Este documento presenta una introducción a la programación lineal. Explica que la programación lineal busca optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo sujeta a restricciones lineales. Se desarrolló originalmente para resolver problemas económicos durante la Segunda Guerra Mundial y ahora se usa ampliamente en la toma de decisiones económicas. A continuación, introduce los conceptos básicos de inecuaciones lineales y sistemas de inecuaciones lineales necesarios para comprender la programación lineal. Finalmente, explica cómo aplicar la program
Este documento presenta un resumen de la programación lineal. Introduce el tema y explica cómo resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos variables, representándolos gráficamente. Luego, explica cómo resolver problemas de optimización de una función sujeta a restricciones mediante el análisis geométrico de la región factible.
Este documento presenta el programa de la asignatura Matemática Aplicada a la Economía. Introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos y funciones, y explica que el curso se enfocará en aplicar estas herramientas matemáticas para resolver problemas económicos relevantes, en lugar de enfocarse en la demostración de teoremas. El programa incluye temas como matrices, funciones de una y varias variables, derivadas, integrales, optimización y más, con ejemplos de su aplicación en economía.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica métodos para resolver problemas de valor inicial y de contorno, incluyendo ejemplos. También describe técnicas analíticas como separación de variables y el análisis de ecuaciones diferenciales homogéneas.
Este documento presenta información sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo resolver inecuaciones lineales de dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales, además de proporcionar ejemplos de problemas de texto resueltos con sistemas de inecuaciones.
Este documento presenta un resumen de tres secciones:
1) Inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolviendo ejemplos y dando interpretaciones geométricas.
2) Inecuaciones lineales de la forma ax + b < cx + d, interpretándolas geométricamente como rectas.
3) Inecuaciones de segundo grado, analizando los casos en función del signo de a y b^2 - 4ac, y resolviendo ejemplos.
1) María modeló un problema de geometría usando ecuaciones algebraicas para determinar las medidas de un terreno rectangular sabiendo solo su área.
2) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen gráficos, suma y resta, y otros métodos elementales.
3) La modelización con ecuaciones puede usarse para resolver una variedad de problemas matemáticos.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales y las matrices. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales, y que una matriz representa un sistema de ecuaciones. Detalla cómo resolver sistemas mediante el método de eliminación y operaciones de renglón en la forma matricial. Finalmente, distingue entre sistemas consistentes que tienen solución única o infinitas soluciones, e inconsistentes sin solución.
Este documento presenta un resumen de la programación lineal. Introduce el tema y explica cómo resolver inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con dos variables, representándolos gráficamente. Luego, explica cómo resolver problemas de optimización de una función sujeta a restricciones mediante el análisis geométrico de la región factible.
Este documento presenta el programa de la asignatura Matemática Aplicada a la Economía. Introduce conceptos básicos de teoría de conjuntos y funciones, y explica que el curso se enfocará en aplicar estas herramientas matemáticas para resolver problemas económicos relevantes, en lugar de enfocarse en la demostración de teoremas. El programa incluye temas como matrices, funciones de una y varias variables, derivadas, integrales, optimización y más, con ejemplos de su aplicación en economía.
Este documento describe las propiedades de las funciones cuadráticas. Explica la forma estándar de una ecuación cuadrática, la forma vértice y cómo encontrar el vértice. Luego detalla varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas, incluida la factorización, raíz cuadrada, completando al cuadrado y la fórmula cuadrática. También cubre el discriminante y cómo determinar el número de raíces reales. Por último, presenta algunos ejemplos de aplicaciones de funciones cuadráticas.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica métodos para resolver problemas de valor inicial y de contorno, incluyendo ejemplos. También describe técnicas analíticas como separación de variables y el análisis de ecuaciones diferenciales homogéneas.
Este documento presenta información sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo resolver inecuaciones lineales de dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales, además de proporcionar ejemplos de problemas de texto resueltos con sistemas de inecuaciones.
Este documento presenta un resumen de tres secciones:
1) Inecuaciones de primer grado con una incógnita, resolviendo ejemplos y dando interpretaciones geométricas.
2) Inecuaciones lineales de la forma ax + b < cx + d, interpretándolas geométricamente como rectas.
3) Inecuaciones de segundo grado, analizando los casos en función del signo de a y b^2 - 4ac, y resolviendo ejemplos.
1) María modeló un problema de geometría usando ecuaciones algebraicas para determinar las medidas de un terreno rectangular sabiendo solo su área.
2) Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones incluyen gráficos, suma y resta, y otros métodos elementales.
3) La modelización con ecuaciones puede usarse para resolver una variedad de problemas matemáticos.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones lineales y las matrices. Explica que un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales, y que una matriz representa un sistema de ecuaciones. Detalla cómo resolver sistemas mediante el método de eliminación y operaciones de renglón en la forma matricial. Finalmente, distingue entre sistemas consistentes que tienen solución única o infinitas soluciones, e inconsistentes sin solución.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de la Unidad 1 de Matemáticas sobre ecuaciones con radicales. El objetivo principal es que los estudiantes utilicen determinantes y ecuaciones con radicales para resolver problemas. La unidad cubrirá determinantes, ecuaciones con radicales, sistemas de ecuaciones y líneas rectas. Al final, los estudiantes podrán resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas usando diferentes métodos como determinantes.
El documento trata sobre ecuaciones de segundo grado. Explica que una ecuación de segundo grado puede reducirse a la forma general ax2 + bx + c = 0, donde a es el coeficiente de x2, b de x y c el término independiente. Luego describe los tipos de cuadráticas y métodos para resolverlas, como factorización y completando el cuadrado. También introduce conceptos básicos de funciones como su definición, gráficas y ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y polinomiales.
TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONESedvinogo
El documento resume los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única si las funciones son continuas. El teorema local de existencia y unicidad requiere que la función sea continua para garantizar una solución única expresada como una integral. La condición de Lipschitz también garantiza una solución única.
Este documento presenta un resumen de los números complejos. Introduce los números complejos como expresiones de la forma z = a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria tal que i2 = -1. Explica cómo sumar y multiplicar números complejos mediante el cálculo de sus partes reales e imaginarias por separado, y enumera algunas de sus propiedades algebraicas fundamentales.
Este documento trata sobre inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Define inecuaciones como desigualdades entre expresiones algebraicas y explica las reglas de equivalencia para mantener o cambiar el sentido de la desigualdad. Luego, cubre cómo resolver inecuaciones lineales, polinómicas y racionales de una incógnita, así como sistemas de inecuaciones.
Este documento describe el método gráfico para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo graficar las restricciones, definir la región factible y la función objetivo, y encontrar la solución óptima moviendo la función objetivo. También incluye ejemplos para ilustrar el proceso de resolución gráfica.
Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.
Este documento presenta información sobre el uso de matemáticas en educación física. Explica conceptos como ecuaciones de primer y segundo grado, métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, y métodos como sustitución, igualación y reducción. También proporciona ejemplos detallados sobre cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones.
Este documento presenta un resumen de los conceptos y métodos fundamentales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Introduce las definiciones básicas de ecuación diferencial ordinaria, orden y solución general. Luego describe los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, homogéneas, lineales y exactas. Finalmente, cubre los métodos para resolver ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes.
El documento resume conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden, grado, clasificación, soluciones generales y particulares, y aplicaciones geométricas. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función y sus derivadas, y que su orden depende de la derivada más alta involucrada. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad.
Este documento presenta una introducción a los conceptos matemáticos fundamentales de números, funciones, límites y derivadas. Explica la clasificación de números reales, operaciones con números complejos, definición y propiedades de funciones, representación polar de números complejos, y definición de límites, derivadas y continuidad. El documento provee una guía general de estas importantes ideas matemáticas.
Ecuaciones Diferenciales Lineales Reduccion De OrdenDavid Torres
Este documento explica el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente a una ecuación diferencial de segundo orden, dado que se conoce una primera solución. El método involucra transformar la ecuación diferencial original en una de primer orden, la cual puede resolverse más fácilmente. Se proveen dos ejemplos para ilustrar el método.
El documento presenta la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica cómo identificar los valores de a, b y c en una ecuación cuadrática y aplicar la fórmula para encontrar las raíces. Resuelve un ejemplo paso a paso usando la fórmula general para resolver la ecuación 5x^2 - 8x = -3.
Este documento presenta un curso propedéutico sobre ecuaciones diferenciales para una maestría en ingeniería eléctrica. Explica conceptos básicos como el orden de una ecuación diferencial, clasificaciones como lineal vs no lineal, y métodos de solución analítica como separación de variables. También introduce conceptos como campo vectorial, isoclinas y solución general. El objetivo es preparar a los estudiantes con los fundamentos necesarios para comprender ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.
¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.
RAAM Construction Limited (Drone Presentation)Grafic.guru
The document discusses the benefits of using a drone for aerial surveys of buildings and rooftops. It notes that drones can provide high resolution images and video of hard to access areas in a cost effective and timely manner compared to using scaffolding. A drone survey takes only 30 minutes whereas scaffolding installation can take more time and cost thousands. Drone surveys also provide a clear bird's eye view and accurate inspections without being intrusive. The company discussed is CAA qualified and provides liability insurance and maintenance of its drones.
The document discusses the design and development of quadcopter unmanned aerial vehicles (UAVs). It describes the prototypes created, including improvements made to reduce weight and increase lift. Sensors and controllers are discussed, including sensors for position, proximity, and navigation. The final prototype achieved stable hovering with a weight of 43 grams and incorporated an inertial measurement unit, ultrasonic sensors, GPS, and radio frequency transmission for control and data transmission.
The document discusses the present and future of the drone industry. It covers the commercial, military, and hobbyist markets for drones and how drones are being used for applications like delivery, agriculture, filmmaking, and more. The document predicts that commercial drone spending will reach $4.8 billion globally by 2021 and that drones will continue revolutionizing various industries through innovations in engagement, solutions to unique challenges, and new forms of advertising and events.
An unmanned aerial vehicle (UAV), commonly known as a Drone, is an aircraft without a human pilot on board. UAVs can be remote controlled aircraft (e.g. flown by a pilot at a ground control station) or can fly autonomously based on pre-programmed flight plans or more complex dynamic automation systems
A UAV is defined as being capable of controlled, sustained level flight and powered by a jet or reciprocating engine. In addition, a cruise missile can be considered to be a UAV, but is treated separately on the basis that the vehicle is the weapon.
Unmanned Aerial Vehicles (UAVs) are aircrafts that fly without any humans being onboard. They are either remotely piloted, or piloted by an onboard computer. This kind of aircrafts can be used in different military missions such as surveillance, reconnaissance, battle damage assessment, communications relay, minesweeping, hazardous substances detection and radar jamming. However they can be used in other than military missions like detection of hazardous objects on train rails and investigation of infected areas. Aircrafts that are able of hovering and vertical flying can also be used for indoor missions like counter terrorist operations
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Este documento presenta los objetivos y contenidos de la Unidad 1 de Matemáticas sobre ecuaciones con radicales. El objetivo principal es que los estudiantes utilicen determinantes y ecuaciones con radicales para resolver problemas. La unidad cubrirá determinantes, ecuaciones con radicales, sistemas de ecuaciones y líneas rectas. Al final, los estudiantes podrán resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas usando diferentes métodos como determinantes.
El documento trata sobre ecuaciones de segundo grado. Explica que una ecuación de segundo grado puede reducirse a la forma general ax2 + bx + c = 0, donde a es el coeficiente de x2, b de x y c el término independiente. Luego describe los tipos de cuadráticas y métodos para resolverlas, como factorización y completando el cuadrado. También introduce conceptos básicos de funciones como su definición, gráficas y ejemplos de funciones lineales, cuadráticas y polinomiales.
TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONESedvinogo
El documento resume los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única si las funciones son continuas. El teorema local de existencia y unicidad requiere que la función sea continua para garantizar una solución única expresada como una integral. La condición de Lipschitz también garantiza una solución única.
Este documento presenta un resumen de los números complejos. Introduce los números complejos como expresiones de la forma z = a + bi, donde a y b son números reales y i es la unidad imaginaria tal que i2 = -1. Explica cómo sumar y multiplicar números complejos mediante el cálculo de sus partes reales e imaginarias por separado, y enumera algunas de sus propiedades algebraicas fundamentales.
Este documento trata sobre inecuaciones y sistemas de inecuaciones. Define inecuaciones como desigualdades entre expresiones algebraicas y explica las reglas de equivalencia para mantener o cambiar el sentido de la desigualdad. Luego, cubre cómo resolver inecuaciones lineales, polinómicas y racionales de una incógnita, así como sistemas de inecuaciones.
Este documento describe el método gráfico para resolver problemas de programación lineal. Explica cómo graficar las restricciones, definir la región factible y la función objetivo, y encontrar la solución óptima moviendo la función objetivo. También incluye ejemplos para ilustrar el proceso de resolución gráfica.
Este documento describe los métodos para calcular la intersección de funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo hacerlo gráficamente y analíticamente resolviendo sistemas de ecuaciones. Para rectas y parábolas, la solución puede ser uno o más puntos de intersección, o no haber solución. Muestra ejemplos resueltos de cada caso.
Este documento presenta información sobre el uso de matemáticas en educación física. Explica conceptos como ecuaciones de primer y segundo grado, métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, y métodos como sustitución, igualación y reducción. También proporciona ejemplos detallados sobre cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones.
Este documento presenta un resumen de los conceptos y métodos fundamentales para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Introduce las definiciones básicas de ecuación diferencial ordinaria, orden y solución general. Luego describe los métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, homogéneas, lineales y exactas. Finalmente, cubre los métodos para resolver ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas y no homogéneas con coeficientes constantes.
El documento resume conceptos básicos sobre ecuaciones diferenciales, incluyendo su definición, orden, grado, clasificación, soluciones generales y particulares, y aplicaciones geométricas. Explica que una ecuación diferencial relaciona una función y sus derivadas, y que su orden depende de la derivada más alta involucrada. Además, clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden y linealidad.
Este documento presenta una introducción a los conceptos matemáticos fundamentales de números, funciones, límites y derivadas. Explica la clasificación de números reales, operaciones con números complejos, definición y propiedades de funciones, representación polar de números complejos, y definición de límites, derivadas y continuidad. El documento provee una guía general de estas importantes ideas matemáticas.
Ecuaciones Diferenciales Lineales Reduccion De OrdenDavid Torres
Este documento explica el método de reducción de orden para encontrar una segunda solución linealmente independiente a una ecuación diferencial de segundo orden, dado que se conoce una primera solución. El método involucra transformar la ecuación diferencial original en una de primer orden, la cual puede resolverse más fácilmente. Se proveen dos ejemplos para ilustrar el método.
El documento presenta la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas. Explica cómo identificar los valores de a, b y c en una ecuación cuadrática y aplicar la fórmula para encontrar las raíces. Resuelve un ejemplo paso a paso usando la fórmula general para resolver la ecuación 5x^2 - 8x = -3.
Este documento presenta un curso propedéutico sobre ecuaciones diferenciales para una maestría en ingeniería eléctrica. Explica conceptos básicos como el orden de una ecuación diferencial, clasificaciones como lineal vs no lineal, y métodos de solución analítica como separación de variables. También introduce conceptos como campo vectorial, isoclinas y solución general. El objetivo es preparar a los estudiantes con los fundamentos necesarios para comprender ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en ingeniería.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.
¿Qué son las ecuaciones? Esta presentación recorre desde los conceptos mas básicos hasta las ecuaciones exponenciales y logarítmicas, además de una aplicación a la resolución de problemas. Ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones polinómicas reducibles a ecuaciones de segundo grado, ecuaciones polinómicas en general, ecuaciones racionales e irracionales y ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Problemas numéricos, problemas de edades, problemas de mezclas, problemas de móviles, problemas con figuras geométricas y problemas de calcular el tiempo en el interés compuesto.
RAAM Construction Limited (Drone Presentation)Grafic.guru
The document discusses the benefits of using a drone for aerial surveys of buildings and rooftops. It notes that drones can provide high resolution images and video of hard to access areas in a cost effective and timely manner compared to using scaffolding. A drone survey takes only 30 minutes whereas scaffolding installation can take more time and cost thousands. Drone surveys also provide a clear bird's eye view and accurate inspections without being intrusive. The company discussed is CAA qualified and provides liability insurance and maintenance of its drones.
The document discusses the design and development of quadcopter unmanned aerial vehicles (UAVs). It describes the prototypes created, including improvements made to reduce weight and increase lift. Sensors and controllers are discussed, including sensors for position, proximity, and navigation. The final prototype achieved stable hovering with a weight of 43 grams and incorporated an inertial measurement unit, ultrasonic sensors, GPS, and radio frequency transmission for control and data transmission.
The document discusses the present and future of the drone industry. It covers the commercial, military, and hobbyist markets for drones and how drones are being used for applications like delivery, agriculture, filmmaking, and more. The document predicts that commercial drone spending will reach $4.8 billion globally by 2021 and that drones will continue revolutionizing various industries through innovations in engagement, solutions to unique challenges, and new forms of advertising and events.
An unmanned aerial vehicle (UAV), commonly known as a Drone, is an aircraft without a human pilot on board. UAVs can be remote controlled aircraft (e.g. flown by a pilot at a ground control station) or can fly autonomously based on pre-programmed flight plans or more complex dynamic automation systems
A UAV is defined as being capable of controlled, sustained level flight and powered by a jet or reciprocating engine. In addition, a cruise missile can be considered to be a UAV, but is treated separately on the basis that the vehicle is the weapon.
Unmanned Aerial Vehicles (UAVs) are aircrafts that fly without any humans being onboard. They are either remotely piloted, or piloted by an onboard computer. This kind of aircrafts can be used in different military missions such as surveillance, reconnaissance, battle damage assessment, communications relay, minesweeping, hazardous substances detection and radar jamming. However they can be used in other than military missions like detection of hazardous objects on train rails and investigation of infected areas. Aircrafts that are able of hovering and vertical flying can also be used for indoor missions like counter terrorist operations
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El documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo el método de reducción, sustitución, igualación y el método gráfico. Explica que los sistemas pueden tener soluciones únicas, infinitas soluciones o no tener solución, y provee ejemplos de cada caso. También provee instrucciones detalladas sobre cómo aplicar el método de reducción paso a paso para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
Este documento presenta información sobre sistemas de inecuaciones lineales. Explica cómo resolver inecuaciones lineales de dos incógnitas y sistemas de inecuaciones lineales, además de presentar ejemplos de problemas de texto resueltos con este método.
El documento explica las inecuaciones lineales con dos incógnitas y cómo resolverlas gráficamente representando los semiplanos de soluciones. También describe los sistemas de inecuaciones lineales y cómo encontrar la región de soluciones común a ambas inecuaciones. Por último, presenta un problema de programación lineal, explicando cómo formularlo como un sistema de inecuaciones para determinar la región factible de soluciones y así encontrar la solución óptima.
Este documento resume los conceptos básicos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales. Define una ecuación lineal como una ecuación polinómica de grado uno con una o más incógnitas. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss, el cual convierte el sistema en una forma escalonada. También cubre sistemas homogéneos, equivalentes y con parámetros.
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales y cuadráticas. Explica los diferentes tipos de ecuaciones y métodos para resolver ecuaciones lineales como reducción, igualación, sustitución y método gráfico. También describe cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando factorización simple, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática. Finalmente, da un ejemplo aplicado de un problema de gestión ambiental.
El documento presenta información sobre ecuaciones algebraicas de primer grado. Explica cómo reconocer y clasificar ecuaciones algebraicas, y cómo resolver ecuaciones de primer grado mediante el despeje de la incógnita. También cubre conceptos como igualdad, variable, conjunto solución y clasificaciones de ecuaciones.
Este documento trata sobre programación lineal. Explica que la programación lineal es una técnica matemática para resolver problemas de optimización mediante métodos lineales. Se centra en problemas con dos variables, resolviéndolos gráficamente mediante sistemas de inecuaciones lineales. Finalmente, explica cómo resolver problemas de optimización de una función objetivo sujeta a restricciones mediante métodos geométricos y algebraicos.
El documento resume los métodos gráficos y analíticos para calcular la intersección de diferentes funciones como rectas, parábolas y una recta con una parábola. Explica cómo resolver sistemas de ecuaciones surgidos de estos problemas de intersección mediante métodos como sustitución, igualación y reducción. También describe los diferentes casos posibles para cada tipo de intersección.
Este documento resume los pasos para resolver diferentes tipos de ecuaciones en una variable, incluyendo ecuaciones polinómicas lineales, cuadráticas, cúbicas y de mayor grado, así como ecuaciones con valor absoluto, raíces y racionales. Explica métodos como factorización, completar el cuadrado y división sintética para resolver cada tipo de ecuación.
Este documento presenta los pasos para resolver diferentes tipos de ecuaciones algebraicas de una variable, incluyendo ecuaciones polinómicas lineales, cuadráticas, cúbicas y de mayor grado, así como ecuaciones con valor absoluto, raíces y racionales. Explica métodos como factorización, uso de fórmulas, división sintética y aislamiento de términos para resolver cada tipo de ecuación.
Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Linealesmatbasuts1
Este documento resume los conceptos básicos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Explica qué son las ecuaciones, incógnitas, miembros, términos y soluciones. Luego describe los tipos de ecuaciones como lineales, cuadráticas, completas e incompletas, y métodos para resolver cada tipo. Finalmente, introduce los sistemas de ecuaciones y su dimensión.
Este documento presenta un resumen de tres capítulos sobre programación lineal. En el primer capítulo, introduce la programación lineal como una técnica matemática para resolver problemas de optimización, especialmente en ciencias sociales. El segundo capítulo explica cómo resolver inecuaciones lineales con dos variables mediante representación gráfica. El tercer capítulo trata sobre sistemas de inecuaciones lineales y cómo encontrar la región de solución común. Finalmente, el cuarto capítulo describe cómo resolver problemas de optimización de una función sujeta a restricciones mediante en
Este documento introduce varios problemas matemáticos que no pueden resolverse analíticamente y requieren métodos numéricos. Estos problemas incluyen encontrar áreas bajo curvas, raíces de polinomios, sistemas de ecuaciones y integrales definidas. También introduce conceptos clave como los números de punto flotante que usan los computadores y los errores de redondeo inherentes a los cálculos numéricos. Los temas principales a cubrir son la solución numérica de ecuaciones, sistemas, interpolación, integración numérica y e
El documento resume conceptos básicos sobre ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo cómo resolver ecuaciones de una y dos incógnitas, sistemas de ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas. Explica los métodos para resolver estos tipos de ecuaciones de forma analítica y gráfica.
Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Introduce los objetivos de resolver ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes usando diferentes métodos. Explica las tres soluciones generales para ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y métodos como operadores anuladores y el método del Wronskiano para ecuaciones no homogéneas. Finalmente, presenta ejemplos resueltos y aplicaciones de estas ecuaciones diferenciales.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica que las matrices permiten representar sistemas de ecuaciones lineales de forma compacta y definir operaciones como suma, producto por un escalar y producto de matrices que permiten resolver sistemas. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular, nula, diagonal e identidad.
Este documento explica los conceptos básicos de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado. Define qué son las ecuaciones, los elementos que las componen y cómo se representan las ecuaciones de primer grado. Luego, describe las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, incluyendo su forma general y los diferentes tipos. Finalmente, presenta varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas como la factorización, completar al cuadrado y la fórmula cuadrática.
Este documento explica los conceptos básicos de ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado. Define qué son las ecuaciones, los elementos que las componen y cómo resolver ecuaciones de primer grado. Luego, explica las ecuaciones cuadráticas o de segundo grado, incluyendo sus formas y métodos para resolverlas como la fórmula cuadrática, factorización, completar al cuadrado y uso de la calculadora.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre inecuaciones de primer y segundo grado con una o dos incógnitas. Explica cómo resolver inecuaciones de primer grado con una incógnita, sistemas de inecuaciones de primer grado, inecuaciones de segundo grado y racionales con una incógnita, e inecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas de estas. El documento contiene ejemplos resueltos de cada tipo de inecuación.
Este documento contiene las instrucciones y soluciones para 6 ejercicios de matemáticas relacionados con funciones. En el primer ejercicio se pide derivar algunas funciones. El segundo ejercicio trata sobre la continuidad y representación gráfica de una función. Los ejercicios 3, 4 y 5 analizan intervalos de crecimiento, máximos y mínimos, asíntotas y gráficas de diferentes funciones. El último ejercicio pide razonar sobre el dominio de definición y puntos de inflexión de otra función.
El documento presenta una serie de ejercicios y problemas sobre límites, derivadas y funciones. Incluye determinar límites, estudiar el comportamiento de funciones, calcular derivadas, encontrar valores para que funciones sean continuas o derivables, hallar máximos y mínimos de funciones, y representar gráficamente funciones.
Este documento presenta los pasos para derivar diferentes funciones y determinar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como sus máximos y mínimos. Primero se deriva la función f(x)=x^2-2x y se determina que es creciente en (-∞, -2)∪(2, ∞) y decreciente en (-2,2), con un máximo en x=-2 y un mínimo en x=2. Luego se deriva g(x)=x^3 y se concluye que es siempre creciente. Finalmente, se analiza una función que
Examen final pendientes. consideracionesAmando Ferrer
Este documento describe la estructura del examen final de MACS1 para estudiantes de segundo año con asignaturas pendientes de primer año. El examen consta de tres partes que cubren el contenido de las tres evaluaciones. Los estudiantes deben presentarse a las partes de las evaluaciones que no hayan aprobado previamente, así como a la tercera parte. Además, se proporcionan ejemplos de los tipos de ejercicios que podrían incluirse en cada parte del examen.
Este documento presenta la solución de un estudiante a 6 ejercicios de probabilidad y estadística. En el primer ejercicio, el estudiante minimiza el coste de una dieta al mezclar dos productos. En el segundo, calcula un intervalo de confianza para la longitud promedio de cables de auriculares. En el tercero, determina la distribución de probabilidad del peso promedio de naranjas empacadas en bolsas.
Este documento presenta la solución a un examen de matemáticas aplicadas a las ciencias sociales. El examen contiene 8 preguntas sobre ecuaciones, sistemas de ecuaciones, inecuaciones, funciones y límites. La solución resuelve detalladamente cada una de las preguntas del examen mediante cálculos y gráficas cuando es necesario.
Este documento presenta la solución de un estudiante a 6 ejercicios de probabilidad y estadística. En el primer ejercicio, el estudiante minimiza el coste de una dieta al mezclar dos productos. En el segundo, calcula un intervalo de confianza para la longitud promedio de cables de auriculares. En el tercer ejercicio, determina la distribución de probabilidad del peso promedio de naranjas empacadas en bolsas.
Este documento presenta varios ejercicios de probabilidad relacionados con la selectividad. Incluye problemas sobre la probabilidad conjunta de dos sucesos, la probabilidad condicionada, la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes e independientes, y cálculos utilizando la distribución binomial. Los ejercicios cubren conceptos básicos de probabilidad y estadística aplicados a diferentes escenarios como economía, encuestas y lanzamiento de monedas y dados.
Este documento presenta la solución a 12 ejercicios de probabilidad. Los ejercicios cubren temas como: calcular la probabilidad de obtener números primos o dobles al lanzar dados; determinar la probabilidad de eventos compuestos; aplicar el teorema de la probabilidad total y el teorema de Bayes; y calcular probabilidades condicionadas en experimentos aleatorios con más de un suceso elemental posible.
Las variables aleatorias son cantidades que pueden tomar valores diferentes en cada experimento, y su comportamiento se describe mediante tablas de frecuencias o funciones de distribución de probabilidad. Estas tablas muestran la frecuencia con que ocurren cada uno de los posibles valores de la variable, y permiten calcular medidas como la media y la desviación típica para resumir las características de la variable.
Este documento presenta varios problemas estadísticos relacionados con la inferencia estadística, incluyendo el cálculo de probabilidades utilizando la distribución de la media muestral, la estimación de medias mediante intervalos de confianza, y el cálculo de intervalos de confianza para proporciones. Los problemas cubren temas como probabilidades asociadas con medias muestrales, estimación de parámetros poblacionales a partir de muestras, y el cálculo de intervalos de confianza.
Este documento presenta 13 problemas de probabilidad que involucran eventos aleatorios simples y condicionados. Los problemas cubren una variedad de escenarios como extracciones de objetos de urnas, asignación de estudiantes a profesores, selección de películas en cines y más. El objetivo es calcular probabilidades a través de la aplicación de la fórmula de probabilidad total y teorema de Bayes.
Este documento contiene resúmenes de varios ejercicios de programación lineal tomados de exámenes de selectividad de años anteriores. Cada ejercicio presenta un problema de optimización con variables, restricciones y función objetivo. Los resúmenes identifican la solución óptima evaluando la función en los vértices de la región factible en cada caso.
Propuesta de trabajo hasta final de curso macs1Amando Ferrer
El documento presenta un plan de trabajo para el curso MACS1 de bachillerato a distancia, que incluye 12 unidades divididas en los meses de enero a junio, cubriendo temas de álgebra, funciones, cálculo, estadística y probabilidad, con exámenes al final de cada mes.
Este documento presenta varios problemas de probabilidad relacionados con la selectividad. Incluye cuatro ejercicios que piden calcular probabilidades condicionadas y no condicionadas de eventos dados información sobre la probabilidad de ocurrencia de los eventos de forma individual y conjunta.
Este documento presenta 14 ejercicios de probabilidad relacionados con lanzar dados, extraer bolas de urnas, resultados de tiradas de baloncesto, y más. Los ejercicios piden calcular probabilidades de diferentes sucesos dados los parámetros de cada problema probabilístico.
Propuesta de trabajo hasta final de curso macs2Amando Ferrer
El documento describe los contenidos de la segunda y tercera evaluación de un curso de Matemáticas. La segunda evaluación cubrirá programación lineal, probabilidad e inferencia estadística. La tercera evaluación cubrirá límites, derivadas, integrales y sus aplicaciones. También incluye un calendario propuesto con las fechas para cubrir cada unidad.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de probabilidad. Introduce la noción de espacio muestral y sucesos, y explica las operaciones básicas con sucesos como la intersección. Además, resume brevemente la historia del desarrollo de la probabilidad y los objetivos de la unidad didáctica.
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Junio 2024.
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1. UNIDAD
4 Programación lineal
a programación lineal es parte de una rama de las matemáticas relativamente joven llamada investiga-
L ción operativa. La idea básica de la programación lineal es la de optimizar, es decir, hacer máxima o míni-
ma, una función, conocida con el nombre de función objetivo, con la que expresamos beneficios, gastos,
tiempo de distribución de bienes en problemas logísticos, etc. Esta función está sometida a una serie de restriccio-
nes que vienen expresadas por inecuaciones lineales.
La programación lineal tuvo sus orígenes en problemas de naturaleza económica planteados durante la Segunda
Guerra Mundial. Al comienzo los problemas planteados surgieron de la actividad militar, pero inmediatamente se vio que
sus métodos eran aplicables en muchas áreas de la actividad económica donde es necesario la toma de decisiones.
El método más conocido de resolución de problemas de programación lineal es el Método del símplex desarro-
llado por el matemático norteamericano George Dantzig en 1947. El algoritmo símplex ha sido elegido como uno de
los diez de mayor influencia en el desarrollo y la práctica de la ciencia y la ingeniería en el siglo XX.
El Método del simplex consiste en la utilización de un algoritmo iterativo para optimizar el valor de la función obje-
tivo teniendo en cuenta las restricciones planteadas. A lo largo de esta Unidad únicamente resolveremos problemas
de programación lineal bidimensional, con dos variables, para los que no es necesario el algoritmo simplex.
En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes:
1. Conocer la terminología usada en sistemas de inecuaciones.
2. Manejar transformaciones que permiten convertir un sistema de inecuaciones en otro equivalente.
3. Dominar las técnicas para encontrar las soluciones de sistemas de inecuaciones.
4. Conocer el lenguaje propio de la programación lineal.
5. Dominar algebraicamente la programación lineal en el caso de dos variables.
6. Resolver situaciones problemáticas que precisen de la teoría de la programación lineal.
ÍNDICE DE CONTENIDOS
1. INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3. PROGRAMACIÓN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4. PROGRAMACIÓN LINEAL DE DOS VARIABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1. Método gráfico para obtener las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2. Método analítico para obtener soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
62
3. UNIDAD
PROGRAMACIÓN LINEAL
4
1. Inecuaciones lineales con dos incógnitas
Para comenzar esta Unidad, parece conveniente recordar algunos conceptos ya estudiados sobre inecuaciones.
Si en las ecuaciones lineales con dos incógnitas ax + by = c, se sustituye el signo igual, por cualquier signo
de desigualdad ( ≥, ≤, >, < ), estamos ante una inecuación lineal con dos incógnitas.
Si una desigualdad después de realizar trasformaciones de equivalencia entre desigualdades y simpli-
ficar se convierte en otra de la forma ax + by ≥ c, o con cualquiera de los signos (≤, >, < ), estamos
ante una inecuación lineal con dos incógnitas.
Resolver una inecuación es encontrar los valores (x, y) que satisfacen la desigualdad; estos valores se sue-
len localizar sobre un plano cartesiano.
Se sabe de cursos anteriores, que la solución general de una inecuación lineal con dos variables está for-
mada por los puntos de uno de los semiplanos en los que la recta ax + by = c divide al plano. Una solución par-
ticular será cualquier punto que satisfaga a la inecuación.
La recta de división de los semiplanos se llama frontera y pertenece a la solución general en el caso de
desigualdad no estricta.
Ejemplo
1. Encontrar la solución general de la inecuación x + 2y > 3. Indicar si la frontera forma parte de la solución.
Solución:
La recta x + 2y = 3 divide al plano en los semiplanos I y II.
Se elige un punto del semiplano II; el más sencillo es (0, 0) y se sustituye en la
inecuación 0 + 2· 0 > 3; la desigualdad es falsa, por lo que el origen y todos los
puntos del semiplano II no son solución; la solución general la forman los pun-
tos del semiplano I.
Los puntos de la frontera no son solución; la desigualdad es estricta; por ejem-
plo, el punto (1, 1) de la recta, al sustituirlo en la inecuación 1 + 2· 1 > 3, pro-
porciona una desigualdad falsa.
Para resolver inecuaciones lineales, se deben simplificar; por lo que conviene recordar los principios que
transforman una inecuación en otra equivalente; estos son:
● Si se suman o restan a los dos miembros de una inecuación la misma expresión algebraica, la inecuación
que resulta es equivalente a la primera.
p(x) < q(x) 5 p(x) + a(x) < q(x) + a(x)
● Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por un número positivo, la inecuación que
resulta es equivalente a la primera.
Si a > 0 y p(x) < q(x) 5 a p(x) < a· q(x)
64
4. ● Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecuación por un número negativo, la inecuación
cambiada de sentido es equivalente a la primera.
Si a < 0 y p(x) < q(x) 5 a· p(x) > a· q(x)
Ejemplo
5
2. Encontrar la solución general de la inecuación: − x − 3y ≥ − y − 2
2
Solución:
5 5
Sumar y a los dos miembros: − x −3 y + y ≥ −2
2 2
Multiplicar por (-2) los dos miembros: 2x + 6y – 5y ≤ 4
Operar: 2x + y ≤ 4
Sustituir (0, 0) en la inecuación; 2· 0 + 0 ≤ 4, desigualdad verdadera. La solu-
ción general está formada por los puntos del semiplano II, sin colorear.
Actividades
1. Encontrar las soluciones de las inecuaciones: a) x ≥ 0; b) y ≥ 0; c ) x ≥ 1; d) x+y ≤ 3.
2. Encontrar la solución general de la inecuación − 3 x − 2 y > x − y − 2 .
2 5
2. Sistemas de inecuaciones lineales con dos
incógnitas
Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es el conjunto formado por dos o más
inecuaciones lineales con dos incógnitas; por ejemplo:
⎧ a11x + a12 y ≤ b1
⎪a x + a y ≤ b
⎪ 21 22 2
⎨
⎪ ... + ... ≤ ...
⎪an1x + an 2 y ≤ bn
⎩
El signo ≤ que aparece en todas las inecuaciones del ejemplo, puede ser sustituido en cualquiera de ellas
por los otros signos de desigualdad.
Se llama solución general del sistema, o región factible, al conjunto de los puntos del plano A(x, y) que cum-
plan simultáneamente todas las inecuaciones del sistema.
65
5. UNIDAD
PROGRAMACIÓN LINEAL
4
Para localizar la región factible o solución general del sistema, se realizan los pasos siguientes:
● Se localizan los semiplanos solución de cada una de las inecuaciones del sistema.
● Se realiza la intersección de todos los semiplanos y el recinto que resulta es la solución general o
región factible.
Los sistemas de inecuaciones lineales en cuanto a soluciones puede ocurrir como en el caso de los sistemas
que no tengan solución; es decir, que la región factible sea el conjunto vacío; en el caso de que exista, la región
factible puede ser acotada ( área finita) o no acotada ( área infinita).
En el caso de región acotada sus puntos estarán encerrados en un polígono convexo; es decir, aquel en que los
segmentos determinados por dos puntos interiores, están todos los puntos del segmento en el interior del polígono.
Ejemplos
⎧2x + 3y ≤ 12 ⎧2 x + 4 y ≥ 8 ⎧ x + 2y ≤ −2
⎪ ⎪ ⎪
3. Encontrar la región factible (solución general) de los sistemas: a) ⎨ x ≥ 0 ; b) ⎨ x ≥ 0 ; c) ⎨ x ≥ 0
⎪ y ≥0 ⎪ y ≥0 ⎪ y ≥0
⎩ ⎩ ⎩
Solución:
Se localizan los tres semiplanos que corresponden a las soluciones de cada una de las tres inecuaciones que forman
cada uno de los sistemas; la intersección de los mismos proporciona la región factible de cada sistema; estas son:
a) b) c)
Las regiones factibles obtenidas son: a) Acotada; el triángulo OAB. b) No acotada. c) Conjunto vacío; sin solución.
66
6. Actividades
⎧ x≤3
⎪
3. Representar el conjunto de puntos solución del sistema: ⎨ x ≥ −3
⎪ y ≤2
⎩
4. Dibujar las regiones factibles o soluciones de los sistemas:
⎧ x+y ≤8 ⎧ x + 3 y ≤ 15 ⎧ x + 2y ≥ 5 ⎧ x + 4y ≥ 8
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
a) ⎨ x − 2y ≥ −10 ; b) ⎨ x + y ≥ 3 ; c) ⎨ x − 3y ≤ 5 ; d) ⎨ x − 2 y ≤ −6
⎪ x ≥ 0; y ≥ 0 ⎪ ⎪ x ≥ 0; y ≥ 0 ⎪ x≥0
⎩ ⎩ x ≥ 7; y ≥ 0 ⎩ ⎩
3. Programación lineal
La teoría de la programación lineal se ha utilizado desde la segunda mitad del siglo pasado para resolver pro-
blemas concretos como el del transporte, el de la dieta y otros muchos problemas de economía.
Los problemas que resuelve la programación lineal tratan de encontrar el beneficio máximo en ventas o el
coste mínimo en producción; siempre teniendo en cuenta que se dispone de recursos limitados.
Se puede decir que con la programación lineal se deben tratar aquellos problemas en los que se debe
optimizar (calcular máximos o mínimos) una función de varias variables, llamada función objetivo,
sometida a una serie de restricciones expresadas mediante sistemas de inecuaciones lineales.
4. Programación lineal de dos variables
Antes de resolver problemas concretos de programación lineal, vamos a ver en qué consiste algebraicamen-
te la programación lineal en el caso de dos variables.
Se trata de optimizar (calcular máximos o mínimos) una función de dos variables F(x, y) = ax + by o
z = ax + by, llamada función objetivo, sometida a las restricciones expresadas mediante un sistema
de inecuaciones lineales de dos variables, como el siguiente:
⎧ a11x + a12 y ≥ b1
⎪a x + a y ≥ b
⎪ 21
⎪
22 2
⎨ ... + ... ≥ ...
⎪a x + a y ≥ b
⎪ n1 n2 n
⎩ x ≥ 0; y ≥ 0
⎪
El signo mayor o igual, que aparece en todas las inecuaciones del ejemplo, puede ser sustituido en cualquie-
ra de ellas por los otros signos de desigualdad en cada problema concreto.
Del apartado anterior se deduce que el valor óptimo de la función objetivo F(x, y) = ax + by, caso de existir,
se encuentra entre los puntos de la región factible.
Queda por estudiar un método que permita calcular fácilmente los puntos en los que sea óptima la función
objetivo; trataremos un método gráfico y otro analítico.
67
7. UNIDAD
PROGRAMACIÓN LINEAL
4
4.1. Método gráfico para obtener las soluciones
Para encontrar el valor óptimo, por el método gráfico, de una función objetivo de dos variables, sometida a
una serie de restricciones, se realizan los pasos siguientes:
● Se dibuja el recinto limitado por las restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones.
● Se iguala a cero la función objetivo ax + by = 0 y se representa la recta que resulta y que pasa por el
origen (0,0).
● Se traslada la recta anterior perpendicularmente a su dirección, de modo que las rectas resultantes barran
la región factible.
● Se toma nota de los puntos en los que las mencionadas rectas conectan o abandonan la región factible;
el valor o valores de la función objetivo en los mencionados puntos nos proporcionan el valor o valores
óptimos buscados.
Ejemplo
⎧ x + 2y ≥ 3
⎪ 2x − y ≥ 1
⎪
4. Optimizar la función F(x, y) = x + y, sometida a las restricciones siguientes: ⎨
⎪ x − y ≥ −1
Solución: ⎪5x − y ≤ 15
⎩
Se localiza la región factible y sus vértices.
Se dibuja la recta que resulta de anular la función objetivo; x + y =0 y se
traslada en dirección perpendicular; se ve en los desplazamientos que el
haz de rectas paralelas entra en la región factible por el vértice B (1,1),
donde la función objetivo vale 2 y sale por el vértice D (4,5) donde la fun-
ción objetivo vale 9.
La función objetivo toma el valor mínimo 2, en B (1,1) y el máximo 9 en D
(4,5).
4.2. Método analítico para obtener soluciones
Este método se basa en siguiente teorema, llamado teorema fundamental de la programación lineal para
dos variables, cuyo enunciado en el siguiente:
Una función objetivo de dos variables que posea máximo y mínimo únicos en una región factible aco-
tada, toma dichos valores necesariamente en los vértices de la región.
Si la función objetivo toma el mismo valor óptimo (máximo o mínimo) en dos vértices, entonces la fun-
ción tiene infinitas soluciones situadas en el segmento que determinan los dos vértices mencionados.
Si la región factible no está acotada, la función objetivo toma el valor óptimo (máximo o mínimo) si exis-
ten, en los vértices de la región; pero puede ocurrir que no alcance alguno de dichos valores óptimos.
68
8. Del teorema anterior se deduce que para determinar los valores óptimos se debe:
● Dibujar el recinto limitado por las restricciones del problema.
● Calcular las coordenadas de los vértices.
● Sustituir las coordenadas de los vértice en la función objetivo y ver los valores donde se hace máxima y
mínima.
Ejemplos
⎧3x + y ≤ 30
⎪ x + 2y ≤ 20
⎪
5. Maximizar y minimizar la función F(x, y) = 5x + 4y, en el recinto definido por el sistema siguiente: ⎨
Solución: ⎪ x ≥0
⎪ y ≥0
⎩
Se dibuja la región factible.
Se calculan los vértices; 0(0,0), A(0,10) y C(10,0) son inmediatos.
⎧3 x + y = 30
Para el cálculo de B se resuelve el sistema: ⎨ ;
⎩ x + 2y = 20
la solución es x = 8 e y = 6; por tanto, B(8, 6)
Es un recinto acotado.
Se sustituyen los valores de los vértices en la función objetivo:
FO (0,0) = 0 + 0 = 0
FA (0, 10) = 0 + 40 = 40
FB (8,6) = 5· 8 + 4· 6 = 64
FC (10, 0) = 5· 10 + 0 = 50
La función tiene un mínimo en O (0,0) y un máximo en B (8, 6): el valor del mínimo es 0 y el del máximo 64.
⎧ x+y ≥4
⎪3 x + y ≥ 6
⎪
6. Maximizar y minimizar si es posible la función F(x, y) = x + 3y. Sometida a las restricciones: ⎨
⎪ x−y ≤2
⎪ x≥0
⎩
Solución:
Se dibuja la región factible.
Se calculan los vértices; (0,6) es inmediato,
⎧x + y = 4
Para el cálculo de A se resuelve el sistema: ⎨ ; la solución es x = 3
⎩x − y = 2
e y = 1, por tanto, A es: A(3,1).
⎧3 x + y = 6
Para el cálculo de B se resuelve el sistema: ⎨ ; 2x = 2; x = 1, y = 3,
⎩ x+y =4
por tanto; B es: B(1,3).
Valores de la función objetivo en los vértices:
FA(3,1) = 3 + 3 = 6; FB (1,3) = 1 + 9 = 10 ; F(0,6) = 0 + 18 = 18.
El recinto no está acotado.
La función tiene un mínimo en A(1, 3); vale 6 y carece de máximo; a medida que las rectas del haz se alejan del
origen, el valor de la función objetivo aumenta.
69
9. UNIDAD
PROGRAMACIÓN LINEAL
4
7. Determinar los valores máximos y mínimos de la función F(x, y) = 0,8x - y. Sometida a las restricciones siguientes:
⎧ 4 x − 5y ≥ −15
⎪ 7x − 2y ≤ 21
⎪
Solución: ⎨
⎪ x + 3y ≥ 3
⎪
⎩ x≥0
Se dibuja la región factible.
Se calculan los vértices; A(0,1), B(0,3) y D(3,0) son inmediatos.
Para el cálculo de C se resuelve el sistema:
⎧ 4 x − 5y = −15 ⎧ 8x − 10y = −30
⎨ ⇒⎨ ⇒
⎩ 7x − 2y = 21 ⎩−35x + 10y = −105
- 27x = -135; x = 5 e y = 7; por tanto C(5,7)
Valores de la función objetivo en los vértices: FA(0,1) = 0 -1 = -1;
FB(0,3) = 0 - 3 = -3; FC(5,7) = 0,8· 5 - 7 = -3; FD(3,0) = 0,8· 3 - 0 = = 2,4
El recinto está acotado.
El valor de la función objetivo F en los puntos B y C coincide, es –3 y es un valor mínimo, por lo que la función F
presenta mínimos en infinitos puntos del segmento BC; la función tiene un máximo en D(3,0) y su valor es 2,4
8. Determinar si es posible los máximos y mínimos de la función objetivo ⎧2x − y ≤ −2
F(x, y) = x + 2y, sometida a las restricciones siguientes: ⎪ x −y ≥3
⎪
⎨
⎪ x ≥0
⎪ y ≥0
⎩
Solución:
Se dibuja la región factible.
La región factible es el conjunto vacío; por lo que el problema no tiene solución.
Actividades
⎧ x+y ≤ 6
⎪ 3x - 2y ≤ 13
5.a
⎪
5. Sea el sistema de inecuaciones: ⎨
⎪ x + 3y ≥ − 3
⎪ x ≥ 0
⎩
a) Dibuja el recinto cuyos puntos son las soluciones del sistema y obtén sus vértices.
70
10. 5.b b) Halla los puntos del recinto en los que la función F(x, y) = x – 2y toma los valores máximo y mínimo, y
determina estos.
6. Se considera la función z = x – y.
a) Representar el conjunto A = {(x,y) / 3x + y ≥ 15, y -- x ≤ -- 5, 2 x +3y ≤ 6 0, y ≥ 0 } y calcular el valor máximo de
F(x, y) en A. ¿Alguna de las desigualdades que definen al conjunto A se podrían eliminar de forma que siguie-
ra siendo el mismo conjunto?
b) Decir si la función F(x, y) alcanza valor máximo en el conjunto B = {(x,y) / 3x + y ≤ 15, y -- x ≤ -- 5 , x ≥ 0}. En
caso afirmativo calcular dicho valor.
7. El cuadrilátero ABCD es la región solución de un sistema de inecuaciones lineales. Los lados del cuadrilátero tam-
bién forman parte de la región solución.
a) Halla el valor máximo y el mínimo de la función F(x, y) = x + 3y en
dicha región.
b) ¿En qué puntos de la región solución toma la función del apartado
anterior el valor máximo y en qué puntos el valor mínimo?
8. Maximizar y minimizar si es posible la función F(x, y) = 3x +2y, sujeta a las restricciones siguientes:
⎧ −7x + 5y ≤ 10
⎪−7x + 3y ≥ −15
⎪
⎪
⎨ 2x − 3y ≥ −10
⎪ x ≥0
⎪
⎪
⎩ y ≥0
9. Maximizar y minimizar en el primer cuadrante la función z = 6x - 2y, sujeta a las restricciones siguientes:
⎧2 x + y ≤ 1
⎪
⎨2 y ≥ 1 + x
⎪ 4x ≤ 1
⎩
5. Resolución de problemas de programación
lineal
En este apartado vamos a tratar, mediante algunos ejemplos, situaciones problemáticas, en las que se preci-
sa aplicar la técnica algebraica de la programación lineal estudiada en el apartado anterior.
Debemos recordar que para resolver los problemas que a continuación aparecen, el primer paso consiste en
traducir el enunciado en lenguaje algebraico.
71
11. UNIDAD
PROGRAMACIÓN LINEAL
4
Ejemplos
9. Un camión de 9 Tm debe transportar mercancías de dos tipos: A y B. La cantidad de A no puede ser inferior a
4 Tm ni superior al doble de la cantidad de B. Si el transporte gana 0,03 euros por cada Kg de A y 0,02 euros por
cada kg de B: se pide:
a) Encontrar si existe la región factible de soluciones.
b) Calcula utilizando el método analítico cómo se debe cargar el camión para obtener la máxima ganancia.
c) Determina el valor de esa ganancia.
Solución:
Sean x los kg del tipo A e y los del tipo B que transporta el camión.
⎧ x + y ≤ 9000 ⎧ x + y ≤ 9000
⎪ ⎪
El transporte está sometido a las siguientes restricciones ⎨ x ≥ 4000 ⇒ ⎨ x ≥ 4000
⎪ x ≤ 2y ⎪ x − 2y ≤ 0
⎩ ⎩
La función objetivo a maximizar será: F(x, y) = 0,03x + 0,02y
Se representa la región factible:
Se calculan los vértices de la región factible:
⎧ x − 2y = 0 4000
Vértice A: ⎨ ⇒y = = 2000 ; A (4000, 2000)
⎩ x = 4000 2
⎧ x + y = 9000
Vértice B: ⎨ ⇒ y = 9000 − 4000 = 5000 ; B ( 4000, 3000)
⎩ x = 4000
⎧ x + y = 9000 ⎧ x + y = 9000
Vértice C: ⎪
⎨ ⇒ 1ª F − 2ª F ⎨ ⇒ y = 3000 ;
⎩ x − 2y = 0
⎪ ⎩ 3 y = 9000
x + 3000 = 9000; x = 6000; C (6000, 3000)
a) La región factible es la región convexa ABC del dibujo.
b) Se sustituyen los vértices en la función objetivo:
FA (4000, 2000) = 0,03. 4000 + 0,02.2000 = 160 euros
FB (4000, 5000) = 0,03. 4000 + 0,02.5000 = 220 euros
FC (6000, 3000) = 0,03. 6000 + 0,02.3000 = 240 euros
La máxima ganancia se obtiene si el camión se carga con 6 Tm de mercancías del tipo A y 3 Tm del tipo B.
c) La ganancia máxima es de 240 euros.
10. Una mezcla de café está formada por otras dos, A y B, de las que se tienen 500 kg de A y 500 kg de B. En la
mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1,5 veces el de A. Para satisfacer la demanda, la producción
debe ser mayor o igual que 600 kg. Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 euros y cada kg de B cuesta 4 euros:
a) Encontrar si existe la región factible de soluciones.
b) Calcula los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mínimo, que cumpla los requi-
sitos anteriores.
c) Determina dicho coste mínimo.
Solución:
Sean x e y el peso de A y el peso de B que forman la mezcla.
72
12. ⎧ y ≤ 1, 5x ⎧−15 x + 10 y ≤ 0
⎪ x + y ≥ 600 ⎪ x + y ≥ 600
⎪ ⎪
La mezcla está sometida a las restricciones siguientes: ⎪ x ≤ 500 ⎪ x ≤ 500
⎪ ⎪
⎨ ⇒⎨
⎪ y ≤ 500 ⎪ y ≤ 500
⎪ x ≥0 ⎪ x ≥0
⎪ ⎪
⎩ y ≥0
⎪ ⎪
⎩ y ≥0
La función objetivo a minimizar será: F(x, y) = 5x + 4y
Se representa la región factible.
Se calculan los vértices; C (500, 500) es inmediato.
⎧−15x + 10y = 0 ⎧ −15x + 10y = 0
Vértice A: ⎨ ⇒⎨
⎩ x + y = 600 ⎩15x + 15y = 9000
Se suman las dos ecuaciones; 25y = 9000; y = 360.
Se sustituye en la primera ecuación; x = 240; A(240, 360).
⎧ y = 500 −5000
Vértice B: ⎨ ⇒ −15 x + 10 ⋅ 500 = 0 ⇒ −15 x = −5000 ⇒ x = ≈ 333 ; B(333, 500)
⎩−15 x + 10 y = 0 −15
x = 500
Vértice D: ⎧
⎨ ⇒ 500 + y = 600 ⇒ y = 100 ; D(500,100)
⎩ x + y = 600
a) La región factible es la región convexa ABCD del dibujo.
Se sustituyen los vértices en la función objetivo para ver cuándo toma el valor mínimo.
FA(240, 360) = 5.240 + 4.360 = 2640 euros
FB(333, 500) = 5.333 + 4.500 = 3665 euros
FC(500, 500) = 5.500 + 4.500 = 4500 euros
FD(500,100) = 5.500 + 4.100 = 2900 euros
b) El coste mínimo de la mezcla se consigue con 240 kg de la clase A y 360 kg de la clase B.
c) Su valor es 2640 euros.
11. Un ganadero desea proporcionar a su ganadería una dieta que contenga un mínimo de 15 unidades de sustan-
cia A y otras 15 de sustancia B. En el mercado sólo se dispone de dos clases de compuestos: el tipo X con una
unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y el
del tipo Y es de 30 euros. Se pregunta:
a) Encontrar si existe la región factible de soluciones.
b) Cantidades que se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo.
c) Valor de dicho coste mínimo.
Solución:
Sean x la cantidad del compuesto X e y la del Y que se precisan para cumplir la dieta.
⎧ x + 5y ≥ 15 Para que se tome la sustancia A
⎪5x + y ≥ 15 Para que se tome la sustancia B
⎪
La dieta está sometida a las siguientes restricciones: ⎨
⎪ x ≥0
⎪ y ≥0
⎩
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13. UNIDAD
PROGRAMACIÓN LINEAL
4
La función objetivo a minimizar será: F (x, y) = 10x + 30y
Se representa la región factible.
Se calculan los vértices de la región; los vértices A (15,0) y C (0,15) son inmediatos.
⎧ x + 5 y = 15 ⎧−5 x − 25 y = −75
Vértice B: ⎨ ⇒⎨
⎩5 x + y = 15 ⎩ 5 x + y = 15
Se suman las dos ecuaciones y resulta; -- 24y = -- 60; y = 2,5.
Se sustituye en la primera ecuación; x + 12,5 = 15; x = 2,5; B(2,5, 2,5)
a) La región factible es la región no acotada ABC del dibujo.
b) Se sustituyen los vértices en la función objetivo:
FA(15,0) = 10· 15 + 0 = 150 euros.
FB(2,5, 2,5) = 10· 2,5 + 30· 2,5 = 100 euros.
FC(0, 15) = 0 + 30· 15 = 450 euros.
Las cantidades que se deben comprar para cumplir con la dieta son: 2,5 del compuesto X y 2,5 del compuesto Y.
c) El coste mínimo de la dieta es de 100 euros.
12. Una familia desea comprar videojuegos y películas; los videojuegos cuestan 3 euros y las películas cuestan 2
euros . Para satisfacer a todos los miembros de la familia se desea comprar un mínimo de 4 películas y un máxi-
mo de 7, el número de videojuegos debe ser al menos 4. Se tiene un presupuesto de 36 euros.
a) ¿Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anterio-
res? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Se podrían comprar 4 pelícu-
las y 10 videojuegos?
b) Si el objetivo es comprar el mayor número de objetos entre videojuegos y películas, ¿cuántos se pueden com-
prar de cada tipo?
c) ¿Cuál será el coste total?
Solución:
Sean x la cantidad del películas e y la de videojuegos que pueden comprar.
⎧ 4≤x ≤7
La compra está sometida a las siguientes restricciones: ⎪ 4 ≤ y
⎨
⎪2 x + 3 y ≤ 36
⎩
La función objetivo a maximizar será: F (x, y) = x + y
El número de películas que se pueden comprar serán: 4, 5 , 6 o 7.
Cuatro películas cuestan 8 euros, quedan para comprar videojuegos 28 euros;
con los que se pueden comprar un máximo de 28 : 3 ; el cociente entero es 9; por
tanto, no se pueden comprar 4 películas y 10 videojuegos.
Siete películas cuestan 14 euros y quedan 36 –14 = 22 euros; con los que se pue-
den comprar 22 : 3; el cociente entero es 7 videojuegos se pueden comprar en
este caso.
( 6 + 4) 4
a) A partir de la figura que es un trapecio de área A = = 20 posibilidades.
2
Los valores máximos de la función objetivo se encontrarán entre los vértices
enteros de la figura; estos son A(4, 4), B (4, 9), C(7, 7) y D(7, 4).
b) El máximo número de objetos que se pueden comprar serán 7 película y 7 videojuegos.
c) El coste será 7· 2 + 7· 3 = 35 euros.
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14. Actividades
10. Un autobús Madrid-París ofrece plazas para fumadores al precio de 100 euros v para no fumadores al precio de 60 euros. Al no
fumador se le deja llevar 50 kg de peso y al fumador 20 kg. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3000 kg,
¿cuál debe ser la oferta de plazas de la compañía para optimizar el beneficio?
11. El jefe de seguridad de un museo estudia combinar 2 nuevos sistemas antirrobo: cámaras de vigilancia en las salas, y alarmas
en puntos estratégicos del edificio. Se quiere utilizar un mínimo de 6 cámaras para cubrir con ellas las salas más importantes, y
un máximo de 15 cámaras, con las que quedarían todas las salas cubiertas. Igualmente, se necesitan al menos 6 alarmas para
cubrir las más importantes entradas y salidas del edificio. Finalmente, se tiene un presupuesto máximo de 36000 euros, y cada
cámara cuesta 1000 euros mientras que cada alarma cuesta 500 euros.
a) ¿Qué combinaciones de unidades de cada sistema se pueden instalar cumpliendo los requerimientos anteriores? Plantea el
problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Podría instalar 7 cámaras y 59 alarmas?
b) Si el objetivo es colocar el mayor número de dispositivos entre cámaras y alarmas, ¿cuántos ha de colocar de cada modali-
dad? En ese caso ¿cuál será el coste total?
12. Un fabricante de abanicos dispone de dos modelos, A y B. El modelo A requiere, para su elaboración, 20 cm2 de papel, 120 cm2
de lámina de madera y 1 enganche metálico. El modelo B requiere: 60 cm2 de papel, 80 cm2 de lámina de madera y 1 enganche
metálico. El coste de producción de cada modelo es 1,20 euros el A y 1,30 euros el B. El precio de venta es de 1,80 euros cada
uno. independientemente del modelo. Teniendo en cuenta que las existencias son de 3000 cm2 de papel, 7200 cm2 de lámina de
madera y 70 enganches.
a) Representa la región factible.
b) Determina el número de abanicos de cada modelo que ha de hacer para obtener un beneficio máximo.
c) Calcula cuál es ese beneficio.
13. En la preparación de dos paquetes de café, C1 y C2 se usa café brasileño y café colombiano. Cada paquete del tipo C1 contiene
,
300 g. de café brasileño y 200 g. de café colombiano, y cada paquete del tipo C2 contiene 100 g. de café brasileño y 400 g. de
café colombiano. Con cada paquete del tipo C1 se obtiene un beneficio de 0.90 euros y con cada paquete del tipo C2 se obtiene
un beneficio de 1,20 euros. Se dispone de 900 g de café brasileño y 1600 g. de café colombiano.
a) ¿Cuántos paquetes de cada tipo se han de preparar para obtener un beneficio máximo?
b) ¿Cuál es este beneficio máximo?
14. Sea S la región del plano de coordenadas de valor mayor o igual que cero y tal que sus puntos cumplen que:
(i) La media aritmética de las coordenadas es menor o igual que 5.
(ii) El doble de la abscisa más la ordenada es mayor o igual que 5.
a) Representa gráficamente el conjunto S.
b) Determina en qué puntos de S la función f (x, y) = 2x + y toma el valor máximo.
15. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7%, res-
pectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero inverti-
do en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de
préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste.
16. Un tren de mercancías puede arrastrar, como máximo, 27 vagones. En cierto viaje transporta coches y motocicletas. Para coches
debe dedicar un mínimo de 12 vagones y para motocicletas no menos de la mitad de los vagones que dedica a los coches. Si los
ingresos de la compañía ferroviaria son 540 euros por vagón de coches y 360 euros por vagón de motocicletas, calcular cómo
se deben distribuir los vagones para que el beneficio de un transporte de coches y motocicletas sea máximo y cuánto vale dicho
beneficio.
17. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 9000 euros y
el modelo B un tercio más caro. La oferta está limitada: por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del B y por el
deseo de vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campa-
ña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 36000 euros.
a) ¿Cuántos coches de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos?
b) ¿Cuál es el importe de la venta?
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