Sistemas reticuladosplanos (1)

INSTITUTO DE EDUCACION TECNICA Y FORMACION PROFESIONAL
“13 DE JULIO”
Practico N°1
Sistemas Reticulados Planos;Métodos de Cremona; Ritter y Culmann
Prof.: Luis Panigazzi (10) email: 13dejulio.mecanicaiii@gmail.com Página 1 de 14
Sistemas reticulados planos
Los sistemas reticulados planos son sistemas formados por barras unidas en sus
extremos en puntos llamados Nudos o nodos y dispuestas de forma tal que los ejes de
las barras son coplanares
Una de las aplicaciones de estos sistemas es para soportar cubiertas, donde las cargas
son relativamente pequeñas como ser techos o tinglados de talleres galpones hangares
cubiertas etc y se denominan cerchas armaduras o cabriadas.
Otra de las aplicaciones típicas es la de soportar cargas mas elevadas puentes soportes
plumas etc. y se denominan vigas de celosía.
Se considera que los nudos las barras están articuladas y no ofrecen oposición al giro de
una barra respecto a las otras en cada nudo, para tener una estructura que resista a las
solicitaciones requeridas según el caso debemos construir figuras que si bien tengan
articulaciones en los nudos no sean deformables, la figura más pequeña que resulta
indeformable aunque haya articulaciones en sus nudos es el triángulo, el que constituye
el reticulado más simple.
Agregando mas barras de forma tal que se vayan formando triángulos vinculados entre
si, se puede, tomando ciertos recaudos como por ejemplo agregar dos barras a partir de
dos nodos adyacentes y unirlas en un nuevo nodo para ir configurando una sucesión
ordenada de triángulos, construir estructuras reticuladas indeformables.
Las características de un reticulado simple son las siguientes:
 Están formados exclusivamente por triángulos.
 Cada dos triángulos tienen un lado (barra) en común y dos vértices.
 Un mismo vértice (nodo) no pertenece a más de tres triángulos.
 Existen nodos a los cuales concurren solo dos barras, los que se llaman nodos
simples.

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Existen también reticulados no triangulares o compuestos, los que resultan de combinar
agregar o quitar barras, o por no poseer nudos simples.
La condición necesaria pero NO suficiente para que un reticulado sea indeformable es
que b = 2.n-3 siendo b el Nº de barras y n el Nº de articulaciones ya que si b > 2.n-3
el numero de barras supera al necesario para que el reticulado sea indeformable por lo
que hay un número de barras excedente y el reticulado es súper abundante, en cambio si
b < 2.n-3 el reticulado es deformable o inestable y no puede ser utilizado.
Hipótesis de cálculo.
La resolución de una estructura reticulada consiste en determinar cuáles son los
esfuerzos a que están sometidas cada una de sus barras componentes.
A efectos de realizar el cálculo se hacen las siguientes hipótesis
1. Los nudos funcionan como articulaciones desprovistas de rozamiento.
2. Las cargas actúan exclusivamente en los nodos y están en el plano de la
estructura
3. Las barras son rectas y rígidas.
Métodos de cálculo:
Método de Cremona
El método de Cremona se basa en la construcción de polígonos de fuerzas en cada nudo de
la estructura. Así, cuando en un nudo concurren varias fuerzas, de entre las cuales se
desconocen dos de ellas y son consecutivas en posición, se puede construir el polígono de
fuerzas para la determinación de las fuerzas desconocidas
Para la aplicación del método de Cremona se siguen las siguientes convenciones:
1. El análisis del equilibrio en cada nudo se realiza de izquierda a derecha, procurando
que en los nudos no concurran más de tres barras, y que por lo menos sean
desconocidas solo los esfuerzos en dos de ellas.
2. En cada nudo la composición de fuerzas se realiza en sentido horario.
3. Las fuerzas en equilibrio en cada nudo tienen su sentido indicado por flechas en el
polígono de fuerzas, las cuales son trasladadas al nudo del esquema de la estructura,
donde se adopta la siguiente convención: en la barra correspondiente, si la flecha se
dirige hacia el nudo de cada extremidad, se considera la barra en compresión, y a
tracción en caso contrario.
4. Se pasa a analizar el siguiente nudo al estudiado, invirtiéndose el sentido de la
flecha en la barra que se dirige a este nudo, indicándolo con doble flecha.

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Normalmente se superponen los sucesivos polígonos de fuerzas hasta completar el polígono
completo de fuerzas interiores. Se inicia la resolución mediante la creación del polígono de
fuerzas exteriores (acciones y reacciones). este polígono debe ser cerrado cumpliendo la
condición de equilibrio para las mencionadas fuerzas y a partir de este, se determinan los
esfuerzos axiales en las diferentes barras mediante el trazado de paralelas a las diferentes
barras y las reacciones de vinculo del reticulado el que debe estar isostaticamente
sustentado.
Ahora que son conocidas todas las fuerzas exteriores comenzaremos a determinar las
fuerzas interiores.
Como la estructura está en equilibrio podemos asegurar que todos los nudos estan
también en equilibrio.
Teniendo en cuenta esto último estudiaremos cada nudo de la siguiente forma:
1- Resumimos todas las fuerzas exteriores que actúan cada nudo a una resultante
equivalente.
2- Para utilizar la notación de Bow procedemos a nombrar los campos exteriores en
sentido horario con una letra minúscula (a, b , c ….) y considerando que cada
campo exterior finaliza en cada nudo en el que haya aplicada una fuerza exterior.
3- A continuación continuamos nombrando los campos interiores los que son las
áreas limitadas por las barras
4- Tomamos un nudo simple, o sea al que solo concurran dos barras y que posea
una carga exterior, lo ideal es tomar un nudo de apoyo, o sea donde actúa una
reacción de vínculo.
5- Suponemos aislado el nudo del resto de la estructura, por lo que las fuerzas
exteriores deberán ser equilibradas por las fuerzas de las barras.
6- Dado que las fuerzas de las barras trabajan según su dirección debemos
equilibrar la resultante exterior con un par de fuerzas que trabajen según las
direcciones de las barras cuyos esfuerzos queremos calcular.
7- Para ello usamos el sentido de rotación horario.
8- Debemos dibujar el polígono de fuerzas que resultará cerrado porque debe estar
en equilibrio. Dibujamos las fuerzas en el orden que van apareciendo a medida
que giramos con centro en el nudo a partir de la vertical descendente esta
convención la aplicaremos a todos los nudos.
9- Por haber dos incógnitas tendremos dos fuerzas de las cuales solo conocemos la
dirección, y que es coincidente con la dirección de las barras cuyos esfuerzos
queremos determinar, pero desconocemos el sentido y la intensidad de las
mismas, así que estas fuerzas serán representadas momentáneamente con su
dirección.
10- Por lo antedicho tendremos una fuerza y en cada uno de sus extremos pasará una
dirección paralela a cada una de las barras.
11- El sentido de las fuerzas está dada por el sentido que hace que el sistema sea
cerrado.
12- La intensidad de los esfuerzos está dado por la longitud de los segmentos que
representan la fuerza, medidos en la escala correspondiente.

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13- Trasladamos el sentido obtenido de las fuerzas recientemente calculadas a la
proximidad del nudo analizado
14- Si el sentido de la flecha que evidencia la fuerza que la barra ejerce sobre el
nudo para mantenerlo en equilibrio se dirige hacia el nudo comprimiéndolo se
dice que la barra trabaja a la compresión o que esta comprimida y se considera
negativa, si por el contrario la mencionada flecha se aleja del nudo tirando de el
se dice que la barra trabaja a la tracción o está traccionada y se considera
positiva.
15- Ya conocidos los esfuerzos en estas barras debemos trasladar estos esfuerzos al
otro extremo de cada barra, donde actúan sobre los nudos que están vinculados
al resto de la estructura, esto lo hacemos indicando una flecha en sentido inverso
al que habíamos determinado pero en la proximidad del otro nudo. De esta
forma si la flecha en el nudo que acabamos de resolver se dirigía hacia este
indicando compresión, debemos dibujar sobre la barra pero en proximidades del
nudo contiguo, vinculado por esta barra, una flecha de dirección contraria a la
anterior, la que al quedar señalando hacia el otro nudo indicará, como
corresponde compresión. De haber tenido originalmente el sentido de tracción
se ve que al poner la flecha en las proximidades del otro nudo que vincula esa
barra con el sentido contrario indicaría tracción, es lógico ya que una barra
isostaticamente sustentada no puede estar sometida a tracción en un extremo y a
compresión en el otro
Resumen de lo anterior incluyendo la notación de Bow
•1. Análisis de cargas: calcular cargas nodales y reacciones de vínculo
•2. Ordenar todas las fuerzas exteriores (acciones y reacciones) en orden cíclico y horario
•3. Denominar los campos: a, b, c, ……..
•4. Construir el polígono de fuerzas exteriores y continuar a partir del primer nudo posible,
es decir,
•5. Comenzar a resolver por aquel nudo dónde sólo concurran dos barras de esfuerzo
desconocido.
•6. Se resuelve un nudo y luego el siguiente: la resultante de las fuerzas exteriores
conocidas se las equilibra en las direcciones de las barras y en sentido horario
•7. Controlar los resultados con la última barra: la resultante de las fuerzas conocidas deberá
tener la dirección de la barra.
•8. Cuadro sinóptico: nombre de c/ barra, intensidad, solicitación (+ -)
Ejemplo:
Resolveremos la cercha o cabriada de la figura, para ello primero determinamos las
reacciones de vinculo,
mRmFmFmPmFmFmFmRM BAA 8.8.6.4.4.2.0.0.0 54321 

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T
m
mTmTmTmTmT
RB 25,5
8
8.26.24.14.22.1



mRmFmFmPmFmFmFmRM BAB 0.0.2.4.4.6.8.8.0 54321 
T
m
mTmTmTmTmT
RA 75,3
8
2.24.14.26.18.1



Para la resolución gráfica determinamos una escala de fuerzas y una de longitudes,
establecemos el sentido de giro y denominamos los campos empezando con los exteriores y
luego los interiores.
Comenzaremos por el nudo A para determinar las barras bf y fa ya que cumple la
condición de poseer solo 2 incógnitas para ello
siguiendo el sentido de giro propuesto colocamos en
nuestro polígono de fuerzas para ab RA y F1, luego para
bf trazamos a partir de nuestro punto conocido “b” una
paralela a la dirección de bf y por el punto “a” una
paralela a af, donde se cortan estas paralelas obtenemos
el punto “f”
Debemos determinar la dirección de las fuerzas que
equilibran el sistema de fuerzas exteriores, en este caso
RA y F1 para ello el sentido de las fuerzas que actúan
según bf y fa seran en bf con dirección de b a f y en fa con dirección de f hacia a
Se deben colocar en el dibujo de la cercha o cabriada con el mismo sentido en las
proximidades del nodo y en el otro extremo de cada barra se dibujan con sentido contrario.
bfa
Nombramos los campos externos
e internos

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Ya estamos en condiciones de ir completando el cuadro de barras, para ello debemos tener
en cuenta los siguientes detalles.
1. Si la dirección de la fuerza que acabamos de obtener se dirige hacia el nodo se trata
de una barra comprimida.
2. Si la dirección de la fuerza que acabamos de obtener se dirige hacia fuera del nodo
se trata de una barra traccionada.
3. las tensiones de compresión se considerarán negativas.
4. Las tensiones de tracción se considerarán positivas.
5. El nombre de la barra será adjudicado por los campos que separan por ejemplo en el
nudo A la barra horizontal se denominará fa ya que separa los campos f y a
observando el cambio en el sentido de las agujas del reloj con centro en el nudo que
estamos estudiando.
Barras, Cargas en Toneladas (+) Tracción (-) Compresión
bf cg dh ei af ia fg gh hi
-5.4 +4.7
Hasta el momento nuestro polígono de fuerzas es el del nudo bfa mostrado en la figura.
Observamos que al nudo afghi concurren cuatro barras incógnitas, las fg gh hi y la ia y
como sabemos no podemos tener mas de dos barras desconocidas puesto que el método de
CREMONA no permite resolver mas de dos barras por nudo.
Por lo antedicho continuamos analizando y el próximo nudo debe ser el bcgf que tiene las
barras incógnitas cg y gf dado que la barra bf es conocida.
Tomamos pues este nudo y completamos el polígono de fuerzas que venimos realizando.
Esto consiste en trazar la dirección cg a partir de c y la dirección de fg a partir de f en la
intersección de dichas direcciones tendremos el punto g que estábamos buscando, el sentido
de las fuerzas para equilibrar el
nudo deben ser tales que la
resultante sea cero por lo que cg se
dirigirá hacia g y fg hacia f. esto se
indica en el dibujo de la cercha con
flechas en el mismo sentido en la
proximidad del nudo en estudio y
el contrario en el extremo opuesto
de cada barra.
Notemos que en este nodo el
sentido de fb es el opuesto al que
poseía en el primer nodo analizado,
siendo de todos modos de
compresión en los dos nodos
Nudo bcgf

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-5.4 -4.5 +4.7 -1.0
A continuación tomaremos el nudo
cdhg cuyas barras incógnitas son dh
y hg, realizamos las operaciones que
hicimos en los nudos anteriores
Las direcciones son indicadas en este
diagrama solo a efectos de la
comprensión del procedimiento, y en
la práctica deben ser indicadas solo
en el en el dibujo de la cercha con
flechas en el mismo sentido en la
proximidad del nudo en estudio y el
contrario en el extremo opuesto de cada barra, como se ha indicado anteriormente.
Completamos el cuadro de valores:
-5.4 -4.5 -4.5 +4.7 -1.0 -1.6
Ahora podemos abordar el nudo deih
Se procede del mismo modo que en
los anteriores nodos, o sea colocando
las direcciones de las incógnitas ei en
el punto e y ih en el punto h del
polígono midiendo la intensidad de
las fuerzas actuantes del polígono de
fuerzas en escala de fuerzas y
completando el cuadro teniendo en
cuenta que las fuerzas de tracción,
evidenciadas por sentido de la flecha
alejándose del nodo son positivas y
las de compresión evidenciadas por
sentido de la flecha hacia al nodo
negativas
Nudo cdhg

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Nuestro cuadro de valores queda entonces de esta forma:
-5.4 -4.5 -4.5 -6.6 +4.7 -1.0 -1.6 -2.1
Solo queda como incognita la barra ia, esta se
puede determinar analizando el nudo afghi o el aie
siendo indistinto, tomamos el aie.
Con este nodo ya resolvimos toda la estructura,
completamos el cuadro con el valor obtenido y
analizaremos los resultados para el
dimensionamiento de las barras que componen la
cercha.
-5.4 -4.5 -4.5 -6.6 +4.7 +5.7 -1.0 -1.6 -2.1
En la realización práctica al finalizar el trazado del polígono nos debe quedar de esta
manera:

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Del análisis de los resultados obtenemos que la carga máxima de las barras sometidas a
tracción es de 5.7 T y la máxima de compresión es de 6.6 T.
Método de Ritter:
Cuando analizamos la estructura por el método de Cremona no podemos analizar una
barra en particular sin el cálculo previo de otras barras, además de la limitación en el
número de barras incógnita que concurren a un nudo. Estas limitaciones se eluden
utilizando el método de Ritter.
El metodo en si consiste en dividir el reticulado en dos, de modo tal que el corte
1. No pase por ningún nudo.
2. No encuentre más de 3 barras.
3. Las barras no sean concurrentes.
Con estas condiciones cumplidas tenemos que se ha destruido el equilibrio de una parte
y otra del reticulado, el que será restituido si en cada barra que hemos cortado
colocamos la fuerza correspondiente a la barra.
Si consideramos el conjunto de fuerzas exteriores que actúan sobre el lado izquierdo del
corte que hemos efectuado, para restablecer el equilibrio debemos colocar como dijimos
las fuerzas correspondientes a los esfuerzos de las barras cortadas, si ahora que se
reestablecieron estas fuerzas tomásemos momentos de todas las fuerzas que actúan
sobre este lado, respecto a cualquier punto del plano del reticulado, la sumatoria de
estos seria nula por tratarse de un sistema en equilibrio.
El método consiste en tomar como centro de cálculo de momentos a el punto de
intersección de la dirección de dos de las barras cortadas, de esta forma solo queda una
incógnita y se resuelve por el simple hecho de equilibrar el momento de la resultante
con el momento que produce la barra ya que la dirección de las otras dos barras pasa por
el punto elegido como centro y por lo tanto tienen momentos nulos.

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Ejemplo:
reacciones de vinculo, para simplificar el ejemplo utilizaremos la misma cabriada que para
la resolución por Cremona
En la figura anterior vemos como se ha realizado el corte mediante la sección SS
cumpliendo las premisas no pasar por un nodo, no cortar mas de 3 barras, no cortar
barras concurrentes.
Tomamos momentos respecto a el punto o ubicado como es requisito en la intersección
de la dirección de dos de las barras.

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A efectos de individualizar las fuerzas nombramos a los esfuerzos incógnita como I1, I2
y I3, al seleccionar el punto “O” anulamos los momentos que producirían I1 y I2, por lo
que nos queda:
mImImFmImFmRM Ao 0.0.0.15,1.2.2.0 12231 
TI
T
m
mImImTmTmT
I
m
mImImFmFmR
I
mImImFmFmRmI
A
A
78,4
78,4
15,1
0.0.0.12.12.75,3
15,1
0.0.0.2.2.
0.0.0.2.2.15,1.
3
12
3
1221
3
12213







Lo primero que observamos es que el sentido propuesto para I3 coincide con el obtenido
por cálculo, por lo que al dirigirse en sentido contrario al nudo implica que la barra se
encuentra sometida a tracción, o sea traccionada.
Si quisiéramos calcular el esfuerzo I2 deberíamos repetir el procedimiento pero el punto
“O” se situaría en coincidencia con el punto “A” como se indica en la siguiente figura
dado que allí esta la intersección de I1 y I3.

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mImImFmImFmRM Ao 0.99.1.2.0.0.0.0 12231 
TI
T
m
mT
I
m
mImFmImFmR
I
ImFIFRmI
A
A
1
1
99.1
2.1
99.1
0.2.0.0.0.
0.2.0.0.0.99.1.
2
2
1231
2
12312







El signo negativo indica que el sentido
elegido para la fuerza I2 es el contrario al
correcto por lo que lo invertimos para la
representación, lo que coincide con lo
obtenido por el método de Cremona, en
intensidad y sentido, la barra se halla
sometida a compresión, ya que la fuerza se
dirige hacia el nudo.
Por reiteración del método y eligiendo
en forma adecuada los distintos centros
de momentos se van resolviendo todas
las barras.
Por ejemplo si quisiéramos continuar
calculando I1 tendríamos que tomar

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momentos en donde se cortan las direcciones de estas barras en el punto “O”, como se
muestra en la figura pero no continuaremos con el cálculo matemático por ser
reiteración de el proceso ya expuesto.
Hay una limitación en este método y es que si la sección de corte S-S cortase dos barras
paralelas no se podrá calcular la barra diagonal ya que la unión de las barras paralelas es
en el infinito, por lo que solo se podrán calcular las dos paralelas y por otro método la
barra diagonal.
Método de Culmann:
Este método al igual que el método de Ritter consiste en equilibrar tres fuerzas de las
direcciones de las tres barras con la resultante de las fuerzas exteriores a la derecha, las
condiciones que se deben cumplir son las mismas tres que para Ritter, es decir dividir el
reticulado en dos, de modo tal que el corte
4. No pase por ningún nudo.
5. No encuentre más de 3 barras.
6. Las barras no sean concurrentes.
Por lo que vamos viendo el problema resulta en equilibrar una fuerza en tres direcciones
preestablecidas, que son en nuestro caso las de las barras afectadas por el corte S-S.
El método para realizar este equilibrio es el siguiente, equilibraremos la resultante en
dos direcciones, una será la de una de las fuerzas, la otra que será auxiliar tendrá la
dirección que queda establecida por los puntos que generan a) la intersección de la
dirección de la barra escogida con la resultante de las fuerzas exteriores a la izquierda
del corte S-S y b) la intersección de las direcciones de las dos barras afectadas por el
corte S-S restantes. Habiendo hecho esto tendremos ya resuelta la primer barra, a
continuación y dado que pasa por la intersección de las dos barras que son línea de
acción de las fuerzas correspondientes a las dos barras restantes, decomponemos la
fuerza auxiliar es estas dos direcciones, resolviendo de esta forma las dos incógnitas
restantes.
Es de destacar que con este método no hay problema si dos de las barras son paralelas.
Ejemplo:
reacciones de vínculo, para simplificar el ejemplo utilizaremos la misma cabriada que
utilizamos para la resolución por Cremona y parcialmente por Ritter.
Este método es gráfico, como siempre calculamos las reacciones de vínculo luego hacemos
un corte con según una sección S-S dejando en evidencia las barras que nos interesa
resolver, las que denominamos I1; I2 e I3 como mostramos en la figura, a continuación
determinamos la posición de la resultante a la izquierda del corte en este caso lo hemos
hecho en forma gráfica mediante las auxiliares del polígono de fuerzas I; II; III y IV

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Practico N°1
Una vez determinada la resultante a la izquierda del corte realizado en la cabriada, tanto en
módulo como en dirección y sentido procedemos al cálculo de los esfuerzos en las barras,
para ello se procede a equilibrar la resultante en dos direcciones, estas direcciones son la
que resultan de la siguiente construcción
1. La dirección de una cualquiera de las barras.
2. La dirección resultante de la unión de los puntos formados por la intersección de la
dirección de la barra elegida en 1 con la resultante a la izquierda de la sección de
corte y el otro punto formado por la intersección de las direcciones de las barras
remanentes, puntos P y Q respectivamente del diagrama.
Para ello continuamos la dirección de la
barra en nuestro caso lo hicimos con I1 hasta
cortar la dirección de la resultante, ahí
trazamos una recta auxiliar que pase por esa
intersección y por la de las direcciones de I2
con I3.
Como la resultante es cortada en un punto
por dos direcciones concurrentes, podemos
equilibrarla sin generar momentos, por lo que
la equilibramos en las direcciones de I1 y
PQ.
A su vez las direcciones de I2 e I3 son
concurrentes sobre la dirección de PQ por lo
que podemos en este caso descomponer la
fuerza PQ en esas dos direcciones.
Hecho esto tenemos I1 como resultado del
equilibrio la Resultante y obtenemos I2 e I3 como descomposición de PQ
Como siempre trasladamos los sentidos de las fuerzas obtenidos a las proximidades del
nudo y dichos sentidos nos indican el tipo de esfuerzo al igual que en los métodos de
Cremona y de Ritter.

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