Este documento presenta varios ejemplos ilustrativos de conceptos básicos de matemática financiera como tasas nominales, tasas efectivas, valor futuro, valor presente, y cómo calcular pagos de préstamos. Incluye 10 ejercicios de aplicación con soluciones detalladas que cubren temas como tasas de interés, cálculo de cuotas fijas, programas de pagos, y evaluación de inversiones.

1. 1
Enero
2015
Profesor:
Raphael Rey Tovar
Magister en Banca y Finanzas
Matemática Financiera Básica
Ejemplos ilustrativos

2. HERRAMIENTAS FINANCIERAS BASICASHERRAMIENTAS FINANCIERAS BASICAS
•Tasa Nominal (In).- Es una tasa relativa o referencial, que se cotiza de
manera anual, y debe estar acompañada del periodo de Capitalización.
La tasa Nominal se divide entre la frecuencia de capitalización, (número
de veces que el año lo contiene) para encontrar la tasa del período.
•Tasa del período (ip).- Es la tasa correspondiente al periodo
respectivo de capitalización, (periodo de pagos o cobros de un capital
prestado o invertido).

3. •Tasa Efectiva (Ief).- Es aquella que toma cuenta la forma en que los
intereses se capitalizan.
Tasa Efectiva = (1+ tasa período)^ n - 1
donde n es el numero de veces que el año contiene al
periodo (Frecuencia de Capitalización)
Ejemplo: Tasa Nominal de 20% con períodos de capitalización mensuales.
Frecuencia de Capitalización= No. veces del periodo en un año: 12
Tasa del periodo= 0,20/12= 0,0166666
Tasa efectiva anual: (1+0,01666666)^12 - 1 = 21,93910%

4. DEFINICIONES Y FORMULAS FINANCIERASDEFINICIONES Y FORMULAS FINANCIERAS
Valor (Pago o Cobro) Futuro
VF
Valor (Prestamo o Inversión) Presente
VP
1 2 3 ............. n- 1 n
VF = VP (1 + i ) ^ n
Valor (Prestamo o Inversión) Presente
VP
1 2 3 ............. n- 1 n
P P P P P P
VP = P * ((1 + i)^n - 1)
( i * (1 + i )^n)
Donde i= Tasa de Descuento por Periodo
Donde i= Tasa de Descuento por Periodo
* Mejor utilizar Calculadora
Financiera

5. 1 2 3 .............n- 1 n
P P P P P P
VF = P * ((1 + i )^n -1)
i
Donde i= Tasa de Descuento por Periodo
* Mejor utilizar Calculadora
Financiera
VF
Todas estas son las fórmulas básicas cuando los flujos de caja son
uniformes, si se da el caso en que son valores variados, no existe una
fórmula directa y uno deberá recurrir a la fórmula básica a fin de ir
descontando flujo por flujo la corriente de pagos.
Es necesario que el alumno utilice su calculadora financiera y pueda
rápidamente encontrar las equivalencias y tome la decisión óptima.

6. EJERCICIOS BASICOS FINANCIEROSEJERCICIOS BASICOS FINANCIEROS
1.- Si el Banco ofrece un préstamo a una tasa de 14% de interés nominal, (No
considere portes, ni comisiones). Cuál será el costo efectivo anual si se capitaliza de
forma diaria, mensual, trimestral, semestral y anual.
CALCULO DE LAS TASAS EFECTIVAS:
Formula: (1+ Tasa del Periodo)^No veces al año - 1
De Forma Diaria: (1 + 0,14/360)^360 - 1 = 15.024249485%
De Forma Mensual: (1+0,14/12)^12 - 1= 14.934202925%
De Forma Trimestral: (1+0,14/4)^4 - 1 = 14.752300062%
De Forma Semestral: (1 + 0,14/2)^2 - 1 = 14,49%
De Forma Anual: (1+0,14/1)^1 - = 14%. (LO MISMO POR SER UN PERIODO
ANUAL)

7. 2.- Cuanto deberá invertir un padre de familia en una cuenta de ahorro en el banco, si
el mismo paga una tasa nominal anual de 9%, para poder pagar los estudios de su hijo
en la universidad dentro de 5 años, si se informa que en esa fecha el costo de los
mismos ascenderá a US$ 10,000. Considere que los depósitos son uniformes y son:
-Anuales
-Semestrales
1 2 3 4 5 Años
P P P P P
US$ 10,000
i=9% anual
VF = P * ((1 + i )^n -1)
i
donde P=1670,92 US$
SOLUCION
Datos:
n=5
i=9%
VF=10,000 US$
Si los pagos son semestrales
i=4,5 % tasa del periodo semestral
n=10
VF=10,000 US$
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Semestres
US$ 10,000
i=4,5% anual
VF = P * ((1 + i )^n -1)
i
donde P=813,79 US$

8. 3.- Cuánto tendría que invertir en un negocio como máximo, si se sabe que el mismo va a
generar flujos futuros anuales de US$ 2,000 si el costo de oportunidad o tasa de
descuento del inversionista para inversiones de similar riesgo es de 15%, su horizonte
de inversión es de 10 años.
Si los ingresos fueran anuales y semestrales
1 2 3 4 ........ 9 10 Años
2000 2000 2000 2000 2000 2000
VP = P * ((1 + i)^n - 1)
( i * (1 + i )^n)
Con n=10
Tasa del Periodo= 15%
P=2000
Donde: VP=10 037,54 US$, sería el monto máximo que pagaria por la corriente de flujos
SOLUCION:
1 2 3 4 5 6 7 8 ......... 17 18 19 20 Sem
Con n=20
Tasa del Periodo= 15/2=7,50%
P=1000
Donde: VP= 10 194,491 US$
(Monto máximo a pagar)
P=1000 P=1000

9. 4.- Indique que sería más conveniente: obtener un préstamo usando una tarjeta de
Crédito que carga 5% mensual o solicitar un préstamo Comercial con una tasa de
interés nominal de 60% con capitalización trimestral.
SOLUCION:
Para la Tarjeta de Crédito:
Periodo = Mensual
tasa del periodo = 5%
Tasa Efectiva Anual = (1+0,05)^12 - 1 = 79,585 %
Para el Crédito Comercial:
Periodo = Trimestral
tasa del periodo = 15%
Tasa Efectiva Anual = (1+0,15)^4 - 1 = 74,90 %
LUEGO ES MAS CONVENIENTE EL PRESTAMO COMERCIAL

10. 5.- Un agente de ventas de una Compañía de Fondos Mutuos, le ofrece pagar una cuota
anual de 2,900 US$ durante 13 años, para lo cual Ud. deberá invertir un monto de 15,000
US$, (el cual lo usarán para comprar una cartera diversificada de Renta Fija), si su Costo
de Oportunidad es de 15%. Determine si vale la pena comprar o no el Valor Ofrecido.
SOLUCION:
Existe 2 maneras de Evaluación:
1.- Descontar los flujos de Caja con mi costo de oportunidad V.Actual
Creo Valor o Riqueza si el Valor Actual > Inversión Requerida
Valor Actual Neto > 0
2.-Encontrar el rendimiento que me ofrece la inversión y compararlo
con mi Costo de Oportunidad.
Creo Valor o Riqueza si el Rendimiento del Valor > Costo de Oportunidad
TIR > Costo de Oportunidad

11. 1 2 3 4 ........ 12 13 Años
2900 2900 2900 2900 2900 2900
1 2 3 4 ........ 12 13 Años
2900 2900 2900 2900 2900 2900
Traigo a Valor Presente, con la Tasa de Descuento del periodo 15%
De donde: Valor Actual =16 191,126 US$ (Monto Máximo que pagaría)
Como voy a pagar 15,000 US$ Valor Actual > Inversión de 15,000 US$
Creo Riqueza, Valor por 1191,126 US$ = VAN. ES MUY BUENA INVERSION
Con:
n=13
P=2900
i=15%
VP=???
-15000
Con:
n=13
P=2900
VP=15000
i=TIR=???
TIR=16,75178%, > 15 % Costo de Oportunidad
Luego Invierto, por que existe una prima de
beneficio anual mayor a la requerida de 1,75178%

12. 6.- Elabore el programa de pagos de un préstamo de US$ 2000 a 4 años al 12% nominal
anual, los pagos son:
a) Cuotas fijas anuales.
b) Cuotas fijas semestrales
SOLUCION:
Primero Cálculo del Pago anual Fijo.
Sabemos que:
n=4 años
i= 12% anual
VP=2,000 US$
P=Cuota Anual=???
12%
Año Cuota Anual Interes Amortización Saldo Capital
0 2000,00
1 658,47 240,00 418,47 1.581,53
2 658,47 189,78 468,69 1.112,85
3 658,47 133,54 524,93 587,92
4 658,47 70,55 587,92 0,00
CRONOGRAMA DE PAGOS

13. Si los Pagos son Semestrales:
SOLUCION:
Primero Cálculo del Pago anual Fijo.
Sabemos que:
n=8 semestres
i= 12/2 = 6% semestral
VP=2,000 US$
P=Cuota Semestral=???
6%
Semestre Cuota Semestral Interes Amortización Saldo Capital
0 2000,00
1 322,07 120,00 202,07 1.797,93
2 322,07 107,88 214,20 1.583,73
3 322,07 95,02 227,05 1.356,68
4 322,07 81,40 240,67 1.116,01
5 322,07 66,96 255,11 860,90
6 322,07 51,65 270,42 590,48
7 322,07 35,43 286,64 303,84
8 322,07 18,23 303,84 0,00
CRONOGRAMA DE PAGOS

14. 7.- Por la Compra de un automóvil de 15 000 US$ se da una cuota inicial del 20% y el
saldo en 36 letras mensuales a la tasa de 14% anual. Calcular la Cuota Mensual.
15 000 - (0,20 x 15 000)=12,000 US$
1 2 3 4 5 6 ................... 32 33 34 35 36
Meses
SOLUCION:
Tenemos:
n=36 meses
tasa del periodo( mensual):14/12= 1,16666%
VA=12,000 US$
P=????????
p p p p p p p p p p p
De donde P = 410.1315 US$
pago mensual (Amortiz + Int)
Intereses sirve como Escudo Fiscal

15. 8 500 US$
1 2 3 4 5 6 ................... 32 33 34 35 36
Meses
SOLUCION:
Tenemos:
n=36 meses
tasa del periodo( mensual)= ???
VA=8 500 US$
P=650
p p p p p p p p p p p
De donde TIR mensual costo = 6,971137%
llevandolo a Costo Efectivo anual, tenemos:
(1+0,06971137)^12 - 1 = 124,4912%
8.- Un Banco de Crédito de Consumo, le ha prestado la suma de S/. 8,500 el mismo que
deberá ser cancelado en 36 cuotas mensuales de S/.650. Calcular el Costo efectivo de
dicho préstamo.

16. 9.- Ud. ha solicitado al Banco XXX un crédito por S/. 85 000, la tasa preferencial ofrecida
es de 30% efectiva a 120 días con pagos mensuales uniformes.
Encuentre el Pago y Muestre el Cuadro de Pagos.
Meses
S/. 85 000
SOLUCION:
(1+t)^12=1.30
Donde t=2,2104%
(tasa del periodo mensual)
Luego:
n=4 meses
i=2,2104%
VA=85 000 S/.
P=???
De Donde P=22 437,134 S/.
P P P P
2,210%
Mes Cuota Mensual Interes Amortización Saldo Capital
0 85000,00
1 22.437,13 1878,88 20558,26 64441,74
2 22.437,13 1424,45 21012,69 43429,06
3 22.437,13 959,98 21477,16 21951,90
4 22.437,13 485,23 21951,90 0,00
CRONOGRAMA DE PAGOS

17. 10.- El Banco XXX está ofreciendo prestamos hipotecarios, para adquirir, ampliar, o
remodelar su casa o departamento financiandolo hasta 15 años, con la “tasa mas baja
del mercado”.
Las Condiciones son:
Tasa Efectiva Anual: 12,9%
Plazo Máximo=15 años
Monto Máximo a Financiar 80% de la tasación del inmueble
Si el Monto a Financiar es de 48,000 US$ . Calcular el Monto de la Cuota mensual.
Sabiendo que como política del Banco la relación Cuota mensual/Ingreso Neto debe ser
como máximo un 30% señale cual debe ser el ingreso mínimo del cliente.
SOLUCION:
Tenemos n=15 x 12 = 180 meses
Tasa Mensual= (1+ tm)^12 = 1,129
De donde tm= 1,016%
Monto VA=48 000 US$
Luego Cuota Mensual = 582,10917 US$
Ingreso Neto Mínimo Requerido sería: US$ 582,10917/0,30 = US$ 1 940,36

18. 18
Muchas Gracias.
Raphael Rey Tovar
Magister en Banca y Finanzas
Agosto
2014