El documento describe los conceptos de par de fuerzas y momento de un par de fuerzas. Un par de fuerzas consiste en dos fuerzas iguales en magnitud pero opuestas en dirección. El momento de un par de fuerzas depende del producto de la magnitud de una fuerza por la distancia entre ellas, conocida como el brazo del par. El momento determina el efecto rotacional de un par de fuerzas sobre un objeto.

1. PAR DE FUERZAS
COMCEPTO.
Par de fuerzas, es un sistema formado por dos fuerzas de la misma intensidad o
módulo, pero de dirección contraria.
Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo se produce una rotación o una torsión. La
magnitud de la rotación depende del valor de las fuerzas que forman el par y de la
distancia entre ambas, llamada brazo del par.
Un par de fuerzas queda caracterizado por su momento. El momento de un par de
fuerzas, M, es una magnitud vectorial que tiene por módulo el producto de cualquiera
de las fuerzas por la distancia (perpendicular) entre ellas d. Esto es,
Algunas propiedades que se pueden aplicar al par de fuerzas
 Todo par de fuerzas puede trasladarse paralelamente a sí mismo siguiendo la
dirección de las fuerzas componentes sin que varíe el efecto que produce.

2.  Todo par de fuerzas puede desplazarse a lo largo de la recta a la que pertenece
su brazo.
 Un par de fuerzas se transforma en otro equivalente cuando gira alrededor del
punto medio de su brazo.
 Un par de fuerzas puede trasladarse a otro plano paralelo al suyo manteniendo
su efecto.
 Todo par de fuerzas puede sustituirse por otro equivalente cuyas fuerzas
componentes y brazo del par sean diferentes.
Introducción
l hecho de que la resultante Rde un par de fuerzas sea nula y que su punto
de aplicación esté situado en el infinito podría hacer pensar que ningún efecto
dinámico se puede esperar de un par de fuerzas.
Sin embargo, la experiencia pone de manifiesto que cuando se aplica un par de fuerzas
a un sólido rígido libre, el cuerpo gira sobre sí mismo. Lo cual parece indicar que los
efectos de un sistema de fuerzas relacionados con la rotación no dependen
estrictamente de la resultante. La magnitud física que se relaciona con esos efectos de
rotación recibe el nombre de momento.
Cuando a un sólido se le aplica un par de fuerzas, se produce una rotación cuyo
sentido depende de la orientación del par. La magnitud física que se relaciona con esos
efectos de rotación reciben el nombre de momento.
Momento de una fuerza

3. Cuando una persona intenta abrir una puerta giratoria, de una forma espontánea
coloca la mano en el extremo externo, nunca al lado del eje de rotación, además
ejerce la fuerza, por lo general, en dirección perpendicular al plano de la puerta. Un
estudio experimental de este fenómeno podría explicar el porqué de este
comportamiento automático.
Si el punto de aplicación de la fuerza se acercara hacia el eje, la misma fuerza daría
lugar a efectos menores, es decir, sería preciso ejercer una fuerza mayor para
conseguir el mismo movimiento de la puerta.
Si la orientación de la fuerza no fuera perpendicular al plano de la puerta ocurriría algo
parecido; la dificultad para mover la puerta se haría extrema si a alguien se le
ocurriera empujarla por el borde en dirección hacia su propio eje.
Este análisis de un fenómeno cotidiano pone de manifiesto que los efectos de las
fuerzas en orden a producir rotaciones dependen de algo más que de su intensidad;
dependen de su orientación y también de la distancia entre el punto de aplicación y el
punto o el eje de giro. Todos estos factores de los que, como demuestra la
experiencia, dependen los efectos rotatorios de las fuerzas, quedan englobados en la
magnitud momento.
Se define el momento M de una fuerza Fcon respecto de un punto O en la forma:
(3.2)
siendo F la magnitud de la fuerza, r la distancia entre el punto O y el punto P de
aplicación de F y q el ángulo que forma Fcon el segmento . Se expresa en unidades
de fuerza por unidades de distancia, es decir, en newtons por metro (N · m), en el
Sistema Internacional.
Dado que la magnitud momento de una fuerza está relacionada con las rotaciones,
deberá reflejar el sentido de éstas. Por ello se considera el momento con signo positivo
cuando puede dar lugar a una rotación a izquierdas y con signo negativo en caso
contrario.
El producto r · sen q coincide con la distancia entre el punto O y la recta de acción de
la fuerza; se representa por la letra d y recibe el nombre de brazo de la fuerza
respecto del punto 0.
Composición de fuerzas paralelas y de sentidos contrarios
a resultante de dos fuerzas paralelas y de sentidos contrarios es paralela a
las dos fuerzas componentes y tiene:
 por módulo o magnitud la diferencia de los módulos;

4.  por sentido, el de la fuerza de mayor módulo;
 su punto desaplicación O está situado fuera del segmento
hacia el lado de la fuerza mayor; la distancia de dicho punto O a
cada uno de los puntos de aplicación de las fuerzas componentes,
O1 y O2, es inversamente proporcional a cada una de las
magnitudes respectivas de F1 y F2.
La aplicación del procedimiento algebraico supone, en este caso, resolver el sistema de
ecuaciones:
Al estar el punto de aplicación de la resultante fuera del segmento definido por los
puntos O1O2, la suma de distancias se convierte ahora en resta, siendo siempre O2 el
punto de aplicación de la fuerza de mayor magnitud.
El procedimiento gráfico, una vez representado el sistema, consta en este caso de las
siguientes etapas:
a) En O1 se representa una fuerza de igual magnitud y sentido contrario a F2.
b) En O2 se representa una fuerza de igual magnitud y sentido que F1.
c) Se unen los extremos mediante una línea recta y se prolonga hasta cortar a la recta
que contiene al segmento El punto O de intersección de ambas es precisamente el
de aplicación de la resultante R.
La resultante de dos fuerzas de sentido contrario es otra fuerza paralela a las
anteriores, cuyo módulo es la diferencia del módulo de las fuerzas componentes.

5. Par de fuerzas
Se denomina par de fuerzas a un sistema formado por dos fuerzas paralelas iguales en
magnitud, pero de sentidos opuestos. En este caso el punto O de aplicación de la
resultante se aleja hasta el infinito, pues siguiendo el anterior procedimiento gráfico de
composición, las líneas cuya intersección determina el punto O resultan paralelas.
Además, el módulo de la resultante es cero al ser diferencia de dos cantidades iguales.
Por tanto, la fuerza resultante de un par de fuerzas es un vector nulo. La distancia d
entre las dos fuerzas componentes de un par se denomina brazo del par.
COMPORTAMIENTO A LA FLEXIÓN DE UNA VIGA DE SECCIÓN RECTANGULAR
Consideremos una viga de sección rectangular como se indica en la fig. MVI-8a,
sometida a la acción de las cargas crecientes desde cero hasta la magnitud que
producirá la falla. Se pueden distinguir distintos estados en su comportamiento Si
llamamos:
b: ancho de la viga
h: la altura de la sección
d: la altura útil ,distancia de la armadura al borde comprimido
Primero se observan a las tensiones y deformaciones en el régimen elástico (periodo
donde las tensiones son proporcionales a las deformaciones espec íficas).
La
armadura se deforma s la misma cantidad que el hormigón cercano a ella, debido a
las propiedades de adherencia, y entonces está sometida a tracción. Las tensiones del
hormigón fct son pequeñas (menores al 9% aproximadamente de la resistencia
máxima) y proporcionales a sus deformaciones. Si seguimos aumentando las cargas, el
hormigón se fisura, ya no trabaja a tracción y la armadura resiste las tracciones. El

6. diagrama de tensiones del Hormigón se puede considerar lineal. (figura MVI-8b)
Cuando las cargas producen en el hormigón tensiones de compresión mayores a 0,5
f´c, o en el acero mayores a fy, el diagrama se transforma en parabólico. Si
aumentamos las cargas se llegará a la rotura, como se indica en la figura. Las fisuras
en el hormigón tienen anchos muy pequeños y van desde el eje neutro hacia el borde
traccionado de la sección.
En el
instante de la rotura se han desarrollado en la viga un par de fuerzas: C, resultante de
compresión y T, resultante de tracción. Por razones de equilibrio T = C

7. Es importante conocer la magnitud de la resultante C y la ubicación de dicha
resultante. A partir de resultados experimentales se obtuvo información expresada por
los parámetros y . En la figura MVI-9 se observa el reemplazo que el reglamento
realiza de la tensión real por una equivalente con forma rectangular. La distribución
equivalente debe dar la misma magnitud de resultante de compresión C y su
ubicación, que la distribución real. : factor de intensidad de tensión
Se observa que
es independiente de f'c, y se puede tomar igual a 0,85; entonces para una viga de
ancho b resulta C = 0,85 f'c a b Los valores de se resumen en la TABLA MVI-1
para distintos tipos de hormigón.
si definimos

8. entonces C = kc d
si además a = 1c, entonces
como ya sabemos qué es c, entonces
en resumen
si definimos al término entre paréntesis como Kz, entonces z = dKz
despejamos d en esta última ecuación:
si definimos el primer factor como Kd, entonces
de donde podemos despejar (1)
kc : coeficiente que se emplea para calcular c (posición del eje neutro), y depende de
c y de s , o sea que depende de las deformaciones del acero y del hormigón. kd :
coeficiente que me permite calcular la altura d De cualquiera de las ecuaciones (1) se
puede despejar kd
con este valor obtengo Kc, Ke, y Kz en TABLA MVI-2
siendo z : brazo de palanca de C y T Kz : coeficiente que depende de kc y del tipo de
hormigón.
Cupla o Par de Fuerzas o Torque = Mpar ( Problemas resueltos)
Se denomina cupla o par de fuerzas a un sistema formado por dos fuerzas de igual
valor que poseen direcciones opuestas.
Dicho sistema de fuerzas NO puede ser reducido a una única fuerza resultante.
El efecto que produce, o tiende a producir, una cupla sobre un cuerpo es una rotación
pura.
El plano en el cual se encuentran las dos fuerzas se denomina plano de la cupla y la
distancia entre las líneas de acción de las fuerzas se denomina brazo de la cupla.
El módulo del momento de la cupla se obtiene multiplicando el módulo de cualquiera
de las fuerzas por el brazo de la cupla.

9. La dirección del momento de la
cupla es perpendicular al plano de
la cupla y su sentido se determina
por la regla de la mano derecha.
PROBLEMA
Si la barra AB mostrada en la figura es de
peso despreciable, y el bloque P pesa 30 N,
determinar el peso del bloque Q para que
el sistema se encuentre en equilibrio. La
cuerda que sostiene el bloque P pasa por
dos pequeñas poleas M y N que se
encuentran incrustadas en la barra.
RESOLUCION
Debido a que el sistema se encuentra en equilibrio, el valor de la tensión de la cuerda
que sostiene el bloque P es igual al valor del peso de este cuerpo. Por otro lado,
haciendo DCL de la barra vemos que sobre él actúa un par de fuerzas cuyo momento
es:
Pero como una cupla solo puede ser
anulada por otra cupla cuyo momento es
de igual valor que el anterior pero que
tiene dirección opuesta, se deduce que las
fuerzas R y T1 deben ser de igual módulo y
que R debe tener dirección vertical. Según
esto: