Resolución de problemas geométricos

UNIVERSIDAD LATINA DE PANAMÁ SEDE DAVID, CHIRIQUÍ
PROGRAMA DE MAESTRÍA EN MATEMÁTICA EDUCATIVA
CURSO PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO MDM 004
DOCENTE RESPONSABLE MSc. RONALD L. GUERRA M.
Portafolio Digital Resolución de problemas tipo olímpicos GRUPO “Nº 2”
PARTICIPANTES:
JESSICA CORELLA CÉDULA 4 – 725 - 1979
NILKA SOLIS CÉDULA 4 – 701 - 2387
MARLENY VARGAS CÉDULA 4 – 231 – 809

ÍNDICE
Objetivo específico
Pensamiento
Misión de la Universidad Latina
Visión de la Universidad Latina
Introducción
Marco Teórico
Problemas Olímpicos
Conclusión
Bibliografía
Fin

Marco Teórico
• Altura
• Axioma de Semirrectas
• Baricentro
• Bisectriz
• Ceviana
• Ceviana isogonal
• Circuncentro
• Circunferencia de 9 puntos
• Colinealidad
• Concurrencia
• Criterio 1 de Ceviana
• Criterio de Semejanza de triángulos.
• Distancia entre dos puntos
• Excentro
• Homotecia
• Incentro
• Mediana
• Mediatriz
• Ortocentro
• Potencia
• Proyección ortogonal
• Puntos colineales
• Recta de Euler
• Semirrecta
• Teorema de Ceva
• Teorema de Menelao
• Teorema de Stewart
• Triángulo
• Triángulo Órtico

Problemas Olímpicos Geometría II
Puntos y rectas notables del triángulo
P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7
La ley de los senos
P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6
Cevianas y el teorema de Ceva
P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6
La recta de Euler
P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7
P8, P9, P10, P11, P12, P13
La recta de los nueve puntos.
P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7
Cuadriláteros
P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7
Colinealidad
P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6
Concurrencia
P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7, P 8

Introducción:
Las Olimpiadas internacionales de matemáticas es una competencia anual para
estudiantes preuniversitarios, es la competencia más antigua en cuanto a Olimpiadas de
ciencias se refiere, la primera se celebró en Rumania en 1959. El año pasado Panamá
participó ganando 10 medallas y 16 menciones honoríficas, dentro de las 10 medallas 1
fue de oro ganada por Leonardo Marciaga, adquirido en la XXVI Olimpiada de Mayo,
un torneo a distancia organizado en Argentina. Al leer este portafolio podrás disfrutar de
problemas olímpicos referentes a Geometría II, trataremos temas como: Puntos y rectas
notables del triángulo. La ley de los senos. Cevianas y el teorema de Ceva. La recta de
Euler. La recta de los nueve puntos. Cuadriláteros entre otros. Esperamos que este
documento sirva de referencia a quienes se dedican a formar mentes matemáticas
olímpicas.

Objetivo Específico:
Diseñar un portafolio digital utilizando el software Power Point, dirigido
a los instructores olímpicos del programa de Maestría en Matemática
Educativa de la Universidad Latina, sede David, 2019.

Misión
“Formar profesionales competitivos con el respaldo de un equipo
humano comprometido con la excelencia, principios y valores sociales
que se sustentan en los avances tecnológicos e infraestructura, con la
creación e impulso de un espacio de educación, investigación,
integración, innovación y extensión que impulse la motivación y el deseo
continuo de superación, como premisa de la inserción al mercado
laboral.”

Visión
“Ser referente de la Educación Superior, para los jóvenes egresados de la
media y los profesionales emprendedores, por ser el aliado en la
ejecución de sus planes de vida y por operar con base en un enfoque
humanista, innovador y con equidad ambiental y social, en armonía con
el mejoramiento continuo y la tecnología, en un entorno de competencia
profesional de excelencia.”

MARCO TEÓRICO
A continuación presentaremos las diferentes definiciones o teoremas que
nos permitirán desarrollar los problemas sobre cevianas, colinealidad y
concurrencia.
Criterios de semejanzas de triángulos:
Criterio1: Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Criterio2: Dos triángulos son semejantes si tienen lados proporcionales.
Criterio3: Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados
proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.
Ceviana: es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con
el lado opuesto a este. También se la conoce como transversal angular. Se
puede decir que la mediana, la altura y la bisectriz son cevianas o rectas
notables de un triángulo.

MARCO TEÓRICO
Criterios para trazos de la cevianas:
Criterio 1: Si en un triángulo hay dos ángulos internos en relación 1:2 se
traza una ceviana interior tal que se forme un triángulo isósceles con el
ángulo mayor.
O puede trazar una ceviana exterior formando un triángulo isósceles con
el ángulo menor.

MARCO TEÓRICO
Criterio 2: Si en un triángulo se traza una bisectriz a uno de sus ángulos
internos podemos completar a un triángulo isósceles. Donde la bisectriz
se convierte en la mediatriz de dicho triángulo.

MARCO TEÓRICO
Criterio 3: Si en un triángulo se observa un ángulo de 30° lo más
recomendable es que a través de cevianas se construya un triángulo
equilátero.

MARCO TEÓRICO
Mediana: Es la recta que une un vértice con el punto medio del lado
opuesto.
Ceviana isogonal: dos cevianas por un mismo vértice se denominan isogonales
respecto a los lados del triángulo; cuando forman ángulos iguales con los lados;
es decir, cuando son simétricas respecto a la bisectriz por ese vértice.

MARCO TEÓRICO
Bisectriz: es la semirrecta interior de un ángulo que lo divide en dos
ángulos iguales. Puede ser bisectriz interior si se refiere a un ángulo
interno del triángulo o bisectriz exterior si se refiere a un ángulo externo
del triángulo.
Mediatriz: la mediatriz de un segmento es la línea recta perpendicular a
dicho segmento trazada por su punto medio. Es el lugar geométrico (la
recta) cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.
Potencia: la Potencia de un punto P respecto a una circunferencia 𝜑 es el
producto 𝑃𝐴 ∙ 𝑃𝐵, donde A y B son los puntos de corte de una secante a
𝜑 que pasa por P.

MARCO TEÓRICO
La recta de Euler: es la recta trazada en un triángulo y en ella se encuentran el
Ortocentro, Baricentro y Circuncentro.
Ortocentro: punto de intersección de las alturas.
Altura: segmento perpendicular a un lado del triángulo trazado desde el vértice
opuesto.
Baricentro: punto de intersección de las medianas.
Circuncentro: punto de intersección de las mediatrices.
Incentro: Intersección de las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo.

MARCO TEÓRICO
Circunferencia de los nueve puntos: se conoce como circunferencia de
los nueve puntos a aquella que se puede construir con puntos vinculados
a cualquier triángulo propuesto. Su nombre deriva del hecho que la
circunferencia pasa por nueve puntos notables, seis de ellos sobre el
mismo triángulo (salvo que el triángulo sea obtusángulo). Estos puntos
son: los puntos medios de los tres lados del triángulo, los pies de las
alturas de tal triángulo, los puntos medios de los segmentos que unen los
tres vértices con el ortocentro del triángulo.

MARCO TEÓRICO
Colinealidad: en geometría, la colinealidad es la propiedad según la cual
un conjunto de puntos está situado sobre la misma línea recta.
Puntos colineales: son los puntos que se sitúan en la misma recta.
Distancia entre dos puntos: Dado los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) la
distancia entre ellos está dada por la siguiente fórmula:
𝑑 = 𝑥2 − 𝑥1
2 + 𝑦2 − 𝑦 2

MARCO TEÓRICO
Un triángulo, en geometría, es la unión de tres segmentos que determinan
tres puntos, no colineales, del plano. Cada punto dado pertenece a dos
segmentos exactamente. Los puntos comunes a cada par de segmentos se
denominan vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados
son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los
ángulos interiores del triángulo.
Un triángulo es una figura estrictamente convexa y tiene 3 ángulos
interiores, 3 ángulos exteriores, 3 lados y 3 vértices entre otros
elementos.

MARCO TEÓRICO
Una homotecia: es una transformación afín que, a partir de un punto
fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor. En general una
homotecia de razón diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado
centro.
Se puede considerar a la homotecia una homología particular de eje
impropio, con centro en el de homología.

MARCO TEÓRICO
Triángulo órtico: Si ABC es un triángulo acutángulo, se llama triángulo
órtico de ABC al triángulo que tiene sus vértices en los pies de las alturas
de ABC (en la figura los hemos denotado con A’, B’ y C’).

MARCO TEÓRICO
Concurrencia: dado un conjunto de puntos colineales, aplicando el principio de
dualidad se obtiene un conjunto de rectas que se encuentran en un punto
común. La propiedad que tiene este conjunto de rectas (su reunión en un punto
común) se llama concurrencia, y se dice son rectas concurrentes. Por lo tanto, la
concurrencia es la noción dual plana de colinealidad.
Semirrecta:
Sean O y A dos puntos distintos. Se llama semirrecta OA de origen O a la
figura formada por los puntos que están en el segmento OA o en su
prolongación. También se dice que la semirrecta OA parte de O y pasa por A.
Las semirrectas OA y OB se dicen opuestas si el origen común O está entre los
puntos A y B.
Axioma de semirrecta. A cada punto de una recta m se le asigna un único
número real, llamado su coordenada, tal que a puntos distintos se le asignan
coordenadas distintas y cada número real es la coordenada de un único punto de
m. Si A(a) y B(b) son dos puntos de la recta m, entonces a < b si y sólo si el
punto B está A B m 3 más cerca de la flecha de m que el punto A, y la distancia
de A a B está dada por AB = 𝑏 – 𝑎 donde las rayas verticales indican valor
absoluto.

MARCO TEÓRICO
Excentro: es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores, con
la bisectriz del tercer ángulo del triángulo. En todo triángulo se puede
determinar tres excentros, uno relativo a cada lado. El excentro es
siempre, un punto exterior al triángulo.
Proyección ortogonal: es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son
perpendiculares al plano de proyección. Así, dado un segmento AB,
bastará proyectar los puntos "extremos" del segmento mediante líneas
proyectantes auxiliares perpendiculares a L, para determinar la
proyección sobre la recta L.

MARCO TEÓRICO
Teorema de Stewart:
Dado un triángulo ABC, y un punto D entre B y C, se cumple que:
𝐴𝐷2 ∙ 𝑎 = 𝑏2 ∙ 𝐵𝐷 + 𝑐2 ∙ 𝐷𝐶 − 𝐵𝐷 ∙ 𝐷𝐶 ∙ 𝑎.

MARCO TEÓRICO
Teorema de Menelao:
Dado un triángulo ABC, sean D, E y F puntos sobre los lados (o sus
prolongaciones) BC, CA y AB, respectivamente. Entonces los puntos D,
E y F son colineales si y solo sí:
𝐴𝐹
𝐹𝐵
∙
𝐵𝐷
𝐷𝐶
∙
𝐶𝐸
𝐸𝐴
= 1
Si en la relación anterior usamos segmentos dirigidos, obtendremos que:
𝐴𝐹
𝐹𝐵
∙
𝐵𝐷
𝐷𝐶
∙
𝐶𝐸
𝐸𝐴
= −1

MARCO TEÓRICO
Teorema de Ceva:
prolongaciones) BC, CA y AB, respectivamente. Entonces las rectas AD,
BE y CF son concurrentes si y solo sí:
𝐴𝐹
𝐹𝐵
∙
𝐵𝐷
𝐷𝐶
∙
𝐶𝐸
𝐸𝐴
= 1.

Las longitudes de los lados del triángulo PQR son:
PQ = 2, QR = 3, RP = 4 las bisectrices de los
ángulos P y Q se intersecan en el punto I. ¿Cuál es la
razón entre en área del triángulo PIQ y PQR?
Problema 1
Puntos y Rectas Notables en el Triángulo

NECESITO SABER:
• Definición de Bisectriz
• Definición de Incentro

En la figura, determinar los ángulos α y ß
suponiendo que el área del triángulo BDC es
la cuarta parte del área del triángulo BCA.
Problema 2

NECESITO SABER:
• Definición de Altura

Considérese un triángulo ABC en el que la longitud de AB es 5, las
medianas por A y B son perpendiculares entre sí y el área es 18. Hallar las
longitudes de los lados BC y AC.
Problema 3

NECESITO SABER:
• Definición de mediana
• Teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras nos indica que la
suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es
igual al cuadrado de la hipotenusa.

Considere el triángulo rectángulo ABC con BC = 3, AB = 4
y CA = 5. Biseque el ángulo C y llame O al punto de
intersección de esta bisectriz con el cateto AB. Después
trace el círculo con centro en O y radio OB. Si PQ es el
diámetro que coincide con la bisectriz, muestre que CP/PQ
es la razón áurea
Problema 4

NECESITO SABER:
• Definición de bisectriz

Sea ABC un triángulo. Sean P, Q y R
(respectivamente) los puntos medios de los lados
AB, BC y AC. Sea S el punto de intersección entre
el lado AB (o su prolongación) y la bisectriz del
ángulo PRQ. Demostrar que el triángulo PRS es
isósceles.
Problema 5

NECESITO SABER:
• Definición de triángulo isósceles
• Definición de rectas paralelas

El ángulo A del triángulo isósceles ABC mide 2/5 de recto, siendo iguales
sus ángulos B y C. La bisectriz de su ángulo C corta al lado opuesto en D.
Calcular las medidas de los ángulos del triángulo BCD. Expresar la medida
a del lado BC en función de la medida b del lado AC, sin que en la
expresión aparezcan razones trigonométricas.
Problema 6

Sea G el centroide de un triángulo △ABC, y sean M, N y P
los centroides de los triángulos △BGC, △CGA y △AGB,
respectivamente. Demuestra que el triángulo △MNP es
semejante al triángulo △ABC.
Problema 7

NECESITO SABER:
• Definición de rectas paralelas: Dos o más rectas en un plano nunca
se cortan.

Si en un triángulo conocemos la longitud de un lado y la altura
trazada hacia éste, es bien sabido que podemos calcular su área
simplemente multiplicando ambas magnitudes y después
dividiendo entre dos. Sin embargo, existen otras fórmulas para
calcular el área, las cuales en muchas ocasiones resultan más
útiles, por ejemplo:
En el triángulo △ABC, sabemos que AB = c, BC = a y ∡ABC =
α. Entonces, demuestre lo siguiente:
Problema 1
LEY DEL SENO

NECESITO SABER:
• Definición de altura
• Teorema de Pitágoras: El teorema de Pitágoras nos indica que la suma de
los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado
de la hipotenusa.
• ℎ2
= 𝑐2
+ 𝐶2
• Teorema del seno: Los lados de un triángulo son directamente
proporcionales al seno de los ángulos opuestos:
•
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝜶
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝜷
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝜸

Sean A,B,C,D los vértices de un cuadrilátero convexo y J,L,M,M los
puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero.
Demostrar que las diagonales AC y BD del cuadrilátero y las cuerdas
JM y LN son concurrentes.
Problema 2
LEY DEL SENO

NECESITO SABER:
• Teorema del Seno: Los lados de un triángulo son directamente proporcionales al seno de
los ángulos opuestos:
•
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝜶
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝜷
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝜸
Área del triángulo=
𝒃𝒂𝒔𝒆×𝒂𝒍𝒕𝒖𝒓𝒂
𝟐
• Tangente de un círculo: Una tangente es una recta que pasa por sólo un punto de la
circunferencia.
• Circunferencia Inscrita en cuadrilátero:
• Cuerda: Dados dos puntos en la circunferencia de un círculo, el segmento de recta que
los une es llamado cuerda. Una cuerda que pasa por el centro del círculo se llama
diámetro. Un segmento desde el centro del círculo hasta la circunferencia, esto es, la
mitad de un diámetro se llama radio.
• Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento cuyos extremos son dos vértices no
consecutivos

En el triángulo sea P un punto en la recta BC.
Entonces, demuestre que:
Problema 3
LEY DEL SENO

NECESITO SABER:
• Teorema del Seno: Los lados de un triángulo son directamente
•
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝜶
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝜷
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝜸

Demuestre que los pares adyacentes de las trisectrices de
los ángulos de un triángulo siempre se encuentran en los
vértices de un triángulo equilátero.
Problema 4
LEY DEL SENO

NECESITO SABER:
• Teorema del Seno: Los lados de un triángulo son directamente
•
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝜶
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝜷
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝜸
• Triángulo Equilátero: triángulo con los tres lados iguales, por lo que
los ángulos también son iguales y miden 60º.
• Teorema del Coseno: Dado un triángulo ABC, siendo α, β y γ los
ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
• 𝑥2 = 𝑥2 + 𝑥2 − 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾

En el triángulo ABC , póngase a=BC, que b=AC y
c=AB. Sea R el radio del círculo circunscrito al
triángulo ABC. Demuestre que
Problema 5
LEY DEL SENO

NECESITO SABER:
• Teorema del Seno: Los lados de un triángulo son directamente proporcionales al seno de los
ángulos opuestos:
•
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝜶
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝜷
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝜸
• Triángulo Equilátero: triángulo con los tres lados iguales, por lo que los ángulos también son
iguales y miden 60º.
• Teorema del Coseno: Dado un triángulo ABC, siendo α, β y γ los ángulos, y a, b, c, los lados
respectivamente opuestos a estos ángulos,
• 𝑥2
= 𝑥2
+ 𝑥2
− 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾
• Cuadriláteros
• Los cuadriláteros son polígonos que tiene cuatro lados. Estas ﬁguras geométricas tienen distintas
formas, pero todas tienen: cuatro lados, cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y dos diagonales.
Además, la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
• Arco: Dos puntos A y B en la circunferencia de un círculo dividen al círculo en dos partes,
llamadas arcos, denotado por 𝐴𝐵.
• Ángulos suplementarios: La suma de esos ángulos da 180º.
• Ángulos opuestos por el vértice: Cada para de ángulos opuestos cuando dos rectas se intersecan.
Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.

En el triángulo ABC, se observan las siguientes relaciones:
Demuestre que esto es así para los casos cuando el ángulo B es
obtuso y cuando el ángulo B es agudo.
Problema 6
LEY DEL SENO

Problema 1 Cevianas
Teorema de Ceva:
prolongaciones) BC, CA y AB, respectivamente. Entonces las rectas AD,
BE y CF son concurrentes si y solo sí:
𝐴𝐹
𝐹𝐵
∙
𝐵𝐷
𝐷𝐶
∙
𝐶𝐸
𝐸𝐴
= 1.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• La razón entre las áreas de los triángulos y sus
bases.
• Proporciones

Problema 2 Cevianas
Las medianas de un triángulo son concurrentes.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y
dos ángulos iguales.
• La suma de los ángulos internos de un triángulo es
igual 180°
• Criterio 2 de las cevianas

Problema 3 Cevianas
Las medianas de un triángulo son concurrentes.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de Cevianas isogonales
• Los ángulos inscritos en un mismo arco son
iguales.
• Criterios de semejanza de triángulos.

Problema 4 Cevianas
Calcule x
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de Mediana
• Teorema de Ceva

Problema 5 Cevianas
Calcule ∝ en la figura
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Ángulo recto.
• La suma de los ángulos internos de un triángulo es
igual 180°

Problema 6 Cevianas
Calcule x
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de triángulo isósceles
• Suma de ángulos interiores de un triángulo

En el dibujo que presentamos ABC es un triángulo
rectángulo. BD es la bisectriz del ángulo ABC. Según estos
datos y los datos del dibujo, 𝐴𝐷 =?
Problema N° 1 Recta de Euler ¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de triángulo
• Triángulo isósceles

Problema N° 2 Recta de Euler
Considérese un triángulo ABC en el que la longitud de AB es
5, las medianas por A y B son perpendiculares entre sí y el
área es 18. Hallar las longitudes de los lados BC y AC.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de medianas
• Teorema de Pitágoras

El Teorema de Euler se usa para el cálculo de la distancia entre el incentro y el
circuncentro.
Teorema. 𝑆𝑒𝑎 𝑑 = 10. 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑑2 = 𝑅2 − 2𝑅𝑟
dónde: R es el radio de la circunferencia circunscrita
r es el: radio de la circunferencia inscrita
debo
saber?

Debo saber…
• Triángulo isósceles
• Definición de incentro
• Definición de circunferencia circunscrita

debo
saber?
En el triángulo ABC, sea H el ortocentro. Demuestra que
las rectas de Euler de los triángulos AHB, BHC y CHA
concurren.

Debo saber…
• Definición de ortocentro
• Definición de altura
• Definición de recta de euler
• Definición de concurrencia
• Definición de Triángulo

debo
saber?
En un triángulo ABC, se determinan D como el punto
medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA.
Entonces AD y BE son medianas que se intersecan en
el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se
localiza el circuncentro O.

Debo saber…
• Definición de baricentro
• Criterios de semejanza de triángulos
• Definición de alturas

debo
saber?
En un triángulo llamaremos O al circuncentro, I al
incentro y r al radio de la circunferencia inscrita. Si la
mediatriz del segmento OI corta a la circunferencia
circunscrita en L, y LI vuelve a cortarla en M,
demuestra que 𝐼𝑀 = 2𝑟

Debo saber…
• Definición de circuncentro
• Radio de una circunferencia
• Circunferencia circunscrita
• Teorema de Euler

Demostrar que en todo triángulo, se cumple R ≥ 2r ,
siendo R el circunradio y r el inradio.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de circunferencia circunscrita
• Fórmula de Euler

debo
saber?
Demostrar que, en un triángulo, la distancia de un
vértice cualquiera al ortocentro es el doble de la
distancia del circuncentro al lado opuesto a ese vértice.

Debo saber…
• Definición de puntos medios
• Definición baricentro
• Definición de ortocentro

Sea O el circuncentro de un triángulo ABC. La bisectriz que
parte de A corta al lado opuesto en P. Probar que se cumple:
𝐴𝑃2 + 𝑂𝐴2 − 𝑂𝑃2 = 𝑏𝑐
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Criterios de semejanzas
• Ángulos inscritos en el mismo arco
• Potencia de un punto P

¿Qué
debo
saber?
Sea P un punto cualquiera de la bisectriz del ángulo A
en el triángulo ABC, y sean A’, B’, C’ puntos
respectivos de las rectas BC, CA, AB, tales que PA’ es
perpendicular a BC, PB’ es perpendicular a CA y PC’
es perpendicular a AB. Demuestra que PA’ y B’C’ se
cortan sobre la mediana AM, siendo M el punto medio
de BC.

Debo saber…
• Definición de homotecia

En el triángulo acutángulo ABC, AD y BE son alturas, y
AP, BQ bisectrices interiores. Si I, O son,
respectivamente, el incentro y el circuncentro de ABC,
demostrar que D, E, I están alineados si y sólo si P, Q,
O están alineados.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Coordenadas baricéntricas

¿Qué
debo
saber?
Sea H el ortocentro, O el circuncentro y R el
circunradio del △ABC. Sea D la reflexión de A
a través de la recta BC, E la reflexión de B a
través de CA y F aquella de C a través de AB.
Demuéstrese que D, E y F son colineales si y sólo
si OH = 2R.

Debo saber…
• Rectas perpendiculares
• Colinealidad
• Circuncírculo

¿Qué
debo
saber?
Teorema de Euler
Sea ABC un triángulo. Pruebe que 𝑂𝐼2
= 𝑅2
− 2𝑅𝑟

Debo saber…
• Definición de triángulo equilátero
• Triángulo rectángulo
• Potencia de un punto
• Criterios de semejanzas de triángulos

Problema N° 1 Circunferencia de los nueve puntos
¿Qué
debo
saber?Con el centro en el incentro 𝐼 de un triángulo 𝐴𝐵𝐶 se traza una
circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres
lados del triángulo: al segmento 𝐵𝐶 𝑒𝑛 𝐷 𝑦 𝑃 ( siendo 𝐷 el mas
cercano a 𝐵); al segmento 𝐶𝐴 𝑒𝑛 𝐸 𝑦 𝑄 (siendo 𝐸 el más
cercano a 𝐶), y al segmento 𝐴𝐵 𝑒𝑛 𝐹 𝑦 𝑅 (siendo 𝐹 el más
cercano a 𝐴. Sea 𝑆 el punto de intersección de las diagonales
del cuadrilátero 𝐸𝑄𝐹𝑅. Sea 𝑇 el punto de intersección de las
diagonales del cuadrilátero 𝐹𝑅𝐷𝑃. Sea 𝑈 el punto de
intersección de las diagonales del cuadrilátero 𝐷𝑃𝐸𝑄.
Demostrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos
𝐹𝑅𝑇, 𝐷𝑃𝑈 𝑦 𝐸𝑄𝑆 tienen un único punto común.

Debo saber…
• Circuncírculo
• Puntos concíclicos

¿Qué
debo
saber?Dos círculos 𝐶1 (con centro 𝑂1 y 𝐶2 (con centro 𝑂2) se
intersecan en los puntos A y , como en la figura. Al
extender la recta 𝑂1 𝐵, esta se interseca con 𝐶2 en E. Al
extender la recta 𝑂2 𝐵, esta se interseca con 𝐶1 en F. Se
construye una recta paralela a 𝐸𝐹 a través de 𝐵 cortando
a 𝐶1 en M y a 𝐶2 𝑒𝑛 𝑁. Demuéstrese que B es el incentro
del ∆𝐴𝐸𝐹 y que 𝑀𝑁 = 𝐴𝐸 + 𝐴𝐹.

Debo saber…
• Criterios de semejanza de triángulos
• Suma de ángulos internos de un triángulo

¿Qué
debo
saber?
Sea 𝐵𝐶 un diámetro del círculo 𝒞 con centro 𝑂. Sea A un
punto en 𝒞 tal que 𝐴𝑂𝐶 > 60°. Sea 𝐷 el punto medio del
arco 𝐴𝐵 que no contiene a 𝐶. La recta a través de 𝑂
paralela a 𝐷𝐴 interseca a 𝐴𝐶 en 𝐽. La mediatriz
perpendicular de 𝑂𝐴 interseca con 𝒞 en 𝐸 𝑦 𝐹. Demostrar
que 𝐽 es el incentro del ∆𝐶𝐸𝐹.

Debo saber…
• Definición de arco
• Rectas paralelas
• Teorema 888: Sea D un punto en el circuncírculo del
∆𝐴𝐵𝐶 tal que 𝐴𝐷 biseca al 𝐶𝐵𝐴. Un punto P en el
segmento 𝐴𝐷 es en el incentro del triángulo si y sólo si
𝐷𝐵 = 𝐷𝑃 ( o lo que es equivalente 𝐷𝐶 = 𝐷𝑃). En este caso,
D es el circuncentro del ∆𝐵𝑃𝐶.

¿Qué
debo
saber?
En el triángulo agudo 𝐴𝐵𝐷, 𝐶 > 𝐵, D es un punto en BC
tal que 𝐴𝐷𝐵 es obtuso. Sea H el ortocentro del ∆𝐴𝐵𝐷. El
punto F está en el interior del ∆𝐴𝐵𝐶 y en el
circuncírculo del ∆𝐴𝐵𝐷. Demuéstrese que F es el
ortocentro del ∆𝐴𝐵𝐶 si y sólo si 𝐻𝐷 𝐶𝐹 𝑦 𝐻 yace en el
circuncentro del ∆𝐴𝐵𝐶.

Debo saber…
• Definición de arco
• Teorema 887: Un punto P dentro del triángulo
agudo ABC es el ortocentro del triángulo si y sólo
si
• 𝐴𝑃 ⊥ 𝐵𝐶 𝑦
• 𝐶𝐴𝐵 + 𝐶𝑃𝐵 = 180°

¿Qué
debo
saber?
Pruebe que el simétrico del ortocentro de un triángulo
respecto a cualquiera de sus lados está en la circunferencia
circunscrita al triángulo.

Debo saber…
• Definición de Ortocentro
• Definición de arco de circunferencia circunscrita

¿Qué
debo
saber?Sea ABC un triángulo, I su incentro y K el punto donde la
bisectriz trazada desde A corta a la circunferencia
circunscrita. Pruebe que BK = CK = IK.

Debo saber…

¿Qué
debo
saber?
Sea S una circunferencia y AB un diámetro de ella. Sea t la
recta tangente a S en B y considere dos puntos C, D en t
tales que B esté entre C y D. Sean E y F las intersecciones
de S con AC y AD y sean G y H las intersecciones de S con
CF y DE. Demostrar que AH = AG.

Debo saber…
• Cuadrilátero cíclico
• Criterios de semejanzas de triángulos

¿Qué
debo
saber?
En ∆𝐴𝐵𝐶 sean 𝐴´, 𝐵´, 𝐶´ los puntos medios de
los lados opuestos a los vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶.

Debo saber…
• Definición de mediatriz
• Circuncentro

Considere un cuadrilátero cualquiera con área igual
a 5 y lados mayores o iguales a 2. Se tienen cuatro
circunferencias de radio 1, con centro en cada uno de
los vértices del cuadrilátero. Encontrar el área
sombreada de la figura. (La figura no está a escala).
Problema 1
CUADRILÁTEROS

NECESITO SABER:
• Los cuadriláteros son polígonos que tiene cuatro lados. Estas ﬁguras
geométricas tienen distintas formas, pero todas tienen: cuatro lados,
cuatro vértices, cuatro ángulos interiores y dos diagonales. Además, la
suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
• Básicamente, existen dos tipos de cuadriláteros: convexos y cóncavos.
•
• Área de la circunferencia: πr2

Sean F, G, H e I los puntos medios de los
lados AB, BC, CD y DA, respectivamente.
Demuestra que el cuadrilátero FGHI es un
paralelogramo.
Problema 2
CUADRILÁTEROS

NECESITO SABER:
• Definición de cuadriláteros
• Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento cuyos extremos son dos
vértices no consecutivos.
• Paralelogramo: Un paralelogramo es un cuadrilátero en el cual ambos
pares de lados son paralelos y se cumple lo siguiente:
• los ángulos opuestos son congruentes.
• los ángulos interiores adyacentes son suplementarios.
• los lados opuestos son congruentes.
• las diagonales se bisecan la una a la otra.
• Rectas paralelas: Dos o más rectas en un plano que nunca se cortan.

Sea ABCD un paralelogramo de área 10 cm2, con AB
= 3 cm y BC = 5 cm . Localizar E, F y G sobre los
segmentos AB, BC y AD respectivamente, de tal
manera que AE = BF = AG = 2cm .Sea H el punto
de intersección del segmento CD con la línea
paralela EF que pasa por G. Calcula el área del
cuadrilátero EFHG.
Problema 3
CUADRILÁTEROS

NECESITO SABER:
• Los cuadriláteros son polígonos que tiene cuatro lados. Estas ﬁguras
geométricas tienen distintas formas, pero todas tienen: cuatro lados, cuatro
vértices, cuatro ángulos interiores y dos diagonales. Además, la suma de los
ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
• Una diagonal de un cuadrilátero es un segmento cuyos extremos son dos
vértices no consecutivos.
• Definición de paralelogramo
• Área del triángulo
• Área del paralelogramo

En la figura se muestra un cuadrado de lado igual a
uno. Si el ∆CMN es un triángulo equilátero que se
traza en el interior del cuadrado como se especifica
en la figura, ¿cuánto vale el área de dicho triángulo?
Problema 4
CUADRILÁTEROS

NECESITO SABER:
• Definición de Triángulo Rectángulo
• Definición de Cuadrado
• Definición de Cuadriláteros
• Definición de Paralelogramos
• Área de un paralelogramo

Consideremos un cuadrilátero convexo ABCD y sea
P el punto de intersección de AC y BD. Si sabemos
que ∡BPC = α, entonces, demuestre que:
Problema 5
CUADRILÁTEROS

NECESITO SABER:
• CUADRILÁTEROS CONVEXOS
• Son aquellos tales que, si se toman dos puntos interiores A y B cualesquiera del
mismo, todos los puntos del segmento AB que determinan están dentro del
cuadrilátero. En particular todas las diagonales son interiores. En los cuadriláteros
convexos se cumple lo siguiente: 1. ABCD es un paralelogramo.
• 2. un par de lados opuestos son congruentes y paralelos.
• 3. Los ángulos interiores opuestos son congruentes.
• 4. Los lados opuestos son iguales.
• 5. Las diagonales se bisecan la una a la otra.
• Definición de rectas perpendiculares
• Definición de cuadriláteros
• Definición de cuadrados
• Definición de paralelogramos
• Área del paralelogramo

Sea ABCD un cuadrilátero cíclico, y sean AB
= a, BC = b, CD = c, DA = d y
Entonces demuestre que:
Problema 6
CUADRILÁTEROS

NECESITO SABER:
• Cuadrilátero Cíclico: Un cuadrilátero que está inscrito en una
circunferencia, es decir que sus vértices están sobre una circunferencia
se dice que es un cuadrilátero cíclico o inscriptible.
• Un cuadrilátero es inscriptible, sí y sólo si cada dos ángulos opuestos
son suplementario.
• Un cuadrilátero se llama circunscriptible si existe una circunferencia
tangente a sus cuatro lados.
• Un cuadrilátero es circunscriptible, sí y sólo si los pares de lados
opuestos suman igual.

Demuestre que la suma de los cuadrados de
las diagonales de un paralelogramo es igual a
la suma de los cuadrados de los lados.
Problema 7
CUADRILÁTEROS

NECESITO SABER:
• Definición de paralelogramo
• Definición de cuadrado
• Definición de diagonal

Problema 1 Colinealidad
En el cuadrilátero ABCD está inscrito un círculo, siendo K, L, N los
puntos de tangencia con los lados AB, BC, CD y DA, respectivamente.
Las rectas DA y CB se cortan en S, mientras que BA y CD se cortan en
P. Si S, K y M están alineados, probar que P, N y L lo están.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Teorema de Menelao
• Solución de expresiones algebraicas

Considere tres puntos colineales A, B y C y dos puntos D, E tales que
𝐴𝐷 y 𝐵𝐸 son perpendiculares a 𝐴𝐵. Analice las siguientes proposiciones:
i. Si B está entre A y C, entonces 𝐶𝐷 interseca a 𝐴𝐵
ii. Si C está entre A y B, entonces 𝐶𝐸 interseca a 𝐷𝐵 . De ellas son
siempre verdaderas:
a. Solamente ii, b. Solamente i, c. Ninguna, d. Ambas
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Rectas paralelas y perpendiculares
• Definición de puntos colineales

Demuestre que:
1. Si el punto P está entre los puntos A y B, entonces AP + PB = AB. AP
< AB y PB < AB
2. Si A, B, Q son tres puntos colineales, distintos y AQ + QB = AB,
entonces Q está entre A y B.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Comparación de segmentos
• Suma algebraica

Los tres puntos A, B, C están en una recta m y en ese mismo orden tales
que AB = 3 y BC = 6. Halle todos los puntos D, en la recta m, de modo
que entre los cuatro segmentos AB, BD, BC y CD haya exactamente dos
segmentos iguales.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Colinealidad
• Semirrecta
• Comparación de segmentos
• Distancia de dos puntos en la recta numérica
• Axioma de semirrecta

1. Dados dos puntos distintos A y B caracterice las coordenadas de los
puntos que están en la semirrecta AB.
2. Sean A (1) y B (–3) dos puntos. Halle las coordenadas de los puntos de
la semirrecta AB. Halle un punto en esa semirrecta que esté a la distancia
7 de A.
¿Qué
debo
saber?

Sean A, B, P puntos colineales tales que AP = 8 y BP = 14. ¿Será posible
decir qué punto está entre los otros dos?
¿Qué
debo
saber?

Problema 1 Concurrencia
Las mediatrices de los tres lados de un triángulo se intersecan en un
punto. El punto de concurrencia es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo y es llamado incentro. (Teorema)
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de Mediatriz

En el triángulo ABC, sea P el punto de concurrencias de las cevianas
AA’, BB’ y CC’ (con A’∈ BC, B’∈CA y C’∈AB), y sea M un punto del
plano del triángulo. Demostrar que:
𝐵𝑃𝐶 𝑀𝐴2+ 𝐶𝑃𝐴 𝑀𝐵2+ 𝐴𝑃𝐵 𝑀𝐶2
𝐴𝐵𝐶
= 𝑀𝑃2 + 𝑟(𝑃), donde 𝑟(𝑃) es la potencia
de P respecto al círculo circunscrito a ABC y [ ] representa el área del
triángulo.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de Ceviana
• Definición de Potencia
• Circulo circunscrito: Círculo que pasa por los tres
vértices de un triángulo dado. Su centro se llama
circuncentro.
• Triángulos semejantes (razón entre sus áreas)

Sean A,B,C,D los vértices de un cuadrilátero convexo; J, L, M, N los
puntos de tangencia de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero.
Demostrar que las diagonales AC y BD del cuadrilátero y las cuerdas JM
y LN son concurrentes.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de recta tangente: es la recta
perpendicular al radio OT que pasa por el punto T.
• Ley de senos: es la relación entre los lados y
ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos)
• Ángulos suplementarios: La suma de ellos es
igual a 180°
• Ángulos opuestos por el vértice.

Sean 𝜑1 y 𝜑2 dos circunferencias de centros 𝑂1 y 𝑂2 tangentes
exteriormente en A, e interiormente a una tercera circunferencia con
centro en O en los puntos 𝐴1 y 𝐴2 respectivamente. Demuestra que las
líneas OA, 𝑂1 𝐴2 y 𝑂2 𝐴1concurren.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Circunferencias tangentes
• Razones entre radios
• Teorema de Ceva

Las mediatrices de los lados de un triángulo son concurrentes.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Concurrencia
• Rectas paralelas: son las que por más que se
prolonguen nunca se cortan

Las alturas de un triángulo son concurrentes.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de Altura
• Rectas paralelas: rectas que por más que se
prolonguen nunca se cortan.
• Paralelogramo: es un cuadrilátero cuyo pares de
lados opuestos son paralelos e iguales dos a dos.
• Punto medio de un segmento: es el punto que se
encuentra a la misma distancia de cualquiera otros
dos puntos o extremos de un segmento.

Las bisectrices internas de un triángulo son concurrentes.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Definición de Bisectriz
• Colinealidad

Sea l una recta que no interseca a los lados del triángulo ABC. Sean D,
E, y F los pie perpendiculares desde A, B y C respectivamente a l. Sean
P, Q y R los pie perpendiculares de D, E y F a las rectas BC, AC y AB,
respectivamente. Prueba que DP, EQ y FR son concurrentes.
¿Qué
debo
saber?

Debo saber…
• Concurrencia
• Semejanza de triángulos
• Cuadrilátero cíclico: es aquel, cuyos cuatro vértices se
encuentran en una misma circunferencia, de modo que
son concíclicos. Sus parejas de ángulos opuestos suman
180°.
• Teorema de Thales: Dado un triángulo ABC, si se traza
un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados
del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados
son proporcionales a los del triángulo ABC.

Conclusión
• La formación para la resolución de problemas matemáticos olímpicos
es un camino complejo y comprometido, sobre todo al inicio, pero el
galardón de encontrar la solución a cualquier situación reemplaza con
creces el esfuerzo empleado. Bien lo dijo el matemático Paul Halmos
“el corazón de las matemáticas son sus propios problemas” y es que
en algunas ocasiones razonamientos sencillos nos permiten probar
importantes teorías. Debemos tener presente también lo que dijo René
Descartes ”todo problema resuelto se convierte en una idea que
aplicar a los que están por resolver”. Así que, resolver un problema
no siempre consiste en tener una idea clara que podamos seguir, en
algunas ocasiones es mejor relacionarlo con otros problemas que ya
hayamos resuelto o con algún conocimiento previo.

Bibliografía
• “Olimpíadas internacionales de Matemática 1978-1986” Unesco.
Santiago de Chile. 1988
• Rubio, C. “Problemas para la 21ª Olimpíada Mexicana de
Matemática”. México. 2007
• “Colinealidad y Concurrencia”. Olimpiada Mexicana de Matemáticas
en Baja California 2016 http://www.facebook.com/ommbaja
• Enlaces consultados:
• https://wpd.ugr.es/~jmmanzano/preparacion/problemas.php

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