Modulo Matematica

Universidad César Vallejo – Piura
Escuela de Administración Matemática Financiera
0
Curso de:
MATEMÁTICA
FINANCIERA
Piura - 2013
1.- INTERES SIMPLE
1.- INTERES SIMPLE
Lic. Fernando Abad Llacsahuanga Página 1
UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO PIURA
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
Escuela de Administración
Programa de Experiencia Laboral
Docente:
Lic.
Fernando Abad
LLacsahuanga

MONTO
(Capital Final)
C M
i , t
1.1. Definición de Interés
El Interés (I) es el costo de utilizar recursos de terceros, generando una ganancia
por un capital o suma de dinero prestado a un cierto tiempo y a una
determinada tasa de interés.
Donde: C: Capital o suma de dinero
i: Tasa de Interés
t: Tiempo
Muchas empresas para iniciar o mantenerse en el mercado tienen que financiar
sus actividades, esto puede ser con capital o dinero propio o con deuda a
acreedores. El costo del dinero puede establecerse por día, por semana, por mes,
etc., se cobran intereses porque el dinero tiene un costo de oportunidad,
entendiéndose por este lo que se deja de ganar al elegir un curso de acción
alterno.
Por otro lado: Designando C a una cierta cantidad de dinero en una fecha dada
cuyo valor aumenta a M en una fecha posterior, podremos asumir que:
1.2. Tasa de Interés ( i )
La tasa de interés devengada o cargada es la razón del interés devengado al
capital, en la unidad de tiempo. A menos que se establezca lo contrario la
unidad de tiempo convenida es de un año.
Ejemplo: José Carlos obtiene un préstamo de Luís Enrique de $ 500 al final de un
año le paga $525. ¿Cuál es la tasa de interés?
En este caso $500, $525C M= = , entonces $525 $500 $25I = − = ; Por tanto:
25
0.05 5%
500
I
i
C
= = = ≡
Es decir, el interés que carga Luís Enrique es a la tasa de 5%.
1.3. Calculo del Monto (M)
El Monto o importe capitalizado constituye la suma del Capital Inicial e Intereses.
Por lo tanto: M C I= + , pero como . .I C i t= , entonces: . .M C C i t= + ,
factorizando ( )C Capital , obtendremos finalmente que:
Ejemplo: Determinar el Interés Simple sobre S/. 1500 al 4% durante ½ año. ¿Cuál
será el Monto?
I = C . i .
I = M - C
CAPITAL
INICIAL
CAPITAL
INICIAL
INTERES
M=C

Sabemos que:
1
/.1500, 0.04
2
C S i y t= = = , por lo cual:
( )
1
. . 1500 0.04 /.30 1500 30 /.1530
2
I C i t S M S= = = ⇒ = + =
Pero si queremos hallar el monto en forma directa:
( )
1
1 . 1500 1 0.04 /.1530
2
M C i t S
 
= + = + × = ÷
 
1.4. Tipos de Interés Simple:
Dos problemas típicos del Interés Simple son:
(a) Hallar el Interés Simple sobre $2000 al 5% durante 50 días.
(b) Hallar el Interés Simple sobre $1500 al 6%, del 10 de Marzo de 2001 al 21 de
Mayo del 2001.
Estos dos problemas se resuelven aplicando ( I ). Sin embargo, debido a las
variaciones en la práctica comercial, pueden darse dos respuestas diferentes en
el primer problema y no menos de cuatro en el segundo. La diversidad de
resultados se origina en las diferentes practicas para estimar “ t ”.
1.4.1. Interés Simple Exacto:
El Interés Simple Exacto se calcula sobre la base de un año de 365 días o 366
días cuando el año es bisiesto.
1.4.2. Interés Simple Ordinario:
El Interés Simple Ordinario se calcula sobre la base de un año de 360 días, lo
cual simplifica algunos cálculos, aunque aumenta el interés cobrado por el
acreedor.
Ejemplo: Determinar el Interés Exacto y Ordinario sobre $2000, al 5%, durante 50
días.
Interés Simple Exacto: Utilizando un año de 365 días, tenemos que
50 10
365 73
t = =
( )
10 1000
. . 2000 0.05 $13.70.
73 73
I C i t
 
= = = = ÷
 
Interés Simple Ordinario: Utilizando un año de 360 días, tenemos que
50 5
360 36
t = =
( )
5 125
. . 2000 0.05 $13.89.
36 9
I C i t
 
= = = = ÷
 
1.5. Formas de calcular el tiempo:
1.5.1. Cálculo Exacto: Es el número exacto de días, tal como se
encuentra en el calendario. Se acostumbra contar una de las dos fechas
dadas.
1.5.2. Cálculo Aproximado: Se hace suponiendo que cada mes tiene 30
días.
Ejemplo: Calcular en forma exacta y aproximada el tiempo transcurrido entre el
10 de marzo y el 27 de mayo del año 2003.
Tiempo exacto: Se calcula de la siguiente manera

C M
i , t
6 Meses Fecha
Focal
• Del 10 de marzo al 31 de marzo = 22 días.
• Del 1 de abril al 30 de abril = 30 días.
• Del 1 de mayo al 27 de mayo = 26 días.
Así todo ello hará un total de: 22+30+26 = 78 días.
Tiempo Aproximado: Se puede calcular de la siguiente manera
Años Meses Días
Fecha Final : 2003 05 27
Fecha Inicial : 2003 03 10
00 02 17
El total de días será: 2 ( 30 ) + 17 = 77 días.
1.6. Cálculo del Valor Presente:
El Valor Presente ( C ), de un importe con vencimiento en una fecha futura, es
aquella cantidad que a una tasa dada alcanzara en un periodo de tiempo hasta
la fecha de vencimiento, un importe igual a su valor futuro ( M ).
Factor de Simple de Actualización a Interés Simple :
( )
( )
11
1 .
1 .
i t
i t
−
= +
+
Se debe tener en cuenta que la tasa de interés y el tiempo deben estar
expresadas en la misma unidad de tiempo.
Ejemplo: Encontrar el capital que impuesto a una tasa de interés simple mensual
del 3% durante 87 días, ha producido un monto de S/. 500.
P= ?
i = 0.03
t= 87/30
M= S/. 500
1.7. Ecuaciones de Valor:
La Ecuación de Valor consiste en igualar o comparar en una fecha llamada
“Fecha Focal” la suma de un conjunto de obligaciones con otro conjunto de
obligaciones. Si dichos importes coinciden en el tiempo y están expresados en
una misma unidad monetaria, entonces en ese punto del tiempo podrán sumarse
o restarse.
En el Interés Simple, si dos importes son equivalentes en el presente, no
necesariamente son equivalentes en otro momento.
Ejemplo: En la fecha, José Carlos debe $1000 por un préstamo con vencimiento
en 6 meses, contratado originalmente a
1
1
2
años a la tasa de 4% y debe, además
$2500 con vencimiento en 9 meses, sin intereses. El desea pagar $2000 de
inmediato y liquidar el saldo mediante un pago único dentro de un año.
Suponiendo un rendimiento de 5% y considerando la fecha focal dentro de un
año, determinar el pago único mencionado.
C=M ( 1+i.t )-1
= M
(1+i.t)
( )
500
459.98
871 0.03
30
C = =
+ ×

0 6
0
9 12 Meses
X
3 Meses
12 Meses
$1060 $2500
$2000
$5000
98 días35 días 180 días0
XS/.2000 S/.1000
0 1 2 3 4 años
S/.45000
S/.10000
S/.85000
X
( )( ) 1 1
2000 1 0.05 1 1060 1 0.05 2500 1 0.05
2 4
X
      
+ + = + + + ÷  ÷ ÷  ÷
      
2100 1086.50 2531.25X+ = +
1086.50 2531.25 2100.00X = + −
$1517.75X =
Ejemplo: El señor Silva tomó en préstamo S/.5000 para devolverlos dentro de 180
días pagando una tasa de interés simple mensual del 2.5%. Si durante dicho
periodo paga S/.2000 el día 35 y S/.1000 el día 98, ¿Cuánto deberá pagar el día
180 para cancelar su deuda, tomando como fecha focal el día 180?
180 145 82
5000 1 0.025 2000 1 0.05 1000 1 0.025
30 30 30
X
          
+ = + + + + ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷
          
5750 3309.99 X= +
/. 2440.00X S=
Ejemplo: Se tienen dos deudas, una de S/. 45000 a pagar dentro de un año, y
otra de S/. 85000 a pagar dentro de cuatro años. Se deben cancelar estas
deudas con un pago inicial de S/. 10000 ahora mismo y otro pago “ x ” al final
del primer año. ¿De cuanto será el pago “ x ” si se considera una tasa del 5% de
interés simple trimestral? Considerar como fecha focal el final del año 1.
( )( )
( )( )
85000
1000 1 0.05 4 45000
1 0.05 12
X+ + = +
+
12000 45000 53125X+ = + , 86125X =
Ejercicios Propuestos

1.Calcular el interés simple de S/. 4000 colocados durante 6 días al 36% anual. Rpta:
S/. 24
2.Determinar en forma aproximada y exacta el tiempo transcurrido entre el 25 de
enero del 2008 y el 15 de mayo del 2008. Rpta: 110 días, 111 días.
3.¿En qué tiempo podrá quintuplicarse un capital colocado a interés simple
percibiendo una tasa trimestral del 15%?. Rpta: 26.66 trimestres, 80 meses.
4.Demostrar que el interés simple exacto es igual al interés simple ordinario disminuido
1/73 de si mismo.
5.¿Cuánto habrá ganado un capital de S/. 10000 en 1 año, 2 meses, y 26 días al 24%
anual de interés simple?. Rpta: S/. 2973.33
6.Si deseo ganar un interés simple de S/. 3000 en el periodo comprendido entre el 4
de abril y 31 de mayo, ¿Qué capital debo colocar en un banco que paga una
tasa mensual del 2%?. Rpta: S/. 78947.37
7.Alberto compro un radio en $ 79.95. Dio un anticipo de $ 19.95 y acordó pagar el
resto en 3 meses, más un cargo adicional de $ 2. ¿Qué tasa de interés simple
pago?. Rpta:
1
13 %
3
8.Un capital de S/. 12000 ha producido S/. 541.68 de interés simple al 12.5% anual.
Determinar el tiempo de la operación. Rpta: 130 días.
9.¿Cual será el capital que habrá producido un interés simple de S/. 800 en 7
trimestres al 26% anual?. Rpta: S/. 1758.24
10. El Sr. Portugal presta el 14 de Julio del 2003 $ 3500 con vencimiento a cinco meses
al 40% de interés simple anual. También presta, cuatro meses después otros $ 2000
al 54% de interés anual y con vencimiento a tres meses. ¿Qué cantidad recibida
por el Sr. Portugal el 30 de Octubre del 2003 liquidara esos prestamos?.Considere
una tasa de interés simple del 55%. Rpta: $ 5771.71
11. El Banco Piurano hace un préstamo Mi Vivienda de $ 6500 con interés simple del
7% semestral y pide que sea devuelto en 4 pagos. El primero de $ 1500 al final del
primer año, el segundo de $ 2500 al final del año 2, el tercero de $ 1500 al final del
tercer año y el saldo al final del cuarto año.¿A cuanto ascenderá este pago?
(Tomar como fecha focal el día de hoy). Rpta: $ 3392.6
12. Con la siguiente información y considerando tiempo exacto, determinar el valor
al vencimiento de los siguientes pagares:
a) C=S/. 3600 con fecha 4 de julio, i=1.40% mensual, con vencimiento el 8 de
octubre d ese mismo año. Rpta: S/. 3761.28
b) C=S/. 1800 con fecha 12 de marzo, i=2.63% trimestral, con vencimiento el 5
de mayo de ese mismo año. Rpta: S/. 1828.4
13. El 20/08/03 su mejor amigo le pide prestado cierta cantidad de dinero,
prometiendo pagarle S/. 13200 el día 17/12/03 a una tasa de interés del 60%
anual.¿Que cantidad le pidió prestada?. Rpta: 11015.29
14. El Sr. Sandoval tiene los siguientes certificados de depósitos en un banco:
• 1200 con vencimientos en un mes a una tasa simple anual de 5%
• 4350 con vencimiento en 7 meses con interés simple anual de 6%
• 7000 con vencimiento en 10 meses con un interés simple anual de 5.5%
Determinar el valor de total de los certificados, suponiendo un interés simple anual
de 4% y tomando como fecha focal el día de hoy. Rpta: S/.12684

15. El señor Álvarez debe $ 450 con vencimiento dentro de 4 meses y $ 600 con
vencimiento dentro de 6 meses. Si desea saldar las deudas mediante un pago
único inmediato, ¿Cuál será el importe de dicho pago suponiendo un
rendimiento del 5%?. Utilizar como fecha focal el día de hoy. Rpta: $ 1027.99
16. Una persona debe $ 500 con vencimiento n 3 meses e intereses al 5% y $ 1500 con
vencimiento en 9 meses al 4%. ¿Cuál será el importe del pago único que tendrá
que hacerse dentro de 6 meses para liquidar las deudas suponiendo un
rendimiento del 6%?. Tomar como fecha focal la fecha, (a) al final de 6 meses, y
(b) al final de 9 meses. Rpta: (a) $ 2036.01, (b) $ 2035.90
17. El Sr. Mauricio adquiere el día de hoy una camioneta valorizada en S/. 15000
pagando una cuota inicial de S/. 5000 al final del segundo mes. El financiamiento
esta sujeto a un interés anual simple de 6%. Si paga S/. 3000 cuatro meses
después de la compra y S/. 1500 seis meses después del ultimo pago ¿Cuál será el
importe del pago que tendrá que hacer un año después de la compra para
liquidar totalmente el saldo?. Tomar como fecha focal el comienzo del séptimo
mes. Rpta: S/. 6024.89
18. El señor García adquiere un terreno de $ 5000 mediante un pago de contado de
$ 500. Conviene en pagar el 6% de interés sobre el resto. Si paga $ 2000 tres meses
después de la compra y $ 1500 seis meses mas tarde, ¿Cuál será el importe del
pago que tendrá que hacer 1 año después para liquidar totalmente el saldo?.
Tomar como fecha focal la fecha final de 1 año. Rpta: $ 1157.50

2. INTERES COMPUESTO
2.1 Introducción
El Interés compuesto es el proceso mediante el cual el interés generado por un
capital en una unidad de tiempo, se capitaliza, es decir se adiciona al capital
anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la
siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado,
experimentando al final de cada unidad de tiempo un crecimiento geométrico.
Ejemplo: Hallar el interés compuesto sobre $1000 por 3 años si el interés de 5% es
convertible anualmente en capital.
El capital original es de $1000.
El interés por un año es 1000(0,05)=$50.
El capital al final del primer año es: 1000+50=$1050.
El interés sobre el nuevo capital por un año es: 1050(0,05)=$52,50.
El capital al final del segundo año es: 1050+52,50=$1102,50.
El interés sobre el nuevo capital por un año es: 1102,50(0,05)=$55,12.
El capital al final del tercer año es: 1102.50+55,12=$1157,62.
El interés compuesto es: 1157,62-1000=$157,62.
Para el cálculo del interés compuesto es necesario tener en consideración:
a) La tasa nominal anual (j).
b) La tasa efectiva del periodo capitalizable (i).
c) El número de días del periodo capitalizable (f).
d) El numero de periodos de capitalización en el año (m), el cual se halla
dividiendo el número de días del año bancario por f.
e) El horizonte de tiempo (H): número de días de la operación.
f) El numero de periodos de capitalización en el horizonte temporal (n).
2.2 Deducción de la fórmula
Realizando el ejemplo anterior en forma abstracta podremos generalizar la
fórmula para un numero de periodos “n” de capitalización. Es decir:
El capital original es : C
El interés por un periodo de tiempo es : I1=C.i
El capital al final del primer periodo de tiempo es: C1=C+C.i=C(1+i)
El interés sobre el nuevo capital por un periodo de tiempo es: I2=C(1+i).i
El capital al final del segundo periodo de tiempo es: C2=C(1+i)+C(1+i).i=C(1+i)2
El interés sobre el nuevo capital por un periodo de tiempo es: I3=C(1+i)2
.i
El capital al final del tercer periodo de tiempo es: C3=C(1+i)2
+C(1+i)2
.i=C(1+i)3
.
Generalizando para un número de periodos “n” de capitalización obtendríamos
la siguiente fórmula:
( )n
iCS += 1 o ( ) n
iSC
−
+= 1
Para una capitalización Para una actualización
Donde:
S= Monto Acumulado o Valor Futuro al final del enésimo periodo
C= Capital Inicial o Valor Actual
i= Tasa de interés efectiva por periodo
n= Numero de periodos

Aplicando la fórmula del ejemplo anterior obtendremos:
( ) $1157,620,0511000S
3
=+=
Ejemplo: ¿Cuánto debo depositar hoy día para que dentro de 5 años reciba la
suma de S/. 10000 si suponemos que la Caja Municipal paga una tasa de interés
anual del 16%?
C=?
S= S/.10000
i= 0,16
n= 5
2.3 Tasas de Interés: Nominal, Efectiva, Tasa efectiva anual, y Tasas equivalentes
2.3.1. Tasa de Interés Nominal
Cuando una tasa es susceptible de proporcionarse (dividirse o multiplicarse)
para ser expresada en otra unidad de tiempo diferente a la original, con el
objeto de capitalizarse una o más veces, recibe el nombre de tasa nominal.
Hay que precisar que la tasa nominal siempre es anual, y además es una
tasa referencial que como tal puede ser engañosa.
Toda tasa de interés que sea compuesta, capitalizable o convertible, estará
haciendo referencia a la tasa nominal que simbólicamente se representa
por la letra “j”.
Ejemplo: j= 17% capitalizable bimestralmente
j= 12% capitalizable trimestralmente
2.3.2. Tasa de Interés Efectiva
Es la que realmente actúa sobre el capital de una operación financiera y
refleja el número de capitalizaciones que se experimentan durante un plazo
determinado.
Se obtiene de dividir de una tasa nominal anual “j”, capitalizable “m” veces
al año.“m” es el número de veces que dividimos una tasa nominal en un
año.
1
m
j
1i
m
−





+=
Ejemplo: Si la tasa de interés es del 18% capitalizable mensualmente,
entonces la tasa efectiva mensual se puede hallar fácilmente dividiendo
j/m; es decir: i = 18%/12 = 1,5% mensual.
Ejemplo: Se pide prestado $100, capitalizado trimestralmente. La tasa
nominal anual es del 8% y la tasa efectiva esta expresada por los intereses
que corresponden al préstamo.
C = $100
J = 8% capitalizable trimestralmente
t = 1 año; es decir n = 4
2.3.3. Tasas Equivalentes
( )
( ) S/.4761,130,16110000.
0,161
10000
C
5
5
=+=
+
=
−
$108,24
4
0.08
1100.
m
j
1C.S
4n
=





+=





+=

Son aquellas que en condiciones diferentes, producen la misma tasa
efectiva anual. Mejor dicho dos tasas con diferentes periodos de
capitalización, son equivalentes, si producen el mismo valor actual o futuro,
en cualquier periodo.
El procedimiento utilizado es el siguiente: ( ) ( ) 1
11
n
equiv
n
iCiC +=+
Como se comparan dos montos (S) cuyo capital es el mismo, la ecuación se
simplifica a lo siguiente:
( ) ( ) 1
11
n
equiv
n
ii +=+
i = tasa efectiva dada o conocida
n = número de periodos o capitalizaciones en un año correspondientes a la
tasa efectiva dada.
iequiv = tasa efectiva equivalente que se desea conocer.
n1 = número de periodos de capitalizaciones en un año correspondientes a
la tasa de interés que se desea conocer.
Ejemplo: El Banco Contimundo cobra por los préstamos personales una tasa
efectiva mensual del 1,5%. Se desea calcular la tasa efectiva trimestral que
tendrá que cobrar el banco para no afectar a su rentabilidad.
i = 1,5%
n = 12 (meses)
iequiv = ?
n1 = 4
Ejemplo: ¿A qué tasa nominal capitalizable mensualmente equivale una
tasa efectiva mensual del 1,5%?
j = ?
i = 1,5% mensual
n = 12
m = 12
EJERCICIOS
( ) ( )4
equiv
12
i10,0151 +=+
( ) 10,0151i
3
equiv −+=
mestral4,5678%triiequiv =
( )
12
12
12
j
10,0151 





+=+
capitalizable mensualmente18%j =

1. ¿A qué tasa efectiva semestral equivale una tasa del 10% anual capitalizable semestralmente?
2. ¿A qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa del 30% efectiva
trimestral?
3. ¿A qué tasa efectiva anual equivale una tasa efectiva mensual del 1%?
4. ¿A qué tasa efectiva trimestral equivale una tasa efectiva anual de 46,41%?
5. ¿A qué tasa nominal anual capitalizable trimestralmente equivale una tasa efectiva anual del
46.41%?
6. ¿El Señor Pelayo ha solicitado un crédito de S/. 100 por el que se compromete a devolver S/.
150 luego de un año?
a) Se pide hallar el costo anual del crédito(ie: TEA)
b) Se pide hallar la tasa nominal capitalizable mensualmente equivalente a una TEA del 50%
7. ¿Qué alternativa de crédito es más conveniente para usted?
a) Un préstamo de S/. 100 con la condición de devolver S/. 127 luego de 8 meses.
b) Un préstamo de S/. 100 con la condición de devolver S/. 123 luego de 6 meses.
8. La compañía TH debe pagar al Banco Pacifico dos deudas de S/. 6000 y S/. 8000
respectivamente, la primera con vencimiento a 30 días y la segunda con vencimiento a 60 días.
La Gerencia Financiera de TH, analizando su flujo de caja proyectado, conoce de la futura
falta de efectivo para esas fechas, por lo que negociando con el Banco Pacifico se difieren
ambos pagos para el dia 120, a una tasa efectiva mensual del 4%. ¿Qué importe deberá pagar
TH el día 120?
9. La empresa ROBALCA tiene en un bando una deuda de S/. 10000(incluyendo intereses)que
vence dentro de 48 días por la cual paga una tasa efectiva mensual del 3%. Además tiene otra
deuda de S/. 15000(incluyendo intereses) por la cual paga una tasa efectiva mensual del 4% y
vence dentro de 63 días. La empresa propone pagar ambas deudas con el descuento de un
pagare con valor nominal de S/. 24781.46 el mismo que vencerá dentro de 90 días contados a
partir del día de hoy. ¿Qué tasa efectiva mensual está cobrando el banco?
10. Una inversión efectuada en el Mercado de Capitales produjo un interés de 3750 luego de 90
días. En ese lapso de tiempo la rentabilidad acumulada fue del 8%. ¿Cuál fue el importe original
de la inversión?
11. La utilidad de un paquete de unos títulos valores adquiridos en la Mesa de Negociaciones hace
45 días fue de S/. 800. La tasa efectiva acumulada en 60 días por dichos títulos valores de dicha
empresa fue del 3%. ¿Cuál fue el precio de adquisición de dichos títulos?
12. Hoy día la compañía PRESTO se dispone a pagar una deuda de S/. 10000 vencida hace cinco
meses y otra de S/. 8000 que vencerá dentro de tres meses. Las deudas vencidas generan una
tasa efectiva mensual del 2% y las deudas vigentes generan una tasa efectiva mensual del
1.5%. ¿Qué importe deberá cancelar la empresa?
13. En el año 2000, Manuel tiene deudas con el banco INTERCLAN cuyas fechas de vencimiento y
montos son las siguientes: el 26/05 , S/. 4000; el 18/06, 5000; el 11/07, S/. 2000; y el 30/08 S/. 3000.
El 26/05 Manuel paga al Banco INTERCLAN su deuda de S/. 4000 y le propone sustituir las tres
deudas pendientes por un nuevo crédito a pagar por un importe de S/. 12000. Considerando
una tasa efectiva mensual del 2% y que el banco acepte la propuesta el mismo 26/05. ¿En qué
fecha vencería el nuevo crédito?. Considere tiempo aproximado.
3.- ANUALIDADES

Una anualidad es un flujo de caja en el que los flujos de dinero son uniformes (es decir,
todos los flujos de dinero son iguales) y los movimientos de dinero ocurren a un intervalo
regular. Los flujos de dinero de la anualidad son los pagos de la anualidad o simplemente
pagos. El nombre de anualidad es utilizado como una generalización sobre el tema, no
siempre son períodos anuales de pago. Algunos ejemplos de anualidades son:
1. Pagos mensuales por renta
2. Cobro quincenal o semanal por sueldo
3. Abonos quincenales o mensuales por pago de un préstamo.
4. Pagos anuales de primas de pólizas de seguro de vida, etc.
Flujo de una anualidad
No es una Anualidad
El flujo no es una anualidad porque al 4to año se interrumpen para reiniciarse al 5to.
Cuando el flujo de caja es de una anualidad, el proceso de cálculo del valor actual y del
valor futuro de un flujo de dinero se simplifica enormemente.
Las anualidades son:
Vencidas. Las anualidades vencidas, ordinarias o pospagables son aquellas en las cuales
los pagos son hechos a su vencimiento, es decir, al final de cada periodo.
Ejemplo, el pago de salarios a los empleados, el trabajo es primero, luego el pago.
Anticipadas. Las anualidades anticipadas o prepagables se efectúan al principio de
cada periodo.
Las anualidades prepagables son el resultado de capitalizar un período el VA o VF las
pospagables multiplicándolas por (1 + i). Es decir, utilizamos las mismas fórmulas del VA o
VF de las anualidades pospagables, multiplicando el resultado por (1 + i).
3.1. Valor actual de una anualidad
El valor actual de una anualidad es igual a la suma de los valores actuales de los pagos
de la anualidad. Esto puede calcularse a través de la siguiente ecuación:
, con esta fórmula obtenemos:

Donde:
VA = Valor actual de la anualidad
C = Pago de una anualidad
i = Interés o tasa de descuento
En las fórmulas de anualidades de VA y VF, la tasa de interés no puede ser despejada,
por lo cual debe obtenerse por ensayo y error. Por esta razón en el presente libro, para
obtener la tasa de interés utilizamos la función TASA cuando operamos con flujos
uniformes y la función TIR cuando operamos con flujos variables.
Cuando estamos frente a un perfil de flujos iguales para cada período, es posible hacer
una formulación que nos de el Valor Actual de los flujos de una sola vez obviando el
cálculo del descuento flujo por flujo. De esta forma de cálculo son las Anualidades.
Ejemplo:
Si usamos el método de descuento flujo por flujo y lo descontamos al 15% por período
tendríamos los valores indicados en el cuadro y después lo comparamos con el método
abreviado a través de la fórmula y la función VA:
Aplicando la fórmula [18] o la función VA:
Como podemos observar, con los tres métodos obtenemos resultados iguales.
EJERCICIO (Calculando el VA de una anualidad pospagable)
Tenemos una anualidad de UM 500 anual, durante cinco años vencidos. Si la tasa de
descuento es igual a 13%, ¿cuál es el VA de la anualidad?
Solución:

C = 500; n = 5; i = 0.13; VA = ?
Aplicando la fórmula (18) o la función VA, tenemos:
Respuesta:
El VA de los cinco pagos iguales es UM 1,758.62.
EJERCICIO (La mejor elección)
Usted gana la lotería. Cuando va a cobrar, los ejecutivos de la lotería le proponen lo
siguiente: cobrar hoy UM 500,000 ó UM 3,000 mensuales durante los próximos 25 años.
¿Qué elige Ud.?
Solución:
VA = 500,000; i = ?
En este caso, primero determinamos la tasa de interés, que nos permita descontar las
cuotas mensuales y compararlo con los UM 500,000 que recibiríamos el día de hoy. El
dinero hoy vale más que en el futuro. Asumamos una inflación del 6% anual proyectada
para los próximos 25 años. (i = 0.06/12 = 0.005)
i = 0.005; C = 3,000; n = (5*12) = 300; i = 0.005; VA = ?
Aplicamos la fórmula [18] o la función VA:
Respuesta:
El VA de las 300 cuotas mensuales de UM 3,000 descontadas a la tasa de inflación del 6%
anual es UM 465,620.59 inferior a los UM 500,000 que cobraríamos hoy, en consecuencia,
nuestra decisión será cobrar la loterías hoy.
EJERCICIO (Calculando el VA de una anualidad prepagable)
El dueño de una MYPE contrae una deuda para saldarla en cinco pagos iguales de UM
26,913 al inicio de cada año, con una tasa de interés de 45.60% anual. Calcular el valor
actual de esta obligación.

Solución:
C = 26,913; n = 5; i = 0.456 ; VA = ?
Aplicando el concepto de las anualidades prepagables en la fórmula (18) y la función
VA multiplicamos el resultado de la fórmula por (1 + i) y la función a operamos con tipo =
1:
Respuesta:
El valor actual prepagable de ésta operación es UM 72,800, considera el pago
anticipado de cada cuota anual.
EJERCICIO (Calculando el incremento anual)
En 1978 el franqueo de un sobre a Europa era de UM 10. En el 2003 colocar por correo la
misma carta cuesta UM 70. ¿Que incremento anual en el franqueo de una carta
experimentó durante este tiempo?
Solución (n = 2003 - 1978)
C = 10; VA = 70; n = (2003 - 1978) = 25; i = ?
Aplicando la función TASA obtenemos:
Respuesta:
El incremento anual es 13.71%
EJERCICIO (Calculando la tasa de interés de una anualidad)
Una inversión de UM 120,000 hoy, debe producir beneficios anuales por un valor de UM
45,000 durante 5 años. Calcular la tasa de rendimiento del proyecto.
Solución:
VA = 120,000; C = 45,000; n = 5; i = ?
Respuesta:
La tasa anual de rendimiento del proyecto es 25.41%
3.2. Valor Futuro de una anualidad

Al tratar el cálculo de las anualidades, determinábamos el valor de los flujos en valor
actual o del momento cero. También es posible emplear esta misma formulación y
plantear por ejemplo, cuánto tendré ahorrado en un momento futuro si depositara una
determinada cantidad igual período a período, dada una cierta tasa de interés por
período. Es decir, lo que estamos haciendo es constituir un fondo.
Anteriormente calculamos el valor actual de una serie de pagos futuros. Lo que ahora
buscamos, como monto futuro, es una expresión que responda al siguiente perfil
financiero:
Partimos depositando una suma ahora y hacemos lo mismo con igual monto hasta el
período n-1 y con la misma tasa de interés por cada período.
La fórmula del valor futuro de la anualidad y las derivadas de ella son:
El valor, depende sólo de las variables tasa de interés «i», igual para cada período y el
valor correspondiente al número de periodos «n», para flujos realizados a comienzo de
cada uno de ellos.
Las anualidades tienen la característica que siendo un pago constante en el caso de
amortizar una deuda los intereses pagados en los primeros periodos son mayores,
destinándose el excedente al pago de amortización de capital, el cual aumenta
gradualmente, el interés posterior deberá calcularse sobre un menor monto de capital
por la disminución o amortización de éste.
EJERCICIO (Calculando el VF y el plazo de un ahorro)
Un microempresario deposita UM 2,500 ahora en una cuenta de ahorros que reconoce
una tasa de interés del 1.8% mensual y considera retirar UM 390 mensuales, empezando
dentro de 10 meses. ¿Calcular por cuánto tiempo podrá realizar retiros completos?
Solución:
VA = 2,500; i = 0.018; C = 390; n = 10; VF = ?; n = ?
1º Calculamos el VF de los UM 2,500 a 10 meses:
[11] VF = 2,500(1 + 0.018)10 = UM 2,988.2559
2º Calculamos el tiempo durante el cual podrá hacer retiros por UM 390 cada uno:

Respuesta:
A partir del mes 10 puede hacer retiros completos por 7 meses.
3.3. Anualidades Perpetuas
Por definición significa duración sin fin. Duración muy larga o incesante.
A partir del valor actual (VA) de una anualidad C, que representa una serie de pagos,
depósitos o flujo periódico uniforme para cada uno de estos periodos y efectuando
algunas modificaciones podríamos derivar las perpetuidades. La característica de una
perpetuidad es que el número de periodos es grande, de forma que el valor de los
últimos flujos al descontarlos es insignificante. El valor de la anualidad de muchos
términos, llamada perpetuidad, es calculada con la siguiente fórmula:
Las perpetuidades permiten cálculos rápidos para determinar el valor de instrumentos de
renta fija (VAP) de muchos periodos. En este caso, «C» es el rendimiento periódico e «i» la
tasa de interés relevante para cada período. Ejemplos de perpetuidades son también las
inversiones inmobiliarias con canon de arrendamiento, dada la tasa de interés
aproximamos el valor de la inversión (C).
Por lo general, la tasa de interés es casi siempre anual y el canon de arriendo es mensual,
por lo cual deberá establecerse la tasa de interés equivalente (Ver definición y fórmula
en el numeral 10, de este capítulo) para este período de tiempo. Otras aplicaciones
importantes son las pensiones o rentas vitalicias.
EJERCICIO (Perpetuidad)
Para que mis 2 hijos estudien becados en una universidad de prestigio, dentro de 10
años, es requisito fundamental -entre otros- depositar el día de hoy una suma de dinero
en una institución financiera que paga mensualmente por ahorros de este tipo el 1.5% y
que permite a la institución disponer de UM 2,500 mensuales a perpetuidad. ¿Cuánto
debo depositar el día de hoy?.
Solución:
C = 2,500; i = 0.005; VAP = ?
Respuesta:
Debo depositar el día de hoy UM 166,6667. Mensualmente el dinero gana UM 2,500 de
interés. Este interés constituye la beca.

4.- AMORTIZACIONES
En términos generales, amortización es cualquier modalidad de pago o extinción de
una deuda. Aquí haremos referencia a la más común de estas modalidades. La
extinción de una deuda mediante un conjunto de pagos de igual valor en intervalos
regulares de tiempo. En otras palabras, este método de extinguir una deuda tiene la
misma naturaleza financiera que las anualidades. Los problemas de amortización de
deudas representan la aplicación práctica del concepto de anualidad.
4.1. Tabla de amortización
La tabla de amortización es un despliegue completo de los pagos que deben
hacerse hasta la extinción de la deuda. Una vez que conocemos todos los datos del
problema de amortización (saldo de la deuda, valor del pago regular, tasa de
interés y número de periodos), construimos la tabla con el saldo inicial de la deuda,
desglosamos el pago regular en intereses y pago del principal, deducimos este
último del saldo de la deuda en el período anterior, repitiéndose esta mecánica
hasta el último período de pago. Si los cálculos son correctos, veremos que al
principio el pago corresponde en mayor medida a intereses, mientras que al final el
grueso del pago regular es aplicable a la disminución del principal. En el último
período, el principal de la deuda deber ser cero.
Estructura general de una tabla de amortización:
EJERCICIO (Calculando la cuota uniforme)
La mejora de un proceso productivo requiere una inversión de UM 56,000 dentro de
dos años. ¿Qué ahorros anuales debe hacerse para recuperar este gasto en siete
años, con el primer abono al final del año en curso, si contempla una tasa de interés
del 12% anual?
Solución:
VF2 = 56,000; n = 2; i = 0.12; VA = ?;
1º Calculamos el VA de la inversión dentro de 2 años, aplicando indistintamente la
fórmula (12) o la función VA:
2º Luego determinamos la cuota periódica ahorrada a partir de hoy, aplicando la
fórmula (19) o la función pago:
VA = 44,642.86; n = 7; i = 0.12; C = ?

Respuesta:
Los ahorros anuales que deben hacerse son UM 9,782.07
EJERCICIO (Préstamo de Fondo de Asociación de Trabajadores)
Un sector de trabajadores que cotiza para su Asociación tiene un fondo de
préstamos de emergencia para los asociados cuyo reglamento establece que los
créditos serán al 9% anual y hasta 36 cuotas. La cantidad de los préstamos depende
de la cuota.
a) Si el préstamo es de UM 3,000 ¿cuáles serán las cuotas?
b) Si sus cuotas son UM 120 ¿cuál sería el valor del préstamo?
Solución (a)
VA = 3,000; n = 36; i = (0.09/12) = 0.0075; C = ?
Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula (19) o la función
PAGO:
Solución (b)
C = 120; n = 36; i = 0.0075 (0.09/12); VA =?
Para el cálculo de la cuota aplicamos indistintamente la fórmula (18) o la función
VA:
Respuesta:
(a) Las cuotas serán UM 95.40 y (b) Valor del préstamo UM 3,773.62
4.2. Sistema de Amortización Francés

Caracterizado por cuotas de pago constante a lo largo de la vida del préstamo.
También asume que el tipo de interés es único durante toda la operación.
El objetivo es analizar no sólo el valor de las cuotas, sino su composición, que varía
de un período a otro. Cada cuota está compuesta por una parte de capital y otra
de interés. En este sistema, el valor total de la cuota permanece constante y el
interés disminuye a medida que decrece el principal. Son útiles las funciones
financieras de Excel para el cálculo. El interés aplicado es al rebatir, vale decir sobre
los saldos existentes de la deuda en un período. Muy utilizado por los bancos y
tiendas que venden al crédito.
EJERCICIO (Calculando la cuota mensual de un préstamo)
Lilian toma un préstamo bancario por UM 3,000 para su liquidación en 6 cuotas
mensuales con una tasa de interés del 4.5% mensual. Calcular el valor de cada
cuota y elabora la tabla de amortización.
Solución:
VA = 3,000; n = 6; i = 0.045; C = ?
1º Calculamos la cuota a pagar mensualmente:
2º Elaboramos la TABLA DE AMORTIZACION FRANCES del préstamo:
SALDO INICIAL = SALDO FINAL
INTERES = SALDO INICIAL POR TASA DE INTERES
PAGO = FORMULA [19] O BUSCAR OBJETIVO
AMORTIZ. = PAGO - INTERES
SALDO FINAL = SALDO INICIAL – AMORTIZACION
Respuesta:
La cuota mensual a pagar por el préstamo es UM 581.64, contiene la amortización
del principal y el interés mensual.

4.3. Sistema de Amortización Alemán
Cada cuota está compuesta por una parte de capital y otra de interés. En este
sistema, el valor total de la cuota disminuye con el tiempo, el componente de
capital es constante, el interés decrece.
No es posible utilizar las funciones financieras de Excel para su cálculo. Con este
método son de mucha utilidad las tablas de amortización.
EJERCICIO (Préstamo con amortización constante)
Una persona toma un préstamo de UM 4,000 para su liquidación en 24
amortizaciones mensuales iguales, con una tasa de interés del 3.85% mensual.
Calcular el valor de cada cuota y elabore el cronograma de pagos.
Solución:
VA = 4,000; i = 0.0385; n = 24; C = ?
Elaboramos el CUADRO DE AMORTIZACION ALEMAN DE LA DEUDA:
INTERES = SALDO FINAL POR TASA DE INTERES
AMORTIZ. = PRESTAMO / Nº DE CUOTAS
PAGO = INTERES + AMORTIZACION
SALDO FINAL = SALDO INICIAL - AMORTIZACION
CASO: PREPAGO DE UNA DEUDA
Supongamos que el Sr. Silva solicita un préstamo por $ 20000, para ser cancelado en 1
año y medio en pagos mensuales iguales, acordando pagar una TEA del 24%. Si el cliente
al cancelar la séptima cuota realiza un prepago de $ 1500. ¿A cuánto ascenderá el
importe de las nuevas cuotas a pagar si lo que desea es reducir únicamente el importe
de las cuotas restantes a pagar y no el plazo para cancelar el préstamo? Considere que
mensualmente se paga $ 2.50 por concepto de portes.
CASO: REFINANCIAMIENTO DE UNA DEUDA
Supongamos que la empresa SUCOY solicita un préstamo, para la adquisición de activos
fijos, por $ 80000 para ser cancelados en 12 mensualidades iguales pactándose una TEA
del 16%. Suponer que luego de haber cancelado 4 cuotas, la empresa solicita un

refinanciamiento de su deuda vigente, aceptándose darle un plazo ampliatorio de 18
meses para pagar las nuevas cuotas y manteniéndose la misma tasa de interés
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Aplicando la suma de dígitos, prepare la tabla de reembolso de un préstamo de S/.
10000 otorgado para ser reembolsado en 6 cuotas trimestrales vencidas. Utilice una TET
del 5%.
5.- DEPRECIACION
Definición:
La depreciación es la disminución del valor de propiedad de un activo fijo, producido
por el paso del tiempo, desgaste por uso, el desuso, insuficiencia técnica, obsolescencia
u otros factores de carácter operativo, tecnológico, tributario, etc.
CAUSAS DE LA DEPRECIACION:
a) El desgaste: que lo sufren los bienes por el solo transcurso del tiempo al ser utilizados
normalmente.
• b) El agotamiento: que se produce en el caso de activos materiales adquiridos
para ser sometidos a actividades extractivas (canteras, minas, pozos petrolíferos, etc.)
MÈTODOS DE DEPRECIACIÒN
Se han desarrollado varios métodos para estimar el gasto por depreciación de los activos
fijos tangibles. Los cuatro métodos de depreciación más utilizados son:
• El de la línea recta.
• El de unidades producidas.
• El de la suma de los dígitos de los años.
• Método de la reducción de saldos.
La depreciación de un año varía de acuerdo con el método seleccionado pero la
depreciación total a lo largo de la vida útil del activo no puede ir más allá del valor de
recuperación. Algunos métodos de depreciación dan como resultado un gasto mayor
en los primeros años de vida del activo, lo cual repercute en las utilidades netas del
periodo. Por tanto, el contador debe evaluar con cuidado todos los factores, antes de
seleccionar un método para depreciar los activos fijos.
MÈTODO DE LA LÍNEA RECTA
Es el método más sencillo y el mas comúnmente usado, se basa en el supuesto que la
depreciación es una función del tiempo y no del uso.De este modo se supone que los
servicios potenciales del activo fijo declinan en igual cuantía en cada ejercicio, y que el
costo de los servicios es el mismo, independientemente del grado de utilización.
FORMULA:
EJEMPLO:

Supongamos un vehículo cuyo valor es de $30.000.000 y una vida útil de 5 años y no tiene
valor de salvamento.
Aplicamos la formula:
Se tiene entonces (30.000.000 /5) = 6.000.000.
MÈTODO DE LAS UNIDADES PRODUCIDAS
El método de las unidades producidas para depreciar un activo se basa en el número
total de unidades que se usarán, o las unidades que puede producir el activo, o el
número de horas que trabajará el activo, o el número de kilómetros que recorrerá de
acuerdo con la fórmula.
EJEMPLO:
Ejemplo: Se tiene una máquina valuada en $10.000.000 que puede producir en toda su
vida útil 20.000 unidades.
Entonces, 10.000.000/20.000 = 500 (DEPRECIACION POR UNIDAD)
Año
Unidades
producidas
Depreciación
por unidad
Cuota
depreciación
Depreciación
acumulada
Valor neto en libros
1 2,000.00 500 1,000,000.00 1,000,000.00 9,000,000.00
2 2,500.00 500 1,250,000.00 2,250,000.00 7,750,000.00
3 2,000.00 500 1,000,000.00 3,250,000.00 6,750,000.00
Año
Cuota
depreciación
Depreciación
acumulada
Valor neto en libros
1 6,000,000.00 6,000,000.00 24,000,000.00
2 6,000,000.00 12,000,000.00 18,000,000.00
3 6,000,000.00 18,000,000.00 12,000,000.00
4 6,000,000.00 24,000,000.00 6,000,000.00
5 6,000,000.00 30,000,000.00 -

4 2,200.00 500 1,100,000.00 4,350,000.00 5,650,000.00
5 1,500.00 500 750,000.00 5,100,000.00 4,900,000.00
6 1,800.00 500 900,000.00 6,000,000.00 4,000,000.00
7 2,000.00 500 1,000,000.00 7,000,000.00 3,000,000.00
8 2,000.00 500 1,000,000.00 8,000,000.00 2,000,000.00
9 2,400.00 500 1,200,000.00 9,200,000.00 800,000.00
10 1,600.00 500 800,000.00 10,000,000.00 -
MÈTODO EL DE LA SUMA DE LOS DÍGITOS DE LOS AÑOS
A) Método de depreciación decreciente:
Este método determina cuotas de depreciación con disminución progresiva hacia los
últimos años de la vida útil.
FORMULA: (Vida útil/suma dígitos)*Valor activo
EJEMPLO:
Supongamos un vehículo cuyo valor es de $30.000.000. y una vida útil de 5 años.
SUMA DE DIGITOS: 1+2+3+4+5=15
Invertimos el orden de los sumandos y formaremos fracciones sucesivas decrecientes,
luego: 5/15 = 0,333 ; 4/15 = 0,266
Y así sucesivamente. Todo lo que hay que hacer es dividir la vida útil restante entre la
suma de dígitos.
Año Factor Porcentaje Valor activo
Cuota
depreciación
Depreciación
acumulada
Valor neto en
libros
1 0,333 33,3% 30.000.000,00 10.000.000,00 10.000.000,00 20.000.000,00
2 0,267 26,7% 30.000.000,00 8.000.000,00 18.000.000,00 12.000.000,00
3 0,200 20,0% 30.000.000,00 6.000.000,00 24.000.000,00 6.000.000,00
4 0,133 13,3% 30.000.000,00 4.000.000,00 28.000.000,00 2.000.000,00
5 0,067 6,7% 30.000.000,00 2.000.000,00 30.000.000,00 -

B) Método de depreciación creciente:
Este método determina cuotas de depreciación con aumento progresivo hacia los
últimos años de la vida útil. En este el orden de los dígitos no se invierte, sino que los
factores variables de depreciación periódica se obtienen en el mismo orden al de los
períodos a depreciar.
Del ejemplo anterior: Siguiendo el mismo orden en que hemos colocado los sumandos
formaremos fracciones sucesivas crecientes, tomando como común denominador la
suma de los mismos.
1/15 ; 2/15 ; 3/15 ; 4/15 ; 5/15
Año Factor Porcentaje Valor activo
Cuota
depreciación
Depreciación
acumulada
Valor neto en
libros
1 0,067 6,7% 30.000.000,00 2.000.000,00 2.000.000,00 28.000.000,00
2 0,133 13,3% 30.000.000,00 4.000.000,00 6.000.000,00 24.000.000,00
3 0,200 20,0% 30.000.000,00 6.000.000,00 12.000.000,00 18.000.000,00
4 0,267 26,7% 30.000.000,00 8.000.000,00 20.000.000,00 10.000.000,00
5 0,333 33,3% 30.000.000,00 10.000.000,00 30.000.000,00 -
MÈTODO DE LA REDUCCION DE SALDOS
Este es otro método que permite la depreciación acelerada. Para su implementación,
exige necesariamente la utilización de un valor de salvamento, de lo contrario en el
primer año se depreciaría el 100% del activo, por lo perdería validez este método.
FORMULA:
Tasa de depreciación = 1- (Valor de salvamento/Valor activo)1/n
Continuando con el ejemplo del vehículo (suponiendo un valor de salvamento del 10%
del valor del vehículo) tendremos:
(3.000.000/30.000.000)1/5 = 0,36904 = 36.9%
Año
Tasa
depreciación
Valor sin
depreciar
Cuota
depreciación
Depreciación
acumulada
Valor neto en
libros
1 36.9% 30,000,000.00 11,071,279.67 11,071,279.67 18,928,720.33

2 36.9% 18,928,720.33 6,985,505.22 18,056,784.88 11,943,215.12
3 36.9% 11,943,215.12 4,407,555.82 22,464,340.71 7,535,659.29
4 36.9% 7,535,659.29 2,780,979.72 25,245,320.42 4,754,679.58
5 36.9% 4,754,679.58 1,754,679.58 27,000,000.00 3,000,000.00

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