuas. El método implica calcular las rigideces de cada tramo, distribuir los momentos de desequilibrio en los nudos mediante factores de distribución, transportar los momentos a los extremos opuestos usando factores de transporte, y repetir el proceso hasta converger en los momentos finales. Esto permite determinar los momentos definitivos en cada tramo y calcular las reacciones en los apoyos.
El documento describe el método de Cross para el análisis estructural de vigas continuas. Este método involucra (1) calcular las rigideces de cada tramo, (2) distribuir los momentos de desequilibrio en los nudos usando factores de distribución, y (3) repetir este proceso hasta alcanzar el equilibrio. El documento provee detalles sobre cómo calcular rigideces, factores de distribución y transporte, y provee un ejemplo completo del método.
Este documento describe el método de Cross para el análisis estructural de pórticos de vigas continuas. El método de Cross es un método numérico de aproximaciones sucesivas que distribuye los momentos de desequilibrio en los nudos a través de factores de distribución. Se realizan varias iteraciones de distribución y transporte de momentos hasta que los momentos finales se equilibren. El documento explica conceptos como rigidez angular, factores de transporte y distribución, y provee un ejemplo numérico del método.
El documento describe el método de Cross para el análisis estructural de vigas continuas. Este método involucra (1) calcular las rigideces de cada tramo, (2) distribuir los momentos de desequilibrio en los nudos usando factores de distribución basados en las rigideces, (3) transportar los momentos distribuidos a los extremos opuestos, y (4) repetir los pasos hasta alcanzar equilibrio. El documento provee detalles sobre cómo calcular rigideces, factores de distribución y transporte, y provee un ej
Este documento describe el método de Cross para el análisis estructural de pórticos de vigas continuas. El método involucra calcular rigideces angulares, factores de distribución, y realizar distribuciones iterativas de momentos de desequilibrio hasta obtener momentos finales. Se provee un ejemplo completo de cálculo paso a paso para ilustrar la aplicación del método.
Este documento describe los métodos para analizar las deformaciones en vigas. Explica que las deformaciones generan una línea elástica y presenta tres supuestos básicos. Luego describe tres métodos para calcular las deformaciones: el método de área de momentos, el método de doble integración y el método de la viga conjugada. Finalmente, ilustra cada método con un ejemplo de una viga simplemente apoyada con carga uniforme.
3. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 3
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
INTRODUCCION
El poder entender y manejar el conocimiento de los
modelos estructurales requiere contar con
herramientas que nos permitan evaluar las tensiones
que se generan en los elementos componentes del
sistema.
Estas herramientas de evaluación se basan en modelos
físicos, que se establecen sobre esos elementos y que
buscan representar los fenómenos tensionales
(comportamiento tensional, deformaciones) mediante
procedimientos y ecuaciones matemáticas. La
importancia de contar con estas herramientas, para
nosotros como arquitectos o estudiantes de
arquitectura, radica en
1. Los métodos y ecuaciones matemáticas con que se
mide un fenómeno, contienen en su formulación.
las variables que intervienen en éste la medida o
proporción en que participan o influyen en el
fenómeno. Por lo tanto, es la herramienta que nos
otorga una comprensión de cómo funciona ese
fenómeno y nos dice cómo intervenir y modificarlo
en función de los requerimientos.
He aquí algunos ejemplos que ilustran este punto.
Un viga simplemente apoyada, con carga
uniformemente repartida “q” y luz “l”
Si observamos los valores dados de Momento Máximo y
de Flecha Máxima, vemos que la luz influye en el
cuadrado de su valor en las tensiones de la viga, y a la
cuarta en la deformación de ésta.
Es fácil concluir que a medida que la luz crece, la
deformación de la viga aumenta en mayor proporción
que sus tensiones.
Por otra parte, también es posible afirmar, que en la
medida que la carga aumenta, el problema de
tensiones y el de deformaciones en la viga, se
incrementa en la misma proporción.
Si esa misma viga se empotra en sus apoyos (por
ejemplo conectándola en cada uno de estos con un par
de pernos adecuadamente dimensionados) la fórmula
que representa el valor de la flecha máxima, nos
muestra que la deformación disminuirá a la quinta
parte, con respecto a la deformación original. (fig. 2)
4. 4
Este tipo de conclusiones, que lo podemos obtener en
todos los niveles de análisis estructural, desde el diseño
de un conector, al análisis y dimensionamiento de un
elemento del sistema o al análisis del modelo
estructural como un todo, nos ira proporcionando los
criterios que como arquitectos necesitamos para
enfrentar nuestros proyectos.
2. Por otra parte, el contar con estas herramientas -
que en muchos casos son simplificaciones del
fenómeno o aproximaciones a la realidad - nos
permite hacer una evaluación con miras a un
predimensionamiento o a establecer la factibilidad
de nuestras proposiciones.
En el estudio de las estructuras hiperestáticas,
debemos recurrir al estudio de las deformaciones de los
elementos para poder llegar a conocer las tensiones
que los solicitan. A partir de dichas deformaciones, se
llegan a establecer sistemas de análisis como es el caso
de los Teoremas de Clapeyron, o de los Tres y Cuatro
Momentos.
Este método nos permite determinar el valor de los
momentos en los nudos o apoyos de elementos
hiperestáticos, como lo son las vigas empotradas, las
vigas continuas, las losas y los marcos rígidos. Para
esto, es necesario establecer en cada nudo, una
ecuación por cada momento desconocido.
El asunto es que al aplicar Clapeyron al modelo, se
establecen relaciones entre dichos momentos, lo que
genera ecuaciones con tres o cuatro incógnitas, según
sea la conformación de los nudos.
Finalmente, los resultado se obtienen resolviendo
sistemas de ecuaciones, lo que resulta muy tedioso
cuando las incógnitas son varias.
En el ejemplo de la figura 3, sólo hay una incógnita y el
aplicar Clapeyron resulta eficiente ya que sólo
deberemos resolver una ecuación.
En la viga empotrada de la figura 4, también las
incógnitas se reducen a una, por la simetría del
modelo.
La viga de dos tramos de la figura 5 se resolverá con un
sistema de dos ecuaciones, si es simétrica, y de tres si
no lo es.
En cambio. el marco de dos pisos y 3 naves. de la figura
6. a pesar de la simetría que reduce las incógnitas a la
5. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 5
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
mitad. tiene una incógnita en los nudos 1 - 2 – 5, tres
incógnitas en los nudos 3 - 6, y cuatro incógnitas en el
nudo 4, con un total de trece incógnitas, que deberán
resolverse con un sistema de trece ecuaciones.
Este caso y muchos otros que enfrentaremos en
nuestros diseños, que cuentan con gran cantidad de
incógnitas, hace indispensable el contar con otra
herramienta que facilite su resolución.
Esta herramienta es el método de Cross, que podrá ser
aplicado tanto en vigas, como en losas o marcos, con
una o muchas incógnitas, pero evidentemente, cómo se
comprobara a medida de que se plantee el método y se
desarrollen ejemplos, Clapeyron seguirá, siendo más
practico, en el caso de pocas incógnitas y Cross
resultará irreemplazable, como herramienta "manual",
en caso contrario.
6. 6
ANTECEDENTES PREVIOS
1) COEFICIENTE DE TRASPASO
En una barra empotrada-rotulada, se aplica un
momento "M" en el extremo que puede girar. En el
extremo contrario (el empotramiento) se genera un
momento de respuesta “MR” tal que el ángulo φ1 en
dicho apoyo es igual a cero
01 =φ
La deformación angular (rotación), es originada por
"M"., es anulada al llegar al empotramiento por “MR”,
tal que:
0)M()M( R11 =φ−φ
0
EI3
LM
EI6
ML R
=−
por lo tanto:
2
M
MR =
Conclusiones
1. Cada vez que en una barra rotulada-empotrada,
apliquemos un momento en el extremo rotulado,
éste afectará al extremo empotrado en el que se
producirá un momento de igual sentido que el
momento original y con la mitad de su magnitud.
2. Por otra parte, en el extremo rotulado, el valor del
ángulo será:
EI6
LM
EI3
ML R
2 −=φ siendo:
2
M
MR = tenemos:
EI12
ML
EI3
ML
2 −=φ
por lo tanto:
EI4
ML
2 =φ
Este valor lo usaremos en la siguiente demostración
7. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 7
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
2) Rigidez y Coeficientes de Distribución
Al aplicar un momento a un nudo rígido, este gira tal
que:
321 φ=φ=φ (1)
Por otra parte, cada una de las barras se hace cargo de
una parte del momento solicitante para equilibrarlo,
siendo
MMMM 321 =++ . (2)
De acuerdo al valor de ángulo establecido en la
deducción. anterior
EI4
LM 11
1 =φ
EI4
LM 22
2 =φ
EI4
LM 33
3 =φ
En esta relación, la deformación angular φ, es
directamente proporcional al momento solicitante “M”
y a la capacidad de deformarse de la barra, o
flexibilidad L/4EI
Llamaremos “f” a la flexibilidad de la barra y rigidez a
su valor inverso: k = 1/f
Siendo 4 un valor constante, podemos simplificar esa
expresión, trabajando con un coeficiente de rigidez k =
EI/L o, simplemente K = I/L, ya que lo usual es que
todas las barras del nudo sean de la misma
materialidad y esta se expresa en el coeficiente de
elasticidad E.
De esta forma, el valor de los ángulos o giros de las
barras serán
1
1
1
k
M
=φ
2
2
2
k
M
=φ
3
3
3
k
M
=φ (3)
y combinando (1) con (3)
3
3
2
2
1
1
k
M
k
M
k
M
== (4)
Expresaremos todos los momentos en función de M1:
1
21
2
k
kM
M =
1
31
3
k
kM
M =
y reemplazaremos en (2)
8. 8
1
31
1
21
1
1
k
kM
k
kM
k
M
M ++=
desarrollando esta expresión
1
31211
k
kMkMM
M
++
=
( )
1
3211
k
kkkM
M
++
=
por lo tanto
( )
M*
kkk
k
M
321
1
1
++
=
( )
M*
kkk
k
M
321
2
2
++
=
( )
M*
kkk
k
M
321
3
3
++
=
Conclusiones
1. Al aplicar un momento en un nudo rígido éste será
equilibrado por todas las barras que concurren al
nudo, en proporción de sus rigideces EI/L o 1/L.
2. Podemos determinar un "coeficiente de
distribución", para la participación de cada una de
las barras concurrentes al nudo, tal que
321
1
1
kkk
k
cd
++
=
generalizando
n21
1
1
k...kk
k
cd
+++
=
ó
k
k
cd 1
1
Σ
=
k
k
cd 2
2
Σ
=
k
k
cd 3
3
Σ
= etc.
9. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 9
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
EL METODO
1. Se inicia el método considerando que todos los nudos
del entramado son absolutamente rígidos, quedando
las barras totalmente incomunicadas entre ellas ya que
cada una tendría en su extremo un empotramiento
perfecto.
Esto significa . que las barras que poseen cargas,
generarán en sus extremos pares de empotramiento
perfecto, que deberán ser calculados para aplicar el
método.
2. A continuación, se soltará nudo por nudo, de uno a la
vez. dejando congelados los demás nudos y
permitiendo que las barras de dicho nudo, entre las
que hay continuidad, interactúen.
Si en el nudo hay momentos, este girará, y dicho giro
deberá ser equilibrado por las barras que concurren al
nudo. Se produce así, una interacción entre las barras
que llegan al nudo y una distribución de los esfuerzos
(momentos) en función de las rigideces de los
elementos. (ver punto 2 de "antecedentes previos").
3. Cada barra que rotó, al asumir un momento, genera en
su apoyo contrario un momento de respuesta, de igual
sentido que el anterior y de la mitad del valor de este.
Es decir, la barra asume un momento de valor “M” en
el extremo que rota, y "traspasa" al otro extremo un
momento de valor M/2. (ver punto 1 de "antecedentes
previos").
Es posible anotar inmediatamente los traspasos que se
originan cada vez que equilibramos un nudo, como
también, podemos "soltar y equilibrar" todos los nudos, uno
por uno, y después de desarrollar una vuelta completa de
equilibrios, efectuar todos los correspondientes a
los apoyos contrarios.
4. Al ejecutar los traspasos, los nudos ya equilibrados se
vuelven a desequilibrar y será necesario repetir el ciclo de
equilibrios y traspasos.
A medida de que se completa un mayor número de vueltas,
los desequilibrios van disminuyendo en magnitud, y nos
acercamos más a los valores reales del momento en las
barras. Por eso este método es conocido también como el
“de las aproximaciones sucesivas”.
Se recomienda repetir dicho ciclo las veces. que sea
necesario, hasta que los desequilibrios remanentes no sean
superiores al 10% del desequilibrio original de cada nudo
5. El valor del momento final. en los extremos de cada
barra corresponde a la suma de todos los momentos que.
la fueron afectando en los sucesivos ciclos de equilibrios y
traspasos.
La viga y sus cargas
Los Momentos de empotramiento perfecto
Se suelta el nudo 2 y gira debido a M E
Las barras que concurren al nudo lo
equilibran con momentos contrarios tal
que: M1-2 + M2-3 = ME
A los apoyos contrarios se traspasan
momentos de igual sentido y la mitad del
valor
Los momentos resultantes después del
equilibrio y traspasos del nudo 2
10. 10
PROCEDIMIENTO
Para aplicar el método, se dibuja una trama ortogonal que
representa todas las barras de entramado.
Las intersecciones de líneas horizontales y verticales
corresponden a los nudos y deberá anotarse en ellos, en el
extremo de cada barra, su correspondiente coeficiente de
distribución" en, dicho nudo.
Estos valores se encerrarán en un rectángulo. sobre el cual se
ubicará el correspondiente valor de momento de
empotramiento perfecto, para esa barra. en ese nudo.
La ubicación de estos valores en el nudo, por convención, será
la siguiente:
Para las barras horizontales:
§ en el apoyo izquierdo: arriba,
§ en el apoyo derecho: abajo.
Para las barras verticales:
§ en el apoyo inferior: a la izquierda
§ en el apoyo superior: ala derecha.
A continuación se inician los ciclos de equilibrios y traspasos,
hasta equilibrar definitivamente el nudo o al menos reducir el
desequilibrio según lo recomendado.
Los valores que se van obteniendo se anotan en cada barra en
una columna que se genera a partir del valor de
empotramiento perfecto original, y que se cierra con la
sumatoria de todos los momentos de dicha columna.
11. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 11
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
EJEMPLO 1
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LA
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UNA VIGA
CONTINUA, DE TRES TRAMOS.
Datos
Viga de Hormigón Armado 20/50
Peso propio viga = 250 kg mI
Carga repartida q = 200 kg/ml
I.- ANTECEDENTES PREVIOS
1.- Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto
En este caso, los tres tramos tienen las mismas cargas Y
luces y por lo tanto, los mismos
Momentos de Empotramiento perfecto.
( ) ( ) kgm600
12
m4*kg200kg250
12
qL
M
22
E =
+
==
2.- Coeficientes de Distribución por Nudo
Todas las barras tiene la misma rigidez EI/L, por lo que
les asignaremos rigidez 1
Nudos 1 – 4
A los nudos 1 y 4, llega una sola barra, por lo que si:
k
k
cd
Σ
= ( ) ( ) 1
1
1
cdcd 4321 === −−
Nudos 2 - 3
( ) ( ) 5,0
2
1
cdcd 3212 === −−
( ) ( ) 5,0
2
1
cdcd 4323 === −−
12. 12
II.- DESARROLLO
Dibujamos la malla, con los coeficientes de distribución
por nudo y los momentos de empotramiento perfecto.
Obsérvese que si deshacemos el empotramiento en los
nudos, los nudos 1 y 4 rotarán, debido al momento que
los afecta y los desequilibra.
1º Vuelta de Equilibrios: Se suelta nudo por nudo
(deshaciendo el empotramiento) permitiendo que el
nudo gire y las barras interactúen.
En cada nudo., las barras que concurren a él
reestablecen el equilibrio, aportando. un momento de
igual valor Y sentido contrario. Cada barra hace su
aporte en función de su correspondiente coeficiente de
distribución. Así es, como en los nudos 1 y 4, la única
barra del nudo aportó el total del equilibrio (+600 y -
600, respectivamente). En cambio. en los nudos 2 y 3,
no había desequilibrio y las barras aportaron "cero"`.
Se traza una línea horizontal, después de que cada
nudo queda equilibrado y este se vuelve a "empotrar".
1ª Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentos
aportados por las barras, generan en sus apoyos
contrarios, un momento de igual sentido (signo) y la
mitad de su valor.
13. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 13
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
Obviamente, las barras que no aportaron momentos, no
"traspasan" momentos al apoyo contrario.
Se ha completado así, una primera vuelta o ciclo de
equilibrios y traspasos.
Obsérvese que los nudos 2 y 3, después de los traspasos
quedaron nuevamente desequilibrados. (Momentos que
aparecen después de las líneas horizontales de
equilibrio).
Se procederá, por lo tanto, a realizar un 2º ciclo de
equilibrios y traspasos.
2º Vuelta de Equilibrios: los nudos 1 y 4 están
equilibrados. mientras que los nudos 2 y 3 tienen
desequilibrios de +300 y -300. respectivamente. Se
soltará nudo por nudo y los desequilibrios se
equilibrarán, nuevamente, con los aportes de las barras
que concurren al nudo, de acuerdo a sus coeficientes
de distribución.
2ª Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentos
aportados por las barras, generan en sus apoyos
contrarios, un momento de igual sentido (signo) y la
mitad de su valor.
14. 14
Se completa así, la segunda "vuelta" o ciclo de
equilibrios y traspasos.
Todos los nudos del sistema han quedado
desequilibrados.
Los desequilibrios son mayores al 10% del valor de los
desequilibrios originales, por lo que se procederá a
realizar una tercera vuelta.
3ª Vuelta de Equilibrios y Traspasos : Se equilibran
todos los nudos. uno por uno, y luego se efectúan los
correspondientes traspasos a los apoyos contrarios,
según se indica.
Después de esta tercera vuelta, se observa que los
nudos 1 y 4, han disminuido sus desequilibrios a menos
del 5% respecto a los desequilibrios originales (18,75
kgm, anotados después de la última línea de equilibrios,
con respecto a 600 kgm).
Los nudos 2 y 3, en cambio, presentan desequilibrios de
56,2.5 kgm (37,5 + 18,75), cuando originalmente
estaban equilibrados (desequilibrios = 0). En este caso,
como es imposible lograr el 10% del "desequilibrio"
original, nos remitiremos al primer desequilibrio
acontecido en el nudo, de 300 kgm. Siendo así, aún
debemos disminuir el desequilibrio, a un valor inferior
a 3 0 kgm., por lo que efectuaremos una última vuelta.
Finalizamos el desarrollo del método, sumando todas
las cifras anotadas en cada columna, para obtener los
momentos finales, correspondientes a los extremos de
cada barra.
15. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 15
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
Se detiene el procedimiento después de un ciclo de
equilibrios. De esta manera. al sumar los momentos
finales en cada nudo, deberá dar valor cero, ya que el
nudo está en equilibrio. Esto nos permite verificar que
no hayamos cometido errores de signos en el desarrollo
y que hayamos aplicado correctamente los coeficientes
de distribución.
El método de Cross nos ha proporcionado el valor de los
momentos en los nudos; es tarea aparte el encontrar
los valores de momentos de tramo, que se determinan
en cada tramo de la viga, con las mismas herramientas
que utilizamos en una viga isostática cualquiera y,
aunque en este caso plantearemos el modelo, no
incluiremos los cálculos ya que no es el tema de este
apunte. Por razones de simetría, es suficiente analizar
dos tramos de la viga.
Y para finalizar, incluiremos el diagrama de momentos
de la viga.
16. 16
EJEMPLO 2:
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LA
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UNA VIGA CONTINUA,
ASIMÉTRICA, DE DOS TRAMOS Y VOLADIZO.
Datos
Viga de Acero (obviar peso propio)
q1 = 200 kg / ml
q2 = 300 kg / ml
P = 500 kg
L = 3,00 m
I. ANTECEDENTES PREVIOS
1.- Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto
12
qL
M
2
EMP =
kgm150
12
3200
M
2
EMP ==
8
PL
MEMP =
kgm5,187
8
3500
MEMP ==
( ) kgm5,337kgm5,187kgm1501MEMP =+=
( ) kgm5,337kgm5,187kgm150i2MEMP =+=
30
qL
M
2
EMP =
kgm90
30
3300
M
2
EMP ==
20
qL
M
2
EMP =
kgm135
20
3300
M
2
EMP ==
2
qL
M
2
EMP =
17. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 17
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
kgm100
2
1200
M
2
EMP ==
( ) kgm100d3MEMP =
2.- Coeficientes de Distribución por Nudo.
Todas las barras tienen la misma rigidez EI/L, por lo
que le asignaremos rigidez “1”
En el nudo 1 el empotramiento tiene una rigidez
infinita comparada con la barra 1-2 por lo tanto el
coeficiente de distribución de la barra es:
cd(1-2) = 0
En el nudo 2 llegan dos barras de igual rigidez por lo
tanto el coeficiente de distribución es el mismo para
cada una de ellas:
cd(1-2) = 0,5
cd(2-3) = 0,5
En el nudo 3 el equilibrio del voladizo depende de su
continuidad con la barra 2-3 y no puede aportar nada al
equilibrio del nudo, por lo tanto el coeficiente de
distribución para cada una de ellas:
cd(2-3) = 1
cd(voladizo) = 0
18. 18
II. DESARROLLO
Como ya hemos desarrollado un ejemplo en que cada
ciclo o vuelta se trató por separado, en este ejemplo y
en los siguientes incluiremos la malla con el proceso
total, de equilibrios y traspasos y los valores finales.
También se incluye el cuadro que indica los
desequilibrios existentes en cada vuelta.
III.- Grafico de Momento
19. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 19
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
EJEMPLO 3:
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LA
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS EN UN MARCO DE DOS
NAVES Y UN PISO.
Datos
Marco de Hormigón Armado
Vigas 20/50 Pilares 20/30
Peso propio vigas q = 250kg/ml
Sobrecarga q= 300 kg/ml
P = 150 kg
L1= 3,00 m.
L2 = 6,00 m.
h= 3,00 m.
I.- ANTECEDENTES PREVIOS
1.- Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto
12
qL
M
2
EMP =
( ) kgm50,187
12
3250
M
2
54EMP ==−
( ) kgm00,750
12
6250
M
2
65EMP ==−
96
qL5
M
2
EMP =
kgm63,140
96
33005
M
2
)54(EMP ==−
kgm13,32863,14050,187M )54(EMP =+=−
9
PL2
MEMP =
kgm00,200
9
61502
M )65(EMP ==−
kgm00,950200750M )65(EMP =+=−
20. 20
2.- Calculo de Rigideces de las Barras. ( EI / L )
Barras 1-4 y 3-6
150
300
45000
k45000
12
3020
I
3
==→==
Barras 2-5
67,66
300
20000
k20000
12
2030
I
3
==→==
Barras 4-5
44,694
300
208333
k208333
12
5020
I
3
==→==
Barras 5-6
22,347
600
208333
k208333
12
5020
I
3
==→==
3.- Coeficientes de Distribución por Nudo
En los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene una
rigidez infinita comparada con las barras que llegan a
cada nudo por lo tanto el coeficiente de distribución de
las barras es:
0cdcdcd )63()52()41( === −−−
En los nudos 4 y 6 llegan dos barras de distinta rigidez
por lo tanto el coeficiente de distribución para cada
una de ellas es:
91,0
7,6644,694
44,694
cd )54( =
+
=−
09,091,01cd )41( =−=−
84,0
7,6622,347
22,347
cd )65( =
+
=−
16,084,01cd )63( =−=−
En el nudo 5 llegan tres barras de distintas rigideces
por lo tanto el coeficiente de distribución para cada
una de ellas es:
58,0
7,6622,34744,694
44,694
cd )54( =
++
=−
29,0
7,6622,34744,694
22,347
cd )65( =
++
=−
13,029,058,01cd )52( =−−=−
21. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 21
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
II.- DESARROLLO
En el caso de los marcos, como en el de las vigas
hiperestáticas analizadas en los ejemplos anteriores, el
método de Cross nos proporciona el valor de los
momentos en los nudos.
Los momentos de tramo se obtiene en los respectivos
tramos de viga, tal como en los otros casos, con las
mismas herramientas utilizadas hasta ahora en una viga
isostática cualquiera.
23. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 23
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
EJEMPLO 4 :
APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS EN LA
DETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE UN MARCO EN DOS
PISOS.
Datos:
Marco de Hormigón Armado
Viga 20/50 Pilares 20/30
Peso propio viga q1 = 250 Kg/ml
Sobrecarga q2 = 200 Kg/ml
P = 500 kg
L1 = 6,00 m
h = 3,00 m
I.- ANTECEDENTES PREVIOS
1. Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto
12
qL
M
2
EMP =
kgm1350
12
6*450
M
2
EMP ==
8
PL
MEMP =
kgm375
8
6*500
MEMP ==
2
qL
M
2
EMP =
kgm900
2
2*450
M
2
EMP ==
2.- Calculo de Rigideces de las Barras.
Pilares 1-4, 2-5, 3-6, 4-7 y 5-8
150
300
45000
k45000
12
3020
I
3
==→==
24. 24
Vigas 4-5, 5-6 y 7-8
22,347
600
208333
k208333
12
5020
I
3
==→==
1c.- Coeficientes de Distribución por Nudo
En los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene una
rigidez infinita comparada con las barras que llegan a
cada nudo por lo tanto el coeficiente de distribución de
las barras es:
0cdcdcd )63()52()41( === −−−
En el nudo 4 llegan tres barras de distinta rigidez por
lo tanto el coeficiente de distribución para cada una de
ellas es:
23,0
150150347
150
cdcd )74()41( =
++
== −−
54,0
150150347
347
cd )54( =
++
=−
En el nudo 5 llegan cuatro barras de distinta rigidez
por lo tanto el coeficiente de distribución para cada
una de ellas es:
15,0
150150347347
150
cdcd )85()52( =
+++
== −−
35,0
150150347347
347
cdcd )65()54( =
+++
== −−
En el nudo 6 llegan tres barras de distinta rigidez, pero
una barra en voladizo no se considera ya que ésta no
aporta rigidez al sistema, por lo tanto el coeficiente de
distribución para cada una de ellas es:
30,0
0150347
150
cd )65( =
++
=−
70,0
0150347
347
cd )63( =
++
=−
En los nudos 7 y 8 llegan dos barras de distintas
rigideces por lo tanto el coeficiente de distribución
para cada una de ellas es:
30,0
150347
150
cdcd )85()74( =
+
== −−
70,0
150347
347
cd )87( =
+
=−
27. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 27
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
CASOS DE SIMETRIA
Existen dos tipos de simetría :
A) Simetría respecto a un apoyo
B) Simetría respecto a la mitad de la viga
CASO A
SIMETRÍA RESPECTO A UN APOYO
Se produce cuando el eje de simetría coincide con el
apoyo de una viga o con el pilar central de un marco.
Viga simétrica respecto a un apoyo
En este caso, el eje de simetría divide el modelo en
dos partes, y se trabaja con una de ellas.
Las barras que llegan al eje de simetría se consideran
con dicho extremo empotrado.
Marco simétrico respecto a pilar central y su modelo
de evaluación
En el caso de un marco, el pilar central no tiene
momentos
28. 28
CASO B:
SIMETRÍA RESPECTO A LA MITAD DE LA VIGA.
Se produce cuando el eje de simetría coincide con el
punto medio del tramo de viga central de una viga
continua o de un marco.
En este caso, como en el anterior, el eje de simetría
divide el modelo en dos partes, trabajándose una de
ellas. A las barras cortadas se le considerará la mitad
de su rigidez real, y su encuentro con el eje de simetría
se considera un apoyo rotulado.
Viga Simétrica respecto al punto medio del tramo
central.
Marco Simétrico respecto al punto medio de la viga
29. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 29
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
EJEMPLO 5:
CASO DE SIMETRÍA RESPECTO A UN APOYO.
Datos
Marco de Hormigón Armado
Viga 20/50 Pilares 20/30
Peso propio viga q = 250 kg / ml
Sobrecarga q1 = 200 kg / ml
L1 = 3,00 m
h = 3,00 m
I.- ANTECEDENTES PREVIOS
1. Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto
12
qL
M
2
EMP =
kgm50,337
12
3*450
M
2
EMP ==
2.- Calculo de Rigideces de las Barras.
Pilares 1-4
150
300
45000
k45000
12
3020
I
3
==→==
Vigas 4-5
44,694
300
208333
k208333
12
5020
I
3
==→==
3.- Coeficientes de Distribución por Nudo
En el nudo 1 el empotramiento tiene una rigidez
infinita comparada con la barra por lo tanto el
coeficiente de distribución de la barra es:
0cd )41( =−
En el nudo 4 llegan dos barras de distinta rigidez por lo
tanto el coeficiente de distribución para cada una de
ellas es:
18,0
44,694150
150
cd )41( =
+
=−
82,018,01cd )54( =−=−
30. 30
En el nudo 5 la barra 4-5 llega el eje de simetría por lo
tanto al considerar un empotramiento el coeficiente de
distribución para la barra es:
0cd )54( =−
II.- DESARROLLO
III.- GRÁFICO DE MOMENTO
31. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 31
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
EJEMPLO 6 :
CASO DE SIMETRÍA RESPECTO A LA MITAD DE UNA VIGA
Datos
Marco de Acero (obviar peso propio)
Pilares y vigas de secciones iguales.
Sobrecarga q = 4500 kg / ml
P = 500 kg
L = 3,00 m
h = 3,00 m
I.- ANTECEDENTES PREVIOS
1. Cálculo Momentos de Empotramiento Perfecto
12
qL
M
2
EMP =
kgm50,337
12
3*450
M
2
EMP ==
8
PL
MEMP =
kgm50,187
8
3*500
MEMP ==
2.- Coeficientes de Distribución por Nudo
Todas las barras tienen la misma rigidez EI/L, por lo
que le asignaremos rigidez “1”
En los nudos 1 y 2 el empotramiento tiene una rigidez
infinita comparada con la barra por lo tanto el
coeficiente de distribución de la barra es:
0cdcd )62()51( == −−
En el nudo 5 llegan dos barras de igual rigidez por lo
tanto el coeficiente de distribución para cada una de
ellas es:
50,0cdcd )65()51( == −−
En el nudo 6 llegan tres barras de la misma rigidez pero
la barra 6-7 es la barra cortada por el eje de simetría
por lo que sólo se considerará la mitad de su rigidez.
40,0
50,011
1
cdcd )65()62( =
++
== −−
20,040,040,01cd )76( =−−=−
32. 32
En el nudo ficticio en la mitad de la barra 5-6 se
considera apoyo rotulado por lo tanto el coeficiente de
distribución es:
1cd )76( =−
II.- DESARROLLO
III.- GRAFICO DE MOMENTOS
33. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 33
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
TABLA DE
MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO
8
PL
MA = ( )
−+= 2
2
A
L
b
5bL
96
qL
M
8
PL
MB = ( )
−+= 2
2
B
L
b
5bL
96
qL
M
2
2
A
L
abP
M =
30
qL
M
2
A =
2
2
B
L
baP
M =
20
qL
M
2
B =
( )
2A
L
aLPa
M
−
=
−−=
L
a
615
L
a
10
30
qa
M
2
A
( )
2B
L
aLPa
M
−
=
−=
L
a
45
L20
qa
M
3
B
12
qL
M
2
A =
384
qL17
M
2
A =
12
qL
M
2
B =
384
qL17
M
2
B =
96
qL5
M
2
A =
32
qL
M
2
A =
96
qL5
M
2
B =
32
qL
M
2
B =
35. MATERIAL EXCLUSIVO DE USO DOCENTE 35
METODO DE CROSS
Folio EST 02-03
BIBLIOGRAFÍA
METODO DE CROSS
Prof. Raúl Véliz Montoya
Apunte del Departamento de Ciencias de la
Construcción
HORMIGÓN ARMADO
P. Jimenez Montoya
Tablas
Apuntes
Personales del Autor
36. 36
INDICE
INTRODUCCIÓN................................................................................................................................. 3
ANTECEDENTES PREVIOS.................................................................................................................. 6
Coeficiente de traspaso.................................................................................................... 6
Coeficiente de Distribución.............................................................................................. 7
EL METODO....................................................................................................................................... 9
PROCEDIMINETO............................................................................................................................... 10
EJEMPLOS........................................................................................................................................ 10
EJEMPLO 1 : Viga Con tinua de tres tramos....................................................................... 11
EJEMPLO 2 : Viga Continua Asimétrica de dos tramos y un voladizo................................ 16
EJEMPLO 3 : Marco de dos naves y un piso....................................................................... 19
EJEMPLO 4 : Marco de dos pisos....................................................................................... 23
CASOS DE SIMETRIA........................................................................................................................... 27
Simetría con respecto a un apoyo..................................................................................... 27
Simetría con respecto a la mitad de una viga.................................................................... 28
EJEMPLOS.......................................................................................................................................... 29
EJEMPLO 1 : Marco simétrico con respecto a un apoyo..................................................... 28
EJEMPLO 2 : Marco simétrico con respecto a la mitad de una viga................................... 31
ANEXOS............................................................................................................................................. 32
Tabla : Valores de momentos de empotramiento perfecto............................................... 33
Bibliografía........................................................................................................................ 35