El documento describe las propiedades de las operaciones aritméticas de suma, multiplicación, división y resta. También describe las unidades de medida para longitud, superficie, volumen, masa y tiempo. Finalmente, define los diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales e irracionales.

1. Propiedad de la suma
Propiedad conmutativa: Cuando se suman dos números, el resultado es el mismo
independientemente del orden de los sumandos. Por ejemplo 4+2 = 2+4
Propiedad asociativa: Cuando se suman tres o más números, el resultado es el mismo
independientemente del orden en que se suman los sumandos. Por ejemplo (2+3) + 4= 2 + (3+4)
Elemento neutro: La suma de cualquier número y cero es igual al número original. Por ejemplo 5 + 0
= 5.
Propiedad distributiva: La suma de dos números multiplicada por un tércer número es igual a la suma
de cada sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6+3) = 4*6 + 4*3
Propiedad de la multiplicación
La multiplicación tiene cuatro propiedades que harán más fácil la resolución de problemas. Estas son
las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro y distributiva.
Propiedad conmutativa: Cuando se multiplican dos números, el producto es el mismo sin importar el
orden de los multiplicandos. Por ejemplo: 4 *2 = 2 *4
Propiedad asociativa: Cuando se multiplican tres o más números, el producto es el mismo sin
importar como se agrupan los factores. Por ejemplo (2*3) *4 = 2 * (3 * 4)
Propiedad de elemento neutro: El producto de cualquier número por uno es el mismo número. Por
ejemplo 5 * 1 = 5.
Propiedad distributiva. La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando
por el tercer número. Por ejemplo 4 * (6 + 3) = 4 * 6 + 4 * 3
Elemento de la división
Hay cuatro términos que describen los cuatro números en una división. El dividendo es el número
que está siendo dividido. El divisor es el número por el cual el dividendo será dividido. El cociente es
la cantidad de veces que el divisor cabe en el dividendo. El resto es un número que es menor que el
divisor y es demasiado pequeño para ser dividido por el divisor y así obtener un número natural.
Una operación de división se puede escribir horizontalmente como 49474 / 7 = 7067 R 5. En este
ejemplo el 7 es el divisor, 49474 es el dividendo, 7067 es el cociente y 5 es e resto de la división.
Una operación de división se puede escribir en forma vertical.
7067 R 5
7)45724
Nuevamente, 7 es el divisor, 49474 es el dividendo, 7067 es el cociente y 5 es el resto de la división.
Elemento de la resta
el minuendo: es el número mayor, el que se coloca arriba y es el número que se va a restar
el sustraendo: es el número menor, el que se coloca abajo. El sustraendo es el número que se le
resta al minuendo
resto o diferencia: es el resultado de la resta
signo: el signo de la resta se representa por una línea (-) y se llama menos.
La unidad principal de longitud es el metro.
Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:
kilómetro km 1000 m
hectómetro hm 100 m
decámetro dam 10 m
metro m 1 m
decímetro dm 0.1 m
centímetro cm 0.01 m
milímetro mm 0.001 m

2. Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior,
cada unidad vale 10 veces más que la anterior.
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la
unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.
Pasar 50 m a cm
Si queremos pasar de metros a centímetros tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una
unidad mayor a otra menor) por la unidad seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el
centímetro hay dos lugares de separación.
50 · 100 = 5 000 cm
4385 mm flecha m
Para pasar de milímetros a metros tenemos que dividir (porque vamos a pasar de una unidad menor
a otra mayor) por la unidad seguida de tres ceros, ya que hay tres lugares de separación.
4385 : 1000 = 4.385 m
Otras medidas de longitud
Para medir distancias muy grandes sobre todo en astronomía se utilizan:
Unidad astronómica
Es la distancia media Tierra-Sol. Se utiliza en la medición de órbitas y trayectorias dentro del Sistema
Solar.
1 UA = 149 597 870 km
El año luz o año-luz
Es igual a la distancia recorrida por la luz en un año solar medio. Se emplea en astronomía para
medir grandes distancias.
1 año-luz = 9 461 000 000 000 km
El pársec
Unidad de medida astronómica correspondiente a la distancia que habría a una estrella que tuviera
una paralaje anual de un segundo.
1 pársec = 3.0857 1016 m
1 pársec = 206 265 UA
1 pársec = 3.26 años luz
Para medidas microscópicas se utilizan:
La micra o micrómetro
Equivale a una millonésima parte de un metro.
1 μm = 0.000 001 m = 10-6 m
El nanómetro
Utilizada para medir la radiación ultravioleta, radiación infrarroja y la luz. Recientemente la unidad ha
cobrado notoriedad en el estudio de la nanotecnología, área que estudia materiales que poseen
dimensiones de unos pocos nanómetros. Equivale a una mil millonésima parte de un metro.
1 nm = 0.000 000 001 m = 10-9 m
El ángstrom
Es la unidad empleada principalmente para expresar longitudes de onda, distancias moleculares y
atómicas. Equivale a una diezmil millonésima parte de un metro.
1Å = 0.000 000 000 1 m = 10-10 m
La unidad principal de superficie es el metro cuadrado.
El metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene 1 metro de lado.
Otras unidades mayores y menores son:
kilómetro cuadrado km2 1 000 000 m2
hectómetro cuadrado hm2 10 000 m2
decámetro cuadrado dam2 100 m2
metro cuadrado m2 1 m2
decímetro cuadrado dm2 0.01 m2
centímetro cuadrado cm2 0.0001 m2

3. milímetro cuadrado mm2 0.000001 m2
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior,
cada unidad vale 100 más que la anterior.
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la
unidad seguida de tantos pares de ceros como lugares haya entre ellas.
Pasar 1.5 Hm2 a m2
Tenemos que multiplicar, porque el Hm2 es mayor que el m2; por la unidad seguida de cuatro ceros,
ya que hay dos lugares entre ambos.
1.5 · 10 000 = 15 000 m2
Pasar 15 000 mm2 a m2
Tenemos que dividir, porque el mm2 es menor que el m2, por la unidad seguida de seis ceros, ya
que hay tres lugares entre ambos.
15.000 : 1 000 000 = 0.015 m2
Medidas de superficie agrarias
Para medir extensiones en el campo se utilizan las llamadas medidas agrarias:
La hectárea que equivale al hectómetro cuadrado.
1 Ha = 1 hm2 = 10 000 m²
El área equivale al decámetro cuadrado.
1 a = 1 dam2 = 100 m²
La centiárea equivale al metro cuadrado.
1 ca = 1 m²
La unidad principal de volumen es el metro cúbico.
Otras unidades de volúmenes son:
kilómetro cúbico km3 1 000 000 000 m3
hectómetro cúbico hm3 1 000 000m3
decámetro cúbico dam3 1 000 m3
metro cúbico m3 1 m3
decímetro cúbico dm3 0.001 m3
centímetro cúbico cm3 0.000001 m3
milímetro cúbico mm3 0.000000001 m3
Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte
superior, cada unidad vale 1000 más que la anterior.
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por
la unidad seguida de tantos tríos de ceros como lugares haya entre ellas.
Pasar 1.36 Hm3 a m3
Tenemos que multiplicar, porque el Hm3 es mayor que el m3 ; por la unidad seguida de seis
ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.
1.36 · 1 000 000 = 1 360 000 m3
Pasar 15 000 mm3 a cm3
Tenemos que dividir, porque el mm3 es menor que el cm3 , por la unidad seguida de tres ceros,
ya que hay un lugar entre ambos.
15 000 : 1000 = 15 cm3
Relación entre unidades de capacidad, volumen y masa
Existe una relación muy directa entre el volumen y capacidad. 1 l es la capacidad que contiene un
recipiente cúbico de 1 dm de arista; es decir, la capacidad contenida en un volumen de 1 dm3.
También existe una relación entre el volumen y la masa de agua. 1 g equivale a 1 cm³ de agua
pura a 4 °C.

4. Capacidad Volumen Masa (de agua)
1 kl 1 m³ 1 t
1 l 1 dm3 1 kg
1 ml 1 cm³ 1 g
La unidad principal de masa es el gramo.
Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:
kilogramo kg 1000 g
hectogramo hg 100 g
decagramo dag 10 g
gramo g 1 g
decigramo dg 0.1 g
centigramo cg 0.01 g
miligramo mg 0.001 g
Si queremos pasar de una unidad a otra tenemos que multiplicar (si es de una unidad mayor a
otra menor) o dividir (si es de una unidad menor a otra mayor) por la unidad seguida de
tantos ceros como lugares haya entre ellas.
Pasar 50 kg a dg.
Tenemos que multiplicar, porque el kilogramo es mayor que el decigramo;por la
unidad seguida de cuatro ceros, ya que hay cuatro lugares entre ambos.
50 kg · 10 000 = 500 000 dg
Pasar 408 mg a dg
Tenemos que dividir, porque el miligramo es menor que el decigramo, por la unidad
seguida de dos ceros, ya que hay dos lugares entre ambos.
408 : 100 = 4.08 dg
Otras unidades de masa
Tonelada métrica
Se utiliza para medir masas muy grandes.
1 t = 1000 kg
Quintal métrico
Utilizado en la agricultura.
1 q = 100 kg
Ejemplo
La unidad fundamental para medir el tiempo es el segundo (s).
Las medidas de tiempo más usuales son:
Minuto (min) = 60 s.
Hora (h) = 60 min = 3 600 s.
Día = 24 h.
Semana = 7 días.
Quincena = 15 días.
Mes = 28 días, ó, 29 días, ó, 30 días, ó, 31 días.
Trimestre = 3 meses.
Semestre = 6 meses.

5. Año = 365 días ó 366 días (año bisiesto).
Bienio = 2 años.
Trienio = 3 años.
Lustro = 5 años.
Década = 10 años.
Siglo = 100 años.
Milenio = 1000 años.
Un número es un concepto matemático que expresa cantidad.
También consideramos que un número es el signo o conjunto de signos con que se
representa este concepto.
Tipos de números
Los números naturales
Con los números naturales contamos los elementos de un conjunto (número
cardinal). O bien expresamos la posición u orden que ocupa un elemento en un
conjunto (ordinal).
El conjunto de los números naturales está formado por:
N= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
La suma y el producto de dos números naturales es otro número natural.
La diferencia de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo
ocurre cuando el minuendo es mayor que sustraendo.
5 − 3
3 − 5
El cociente de dos números naturales no siempre es un número natural, sólo
ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2
2 : 6
Podemos utilizar potencias, ya que es la forma abreviada de escribir un producto
formado por varios factores iguales.
La raíz de un número natural no siempre es un número natural, sólo ocurre
cuando la raíz es exacta.
Los números enteros
Los números enteros son del tipo:
= {...−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}
Nos permiten expresar: el dinero adeudado, la temperatura bajo cero, las
profundidades con respecto al nivel del mar, etc.
La suma, la diferencia y el producto de dos números enteros es otro número
entero.
El cociente de dos números enteros no siempre es un número entero , sólo
ocurre cuando la división es exacta.
6 : 2

6. 2 : 6
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número natural.
La raíz de un número entero no siempre es un número entero, sólo ocurre cuando
la raíz es exacta y si se trata de una raíz de índice par con radicando positivo.
Los números racionales
Se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente
de dos enteros, con denominador distinto de cero.
Los números decimales (decimal exacto, periódico puro y periódico mixto)
son números racionales; pero los números decimales ilimitados no.
La suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números racionales es
otro número racional.
Podemos operar con potencias, pero el exponente tiene que ser un número entero.
La raíz de un número racional no siempre es un número racional, sólo ocurre
cuando la raíz es exacta y si el índice es par el radicando ha de ser positivo.
Los números irracionales
Un número es irracional si posee infinitas cifras decimales no periódicas, por
tanto no se pueden expresar en forma de fracción.
El número irracional más conocido es , que se define como la relación entre la
longitud de la circunferencia y su diámetro.
= 3.141592653589...
Otros números irracionales son:
El número e aparece en procesos de crecimiento, en la desintegración radiactiva, en
la fórmula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos
eléctricos.
e = 2.718281828459...
El número áureo, , utilizado por artistas de todas las épocas (Fidias, Leonardo da
Vinci, Alberto Durero, Dalí,..) en las proporciones de sus obras.
Números reales
El conjunto formado por los números racionales e irracionales es el conjunto de
losnúmeros reales, se designa por .

7. Con los números reales podemos realizar todas las operaciones, excepto la
radicación de índice par y radicando negativo y la división por cero.
La recta real
A todo número real le corresponde un punto de la recta y a todo punto de la recta
un número real.
Números imaginarios
Un número imaginario se denota por bi, donde :
b es un número real
i es la unidad imaginaria:
Los números imaginarios permiten calcular raíces con índice par y radicando
negativo.
x2 + 9 = 0
Números complejos
Un número complejo en forma binómica es a + bi.
El número a es la parte real del número complejo.
El número b es la parte imaginaria del número complejo.
Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real, ya que a + 0i = a.
Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario
puro.
El conjunto de los números complejos se designa por .

8. Los números cardinales indican el número de elementos que tiene un conjunto.
1 uno 11 once 10 diez 100 cien
2 dos 12 doce 20 veinte 200 doscientos
3 tres 13 trece 30 treinta 300 trescientos
4 cuatro 14 catorce 40 cuarenta 400 cuatrocientos
5 cinco 15 quince 50 cincuenta 500 quinientos
6 seis 16 dieciséis 60 sesenta 600 seiscientos
7 siete 17 diecisiete 70 setenta 700 setecientos
8 ocho 18 dieciocho 80 ochenta 800 ochocientos
9 nueve 19 diecinueve 90 noventa 900 novecientos
1 000 mil 10 000 diez mil 100 000 cien mil 1000 000 millón
1 000 000 000 millardo 1 000 000 000 000 billón
1 000 000 000 000 000 000 trillón 1 000 000 000 000 000 000 000 000 cuatrillón
Los números ordinales indican la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto.
1° primero 11° undécimo 10° décimo 100° centésimo
2° segundo 12° duodécimo 20° vigésimo 200° ducentésimo
3° tercero 13° decimotercero 30° trigésimo 300° tricentésimo
4° cuarto 14° decimocuarto 40° cuadragésimo 400° cuadrigentésimo
5° quinto 15° decimoquinto 50° quincuagésimo 500° quingentésimo
6° sexto 16° decimosexto 60° sexagésimo 600° sexcentésimo
7° séptimo 17° decimoséptimo 70° septuagésimo 700° septingentésimo
8° octavo 18° decimoctavo 80° octogésimo 800° octingentésimo
9° noveno 19° decimonoveno 90° nonagésimo 900° noningentésimo
1
000° milésimo
10 000° diezmilésimo
100
000° cienmilésimo
1000 000° millonésimo
El femenino de cada número ordinal se consigue sustituyendo la o final por una a.
Primero y tercero presentan apócope delante de un nombre masculino singular.
1er (primer) elemento.
3er (tercer) elemento.
La numeración romana es el sistema que usaban los romanos, actualmente se emplea en fechas,
capítulos, etc.
El sistema de numeración romana expresa los números por medio de siete letras del alfabeto latino,
que son: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 y M = 1.000.

9. Estos valores quedan multiplicados por mil al superponer una raya sobre la correspondiente letra, y
por un millón, si se colocan dos rayas.
M = 1 000 000
Ninguna cifra puede repetirse más de tres veces seguidas.
III = 3 XXX = 30 CCC = 300
Las letras V, L y D no pueden duplicarse, porque el doble de éstas son: X, C y M.
Si se coloca una cifra a la derecha de otra siendo su valor menor o igual que ésta sus valores se
suman.
VII = 7 XX = 20 CLXVIII = 168
Si se coloca una cifra menor a la izquierda de otra, los valores de ambas se restan.
IV = 4 IX = 9 XL = 40
Números negativos. Un número negativo es cualquier número cuyo valor es menor que cero.
Comenzaron a utilizarse para representar pérdidas, deudas, disminuciones o decrecimientos, entre
otras cosas.
Se representan añadiendo un signo menos delante de ellos: −1; −2,5; −3, y se lee menos uno,
menos dos coma cinco, menos tres.
Se encuentran en el conjunto de los números racionales dentro de los números enteros.
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b.

10. b, denominador, indica el número de partes en que se ha dividido la unidad.
a, numerador, indica el numero de unidades fraccionarias elegidas.
La fracción como partes de la unidad
Un todo se toma como unidad. La fracción expresa un valor con relación a ese todo.
Un depósito contiene 2/3 de gasolina.
El todo: el depósito. La unidad equivale a 3/3, en este caso; pero en general sería
unafracción con el mismo número en el numerador y el denominador.
2/3 de gasolina expresa la relación existente entre la gasolina y la capacidad del depósito. De sus
tres partes dos están ocupadas por gasolina.
La fracción como cociente
Repartir 4 € entre 5 amigos.
La fracción como operador
Para calcular la fracción de un número, multiplicamos el numerador por el número y el resultado lo
dividimos por el denominador.
Calcular los 2/3 de 60 €.
2 · 60= 120
120 : 3 = 40 €
La fracción como razón y proporción
Cuando comparamos dos cantidades de una magnitud, estamos usando
las fracciones comorazones.
Así, cuando decimos que la proporción entre chicos y chicas en el Instituto es de 3 a 2, estamos
diciendo que por cada 3 chicos hay 2 chicas, es decir, que de cada cinco estudiantes, 3 son chicos y
2 son chicas.
Tipos de fracciones
Fracciones propias
Las fracciones propias son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Su
valor está comprendido entre cero y uno
Fracciones impropias
Las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador.
Su valor es mayor que 1.
Número mixto
El número mixto o fracción mixta está compuesto de una parte entera y
otrafraccionaria.
Para pasar de número mixto a fracción impropia, se deja el mismo denominador y
elnumerador es la suma del producto del entero por el denominador más el
numerador, delnúmero mixto.

11. Para pasar una fracción impropia a número mixto, se divide el numerador por
eldenominador. El cociente es el entero del número mixto y el resto el
numerador de lafracción, siendo el denominador el mismo.
Fracción unidad
Las fracciones unitarias tienen el numerador igual al denominador. El valor numérico
es igual a 1.
Fracciones unitarias
Las fracciones unitarias tienen de numerador la unidad.
Fracciones decimales
Las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.
Fracciones equivalentes
Dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al
producto de medios.
a y d son los extremos; b y c, los medios.
Calcula si son equivalentes las fracciones:
4 · 12 = 6 · 8 48 = 48 Sí
Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción por un número entero, distinto
de cero, se obtiene otra fracción equivalente a la dada.
Al primer caso le llamamos ampliar o amplificar.
Simplificar fracciones
Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más simple.
Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo
número.
Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es decir,
probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después
pasamos al 3 y así sucesivamente.

12. Se repite el proceso hasta que no haya más divisores comunes.
Si los términos de la fracción terminan en ceros, empezaremos quitando los ceros
comunes finales del numerador y denominador.
Si el número por el que dividimos es el máximo común denominador del numerador y
denominador llegamos a una fracción irreducible.
Fracciones irreducibles
Las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede
cuando el numerador y el denominador son primos entre sí, .
Reducción de fracciones a común denominador
Reducir varias fracciones a común denominador consiste en convertirlas en
otrasequivalentes que tengan el mismo denominador.
1º Se determina el denominador común, que será el mínimo común múltiplo de los
denominadores.
2º Este denominador común, se divide por cada uno de
los denominadores,multiplicándose el cociente obtenido por
el numerador correspondiente.
12 = 22 · 3
9 = 32
m.c.m.(3. 12. 9) = 22 ·32 = 36
Ordenar fracciones
Fracciones con igual denominador
De dos fracciones que tienen el mismo denominador es menor la que tiene menor
numerador.
Fracciones con igual numerador
De dos fracciones que tienen el mismo numerador es menor el que tiene mayor
denominador.
Con numeradores y denominadores distintos
En primer lugar las tenemos que poner a común denominador.

13. Es menor la que tiene menor numerador.
Operaciones con fracciones
Suma y resta de fracciones
Con el mismo denominador
Se suman o se restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
Con distinto denominador
En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o
serestan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.
Multiplicación de fracciones
La multiplicación de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los numeradores.
Por denominador el producto de los denominadores.
División de fracciones
La división de dos fracciones es otra fracción que tiene:
Por numerador el producto de los extremos.
Por denominador el producto de los medios.