Unefm Tecnología Ingeniería Civil - Resistencia de Materiales

1. Resistencia De Los Materiales Prof. Gauddy Arcila
TEMA V. TORSIÓN.
5.1. TORSIÓN. MOMENTO TORSOR
Torsión se refiere al torcimiento de una barra recta al ser cargada por momentos (o
pares de torsión) que tienden a producir rotación con respecto al eje longitudinal de la
barra.
Torsión se refiere a la carga de un miembro que tiende a hacerlo girar o torcerlo.
Semejante carga se llama par de torsión, momento torsional, par de torsión o par. Cuando
se aplica un par de torsión a un miembro se desarrolla un esfuerzo cortante en su interior y
se crea una deformación torsional; el resultado es un ángulo de torsión de un extremo del
miembro con respecto al otro.
El primer par consiste en las fuerzas P1 que actúan cerca del punto medio de la
barra y el segundo par consiste en las fuerzas P2 que actúan en el extremo. Cada par de
fuerzas forma un par de torsión que tiende a torcer la barra con respecto a su eje
longitudinal. Como sabemos de la estática, el momento de un par de torsión es igual al
producto de una de las fuerzas y la distancia perpendicular entre las líneas de acción de
las fuerzas; por tanto, el primer par de torsión tiene un momento T1 = P1d1 y el segundo
tiene un momento T2 = P2d2.
Las unidades en el sistema ingles para el momento son la libra-pie (lb-ft) y la libra-
pulgada (lb-in). La unidad en el SI para el momento es el newton metro (N∙m).
El momento de un par de torsión se puede representar por un vector en forma de
una flecha con cabeza doble (figura 3.2b). La flecha es perpendicular al plano que contiene
el par de torsión y, por tanto, en este caso las dos flechas son paralelas al eje de la barra.
La dirección (o sentido) del momento se indica mediante la regla de la mano derecha para

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vectores momento: empleando su mano derecha, permita que sus dedos se curven en el
sentido del momento y entonces su dedo pulgar apuntara en la dirección del vector.
Una representación alternativa de un momento es una flecha curva que actúa en el
sentido de la rotación (figura 3.2c). La flecha curva y las representaciones vectoriales son
de uso común y aquí emplearemos las dos. La elección depende de la conveniencia y la
preferencia personal.
Los momentos que producen el torcimiento de una barra, como los marcados T1 y
T2 en la figura 3.2, se llaman pares de torsión o momentos de torsión. Los elementos
cilíndricos que se someten a pares de torsión y transmiten potencia mediante rotación se
llaman ejes; por ejemplo, el eje impulsor de un automóvil o el eje de la hélice de un barco.
La mayor parte de los ejes tienen secciones transversales circulares sean solidas o
tubulares.
5.2 DISTRIBUCIÓN DE ESFUERZOS EN BARRAS CIRCULARES HUECA Y MACIZA
Con la torsión se inicia, por otra parte, el estudio de los problemas en los que el
esfuerzo no se distribuye uniformemente dentro de una sección.
El procedimiento general que se sigue en todos los casos de distribución uniforme
de esfuerzos se puede resumir en los siguientes puntos:
1. Del examen de las deformaciones elásticas que se producen en un determinado tipo
de carga y las aplicaciones de la ley Hooke. Se determinan unas relaciones que se
denominan ecuaciones de compatibilidad.
2. Aplicando las ecuaciones de equilibrio en el diagrama de sólido aislado se
determinan otras relaciones. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de
equilibrio.
3. Comprobación de que la solución del sistema de ecuaciones de los puntos 1 y 2. es
decir, que esta solución satisface las condiciones de contorno impuestas.
Para deducir la formula de torsión se debe establecer una serie de hipótesis que
pueden demostrarse matemáticamente y algunas de ellas, comprobarse
experimentalmente. Las dos primeras corresponden a secciones circulares.
1. Las secciones circulares permanecen circulares después de la torsión.
2. Las secciones planas permanecen planas y no se alabean después de la
torsión.
3. La proyección sobre una sección transversal de una línea radial de una
sección permanece radial después de la torsión.
4. Los esfuerzos no sobre pasan el límite de proporcionalidad.

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Deducción de la formula de torsión.
En la figura 5-1 se muestra dos proyecciones de un árbol macizo. Al aplicar un
momento torsionante T a los extremos del árbol, una generatriz cualquiera, tal como AB,
en la superficie del cilindro, inicialmente recta y paralela al eje, se tuerce formando una
hélice AC, al tiempo que la sección en B gira un cierto ángulo θ respecto a la sección A. se
puede adquirir una representación intuitiva de cómo se forma esta hélice de la manera
siguiente:
Imagineros que el árbol está formado por innumerables rebanadas o porciones
helicoidales muy delgadas, todas ellas perfectamente rígidas y unidas mediante fibras
elásticas. La (2) sufrirá rotación, resbalando con (1) hasta que las fibras elásticas que las
unen se deformen y produzca, al estirarse, un par resistente que equilibre al par aplicado.
En este momento, las “rebanadas” o porciones discoidales (1) y (2) actuaran como
un conjunto único y rígido, transmitiendo el par torsionante a la (3); esta girar hasta que las
fibras que las une (2) desarrollen antes un par resistente igual al par aplicado, y así
sucesivamente, propagándose la deformación a lo largo de la longitud L del árbol. La hélice
AC es la línea que une los puntos iníciales de referencia de todas las rebanadas
infinitamente delgadas, puntos que antes de la deformación estaban sobre AB.
Esta descripción intuitiva de la deformación por torsión en un árbol es puramente
ideal, pero la hélice que resulta está perfectamente definida. En realidad, todas las
rebanadas empiezan a girar al mismo tiempo sobre las anteriores, tan pronto como se
aplica el momento de torsionante, y el ángulo total de torsión θ de uno a otro extremo
aumenta si el momento de torsión incrementa.

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Consideremos ahora una fibra cualquiera a una distancia ρ del eje del árbol. Por la
hipótesis 3, el radio de dicha fibra gira también el mismo ángulo θ, produciéndose una
deformación tangencial δ, igual a DE. La longitud de esta deformación es el arco de círculo
de radio ρ y ángulo θ viene dada por:
a
En estas condiciones, la distorsión es:
b
Y el esfuerzo cortante, según la Ley de Hooke
c
La ecuación (c) se suele llamar ecuación de compatibilidad, ya que los esfuerzos
expresados por ella son compatibles con las deformaciones elásticas. Obsérvese que los
términos de paréntesis son constantes que no depende de la posición de la fibra; de aquí
que el esfuerzo cortante en un punto interior sea el producto de una constante por su
distancia al centro, es decir, la distribución a lo largo de cualquier radio varia
linealmente con la distancia al centro de la sección. En la figura 5-1 representa
gráficamente esta variación a lo largo OB; el esfuerzo cortante máximo, τmáx tiene lugar
evidentemente en la fibras exteriores.
Cuando un par de torsión extremo se aplica sobre un eje, en este se generara un
par de torsión interno correspondiente. Aquí se desarrollara una ecuación que relaciona
este par de torsión interno con la distribución de esfuerzo cortante en la sección transversal
de un eje o tubo circular.
Si el material es elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke, τ= Gγ, y en
consecuencia cualquier variación lineal en la deformación cortante a lo largo de cualquier
línea radial ubicada en la sección transversal. Por consiguiente, τ varía desde cero en la
línea hasta un valor máximo, τmáx. , en su superficie externa. Esta variación se muestra en
la figura 5-2 sobre las caras frontales de un numero seleccionado de elementos, los cuales
se ubican en una posición radial intermedia ρ y en el radio exterior c. a partir de la
proporcionalidad de triángulos, se puede escribir
5-a
Esta ecuación expresa la distancia del esfuerzo cortante sobre la seción transversal
en función de la posición radial ρ del elemento. Con base en ella, ahora es posible aplicar

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la condición de que el par de torsión producido por la distribución de esfuerzos sobre la
sección transversal sea equivalente al par de torsión interno resultante T en la sección, lo
cual se mantendra en equilibrio.
5.3 Esfuerzos en barras circulares huecas y macizas.
El paso siguiente en nuestro análisis es determinar la relación entre los esfuerzos
cortantes y el par de torsión T. Una vez determinada esta relación, podremos calcular los
esfuerzos y las deformaciones unitarias en una barra debidas a cualquier conjunto de
pares de torsión aplicados.
La distribución de los esfuerzos cortantes que actúan sobre una sección transversal
se representa en las figuras anteriores. Debido a que dichos esfuerzos actúan
continuamente alrededor de la sección transversal, tienen una resultante en la forma de un
momento que es igual al par de torsión T que actúa sobre la barra. Para determinar esta
resultante consideramos un elemento de área dA ubicado a una distancia radial ρ desde el
eje de la barra (figura 5-3). La fuerza cortante que actúa sobre este elemento es igual a τ
dA, donde τ es el esfuerzo cortante a un radio ρ. El momento de esta fuerza con respecto
al eje de la barra es igual a la fuerza multiplicada por su distancia desde el centro, o τρdA.

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Sustituyendo el valor del esfuerzo cortante τ dado por la ecuación (5-b), podemos expresar
este momento elemental como
El momento resultante (igual al par de torsión T) es la suma a lo largo de toda el
área de la sección transversal de todos los momentos elementales:
En donde
es el momento polar de inercia de la sección transversal circular.
Es posible obtener una expresión para el esfuerzo cortante máximo reacomodando
la ecuación (3.8), como sigue:
Aquí
τmáx= el esfuerzo cortante máximo en el eje, que se produce en la superficie externa.
T= el par de torsión resultante que actúa en la sección transversal. Su valor se determina a
partir del método de las secciones y la ecuación de equilibrio de momentos aplicados a la
línea central longitudinal del eje.
J=Ip= el momento polar de inercia del área de la sección transversal.
c=r= radio exterior del eje.
Esta ecuación, conocida como la fórmula de la torsión, muestra que el esfuerzo
cortante máximo es proporcional al par de torsión aplicado T e inversamente proporcional
al momento de inercia polar IP
El esfuerzo cortante a una distancia ρ desde el centro de la barra es

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Eje solido. Si el eje tiene una sección transversal circular sólida, el momento polar J puede
determinarse usando un elemento de área en forma de un aro o anillo diferencial que tiene
un groso dρ y una circunferencia 2πρ, figura. Para este anillo, dA=2πρdρ
ESFUERZO CORTANTE TORSIONAL BARRAS CIRCULARES HUECAS
La lógica y los detalles del desarrollo de la fórmula del esfuerzo cortante torsional,
como se muestran en la sección 4–4, también son validos tanto para una barra hueca
como para una barra solida. La diferencia entre ellas radica en la evaluación del momento
polar de inercia, como más adelante se verá. En consecuencia, se puede utilizar la
ecuación (4–5) o la (4–11) para calcular el esfuerzo cortante torsional máximo en una barra
solida o una hueca.

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Además, como se ilustra en la figura 4–9, el esfuerzo cortante máximo ocurre en la
superficie externa de la barra y varia linealmente con la posición radial en el interior de la
barra. El esfuerzo cortante mínimo ocurre en la superficie interna. El esfuerzo cortante en
cualquier posición radial se calcula con la ecuación (4–7) o (4–9).
Eje tubular. Si un eje tiene sección transversal, tubular, con radio interior r y radio exterior
R, entonces su momento polar de inercia J puede determinarse con base en la ecuación
anterior al restar J para un eje de r de la J determinada para un eje R. de lo anterior se
obtiene
Las unidades comunes empleadas en la formula de la torsión son las siguientes. En
el sistema SI el par de torsión T suele expresarse en newton metro (N∙m), el radio r en

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metros (m), el momento polar de inercia IP en metros a la cuarta potencia (m4) y el
esfuerzo cortante τ en pascales (Pa).
Si se utilizan unidades inglesas, con frecuencia T se expresa en libra-pies (lb-ft) o
libra-pulgadas (lb-in), r en pulgadas (in), IP en pulgadas a la cuarta potencia (in4) y τ en
libras por pulgada cuadrada (psi).
5.4 Angulo de torsión o deformación
5.4-a
En esta sección se deducirá una relación entre el ángulo de giro Φ de un eje circular
y el par de torsión T ejercido sobre el eje. Se supondrá que la totalidad del eje permanece
elástica. Considerando primero el caso de un eje de longitud L y sección transversal
uniforme de radio c sujeto a un par de torsión T en su extremo libre (figura 5.4-a), se sabe
de la sección anterior el ángulo de giro Φ y la deformación máxima a cortante se
relacionan como sigue:
a
Pero, en el rango elástico, el esfuerzo de cedencia no se excede en ninguna parte
del eje, se aplica la ley de Hooke y se tiene que γmáx =τmáx/G o, a partir de la ecuación
𝜏𝑚á𝑥 = 𝑇𝑐
𝐽
⁄
b
Igualando los miembros de la derecha de las ecuaciones (a) y (b), y despejando Φ, se
tiene que

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donde Φ se expresa en radianes. La relación obtenida muestra que, dentro del rango
elástico, el ángulo de giro Φ es proporcional al par de torsión T aplicado al eje.
5.5 Sistemas hiperestáticos sometidos a torsión
.
Un eje cargado a torsión puede clasificarse como estáticamente indeterminado si la
ecuación de equilibrio de momentos, aplicada sobre la línea central del eje, no sirve para
determinar los pares de torsión desconocidos. En la figura (a) se presenta un ejemplo de
esta situación. Como se muestra el diagrama de cuerpo libre, figura (b), los pares de
torsión reactivos en los apoyos A y B no se conocen. Se requiere que
A fin de obtener una situación, se utilizara el método de análisis estudiado anterior.
La condición necesaria de compatibilidad, o condición cinemática, requiere que el ángulo
de giro de un extremo del eje con respecto al otro sea igual a cero, ya que los soportes
extremos están fijos. Por tanto,
Siempre que el material sea elástico, es posible aplicar la relación carga-
desplazamiento Φ= TL/JG para expresar la condición de compatibilidad en términos de los
pares de torsión desconocidos. Considerando que el par de torsión interno AC + Ta y en el
segmento CB es –Tb figura (c), se tiene

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Al despejar las reacciones de estas dos ecuaciones y considerando que L=LAC +LBC,
resulta
5.6 Relación de momento torsor y potencia.
Con frecuencia, los ejes y tubos con secciones circulares se utilizan para transmitir
potencia desarrollada en maquinas. Cuando se utiliza con este fin, se le somete a un par
de torsión que depende de la potencia generada por la maquina y de velocidad angular del
eje.
La potencia se define como el trabajo realizado por unidad de tiempo. Por su parte,
el trabajo trasmitido por un eje giratorio es igual al par aplicado por el ángulo de rotación.
Por lo tanto, si durante un instante de tiempo dt un par de torsión T aplicado hace que el
eje gire a un ángulo dθ, entonces la potencia instantánea es
Como la velocidad angular del eje ω=dθ/dt, la potencia puede expresarse de la siguiente
manera

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Las ecuaciones anteriores relacionan el par de torsión que actúa en un eje con la
potencia transmitida por este. Al conocer el par de torsión podemos determinar los
esfuerzos cortantes, las deformaciones unitarias por cortante, los ángulos de torsión y
otras cantidades que se deseen.
En el sistema SI, la potencia se expresa en vatios cuando el par de torsión se mide
en newton-, metros (N.m) y ω se expresa en radianes por segundos (rad/s) (1 W= 1N.m/s).
En el sistema PFS, las unidades básicas de la potencia son pie-libra-segundo
(pies.lb/s); sin embargo, los caballos de fuerza (hp) son de uso frecuente en la práctica de
la ingeniería, donde
Para la maquinaria, a menudo es necesario informar sobre la frecuencia, f, de un eje
giratorio. Esta es una medida del número de revoluciones o ciclos que realiza el eje cada
segundo y se expresa en hertz (1 Hz= 1 ciclo/s), como 1 ciclo =2π rad, entonces ω=2πf,
por lo que la ecuación para potencia se convierte en
Diseño de ejes.
Cuando se conoce la potencia transmitida por un eje y su frecuencia de rotación, el
par de torsión que se desarrolla en el eje puede determinarse a partir de la ecuación (), es
decir, T=P/2πf. Al conocer T y el esfuerzo cortante permisible para el material, τperm, es
posible determinar el tamaño de la sección transversal del eje empleando la formula de
torsión, siempre y cuando el comportamiento del material sea elástico lineal. De manera
específica, el parámetro geométrico o de diseño J/c se convierte en
El eje solido, J=(
𝜋
2
)𝑐4
, por lo tanto, después de la sustitución se puede determinar un valor
único para el radio c del eje. Si el eje es tubular, de modo que 𝐽 = (𝜋 2
⁄ )(𝑐𝑜
4
− 𝑐𝑖
4)
, el
diseño permite un amplio rango de posibilidades para la solución. Lo anterior se debe a
que puede hacerse una elección arbitraria para co y ci y el otro radio podrá determinarse a
partir de la sección 5-12