Este documento presenta conceptos básicos de matemáticas financieras como el dinero, el interés, la tasa de interés y el cálculo del interés simple. Explica cómo calcular el interés generado por un capital inicial colocado a una tasa de interés fija durante cierto período de tiempo. También cubre temas como tasas de interés equivalentes y ecuaciones de valor para resolver problemas de amortización de deudas.

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Matemáticas financieras
Concepto .- Es una parte de la matemática aplicada que estudia el valor del
dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un
rendimiento o interés. A través de métodos de evaluación que permiten tomar
decisiones de inversión.
Dinero. Es el equivalente general de los bienes y servicios. Es decir, se puede
transformar en ellos. Se transforma mediante el acto legal de compra- venta. Nadie
quiere el dinero. Por lo que es, sino que mediante su uso se puede satisfacer
necesidades.
El dinero es un activo que cuesta conforme transcurre el tiempo, permite comprar o
pagar a tasas de interés periódicas (diarias, semanales, mensuales, trimestrales, etc.).
Interés . Es lo que el individuo o institución paga a otro por el uso de una cantidad
de dinero, tomada en préstamo. También se dice que el interés es lo que genera el
dinero, llamado capital, al haber sido invertido.
El interés es el costo de solicitar dinero prestado por un tiempo.
I = Vf – Va
Vf = Valor final o monto ( también llamado capital acumulado) = M = S
Va = Valor actual o capital inicial ( es el préstamo) = Co
I = Intereses generados
Ejemplo : se pide un préstamo de 1200 soles y se devuelve 1600 soles. En este caso:
Vf = 1600 Va = 1200 y
I = 1600-1200 = 400
Interés y el tiempo. El préstamo o la inversión generan interés sólo con el
transcurso del tiempo, por lo tanto el interés es una función del tiempo.
Tasa de Interés. Es la fracción que se paga por la unidad de tiempo por concepto
de interés. Así si i es la tasa de interés por año. La tasa de interés por año será.
I = i Co
luego
i = I / Co
…. ( 1 )
Co = Capital inicial
Ejemplo : se hace un préstamo de $ 100 a un interés de $ 10 por un año ¿ Cuál es la
tasa de interés?
Co = 100
Solución.
I = 10 por un año
luego aplicando la ecuación ( 1) tenemos:
i = 10 / 100 = 0.10
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esto es 0.10 por cada unidad monetaria prestada durante un año.
Nota : la tasa de interés se puede expresar también en porcentaje
( o tanto por cien) del ejemplo anterior también se puede expresar
el valor de 0.10 anual a 10% anual. Es decir 0.10 x 100 = 10%
El Interés simple. es la suma de los intereses de un capital Co , generados
por la unidad de tiempo durante el plazo que dure la inversión o préstamo. La
capitalización simple o interés simple es una formula financiera que permite calcular
el equivalente de un capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza
exclusivamente en el corto plazo (periodos menores de 1 año), ya que para periodos
más largos se utilizan la "Capitalización compuesta".
Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en
la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.
i = es la tasa de interés ; Co = es el capital inicial ; t = es el número de años.
I = iCo + iCo + ……+ iCo
t años
donde iCo es el interés por período. Entonces :
I = Co i t ….( 2) Formula del interés simple. ( la tasa de interés y el tiempo
deben estar en las mismas unidades)
El monto o valor final:
también se escribe Va = Valor actual ;
Vf = Co + I
Co= capital inicial
== también = Vf = Va + I
Se puede expresar como sigue:
También se escribe : Vp = Valor futuro; M = monto
Vf = Co + Co i t
ordenando
Vf = Co ( 1+ i t ) .... ( 3) o
también
Vf = Va ( 1 + i t )
Ejemplo : calcular los intereses que general $ 1000 al 10% anual durante dos años.
Hallar el interés y el monto ( Valor final o futuro)
Co = 1000
i = 0.10 t = 2
Aplicando la fórmula ( 2) nos da:
I = 1000 x 0.10 x 2 = 200
De la formula ( 3) tenemos:
Vf = S = 1000( 1 + o.1 (2) ) = 1200.
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Año 1
Co = $ 1000………..
$1000+ 100
Año 2
……….
$ 1000 + 100 + 100
Complicaciones en el cálculo del Interés.
Dos o mas tasas periódicas de interés son equivalentes, si con diferente periodicidad
producen el mismo interés efectivo al final de cualquier periodo. La costumbre es
considerar este periodo de un año. No siempre las tasas de interés vienen expresadas
en términos anuales, la acumulación de los intereses al capital inicial es en periodos
más pequeños (meses, trimestres, semestres, semanas días etc), para lo que debemos
tener presente:
tasas equivalentes. dos tasas expresadas en distintas unidades de
tiempo, son equivalentes cuando aplicadas a un capital inicial durante un período
producen el mismo interés o capital final.
2 semestres
3 cuatrimestres
Un año
4 trimestres
6 bimestres
12 meses
360 días
Ejemplo : tipos equivalentes a tasas del 16% anual
Periodos
Año
cálculo
16 / 1
tasa ( periódica )
16%
Semestre
16 / 2
8%
Cuatrimestre
16/ 3
5.33%
Trimestre
16 / 4
4%
Mes
16 / 12
1.33%
Día
16 / 360
0.044 %
El resultado obtenido es independiente del tipo de base temporal tomado. Sí
expresamos el interés en base semestral, el plazo irá en semestres, etc.
Periodos
calculo
Interés
I = Co x i x t
Año
100 x 0.16 x 1
16
Semestre
100 x 0.08 x 2
16
Cuatrimestre
100 x 0.053 x 3
16
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Trimestre
100 x 0.044 x 4
16
Mes
100 x 0.0133 x 12
16
Día
100 x 0.00044 x 360
16
Nota : en el caso de requerir mayor precisión se toma años de 365 días ( bancario) y
días por mes de acuerdo al mes de referencia. En la práctica , se considera el año de
360 ( comercial) días y el mes de 30 días.
Capital, tasa de interés y tiempo en el interés simple
De la ecuación ( 3 )
Vf = Va ( 1 + i t )
Va = _Vf___
o también M = Vf = Co ( 1 + i t)
(4)
i = _ Vf – Va__ ( 5 )
1+ixt
Va x t
t = _Vf – Va__
(6)
Va x i
Observación :
1.- Cada fórmula tiene 4 elementos: Vf, Va, i y t
2.- para su aplicación es necesario que tres de ellos sean conocidos directamente o
indirectamente.
Ejemplo : se sabe que el Valor actual ( capital) = 1000 se transformará en $ 1,250 en
6 meses . Hallar la tasa mensual de interés. De la ecuación ( 4 )
i = _ 1250 -_1000__ = _250__
1000 x 6
= 0.0416 la tasa de interés por mes.
6000
Ejemplo : Supóngase conocidos Va = 1000; Vf = 1500; i = 0,5 por año. Hallar t en
meses.
i m = _ 0.5__ = 0.0416 = i m
12
i m = tasa de interés mensual =
t = __ 1500 – 1000__
= 12
1000 x 0.0416
Amortización informal de deudas (ecuaciones de valor )
Amortización : Proceso de distribución de tiempo de un valor duradero. Por
ejemplo la obligación de devolver el monto de un préstamo , la parte del pago que
se va a capital en lo que se llama amortización.
Se presentan cuando se pactan plazos y tasas de interés. Los cuales no se llegan a
cumplir. Por lo que es necesario hacer cálculos para las nuevas situaciones pactadas
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entre el acreedor y el deudor, para los cuales se utilizan “ las ecuaciones de valor” que
se dan ubicando a todas las cantidades en un mismo punto en el tiempo.
Ejemplo : Miguel contrae una deuda de $ 50.000 para pagarla dentro de 8 meses
al 24% anual. Pero una vez transcurridos 3 meses decide adelantar $ 30.000 para
disminuir la carga al final del plazo. Hallar la cantidad necesaria para cancelar la
deuda al final del plazo.
Solución.
Va = 50.000;
t = 8 meses ;
i = _0.24_ , el tiempo se da en meses
12
8 meses
Va
/
/
1
2
/
3
/
/
4
5
/-----------
/
6
5 m eses
/
/
7
8
-----------------/
V1
V1 ( 1 + i x 5) + X
Vf = Valor futuro o Monto de la deuda al final del plazo.
Vf = Va ( 1 + i x t ) = 50.000 ( 1 + _ 0.24__ x 8 ) = 58.000
12
Es la cantidad a pagar después de 8 meses. Como hizo el pago antes que venza el
plazo. ( 3 meses antes) . Tenemos.
Vf = V1 ( 1 + i x 3 ) + X
( ecuación de valor )
Como V1 ( igual a 30.000) gana intereses por 5 meses mientras que X es el pago
adicional en el monto de cancelar la deuda. Luego:
X = Vf – V1 ( 1 + i x 5 ) = 58,000 – 30,000 ( 1 + _ 0.24_ x 5) = 25.000
12
X = 25.000 es el pago al final del plazo, necesario para cancelar la deuda.
Entonces Miguel pagará en total Vf = 30.000 + 25.000 = 55.000
Ejemplo = Mario debe a pablo $ 50.000 al 50% pagadero dentro de 6 meses $
80.000 al 51% pagadero dentro de 8 meses y $ 100.000 al 52% pagadero dentro de 3
meses. Sin embargo, por eventualidades ajenas a su voluntad decide cancelar sus
obligaciones en solamente dos armadas, la primera de las cuales de $ 100.000 la
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efectuará dentro de 4 meses y la segunda dentro de 9 meses. Determinar el importe
de la segunda armada suponiendo que Pablo espera un rendimiento del 55%
Según las condiciones iniciales se tiene:
Importe de pagos.
-
Monto de la primera obligación Vf1 = 50.000( 1 + 0.5 ) = 62.500
12
- Monto de la segunda obligación Vf2 = 80.000( 1 + 0.51 ) = 107.200
12
- Monto de la tercera obligación Vf3 = 100.000( 1 + 0.52) = 113.000
12
Que se expresan como sigue:
113.000
0/
/
/
/
1
2
3
62.500
/
4
/
5
107.200
/
/
6
7
/
8
/
9
100.000
La primera, segunda y tercera obligación ( no canceladas), ganarán el nuevo interés
(55% ) hasta la fecha en que se efectúa la segunda armada de pago. La primera
armada también ganará a la misma tasa hasta efectivizarse la segunda armada. Se
procede de este modo por la sencilla razón de que los diferentes importes son
comparables sólo amortizándose en el mismo momento en el tiempo, por lo tanto,
para saldar la cuenta los pagos deben ser iguales a las deudas, es decir.
= 100.000( 1+ 0.55 x 5 ) + X = 113.000( 1+ 0.55 x 6 ) + 62.500 ( 1 + 0.55 x 3 ) +
12
12
12
107.200 ( 1+ 0.55 x 1 ) =
12
Es una ecuación de valor, compara cantidades que tienen el mismo valor por
estar en un mismo punto en el tiempo.
122.916.67 + X = 327.282.08
X = 327.282.08 - 122.916.67
X = 204.365.41 ( es la segunda armada)
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Problemas resueltos.
¿ Cuánto será el interés de un capital de $ 320.000 colocado al 36% anual durante
60 días?
I = Va x i x t ( ver ecuación 2) expresado en días será:
I = Va x 0.36 x 60 = Va x 0.06
360
I = 320.000 x 0.06 = 19.200
El interés será de $ 19.200
¿ Cual será el tiempo transcurrido si un capital de $ 300.000 colocado al 50.5% se ha
convertido en $ 363.125?
Sol.
Va = 300.000;
Vf = 363.125;
i = 0.505;
t=?
De la ecuación ( 6 )
t= __Vf – Va__ = 363.125 – 300.000
Va x i
300.000 x 0.505
t = 0.4167 años , en meses será : t = 0.4167 x 12 = 5 meses ( el tiempo transcurrido)
Un capital que se colocó al 55% se convirtió en $ 397.500 si se hubiera colocado al
51% anual y por dos años más , el monto será de $ 532.500. Hallar el capital inicial y
el tiempo transcurrido.
a) el capital inicial
Vf1 = 397.500;
b) el tiempo transcurrido
i 1 = 0.55;
Vf2 = 532.500;
i2 = 0.51; t2 = t1 + 2 ; t1 = ? ; Va= ?
De acuerdo al problema :
Vf1 = Va ( 1 + 0.55 x t )
V f2 = Va ( 1 + 0.51 ( t+2) )
Va = _______Vf1_____
despejando Va tenemos:
(a)
( 1 + 0.55 x t )
Vf2 = ____Vf1 ____ ( 1 + 0.51 ( t + 2 ))
( 1 + 0.55 t )
Despejando t
t = ___ Vf1 – Vf2 + 1.02 Vf1___
0.55Vf2 - 0.51Vf1
Reemplazando y operando t = 3 en ( a) tenemos:
Va = 150.000
Por consiguiente, el capital inicial es $ 150.000 y el tiempo es de 3 años
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José Torres recibió un préstamo del Banco Agrario que debe pagar de la siguiente
forma: $3.000.000 dentro de 6 meses, $4.000.000 dentro de un año y $5.000.000
en año y medio. Si la tasa de interés es del 10% semestral simple, determinar, ¿cuánto
dinero le prestó el Banco Agrario a José ? Recordando que los períodos del plazo
deben estar en el mismo período que la tasa de interés, se tiene:
Expresado en meses: 6 meses ; un año = 12 meses ; año y medio = 18 meses
/ /
/
/ / /
/
0 1
2 3 4 5 6
3.000.000
/------- 6 meses ---------/
i = 10% semestral = 1.67 % mensual = 0.0167
/
/
/
/
/
/
…..
/
7
8
9
10
11
12
17
/
18
4.000.000
/ ----------------------------- 12 meses ----------------------/
5.000.000
/------------------------------------------- 18 meses --------------------------------/
Vf = Va1 ( 1 + i xt ) analizando cada pago:
Va1 = Vf1 / ( 1+ i x t ) = 3.000.000 / ( 1 + 0.017 x 6 ) = 2.727.272
Va2 = 4.000.000/ ( 1+ 0.017 x 12 ) = 3.333.333
Va3 = 5.000.000 / ( 1+ 0.017 x 18 ) = 3.846.153
Vat = 2.727.272 + 3.333.333 + 3.846.153 = 9.906.759
Recuerde :
Valor final = Monto = Valor futuro = Vf
Vf = Va ( 1+ i x t )
Valor actual = Capital = Valor presente = Va
Va = Vf / ( 1 + i x t )
Tasa de interés
( ( Vf / Va ) – 1 ) / t ) = i
Períodos
( ( Vf / Va ) – 1 ) / i ) = t
¿ Cuanto es el monto al final de 4 años, si hoy invertimos $ 2000 al 10% en el primer
año con incrementos de 2% en los próximos 3 años.?
Va = 2000 t = 4
i = 0.1 ; 0.12; 0.14; 0.16 Vf =
Vf = Va + Va x i2 + Va x i3 + Va x i4 =
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Vf = 2000 + ( 2000 x 0.1) + ( 2000 x 0.12) + ( 2000 x 0.14) + ( 2000 x 0.16) =
Vf = 2000 + 200 + 240 + 280 + 320 = 3040
Descuento Simple.
Es una cierta cantidad de dinero que se deduce de un documento comercial o del
precio de algún bien cuando en vez de cancelarse al vencimiento de un plazo
establecido, se cancela en una fecha anterior.
El descuento se puede hacer empleando una tasa de interés o una tasa de
descuento.
•
Particularidades de la operación.
Los intereses no capitalizan, es decir que:
- Los intereses producidos no son restados del capital inicial para generar (y restar)
nuevos intereses en el futuro y,
- Por tanto a la tasa de interés vigente en cada período, los intereses los genera el
mismo capital a la tasa vigente en cada período.
- Los procedimientos de descuento tienen un punto de partida que es el valor futuro
conocido(VF) cuyo vencimiento quisiéramos adelantar. Es necesario conocer las
condiciones de esta anticipación: duración de la operación (tiempo y el capital
futuro) y la tasa de interés aplicada.
- El capital resultante de la operación de descuento (valor actual o presente VA) es
de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el
capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. Concluyendo diremos, si
trasladar un capital presente al futuro implica incrementarle intereses, hacer la
operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la disminución de esa misma
cantidad porcentual.
Descuento racional.(
DR ) Un descuento es racional, cuando para efectuarlo se
utiliza la tasa de interés. Así , el descuento racional.
DR = Vf - Va
La diferencia entre la cantidad a pagar y su valor actual recibe el nombre de
descuento racional o matemático.
El descuento es una disminución de intereses que experimenta un capital futuro
como consecuencia de adelantar su vencimiento, es calculado como el interés total de
un intervalo de tiempo. Así, el capital futuro es el resultado de haber puesto el valor
actual a una tasa de interés simple.
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Recuerde :
Dependiendo del capital considerado para el cálculo de los intereses, existen dos
modalidades de descuento:
- Descuento racional o matemático
- Descuento comercial o bancario.
Cualquiera sea la modalidad de descuento utilizado, el punto de partida siempre
es un valor futuro VF conocido, que debemos representar por un valor actual VA que
tiene que ser calculado, para lo cual es importante el ahorro de intereses (descuento)
que la operación supone.
Ejemplo.
Determinar el valor descontado, al día de hoy, de 10.000 con vencimiento dentro de
7 meses a una tasa de interés del 20%. Además, hallar el descuento racional.
Vf = 10000
i= 0.20
t= 7 meses
Va=?
Utilizar una tasa de interés significa considerar a $ 10000 como resultado de haber
colocado un Va= 7 meses antes, cuyo rendimiento es de 20%.
10000= Vf siendo Vf un monto de interés simple por lo que
Va= Vf / ( 1 + it)
Va = ( 10000 / ( 1 + 0.2/12 x 7 )
Va= 8928.5
Va es el valor descontado llamado también valor presente . El descuento racional D r
será :
Dr = 10000 – 8928.5
Dr = 1071.5 ( descuento racional sobre 10000 al 20%)
Se cumple :
Dr = I = V a x i x t =
8928.5 x ( 0.2/ 12 x 7 ) = 1071.5 ( con redondeo a dos cifras
decimales).
Importante :
El descuento comercial o bancario, se dice así cuando se utiliza
una tasa de descuento, d, que se aplica al valor del documento o precio S, asi el
descuento bancario D, es :
D=Sxdxt
El valor descontado o valor presente, C, está dado por:
Va = S – D
Va = S – S x d x t
Va = S ( 1 – d x t )
Ejemplo :
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Determinar el descuento bancario de $ 10.000 con vencimiento dentro de 7
meses a una tasa de descuento del 20%. Además. Hallar el valor descontado al día
de hoy.
S = 10000
d= 0.2
t= 7 meses
D=?
c=?
D = S x d x t = 10.000 x ( 0.2/12 x 7 )
D = 1.167 ( con redondeo) ( descuento bancario sobre 10.000 al 0.2)
Va = 10.000 – ( 10.000 x 0.2/12 x 7 )
Va= 8.933
Nota : D > Dr . el descuento bancario es mayor que el descuento
racional a una tasa i igual que la tasa de descuento. Esto sucede así,
debido a que D = S x d x t . La diferencia se explica fácilmente, ya que
Va < S, debido a que son cantidades ubicadas en distintos puntos en el
tiempo.
Relación entre la tasa de descuento, d , y la tasa de interés, i
•
Ejemplo.
Determinar el descuento racional al 10% de interés anual , capitalizable
trimestralmente, con un valor de 10.000 a pagar en 2 años.
V f = 10000
n = 2 ( 4) = 8
d = 0.1/ 4 = 0.025 Dr = ?
Dr = 10.000( 1 - 1 / ( 1+ 0.025)8 ) = 1.789.9
Si asumimos la tasa de descuento del 8% anual en operaciones de dos o más años, ¿a
qué tasa de interés, capitalizable anualmente, equivale?
d= 0.08
i =?
i= 0.08/ 1-0.08 = 0.086
La tasa de descuento 8% compuesto anual, equivale a otra de interés del 8.6%
capitalizable anualmente.
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