Este documento presenta un resumen sobre el cálculo de deformaciones y deformadas en estructuras. Explica que el cálculo de deformaciones se basa en los diagramas de esfuerzos internos y que el método de doble integración utiliza la relación entre curvatura, momento flector y momento de inercia. Propone dos ejercicios para calcular la deformación vertical y el ángulo de la deformada en vigas con condiciones de contorno específicas.

1. ANALISIS ESTRUCTURAL
Carrera: Ingeniería Ejecución en Proyectos Estructurales
Profesor: José Luis Quilodrán Aranda
Ingeniero Civil
UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

2. CLASE 2:
EJERCICIO

3. CLASE 2:
CALCULO DE DEFORMACIONES Y DEFORMADAS
1. GENERALIDADES
El calculo de las deformaciones que experimentan los sistemas estructurales frente a las acciones de cargas o de otros
efectos como cambio de temperatura, retracción, defectos de fabricación, etc., permite la línea de deformada de las
estructuras, llamada también “elástica”, por corresponder a deformaciones que se producen dentro del rango elástico
de estos sistemas.
El calculo de las deformaciones se basa en los diagramas de esfuerzos internos obtenidos para los elementos
componentes de la estructura. Por lo tanto, el campo de aplicación no solo se limita a estructuras determinadas, en
consecuencia, se pueden usar para el calculo de deformaciones de estructuras indeterminadas una vez que se
conozcan los diagramas de esfuerzos internos.
2. DOBLE INTEGRACION. TEOREMA DE AREA – MOMENTO.
Este método se usa preferentemente para el calculo de deformaciones de vigas, aun cuando también se pueden
aplicar, con cierto trabajo adicional, a pórticos constituidos por elementos esbeltos.
El método de doble integración se basa en la integración de la ecuación diferencial de la deformada obtenida para el
caso de elementos sometidos a flexión pura. Si se supone que las secciones planas permanecen planas después de
ocurrida la deformación, y que el comportamiento del material se mantiene dentro del rango elástico, los principios de la
Mecánica de Sólidos permiten demostrar que el radio de curvatura de una rebanada de ancho dx está dada por:
1/ = M / EI

4. Donde M es el Momento Flector, E es el Modulo de Elasticidad e I es el Momento de Inercia en la
sección considerada, tal como se indica a continuación:
Relación entre curvatura y M/EI.

5. En el caso que el elemento está sometido a esfuerzo de corte y esfuerzo axial, además de
flexión, la relación mostrada anteriormente se sigue satisfaciendo en forma razonable si el
elemento es esbelto. Sin embargo, si la altura de las secciones se hace mayor que un decimo de
la luz del elemento, la teoría clásica de la flexión empieza a perder su validez. Por otra parte, el
radio de curvatura está relacionado con el desplazamiento “y” de la deformada a través de la
relación:
En la gran mayoría de los casos de la practica se cumple la teoría de las deformaciones
pequeñas, con lo cual el Angulo = dy/dx que la tangente a la deformada forma con la horizontal
es muy pequeño y el termino (dy/dx)2 del denominador se puede despreciar frente al termino 1.
Por lo tanto, la expresión se reduce a:


6. Para los ejes indicados en la figura de la deformada, la expresión anterior indica que un valor positivo del momento
flector, esto es, que se estira la fibra interior del elemento, implica curvatura positiva de la deformada (cóncava hacia
arriba), y viceversa. Para integrar esta ecuación diferencial se requiere determinar dos constantes de integración, lo
cual se consigue al imponer dos condiciones de borde; para ello se usan generalmente valores conocidos de la
deformada o de la tangente para ciertos valores de x. Las relaciones siguientes son útiles para determinar la
expresión analítica de la deformada.
El uso de estas relación está restringido al caso de funciones y, , M, V y q que sean continuas en el rango de
integración. Por lo tanto, la relevancia practica de este método es limitada cuando se tienen cargas concentradas o
cargas que no se pueden representar por una función continua en la longitud de la viga.
Asimismo, es conveniente insistir que la ecuación en que la deformada “y” obtenida de la integración de la
ecuaciones, vistas anteriormente, solo incluye las deformaciones debidas a flexión.

7. EJERCICIO 1
Determinar la deformación vertical y el Angulo de la deformada con la horizontal en el extremo de la viga en voladizo
que se muestra a continuación, considere EI constantes para toda la viga.
EJERCICIO 2
Determinar la deformación vertical y el Angulo de la deformada con la horizontal en el centro de la viga bi-empotrada
que se muestra a continuación, considere EI constantes para toda la viga.