Inecuaciones en R, Inecuaciones de Valor Absoluto, Sistemas de Inecuaciones

1. Relación de Orden
Inecuaciones en R
Inecuaciones con Valor Absoluto
Sistemas de Inecuaciones Lineales

2. Relación de Orden

5. Intervalos
Los intervalos son subconjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución
de las inecuaciones, estos intervalos se representan gráficamente en la recta numérica real.
TIPOS DE INTERVALOS
INTERVALO CERRADO
Si a y b son números reales tales que 𝒂 ≤ 𝒃, se denomina intervalo cerrado al conjunto de
todos los reales x para los cuales 𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃. (están incluidos los extremos a y b). Se denota
por 𝒂; 𝒃 .
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃

6. Tipos de intervalos
INTERVALO ABIERTO
Si a y b son números reales tales que 𝒂 ≤ 𝒃, se denomina intervalo abierto al conjunto de
todos los reales x para los cuales 𝒂 < 𝒙 < 𝒃. (No están incluidos los extremos a y b). Se
denota por 𝒂, 𝒃 .
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 < 𝒙 < 𝒃
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA IZQUIERDA.
Si a y b son números reales tales que 𝒂 < 𝒃, se denomina intervalo semiabierto por la
izquierda al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃 se denota por
𝒂, 𝒃 .
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃

7. Tipos de intervalos
INTERVALO SEMIABIERTO POR LA DERECHA.
Si a y b son números reales tales que 𝒂 < 𝒃, se denomina intervalo semiabierto por la
derecha al conjunto de todos los reales x para los cuales 𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃 se denota por 𝒂, 𝒃
𝒂, 𝒃 = 𝒙 ∈ ℝ/𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃

8. Tipos de intervalos
INTERVALOS INFINITOS
Para indicar a los conjuntos de números reales que se extienden indefinidamente por la
derecha o por la izquierda de un número “a”, existen los llamados intervalos infinitos, que
tienen la forma de:

9. ¿Qué es una inecuación?
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que
hay al menos una variable cuyo valor se desconoce, y sus
miembros se relacionan por algunos de estos signos
< > ≤ ≥
La solución de una inecuación, es el conjunto de valores
de la variable que la verifica, hay dos formas de expresarla
 Una representación grafica
Un intervalo

10. Representaciones en Intervalos
Intervalo Abierto: “Los extremos no pertenecen al Intervalo”. Ej:
Intervalo Cerrado: “Ambos extremos pertenecen al intervalos”. Ej:

11. Intervalo Finito: “Son los que tiene principio y fin”. Ej:
Intervalo Infinito: “Son los que tienen principio y no
fin o viceversa” Ej

12. Para comenzar
Primero propiedad
distributiva
Se agrupan los términos
semejantes
Se grafica
Se halla el intervalo
solución Gráfica

13. Cuando en una
inecuación se pasa
multiplicando o
dividiendo por un
número negativo, se
debe invertir el
signo de la
desigualdad

15. Veamos un ejemplo
Empecemos a analizar:
 El denominador NUNCA puede ser cero
 Además tenemos un cociente que es menor a cero,
es decir siempre será negativo. Por eso es necesario
recurrir a la regla de signos.
Será necesario plantear dos posibilidades

16. Resolvemos cada una de las Inecuaciones

17. ¿Cuál es el conjunto solución?
Ya tenemos la solución de las intersecciones, ahora
falta unir estos resultados.
En este caso es una unión porque viene de un “o”, de
modo que son validas cualquiera de las dos ramas en
las que dividimos el planteo, por lo tanto debemos
unir los resultados obtenidos en cada una
La solución final

18. Veamos otro ejemplo
Lo primero que
tenemos que hacer
es llevarlo a la
“estructura” que
posee el ejercicio
anterior

19. Empecemos a analizar:
 El denominador NUNCA puede ser cero
 Además tenemos un cociente que es mayor a cero,
es decir siempre será positivo. Por eso es necesario
recurrir a la regla de signos.
Será necesario plantear dos posibilidades

21. Ahora analicemos cual será el conjunto solución
La solución final será la UNION DE TODO (incluyendo x=-3)
Observen que al incluir x = -3 ponemos corchetes en el intervalo
de manera que este lo contenga

22. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
PROPIEDADES
1ra.  x  < a ; si y sólo si a > 0 y a < x < a
a a
 x   a ; si y sólo si a > 0 y a  x  a
a a

23. Ejemplo.- Analizar:  x  < 2
2 2
Ejemplo.- Analizar:  x   5
5 5
Dado que 2 > 0 entonces: 2 < x < 2
Dado que 5>0 entonces: 5  x  5

24. 2da.  x  > a ; si y sólo si x < a ó x > a
 x   a ; si y sólo si x  a ó x  a
 – a a 
 – a a 

25. Ejemplo.- Analizar:  x  > 2
Ejemplo.- Analizar:  x   6
 – 2 2 
 – 6 6 
Para que la desigualdad se verifique se debe cumplir que:
x < (2) ó x > 2  x < -2 ó x > 2
x  6 ó x  6
Para que la desigualdad se verifique se debe cumplir que:

26. Ejemplo N°4 Resolver 96x 
Resolución:
96x  – 9  x – 6  9
– 3  x  15
x  – 3; 15 
– 3 15

27. Ejemplo N°5 Resolver 104x 
Resolución:
104x  x – 4 < – 10 ó x – 4 > 10
x < – 6 ó x > 14
 – 6 14 
x  – ; – 6  14;  

28. Sistema de Inecuaciones con una Incógnita
Se Resuelve cada inecuación del sistema por separado, obteniéndose como solución de cada una
de ellas un subconjunto de la recta real. La solución del sistemas la intersección de todos estos
subconjuntos. Ejemplos:

30. Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Ejemplo: 3𝑥 − 2𝑦 > 6
2. La recta divide al plano en dos
semiplanos. Discutimos cuál de los
semiplanos es solución utilizando
un punto
y estudiando si verifica o No la inecuación
La solución será el semiplano
3. No se incluye la recta ya que no verifica la desigualdad.
1. Representamos gráficamente la función afín o lineal:
Para ello hacemos una tabla de valores: 3𝑥 − 2𝑦 = 6
𝑥 0 2 −2
𝑦 −3 0 −6