Este documento presenta información sobre ecuaciones de primer grado y segundo grado, sistemas de ecuaciones lineales, medidas de tendencia central y dispersión, y probabilidades. Explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado utilizando diferentes métodos como la fórmula general, factorización y gráficamente. También cubre conceptos estadísticos como moda, mediana, media, varianza y desviación estándar, y cómo calcular probabilidades usando la regla de Laplace.

1. ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado
incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita. Se
denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas
cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Generalmente para resolver este tipo de ecuaciones se siguen los siguientes pasos:
1) Se hace la transposición de términos, reuniendo en el primer miembro (izquierda) los
términos que contengan la incógnita y en el otro miembro (derecho) todas las cantidades
conocidas.
2) Se reducen los términos semejantes en cada miembro.
3) Se despeja la incógnita.
TRABAJO PROPUESTO:
1. 5x - 4 + x = 7 - 3x + 5
2. 2(x + 3) - 3(2x +1) = 4(1-3x)
3.
2𝑥
3
−
5
2
+ 𝑥 = 5 −
3𝑥
4
4.
2𝑥−5−𝑥−1
2
−
9−𝑥−5−3𝑥−2
3
=
3−𝑥(2𝑥−4)+2
2
5. 𝑥 − 3.
2𝑥+1
2
= −3 (−
3𝑥+9
3
− 2𝑥) −
𝑥
2
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene
la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación
cuadrática puede ser representada por un polinomio des egundo grado o polinomio cuadrático.
La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:
Donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el
coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante
la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es
útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje
X coinciden con las soluciones reales de la ecuación.
Fórmula general
Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos
soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si
los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas
conjugadas). Fórmula general para la obtención de raíces:

2. Se usa ± para indicar las dos soluciones:
Discriminante
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante
de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con la letra griega Δ (delta)
en mayúscula:
Δ = b2
- 4ac
Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o
una sola solución realde multiplicidad 2, o bien dos raíces complejas. El discriminante
determina la índole y la cantidad de raíces.
 Si Δ > 0 hay dos soluciones reales y diferentes (la parábola cruza dos veces el eje de las
abscisas: X):
 Si Δ = 0 hay una solución realdoble (la parábola solo toca en un punto al eje de las
abscisas: X):
 Si Δ < 0 hay dos soluciones complejas conjugadas (la parábola no corta al eje de las
abscisas: X):
donde i es la unidad imaginaria.
Solución por descomposición de factores
Un modo fácil y sencillo de resolver una ecuación de 2º grado es mediante el método de
factorización o Descomposición en factores. A continuación se explica paso a paso este método:
Pasos
Simplificar la ecuación y ponerla en la forma
Factorice el primer miembro de la ecuación

3. Iguale a cero los factores obtenidos para obtener el valor de x
Ejemplo: Resolver
TRABAJO PROPUESTO:
Resolver las siguientes ecuaciones por la formula general:
1. 5x2
- 7x - 90 = 0
2. 49x2
– 70x + 25 = 0
3. 12x – 4 -9x2
= 0
Resolver las siguientes ecuaciones por factorización:
1. x2 – x – 20 = 0
2. 2x2 + 5x – 3 = 0
3. 6x2 + 7x + 2 = 0
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una
incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas.
Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.
Por ejemplo:
3x+2y=1
x−5y=6
Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y).
Resolver este tipo de problemas (un sistema) consiste en encontrar el valor para cada incógnita
de forma que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.
La solución al sistema del ejemplo es:
X=1

4. Y=-1
En esta sección resolvemos sistemas (lineales) de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante
los métodos que describimos a continuación, que se basan en la obtención de una ecuación de
primer grado.
 Sustitución: consiste en despejar o aislar una de las incógnitas (por ejemplo x) y
sustituir su expresión en la otra ecuación. De este modo obtendremos una ecuación de
primer grado con la otra incógnita, y. Una vez resuelta, obtenemos el valor de x usando
el valor de y que ya conocemos.
 Igualación: consiste en aislar en ambas ecuaciones la misma incógnita para poder
igualar las expresiones, obteniendo así una sola ecuación con una incógnita.
 Adición y sustracción: consiste en operar con las ecuaciones como, por ejemplo, sumar
o restar ambas ecuaciones de modo que una de las incógnitas desaparezca. Así
obtenemos una ecuación con una sola incógnita.
 Determinantes: consiste en encontrar los valores de las variables que satisfacen dichas
ecuaciones. La solución o raíz de un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores de
las variables que satisface todas las ecuaciones del sistema.
 Método gráfico: El sistema tiene dos soluciones si la recta y la parábola se cortan en dos
puntos, tiene una solución, en este caso la parábola y la recta tienen un único punto en
común, son secantes y no tiene solución, la parábola y la recta no se cortan, el sistema
es incompatible.
TRABAJO PROPUESTO:
1. Resuelve por igualación el siguiente sistema:
2x+3y=-1
3x+4y=0
2. Resuelve por sustitución el siguiente sistema:
5x + 2y = 8
7x – 3y = 20
3. Resuelve por determinantes el siguiente sistema:
x + 2y - 3z = 3
4x - 3y + z = 1
2x - 3y + 2z = -2
4. Resuelve por determinantes el siguiente sistema
9x + 7y = -4
11x - 13y = -48
5. Resuelve por determinantes el siguiente sistema

5. 5𝑥 +
y
2
= −1
3x - 2y = 1
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia centralpretenden resumir en un solo valor a un conjunto de valores.
Representan un centro en torno al cual se encuentra ubicado el conjunto de los datos. Existen
tres Medidas de Tendencia Central que nos revelarán algunas cualidades de los datos con que
contamos:
 La media aritmética: es la suma de todos los datos dividida entre el número total de datos. Se
calculan dependiendo de cómo vengan ordenados los datos. se expresa de esta manera en
términos matemáticos:
La media para datos agrupados se calcula sumando todos los productos de marca clase con
la frecuencia absoluta respectiva y su resultado dividirlo por el número total de datos
La marca clase de una tabla para datos agrupados en intervalos corresponde al promedio de
los extremos de cada intervalo.
 La moda: de un conjunto de datos es el dato que más veces se repite, es decir, aquel que
tiene mayor frecuencia absoluta. Se denota por Mo. En caso de existir dos valores de la
variable que tengan la mayor frecuencia absoluta, habría dos modas. Si no se repite ningún
valor, no existe moda.
La moda para datos agrupados es el valor que representa la mayor frecuencia absoluta. En
tablas de frecuencias con datos agrupados, hablaremos de intervalo modal. La moda se
representa por Mo.

6.  Li Extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene mayor frecuencia
absoluta).
 fi Frecuencia absoluta del intervalo modal.
 fi-1 Frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.
 fi+1 Frecuencia absoluta del intervalo posterior al modal.
 t Amplitud de los intervalos
 La mediana: es el valor que ocupa el lugar central entre todos los valores del conjunto de
datos, cuando estos están ordenados en forma creciente o decreciente. La mediana se
representa por Me
La mediana de datos agrupados se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada
llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas. Es decir tenemos que buscar el
intervalo en el que se encuentre. N / 2. Luego calculamos según la siguiente fórmula:
Li-1 es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.
N / 2 es la semisuma de las frecuencias absolutas.
Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.
fi es la frecuencia absoluta del intervalo mediano.
ti es la amplitud de los intervalos.
MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Las Medidas de dispersión nos permiten reconocer que tanto se dispersan los datos alrededor
del punto central; es decir, nos indican cuanto se desvían las observaciones alrededor de su
promedio aritmético (Media). Este tipo de medidas son parámetros informativos que nos
permiten conocer como los valores de los datos se reparten a través de eje X, mediante un valor
numérico que representa elpromedio de dispersión de los datos. Las medidas de dispersión más
importantes y las más utilizadas son la Varianza y la Desviación estándar (o Típica).
 La varianza: es el promedio de las distancias al cuadrado que van de las observaciones a la
media

7. La varianza para datos agrupados es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones
respecto a la media de una distribución estadística.
Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que
son equivalentes a las anteriores.
 La desviación estándar:es la raíz cuadrada de la varianza
Dónde:
La desviación estándar para datos agrupados:
Dónde:

8. TRABAJO PROPUESTO:
1. El número de golesde un equipo de fútbol sala en 26 partidos son: 2,4, 6, 6,4, 4, 5, 5,4,
7, 3, 5, 4, 3, 3, 5, 6, 3,4, 3, 4,3, 4, 3,2, 4.
a) Resumir los datos anteriores en una tabla de frecuencias absolutas y relativas.
b) Hallar la moda, mediana y media.
2. Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
XI 61 64 67 70 73
FI 5 18 42 27 8
Calcular: la moda, mediana y media. La varianza y desviación estándar.
3. Las calificaciones de historia del arte de los 40 alumnos de una clase viene dada por la
tabla adjunta:
Xi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fi 0 1 0 2 0 4 12 9 8 7
Calcular: la moda, mediana y media. La varianza y desviación estándar.
4. Se ha aplicado un test de satisfacción en el trabajo a 88 empleados de una fábrica
obteniéndose la tabla de datos adjunta.
Intervalos [38 -
44)
[44 -
50)
[50 - 56) [56 -
62)
[62 - 68) [68 -
74)
[74 -
80)
FI 7 8 15 25 18 9 6
Calcular: la moda, mediana y media. La varianza y desviación estándar.
5. Se ha pasado un test de 80 preguntas a 600 personas. El número de respuestas
correctas se refleja en la siguiente tabla:
Calcular: la moda, mediana y media. La varianza y desviación estándar.
PROBABILIDADES

9. La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado
(suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.
Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de
ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación. Los
casos favorables de ocurrencia de un evento serán los que cumplan con la condición que
estamos buscando. La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento,
entre 0% y 100%):
El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y la
probabilidad de que salga el número 7 es cero. El valor uno corresponde al suceso seguro,
ejemplo: lanzamos un dado al aire y la probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es
igual a uno (100%). El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto
mayor cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.
Métodos de medición de Probabilidad
Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de
un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.
TRABAJO PROPUESTO:
1) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables
(f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen
siendo seis.
2) Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de
puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.
3) Probabilidad de ganarse el premio mayor de una lotería en la que juegan 100.000 números:
tan sólo un caso favorable (f), el número que jugamos, frente a los 100.000 casos posibles
(n).
4) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables
(f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen
siendo seis
5) Probabilidad al lanzar una moneda, con un águila en una cara y un sol en la otra. Hay dos
casos posibles (n) de ocurrencia (o cae águila o cae sol) y sólo un caso favorable (f) de que
pueda caer águila (pues sólo hay un águila en la moneda).