Este documento introduce los números enteros, incluyendo su concepto y propiedades. Explica que los números enteros incluyen tanto números positivos como negativos, y que los negativos permiten expresar cantidades por debajo de cero como temperaturas. También cubre operaciones con números enteros y racionales como fracciones.

3. NÚMEROS ENTEROS

4. EL CONCEPTO DE NÚMERO ENTERO
No es difícil imaginar cómo, en algún momento del transcurrir
de la historia, el hombre descubrió que para medir ciertas
magnitudes es conveniente considerar su valoración en un
sentido y otro, por encima y por debajo del origen prefijado.
Veamos algunos ejemplos:
Los bloques de vivienda tienen pisos por encima y por debajo
del nivel de suelo. Si se pretenden numerar esos pisos, parece
imposible denominar al piso 0 al que se encuentra al nivel del
suelo, y llamar 1 al primero sobre ese nivel, 2 al segundo sobre
ese nivel, etc.; entonces se precisan otros números “menores”
que cero, para designar a los pisos por debajo dl suelo.

5. Si la temperatura desciende 10° C a partirde una
temperatura de 5°C, se alcanzan los 5°C bajo cero. Ello
nos informa de cuanto tiene que volver a subir para
alcanzar el punto de fusión del hielo. Si no se contara
“por debajo del cero” se carecería de tal información.
Las matemáticas proporcionan una manera
unificada de tratar las cantidades como 5°C bajo
cero. Todo consiste en anteponer al número el signo
menos e interpretarlo como la cantidad que falta
para alcanzar el origen de la escala de que se trate;
así se dice que la temperatura es de -5°C. Estos
números se llaman negativos.

6. Por cada número natural, como 1, 2, ó 304, hay otro
negativo, -1, -2, -304. En este contexto, a los
números naturales se les denomina positivos. Por
Ello, con frecuencia, al hablar de natural se insiste
en su carácter positivo y se escribe +3 en lugar de
3.
Resulta así que los números enteros provienen de
incorporar a los números ya conocidos, los
naturales y el cero, otros números que permiten
expresar unas cantidades un tanto extrañas.

7. aquellas que se consideran negativas, pero
imprescindibles a partir de cierta
complicación del
modo de vida.
Los números enteros pueden representarse
gráficamente.

8. OPERACIONES CON LOS NÚMEROS
ENTEROS.

9. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON
NÚMEROS ENTEROS

10. NÚMEROS RACIONALES
Las unidades de medida de algunas magnitudes
como la longitud, superficie, masa, capacidad, etc.,
pueden subdividirse en tantas partes iguales como
se desee. Entonces, el problema de repartir cierta
cantidad de manera equitativa se resuelve tomando
como nueva unidad de medida una parte o
fracción de la unidad inicial. A los números que
representan estas cantidades fraccionarias se les
denomina números racionales.

11. FRACCIONES

12. OPERACIONES CON FRACCIONES

13. EXPRESIÓN RACIONAL DE LOS NÚMEROS
RACIONALES
Además de las fracciones hay otras formas de representar un numero racional. La
mas importante es la decimal que consiste en una extensión de la ya vista para los
números enteros.
Como sabemos, en el sistema de numeración decimal los números enteros se
agrupan en unidades, decenas, centenas, etc. Estas agrupaciones resultan
inadecuadas para dar cabida a partes mas pequeñas la unidad. En su lugar, hay
que considerar nuevas agrupaciones que, siguiendo la regla del sistema decimal de
ir de diez en diez, resulten útiles para representar las fracciones de la unidad. En
concreto, si se divide la unidad en diez partes iguales, se puede tomar como
patrón de agrupación la decima parte de la unidad, de modo, que diez decimas
formen una unidad; si se divide la unidad en cien partes se puede tomar la
centésima de modo que cien centésimas formen una unidad.

15. CONSTRUCCIÓN DE
CÍRCULOS A PARTIR
DE DIFERENTES
DATOS

16. Una circunferencia es una línea curva cerrada cuyos
puntos están todos a la misma distancia de un punto
fijo llamado centro.
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

17. La circunferencia es la línea que rodea a un círculo y todos sus puntos se
encuentran a la misma distancia del centro del círculo. Generalmente se representa
con la letra C la longitud de la circunferencia y con D la del diámetro.
Por ejemplo, para adornar el borde un reloj se necesitaron aproximadamente 41 cm de
listón. El reloj tenía un diámetro de 13 cm. Si divides 41 cm entre 13 cm, se obtendría:
41 = 3.1538
13 Al rodar un bote de 12.1 cm de diámetro, se observó que al
dar una vuelta completa recorrió 37.99 cm. Si divides 37.99
cm entre 12.1, se obtendría: 3.1396
Los cocientes que se obtuvieron en ambos ejemplos son
muy parecidos. Al dividir la medida de la circunferencia
entre la medida del diámetro del círculo se obtiene el
mismo valor en cualquier circunferencia. Este valor es
aproximado a 3.1416 y se indica con la letra griega (pi).

18. Por tanto, para saber cuánto mide una circunferencia, se multiplica el valor de pi por el
diámetro del círculo.
Circunferencia = pi x diámetro
Como la medida del diámetro equivale a la medida de dos radios, entonces:
Circunferencia = pi x 2r, o bien = circunferencia = 2 pi· r
Ejemplo:
Calcular la circunferencia de un círculo cuyo diámetro mide 6 cm.
Aplicando la fórmula conocida:
C = p x d
Sustituimos los valores: C = 3.14 x 6 = 18.84
El resultado es 18.84 cm.
El perímetro del círculo central de la cancha de futbol de una escuela mide 31.4 m
¿Cuánto mide su diámetro?
En este caso, la fórmula quedaría de la siguiente forma:
C = p d d = C
pi
Sustituyendo los valores: 31.4 = 10 m
3.14
Resultado: d = 10 m

19. ÁREA DEL CÍRCULO
El círculo es la región limitada por una circunferencia, se le considera como un
polígono en el que cada punto de la circunferencia representa un lado del
polígono. Esto significa que la apotema del círculo es igual a la medida del radio.
El área del círculo es igual al producto del cuadrado del radio por pi . Esto se debe
a que en el diámetro de la circunferencia caben dos radios (d = 2r) y que pi se
considera como 3.1416.
Ejemplo:
Calcular el área de un círculo de 4 cm de radio.
Área del círculo = p r2
A = 3.1416 x (4 cm)2
A = 3.1416 x 16 cm2
A = 50.2656 cm2

20. Para escribirle utilizamos una letra griega π llamada pi
El número π no es un número natural ni racional porque tiene infinidad de
cifras decimales.
π = 3.141592654.....
Normalmente empleamos dos cifras decimales y decimos
π = 3.14
La ecuación de la longitud de la circunferencia es:
longitud = π · diámetro
l = π · d
Tomando de referencia el radio:
longitud = 2 · π · radio
l = 2 · π · r

21. La regla de tres es un procedimiento para calcular el valor de una cantidad
comparándola con otras tres o más cantidades conocidas.
Regla de tres simple y directa
Se aplica cuando dadas dos cantidades correspondientes a magnitudes directamente
proporcionales, hay que calcular la cantidad de una de estas magnitudes
correspondiente a una cantidad dada de la otra magnitud.

22. Un albañil esta construyendo una casa de ladrillo, se sabe que el albañil coloca 8
ladrillos en 47 segundos. Cuántos ladrillos logrará colocar en 230 segundos?
Ahora analizamos la información dada, esto es que nos están hablando de 2 diferentes
unidades (ladrillos y segundos) colocamos la información en orden como se muestra:
Datos
8 ladrillos -------> 47 seg donde X = Cuántos ladrillos logrará colocar
X -------> 230 seg
Multiplicamos cruzado 8 x 230 y X x 47 obteniendo esta ecuación con una incógnita
que es X:
1840 = 47X
Ahora realizamos despeje y división:
1840/47 = X
Y tenemos como resultado que el albañil colocará 39.14 ó 39 ladrillos en 230 seg.

23. http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/tabla-circulo.php
http://geogebra.es/cvg/html/circulo.html
http://www.tareasya.com.mx/index.php/tareasya/secundaria/matematicas/geometria
/2147.

25. Proporcionalidad
La proporcionalidad es una relación o razón entre magnitudes mediales.
Relación de proporcionalidad
Una relación de proporcionalidad es una relación entre dos variables en las que el
cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo y se denomina
cociente de proporcionalidad
¿Qué significa que el cociente entre las cantidades que se corresponden es siempre el
mismo?.
Ejemplo: Sabiendo que los paquetes de caramelos cuestan lo mismo. 2 paquetes de
caramelos cuestan $6, 5 paquetes de caramelos cuestan $15, 4 paquetes de caramelos
cuestan $12
6 dividido 2 , 15 dividido 5 ,12 dividido 4, siempre es igual a 3, que es el costo de 1
paquete de caramelo.

28. Ejemplos:
1. Calcular el término desconocido de las
siguientes proporciones:

29. Factor inverso en una relación de
proporcionalidad
Proporcionalidad inversa: Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando
al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.
EJEMPLO:
Tres pintores tardan 10 días en pintar una tapia. ¿Cuánto tardarán seis pintores en
hacer el mismo trabajo? . Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo
que se tarda en pintar la tapia, como el número de pintores se multiplica por 2, el
número de días que s emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.

30. Regla de tres simple inversa
Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el
valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud
calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud.
La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se establecen
las relaciones:
A más-----menos.
A menos -----más.
Un grifo que manda 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en llenar un
depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?
Son magnitudes inversamente proporcionales, ya que a menos litros por
minuto tardará más en llenar el depósito.
18 l/min 14 h
7 l/min x h

31. Factor inverso en una relación de
proporcionalidad
FACTOR DE ESCALA:
Es una medida de distancia en cosmología. La distancia entre dos
galaxias cualesquiera, por ejemplo, es proporcional al factor de
escala, que siempre está aumentando en un universo en expansión.
Si el factor de escala duplica su tamaño, entonces la distancia entre
dos galaxias cualesquiera también se duplica.

32. EJEMPLO:
Determinen y utilicen el factor inverso en una relación de proporcionalidad.
Actividad: Van a trabajar en parejas para resolver el siguiente problema:
Dadas las siguientes figuras (Barco 1 y Barco 2) que están a escala y con las
medidas indicadas, encuentren las medidas que se piden, sin hacer
mediciones.

34. Son problemas en donde se requiere contar una cantidad
de formas de hacer algo dado un número de elementos
elegidos entre un grupo igual o mayor al que pertenecen
los mismos.
Se resuelven con diagramas de árbol, factoriales,
permutaciones, combinaciones, reglas de multiplicación y
suma (regla de la probabilidad total, regla de Laplace,
reglas de probabilidad condicional, etc).

35. Regla de Laplace
Para aplicar la Regla de Laplace, el cálculo de los
sucesos favorables y de los sucesos posibles a veces no
plantea ningún problema, ya que son un número
reducido y se pueden calcular con facilidad:
Por ejemplo: Probabilidad de que al lanzar un dado salga
un número par. Habrá que dividir los números pares de
un dado (3) entre el número total de caras del dado (6)

36. a) Combinaciones:
Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. Elementos
que se pueden formar con los "n" elementos de una nuestra.
Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo
componen, sin que influya el orden.
Por ejemplo, calcular las posibles combinaciones de 2
elementos que se pueden formar con los números 1, 2 y 3.
Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y (2,3).
En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y (2,1) se
consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una vez.

38. b) Variaciones
Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que
se pueden establecer con los "n" elementos de una muestra.
Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo
componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le
diferencia de las combinaciones).
Por ejemplo, calcular las posibles variaciones de 2 elementos
que se pueden establecer con los número 1, 2 y 3.
Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3),
(3,1) y (3,3). En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se
consideran distintos.

39. c) Permutaciones:
Calcula las posibles agrupaciones que se pueden
establecer con todos los elementos de un grupo,
por lo tanto, lo que diferencia a cada subgrupo del
resto es el orden de los elementos.
Por ejemplo, calcular las posibles formas en que se
pueden ordenar los número 1, 2 y 3.
Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1,
3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1)

41. • Gráfico Circular.
• El gráfico circular es útil para representar
proporciones de distintas clases dentro de una
muestra.
• La muestra es representada por un círculo y cada
una de las clases que la componen, por un sector
de éste.
• El ángulo de cada sector mantiene la misma
proporción de 360° que la de la clase
representada respecto del tamaño total de la
muestra.

42. • El gráfico siguiente,
representa la
respuesta de 1886
alumnos de Cuarto
Medio al
preguntárseles por
su interés de seguir
estudios
universitarios.

43. • El gráfico siguiente,
representa la respuesta
de 1886 alumnos de
Cuarto Medio al
preguntárseles por su
interés de seguir
estudios universitarios.

44. Los datos corresponden a alumnos
que cursaban Cuanto Año Medio en
el año 1997 en 7 localidades de la V
región (Valparaíso, Viña del Mar,
Quilpué, Villa Alemana, Limache,
Quillota, La Calera) y en
establecimientos de tipo
Municipalizado, Subvencionado y
Particular.
De los 1886 alumnos encuestados,
1768 (93.74%) se interesa por seguir
estudios universitarios. Los restantes
118 (6.26%), no.

45. • Para construir el gráfico
circular , debemos calcular el
ángulo central del sector
correspondiente a cada
respuesta. Para el caso de los
1768 Interesados en estudios
universitarios su proporción
respecto de la muestra total
(93.74%) nos permite
determinar que su ángulo del
centro es 337º 28' 34.1'' y por
lo tanto, el complemento a
360º (22º 31' 25.9'')
representa a los No
Interesados.

46. ¿Para qué sirve?
Un grafico de barras es aquella representación gráfica
bidimensional en que los objetos gráficos elementales son un
conjunto de rectángulos dispuestos paralelamente de manera
que la extensión de los mismos es proporcional al a magnitud
que se quiere representar.
Los rectángulos o barras pueden estar colocados horizontal o
verticalmente. En esté último caso reciben también el nombre
de gráficos de columnas.

47. • Se emplea para representar de manera gráfica la
información que se ha recolectado. El tipo de datos
que se representa en una gráfica de barras es el
número de eventos que son medidos en distintas
categorías de datos.
• Una gráfica de barras usualmente se utiliza para
representar datos que se han organizado en una tabla
de datos. Se puede utilizar para hacer comparaciones
de usuarios que utilizan diferentes servicios, tipos de
medicamentos que son utilizados con mayor o menor
frecuencia, número de consultas por servicio, etc.

48. • Se recomienda utilizar este tipo de gráfica cuando
la información corresponda a una serie de
eventos (escala nominal) y cuando quiera
comparar dos o más grupos entre sí (no más de
seis).
• Al equipo de trabajo y directivos les permitirá el
visualizar las relaciones entre las diferentes
categorías de factores que afectan los servicios de
los usuarios .

49. • A) Dibuje los ejes vertical (y) y horizontal (x).
• B) En el eje vertical cree una escala que mida
las frecuencias de la variable, (por ejemplo
número de medicamentos, número de
usuarios, etc.)

50. • C) En el eje horizontal, ponga la escala nominal,
que se refiere a las diferentes características o
cualidades de la variable. (por ejemplo, sexo
femenino, sexo masculino, tipos de
medicamentos, etc.)
• D) Dibuje un rectángulo para cada característica o
cualidad de la variable. La altura de la barra
representará la frecuencia en la que la
característica fue observada.

51. FUENTES DE CONSULTA :
..GRAFICA_BARRAS.pdf
..GRAFICA_PASTEL.pdf