Clases en power

Profesor: Hernán moraga.
Ingeniería Económica
Herramientas matemáticas de
decisión para comparar racionalmente
alternativas económicas, de modo de
seleccionar las mas conveniente.

Contenidos
 Matemáticas Financieras
– Valor del Dinero en el tiempo.
– Interés
– Tasa de Interés (simple, compuesto, nominal,
efectivo,continua).
– Valor Futuro
– Pagos Periódicos (PAYMENT).
– Gradientes (decrecientes, crecientes, escalada).

– Interés interperiódico
– Bonos
– Inflación
– Amortización
– Depreciación. Tipos de Depreciación
– Flujo de Caja
Contenidos

Contenidos
Indicadores Económicos
Valor Actual Neto (VAN)
Costo anual uniforme equivalente (CAUE)
Tasa Interna de Retorno (TIR)
Costo Capitalizado
Tasa de Rentabilidad (TIR Modificada)
Razón Beneficio/Costo , Ivan, Payback (Tiempo de Pago)

Contenidos
Algunos Certámenes Resueltos
Certamen 1, II Semestre 1998 (Casa Central)
Certamen 1, I Semestre 1999 (ICIPEV Stgo.)
Certamen 1, II Semestre 1999(Casa Central)
Certamen 2, IISemestre 1998 (ICIPEV Stgo.)
Examen, II Semestre 1999 (Casa Central)

Algunos Quices Resueltos
Quiz nº1, II Semestre 2000 (Casa Central)
Quiz nº1, I Semestre 2000 (Casa Central)
Quiz nº2, II Semestre 1999 (Icipev)
Contenidos

Valor del dinero en el tiempo
Garfield,¿Prefieres
tener $100.000 hoy
o en un año más?
Hoy, pues dentro de un
año ese dinero se desvalorizará
debido a la inflación. Además
perdería la oportunidad de
invertirlos en alguna actividad
que, además de proteger de
la inflación me puede generar
una utilidad adicional y así
poder comprar más pizzas!!

Valor del dinero en el tiempo
El valor del dinero en el tiempo
se refiere al poder adquisitivo
que tiene el dinero en el tiempo.
Debido a las razones dadas
por Garfield, se puede concluir
que el dinero actual “vale”
más que el dinero futuro

Interés
Es el pago que debe realizar
un agente económico por
utilizar fondos prestados
Es un premio por postergar
el consumo (AHORRO)
o un Castigo por adelantar
el consumo (PRESTAMO)

Interés
Ejemplo: Pido prestado 100.000 y tengo
que devolver 105.000. El interés pagado
son $5.000
InicialMonto-FinalMontoInterés
Podemos decir que ...

Tasa de Interés
Porcentaje del monto inicial en un tiempo
determinado
Ejemplo (siguiendo el ejemplo anterior)
Monto Inicial = $100.000
Interés = $5.000. Por lo tanto:
100
InicialMonto
Interés
(%)InterésdeTasa 

Interés Simple
Es el interés que se aplica
tomando solamente el Monto
Inicial. Se ignora cualquier
interés que pueda acumularse
en los períodos precedentes

Interés Compuesto
Es el interés que se calcula
sobre el Monto Inicial más la
cantidad acumulada de intereses
en períodos anteriores. Es decir,
se cobra interés sobre el monto
inicial más el “interés sobre
los intereses”
Este interés es el que
mejor representa el valor
del dinero en el tiempo

Cálculo del Valor Futuro
n
iVPVF )1( 
Donde: VF = Valor Futuro
VP = Valor Presente
i = Tasa de Interés
n = Períodos de Capitalización
Cuando se utiliza interés simple, el cálculo del valor futuro
se realiza por medio de la siguiente fórmula:
)1( niVPVF 
Si se utiliza interés compuesto, el valor futuro se calculará
según:

Ejemplos
1) Se ha obtenido un préstamo de $1.000 a interés simple
con una tasa del 6% anual. ¿Cuánto debería pagar en dos
años más? ¿Cuánto estoy pagando en intereses?
120.112,1000.1)206,01(000.1 VF
Debo pagar $1.120 al cabo de dos años
Solución: )1( niVPVF 
120000.1120.1 Intereses
InicialMonto-FinalMontoInterés 

2) Con el mismo ejemplo anterior, responder las
preguntas considerando interés compuesto. Compare.
124.16,123.11236,1000.1)06,01(000.1 2
VF
Debo pagar $1.124 al cabo de dos años
Solución:
124000.1124.1 Intereses
InicialMonto-FinalMontoInterés 
n
iVPVF )1( 
Note que tanto VF como
el interés son mayores que
en el caso de interés
simple

Interés Efectivo y Nominal
Interés nominal (r): La tasa de interés del período
por el número de períodos.
“Nominal” significa “aparente o pretendido” es
decir, una tasa nominal no es real, por lo que se
debe convertir a una tasa efectiva
Interés efectivo (i): Aquella que mide realmente el
interés otorgado o cobrado.
Analicémoslo con un ejemplo:

A) 1.000 pesos depositados al 10% anual EFECTIVO
1.000 1.100 Al cabo de un año
B) 1.000 pesos depositados al 10% anual con
capitalización semestral (NOMINAL)
1.000 1.050 1.102,5
5% 5%
5% en cada Semestre
(período de Capitalización)
Equivalente a un interés efectivo anual de 10,25%
Interés Efectivo y Nominal
Ejercicio Quiz

Conversión de una tasa
nominal a una efectiva
¿Cómo calcularon la
tasa de interés efectiva
en el ejercicio anterior?
En general podemos calcular la tasa de
interés efectiva a partir de una tasa de
interés nominal, por medio de la siguiente
fórmula:

Conversión de una tasa nominal a una efectiva
11 






m
m
r
i
Donde:
i = tasa de interés efectivo
r = tasa de interés nominal
m = número de capitalizaciones
que ocurren dentro del período
indicado en el enunciado de la
tasa de interés nominal
Ahora respondámosle la pregunta a Homero:

Conversión de una tasa nominal a una efectiva
Sabemos que la tasa es de10% anual con capitalización
semestral . Luego,
 Ocurren 2 capitalizaciones al año (ya que
capitaliza semestralmente)
 La tasa es de interés nominal, r = 10%.
%25,101025,01
2
1,0
111
2













m
m
r
i
Por lo tanto:

Observaciones
•Cuando el período de capitalización NO ESTA DADO, la
tasa de interés es EFECTIVA
Conversión de tasas efectivas
36512642
)1()1()1()1()1()1(  DMBTSA iiiiii
Donde:iA = Interés Anual Efectivo
iS = Interés Semestral Efectivo
iT = Interés Trimestral Efectivo
iB = Interés Bimestral Efectivo
iM = Interés Mensual Efectivo
iD = Interés Diario Efectivo

Ejercicio
En los siguientes enunciados, indique: Tipo de interés, y el
período de capitalización, además calcule el interés efectivo
en dicho período.
Enunciado Tipo de Interés Periodo Cap. ief del período cap.
10% anual Cap.
trimestral
Nominal Trimestre 2,5%
5% Semestral Efectivo Semestre 5%
Ejercicio Nº1 Quiz
Ejercicio Nº2 Quiz

Interés efectivo para
capitalizaciones continuas
11 






m
m
r
iSabemos que la fórmula
nos sirve para convertir una tasa de interés nominal en
una efectiva, pero qué ocurre si las capitalizaciones son
continuas, es decir, ¿qué ocurre si m tiende a infinito?
En estos casos podemos calcular la tasa de interés
efectiva por medio de la siguiente fórmula:
1 r
ei

Interés efectivo para capitalizaciones continuas
Ejemplo:
Un banco aplica a los préstamos una tasa del15% anual
con capitalización en segundo. ¿Cuál es es la tasa de
interés efectiva?
Como en este ejercicio el valor de “m” será bastante
grande, podemos estimar la tasa de interés efectiva
usando la fórmula para capitalización continua:
%183,1616183,0115,0
 ei

Interés efectivo para capitalizaciones continuas
000.536.31606024365 m
%196,1616196,01
000.536.31
15,0
1
000.536.31






i
Calculemos la tasa efectiva real:
Note que existe diferencia entre la estimación y el
valor real desde el 4to decimal (2do si se utiliza como
porcentaje).

Payment (Pagos periódicos)
Muchos depósitos o préstamos se realizan en cuotas
iguales. Por lo que es necesario conocer algunas
fórmulas que ahorrarán bastante tiempo:
PMT PMTPMT PMT
0 1 2 3 n
       
 
  ii
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
i
PMT
VP n
nn
j
jn










  1
11
1
1
1
......
11 1
21

Despejando el PMT, tendremos:
 
 
capitaldelónrecuperacideFactor...
11
1










CRF
i
ii
n
n
En donde:
 
  










11
1
n
n
i
ii
VPPMT

También se puede relacionar el PMT con el valor
futuro:
 
 
  

















11
1
11
n
n
n
i
ii
VP
i
i
VFPMT
Este término se conoce como SFF
(Factor de amortización de capital)

Ejemplo Nº 1
Saco de plomo tiene en
mente comprarse un
automóvil deportivo.
Si el vehículo cuesta
$7.000.000 y Pepe
Cortizona desea pagarlo
en 48 cuotas iguales.
¿Cuál será el valor de cada cuota si el interés es del 3%
mensual? ¿Cuánto debería pagar Saco de plomo si
decidiera cancelar toda su deuda al final de la cuota 48?

Solución
 
  










11
1
n
n
i
ii
VPPMT
Para calcular el valor de cada cuota solo necesitamos
ocupar la fórmula del Payment
Reemplazando, tendremos:
 
 
045.277
103,1
03,003,1
000.000.7 48
48










PMT
Por lo tanto, Pepe Cortizona deberá pagar cuotas de
$277.045

Solución (continuación)
Para calcular cuanto debería pagar si decidiera cancelar
toda su deuda al final de la cuota 48, podemos utilizar la
fórmula del Payment o simplemente llevar a valor fururo
el valor inicial del vehículo:
    824.925.28
03,0
103,1
045.277
11
48







 







 

i
i
PMTVF
n
O simplemente:
    763.925.2803,1000.000.71
48

n
iVPVF
(La pequeña diferencia entre estas dos cifras se debe solo a la
aproximación usada en el cálculo del PMT)

Ejemplo Nº 2 , Caso Real:
Una gran y conocida, tienda por
departamento, ofrece para todos sus clientes
ofertas vacacionales . Estas ofertas pueden ser
canceladas de dos maneras: precio contado y
cuotas fijas. Determine la tasa de interés
compuesto y el valor de las cuotas (6), que
debe asumir el cliente si opta por unas
vacaciones de Invierno en Punta Cana.
¿Usted encuentra esta una tasa “razonable”?

Continuación Ejemplo Nº2

Para el caso de vacaciones de Invierno en Punta Cana,
tenemos un Valor Presente de $510.048 y cuotas de
$30.450, siendo 24 en total. Por lo tanto, aplicando
PMT, se tiene:
 
  










11
*1
*048.510450.30 24
24
i
ii
Lo cual nos entrega un resultado para la tasa de
interés de un 3, 10% mensual efectivo. Con esta
tasa de interés podemos calcular la nueva cuota,
con un n=6 meses y un i=3.10%

 
  










11
*1
*048.510 6
6
i
ii
PMT
Aplicando la formula llegamos a un
resultado de 6 cuotas de $94.473 pesos,
encuentra usted la tasa encontrada de
interés razonable?
Ejercicio Nº 1 Certamen
Ejercicio Nº2 Certamen
Ejercicio Nº 1 Quiz

Gradientes
Otra alternativa es que los flujos vayan variando en el
tiempo, ya sea en forma fija (uniforme) o en cierto
porcentaje (escalada).
F3F1 FN
0 1 2 3 n
F2
O sea, los flujos
ya no serán
iguales en cada
periodo

Gradiente Uniforme
En este caso, el aumento en los
flujos es constante.
Denominamos P al valor base (que no
cambia) y G al aumento período a período
P+G P+2GP P+(n-1)G
0 1 2 3 n

Gradiente Uniforme
(Continuación)
Nótese que el primer
término corresponde
al Payment de los
flujos constantes
Al obtener una relación que lleve todos los flujos a
Valor Presente:
 
 
 
   




















 nn
n
n
n
i
n
ii
i
i
G
ii
i
PVP
11
11
1
11
0
Signo positivo si el
gradiente es creciente,
negativo si es decreciente

Gradiente Uniforme
(Continuación)
P = 1.000 G=100
Periodo Flujo
1 1.000
2 1.100
3 1.200
4 1.300
5 1.500
El primer paso es
determinar la Cantidad
Base (P) y el Gradiente o
aumento (G)
Ejemplo: Considere los siguientes flujos:
Interés: 4% por período

Gradiente Uniforme
(Continuación)
 
 
 
   




















 55
5
5
5
0
04,01
5
04,004,01
104,01
04,0
100
04,004,01
104,01
1000VP
Reemplazando:
   1096,44518,4·25004518,410000 VP
53073,53075,8558,44510 VP
El primer término
representa solo los
depósitos de 1000
El segundo término representa
los sucesivos incrementos de
100 cada uno.

...Así es que compraste
tu pingüino a crédito...
¿Cuanto pagarás
mensualmente?
Tuve que dar $10.000 de pie y
pagaré los primeros 8 meses
cuotas de $10.000. Desde el
noveno mes la cuota disminuirá
en $500 cada mes hasta final
de la deuda, que fue el mes 14.
El interés es de un 3% anual
¿Cuál el precio del
pingüino si se paga
al contado?

Ejemplo (solución)
Debemos encontrar el valor presente del pingüino tomando
los datos dados por el oso polar. Primero dibujaremos el
diagrama de flujos:
20 1 87 9 10 11 14
10.00010.00010.000 85009000
7000
10.000 10.000 9500
Note que podemos considerar un Payment hasta el séptimo
mes y luego tendremos un gradiente uniforme decreciente.
Por medio de las fórmulas adecuadas podemos llevar el
Payment y el gradiente al valor presente y sumarles $10.000
(Del pie)

Ejemplo (solución)
 
 
 
   
53325
03,1
7
03,003,1
103,1
03,0
500
03,003,1
103,1
10000 77
7
7
7
)(
7 


















Grad
VP
 
 
62303
03,003,1
103,1
10000 7
7
)(
0 


Payment
VP
Calculemos el valor presente del Payment y del
gradiente:
 
43358
03,1
53325
7
)(
0 Gradiente
VP

Ejemplo (solución)
Por lo tanto el precio contado del pingüino es $115.661
1156611000043358623030 VP
Observación:
No es la única alternativa considerar el Payment
hasta el séptimo mes. Por ejemplo podríamos
considerar un Payment hasta el final de la deuda.
Veamos lo que ocurriría:

 
 
112961
03,003,1
103,1
10000 14
14
)(
0 


Payment
VP
El valor presente del Payment sería:
Ejemplo (solución)
En el gradiente “P” ya no será igual a 10.000 sino a cero,
por lo tanto tendremos:
 
   
8977
03,1
7
03,003,1
103,1
03,0
500
0 77
7
)(
7 








Grad
VP

 
7299
03,1
8977
7
)(
0 

Gradiente
VP
Ejemplo (solución)
Llevamos a valor presente este gradiente:
1156621000072991129610 VP
Como era de esperar llegamos al mismo resultado
(la pequeña diferencia se debe a la falta de rigurosidad con
los decimales)
Ejercicio de Certamen
Ejercicio Nº2 Quiz

Gradiente en escalada
También es posible que el aumento en los
flujos sea en determinado “porcentaje”
P(1+E) P(1+E)2P P(1+E)n-1
0 1 2 3 n
Donde E = porcentaje de
aumento del flujo

Gradiente en escalada
(continuación)
Nuevamente, podemos llevar a valor presente
todos los flujos con una sola expresión:


















 1
1
1
0
n
i
E
iE
P
VP
Entonces, si se dice que los
flujos van aumentando en un
15% y el interés es de un 10%
E = 0,15
i = 0,1Ejercicio Certamen
Ejercicio de Quiz

Interés interperíodico
Qué ocurre si algunos
pagos que se realizan
entre períodos de
capitalización
0
35 20
10
1 años
15 25
Capitalización anual

Interés interperíodico
1) No se paga interés sobre el dinero depositado (o
retirado) entre períodos de capitalización.
2) El dinero depositado (o retirado) entre
períodos de capitalización gana interés simple
El cálculo del valor futuro o presente depende de
las condiciones existentes para los interperíodos de
capitalización, que en general corresponden a unos
de siguientes dos casos:

Interés interperiódico
A través del siguiente ejemplo, veamos como se realizan
los cálculos de los dos casos:
El siguiente diagrama de flujos muestra los depósitos y
giros que realizó una persona en su cuenta de ahorros
durante 12 meses. Calcular la cantidad de dinero tiene
dicho individuo al final de los 12 meses si el banco paga
un interés del 3% trimestral y:
a) No paga interés interperiódico.
b) Paga interés interperiódico a los depósitos, pero no a
los giros.

90 90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
(Depósitos)
(Giros)
Solución:
a) En este caso los depósitos se consideran como si se
depositarán al comienzo del siguiente período de
capitalización, mientras que los giros se consideran como
efectuados al final del período de capitalización anterior.

En el diagrama de flujos:
0 1 2 3 4 5
90 90
6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
0 1 2 3 4 5
90
6 7 8 9 10 11 12
90+50 30+30 50
50 20+70 70+40
Luego tendremos:

Ahora podemos calcular la cantidad de dinero que
tiene el individuo al final de los 12 meses:
9450)03,01(50)03,01(140)03,01(90)03,01(40 234
12 VF
b) Aquí los depósitos efectuados en un interperíodo
ganan interés simple, llevando el monto al comienzo del
siguiente período de capitalización. Los giros, al igual
que en la parte a) se consideran como efectuados al final
del período de capitalización anterior.

0 1 2 3 4 5
90
6 7 8 9 10 11 12
50
50 20+70 70+40
)
3
2
03,01(9050  )
3
1
03,01(30)
3
2
03,01(30 
Análogo al caso anterior:
0 1 2 3 4 5
90 90
6 7 8 9 10 11 12
50 30 30 50
50 20 70 70 40
Pero ahora los depósitos interperiódicos ganan interés
simple:

Ahora calcula de la siguiente manera la cantidad de
dinero que tiene el individuo al final de los 12 meses:
50)03,1(110)
3
03,0
1(30)
3
2
03,01(30)03,1()
3
2
03,01(9050)03,1(90)03,1(40 234
12 











VF
9712 VF
Calculando:

Amortización
A la hora de cancelar un crédito en cuotas, existen
dos alternativas en las formas de pago:
a) Con cuotas iguales b) Con amortización
Periodo Principal Amortización Interés Cuota
1
0
2
Deuda

Amortización (continuación)
Periodos de Gracia: Independiente
del método de pago, son períodos en
los que solo se cancelan los
Intereses, sin pagar nada del Capital

Amortización Cuotas Iguales
Calculamos el Valor de la Cuota como un Payment
de n períodos e interés i. O sea CUOTA = PMT
PMT
PMT
B=A·iC=PMT-BD=A-C
1
0
2
A

Amortizaciones iguales
El valor de la amortización se fija :
AMORT
AMORT
B=A·iC=A-AM D=AM+B
1
0
2
A

Amortización: Ejemplo
Se pide un préstamo de $1.000.000, a pagar en un
período de 3 años en cuotas anuales, con un interés
anual del 10%. Se dan 2 años de gracia. Calcule los
pagos por ambos métodos.
A) Cuotas Iguales Calculo cuota, como Payment
 
 
402115
11,1
1,01,1
000.000.1 3
3










PMT
B) Amortización Igual
334.333
3
000.000.1
AMORT

402.115
402.115
100.0001
0
2
1.000.000
4
5
3 402.115
1.000.000
1.000.000
697.885
365.559
0
100.000
69.789
36.556
100.000
100.000
100.000
302.115
332.326
365.559
Cuota Igual

400.000
366.667
100.0001
0
2
1.000.000
4
5
3 433.333
1.000.000
1.000.000
666.667
333.334
0
100.000
66.667
33.333
100.000
100.000
100.000
333.333
333.333
333.334
Amortización
Igual

Bonos
Es una obligación a largo plazo, emitida por una
corporación o entidad gubernamental, con el propósito de
conseguir el capital necesario para financiar obras
importantes
Los bonos se utilizan frecuentemente,
cuando se hace difícil el préstamo de
grandes cantidades de dinero de una sola
fuente o cuando deban pagarse en un
largo período de tiempo

Condiciones de pago
Estas condiciones se especifican en el momento de
emitir los bonos e incluyen en Valor nominal de
bono, La tasa de interés del bono, el período de pago
de interés y su fecha de vencimiento.
•Los intereses se pagan periódicamente
•En la fecha de vencimiento se paga el Interés
correspondiente más el valor nominal del bono

Observaciones
•Los bonos pueden ser comprados y vendidos en el
mercado abierto, por personas diferentes al beneficiario
original del bono
A usted le ofrecen un bono de $10.000 cuya tasa
de interés es de 6% y paga los intereses
semestralmente. Si la fecha de vencimiento será en 15
años, ¿Cuánto pagaría hoy por el bono si desea ganar
4% de interés semestral?
Ejemplo:

Solución (del ejemplo anterior)
Los intereses pagados semestralmente ascienden a:
El diagrama de flujos será:
Continúa...
300
2
06,0000.10


I
300 300300 300+10.000
0 1 2 3 30
P

Luego
Reemplazando, tendremos
Por lo tanto, usted estaría dispuesto a pagar $8271 por
el bono.
 
   nn
n
i
VN
ii
i
IP












11
11
 
   
271.8
04,01
000.10
04,004,1
104,1
300 3030
30












P

Bonos de Mercado
Un ejemplo de estos, es un bono emitido por el
Banco de Chile, este posee, las siguientes
características:
•Valor nominal: 10.000 U.F.
•Tasa de interés: 6.5% anual.
•Moneda de pago: Expresado en Unidades de
fomento y se pagara en el equivalente en pesos.
•Reajustabilidad: Unidades de Fomento
•Cupones: 30 cupones para el cobro de intereses y
amortización.

Continuación ejemplo
•Periodo de Gracia: 5 años.
•Emisión: La emisión es por un valor nominal de
5.000.000 de Unidades de Fomento, dividida en dos
series de 250 bonos de 10.000 U.F. Cada una.
•Transferibilidad: Al portador.
Junto con esta información, cada cupón debe tener
como dato: el numero de serie, el numero de titulo, la
fecha de pago de ese cupón, la amortización, el
interés y el total.

V.N.

Muestra de
algunos
cupones del
bono del
Banco de
Chile.
Fecha de pago
Amortización
InterésEjercicio Nº1 de Certamen
Ejercicio Nº 2 de CertamenProfesor: Hernán moraga.

Inflación
Con $100 de hoy no puedo
comprar la misma cantidad de
bienes o servicios como pude
en el año 1980...
Es debido a la Inflación.
Esto es porque el valor del
dinero ha decrecido como
un resultado de dar más
dinero por menos bienes.

Cálculos del valor futuro
considerando inflación
En los cálculos de valor futuro, se debe reconocer que la
suma de dinero futuro puede representar una de las cuatro
diferentes cantidades:
 Cantidad Real de Dinero
 Poder de Compra
 Número de pesos de entonces requeridos
 Ganancia de interés sobre inflación
A continuación se analizará cada uno de estos casos...

1) Cantidad real de dinero
No toma en cuenta la existencia de la inflación.
Se limita solo a calcular la cantidad de dinero que se
obtendría con un interés dado.
El cálculo del valor futuro es a través de la
fórmula tradicional:
n
iVPVF )1( 

Ejemplo
Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros
con10% anual de interés por 8 años.
¿Cuál será la cantidad de dinero que obtendrá ?
Por lo tanto en 8 años más usted tendría $214.359
359.214)1,01(000.100 8
VF

2) El poder de compra
En el ejemplo anterior, al cabo de 8 años usted
tendría más del doble del dinero que depositó
inicialmente. Sin embargo, probablemente no podrá
comprar el doble de cosas que hubiera podido
comprar en un principio. ¿Por qué?
La respuesta es simple, los precios se han
incrementado durante la inflación.

El poder de compra
(continuación)
Una solución sería llevar a valor presente el valor futuro
obtenido con la tasa de interés. Para llevar a valor
presente se debe considerar la tasa de inflación (f), es
decir, en la fórmula reemplazar el “i” por el “f”.
El dinero que recibiré ¿Cómo lo puedo comparar con el
dinero inicial?, es decir, ¿Cómo puedo comparar el
poder de compra del futuro con el actual?
En fórmulas...

Llevamos a valor futuro el depósito:
n
iVPVF )1( 
Finalmente este valor lo llevamos a valor presente (en
donde reemplazaremos “i” por “f”):
El poder de compra
(continuación)
 
 
 n
n
n
f
iVP
f
VF
V





1
1
1

Para realizar este cálculo, podríamos utilizar la tasa de
interés real (ir ), la cual representa la tasa a la cual el dinero
presente se transformará en dinero futuro equivalente con
el mismo poder de compra .
La fórmula sería:
 
 
 n
rn
n
iVP
f
iVP
V 


 1
1
1
Donde:
f
fi
ir



1
El poder de compra
(continuación)

Ejemplo
Usted deposita $100.000 en una cuenta de ahorros
con10% anual de interés por 7 años.
La tasa de inflación se espera de 8% anual. La
cantidad de dinero que puede acumularse con el
poder de compra de hoy sería:
Veamos lo que ocurre si utilizamos la tasa de interés
real para realizar los cálculos:
 
 
706.113
08,01
1,01000.100
7
7



V

Ejemplo
%8519,1
08,01,0
08,01,0
1







f
fi
ir
  706.113018519,1000.100)1(
7
 n
riVPV
Calculamos la tasa de interés real:
Luego:
Tal como se esperaba, se obtuvo el mismo resultado.

3) Números de pesos de entonces
requeridos
Comprar algo en una fecha futura requerirá más
pesos que los requeridos ahora para la misma cosa.
Notar que este caso también reconoce que los precios
se incrementan durante los períodos inflacionarios
El cálculo del valor futuro se efectúa por medio de la
siguiente fórmula:
n
fVPVF )1( 

Ejemplo
Vilma desea comprar el
mejor pájaro despertador
existente en Piedradura.
¿Cuánto le costará
dentro de 3 años, si
actualmente cuesta 1.000
Piedradólares y se espera
que el precio se
incremente en 5% anual?

Solución
n
fVPVF )1( 
158.1)05,1(000.1 3
VF
Podemos calcular fácilmente el valor futuro del
“Pájaro despertador” usando la formula
Reemplazando, tenemos
Por lo tanto, Vilma deberá juntar 1.158 piedradólares

4) Ganancia de interés sobre
Inflación
Mantiene el poder de compra y la ganancia de interés.
nn
ifVPVF )1()1( 
Para mantener el poder de compra podemos utilizar la
fórmula del caso 3, es decir, calculamos “el número de
pesos de entonces requeridos”. Luego, a este valor se de
debe agregar la ganancia de interés, este cálculo es
análogo al caso 1.
La formula quedaría:

Ganancia de interés sobre Inflación
También podemos usar la llamada tasa de interés inflada
(if ):
En donde se cumple que:
n
f
nn
iVPifVPVF )1()1()1( 
ffiiif 

Este dragón depositó $5.000
en un banco. Esperó un año
y retiró todo el dinero para
comprar “algo con qué
entretenerse”. Si el banco lo
protegió de la inflación (que
fue 0,5% mensual) y ganó
un 1% mensual de interés .
¿Cuánto le costo “la
entretención”?

Ejemplo
El depósito en el banco hizo que el dinero mantuviera el
poder de compra y además que ganara intereses, luego nos
enfrentamos a un ejercicio del tipo 4, es decir, ganancia de
interés sobre inflación.
Calculemos la tasa de interés inflada:
5982)01505,1(5000)1( 12
 n
fiVPVF
01505,0005,001,0005,001,0  ffiiif
Por lo tanto la “entretención” le costó 5.982
Ejercicio de Certamen Ejercicio de Quiz

Ejemplo Nº2, Caso Real
Consideremos un Banco, el cual cobra una tasa de interés
de un 1.74% mensual efectiva, sobre U.F. (U.F.=$15.464,
el día de calculo), este banco además cobra por concepto de
notario $1.000, por impuesto $24.304, ambos en forma
efectiva al adquirir el préstamo y adicionalmente cobra un
seguro de desgravamen $4.100. Esta simulación de parte
del banco esta basada en 24 cuotas, con un préstamo neto
de $2.000.000.

Continuación, Ejemplo Nº2

•Esta es una simulación real de un banco, a lo cual
deberíamos cuestionar lo siguiente:
•Por qué razón el banco solo ocupa una tasa de 1.74%
efectiva mensual y no ocupa tasa inflada?
Sol: No ocupa tasa inflada, ya que esta trabajando en
base a U.F.( Unidades de Fomento), esta unidad varia de
acuerdo a la inflación, por lo tanto, se esta aplicando
indirectamente la tasa inflada.

Por ello debemos recordar siempre que:
•Cada vez que trabajemos con Pesos, como base de
calculo de nuestro problema, deberemos aplicar la
Tasa Inflada.
•Y cada vez que trabajemos en U.F., solo deberemos
trabajar con la Tasa Bancaria y no la inflada, esto es
muy importante ya que todo resultado dependerá de
los datos con que estemos trabajando.

Depreciación
Los activos comprados por la
empresa van perdiendo su valor a
lo largo del tiempo.
Este efecto se materializa con
una disminución del valor del
activo en los libros de las
empresas.

Depreciación (continuación)
¿Por qué las empresas deprecian?
Porque les sirve de Escudo Fiscal
(disminuye la base imponible, o
sea, el valor sobre el cual se les
aplican los impuestos.

Depreciación (definiciones)
Dt = Depreciación en el
período t
Vt = Valor del activo en el
período t
VS = Valor de Salvamento o
Valor Residual del activo al fina
del su vida util
VA = Valor Inicial del Activo
P Dt Vt
0
1
2
VA
D1
D2
V1=VA-D1
V2=V1-D2
n Dn VS

Tipos de depreciación
Depreciación Línea Recta
n
VSVA
Dt


Depreciación Acelerada
Solo aplicable si n mayor
o igual a 5
T
VSVA
Dt


3
n
T  Redondeado
hacia abajo

Tipos de depreciación
(continuación)
Depreciación Saldos decrecientes
  1
1


t
t dVAdD
 t
t dVAV  1
¿Cuánto vale d?
n
dDS
5,1
.. 
n
dDDS
2
... 

Ejemplo
Apliquemos todos los
métodos de depreciación
vistos
Don Cuasimodo comprará un
camión para su empresa, por
un valor de 11.000. La vida útil
es de 10 años, al término de la
cual, el valor de salvamento
será de 1.000

Ejemplo (continuación)
Depreciación Línea Recta 000.1
10
000.1000.11


tD
P Dt Vt
0
1
2
11.000
1.000 10.000
9.000
10 1.000
1.000
1.000

Depreciación Acelerada
333.3
3
000.1000.11


tD
33,3
3
10
T
Como 10 es mayor o igual
que 5, se puede aplicar
P Dt Vt
0
1
2
11.000
3.333 7.667
4.3343.333
2 3.334 1.000
La última depreciación
cambia por el efecto de
los decimales perdidos

Ajustes en la ultima
Depreciación
En el sistema de Saldos Decrecientes, es
posible que el último Valor del activo no
coincida con el Valor de Salvamento
establecido originalmente
Por lo tanto, la(s) última(s)
depreciación(es) se acomodan para
hacer coincidir el último Valor del
Activo con el Valor de Salvamento

Depreciación Saldos decrecientes (S.D.D.)
  200.22,01000.112,0
11
1 

D   800.82,01000.11
1
1 V
2,0
10
2
d
  760.12,01000.112,0
12
2 

D   040.72,01000.11
2
2 V
  408.12,01000.112,0
13
3 

D   632.52,01000.11
3
3 V

Ejercicio (continuación)
El cálculo continua hasta el
periodo 10 donde:
  2952,01000.112,0
110
10 

D   181.12,01000.11
10
10 V
Valor final 1.181  1.000 por lo que se corrige
la D10 de forma de dejar V10 en 1.000
  476.12,01000.11
9
9 V
D10 = 476

Depreciación permitida por el
S.I.I
•La depreciación permitida por el Servicio
de Impuestos Internos, viene dada por la
siguiente tabla, en esta solo hemos
considerado los objetos más importantes
de depreciación.

Tabla de Depreciación S.I.I

Continuación Tabla Dep. S.I.I

Depreciación permitida por el
S.I.I
• Como pudimos observar las
depreciaciones de los objetos usados en
la industria y en el comercio, están
establecidas claramente en estas tablas.
Así como también su forma de
depreciar, ya sea esta acelerada o
normal.

Flujos de Caja
Es la forma de representar los ingresos y egresos
de una actividad económica, con el objetivo de
determinar los flujos netos que ésta entrega (o
absorbe) en cada período
Especial énfasis pondremos en el
estudio de los Escudos Fiscales

Flujo de Caja (continuación)
=
+
-
-
=
+
=
-
-
-
=
+
+
-
-
+
-
Ing. Ventas
Costo Venta
Utilidad. Bruta
Egresos Operacional
Ut. Operacional
Ing. No Operacional.
Depreciación
Int C. y L. Plazo
Perd.Ejerc. Anterior
Ut. Antes Impuestos
Depreciación
Perd.Ejerc. Anterior
Amort. C y L Plazo
Inversión
Venta Activos
Imp. Venta Activos
Total Anual
+ Monto Crédito
= Flujo Neto (FN)

Escudos Fiscales
Aquellos términos que se restan antes de aplicar el
impuesto, para luego sumarlos al flujo. Su efecto es
simple: Disminuyen la cantidad de impuesto a pagar
Intereses de Corto y Largo Plazo
Depreciación
Perdidas del Ejercicio Anterior
Por lo tanto, las empresas harán lo
posible para maximizar dichos
escudos.

Indicadores Económicos
Herramientas para evaluar la
viabilidad económica de un proyecto

Valor Actual Neto (VAN)
Consiste en actualizar a tiempo
presente todos los flujos de un
proyecto
Es uno de los indicadores
económicos más utilizados, por
su simpleza de cálculo e
interpretación.

Calculo VAN
  

n
j
j
j
i
FN
VAN
0 1
Donde:FNj = Flujo Neto período j
i = Tasa de Interés Efectiva en
el período.
n = Número de períodos
¿Qué tasa de
interés se ocupa?

Tasa de Descuento
Es el interés que se le
exige a una alternativa de
inversión para ser
considerada rentable
Existen varias formas de entenderla
Corresponde al Costo
de Oportunidad del
evaluador
Por ahora: Interés que
me ofrece mi alternativa de
inversión mas cercana
Por lo tanto, la tasa de
descuento es distinta
para cada inversionista

Interpretación
VAN
> 0 Alternativa Recomendable
= 0 Alternativa No Recomendable
< 0 Alternativa No Recomendable
Mientras mayor sea el VAN de una alternativa,
mejor es desde el punto de vista económico

Ejemplo
Sean los flujos netos de caja que me entregará un
proyecto de inversión. Mi alternativa es una cuenta
de ahorro que me da un 7% anual efectivo
1 2 43 5 6 7 98 10
0
85 100 150 200
500
       4321
07,1
200
07,1
150
07,1
100
07,1
85
500 VAN
2,586,1526,1223,874,79500 VAN
Tasa de descuento = 7%

Observaciones sobre el VAN
Si lo uso para comparar dos alternativas:
•A ambas se les debe aplicar la misma tasa de
descuento.
•Ambas evaluadas con el mismo numero de
períodos.
¿Que pasa con proyectos de distinta duración?
¿Como los comparo vía VAN?

VAN para alternativas diferente
duración
Flujos Alternativa 1
FN0 FN1 FN2 FN3
-525 110 300 400
Flujos Alternativa 2
FN0 FN1 FN2
-200 50 200
Se calculan los VAN prolongando la vida de
los proyectos al Mínimo Común Múltiplo de
sus duraciones. MCM 2 y 3 = 6
Es equivalente a repetir el mismo proyecto
una y otra vez

1 2 43 5 6 7 98 10
0
Alternativa 1 (Se
hace 2 veces)
Alternativa 2 (Se
hace 3 veces)
-525 110 300 400
-525 110 300 -125 110 300 400
-525 110 300 400
Suma año a año
Suma año a año
-200 50 200
-200 50 200
-200 50 200
0 50 20050 0 50-200
VAN para alternativas diferente duración

Ocupando una tasa de descuento del 10%
           
2,216
1,1
400
1,1
300
1,1
110
1,1
125
1,1
300
1,1
110
525 6543211 VAN
           
27
1,1
200
1,1
50
1,1
0
1,1
50
1,1
0
1,1
50
200 6543212 VAN
Por lo tanto la alternativa 1 es la mejor
VAN para alternativas diferente duración

Costo Anual Uniforme Equivalente
(CAUE)
•El CAUE es otro método que se utiliza comúnmente
en la comparación de dos alternativas
•A diferencia del VAN, el CAUE no requiere que la
comparación se realice sobre el mínimo común
múltiplo de los años cuando las alternativas tienen
diferentes vidas útiles. Sólo se necesita que las Tasas
sean iguales.
•El CAUE nos indica cuál alternativa es mejor, sin
embargo, no nos indica cuánto es una mejor a la otra.

Costo Anual Uniforme Equivalente
(CAUE)
El CAUE significa que todos
los ingresos y desembolsos deben
convertirse en una cantidad anual
uniforme equivalente que es la
misma cada período
La alternativa
seleccionada será
aquella que presente
el menor CAUE

Cálculo del CAUE
Sabemos que el CAUE es la “transformación” de los
ingresos y desembolsos en una cantidad anual uniforme
equivalente. Por ejemplo, el siguiente flujo:
900 900900
500
0 1 2 3 8
8000 900
2955 29552955
0 1 2 3 8
2955
Si consideramos una tasa de interés del 20% anual,
el CAUE será:

Cálculo del CAUE
Existen varios métodos para calcular el CAUE, sin
embargo, el procedimiento general consiste en
calcular el VAN y luego llevar éste a un PAYMENT.
Analicemos el Ejemplo anterior:
900 900900
500
0 1 2 3 8
8000 900
       
11337
2,1
400
2,1
900
2,1
900
2,1
900
8000 8721
VAN

Cálculo del CAUE
 
 
2955
12,1
2,02,1
11337 8
8










CAUE
2955 29552955
0 1 2 3 8
2955
El diagrama de flujo será:
Ahora solo llevamos el VAN a un PAYMENT:

CAUE de gastos recurrentes
Algunos proyectos de vida indefinida poseen gastos
recurrentes. Para calcular el CAUE de ellos podemos
seguir el siguiente procedimiento:
1) Los flujos deben ser convertidos a cantidades
anuales uniformes.
2) Se debe modificar el flujo, de tal manera que el PMT
empiece del período nº1.
Muéstrenme
un ejemplo

(ejemplo)
Según el procedimiento señalado, necesitamos
convertir el flujo a cantidades anuales uniformes:
Calculemos el CAUE del siguiente flujo (de vida
indefinida), asumiendo un interés del 10% anual.
50 21 3
500
4 6 7
500500
500
0 1 2
Podemos considerar que
desde el 2 año el flujo
esta compuesto por
infinitos subflujos
de 2 años c/u

(ejemplo)
Siguiendo el consejo de Bart...
 
 
288
11,1
1,01,1
500 2
2










PMT
Luego, nuestro flujo será:
0 1
288 288
2 3 n
288288 288
4 5

Finalmente, modificamos el flujo de tal manera que el
PMT empiece en el año nº1:
 
262
1,1
288
)1( 1
3
2 



 n
i
V
V
 
262
1,1
288
)1( 1
2
1 



 n
i
V
V
Nota que solo necesitamos
calcular el monto del año nº1,
y luego éste se repetirá
indefinidamente cada año
(ejemplo)
0
262 262
1 2 ...
262262 262
3 4 CAUE=262

CAUE de una inversión
perpetua
Para estos proyectos el cálculo del CAUE se debe
realizar de la siguiente manera:
¿Cómo calculo el CAUE de un
proyecto de vida indefinida que
además de tener gastos recurrentes
tiene algunos gastos no recurrentes?

1) Los gastos no recurrentes deben convertirse a valor presente
y luego multiplicarse por la tasa de interés:
iVPCAUE *1 
2) Luego calculamos el CAUE de los gastos
recurrentes.CAUE2
3) CAUE=CAUE1+CAUE2
CAUE de una inversión perpetua

Un proyecto posee el siguiente diagrama de flujo:
(Asumir interés del 10% anual)
¿Cuál será el CAUE del proyecto?
300+800
0
7000 300300
1 2 3
300
300+800
300+4000
4 5 6
300
300+800
300
7 8 9
Primero calculamos el CAUE de los gastos no
recurrentes:
(Ejemplo)

9731,0
1,1
4000
7000 41 





CAUE
(Ejemplo)
Luego necesitamos encontrar el CAUE de los gastos
recurrentes:
Existe un gasto
periódico anual
de 300, luego
CAUE2=300
Además cada 3
años se gastan 800
adicionales.Entonces,
debemos calcular
el CAUE3

(Ejemplo)
0 1 2
800
3 4 5
800
6 7 8
800
9
Calculando el CAUE3 de gastos recurrentes de este
flujo:
0
266 266
1 2 ...
266266 266
3 4
1539266300973 CAUE
Finalmente:
Podemos hacer un diagrama con $500 que se gastan cada
3 años:
Ejercicio de Quiz

Para tomar en cuenta...
El análisis anterior (CAUE)
también se puede utilizar
cuando en vez de estudiar
COSTOS se estudia flujos
positivos, en cuyo caso el
análisis suele llamarse VAE
(Valor anual equivalente),
aunque en ocasiones se sigue
utilizando el término CAUE.
Lógicamente la
alternativa seleccionada
será la de mayor VAE.

VAE (Ejemplo)
Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos. Si la
tasa del inversionista es del 10%, ¿Cuál será la mejor
alternativa utilizando el método del VAE (CAUE)?
Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
A -1000 600 700 850
B -2000 700 800 900 950 1000
763AVAN 1243BVAN
Primero calculamos el VAN de cada proyecto:

Ejemplo
Ahora llevamos cada VAN al PAYMENT
correspondiente:
 
 
307
11,1
1,01,1
763 3
3










AVAE
 
 
328
11,1
1,01,1
1243 5
5










BVAE
Como VAEB>VAEA, este método nos indica que se
debe escoger el proyecto B.

Comentarios del ejemplo Anterior
Resolvamos la pregunta de la
guagua Homero:
Nota que para el análisis del
VAE no se necesitó usar el
mismo período de tiempo
de vida de los proyectos
(M.C.M.de los períodos)
¿Cuál sería el
resultado si se
analizara por el
método del VAN?

...Usando el método del VAN
150 1 2 3
-1000
600 700 850
4 5 6
-1000
600 700 850
-1000
850
El M.C.M. de los períodos de ambos proyectos es 15,
luego debemos prolongar la vida de los proyectos a
15 años:
El flujo del proyecto A será:

0 3 6
763 763 763
9 12 15
763 763
Proyecto A:
       
2334
1,1
763
1,1
763
1,1
763
1,1
763
763 12963
AVAN
Modificando los flujos...
Pero como ya calculamos el VAN individual de cada
Proyecto, podemos aprovechar esto y así modificar los
flujos para ahorrar cálculos:

Finalmente...
0 5 10
1243 1243 1243
15
Proyecto B:
   
2494
1,1
1243
1,1
1243
1243 105
BVAN
Por lo tanto la elección por el método del VAN
también favorece al Proyecto B

Costo Capitalizado
Costo capitalizado se refiere
al valor presente de un
proyecto que se supone tendrá
vida indefinida

Cálculo del costo capitalizado
En general, se debe seguir el siguiente procedimiento:
1) Dibujar un diagrama de flujo que muestre todos los gastos
(o ingresos) no recurrentes y al menos dos ciclos de todos los
gastos o ingresos recurrentes.
2) Hallar el VP (al año cero) de los gastos (o ingresos) no
recurrentes.
3) Hallar el CAUE de los gastos recurrentes (desde el año 1
hasta el infinito)
4) Calcular costo capitalizado:
i
(3)Paso
(2)PasodocapitalizaCosto 

Se planea construir una carretera en dos etapas, la
primera tendrá una inversión de $100.000, 5 años
después se ampliará y el costo de inversión será
$70.000. Si se espera que el costo anual de mantención
sea de$4.000 durante los primeros 7 años, y luego
ascienda a $6.000 anuales de allí en adelante, calcule el
costo capitalizado. Asuma i=10% anual.
Solución:
Siguiendo los pasos descritos anteriormente,
dibujamos primero el diagrama de flujos
Costo capitalizado (Ejemplo)

20 1 65 7 8 9 n
40004000
100.000
70.000
60006000 6000
Hallamos el VP (al año cero) de los gastos no recurrentes:
464.143
1,1
000.70
000.100 5
VP

Para calcular el CAUE desde el año 1 hasta infinito
podemos dividir los flujos recurrentes en 2 flujos:
20 1 65 7 8 9 n
40004000 4000 4000 4000 4000 40004000
20 1 65 7 8 9 n
2000 2000 2000
5026
1,1
2000
4000 7
CAUE

Luego, 193724
1,0
5026
143464docapitalizaCosto 
Note que al calcular el VP de los
gastos no recurrentes se pueden
incluir los gastos anuales hasta el
séptimo período y del octavo
en adelante considerar como
único gasto recurrente los 8000
anuales
Veamos que sucede si usamos este
procedimiento:

Hallamos el VP (al año cero) de los gastos no recurrentes:
162938
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
4000
1,1
000.70
000.100 7654325
VP
20 1 65 7 8 9 n
6000 6000 6000
El CAUE de los flujos recurrentes serán:
3079
1,1
6000
7
CAUE
193728
1,0
3079
162938docapitalizaCosto 

Tasa Interna de Retorno (TIR)
El TIR es la tasa que “entrega” un proyecto
suponiendo que todos los flujos son reinvertidos a
esta tasa.
Se calcula buscando
la tasa que hace el
VAN igual a cero

TIR Modificada
Es la tasa que “entrega” un
proyecto suponiendo que todos
los flujos son reinvertidos a la tasa
costo capital, la cual generalmente
es la tasa atractiva de retorno
(TMAR)

Cálculo de la TIR Modificada
1) Hallar el Valor presente de las inversiones (en valor
absoluto). I0
2) Calcular de VFn de los flujos (usando la tasa del
costo capital, generalmente TMAR)
3) Calcular la TIR Modificada, despejando t’ de la
fórmula:
n
tIVF )'1(0 

Cálculo de la TIR Modificada
Como para calcular el VAN de un proyecto de un
proyecto se incluyen las inversiones, si queremos
calcular la TIR Modificada cuando tenemos el VAN
tendremos:
  nn
tIiIVAN )'1()1(* 00 
1)1(*1'
0
 i
I
VAN
t n
Despejando:
Donde i es la tasa
costo capital,
generalmente
TMAR

Análisis incremental
Cuando se realiza un proyecto, lógicamente se busca que
su inversión sea la menor posible. Pero si un proyecto de
mayor inversión se presenta, éste deberá justificar el
incremento de capital. De esta manera si la tasa de retorno
sobre la inversión adicional no iguala o supera nuestra
TMAR el proyecto de mayor inversión (Proyecto retador)
debe desecharse, en caso contrario debe aceptar este último
y desechar el proyecto de menor inversión.
Este método se conoce
como Análisis incremental.
A continuación se mostrará
el proceso de análisis

1) Ordenar las alternativas de menor a mayor inversión.
2) Calcular la TIR del proyecto con más baja inversión. Si
TIR<TMAR entonces se desecha el proyecto y se continúa
con el siguiente hasta que TIRTMAR, este proyecto se
llamará DEFENSOR.
El procedimiento para realizar el análisis incremental es el
siguiente:
3) Se igualan los períodos (M.C.M.) entre el
DEFENSOR y el RETADOR (proyecto que le sigue en
inversión)

4) Calcular el Flujo incremental:
 

...
0
DefensorRetador
MCM
i
ii FNFNlIncrementaFlujo
5) Calcular la TIR del flujo incremental. Si esta
TIRTMAR entonces el RETADOR se convierte en el
nuevo DEFENSOR (en caso contrario se mantiene el
defensor)
6) Se vuelve al paso 3) hasta que quede solo una
alternativa.

Análisis incremental (Ejemplo)
Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
A -1500 450 550 570 600
B -1000 300 320 400 400
C -2000 450 600 800 900
D -800 240 240 250 260
Utilizando el análisis incremental, determinar cuál proyecto
se debería seleccionar si la TMAR es 10%:
Proyecto Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
D -800 240 240 250 260
B -1000 300 320 400 400
A -1500 450 550 570 600
C -2000 450 600 800 900
Siguiendo el procedimiento indicado, primero ordenamos las
alternativas en forma ascendente según las inversiones:

2) Calculamos la TIR del proyecto con más baja inversión:
Como TIR<TMAR (8,97%<10%) entonces se desecha el
proyecto “D” y se continúa con el siguiente (“B”):
0
)'1(
260
)'1(
250
)'1(
240
)'1(
240
800 432









tttt
Despejando obtenemos t’=8,97%
0
)'1(
400
)'1(
400
)'1(
320
)'1(
300
1000 432









tttt
%74,14'  Bt

Como TIRBTMAR el proyecto “B” será el DEFENSOR
3) Igualar los períodos de los proyectos “B” (defensor) y
“A” (retador). Ambos proyectos ya tienen el mismo
número de períodos (4).
4) Calculamos el Flujo incremental:
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
- 500 150 230 170 200
5) Calculamos la TIR del flujo incremental:

0
)'1(
200
)'1(
170
)'1(
230
)'1(
150
500 432









tttt
Despejando obtenemos t’=17,89%
Como TIRTMAR (17,89%>10%) el proyecto “A” pasa a
ser el nuevo DEFENSOR.
6) Volvemos al paso 3), en donde obtenemos que el nº
de períodos es nuevamente 4.
4) Calculamos el Flujo incremental:
Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4
-500 0 50 230 300

5) Calculamos la TIR del flujo incremental:
0
)'1(
300
)'1(
230
)'1(
50
)'1(
0
500 432









tttt
Despejando obtenemos t’=4,,43%
Como TIR<TMAR (4,43%<10%) entonces “A” sigue
como defensor y como no quedan más proyectos con
quien enfrentarse, “A” es el ganador.
Por lo tanto se debe seleccionar el proyecto “A”

Relación Beneficio/Costo
Tal como su nombre lo sugiere, el método B/C se basa
en la relación de los beneficios a los costos asociados
con un proyecto particular:


Costos
Beneficios
C
B
Para que el proyecto
sea económicamente
ventajoso B/C debe ser
mayor o igual a 1

IVAN
Es la relación entre el Valor actual neto de un proyecto
y su inversión:
I
VAN
IVAN 
Un proyecto se
descartará si su
IVAN es menor que 1

Payback (Período de
recuperación)
Es el año (o período)
en el que la suma de
los Flujos Netos es
mayor o igual a cero
Se puede calcular
con los flujos
NO actualizados
O con Flujos
actualizadosLógicamente, la
mejor alternativa es
la de menor Payback
  0iFN
añosiPayback 

Payback (Tiempo de pago)
El cálculo del Payback considerando los flujos
NO actualizados se realiza simplemente sumando
algebraicamente los Flujos Netos (sin incluir
ninguna tasa de interés) hasta que esta suma sea
mayor o igual que cero.
En cambio si se quiere calcular con flujos
actualizados, se debe tomar en cuenta una
tasa de interés.
Ejemplo:

Pr oyect o Año 0 Año 1 Año 2 Año 3 Año 4 Año 5
A -1000 480 530 550 560 560
B -1200 500 550 850 950 1000
Se tienen dos proyectos con sus respectivos flujos.
¿Cuál proyecto debe seleccionarse según el Payback
si los flujos no son actualizados? ¿Qué pasa si se
considera flujos actualizados a una tasa del 15%
anual?
Flujos no actualizados:
Proyecto A:


1
0
520
i
iFN 

2
0
2010
i
i añosPaybackFN

Proyecto B:


1
0
700
i
iFN


3
0
307008505505001200
i
i añosPaybackFN


2
0
150
i
iFN
Por lo tanto, según el método del Payback y considerando
flujos no actualizados, conviene realizar el proyecto A.
Veamos que ocurre si usamos flujos actualizados:

Proyecto A:
583
15,1
480
1000
1
0
i
iFN


2
0
182
i
iFN


3
0
32
30180
15,1
550
15,1
530
15,1
480
1000
i
Ai añosPaybackFN
Proyecto B:


1
0
765
15,1
500
1200
i
iFN


3
0
32
30210
15,1
850
15,1
550
15,1
500
1200
i
Bi añosPaybackFN


2
0
349
i
iFN

Como el Payback de A es igual al Payback de B (3 años),
entonces según método del Payback estos proyectos son
indiferentes (para flujos actualizados con una tasa del
15% anual)
Si calculan el VAN de
cada Proyecto obtendrán
que el proyecto B es el
mejor
778AVAN
1250BVAN

Certámenes Resueltos

Certamen 1 II Sem. 1998 Casa
Central
1.- Ud. desea ir con unos amigos a pasar las vacaciones de
Verano en dos años más a Australia. Ya ha realizado las
averiguaciones correspondientes y ha encontrado los
siguientes costos actuales individuales: US$2.200 para los
pasajes; US$1.900 para hospedaje; US$1.750 para comer;
y US$3.000 para viajes, imprevistos y regalos. Para juntar
el dinero Ud. decide utilizar los conceptos aprendidos en
sus clases de Ingeniería Económica haciendo depósitos en
el banco a partir del próximo mes, a los cuales usted
aplicará una tasa de crecimiento voluntaria de un 0,52%
mensual. Si la tasa de interés ofrecida por el banco a sus
depósitos es de un 18% anual capitalizada continuamente,
¿cuál debe ser el monto a depositar los meses 1, 12 y 24?

Central
1.- Solución
0053,0%53,0 E850.8000.3750.1900.1200.2 VP
0 1 24
D
D·(1+E)23
19721736,01180
18
 eiA
    015113,011
12
 mmA iii
 
 











 1
1
1
850.8 24
24
i
E
iE
D
VP

Central
616,41719169,21850.8  DD
616,4171 D
  619,4421
11
112  EDD
  604,4711
23
124  EDD
Por lo tanto:

Central
2.- El día 1º de Enero de 1999 en su cumpleaños número 25
Alejandra tiene decidido hacer uso de una herencia que ha
recibido cuando pequeña pero que no ha podido utilizar hasta
cumplir la edad indicada. El saldo de la herencia es de 20
millones de pesos, con esta cantidad, ella pretende poder retirar
$X cada trimestre durante los próximos dos años (a contar del 1º
de Abril de 1999).
La tasa de Interés vigente para el período del 1º de Enero de 1999
hasta el 31 de Diciembre de 1999 será del 2% efectivo mensual; y
del 1º de Enero del 2000 hasta el 31 de Diciembre del 2000 será
de 2,5% efectivo mensual.
A) Determine la cuantía de los retiros trimestrales.
B) ¿Cuánto tiene Alejandra en su cuenta de ahorros el 1º de Abril
del 2000 luego de hacer el retiro correspondiente?

Central
1/4/99 1/7/99 1/10/99 1/1/99 1/4/00 1/7/001/10/00 1/1/011/1/99
0 1 5 6 72 3 4 8
2% Efectivo Mensual 2,5% Efectivo Mensual
    061208,011%2
13


 tritrim iii
    07689,011%5,2
13


 tritrim iii

Central
 
 
 
  44
4
4
4
061208,1
1
07689,007689,1
107689,1
061208,0061208,1
1061208,1











 XXVP
4
061208,1
335185184,3
455542159,3  XXVP
X 085312916,6000.000.20
737,602.286.3XA)
B)  
  591627572,2
07689,007689,1
107689,1
3
3



 XXVP
68,647.517.8X

Central
3.- Usted desea desde ya empezar a ahorrar para la educación de
sus hijos. Para esto decide comprar un bono de $10.000 al 8%
del Banco Central, el cual lo logra conseguir a $8.500, y que
paga intereses trimestrales, con un periodo de maduración de 10
años. Además empieza a depositar $5.000 al año en una cuenta
en un Banco que da un interés de un 6% semestral con
capitalización mensual, y acuerda incrementar en $1.000 sus
depósitos cada año hasta el año 10. Paralelamente en el año 5
abrirá otra cuenta en otro banco que otorga un interés anual
efectivo del 10%, haciendo su primer depósito por un monto de
$3.000 un año después, los cuales se incrementarán en 11% hasta
el año 10 ¿Cuánto dinero tendra acumulado en el año 10 para la
educación de sus hijos?. Considere una tasa de interés del 10%
anual efectiva para el flujo de intereses que paga el bono.

Central
4.-El Banco Amigo le facilita un préstamo de $7.000.000 a 4
años plazo, con un interés del 15% anual con capitalización
semestral. Además le ha otorgado tres años de gracia. Determine
la tabla de amortización del crédito utilizando las dos formas
vistas en clases
000.000.7VP
075,02
100
15
 ssA iii
    155625,011
2
 AAS iii
Cuotas Iguales
686,479.2
11556,1
1556,01556,1
000.000.7 4
4








PMT

1.089.3751
0
2
7.000.000
4
5
3
7.000.000
7.000.000
7.000.000
5.609.689 1.390.311
1.606.6784.003.011
2.146.294
(625)=0
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
2.479.686
2.479.686
2.479.686
2.479.686
873.008
622.9691.856.7176
7 334.0172.145.669

1.089.3751
0
2
7.000.000
4
5
3
7.000.000
7.000.000
7.000.000
5.250.000 1.750.000
1.750.0003.500.000
1.750.000
0
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
1.089.375
2.839.375
2.567.031
2.294.688
2.022.344
817.031
544.6881.750.0006
7 272.3441.750.000

Certamen 1
I Semestre 1999 (ICIPEV
Santiago)1.- Usted desea ahorrar para la educación universitaria de su
hija que cumple 2 años, para lo cual decide hacer uso de sus
conocimientos de Ingeniería Económica. Actualmente el costo
de una carrera Universitaria de 5 años es de unos $ 7.000.000,
además de unos $ 2.000.000 por concepto de libros y gastos
extras de un estudiante. Usted se decide a invertir en un bono
que paga 10% anual capitalizado semestralmente y que tiene un
período de maduración de 15 años. Además, usted lee el
informe del Banco Central que establece que la inflación en
Chile para los próximos 15 años se espera que sea de un 2,5 %
por período semestral, y que las tasas de interés bordearán el
6% anual efectivo. ¿Cuánto debe ser el precio de carátula del
Bono? (Valor Nominal)
35 puntos

Certamen 1
Santiago)Solución:
000.000.90000.000.2000.000.7 VP
Tenemos que:
Bono:
10% Capitalización semestral
n = 15 años
VN = ???
%6
%5,2


i
f Semestral
Anual

Certamen 1
Santiago)
22
)1()106,0()1()1(  SSA iii
029563,0S
i %)9563,2(
025,0*029563,0025,0029563,0*  fifiif
%53021,50553021,0  fi
Tasa “inflada” semestral

Certamen 1
Santiago)Bono:
1 2 3 4 26 27 28 29 30
0
I I I I I I I I I
(Semestres)
VN
VN
2
100
10
* 






VN
I VNI *05,0

Certamen 1
Santiago)













ff
f
f ii
i
VN
i
VN
VNVP
*)1(
1)1(
**05,0
)1( 30
30
30
485381,14**05,0*198928,0000.000.9 VNVNVN 
VNVN *9231971,0000.000.9 
015.183.117VN
Esto es imposible, ya que por “definición” el Bono
no puede dar una tasa mucho más grande que la del
Banco. En este caso iBono= 10% v/s 6% del Banco

Certamen 1
Santiago)2.- Usted abrió una cuenta de ahorro que le daba una tasa
de interés del 6% anual capitalizado trimestralmente hace
un año con $ 200.000. Luego fue haciendo depósitos de $
50.000 cada mes hasta ahora. Sin embargo, dado algunos
imprevistos usted tuvo a la vez que girar dinero desde su
cuenta los meses 5 y 9 por $ 100.000 cada uno. ¿Cuánto
dinero tiene actualmente en su cuenta, si el banco aplica
interés simple a los movimientos interperiódicos? ¿Si
hubiera sabido de Ingeniería Económica cómo hubiera
hecho los movimientos para haber maximizado su
ganancia?
30 puntos

Certamen 1
Santiago)Solución:
%6A
i Anual Capit. Trim. %5,1
4
6
trii
3
)1()1( Menstri ii  004975206,0trii
Tasa efectiva
0 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12
200
100 100
50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50 50
3

Certamen 1
Santiago)
000.1*
)2*0049752,01(
100
50)1*0049752,01(*50)2*0049752,01(*50
000.200
3
0









V
V
51867,731.513 V
  000.1*50)1*0049,01(*50)2*0049,01(*506 V
2809,746.1506 V
  000.1*10050)1*0049,01(*50)2*0049,01(*509 V
2809,746.509 V
  000.1*50)1*0049,01(*50)2*0049,01(*5012 V
2809,746.15012 V

Certamen 1
Santiago)
129
2
6
3
3
4
012
100
5,1
1*
100
5,1
1*
100
5,1
1*
100
5,1
1* VVVVVVF 
























Evaluando tenemos que:
5838,923.62312 TOTAL
VF

Certamen 1
Santiago)3.- Pedro y Juan son primos, ambos de 21 años. Ellos asistieron a un
seminario sobre la planificación del retiro y jubilación. Después del
seminario, Pedro, el primo “astuto”, dijo que él planeó invertir $
1.000.000 cada año en el día de su cumpleaños en una cuenta de
ahorro que paga 10% anual capitalizado mensual, comenzando en su
cumpleaños número 22 aumentando en $ 50.000 cada año y
terminando en el número 30. Por su parte Juan, el primo “lento”, dijo
que él también pondría $ 1.000.000 cada año en una cuenta de ahorro
similar, pero que él esperaría hasta su cumpleaños número 40 para
comenzar, aumentando también en $ 50.000 cada año. Él haría pagos
cada año en su cumpleaños hasta su cumpleaños número 60, donde
realizaría su último pago. ¿Cuánto dinero tendrá cada uno ahorrado a
los 60 años en sus cuentas personales de acuerdo a sus estrategias?
35 puntos

Certamen 1
Santiago)Solución:
%10A
i Capit. mensual %83333,0
12
10
Mi
12
)1()1(  MA ii
4131047130674,0Ai %)34713067441,10(

Certamen 1
Santiago)Pedro:
000.000.1
000.50


P
G
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 60
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
n = 9

Certamen 1
Santiago)













 99
9
9
921
)1(
9
*)1(
1)1(
*
000.50
1)1(
*)1(
000.000.1
iii
i
i
i
ii
VP
 67279838,365,5*32,495.477
18,0
000.000.1
21
VP
090.598.6392.94547,697.652.521 VP
27,506.736.320)1(*090.598.6 39
60  iVF

Certamen 1
Santiago)Juan:
4131047130674,0Ai
000.000.1
000.50


P
G
39 40 41 42 43 60

Certamen 1
Santiago)













 2121
21
21
2139
)1(
21
*)1(
1)1(
*
000.50
1)1(
*)1(
000.000.1
iii
i
i
i
ii
VP
 594,237,8*32,495.47746,238.370.839 VP
77,336.128.1139 VP
58,545.088.90)1(*77,336.128.11 21
60  iVF

Central
1.- Usted desea ayudar a su padre en la compra de un
computador PC. El precio contado hoy en una Casa Comercial
es de $800.000 y la tasa de interés que aplica a las compras a
crédito es de un 2% mensual. En otro local se vende el mismo
PC con un precio contado de $700.000, o a crédito en 24 meses
con cuotas de $41.333. Otra opción es que existe un Banco
que le presta $700.000 hoy y se le debe pagar $1.180.102 en
24 meses más; o le presta $800.000 hoy y se le debe pagar
$1.348.688 en 24 meses más. Su padre no tiene hoy el dinero y
desea comprar a 24 meses. ¿Qué opción le recomendaría Ud. a
su padre y por qué, basándose en sus conocimientos de
ingeniería económica?

Central
Alternativa 1: Casa Comercial
8778,296.42
102,1
02,002,1
000.800 24
24








PMT
000.800VP %2Ni
Alternativa 2: 333.41PMT000.700VP
Alternativa 3: Banco 1
  %2,21
24
 iiVPVF
000.700VP 102.180.1VF
854.37PMT

Alternativa 4: Banco 2
  %2,21
24
 iiVPVF
000.800VP 688.348.1VF
261.43PMT
Central
Por lo tanto, por tener la menor cuota,
pido al banco $700.000 (alternativa 3)
y pago al contado la alternativa 2

2.- Usted ha recibido una herencia hoy de $5.000.000 con la cual
desea comprar un auto de $4.000.000 y abonar $1.000.000 al arancel
de la Universidad, con lo cual se quedaría “sin ningún peso. Tiene la
posibilidad de invertir su plata en un depósito en UF mensual el cual
le otorgaría una tasa de interés de 0,7% o tiene la posibilidad de
invertir en una cuenta de ahorro en pesos. La tasa de inflación
esperada es de un 0,5% mensual y el valor de la UF hoy es de
$15.000. Basado en un análisis de Ingeniería Económica que opción
le conviene más de las siguientes:
a) Gastar toda la plata hoy según lo establecido.
b) Hacer un depósito en UF y realizar los gastos en 24 meses más.
c) Hacer un depósito en pesos y realizar los gastos en 24 meses más.
Nota: Considere que tanto la UF, como el valor del auto y el arancel
de la Universidad se verán afectados por la inflación en el lapso de
24 meses.
Central

Central
UF333,333000.000.5 VP
Alternativa A ldiferencia0000.000.1000.000.4000.000.5 
Alternativa B 0810979,394
100
7,0
133,333
24






VF
Los gastos crecen
según la inflación
88,798.635.5$
100
5,0
1000.000.5
24






VF
39664,907.16$
100
5,0
1000.15
24






VFLa UF crecerá

Central
Por lo tanto, tenemos 394,08
UF, cada una a $16.907,37
091,892.662.6VF
551,086.027.1lDiferencia
Alternativa C (en $) 012035,0
100
7,0
100
5,0
100
7,0
100
5,0
Fi
Depósito
Gastos
  09,892.662.6$012035,01000.000.5
24
VF
88,798.635.5$
100
5,0
1000.000.5
24






VF
21,093.027.1lDiferencia Se elige B o C, porque se cubren
los gastos y se gana algo

Central
3.- Usted adquiere un bono que tiene un valor de carátula de
$10.000 al 10% con pago de intereses trimestrales y un periodo
de maduración de 5 años. Los intereses que arroje el bono
serán depositados en una cuenta de ahorro que aplica una tasa
de interés del 10% anual capitalizada semestralmente. Además
realizará dos retiros de $50 cada uno en los meses 10 y 11 de
cada uno de los cinco años ¿Cuanto dinero tendrá en la cuenta
una vez que reciba el valor de carátula si es que la cuenta
aplica intereses simples a los depósitos interperiódicos, pero no
aplica interés simple a los retiros interperiódicos?

Central
Bono = 10.000, 10% , interés trimestrales, 5 años
mentetrimestral250
4
1,0000.10


BONOI
Cuenta de Ahorro
semestralcioncapitaliza%10Ai semestralefectivo%5Si
Flujo de movimientos sólo para un año
0 1 5 6 72 3 4 8 9 10 11 12
250 250 250 250
50 50

Central
1
12
100
5
15050
6
3
100
5
1250250
6
3
100
5
1250250 





































VF
   1
12 05,110025,25625025,256250 VF
8125,93212 VF
000.108125,932
100
5
18125,932
100
5
18125,932
100
5
18125,932
100
5
18125,932
2
468
5

























AÑO
VF
32458,723.15$5
AÑO
VF

1.- La municipalidad está planeando la construcción de un
nuevo centro cívico. La propuesta requiere una inversión inicial
de $10 millones y una reinversión de $4 millones dentro de 10
años. Los costos anuales de operación se estiman en $250.000.
Los ingresos provenientes de los arriendos del centro para
convenciones, eventos, presentaciones, etc. se estiman en
$190.000 el primer año, con un incremento de $20.000 anuales
durante cuatro años más, permaneciendo luego constantes hasta
el año 10. En el año 11 y de allí en adelante, se esperan ingresos
anuales de $350.000. Calcule el costo capitalizado del centro
cívico, si la tasa de interés es de 6% anual.
Certamen 2
II Semestre 1998 (ICIPEV
Santiago)

10.000.000
0 1 5 6 72 3 4 8 9 10 11 12
190.000
210.000
230.000
250.000
270.000
270.000
270.000
270.000 270.000
270.000 350.000
4.000.000
2 5 0 . 0 0 0 2 5 0 . 0 0 0
i = 6%
11,579.233.12
06,1
000.000.4
000.000.10 10
INVVPVP No Recurrentes
97,690.158
06,1
5
06,006,1
106,1
06,0
000.20
55
5









GRADVP
Certamen 2
Santiago)

02,539.274.11 PMTGRADINVNOREC VPVPVPVP
12,349.800
06,006,1
106,1
000.190 5
5



PMTVP
000.2501 CAUECAUE
71,759.201
06,1
000.270
52 CAUE
58,671.44
06,1
000.80
103 CAUE
71,568.3CAUE
48,017.334.11
i
CAUE
VPCOSTOCAP NOREC
Certamen 2
Santiago)

2.- Usted y unos amigos han decidido crear una pequeña empresa
dedicada al transporte rápido de correspondencias delicadas dentro
de la ciudad. Para ello han estimado que se necesita comprar dos
computadores avaluados en US$2.800 cada uno; dos furgones
avaluados en US$10.000 cada uno, y tres motos cuyo valor por
unidad es de US$4.050. Los ingresos operacionales se espera que
sean de US$25.000 el primer año y que estos tengan un crecimiento
anual de un 30% hasta el año 6. Los costos de operación se estiman
en US$4.500 el primer año y luego un aumento de US$700 por año.
Los computadores deben ser depreciados con el método de la línea
recta a seis años, con valor residual de 0. Los furgones se deben
depreciar con el método de SDD y tienen un valor de salvamento
esperado de US$5.000 (total por los dos);
Certamen 2
Santiago)

las motos deben ser depreciadas por el método de SD y no tienen
valor residual esperado. Para la compra de los computadores no
existe financiamiento. Para la compra de los furgones existe un
crédito por el 75% del valor total a tres años plazo con dos de
gracia, pagadero en tres amortizaciones iguales a una tasa de interés
de corto plazo del 8% anual. Para la compra de las motos también
existe un crédito por el 50% del valor total de éstas, pagadero en 4
amortizaciones iguales con una tasa de interés de largo plazo de
5%.El impuesto anual a las utilidades es de un 15% y la tasa a la
cual usted debe evaluar su proyecto es de un 10%. No considere el
capital de trabajo. La duración del proyecto es de 6
años.
A) Desarrolle el flujo de caja completo para cada año
B) Calcule el CAUE de este negocio
Certamen 2
Santiago)

1.-Se tienen los proyectos siguientes:
Proyecto 0 1 2 3 4 5
A -500 50 100 150 200 450
B -500 250 200 150 100 50
Si se tienen 2 tasas mínimas atractivas de retorno de: i1 = 10% y i2 = 20%.
Se puede asegurar del VAN:
I)El VANA para i1 es mayor que el VANB.
II)El VANB para i1 es mayor que el VANA.
III)Para ambas tasas, en forma indistinta, conviene realizar el proyecto
IV)Para tomar una elección de proyecto, en este caso en particular, se
necesitan otros indicadores a parte del VAN.
Son Verdaderas:
A)Solo I D)I, III y IV
B)Sólo II E)Ninguna
C)I y II
R: A)
Examen
II Semestre 1999 (Casa Central)

2. De la TIR se puede señalar:
I)La TIRB > TIRA.
II)La TIRA > TIRB.
III)Si la TIR > i, entonces el VAN > 0.
IV)La TIR es la tasa mínima a la cual se puede evaluar el proyecto
para que sea rentable.
Son afirmaciones erróneas:
A) I y IV
B) Sólo I
C) Sólo II
D) II y III
E) I, III y IV
R: E)
Examen

3.Del Payback se puede asegurar:
I) Para el proyecto A es de 4 años.
II) Para el proyecto B es de 3 años.
III) El Payback modificado considera los flujos descontados a
la tasa de descuento, por lo que su valor es mayor que el payback puro.
IV) Con este indicador se elige la alternativa A sobre la B.
Siempre son verdaderas:
A)Sólo I
B)Sólo II
C)I y II
D)I y III
E)I, III y IV
R: D)
Examen

4.- Los VAN de los proyectos A y B se cruzan a una determinada
tasa de descuento, la cual está entre:
A)12 – 13 %
B)13 – 14 %
C)14 – 15 %
D)15 – 16 %
E)16 – 17 %
R: D)
Examen

5.- Dada la siguiente información:
Flujo año 0 Flujo año 1 Flujo Año 2
+ 1.000 + 9.000 -11.000
Si se sabe que la TIR de este proyecto es 9 % y la tasa mínima
atractiva de retorno con la cual se trabaja es de 5%, usted
puede concluir que:
A) Acepto el proyecto, ya que la TIR > TMAR.
B) Rechazo el proyecto, ya que, no hay inversión inicial.
C) Aceptaría el proyecto si F2 = -10.500
D) Aceptaría el proyecto si F1 = 9.425
E) Son correctas b y d.
R: C)
Examen

6.-.Para los siguientes flujos de dos proyectos que se pueden replicar
y considerando una tasa mínima atractiva de retorno del 10%
Año Proyecto A Proyecto B
0 -10 -10
1 6 4
2 6 4
3 4.75
Cual respuesta es falsa
A) El VAN individual de A es0.41
B) El VAN individual de B es 0.51
C) Se debe elegir el proyecto A
D) Se debe elegir el proyecto B
E) Ninguna de las anteriores
R: D)
Examen

7.-.Dos proyectos C y D demandan exactamente la misma inversión
inicial y tienen la misma TIR, la cual es mayor que la tasa de descuento
de los proyectos. Si los flujos de caja netos totales de C son más grandes
que los de D, pero se producen más tarde, entonces cual de las
alternativas es falsa:
A) La evaluación incremental C-D tendrá siempre un VAN positivo)
B) El proyecto C tendrá una relación VAN/Inversión Inicial mayor que la
de D
C) Si las tasas de descuento para los proyectos fueran mayores que la TIR
entonces el proyecto D entregaría un VAN mayor que el de C
D) No se puede saber que proyecto tendría mejor VAN ya que depende de
la tasa de descuento particular de cada uno
E) Ninguna de las anteriores
R: A)
Examen

Quices Resueltos

Quiz nº1
16 de Marzo 2000
Dado que el verano recién pasado de “vio corto de plata”,
se ha decidido a que le próximo verano será mejor, para lo
cual ha abierto una cuenta de ahorros en el Banco
“Billetón”. Dicha cuenta le garantiza una tasa de interés del
12% anual capitalizado mensualmente. Hoy es 16 de marzo
del 2000 y usted desea ahorrar hasta el 16 de diciembre del
2000, haciendo el primer depósito hoy. Ha estimado que
con $220.000 a esa fecha usted tendría un buen pasar
(además de lo que le pase su abuelita). Sin embargo en
septiembre usted no realizará ningún ahorro debido a los
gastos por el 18. ¿Cuánto deberá ahorrar cada mes,
comenzando desde ahora hasta diciembre, para lograr un
“verano feliz”?

Quiz nº1
16 de Marzo 2000
Solución:
Realizamos el diagrama de flujo de la situación dada:
DSJ
P PP
O N
PP
J A
P PP
M A M
P
963 7 84 50 1 2
Debemos calcular el interés mensual efectivo:
%1
12
%12
mi

Quiz nº1
16 de Marzo 2000
Ahora hay que calcular el valor futuro (al 16 de
diciembre) de los flujos:
Podríamos cada flujo a diciembre, pero esto
sería un método “muy carretero”.
Otra alternativa sería usar las fórmulas del
Payment:
  







11
n
i
i
VFP

Quiz nº1
16 de Marzo 2000
 







 

i
i
PVF
n
11
Despejando VF:
Ahora solo debemos ocupar adecuadamente la
fórmula:
      PPPVFD 






 







 
 4319,9
01,0
101,1
01,1
01,0
101,1
3
4
6

Quiz nº1
16 de Marzo 2000
Pero sabemos que el VFD(VF9)=$220.000, luego:
325.23$
4319,9
000.220
 P
Por lo tanto debería ahorrar $23.325 cada mes.

Quiz nº2
30 de Marzo 2000
Las ganancias de un negocio de ventas por internet
serán depositadas en una cuenta de ahorros donde
ganarán 1% de interés mensual. Se estima que las
ganancias sean de M$9.000 los primeros 14 meses
y desde el mes 15 se produzcan incrementos de
M$500 cada mes. Cuánto dinero tendrá ahorrado
en total la empresa en el mes 34.
Tiempo 25 minutos

Quiz nº2
30 de Marzo 2000
Solución:
Primero nos conviene el diagrama de flujo de
situación dada:
20 1 1413 15 16 17 34
9.0009.000 10.50010.000 xxxx9.000 9.000 9.500
Ahora solo debemos llevar a valor futuro (período 34)
todos estos flujos, considerando un interés del 1%
mensual (im=1%)

Quiz nº2
30 de Marzo 2000
20 1 1413 15 16 17 34
9.0009.000 9.000
Para calcular el VF34, podemos dividir el flujo en dos
subflujos:
20 1 1413 15 16 17 34
10.50010.000 xxxx9.000 9.500

20 1 1413 15 16 17 34
9.0009.000 9.000
Quiz nº2
30 de Marzo 2000
El primer subflujo es simplemente un Payment de 13
períodos:
  541,166.15301,1
01,001,1
101,1
9000
34
13
13
34 







A
VF

Quiz nº2
30 de Marzo 2000
20 1 1413 15 16 17 34
10.50010.000 xxxx9.000 9.500
El segundo subflujo es un gradiente:
10 2 3 4 21
 
 
 
   
 21
2121
21
21
21
34 01,1
01,1
21
01,001,1
101,1
04,0
500
01,001,1
101,1
9000 





























B
VF
448,112.32134 B
VF

Quiz nº2
30 de Marzo 2000
279.474448,112.321541,166.153343434  BA
VFVFVF
Finalmente:
El procedimiento usado no
es el único!!!
Resuelva el problema
usando otro método

Quiz nº3
4 de Mayo 2000
Usted conoce la siguiente información
El IPC de enero del 2000 fue del 102,49 y el de febrero
del 2000 fue de 103,06.
El interés a los depósitos en UF en el mismo período
fue de 0,5% mensual.
Se supone que estas tendencias se mantendrán durante
los próximos 7 meses.
Si Usted deposita “hoy” 1 de marzo del 2000 una
cantidad de $500.000 en una cuenta de ahorros de pesos;
y además de 10 UF en una cuenta de ahorros de UF,
¿Cuánto dinero tendrá al cabo de los 7 meses?
Nota: La UF el 1 de marzo del 2000 vale $15.143

Quiz nº3
4 de Mayo 2000
Solución:
%556,0
49,102
49,10206,103


f
Primero calculemos la tasa de inflación:
Como tenemos que la tasa de interés (i=0,5%
mensual), podemos calcular la tasa de interés
inflada:
%059,1
100
556,0
100
556,0
100
5,0
100
5,0
 ffiiif

Quiz nº3
4 de Mayo 2000
Ahora podemos calcular el valor futuro del depósito de la
cuenta de ahorros de pesos:
    264.538$01059,1000.5001
77$
7  fiVPVF
La cantidad de UF que existirá en la cuenta de
ahorros se calcula fácilmente:
    UF35529,10005,1101
77
7  iVPVFUF

Quiz nº3
4 de Mayo 2000
Para calcular la cantidad de dinero que tendrá a cabo de
los siete meses, debemos calcular el valor de la UF al
final de dicho período:
    15742$00556,1143.151
77$aUF
7  fVPVF
277.701$1574235529,105382647 VF
Finalmente:

Quiz nº1
7 de Agosto 2000
Usted desea realizar dos depósitos iguales, el primero de
los cuales lo efectuará dentro de dos años y el segundo
dentro de 5 años. Además quiere hacer 4 retiros anuales
iguales de $10.000 cada uno a contar de un año después
de haber hecho el segundo depósito. Por último desea
retirar $35.000 un año después de que la serie de retiros
termine. Se le pide que determine el monto de los
depósitos. Considere una tasa de interés de un 6%
semestral capitalizada trimestralmente.

Quiz nº1
7 de Agosto 2000
1 2 3 4 5
0 6 7 8 9 10
X X
10.000 35.000
is = 6% semestral capit. trimestral is = itri* 2
itri= 0,03 (3%)
(itri + 1)4 = (iA + 1) iA = 0,12550881
iA = 12,55088 %
Solución:

Quiz nº1
7 de Agosto 2000
El Valor Presente de los retiros debe ser igual al de los
depósitos:
VPretiros = VPdepósitos
5
4
4
10
12550881,1
1255088,0*12550881,1
)112550881,1(
*10000
12550881,1
35000


Entonces calculamos el VP de los retiros:
288,353.27
12550881,1
43,024.30
489,729.10 5


Quiz nº1
7 de Agosto 2000
Ahora, igualamos el VP de los depósitos al de los retiros:
288,353.27
12550881,112550881,1 52

XX
Así obtenemos el valor de los depósitos:
08139,403.49*425760887,2 X
0145,366.20X

Quiz nº1
2 de Julio 1998
1.- Un amigo suyo le cuenta que ha hecho un
depósito de $ 1.000.000 en un Banco que, según él,
le ofrece una tasa de interés de 12% anual. Al final
del primer mes revisa su estado de cuenta y
encuentra que los intereses recibidos en ese período
son de $ 9.489. ¿Cómo usted explica y demuestra a
su amigo lo que ha pasado, para que no vaya al
Banco a pedir que le expliquen lo que usted ya sabe?
40 puntos

Quiz nº1
2 de Julio 1998
Solución:
000.000.1VP
009488793,0)1()1( 12
 mmA iii
489.009.1)1(* 1
 iVPVF
489.9$VF

Quiz nº1
2 de Julio 1998
Ahora:
01,0mi
000.010.1)1(* 1
 iVPVF
12*mA ii 
000.10$VF

Quiz nº1
2 de Julio 1998
2.- Una familia decide comprar a crédito un auto
nuevo. El plan de pagos exige un pago inicial de US$
1.000 ahora (año 0), US$ 2.000 en el año 3 y cuatro
pagos anuales de US$ 500 cada uno desde el año 3
hasta el año 6, además de un pago final de US$ 1.000
en el año 8. La tasa de interés es de 13% anual
capitalizada trimestralmente. ¿Cuál es el valor del auto
hoy?
60 puntos

Quiz nº1
2 de Julio 1998
Solución:
0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.000 1.000
2.000
500 500 500 500
Calculemos la tasa anual efectiva:
%13A
i Capit. Trimestral 4*triA
ii 
0325,0tri
i 136476,0A
i (efectiva)

Quiz nº1
2 de Julio 1998
Ahora, calculemos el VP del auto:
2
4
4
83
)136476,1(
1136476,1
136476,0*136476,1
500
)136476,1(
000.1
)136476,1(
000.2
000.1







VP
16,136.135,35954,362.1000.1 
858.3$VP

Quiz nº4
25 de Septiembre 1998
Los datos de las máquinas X e Y se muestran a
continuación. Si la tasa de interés es de 12% anual
capitalizada trimestralmente, ¿qué máquina se debe
seleccionar con base en un análisis del costo anual
uniforme equivalente?
Máquina X Máquina Y
Costo Inicial 25.000 55.000
Costo anual de operación 8.000 6.000
Incremento anual en el costo de op. 5% 3%
Valor de salvamento 12.000 9.000
Vida (años) 5 10

Quiz nº4
Solución:
%12Ai Capit. Trim. 4*trimA ii 
%3trim
i 1)1( 4
 trimA ii
12550881,0A
i (Tasa anual efectiva)
Primero, calculemos la tasa anual efectiva:

Quiz nº4
Cálculo del CAUE por máquina:
Máquina X:










 1
)1(
)1(
* 5
5
i
E
iE
D
VPGE








 1
12550881,1
05,1
*
12550881,005,0
000.8
5
5
GE
VP
  22,080.3129335384,0*9,947.105 

Quiz nº4
11,436.49
12550881,1
000.12
22,080.31000.25 5
X
VP
1)12550881,1(
12550881,0*)12550881,1(
*11,436.49 5
5

X
CAUE
7.901.13X
CAUE

Quiz nº4
Máquina Y:








 1
26203779,3
343916,1
*
12550881,003,0
000.6
GE
VP
  84,939.3614119866,0*43,821.62 
988,180.890116,579.284,939.36000.55 Y
VP

Quiz nº4
193,141.16
26203779,2
12550881,0*26203779,3
*988,180.89 Y
CAUE
193,141.16Y
CAUE
Entonces, como el CAUEX es menor que el CAUEY, la
máquina a elegir será la X.

Quiz nº2
27 de Octubre 1999 (ICIPEV)
Aprovechando las bajas tasas de interés que presenta el mercado
financiero actualmente usted ha decidido endeudarse por $ 8.000.000
para hacer los arreglos que siempre ha soñado hacer a su casa. Sin
embargo, ningún banco quiere prestarle el total establecido, así que
usted ha decidido pedir a dos bancos al mismo tiempo. En el Banco 1
se pacta un préstamo a 5 años donde usted debe pagar una cantidad P
el primer mes y a partir del segundo mes hasta el 60º debe aumentar en
$ 5.000 cada pago. La tasa de interés que le aplica este banco es de
0,8% mensual. En el Banco 2 usted también debe pagar la misma
cantidad P el primer mes, y desde el 2º mes en adelante debe aumentar
sus pagos en 0,5% hasta el mes 60º. La tasa de interés en este banco
es de un 1% mensual.
Se le pide que calcule el monto que debe pedir en cada uno de los
bancos, y el monto del pago del último mes en cada uno de ellos.

Quiz nº2
000.000.8VP
Solución:













 
 6060
60
60
50
1
008,1
60
008,0*008,1
1008,1
*
008,0
000.5
008,0*008,1
1)008,1(
*PVP
)19797719,375,47(*000.62550421418,47*1  PVP
PVP *50421418,47398.441.61 

Quiz nº2
































 1
100
1
1
100
5,0
1
*
100
1
100
5,02
P
VP
P
P
VP *50518988,51)2575259494,0(*
005,0
2



Entonces, igualando tenemos:
P*00940406,99398.441.6000.000.8 
95921,741.15P

Quiz nº2
Finalmente tenemos los montos a pedir y el valor
del último mes:
793.810
207.189.7
2
1


VP
VP
128.21
742.310
60
60


P
P

Quiz nº1
30 de Agosto 1999
Usted desea ir a Cancún en Febrero del 2000 una
semana, para lo cual ha estimado que el costo será de $
600.000 todo incluido. Para lograr el objetivo decide
abrir una cuenta de ahorro en agosto con $ 25.000, la
cual le aplica un interés del 10% anual con
capitalización mensual. En diciembre usted espera que
le regalen $ 50.000 por concepto de pascua y año
nuevo. ¿Cuánto debe depositar cada mes a partir de
septiembre hasta febrero para poder juntar la plata?

Quiz nº1
30 de Agosto 1999
Solución:
0083333,0%83333,0
12
%10
Mi
(Tasa mensual efectiva)
ago sep oct nov dic ene feb
1 2 3 4 5 6
25.000
P P P P P P
50.000
600.000

Quiz nº1
30 de Agosto 1999
26
)0083333,1(*000.50)0083333,1(*000.25000.600 VF
8022,836.5033278,276.26000.600 VF
865,886.522VF
Ahora:
1)1(
* 6


i
i
VFPMT
83819,349.85
10083333,1
0083333,0
*887.522 6



350.85PMT

Quiz nº2
El día 1º de Enero del 2000 su Padre desea hacer uso de los
ahorros que durante sus años de trabajo ha acumulado en una
cuenta de ahorros. El saldo a la fecha será de $ 20 millones,
con esta cantidad, él pretende poder retirar $ X cada trimestre
durante los próximos dos años, comenzando el 1º de Abril del
2000, pero desea aumentar en $ 100.000 cada retiro a contar
del segundo.
La tasa de interés vigente de la cuenta para el período del 1º
de Enero del 2000 hasta el 31 de Diciembre del 2000 será del
1% efectivo mensual; y del 1º de Enero del 2001 hasta el 31
de Diciembre del 2001 será del 2% efectivo mensual.
Determine la cuantía del primer y el último retiro.

Quiz nº2
Solución:
Primero, las tasas efectivas trimestrales:
061208,0%2
030301,0%1


TRIM
TRIM
ii
ii
0 1 2 3 4 5 6 7 8
X X+100 X+200 X+300 X+400 X+500 X+600 X+700

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