Este documento presenta la versión de evaluación del 23 de abril de 2012 del libro de texto Matemáticas I para Telesecundaria. En la introducción se mencionan los objetivos y enfoque del libro, así como los organismos y profesionales involucrados en su elaboración. El libro consta de cinco bloques divididos en secuencias de aprendizaje, cada una centrada en un tema matemático. Cada secuencia contiene actividades, ejercicios y evaluaciones para guiar el aprendizaje de los estudiantes.

1. Versión de evaluación 23/04/12
Matemáticas I
TS-matematicas1.indb 1
17/04/12 16:35

2. Coordinación técnico-pedagógica
Dirección de Desarrollo e Innovación de Materiales Educativos,
dgme/sep
María Cristina Martínez Mercado, Gabriel Calderón López,
Alexis González Dulzaides
Autores
Diana Karina Hernández Castro, José Alfredo Rutz Machorro,
Citlali Yacapantli Servín Martínez, Eladio Escobedo Trujillo,
Francisco Ángel Vela Sánchez, Leonardo Jiménez Hernández,
Adriana Rodríguez Domínguez, Olga Leticia López Escudero,
Manuel García Minjares, Jesús Manuel Hernández Soto, Víctor Manuel
García Montes, Ana María López Avilés, Mauricio Héctor Cano Pineda,
Jesús Miguel Buendía Solorio
Revisión técnico-pedagógica
Ángel Daniel Ávila Mujica
Coordinación editorial
Dirección Editorial dgme/sep
Alejandro Portilla de Buen, Olga Correa Inostroza
Cuidado editorial
Anne Alberro Semerena
Producción editorial
Martín Aguilar Gallegos
Servicios editoriales
Rocío Mireles Gavito
Diseño y diagramación
Rocío Mireles Gavito, Bruno Contreras, Fernando Villafán
Investigación iconográfica
Cynthia Valdespino, Erandi Alvarado
Corrección de textos
Eduardo Méndez Olmedo
Versión de evaluación 23/04/12
Matemáticas I. Telesecundaria fue elaborado por la Dirección General de Materiales Educativos (dgme) de la Subsecretaría de Educación Básica,
Secretaría de Educación Pública.
Ilustraciones
Leonardo Olguín Landa (pp. 20b, 73, 75, 83, 107, 129, 159, 169, 180,
183, 184, 185, 191c, 194, 203, 211, 212, 220, 244, 250, 259).
Créditos iconográficos
Adam Wiseman (p. 239); Bruno Contreras (pp. 27, 28, 50, 53, 57, 59,
60, 147, 191b, 214-216, 271a); Cynthia Valdespino (pp. 8, 12, 14, 63,
78, 81, 93, 96, 99, 118, 119, 131, 134, 157, 160, 164, 176, 189, 207,
227, 234); Fernando Villafán (pp. 20a, 33, 62, 67, 166, 191a, 210, 242,
278); Rocío Mireles Gavito (pp. 98, 243); iStockphoto (pp. 22, 23, 29,
66, 71, 88, 94, 101, 103, 104, 105, 124, 128, 150, 151, 162, 175, 208,
248, 249, 252, 271, 279, 282)
Primera edición, 2012 (ciclo escolar 2013-2014)
D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2012
Argentina 28, Centro,
06020, México, D.F.
ISBN: 978-607-514-022-3
Impreso en México
D istribución gratuita -P rohibida su venta
TS-MATE-1-LEGAL.indd 2
25/04/12 14:44

3. En el marco del Acuerdo 592, por medio del cual se establece la Articulación
de la Educación Básica, así como del Acuerdo 593 que señala los programas
de estudio de la asignatura de Tecnología para la educación secundaria, la
Secretaría de Educación Pública ha consolidado una propuesta de libros de
texto, a partir de un nuevo enfoque centrado en la participación de los alumnos
en su proceso de aprendizaje y en el desarrollo de las competencias básicas
para la vida y el trabajo. Especialmente en el contexto de la Telesecundaria,
el libro de texto se complementa con las Tecnologías de la Información
y Comunicación (tic), con los objetos digitales de aprendizaje, los materiales y
equipos audiovisuales e informáticos que, junto con las bibliotecas escolares,
representan el soporte pedagógico de los niños mexicanos en su proceso de
adquisición del conocimiento escolarizado.
Esta nueva generación de libros de texto para Telesecundaria responde al
principio de mejora continua, por lo que ha puesto atención en el replanteamiento
de las cargas de contenido para centrarse en estrategias innovadoras para el
trabajo escolar, incentiva habilidades orientadas al aprovechamiento de distintas
fuentes de información, busca que los estudiantes adquieran habilidades para
aprender de manera autónoma incentivando el uso intensivo de la tecnología
informática. Asimismo, con la intención de dar continuidad a la propuesta
editorial iniciada en los libros de texto de primaria, en este libro se ha fortalecido
la línea editorial que promueve una lectura integral capaz de interpretar tanto
el discurso textual como el visual. Se ha incluido en sus páginas una muestra
representativa de géneros y técnicas plásticas, así como propuestas iconográficas
que no sólo complementan el contenido textual, sino lo enriquecen y conforman
por sí mismos una fuente de información para el alumno.
En la preparación de este libro confluyen numerosas acciones de colaboración
de organismos y profesionales, entre los que destacan asociaciones de padres
de familia, investigadores del campo de la educación, instituciones evaluadoras,
maestros, editores y expertos en diversas disciplinas. A todos ellos la Secretaría
de Educación Pública les extiende un agradecimiento por el compromiso
demostrado con cada niño residente en el territorio nacional y con aquellos
mexicanos que se encuentran fuera de él.
Secretaría de Educación Pública
Versión de evaluación 23/04/12
Presentación institucional
Presentación

4. 8
De fracción a número decimal
10
Secuencia 2
Fracciones y decimales en la recta
18
Secuencia 3
Sumas y restas de fracciones
26
Secuencia 4
Sucesiones de números y figuras
31
Secuencia 5
Literales en fórmulas geométricas
40
Secuencia 6
Trazo de triángulos y cuadriláteros
50
Secuencia 7
Alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en los triángulos
56
Secuencia 8
Reparto proporcional
62
Secuencia 9
Bloque 2
6
Secuencia 1
Bloque 1
Conoce tu libro
Juegos de azar
68
78
Secuencia 10
Criterios de divisibilidad
80
Secuencia 11
MCD y mcm
88
Secuencia 12
Sumas con fracciones y decimales
93
Secuencia 13
Multiplicación y división con fracciones
98
Secuencia 14
Propiedades de la mediatriz y bisectriz
106
Secuencia 15
Fórmulas para calcular área y perímetro
112
Secuencia 16
Proporcionalidad directa
118
Versión de evaluación 23/04/12
Índice

5. 124
Versión de evaluación 23/04/12
Bloque 3
Secuencia 17
126
Secuencia 18
División con decimales
130
Secuencia 19
Ecuaciones de primer grado
134
Secuencia 20
Construcción de polígonos regulares
142
Secuencia 21
Cálculo de área y perímetro
149
Secuencia 22
Factor de proporcionalidad
154
Secuencia 23
Registro de una experiencia aleatoria
162
Secuencia 24
Bloque 4
Multiplicación con decimales
Análisis de frecuencia absoluta y relativa
170
178
Secuencia 25
180
Secuencia 26
El círculo y cómo construirlo
189
Secuencia 27
Pi en el círculo
196
Secuencia 28
Regla de tres
203
Secuencia 29
Proporcionalidad utilizando escala
210
Secuencia 30
Problemas de conteo
214
Secuencia 31
Bloque 5
Números positivos y negativos
Tipos de gráficas
225
234
Secuencia 32
Sumas y restas con enteros
236
Secuencia 33
Notación exponencial
244
Secuencia 34
Raíz cuadrada
252
Secuencia 35
Sucesiones con progresión aritmética
262
Secuencia 36
Área y perímetro del círculo
269
Secuencia 37
Proporcionalidad múltiple
278
Hoja para las familias
284

6. Has estudiado Matemáticas durante toda la primaria. Ahora que inicias la secundaria, uno de los propósitos del plan de estudios es que uses lo que ya sabes para aprender los nuevos conocimientos que te serán presentados. Tu
profesor, con el apoyo de este libro y con el uso de algunos recursos tecnológicos, te ayudará a que lo logres.
Lo primero será conocer tu libro y familiarizarte con los elementos que lo forman.
Tu libro de Matemáticas consta de cinco bloques. Cada uno contiene varias secuencias de
aprendizaje. En cada secuencia estudiarás un tema del programa de Matemáticas a través de
varias sesiones. Una sesión está diseñada para que la trabajes en una clase, aunque en ocasiones será necesario que le dediques un poco más de tiempo.
Bloque 2
Bloque 1
común divisor
o el máximo
lemas utilizand
• Resolver prob ún múltiplo.
n
y el mínimo com
os que implique
lemas geométric alturas, las medianas,
las
• Resolver prob
propiedades de
gulos
el uso de las
ctrices en trián
ces y las bise
las mediatri
.
y cuadriláteros
s y viceversa.
arios a decimale
eros fraccion
esentar
• Convertir núm
ones para repr
zar las convenci
a numérica.
• Conocer y utili arios y decimales en la rect
cion
ir
números frac
figuras a part
números o de
sucesiones de
• Representar
a.
dada y vicevers
de una regla
Bloque 3
que efectuar
que se tengan
eros
lemas en los
ciones y núm
• Resolver prob
iones con frac
nes y/o divis
multiplicacio
ciones
decimales.
n el uso de ecua
ique
lemas que impl
c, donde
• Resolver prob + a = b; ax = b y ax + b =
x
s.
y/o decimale
de las formas:
eros naturales
a, b y c son núm
n el cálculo de
s que implique
encontrar
lema
fórmulas para
• Resolver prob
variables de las cuadriláteros y
las
cualquiera de
gulos,
entre
el área de trián
ión que existe
el perímetro y
. Explicar la relac
lares
polígonos regu
figuras.
el área de las
el perímetro y
TS_MAT1_B2_S10.indd 78-79
Bloque 4
TS_MAT1_B1_S01.indd 8-9
Bloque 5
3/21/12 11:46 AM
cumplan con
regulares que
los y polígonos
• Construir círcu es establecidas.
cier tas condicion
cas de barras
en gráfi
ión presentada
cas para
• Leer informac
tipos de gráfi
Utilizar estos
y circulares.
mación.
comunicar infor
el uso de
que impliquen
tivos
lemas aditivos
o decimales posi
• Resolver prob
ros, fraccionarios
números ente
la raíz
y negativos.
n el cálculo de
ique
y decimales.
lemas que impl
• Resolver prob ncias de números naturales
ta del tipo
cuadrada y pote
nalidad direc
3/21/12 11:47 AM de proporcio
s
lema
o externa es
• Resolver prob en los que la razón interna
,
“valor faltante”
cionario.
un número frac
TS_MAT1_B3_S17.indd 124-125
TS_MAT1_B4_S25.indd 178-179
3/21/12 11:47 AM
TS_MAT1_B5_S32.indd 234-235
6
3/21/12 11:47 AM
3/21/12 11:48 AM
Versión de evaluación 23/04/12
Conoce tu libro

7. En cada secuencia de aprendizaje podrás encontrar los apartados siguientes:
27
cia

Autoevaluación
Pi en el círculo
Justificación de la fórmula para calcular la longitud
de la circunferencia y el área del círculo (gráfica
y algebraicamente). Explicación del número π (pi)
como la razón entre la longitud de la circunferencia
y el diámetro.
Es una actividad que te permitirá diagnosticar
y rescatar las ideas previas. Aquí se relaciona
el nuevo conocimiento que aprenderás con
algo que ya hayas estudiado.
Sesión 108
Su propósito es que valores los aprendizajes, tanto de conocimientos como de
habilidades, que desarrollaste durante la
secuencia, contestando una pregunta o
completando alguna información.
En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.
 sabes tú?
¿Qué
rad
io
Observa la siguiente imagen.
B4
B1
diámetro
Sesión 111
En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.
3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma
círculo
cir
bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados?
cu
nf

Manos a la obra
er
Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?
en
cia
Lleva a cabo las siguientes actividades.
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
 ¿Qué sabes tú?
¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?
1. Observa la imagen.
Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área
del círculo de la imagen anterior.
Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?
¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?
¿Consideran que influye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?
Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más
196
frecuencia?
TS-matematicas1.indb 196

Manos a la obra
¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?
¿Y con el área?
¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?
¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo?
2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.
200
17/04/12 16:36
17/04/12 16:36
Responde lo siguiente.
1. Describe un juego que sea de azar.
2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la
canica por la salida 1?
1
2
1
a)
3
1
2 3
4
1
c)
d)
76
Es una información curiosa y a veces poco
conocida.
¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para
colocar las tres cuerdas?
¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?
B4
En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.
1. Resuelve lo siguiente.
a
b
C
Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con
ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de
este punto a los lados del ángulo. Mídelas.
¿Qué observas?
¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma
distancia uno del otro?
En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las propiedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y trazo de esta situación.
Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tamaños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen
con color rojo las partes en las que se observen las propiedades de dicho lugar geométrico.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos
ángulos iguales.

Manos a la obra
También es el lugar geométrico de los puntos del plano que
están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas
de un ángulo.
1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los
integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.
Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres
ángulos internos es también la mediatriz de los lados
opuestos.
Convivencia social
Asistencia a eventos
culturales, deportivos
y de entretenimiento
Un dato interesante…
Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres
ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que
esto es imposible.
Deportes y ejercicio físico
Utilización de medios
masivos de comunicación
Q
P
a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.
b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con
un color los que, además de ser ejes de simetría,
también sean mediatrices de algún lado de las figuras, y con otro color los que sean bisectrices de
algún ángulo de las figuras.
c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia
de los tres lados del siguiente triángulo (pista: recuerda que cualquier punto de la bisectriz de un
ángulo está a la misma distancia de los dos lados
que lo forman).
Sesión 98
B3
Evaluación
5. ¿En cuál d
2 cm
Consulta en…
Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.
Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y decomprar siguiente
1. Jacinto requiere aula el 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda
libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en
en internet. ¿Cuántos doblado de
papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
$14.30?
a) $ 2 152.534
6. En una ca
2 amarillos
b) $ 2 152.354
c) $ 2 152.435
Traza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con
d) $ 2 152.4035
color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad.
a) Hay má
b) Hay má
Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con
color rojo las distancias de los puntos a los2. Considera la ecuación 9 x =la propiedad.
lados del ángulo. Define 270.
¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior?
a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm.
110
4.2
3
Se te presentarán tanto ejercicios como
problemas en los que podrás elegir la
respuesta correcta entre cuatro opciones, aunque en algunos casos tendrás
que escribir una respuesta breve.

Autoevaluación
28.1
Participación en juegos
y aficiones
Sesión 61

Manos a la obra
c
2
16/04/12 18:53
Evaluación
B
A
111
Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.
c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm.
TS_MAT1_B2_S14.indd 110-111
c) Hay má
d) Hay má
La siguiente
de energía elé
4 casas duran
b) El área de un eneágono regular mide 270 cm.
3/21/12 11:49 AM
d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm.
¿A qué actividad le dedican más tiempo?
¿A qué actividad le dedican menos tiempo?
3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se
muestra en la tabla.
Consulta en…
Tiempo (minutos)
Distancia
21 min
7 km
42 min
14 km
55 min
84 min
28 km
7. ¿En qué m
gía eléctric
a) Enero
Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió?
A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se
construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato.
Son sugerencias para que revises otros materiales, de modo que puedas ampliar y
ejercitar tus aprendizajes por medio de videos, libros de la biblioteca y sitios de internet, entre otros.
Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.
Consulta en…
Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas:
<http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico>
<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf>
<http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf>
<http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P>
<http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html>
230
TS-matematicas1.indb 230
2
b)
S14
En la figura de la derecha podemos observar un triángulo
rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central
de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se
pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vértice B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué puntos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre
el puente?
Un dato interesante…
2.1
 Autoevaluación
En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de
las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.
En esta sesión continuarás aplicando las propiedades
de la bisectriz de un ángulo.
Formen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.
6.7
En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin
embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontar alguna estrategia de juego.
B2
Sesión 60

Manos a la obra
59.0
Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?
TS_MAT1_B1_S09.indd 76
En cada bloque encontrarás:
Sesión 129
Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más.
Inicia con una breve introducción, la cual continúa
con una actividad en la que hallarás preguntas que
te ayudarán a construir tu conocimiento y a analizar
lo que estés aprendiendo. Algunas veces trabajarás
individual­ ente y otras en equipo o con todo el grum
po. En esta sección también encontrarás las conclusiones sobre los conceptos estudiados.
Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno.
TS-matematicas1.indb 200
¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción?
17/04/12 16:37
b) Febrero
a) 15.00 km
c) Diciemb
d) Marzo
b) 20 km
c) 18.33 km
d) 22 km
9. ¿Qué políg
4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas
hojas higiénicas contiene el rollo?
a) Dodecá
b) Undecá
a) 300.23
c) Pentad
b) 499.10
d) Icoságo
c) 400.51
d) 420.19
176
TS_MAT1_B3_S24.indd 176-177
7

8. Versión de evaluación 23/04/12
Bloque 1

9. Versión de evaluación 23/04/12
viceversa.
a decimales y
fraccionarios
r tir números
• Conve
presentar
iones para re
r las convenc
numérica.
s en la recta
nocer y utiliza
• Co
s y decimale
s fraccionario
ras a par tir
número
eros o de figu
siones de núm
resentar suce
• Rep
viceversa.
regla dada y
de una

10. uen
S ec
1
cia
De fracción
a número decimal
Sesión 1
En esta sesión identificarás lo que es una fracción decimal.
 sabes tú?
¿Qué
Reúnete con un compañero y organicen en la tabla las fracciones siguientes, considerando si
son decimales o no.
3
4
3
7
1
2
3
10
5
9
Fracciones decimales
31
100
1
6
5
8
23
1000
92
10
Fracciones no decimales
Escriban en la tabla dos ejemplos más en cada columna.
Comenta con tu compañero cómo establecieron cuáles son las fracciones decimales.
Recuerda que toda expresión de la forma a ,
b
donde b es diferente de cero, recibe el
nombre de fracción común.
10
4
11
Versión de evaluación 23/04/12
Conversión de fracciones decimales y no decimales
a su escritura decimal y viceversa.

11. Contesten lo siguiente:
Las que se encuentran en la columna denominada fracciones decimales, ¿son también
fracciones comunes?
Observen las fracciones siguientes:
3
10
31
100
23
1000
¿Qué pueden comentar sobre los denominadores?
2. En equipos, contesten lo que se les pide.
Escriban una fracción decimal que sea equivalente a 2 =
5
¿Cómo obtuvieron esa fracción decimal equivalente?
Encuentren una fracción decimal que sea equivalente a 2 =
3
¿Pudieron obtenerla?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Junto con tu compañero, revisen la tabla donde clasificaron las fracciones.
A las fracciones comunes que tienen
como denominador una potencia de
10, es decir 10, 100 y 1 000… se les
conoce como fracciones decimales.
¿Por qué?
Completen el siguiente enunciado:
Una fracción común puede expresarse como fracción decimal cuando…
11

12. B1
Sesión 2
En esta sesión representarás fracciones comunes en su notación decimal.

Manos a la obra
Adrián compró cuatro carretes de listón de 15 m cada uno, necesita hacer moños de diferentes tamaños y para ello cortará un carrete en 10 trozos iguales, un segundo en 30, el
tercero en 5 y el cuarto en 2.
¿Cuánto medirá cada trozo?
Del primer carrete
Del segundo carrete
Del tercer carrete
Del cuarto carrete
¿Cómo determinaron lo que debe medir cada tramo de listón?
En algunas ocasiones, las fracciones comunes
representan divisiones como en el problema
anterior, donde el numerador es el dividendo
y el denominador es el divisor, esto es
n = d n
d
a) 4 =
5
¿Realizaron alguna operación?
¿Cuál?
¿Cuáles trozos se pueden representar con una fracción decimal?
2. En equipos, realicen las divisiones que indican las fracciones comunes siguientes. Aproximen sus resultados a dos o tres cifras decimales.
b) 3 =
c) 21 =
d) 35 =
10
4
100
e) 5 =
7
f) 4 =
9
g) 7 =
15
3
h) 2 =
Pongan atención en los residuos de las divisiones que efectuaron y contesten lo siguiente:
¿En cuáles casos pudieron calcular el cociente exacto, es decir, obtuvieron como residuo 0?
Una fracción se puede
escribir también con notación decimal.
12
¿Qué observan en los cocientes donde no se obtuvo residuo 0?
Con la participación de todo el grupo y con la guía de su profesor concluyan cómo
obtener la notación decimal de una fracción común. Anótalo en tu cuaderno.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

13. S1
En esta sesión obtendrás la representación de números decimales como
fracciones comunes.
Sesión 3

Manos a la obra
Al dividir ciertos números enteros entre una potencia de 10 (por ejemplo 10, 100 o 1 000)
Noemí obtuvo los siguientes cocientes: 0.4, 0.45, 0.125, 0.564, 2.6 y 13.567. Indiquen un
posible divisor y un posible dividendo correspondiente a cada cociente.
Cociente 0.4:
divisor
, dividendo
Cociente 0.45:
divisor
, dividendo
Cociente 0.125:
divisor
, dividendo
Cociente 0.564: divisor
, dividendo
Cociente 2.6:
divisor
, dividendo
Cociente 13.567: divisor
, dividendo
Comparen sus respuestas con las de otros equipos.
Obtengan las fracciones decimales correspondientes a las divisiones anteriores.
2. En parejas, contesten las preguntas siguientes.
a) En una clase de telesecundaria Martín dice que 0.4 corresponde a 4 , y Héctor que a 2 .
10
5
¿Quién de los dos tiene la razón?
b) Salvador afirma que 0.45 corresponde a 9 , y Guadalupe que a 45 .
20
100
¿Quién de los dos está en lo correcto?
¿Son equivalentes las fracciones 9 y 45 ?
¿Por qué?
20 100
c) Rosa dijo que al transformar ciento veinticinco milésimas a una fracción decimal y simplificarla, obtuvo 1 . ¿Es correcto lo dicho por Rosa?
8
Expliquen brevemente por qué.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
d) ¿Cómo se convierte un número decimal a fracción?
e) Describe en tu cuaderno cómo se puede simplificar una fracción a su mínima expresión.
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y con ayuda del profesor determinen un
procedimiento para escribir un número decimal como fracción común representada en su
mínima expresión.
13

14. B1
3. Relacionen los números decimales con su respectiva fracción.
a) 69
250
0.58
b) 3
4
0.276
c) 21
25
0.75
d) 9
10
0. 840
e) 29
50
4. Resuelvan los siguientes problemas.
a) Víctor pidió 1 3 kg de tortillas, el encargado colocó en su báscula digital una pila de
4
tortillas y en la pantalla apareció 1.750 kg. Expliquen si le despacharon correctamente
o no las tortillas a Víctor.
b) La mamá de Rubén quiere cambiar en el banco unos cheques que le dieron, por las siguientes cantidades:
Su Banco
Su Banco
Fecha: 15 de agosto 2013
Fecha: 10 de agosto 2013
68
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 2 538.
68 M.N.
Dos mil quinientos treinta y ocho pesos
100
220
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 561.
220
M.N.
Quinientos sesenta y un pesos
100
CHEQUE 0000101
CHEQUE 0000211
Firma
Su Banco
Firma
Fecha: 11 de agosto 2013
06
Pague por este cheque a: Luz María Archundia $ 5 000.
Cinco mil pesos
CHEQUE 0001201
6
M.N.
100
Firma
Ya en la ventanilla, la cajera le dijo que una cantidad está mal representada.
¿Cuál es la cantidad incorrecta?
Expliquen en su cuaderno por qué.
Comenta con tu grupo y con tu profesor un procedimiento que permita representar un
número decimal como fracción común.
14
Versión de evaluación 23/04/12
0.9

15. S1
Sesión 4
En esta sesión representarás números decimales como
fracciones no decimales.

Manos a la obra
1. Reúnete con dos compañeros para realizar lo que se plantea a continuación.
Versión de evaluación 23/04/12
a) Sumen el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:
8=6+2
Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.
b) Resten el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:
750 = 500 + 250
Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.
c) Multipliquen por el número que quieran en ambos lados de la siguiente igualdad:
15 = 20 − 5
Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.
d) Dividan entre el número que quieran distinto de 0, en ambos lados de la
siguiente igualdad:
1000 = 500 × 2
Expliquen brevemente en su cuaderno por qué el resultado es otra igualdad.
Después de haber conocido algunas propiedades de las igualdades, las cuales usarás en este tema de fracciones, retoma el estudio sobre cómo representar las fracciones en su forma común o decimal.
Cuando se tiene una igualdad,
al operar en ambos lados de
ésta con un mismo número,
sumando, restando, multiplicando o dividiendo se obtendrá otra igualdad.
2. Con tu mismo equipo, identifiquen un decimal o un grupo de decimales (periodo) que se
repiten varias veces en los cocientes siguientes y enciérrenlo con color rojo.
2 = 0.2222…
9
3 = 0.27272727…
11
41 = 0.123123123123…
333
1 = 0.16666…
6
Al expresar una fracción común en su forma decimal, en ocasiones el cociente se repite
indefinidamente, se dice entonces que el cociente es periódico y esto se representa colocando un segmento sobre dicho periodo. Por ejemplo,
2 = 0.2
9
3 = 0.27
11
41 = 0.123
333
1 = 0.16
6
De los números decimales anteriores:
a) ¿Cuál es el decimal periódico del primer cociente?
b) ¿Cuál de las fracciones tiene un cociente periódico de tres dígitos?
15

16. B1
3. Continúa con tu equipo para analizar el siguiente procedimiento que permite obtener la
fracción común de los números decimales periódicos.
Se quiere encontrar la fracción común correspondiente al número decimal 0.3
Como no se conoce la fracción, se dejará el espacio, representado por un cuadrado.
se iguala con el número decimal periódico:
= 0.3 multiplican ambos términos de la igualdad por 10 para tener una
Se
nueva igualdad, porque el periodo está formado por un decimal que
se repite. Si el periodo tuviera dos dígitos que se repiten, se multiplicaría por 100, si tuviera 3 por 1 000, y así consecutivamente.
Entonces:
= 0.333
10 ×
= 10 × 0.333
10 ×
= 3.333
1
2
Para eliminar los decimales periódicos se resta la igualdad 1 de la igualdad 2 :
10 ×
−
9×
= 3.333 − 0.333
=3
Se dividen entre nueve los dos lados de la igualdad para dejar al
9×
9
sólo de un lado de la igualdad:
= 3
9
Entonces, como 9 = 1 se tiene:
9
= 3
9
3
Esto quiere decir que, 0.3 =
=
9
Como 3 se puede expresar como 1 , se concluye que 0.3 = 1
9
3
3
4. Identifiquen el decimal periódico de los números decimales siguientes y con el procedimiento anterior obtengan las fracciones comunes correspondientes.
a) 0.6666...
b) 0.36363636...
c) 0.135135135135135...
16
Versión de evaluación 23/04/12
Para encontrar cuánto vale

17. S1
5. En equipos, contesten lo siguiente.
a) ¿Qué tipo de fracción da como resultado un número decimal periódico?
b) ¿Cuál es el denominador de las fracciones que obtuvieron en cada inciso del ejercicio
anterior?
cantidad de cifras que tiene el periodo?
d) Si se expresan 0.3 y 0.3 como fracción común, ¿se obtiene la misma fracción?
¿Por qué?
Comparen sus resultados y sus respuestas con otros equipos.
( ) 0.7
a) 5
11
( ) 0.45
b) 15
37
( ) 0.405
6. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que corresponda.
c) 7
9
Consulta en…
Busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente libro para conocer más sobre el
tema: Luz María Marván, “Escritura decimal infinita” y “Otros símbolos para números no
enteros”, en Representación numérica, México, SEP-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
Entra al sitio: http://www.thatquiz.org/es-e/matematicas/fracciones/reducir/. Elige en el
recuadro de la izquierda las opciones “Fracción a decimal” y “Decimal a fracción”. Selecciona
el nivel en el que quieras practicar estas conversiones.
Versión de evaluación 23/04/12
c) ¿Qué relación encuentran entre la cantidad de nueves que tiene el denominador y la

Autoevaluación
Escribe en tu cuaderno lo siguiente.
• n procedimiento para expresar una fracción común como número decimal.
U
• n procedimiento para expresar un número decimal como fracción común.
U
17

18. 2
cia
Representación de números fraccionarios
y decimales en la recta numérica a partir
de distintas informaciones, analizando
las convenciones de esta representación.
Sesión 5
En esta sesión aprenderás que en la recta numérica se pueden representar
números enteros, fracciones comunes y decimales, lo cual es muy útil porque
permite comparar números o comprobar equivalencias.
 sabes tú?
¿Qué
Gradúa las siguientes rectas numéricas según se te indique, es decir, marca las partes que
corresponden a cada división.
En cuartos.
0
1
0
1
En quintos.
En décimos.
0
18
1
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Fracciones y decimales
en la recta

19. 1. En equipos de a lo más tres integrantes, escriban los números que hagan falta para completar la graduación de cada recta.
a)
2
10
0
5
10
9
10
b)
0
0.3
0.8
c)
0
0.4
5
10
0.9
2. Expliquen por qué en una recta se pueden ubicar tanto fracciones comunes como decimales.
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
3. En la siguiente recta escriban la fracción común o el número decimal correspondiente al
punto donde se ubica cada letra.
0
a
c
b = 1
2
d
Ahora comenten qué es lo que deben considerar para representar en una recta numérica
una fracción común y un número decimal.
19

20. B1
Sesión 6
En esta sesión observarás cómo se puede representar en la recta numérica
una fracción si se conoce la ubicación de otro par de fracciones.
1. n una escuela telesecundaria realizaron
E
competencias atléticas para conmemorar el 40 aniversario de su fundación.
Alumno
Juan Godínez
José Sandoval
Erik López
4
Longitud aproximada del salto (metros)
41
2
2
4
3
43
5
En la tabla se muestran las tres mejores marcas obtenidas en salto de longitud por distintos alumnos:
En la siguiente recta se ha representado el
salto de Erik López.
43
5
Reúnete con un compañero y representen en la recta anterior los saltos de los otros dos
alumnos.
Considerando que el ganador es el que realizó el salto más largo, ¿cómo otorgarías las
medallas?
20
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra

21. S2
2. En parejas, ubiquen en la siguiente recta los números 7 , 1 , 12 , 0, 1 1 y 2 .
3 3 6
6 5
1
¿Qué hicieron para ubicar el 0?
¿Cuántos sextos se representan en la marca de 1 ?
3
¿Qué otro número representa 12 ?
6
¿Qué hicieron para ubicar a 2 ?
5
Comparen sus respuestas con las de otros equipos y escriban en su cuaderno un procedimiento que les permita ubicar cualquier fracción cuando se tienen como referencia otras
dos fracciones.
3. Localiza las fracciones que se indican en cada inciso.
a) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 2 , 7 y 9 .
3 9 6
0
1
3
4
6
b) En la siguiente recta numérica ubica el 0 y las fracciones 3 , 3 y 11 .
2 10 5
2
5
Versión de evaluación 23/04/12
5
6
c) En la siguiente recta numérica ubica las fracciones 1 , 3 y 5 .
4 5 12
1
3
1
2
Comenta con un compañero qué deben hacer cuando en una recta hay previamente localizadas al menos dos fracciones que no tienen un denominador común y se desea ubicar otra.
21

22. B1
Sesión 7
En esta sesión representarás números decimales en la recta numérica.

Manos a la obra
1. En parejas, completen la graduación de las siguientes rectas.
5
5.5
6
¿Cuánto representa cada segmento de la recta?
b)
7.2
7.24
7.29
7.3
¿Cuánto representa cada segmento de la recta anterior?
2. En parejas, lean la información siguiente y realicen lo que se indica.
Entre las competencias atléticas, la carrera de 100 m planos es considerada la reina de las
pruebas. Para determinar quién es el ganador se requiere manejar números decimales. Para
tal efecto, consideren la siguiente tabla de resultados obtenidos por las tres alumnas más
rápidas en las competencias conmemorativas del aniversario de su telesecundaria.
Alumna
Ana Juárez
Sonia Martínez
Claudia Pérez
Tiempo (en segundos)
13.6
13.3
13.4
Ubiquen cada una de las marcas en la recta numérica siguiente.
12
22
14
Versión de evaluación 23/04/12
a)

23. S2
3. Lee la siguiente situación y realiza lo que se pide.
Competidor
Braulio
Efrén
Teresa
Daniel
Reyna
Altura del salto (m)
1.43
1.50
1.45
1.48
1.51
Competidor
Alexa
Antonia
Jesús
Emmanuel
Aline
Altura del salto (m)
1.55
1.43
1.49
1.54
1.40
a) Ubica en la recta numérica los saltos registrados.
1.3
1.7
b) Contesta las preguntas.
¿Por qué la recta numérica no inicia en 0?
Para ubicar saltos como 1.45, 1.48 y 1.49, ¿en cuántas partes se tendrá que dividir el
espacio que hay entre 1.4 y 1.5?
c) Compara tus resultados con los de tus compañeros de grupo y contesten.
¿Hay saltos que estén ubicados en el mismo lugar en la recta numérica?
Andrea dice que 1.06 y 1.60 se ubican en el
mismo punto de la recta. Expliquen si es correcta o no la afirmación de Andrea.
¿Qué otro decimal se ubica en el punto 1.5?
.4
1
Para ubicar números decimales en la recta, como
1.5, 1.52, 1.524, etcétera, es necesario dividir cada
segmento en 10 partes iguales y cada una de éstas
en otras 10, y así sucesivamente.
1.5
1.5
1.6
1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59
Versión de evaluación 23/04/12
En la escuela también se hizo un torneo de salto de altura, en la tabla de abajo se registraron los diez mejores saltos.
1.6
1.52 1.521 1.522 1.523 1.524 1.525 1.526 1.527 1.528 1.529 1.530
23

24. B1
Sesión 8
En esta sesión continuarás trabajando con la ubicación de fracciones
y decimales en la recta numérica.
1. Realiza lo que se te indica y contesta.
a) Ubica 1 , 3 , 1 y 7 en la recta numérica.
2 5 4 8
0
1
b) Ubica 0.75, 0.5, 0.6 y 0.25.
0
1
Al comparar las rectas numéricas de los incisos a y b, ¿qué fracciones comunes y números
decimales se ubican en el mismo punto?
¿Cómo puedes usar una sola recta numérica para ubicar fracciones comunes y números
decimales?
2. En parejas, ubiquen en la recta numérica 3 , 0.5, 1 , 0.75 y 3 .
10
4
4
0
1
¿Cómo ubicaron fracciones y decimales en la misma recta?
a) ¿Cómo graduaron la recta?
b) En una recta graduada con fracciones, ¿es posible ubicar también decimales?
c) ¿Cómo se haría?
Consulta en…
Entra al sitio: http://miayudante.upn.mx/ficha.html?rgrado=5rconsul=4numfich=42,
ahí encontrarás más información sobre la ubicación de números en la recta numérica.
24
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra

25. S2
3. Expresa las siguientes fracciones en notación decimal y ubícalas en la siguiente recta.
b) 3 =
8
d) 7 =
20
e) 365 =
1000
0
c) 2 =
5
1
Explica cómo ubicaste las fracciones anteriores en la recta.
Para ubicar una fracción común en una recta numérica graduada con decimales, ¿qué importancia tiene expresarla en notación decimal?
4. Ubica 0.25, 0.3, 0.2 y 0.295 en la siguiente recta.
0
1
2
¿Qué hiciste para ubicar en la recta los números decimales?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros y escriban un procedimiento que les
permita ubicar fracciones comunes y decimales en la misma recta numérica.

Autoevaluación
Versión de evaluación 23/04/12
a) 38 =
100
Responde en tu cuaderno lo siguiente.
• Cómo se ubica una fracción en la recta numérica cuando ya están localiza¿
das otras dos?
• escribe una estrategia que te permita ubicar fracciones y números decimaD
les en la misma recta numérica.
25

26. 3
cia
Resolución y planteamiento de problemas
que impliquen más de una operación de suma
y resta de fracciones.
Sesión 9
En esta sesión identificarás cuándo un problema se puede resolver
con una adición, y para solucionarlo aplicarás tus conocimientos sobre
números fraccionarios.
 sabes tú?
¿Qué
En la vida cotidiana no siempre se emplean cifras exactas; por ejemplo, al comprar ciertos
productos es común el uso de fracciones para señalar la cantidad que se desea adquirir, por
lo que es habitual escuchar expresiones como: “quiero un cuarto de queso, y medio de jamón”.
Otro caso similar es indicar el nivel de combustible con el que cuenta un vehículo en términos
fraccionarios, al decir: “le queda un cuarto de gasolina”, o alguna otra expresión semejante.
1. En parejas, resuelvan lo siguiente.
En carpintería, es habitual expresar las medidas en
fracciones de pulgada. Observa la siguiente imagen y escribe abajo de cada clavo su medida en
pulgadas.
1 pulgada
1 pulgada
2
Compara tus medidas de los clavos con las de otro compañero.
¿Cuál de los clavos mide 7 de pulgada?
8
2 de pulgada?
¿Cuál clavo mide
3
¿Cuántos clavos miden más de 1 pulgada?
2
¿Cuáles clavos miden menos de 3 de pulgada?
4
26
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Sumas y restas
de fracciones

27. 
Manos a la obra
a) En el esquema de al lado se presentan pares de clavos de distinta medida, calculen
cuál sería el tamaño total de cada pareja de
clavos. Consideren las medidas de los clavos anteriores.
¿Cómo realizan una suma de fracciones con
diferente denominador?
b) Las distancias entre la telesecundaria y las
casas de Juan, Laura y María se ilustran en
el siguiente esquema.
1 1 km
2
Con base en la información que se presenta
contesten lo siguiente:
¿Cuál es la distancia total que recorrerá
Juan si primero va por María y después van
Casa
María
3 km
4
juntos a la telesecundaria?
¿Qué distancia recorrerá Juan para ir a la
telesecundaria si previamente va por Laura y
luego por María?
Comparen sus respuestas con las de otras
parejas.
c) Con base en la información del ejercicio anterior resuelvan en equipos las siguientes
preguntas.
Si consideramos el recorrido más corto de
sus casas a la telesecundaria, ¿cuál es la
distancia que recorren los tres estudiantes
en total?
Indiquen la ruta que muestra la siguiente
suma de fracciones y elaboren un enunciado
que describa el problema.
1+1+3
2 4 4
TELEsecundaria
1 km
4
1 km
2
Casa
Juan
3 km
4 km
5
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
4
Casa
Laura
Distancias entre las casas de Juan, Laura y María con la telesecundaria
Para llevar a cabo la suma de números fraccionarios con
denominadores distintos se emplean fracciones equivalentes. Por ejemplo, para efectuar la operación 2 + 3 se
3 4
deben buscar fracciones equivalentes para ambos términos, con la consigna de que tengan el mismo denominador.
Algunas fracciones equivalentes de 2 son 4 , 6 , 8 y 10 ,
3
6 9 12 15
y de 3 son 6 , 9 y 12 .
8 12 16
4
Para este problema las fracciones que tienen el mismo
denominador son 8 y 9 .
12 12
De esta manera:
2 + 3 = 8 + 9 = 17
3 4 12 12 12
27

28. B1
Sesión 10
En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre sustracción de fracciones
para resolver problemas.

Manos a la obra
En la siguiente imagen se muestra un conjunto de clavos que
se van a clavar en un bloque de madera. Considerando las
medidas de los clavos de la sesión anterior, indica qué longitud
de cada clavo quedará fuera de la madera.
¿Hay algún clavo cuya longitud coincida con el
grosor de la madera?
¿Cómo resolviste el problema?
1 pulgada
2
2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
a) A una madera de 3 de pulgada se le colocó un clavo de 3 de pulgada. Si la punta del
8
4
clavo llega exactamente al otro lado de la madera, ¿qué longitud del clavo quedó sin
ser clavado?
b) La señora Julia compró 2 3 kilogramos de guayabas y 1 kilogramo y medio de naranjas,
4
¿qué cantidad de guayabas compró más que de naranjas?
Para resolver una sustracción
de fracciones con diferentes
denominadores deben buscarse
fracciones equivalentes
con el mismo denominador.
Un problema que se soluciona
con una sustracción de fracciones responde a preguntas
como: ¿cuánto falta?, ¿cuánto
sobra?, ¿por cuánto es mayor?,
¿por cuánto es menor?,
¿cuál es la diferencia?
c) Una jarra contiene 3 1 litros de agua de tuna. Si Marisol, Sara, Ángel,
4
Alejandro y Sofía se sirvieron cada quien un vaso con 1 litro de agua,
2
¿qué cantidad de agua queda en la jarra?
d) En parejas, planteen un problema que se resuelva con la operación
3 − 5 y resuélvanlo.
4 12
¿Cuál es el resultado?
Comparen su problema con el de otras parejas y revisen que éste implique una sustracción de fracciones.
e) Para que un problema pueda resolverse mediante una sustracción,
¿qué tipo de preguntas se deben hacer?
28
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve el problema que se plantea.

29. S3
En esta sesión aplicarás tu conocimiento sobre adición y sustracción de
fracciones para resolver problemas.
Sesión 11

Manos a la obra
a) El siguiente cuadro presenta el total de litros de agua embotellada que consumen al día
los alumnos de la telesecundaria 10 en los tres grados que la integran, divididos entre
hombres y mujeres.
Género
Masculino
Femenino
Grado
Segundo
Primero
6 1 L
4
5 1 L
2
7 1 L
8
7 1 L
2
Tercero
7 3 L
4
9 1 L
4
¿Qué cantidad total de agua toman los alumnos de la telesecundaria 10?
¿Quiénes toman más agua, los hombres o las mujeres?
¿Cuál es la diferencia en litros?
¿Cuál es la diferencia de la cantidad total de agua ingerida por las alumnas de segundo
respecto de las de primer grado?
La fracción 3 es resultado de sustraer…
8
9 1 − 7 3
4
4
7 1 − 7 1
2
8
De acuerdo con este contexto, escribe una pregunta que se resuelva con la operación
del inciso anterior.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.
b) En cierta población, el canal XW es visto por 1 de los hombres y por 1 de las mujeres,
3
2
mientras que el canal XZ es visto por 1 de los hombres y por 5 de las mujeres.
5
8
¿Qué canal es más visto por la población?
¿En qué medida es más visto este canal?
Hasta aquí has aprendido a determinar cuándo aplicar una adición o una sustracción
para resolver problemas de fracciones.
29

30. B1
Sesión 12
En esta sesión aprenderás a identificar cómo resolver problemas,
cuáles y cuántas operaciones son necesarias para su solución.

Manos a la obra
a) Andrea compró y puso en una bolsa 1 kg de jamón, 3 kg de queso y 1 kg de salchi4
4
2
chas, y en otra bolsa lleva 1 kg de cebollas, 1 kg de jitomates, 1 kg de chile de árbol,
2
2
4
1 kg de tomates y 1 kg de aguacates. ¿Cuál de las dos bolsas pesa más?
4
2
b) El tiempo que destinó un joven para visitar a su novia la semana pasada fue: el lunes
3 de hora, el martes 1 hora 15 minutos, el miércoles 1 de hora, el viernes 2 horas 1 ,
4
2
4
3 .
el sábado 4 horas y media, y finalmente el domingo, 2 horas
4
¿Cuál fue el tiempo total que dedicó el joven a visitar a su novia?
¿Cuál fue el tiempo total de visita el fin de semana?
¿Qué diferencia hubo entre el tiempo total de viernes, sábado y domingo respecto del
resto de la semana?
2. En equipos, comparen sus resultados de los problemas anteriores y describan una estrategia para identificar cuándo deben utilizar la adición y cuándo la sustracción.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• Indica la operación + o −, según corresponda en cada inciso.
2
4
1
3
30
2
6
8 = 8
1
2
9 = 9
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan los problemas que se plantean.

31. 4
cia
Construcción de sucesiones de números o de figuras
a partir de una regla dada en lenguaje común.
Formulación en lenguaje común de expresiones generales
que definen las reglas de sucesiones con progresión
aritmética o geométrica, de números y de figuras.
En esta sesión estudiarás la relación que existe entre varias figuras que se
forman con un patrón, lo cual te permitirá conocer la formación de otras
figuras que tengan las mismas características.
 sabes tú?
¿Qué
Cuando al analizar una colección de figuras ordenadas es posible encontrar un patrón o una
regla a partir de la cual se pueden generar cada uno de los elementos de dicha colección, se
dice que conforman una sucesión.
Observa la siguiente sucesión y en tu cuaderno complétala hasta la figura 6.
Figura 1
Figura 2
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Sucesiones de números
y figuras
Sesión 13
Figura 3
Escribe con tus propias palabras una regla para encontrar cada figura de la sucesión.
31

32. B1

Manos a la obra
1. En parejas, analicen la siguiente sucesión de figuras y realicen lo que se indica en cada
inciso.
a) En su cuaderno, completen la sucesión dibujando hasta el término 10.
Término 2
Término 3
Término 4
b) Completen la tabla con la información obtenida de la sucesión anterior y contesten las
preguntas.
Número de término 1
2
3
4
5
Número de puntos
1
3
5
6
7
8
9
10
¿Cuántos puntos debe tener el término 15?
¿Cuántos puntos tendrá el término 22?
¿Y cuántos el término 27?
¿Cómo determinaron el número de puntos en cada término?
c) Agreguen a su tabla una fila en la que puedan calcular la diferencia entre el número de
puntos que tiene cada término.
Número de término
1
2
3
Número de puntos
1
3
5
3 − 1= 2
5−3=2
Diferencia
¿Cuántas puntos hay de diferencia entre cada término?
Escriban una regla que permita calcular la cantidad de puntos que tiene cada término.
d) Subrayen la regla que permite determinar el número de puntos que tendrá cada término
de la sucesión.
• Los números impares.
• Se multiplica por dos el número de cada término.
• A partir del segundo término se agrega dos al número de puntos del término anterior.
• Se multiplica por dos el número de cada término y se le resta uno.
32
Versión de evaluación 23/04/12
Término 1

33. S4
2. A continuación se muestran algunos elementos de una sucesión.
a) Dibujen en su cuaderno los primeros diez términos de esta sucesión.
Término 2
Término 5
b) Completen las siguientes tablas.
Número de término
1
2
Número de cerillos
Diferencia
Número de término
Número de cerillos
15
21
3
4
26
5
8
10
30
¿Cuántos cerillos hay de diferencia entre una figura y la siguiente?
c) Contesten las siguientes preguntas.
¿Cuál será el término con 51 cerillos?
¿Cuál será el término que tenga 63 cerillos?
¿Habrá algún término con 100 cerillos?
Explica tu respuesta.
Versión de evaluación 23/04/12
Término 1
Una sucesión de figuras es una colección de las
mismas que está determinada por una regla de
formación o de crecimiento, de tal manera que si se
identifica la regla podemos generar los elementos
de esa sucesión.
33

34. B1
Sesión 14
En esta sesión estudiarás sucesiones con progresión aritmética.

Manos a la obra
1. Realiza lo siguiente.
a) Completa la sucesión
, 51, 63,
, 87,
, 111,
,
, 147,…
Una sucesión numérica es una secuencia de números que siguen una regla. Se llama término
a cada uno de los números que la componen.
b) Encuentra una regla para obtener cualquiera de los términos de la sucesión anterior.
c) Completa la siguiente tabla.
Término
Número de la sucesión
Diferencia
1
15
2
3
4
5
27
51
63
27 − 15 =
6
7
87
8
9
111
d) Encuentra una regla para obtener cualquier término de la sucesión anterior y completa
la tabla siguiente, que es su continuación.
Término
Número de la sucesión
21
22
23
24
25
30
40
375
50
519
e) De las siguientes reglas, ¿cuáles son equivalentes a la que encontraste para obtener los
términos de la sucesión?
•• Sumar 12 al término anterior.
•• Calcular algunos múltiplos del 12.
•• Multiplicar por 12 el término y sumar 15.
•• Multiplicar por 12 el término y sumar 3.
Compara las respuestas que obtuviste con las de tus compañeros.
34
Versión de evaluación 23/04/12
15, 27,

35. S4
2. Relaciona ambas columnas escribiendo dentro del paréntesis la letra que contenga la regla
de formación correspondiente a cada sucesión.
Términos de la sucesión
Reglas de formación de la sucesión
a) Sumar 4 al término anterior
( ) 8, 13, 18, 23, 28, 33,…
b) Multiplicar el término por 5 y quitarle 2
( ) 2, 6, 10, 14, 18, 22,…
c) A cuatro veces el término agregarle 3
( ) 3, 8, 13, 18, 23, 28,…
d) Multiplicar el término por 5 e incrementarle 3
( ) 7, 16, 25, 34, 43, 52,…
e) Multiplicar el término por 5 y sumar 4
( ) 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 45,…
f) Nueve veces el término y 2 unidades menos
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Una sucesión numérica es una progresión aritmética si para obtener cada
uno de sus términos se suma una cantidad constante, llamada diferencia, al
término anterior.
Las reglas que permiten obtener los términos de una sucesión se pueden dar
a partir del lugar que ocupa un término y la diferencia (es decir, la cantidad
constante) que hay entre dos términos consecutivos.
3. Escribe un ejemplo de una sucesión numérica que sea progresión aritmética.
4. Crea una sucesión cuya regla de formación no genere una progresión aritmética.
5. Intercambia con un compañero las sucesiones que crearon en los incisos 3 y 4 y pídele que
identifique cuál es la progresión aritmética. En caso de que su respuesta no sea correcta,
explícale la regla de formación de tu progresión aritmética. Si no logran un acuerdo, consulten con su profesor.
Versión de evaluación 23/04/12
( ) 7, 11, 15, 19, 23,…
35

36. B1
Sesión 15
En esta sesión estudiarás cómo se forman las sucesiones de figuras con
progresión geométrica.

Manos a la obra
a) Dibujen las dos figuras siguientes.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
b) Respondan las siguientes preguntas.
¿Cuántos y de qué color serán los triángulos que forman la séptima figura?
¿Cuántos triángulos tendrá la octava figura?
¿De qué color serán los triángulos que forman la décima figura?
c) Completen la tabla.
Figura
1
2
3
4
5
6
Número de triángulos
2
4
8
16
Diferencia
4–2=2
8–4=4
¿Es constante la diferencia entre los triángulos que forman cada figura?
¿Encuentran alguna relación entre el número de triángulos de cada figura nueva respecto de la que le precede?
¿Cómo obtuvieron los triángulos que conforman la quinta y la sexta figura?
¿Cómo obtendrían el número de triángulos de cualquier figura de esta sucesión?
d) Andrea afirma que la regla es: El número de triángulos de cada figura se genera duplicando el total de triángulos de la figura anterior. Expliquen si es o no correcta su afirmación.
36
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, analicen la siguiente sucesión.

37. S4
Figura 1
Figura
Azules
Cantidad de Naranjas
triángulos
Total
Figura 2
1
1
Figura 3
2
4
3
4
16
5
108
6
36
324
¿Cómo estableciste la cantidad de triángulos de la cuarta figura?
¿Cómo determinaste el número de triángulos azules de cada figura?
¿Y de los triángulos naranjas?
¿Y el total de triángulos de cada término?
¿Cuál es la regla que determina la cantidad total de triángulos de cada figura (o término) de
esta sucesión?
Versión de evaluación 23/04/12
2. Analiza la siguiente sucesión y completa la tabla.
3. Lee las siguientes afirmaciones con respecto a la regla de formación anterior.
•• Raúl afirma que para obtener el número total de cada término se debe triplicar la cantidad de triángulos del término anterior.
•• Guadalupe dice que se obtiene multiplicando por 3 la cantidad de triángulos del término
que le antecede.
•• Ángel, por el contrario, dice que se suman 8 triángulos al término que le antecede.
De estas tres afirmaciones, ¿cuál es correcta?
37

38. B1
Sesión 16
En esta sesión estudiarás sucesiones numéricas con progresión geométrica.

Manos a la obra
1. Con la siguiente regla dibuja las estrellas para cada uno de los términos que se marcan en
la sucesión.
El quíntuple del anterior.
Término 1
Término 2
Término 3
Completa la tabla.
Término
1
2
3
4
6
9
Cantidad de estrellas
3
¿Es constante la diferencia de la cantidad de estrellas entre los términos consecutivos de
esta sucesión?
2. Completa los términos que hacen falta en cada sucesión.
a) 2, 6,
, 54,
,
,…
¿Cuál es la regla para esta sucesión?
b) 2, 12,
, 432,
,
,…
Explica por qué la regla de esta sucesión es: El séxtuple del término anterior.
c) 3,
, 48, 192,
,
,…
Escribe la regla para esta sucesión
d) Encuentra el cociente entre cada par de términos consecutivos de la última sucesión.
3=
48 =
192 =
48
192
¿Cómo son los cocientes de dos términos consecutivos?
38
=
Versión de evaluación 23/04/12
Contesta lo que se te pide.

39. S4
3. En parejas, organicen las piezas para crear dos sucesiones cuyas reglas son:
a) Cuatro veces el término anterior.
b) El triple del término anterior.
270
20
80
5
320
30
10
810
90
1280
Sucesión A:
,
,
,
,
.
Sucesión B:
,
,
,
,
.
¿Cuál es la razón de la sucesión A?
¿Y de la B?
Una sucesión numérica se denomina progresión
geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando al anterior por una constante llamada razón.
4. En parejas, escriban la regla para generar una sucesión con progresión geométrica e intercámbienla con la de otra pareja. Obtengan los primeros cinco términos de la sucesión y
revisen que sea correcta la construcción de los mismos.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
1. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión aritmética, ¿cómo se obtiene la
regla de toda la sucesión?
2. Si se conocen dos términos consecutivos de una progresión geométrica, ¿cómo se obtiene la
Versión de evaluación 23/04/12
Las piezas son las siguientes:
regla para generar la sucesión?
3. Indica con una A si la sucesión es una progresión aritmética, con una G si es una progresión
geométrica, y con una X si no es ninguna de las dos.
5, 10, 15, 20, 25,…
15, 18, 17, 20, 19, 22
4, 6, 9, 13.5, 20.25
0, 3, 6, 9, 12,…
39

40. 5
cia
Explicación del significado de fórmulas geométricas,
al considerar a las literales como números generales
con los que es posible operar.
Sesión 17
En esta sesión representarás números por medio de literales,
con las que realizarás operaciones.
 sabes tú?
¿Qué
4 cm
2.5 cm
4 cm
2.5 cm
4 cm
3 cm
3 cm
2.5 cm
2.5 cm
4 cm
3 cm
2.5 cm
Figura 1
Figura 2
Figura 3
¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1?
¿Y el de la figura 2?
¿Y el de la 3?
40
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Literales en fórmulas
geométricas

41. 1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes triángulos equiláteros.
3 cm
3 cm
3 cm
4 cm
a
Figura 1
Figura 2
Figura 3
¿Cuánto mide el perímetro de la figura 1?
¿Y el de la figura 2?
¿Y el de la figura 3?
Expliquen cómo calcularon el perímetro de las figuras, en particular el de las figuras 2 y 3,
en las que solamente se conoce la medida de uno de sus lados.
Un triángulo equilátero mide b por lado, ¿cuál de las siguientes expresiones pueden utilizar
para calcular su perímetro? Subrayen sus respuestas.
b + b + b
b + 3
3b
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
b 3
41

42. B1
2. Completen la tabla.
3 cm
3 cm
3 cm
3 cm
5 cm
Figura 1
Figura 2
Figura geométrica
Figura 3
Longitud de sus lados
Perímetro
Figura 1
Figura 2
Figura 3
¿Cómo representaron la longitud de los lados de la figura 3?
¿Cómo calcularon el perímetro de la figura 3?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas.
3. Usa literales para expresar el perímetro de las siguientes figuras.
Perímetro
42
Perímetro
Perímetro
Versión de evaluación 23/04/12
3 cm

43. S5
Sesión 18
En esta sesión trabajarás con figuras geométricas que se parecen en su forma
y en sus propiedades, así como en la manera en que se calcula su perímetro.

Manos a la obra
A algunos estudiantes les pidieron utilizar literales para indicar las longitudes de un rectángulo. Observen sus respuestas.
a
a
a
a
c
b
b
a
Figura 1
a
Figura 3
a
a
b
b
a
Figura 2
Figura 4
a) ¿En cuál de los rectángulos expresaron correctamente la longitud de los lados?
b) Expliquen por qué es o no correcta la forma en que se señalaron las longitudes en los
rectángulos anteriores.
c) ¿Cuántos pares de lados de la misma longitud tiene el rectángulo?
d) ¿Cómo se calcula el perímetro de un rectángulo?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, contesten las preguntas.
e) Para calcular el perímetro de un rectángulo se puede emplear alguna de las siguientes
expresiones algebraicas:
a + b + a + b
2a + 2b
2(a + b)
¿Por qué son correctas estas expresiones algebraicas?
43

44. B1
Usen las letras que anotaron y escriban una expresión algebraica para calcular el perímetro
de cada romboide.
¿Es posible calcular el perímetro del romboide con la misma expresión algebraica que emplearon para el rectángulo?
44
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
2. En parejas, empleen cualquier literal para expresar la longitud de los lados de los siguientes
romboides.

45. S5
Sesión 19
En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el perímetro
de triángulos y trapecios isósceles.

Manos a la obra
Figura 1
Figura
Figura 2
Longitud de los dos lados iguales
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, asignen una letra a la longitud de los lados de las figuras siguientes, tomen en
cuenta que son triángulos isósceles. Completen la tabla.
Figura 3
Longitud del tercer lado
Perímetro
1
2
3
Una expresión algebraica que permite obtener el perímetro de un triángulo isósceles es:
¿Es la única?
, ¿por qué?
Un triángulo escaleno tiene todos sus lados de diferente longitud, ¿cómo se puede expresar
su perímetro?
2. Observa el siguiente trapecio isósceles.
¿Cómo se puede expresar su perímetro?
b (base menor)
l
l
En una figura geométrica señalamos con la misma literal los lados que tienen igual longitud, y si éstos tuvieran longitudes diferentes se emplearían más literales.
Por ejemplo, en un rectángulo, el perímetro se puede
expresar como:
P = a + a + b + b, o bien P = 2a + 2b o P = 2(a + b)
B (base mayor)
45

46. B1
Sesión 20
En esta sesión trabajarás con las fórmulas de los perímetros
de polígonos regulares.

Manos a la obra
¿Qué figuras regulares conocen?
¿Cómo se calcula el perímetro de una figura geométrica que tiene todos sus lados iguales?
Escriban una expresión algebraica que les permita calcular el perímetro de una figura
regular.
¿Cómo se calcularía el perímetro de un polígono regular de 38 lados?
2. Completa la tabla.
Nombre de la figura
Longitud
de sus lados
Número
de lados
Pentágono regular
a
Hexágono regular
b
Octágono regular
m
Decágono regular
h
Heptadecágono
x
17
Triacontágono
s
Perímetro
30
Observa que en la tabla anterior la letra m representa una literal, sin embargo, la misma
letra también es el símbolo de “metro”. Por ejemplo:
5m = m + m + m + m + m,
Para calcular el perímetro de un
polígono regular se debe conocer el
número de lados que lo forman y
multiplicarlo por su longitud.
46
mientras que 5 m representa 5 metros.
Lo mismo ocurre con otras letras que también son utilizadas como símbolos de unidad de medida, tales como s (segundo), h (hora), etcétera.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En grupo, contesten las preguntas que se plantean.

47. S5
Sesión 21
En esta sesión trabajarás con las fórmulas para calcular el área
de distintas figuras.
 Manos a la obra
1. Lee la siguiente información y contesta.
y se abrevia cm2.
Observa los siguientes rectángulos y mide su área.
t
5 cm
3 cm
6 cm
1 cm
s
Rectángulo A
Rectángulo B
Rectángulo C
El área del rectángulo B es:
Del rectángulo A es:
Del rectángulo C es:
Versión de evaluación 23/04/12
Un ejemplo de unidad de superficie es un centímetro cuadrado, que es de este tamaño:
2. Si e es el largo de un rectángulo y f el ancho, subraya de las siguientes expresiones algebraicas cuáles son equivalentes y permiten calcular el área del rectángulo con resultados
iguales.
A = e × f = e f
A = 2(e + f)
A = 2 e + 2 f
A = (2 e) (2 f )
A = f e
47

48. B1
3. Subraya la fórmula que te permita calcular el área del siguiente cuadrado.
x
x
x
Expresiones algebraicas.
4 x
x + x
( x )( x )( x )( x )
x + x + x + x
( x )( x )
4 + x
x 2
4. En parejas, observen las siguientes figuras y contesten.
a
a
a
a
b
¿Cuál es la fórmula para calcular el área de un cuadrado?
¿Y la del rectángulo?
¿Cómo determinan el área de la parte naranja del cuadrado?
¿Y la parte naranja de los rectángulos?
¿Qué fracción representa el área naranja con respecto a toda la figura?
48
b
Versión de evaluación 23/04/12
x

49. S5
Sólo una de las siguientes expresiones no determina el área del triángulo azul, ¿cuál es?
Márquenla.
A = a × b
2 2
A = a × b
2
A=a× b
2
De manera grupal expliquen por qué la fórmula que comunmente usamos para calcular el
área de un triángulo es: A = b h , donde b es la base y h es la altura.
2
h
b

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• ¿Qué representan las letras o literales en una expresión algebraica?
Versión de evaluación 23/04/12
A = 1 (a × b)
2
49

50. uen
S ec
6
cia
Trazo de triángulos
y cuadriláteros
Sesión 22
En esta sesión aprenderás a trazar cuadriláteros y triángulos a partir de líneas
paralelas, utilizando escuadras.
 sabes tú?
¿Qué
¿Cómo puedes trazar líneas paralelas y perpendiculares con tu juego de geometría? Realiza tus
trazos en hojas blancas.
Observa la imagen de la derecha. Sobre una hoja blanca
coloca de la misma manera tu regla y tu escuadra y traza
líneas paralelas y perpendiculares. Mueve la escuadra
como lo indican las flechas.
Ahora observa las siguientes imágenes para trazar las líneas perpendiculares y paralelas que se obtienen al mover
la escuadra.
Compara tus trazos con los de tus compañeros.
50
Versión de evaluación 23/04/12
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso
del juego de geometría.

51. 
Manos a la obra
Usa las escuadras y el compás para trazar en una hoja blanca dos líneas rectas paralelas
de 20 cm cada una. Las líneas deben tener una distancia de 5 cm entre ellas.
Traza las siguientes figuras geométricas, considerando que dos de sus lados deben estar
sobre las líneas paralelas que ya trazaste.
•• Un cuadrado.
•• Un rectángulo, uno de sus lados mide 3 cm.
•• Un romboide cuya base mide 7 cm.
•• Un romboide, dos de sus lados miden 4 cm y uno de sus ángulos mide 60º.
Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.
a) ¿Cuánto mide cada lado del cuadrado?
b) ¿Cuánto miden los otros lados del rectángulo?
c) ¿Cuánto mide la altura de cada romboide?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
2. Formen parejas y, en una hoja blanca, tracen un par de líneas paralelas para construir sobre
ellas los trapecios que se enlistan a continuación.
•• Trapecio recto.
•• Trapecio isósceles.
•• Trapecio escaleno.
Cada uno de los trapecios debe cumplir con las siguientes condiciones: la base mayor mide
8 cm; la base menor, 6 cm, y la altura, 4 cm.
¿A qué distancia deben trazarse las líneas paralelas?
¿Qué tienen en común los tres trapecios que trazaste, el perímetro o el área?
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Realiza las siguientes construcciones y responde las preguntas.
3. En una hoja blanca, y a partir de dos líneas paralelas, traza tres triángulos diferentes cuya
base mida 6 cm y su altura mida 5 cm.
¿Cuánto mide el área de cada triángulo?
4. En grupo, construyan un romboide, un trapecio y un triángulo cuyas áreas sean iguales.
51

52. B1
Sesión 23
En esta sesión construirás triángulos utilizando el juego de geometría.

Manos a la obra
1. Lee con atención las siguientes instrucciones y en una hoja blanca construye lo que se indica.
•• Ahora utiliza tu compás, su apertura debe ser mayor a la longitud del segmento que
marcaste.
Construcción 1
•• Coloca la punta de metal del compás en uno de los puntos extremos del segmento y
traza un círculo.
•• Sin cambiar la apertura del compás y colocando la punta metálica en el otro extremo,
traza otro círculo.
De las construcciones de la izquierda, marca con una palomita ( ) la que se parece a la
que tú trazaste.
¿En cuál de las construcciones anteriores obtienes un triángulo equilátero al unir los extremos del segmento con uno de los puntos de intersección de las circunferencias?
Construcción 2
¿Qué tipo de triángulo se obtiene con las instrucciones que seguiste?
2. Reúnete con un compañero y en sus cuadernos escriban las instrucciones para obtener un
triángulo equilátero.
Lean sus instrucciones a otra pareja para verificar que sí se obtiene ese triángulo. Es importante que solamente digan en voz alta lo que ustedes escribieron.
Hagan las correcciones necesarias para que sus instrucciones sean claras, de modo que
cualquiera pueda construir un triángulo equilátero al seguirlas.
Construcción 3
3. Identifiquen en cuál de las cuatro construcciones anteriores se obtiene un triángulo isósceles. Trácenlo.
Comparen sus construcciones y sus respuestas con las de otras parejas.
Construcción 4
4. En grupo, comenten qué cambios deben hacer al seguir las instrucciones para construir un
triángulo equilátero que mida 3 cm por lado.
5. Con regla y compás, traza en tu cuaderno un triángulo escaleno cuyos lados midan 3 cm,
4 cm y 2 cm.
a) Al trazar la primera línea, ¿cuál es la apertura del compás con respecto a la distancia
que hay entre los dos puntos que se marcan en ella?
Compara tu construcción con la de otros compañeros.
52
Versión de evaluación 23/04/12
•• Con tu regla traza una línea recta y marca en ella dos puntos; de esta manera has trazado un segmento. Los puntos son sus extremos.

53. S6
Sesión 24
En esta sesión seguirás construyendo triángulos
y cuadriláteros utilizando el juego de geometría.
1. Considera las cuatro construcciones que aparecen en
la sesión anterior e identifica aquellas dos en las que
al unir los puntos extremos del segmento con los dos
puntos de intersección de las circunferencias se traza
un rombo. ¿Cuáles son esas construcciones? Subraya
tu respuesta.
•• onstrucción 1
C
Paso 1. Trazar un segmento de 5 cm.
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
Paso 2. Abrir el compás a 3.5 cm y colocarlo en un
extremo del segmento, trazar un arco.
•• Construcción 2
•• Construcción 3
•• Construcción 4
2. Traza los rombos y marca en cada uno la diagonal menor y la diagonal mayor.
¿Qué tipo de ángulo se forma en el punto donde se
cortan?
3. En tu cuaderno escribe las instrucciones para construir un rombo.
Paso 3. Abrir el compás a 4.5 cm y apoyarlo en el
otro extremo del segmento, trazar otro arco que corte
al primero.
Intercámbialas con algún compañero y comprueba si
al seguir tus instrucciones logra construir esa figura.
Si es necesario hacer correcciones, anótalas y comprueba nuevamente el procedimiento, pero ahora con
la ayuda de otro compañero.
4. Observa los pasos de la columna de la derecha para
trazar un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 3.5 cm y
4.5 cm. Síguelos y traza en tu cuaderno ese triángulo.
5. En tu cuaderno traza un triángulo con un lado de 6 cm
y otro de 5 cm.
Paso 4. Unir cada extremo del segmento con el punto
de corte de los arcos para obtener el triángulo.
Compara el triángulo que construiste con los de tus
compañeros y contesten las siguientes preguntas.
¿Por qué los triángulos no son todos iguales?
¿Qué dato hay que determinar para que todos los
triángulos sean iguales?
53

54. B1
Sesión 25
En esta sesión trazarás cuadriláteros que cumplan con ciertas condiciones.

Manos a la obra
1. Utiliza tu juego de geometría para completar los trazos y construir las figuras que se piden
en cada inciso.
b) Traza un cuadrado.
c) El segmento siguiente es la base de un rectángulo.
d) El segmento siguiente es una diagonal de un cuadrado.
2. En equipos, comparen los cuadrados y rectángulos que trazaron. Contesten las siguientes
preguntas.
¿Cuáles de las figuras trazadas son iguales?
¿Por qué?
En el caso del rectángulo a), ¿qué datos habría que definir para que todos los rectángulos
que construyeron fueran iguales?
¿Y en el caso del rectángulo c)?
3. Utilicen el juego de geometría para trazar de manera individual lo que se indica a continuación.
a) Un rombo con una diagonal de 3 cm y la otra de 7 cm.
b) Un romboide de base 7 cm y altura de 4.5 cm.
Comparen sus trazos con los de sus compañeros, ¿todas las figuras fueron iguales?
54
Versión de evaluación 23/04/12
a) Traza un rectángulo a partir del siguiente segmento.

55. S6
Sesión 26
En esta sesión trazarás triángulos y cuadriláteros a partir
de ciertas condiciones.

Manos a la obra
a) ¿Se puede trazar un trapecio con 10 cm de base
mayor y 5 cm de base menor?
Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?
Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro
dato o datos se tienen que definir para que sea
única la solución?
b) ¿Se puede trazar un romboide con base de 7 cm?
Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?
Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro
dato o datos se tienen que especificar para que
sea única la solución?
c) ¿Se puede trazar un triángulo con lados de 3 cm,
2 cm y 4 cm, y un ángulo de 90º?
d) ¿Se puede trazar un rombo con una diagonal de
5 cm?
Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?
Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro
dato o datos se tienen que dar para que sea única
la solución?
e) ¿Se puede trazar un cuadrado que tenga diagonales de 4 cm?
Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?
Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro
dato o datos se tienen que dar para que sea única
la solución?
2. En seguida, verifiquen sus respuestas trazando las figuras en su cuaderno.
Si se puede trazar, ¿cuántas soluciones tiene?
Si se puede trazar más de una figura, ¿qué otro
dato o datos se tienen que dar para que sea única
la solución?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, contesten en sus cuadernos las preguntas
siguientes.
3. En grupo, y con ayuda de su profesor, comparen sus
respuestas. Si se requiere, hagan las correcciones necesarias.
Consulta en…
Entra al sitio: http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/dibujoTecnico/trazadodetriangulos.html,
donde encontrarás animaciones que muestran paso a paso procedimientos interesantes para
que, dadas ciertas condiciones, construyas triángulos o cuadriláteros empleando solamente
regla y compás.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
1. Utiliza tu regla y tus escuadras para trazar en tu cuaderno un cuadrado que tenga 3 cm
por lado y un rectángulo que mida 7 cm de largo y 4 cm de altura.
2. ¿Cuántos rombos diferentes pueden construirse si se da la medida de sus lados?
55

56. uen
S ec
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas,
medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
Sesión 27
En esta sesión aprenderás a trazar las alturas de cualquier tipo de triángulo,
y sus propiedades.
 sabes tú?
¿Qué
Relaciona las imágenes con el nombre de la recta correspondiente.
( ) Altura
( ) Mediana
( ) Mediatriz
1
2
3

Manos a la obra
B
1. En equipos, observen que en el siguiente
triángulo se marcaron con rojo las alturas.
Contesten las preguntas en su cuaderno.
¿De dónde a dónde van los segmentos
que indican las alturas del triángulo?
A
56
C
Versión de evaluación 23/04/12
7
cia
Alturas, medianas, mediatrices
y bisectrices en los triángulos

57. a) ¿Qué tipo de ángulo se forma entre el segmento AB y su altura?
b) ¿Y entre el segmento BC y su altura?
d) ¿Cómo pueden trazar una altura en un triángulo empleando las escuadras?
e) ¿A qué se le llama altura en un triángulo?
f) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y elijan la técnica más práctica para
encontrar las alturas en diferentes triángulos.
2. Encuentra el punto en que se unen las alturas en los siguientes triángulos.
altura
La altura en un triángulo es el segmento de recta que va desde el vértice de un ángulo hasta el lado
opuesto, formando un ángulo de 90º con el mismo. Las escuadras son un buen recurso para trazar la
altura: se coloca la escuadra de 60° sobre el segmento al que se le va a trazar la altura, se desliza
la otra escuadra, usando su ángulo de 90°, hasta encontrar el vértice opuesto a dicho segmento
y se traza la altura.
Paso 1.
Paso 2.
Versión de evaluación 23/04/12
c) Sin medirlo, ¿qué tipo de ángulo crees que se formará entre el segmento AC y su altura?
Utiliza tu juego de geometría para comprobarlo.
Paso 3.
Dado un triángulo, sus alturas siempre se intersecan en un único punto, llamado ortocentro.
57

58. B1
Sesión 28
En esta sesión conocerás otra recta notable de los triángulos: la mediana.

Manos a la obra
1. En equipos, analicen el segmento azul trazado en el triángulo ABC. A este segmento se le
denomina mediana.
D
A
B
a) ¿Cuánto mide la distancia de A a D?
f) ¿Cuáles son los pasos a seguir para trazar una mediana en un triángulo?
b) ¿Cuánto mide la distancia de D a B?
c) ¿Desde dónde hasta dónde va la mediana que lle-
g) Tracen las medianas sobre los segmentos BC y CA
de tal forma que tengan las mismas propiedades
que el trazo de color azul.
ga al segmento AB?
d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos
y contesten.
h) ¿Las medianas tienen algún punto de intersección?
e) ¿Cuáles son las características de una mediana?
2. Traza las medianas en los siguientes triángulos y observa dónde se intersecan.
C
La mediana es el
segmento que une
un vértice de un
triángulo con el
punto medio del
lado opuesto.
C
C
A
Las medianas se
intersecan siempre
en un único punto
llamado baricentro.
A
58
B
B
A
B
Versión de evaluación 23/04/12
C

59. S7
Sesión 29
En esta sesión te presentamos otra recta notable de los triángulos, llamada
mediatriz, y sus propiedades.

Manos a la obra
P
A
B
A
B
A
B
El segmento trazado en color rojo se llama mediatriz.
Respondan las siguientes preguntas.
a) ¿Cómo son los segmentos AP y PB?
b) ¿Qué ángulo forman la mediatriz y el segmento AB?
c) ¿De qué otra forma se podrá trazar la mediatriz de un segmento?
d) Comparen sus respuestas con las de otros equipos y describan el procedimiento para
trazar una mediatriz sin usar el compás.
e) Explica brevemente qué es una mediatriz
2. Ahora dibuja en tu cuaderno tres triángulos de diferentes formas y tamaños y traza
las mediatrices de los lados de cada uno
de ellos.
Llamen O al punto en el que se cortan las
mediatrices.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, observen la secuencia de trazo de la mediatriz en un segmento y coloquen en
el recuadro una instrucción que describa claramente lo que se hace en cada paso.
En un triángulo, la mediatriz es la recta perpendicular
a uno de sus lados que pasa por su punto medio.
El punto en el que siempre se intersecan las tres
mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.
59

60. B1
Sesión 30
En esta sesión trazarás las bisectrices de un triángulo.

Manos a la obra
Formen equipos de tres personas y desarrollen las actividades que se indican.
1. Tracen las diagonales en la siguiente figura.
Observen ahora la siguiente figura.
D
B
D
B
Midan los ángulos en los que quedó dividido el án­
gulo C.
A
¿Qué hace la recta roja al ángulo C?
¿Cómo quedaron divididos los ángulos por las diagonales que trazaron?
Dividan los ángulos D y B de la misma forma en que
está dividido el ángulo C.
Las rectas que trazaron se llaman bisectrices.
2. Observen detenidamente los pasos a seguir para trazar la bisectriz de un ángulo y escriban
en cada recuadro una instrucción clara para realizar dicho trazo.
60
Versión de evaluación 23/04/12
C
C

61. S7
3. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 5 cm, un triángulo escaleno de 3 cm, 5 cm
y 7 cm respectivamente, y un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 5 cm y el lado
diferente, 3 cm. Traza las bisectrices de los ángulos interiores de cada triángulo con el
método anterior.
La bisectriz es la recta que divide a
un ángulo en dos ángulos iguales.
punto en común?
En un triángulo las bisectrices
siempre se intersecan en un solo
punto, llamado incentro.
Ahora traza un triángulo cualquiera y sus bisectrices. Observa qué
sucede con el punto que tienen en común las bisectrices.
Comenta tus observaciones con tus compañeros.
Un dato interesante…
La recta de Euler
En un triángulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro se encuentran en una misma
recta (son colineales), a la que se denomina recta de Euler. Se llama así en honor del
matemático suizo Leonhard Euler, quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.
alturas
G: baricentro
mediatrices
G
H: ortocentro
medianas
H
O: circuncentro
O
Consulta en…
Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el libro:
Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de papel”,
en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
Versión de evaluación 23/04/12
Resalta en color rojo el punto de intersección de las bisectrices de
cada uno de los triángulos. ¿Todas las bisectrices tienen un mismo

Autoevaluación
Responde en tu cuaderno lo siguiente.
• ¿Cómo se puede diferenciar la altura de la mediana en cualquier triángulo?
• ¿En qué tipo de triángulo coinciden las alturas, las medianas, las mediatrices y las
bisectrices?
61

62. uen
S ec
8
cia
Reparto proporcional
Sesión 31
En esta sesión aprenderás a repartir basándote en ciertos criterios o en
determinados factores.
 sabes tú?
¿Qué
1. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
a) Don Ernesto tiene un terreno de 94.5 hectáreas, él quiere repartirlo por partes iguales
a sus hijos: Salvador, Martín, Héctor, Ricardo y Jesús, y a sus hijas: Rosa, Juana, Guadalupe y Carmen. ¿Qué cantidad de terreno le corresponde cada uno?
b) Tres amigos ganaron un premio de lotería de $100 000.00 con un boleto que costó
$40.00. Para comprar el boleto Raúl aportó $8.00, Andrés colaboró con 4 pesos más
que Raúl, y Braulio pagó el resto. Si reparten el premio de acuerdo con lo que aportaron,
¿a quién le corresponde la mayor cantidad del premio y a quién la menor?
¿Por qué?
¿Cómo resolvieron el primer problema?
¿Y el segundo?
62
Versión de evaluación 23/04/12
Resolución de problemas de reparto proporcional.

63. 1. En parejas, de acuerdo con el problema del premio, contesten.
¿Qué cantidad de dinero le corresponde a Andrés?
¿Y cuánto a Braulio?
¿Y a Raúl?
Registren en su cuaderno las operaciones que realizaron para obtener sus respuestas.
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas, verifiquen que las cantidades obtenidas sean las mismas.
Si hay algún procedimiento diferente al suyo, explíquenlo.
2. Lee el siguiente problema y resuélvelo.
De los 24 metros de listón que trae un carrete, María ocupó 8 metros para hacer una tarea
escolar, Ramiro empleó 11 metros, y Javier, el resto. El carrete les costó $60.00. Si se reparten el costo del carrete de acuerdo con la cantidad de listón que cada quien utilizó,
¿quién de ellos deberá aportar $20.00?
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
¿Con cuánto dinero deberá contribuir Javier?
Verifica tu respuesta con un procedimiento diferente al que empleaste.
Reflexionen sobre cuáles son las diferencias que hay entre un reparto proporcional y un
reparto equitativo.
De manera grupal escriban en su cuaderno las características que tiene un problema de
reparto proporcional.
63

64. B1
Sesión 32
En esta sesión continuarás con la solución de problemas de reparto
proporcional, sólo que ahora utilizarás tus conocimientos sobre fracciones.

Manos a la obra
Alberto
Flavio
1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.
a) Tres albañiles levantaron una barda de 30 m2. Alberto levantó 10 m2, Flavio 5 m2 y Gonzalo 15 m2.
Por esta construcción les pagaron $2 100.00, y se
repartieron el dinero de acuerdo con el número de
metros cuadrados que cada quien levantó. Completen la tabla.
¿Cómo obtuvieron la cantidad de dinero que le co-
Gonzalo
rresponde a cada uno?
Total
2. De acuerdo con el problema del premio de lotería de la
sesión anterior, contesten las siguientes preguntas.
¿Quién de los tres contribuyó con la mitad del costo
del boleto?
¿Qué fracción del total del boleto aportó Raúl?
¿Qué cantidad del premio le habría tocado a Braulio si
hubiera colaborado con la cuarta parte del costo del
boleto?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y en
su cuaderno empleen fracciones para comprobar las
cantidades que corresponden a cada uno de los tres
amigos.
Expliquen si obtuvieron o no los mismos resultados
que en la sesión anterior.
3. En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
a) Para completar un pedido que deben exportar, cinco artesanos de una comunidad juntaron los suéteres de lana que tejen. Hortensia fabricó 24 prendas;
Alonso, 40; Tomás, 30; Guadalupe, 16, y Blanca 10
piezas. Por este pedido les pagaron $22 200.00,
que repartieron proporcionalmente de acuerdo con
la cantidad de prendas que cada uno confeccionó.
¿Qué cantidad de dinero le corresponde a cada
uno de los artesanos?
b) Entre Angélica, Mónica y Francisco sacaron 400 copias fotostáticas de una invitación. El costo total lo
pagaron en proporción a las invitaciones que cada
uno quiere repartir. Angélica pagó $22.00 por la
cuarta parte de las copias; Mónica, 3 partes, y lo
5
demás lo aportó Francisco.
¿Cuánto pagó Francisco?
¿Cuánto se pagó en total por todas las copias?
¿Cómo obtuvieron la respuesta de la pregunta anterior?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y verifiquen que sean correctas.
Reflexionen sobre el empleo de fracciones en los problemas de reparto proporcional. Expliquen en qué situaciones de reparto proporcional es conveniente emplear fracciones.
64
Versión de evaluación 23/04/12
Cantidad de
2 Fracción que
Albañil Cantidad de m representan del dinero que le
construidos
total de m2
corresponde

65. S8
Sesión 33
En esta sesión resolverás problemas de reparto proporcional
considerando el valor unitario.

Manos a la obra
¿Recuerdan que en el problema del boleto de lotería Raúl aportó $8.00 para comprar el
boleto, Andrés, cuatro pesos más que Raúl, y el resto lo pagó Braulio?
¿Cuánto aportó cada uno de ellos?
Si se repartieron los $100 000.00 de acuerdo con lo que pusieron, ¿cuánto le habría tocado a Raúl si únicamente hubiera aportado un peso de los $40.00 que costó el boleto?
¿Qué importancia crees que tiene saber la cantidad del premio que corresponde por cada
peso invertido?
2. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
a) Cuatro campesinos rentaron un camión por la cantidad de $4 200.00 para llevar al mercado las
2.5 toneladas de aguacate que recolectaron y que
transportan en 120 cajas de madera. Observa el
registro que realizaron y completa la tabla.
¿A quién de ellos le conviene más que se reparta el
pago del camión de acuerdo con la cantidad de
cajas?
Cantidad de dinero
a pagar por el flete, de
Cantidad
Peso
Nombre de cajas (kilogramos)
acuerdo con:
Cajas
Peso
Irma
30
605
Lorena
45
945
Armando
20
450
Efrén
25
500
Total
120
2 500
¿Cuál reparto le conviene más a Efrén?
¿Emplearon fracciones para resolver este problema?
¿Por qué?
¿Cuánto se pagó por cada caja que se transportó?
¿Y cuánto por kilogramo de aguacate transportado?
b) Yolanda pagó $2 280.00 por los 60 m2 de barda
que pintaron entre Ernesto, Lorena y José. El primero pintó 28 m2, Lorena, 19 m2, y José el resto. De
acuerdo con el trabajo que cada uno realizó, ¿cuánto se le debió pagar? Para responder, completa la
siguiente tabla y en la última fila escribe la cantidad de metros cuadrados que pintó José.
Versión de evaluación 23/04/12
1. Lean la siguiente información y contesten.
El valor unitario
se refiere a la
cantidad que
le corresponde
a una pieza,
objeto o unidad.
Metros cuadrados pintados Cantidad de dinero a pagar
60
1
28
19
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y comprueben con algún otro procedimiento sus resultados.
65

66. B1
Sesión 34
En esta sesión aplicarás tus conocimientos sobre las diferentes formas
aprendidas del reparto proporcional y resolverás diversos problemas
que lo involucran.

Manos a la obra
a) A Marina le pagaron $300.00 por podar la quinta parte de los 60 m2 de césped de un
jardín. ¿Cuánto le pagaron a Anselmo si podó únicamente una cuarta parte de todo el
césped?
b) Cuatro amigos fueron al cine. Para pagar el total del costo de los boletos, Noemí aportó
$80.00, Abraham, $50.00 y Jesús dio $70.00. Adriana dijo que a la salida los recompensaría. En agradecimiento por haber pagado su entrada, Adriana les obsequió
$500.00 para los tres, con la condición de que se repartieran conforme a lo que cada
uno de ellos aportó para su boleto.
¿Qué cantidad de dinero de los $500.00 le corresponde a cada uno?
c) El dueño de una fábrica de calzado quiere repartir un bono de $15 000.00 entre los
cuatro vendedores que tiene. Para ello cuenta con la información de las siguientes gráficas, que corresponden a las ventas del tercer bimestre; además se sabe que en junio
se vendieron 140 unidades.
Ventas de mayo
35
Unidades vendidas
30
25
20
Ventas de junio
José
12%
15
10
Lizbeth
10%
5
0
Andrés
Ana
Lizbeth
Andrés
50%
José
Ana
28%
66
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve los problemas siguientes.

67. S8
Si el bono se reparte de acuerdo con la cantidad de unidades vendidas, ¿qué cantidad
Para resolver un problema de reparto proporcional deben tomarse en cuenta
distintos criterios a fin de llevar a cabo la distribución correcta. Entre otras
formas, se puede resolver calculando el valor unitario, es decir, lo que le corresponde a una unidad; por ejemplo, en el problema del premio de lotería se ganaron $100 000 y el boleto costó $40, por lo que por cada peso aportado a una
persona le corresponde el cociente de 100 000 , es decir, 2 500.
40
Además, observamos que un problema de reparto
proporcional también se puede resolver a través de
fracciones, al determinar la fracción de la cantidad
a repartir. Por ejemplo, Braulio aportó $20.00 de
los $40.00 que costó el boleto, él aportó la mitad,
por lo que le corresponde la mitad del premio, es
decir, $50 000.00.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
Versión de evaluación 23/04/12
del bono le corresponde a Andrés?
• ¿Cómo se calcula el valor unitario?
• ¿Qué diferencia hay entre el reparto proporcional y el reparto equitativo?
• ¿Cómo se debe interpretar el cociente de dividir 2 500 kilogramos entre $4 200.00?
67

68. 9
cia
Identificación y práctica de juegos de azar
sencillos, y el registro de los resultados.
Elección de estrategias en función del análisis
de resultados posibles.
Sesión 35
En esta sesión aprenderás a identificar cuándo un juego es de azar.
 sabes tú?
¿Qué
¿Alguna vez has jugado “gato”? Si es así, describe en qué consiste y cómo se determina al ganador.
¿Alguna vez has jugado “volados”? Describe en qué consisten y cómo se determina al ganador.

Manos a la obra
1. Reúnete con un compañero para jugar “gato” cinco veces. Uno de los jugadores inicia marcando
una cruz en una de las casillas. Luego, el siguiente
jugador marca un círculo en otra casilla. Gana el
primero que logra completar una fila, una columna
o una diagonal.
Antes de empezar, contesta de manera individual las siguientes preguntas.
¿Quién ganará el primer juego?
¿Quién va a ganar más juegos?
¿Cuántos juegos ganará cada jugador?
68
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Juegos de azar

69. Después de jugar, contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas.
¿Es cierto que en el juego del “gato”, el que inicia siempre gana?
¿Conoces algún otro juego parecido al “gato”? ¿Cómo se llama y en qué consiste?
¿Hay alguna estrategia para ganar?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y lleguen a una conclusión grupal
con la guía de su profesor.
2. Reúnete con un compañero para jugar el juego de la “escalera”. Cada jugador deberá escribir su nombre en un
extremo de la escalera. Coloquen una ficha sobre el centro
de la escalera. Utilicen una moneda para hacer los lanzamientos por turnos; cuando sale águila, la ficha se baja un
escalón, y cuando sale sol, se sube uno. Gana el jugador
cuyo nombre está escrito en el escalón al que llega antes
la ficha.
Antes de empezar, contesta:
¿Quién consideras que va a ganar el juego?
Después de jugar, contesta las siguientes preguntas.
¿Consideras que existe una manera de ganar siempre en el juego de la escalera?
¿Es cierto o no que en el juego de la escalera el que pide primero siempre gana?
Si en un “volado” la moneda cae águila, ¿es seguro que en el siguiente “volado” no caerá águila?
¿Qué puede ocurrir?
¿Conoces algún otro juego, parecido al de la escalera, en el que
antes de empezar no se sepa quién va a ganar? ¿Cómo se llama
y en qué consiste?
¿Es el juego del “gato” un juego de azar? Justifica tu respuesta.
Versión de evaluación 23/04/12
¿Existe una estrategia para no perder en el juego? ¿Cuál es?
En un juego de azar, como el de la
escalera, no se puede saber con
anterioridad cuál será el resultado,
por lo que no se tiene seguridad de si
se va a ganar o se va a perder.
69

70. B1
Sesión 36
En esta sesión continuarás identificando si un juego es de azar o no.

Manos a la obra
Tienes que pensar un número mayor que 0 y menor que 50. Lo anotas en un papelito, sin
que lo vea tu compañero. Él debe adivinar el número que pensaste, y para ello puede hacerte hasta seis preguntas. Tú sólo puedes contestar sí o no. Anoten las preguntas y respuestas en la siguiente tabla.
Preguntas
Respuestas
¿Tu compañero o compañera adivinó el número que pensaste?
¿Qué número pensaste?
¿Cuántas preguntas te hizo?
Ahora es tu turno, ¿podrás adivinar el número que piense tu compañero con menos de seis
preguntas? Inténtalo.
Si este juego lo realizan muchas veces más, ¿podrían encontrar una manera segura de
adivinar el número? ¿Cuál?
70
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, jueguen a “adivina el número”.

71. S9
¿Ganó quien avanzó primero?
Realicen el juego una vez más.
¿Consideran que hay una manera segura de ganar el juego?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y con su profesor. Comenten cuál de los
dos juegos anteriores es de azar y cuál no lo es, y por qué. Si encontraron estrategias para
ganar en cada juego, pruébenlas para ver si lo logran.
Versión de evaluación 23/04/12
2. En equipos, jueguen a la “oca”. Necesitan un par de dados y una ficha por jugador. Todos
salen de Inicio y por turnos avanzan lo que sumen los dados. Gana el primero que logra
llegar a 63.
71

72. B1
Sesión 37
En esta sesión identificarás las principales características de un juego de azar.

Manos a la obra
Se requieren dos jugadores. El jugador que inicia el juego puede anotar sólo el número 1 o
el 2. El otro jugador puede sumar 1 o 2 al número que anotó el primer jugador. En los siguientes turnos, siempre se le suma 1 o 2 al número que anotó el jugador anterior. Gana el
juego el primero que llegue a 10. Observa lo siguiente:
Los jugadores son Toño y Manuel:
Toño
Manuel
1
3
Toño inició el juego y anotó el número 1.
5
7
Manuel decidió sumar dos y anotó el 3.
8
10
¿Qué número anotó después Toño?
¿Quién ganó?
Ahora juega con tu compañero y anota en cada caso quién ganó.
Jugador 1
Ganador:
Jugador 2
Jugador 1
Ganador:
Jugador 2
Jugador 1
Ganador:
Jugador 2
Jugador 1
Ganador:
Jueguen varias veces hasta que encuentren alguna estrategia para ganar.
Comenten con sus compañeros si este juego es de azar o no y por qué.
72
Jugador 2
Versión de evaluación 23/04/12
1. Reúnete con un compañero para jugar “carrera al 10”. Las reglas del juego son las siguientes:

73. S9
Caja A
Caja B
¿De qué caja prefieres hacer la extracción?
Utiliza canicas y una caja o una bolsa para realizar varias extracciones. Recuerda que no
debes ver la canica hasta que esté afuera, y después de registrar su color debes regresarla
a la caja para seguir jugando.
Realicen el juego varias veces más, ¿hay una manera segura de ganar el juego?
Comenten en grupo y con su profesor si este juego es de azar o no y digan por qué.
3. Completa la siguiente tabla contestando Sí o No, para ello deberás tomar en cuenta los seis
juegos que has realizado en esta secuencia.
Juego
Se puede anticipar Se puede encontrar una Se puede controlar
quién ganará
estrategia para ganar
el resultado
Gato
Volados
Adivina el número
Oca
Carrera a 10
Extracción de canicas
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo, y con ayuda de su profesor
contesten las siguientes preguntas.
Caja C
Versión de evaluación 23/04/12
2. Observa las siguientes tres cajas con canicas. Debes extraer una canica de una de las cajas, sin ver; ganas si la canica es blanca.
Es un juego
de azar
¿Al lanzar un dado, se puede determinar el número de puntos que se mostrarán en la cara
superior?
¿Por qué?
¿Se puede determinar la cara que quedará a la vista al lanzar una moneda al aire?
¿Por qué?
¿Se puede determinar el color de la canica que se extrae de una caja o urna, sin ver?
¿Por qué?
73

74. B1
Sesión 38
En esta sesión aprenderás a registrar los resultados posibles
de un juego de azar.

Manos a la obra
a) Primero contesten las siguientes preguntas.
Antes de lanzar un dado, ¿saben en qué número caerá?
Si lanzan un dado muchas veces, ¿qué número saldrá más veces?
b) Ahora, lancen su dado veinte veces y registren sus resultados en la siguiente tabla.
Número de
lanzamiento
Puntos que
marca el dado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
¿Cuál es el número de puntos que más veces salió?
¿Qué número de puntos no salió?
¿Los resultados coinciden con lo que predijeron antes de lanzar el dado?
2. Comparen los resultados obtenidos por las diferentes parejas del grupo.
Concentren en una gráfica como la siguiente los resultados de cada equipo.
Si elaboraron una tabla, cópienla en el pizarrón
y comparen los resultados con los de la gráfica.
Número de veces que salió
¿Qué número se repitió más veces?
¿Qué número se repitió menos veces?
¿Hubo algún número de puntos que no saliera al
lanzar el dado?
Si se realiza un nuevo lanzamiento, y quieren ganar, ¿qué número escogerían?
1
2
3
4
Número de puntos
74
5
6
Hagan el lanzamiento, ¿ganó el número que escogieron?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, lleven a cabo la siguiente actividad, que consiste en lanzar varias veces
un dado.

75. S9
En esta sesión encontrarás alguna estrategia para jugar un juego
de azar en función del análisis de los resultados posibles.
Sesión 39

Manos a la obra
Bolsa 1
Bolsa 2
Bolsa 3
Consideren que utilizan esa bolsa para realizar el experimento de sacar canicas al azar,
devolviendo cada vez la canica que se saca antes de la siguiente extracción. Si se realizan
veinte extracciones, ¿cuántas canicas azules y blancas estiman que van a salir? Anoten sus
predicciones en el siguiente cuadro.
Predicciones
Azules
Blancas
2. Utilicen una bolsa no transparente y canicas, de acuerdo con el número de bolsa que seleccionaron, para realizar el experimento. Uno por uno deberá extraer una canica. Registren
en sus cuadernos los resultados; por ejemplo, anoten A cuando sale una canica azul, y una
B cuando sale una blanca. No olviden regresar la canica a la bolsa. Realicen cada uno
veinte extracciones.
Después de hacer el experimento completen el cuadro con el total de canicas azules y
blancas que salieron.
Bolsa 4
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, seleccionen una bolsa de canicas del siguiente grupo.
Resultado de veinte extracciones
Azules
Blancas
75

76. B1
3. Comparen sus resultados con los obtenidos por otras parejas que seleccionaron la misma
bolsa. ¿Obtuvieron los mismos resultados?
Si algún equipo eligió la bolsa 4, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?
Si algún equipo eligió la bolsa 2, pregúntenle ¿cuál fue el color de canica que más veces salió?
¿Consideran que influye el hecho de que hay igual número de canicas azules que de blancas?
Al considerar todos los resultados que obtuvieron en el grupo, ¿qué color ha salido con más
frecuencia?
¿Se puede saber el color de la canica que sale en una extracción?
Comparen los cálculos que hicieron y vean quiénes se acercaron más.
Si el juego se gana cuando se saca más veces una canica azul, ¿qué bolsa conviene elegir?
En los juegos de azar no podemos predecir quién ganará porque no se puede controlar los resultados. Sin
embargo, al registrar y analizar sus resultados podemos encontrar alguna estrategia de juego.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
1. Describe un juego que sea de azar.
2. Si se lanza una canica por cada laberinto, ¿en cuál de ellos es más probable que salga la
canica por la salida 1?
1
a)
76
2
1
b)
2
3
1
c)
2 3
4
1
d)
2
3
Versión de evaluación 23/04/12
¿Por qué consideran que se obtuvieron esos resultados?

77. S9
Sesión 40
Evaluación
Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta a cada problema.
c) 0.0050
d) 0.00050
2. ¿Qué punto corresponde a la ubicación de la fracción 21 ?
6
0
a
a) d
b) c
c) b
3. Dos tablas, una de 3 de pulgada y otra de 7 de
8
4
pulgada, son unidas por un clavo de 2 pulgadas,
¿qué parte del clavo sobresale de las tablas?
a) 1
4
b) 3
8
c) 1
8
b
c
d
d) a
A
4. La sucesión numérica 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256,
512,…
a) Aumenta de dos en dos.
B
b) Disminuye de dos en dos.
8. ¿Cómo se llama la recta que divide a un ángulo en
dos ángulos iguales?
d) Cada término es el cuadrado del anterior.
a) Mediatriz
5. ¿Qué expresión algebraica se puede usar para
calcular el perímetro de un triángulo isósceles?
a) P = a + b + c
c) P = 2(a + b)
b) P = 2a + b
d) P = 3(a + b)
6. Dos mujeres compraron 80 gallinas en $3 200;
Andrea aportó $1 420 y Susana el resto. ¿Cuántas
gallinas corresponden al dinero que aportó Susana?
a) 50
b) 48
c) 42
4
7. Utilizando sólo un compás marca los cuatro vértices
que definen a un cuadrado. Toma como una de las
aristas del cuadrado el segmento de recta siguiente.
d) 3
4
c) Cada término es el doble del anterior.
Versión de evaluación 23/04/12
1. ¿Qué notación decimal corresponde a 5 ?
10
a) 0.50
b) 0.050
c) Bisectriz
b) Mediana
d) Altura
9. Se lanzaron dos dados, gana Alberto si la suma es
menor a 7; Gonzalo si cae 7; Carmen si cae una suma
mayor de 10, y Ximena si cae 8, 9 o 10. ¿Quién de
ellos tiene más posibilidades de ganar?
a) Alberto
c) Gonzalo
b) Carmen
d) Ximena
d) 36
77

78. Versión de evaluación 23/04/12
Bloque 2

79. Versión de evaluación 23/04/12
mún divisor
el máximo co
as utilizando
solver problem
• Re
múltiplo.
ínimo común
y el m
impliquen
métricos que
,
blemas geo
las medianas
• Resolver pro
e las alturas,
propiedades d
iángulos
el uso de las
ectrices en tr
es y las bis
las mediatric
s.
y cuadrilátero

80. 10
cia
Formulación de los criterios de divisibilidad
entre 2, 3, 5 y 7. Distinción entre números primos
y compuestos.
Sesión 41
En esta sesión determinarás los criterios para distinguir cuándo
un número es divisible entre 2 o entre 3.
 sabes tú?
¿Qué
Trabaja con un compañero para resolver el problema siguiente.
Beatriz quiere repartir los productos que se muestran en la tabla, de tal forma que al número
de personas que se indica les toque exactamente la misma cantidad entera.
Escriban en la tabla la cantidad que le corresponde a cada persona, cuando esto sea posible,
o pongan una cuando no se pueda dividir exactamente. Si tienen dudas con alguna repartición, pueden hacer una división para comprobar.
Número de
personas
$1 140
125
naranjas
77
manzanas
439
nueces
56
huevos
181
hojas de
papel
48
lápices
12
gomas
14
sacapuntas
2
3
5
7
¿Pudieron realizar la repartición de todos los productos
entre el número de personas señalado en cada renglón?
¿Cuáles son divisibles entre 7?
De las cantidades que se repartieron:
la división?
¿Cuáles son divisibles entre 2, esto es, que se pudieron
¿Todas las cantidades se podrán dividir exactamente entre
dividir exactamente entre 2?
el 1 y ellas mismas?
¿Cuáles son divisibles entre 3?
¿Cuáles son divisibles entre 5?
80
¿Podrían establecer un procedimiento para determinar
cuándo un número es divisible entre 2, 3, 5 o 7, sin realizar
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Criterios de divisibilidad

81. 
Manos a la obra
1. En un deportivo se van a dar clases de seis deportes en los que se requiere repartir
a los participantes en dos o tres grupos. Con la información de alumnos inscritos
que se muestra en la siguiente tabla contesten en qué disciplinas es posible formar
dos o tres grupos con el mismo número de integrantes. Escriban SÍ en el caso de
que sea posible, y NO cuando no lo sea. Si tienen dudas, hagan las divisiones.
Especialidad
Inscritos
Natación
220
Futbol
213
Beisbol
111
Volibol
146
Tenis
98
Atletismo
¿Es posible formar 2 grupos ¿Es posible formar 3 grupos
con el mismo número de
con el mismo número de
integrantes?
integrantes?
132
¿En qué deportes sí fue posible formar 2 grupos exactos?
¿En cuáles fue posible formar 3 grupos exactos?
Escriban los números que se pudieron dividir exactamente entre 2, es decir que son divisi¿Qué característica tienen en común estos números?
bles entre 2.
Expliquen brevemente cómo es posible determinar, sin realizar la división, cuándo un número es divisible entre 2.
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen las actividades siguientes.
Escriban los números que se pudieron dividir exactamente entre 3, es decir que son divisi¿Qué característica tienen en común estos números?
bles entre 3.
¿Tiene algo que ver la terminación de los números para que sean divisibles entre 3?
¿Por qué?
81

82. B2
2. En la siguiente tabla hay diez números que al dividirlos entre 3 dejan residuo cero. Subráyenlos.
528
111
923
611
326
327
259
405
102
420
936
639
412
984
Busquen alguna característica que tengan en común los números divisibles entre 3.
Pueden realizar operaciones (suma, resta, multiplicación, división) con los dígitos de cada
número y ver si hay alguna característica común.
Comparen sus observaciones en el grupo y saquen una conclusión respecto a cómo determinar cuándo un número es divisible entre 3 sin realizar la división.
Un número natural a es divisible entre otro natural b distinto de cero,
cuando puede dividirse exactamente entre éste, es decir que existe un
natural c, de tal forma que bc = a. b a = c
Los números cuya última cifra es un número par son divisibles entre 2.
Por ejemplo:
458 es divisible entre 2, porque la última cifra es par.
1 080 es divisible entre 2, porque la última cifra es 0.
Son divisibles entre 3 los números en los que la suma de los dígitos que lo forman es un
múltiplo de 3.
Ejemplos:
285 es divisible entre 3, porque la suma de 2 + 8 + 5 es 15, y 15 es múltiplo de 3.
542 319 es divisible entre 3, porque la suma de 5 + 4 + 2 + 3 + 1+ 9 es 24, y 24 es
múltiplo de 3.
82
Versión de evaluación 23/04/12
123

83. S10
Sesión 42
En esta sesión conocerás los criterios para determinar cuándo
un número es divisible entre 5 o 7.

Manos a la obra
1. Catalina quiere comprar unas estampas para repartirlas entre sus cinco hijos, pero quiere
que a cada uno le toque un número exacto de estampas y que no sobre ninguna. ¿Qué
paquetes puede comprar para que se cumplan estas condiciones?
Escriban qué paquetes cumplieron con las condiciones marcadas.
Escriban qué características tienen en común los paquetes que sí cumplieron las condiciones.
2. Encierren los números que sean divisibles
entre 5.
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
365
258
415
780
965
589
333
200
555
145
789
235
¿Qué característica observan en los números que pueden dividirse entre 5?
123
350
625
380
415
100
3. Analicen el procedimiento siguiente, que permite saber cuándo un número es divisible
entre 7.
a) ¿El número 386 es divisible entre 7?
Separen el dígito de las unidades:
38 6
Dupliquen el dígito de las unidades:
6 × 2 = 12
Resten el producto a las cifras de la izquierda:
38 − 12 = 26
Si el resultado es cero o múltiplo de 7 el número será divisible entre 7. Como 26
no es múltiplo de 7, entonces 386 no es divisible entre 7. Realicen la división y
compruébenlo.
83

84. B2
b) ¿El número 875 es divisible entre 7?
Separen el dígito de las unidades:
87 5
Dupliquen el dígito de las unidades:
5 × 2 = 10
Resten el producto a las cifras de la izquierda:
87 − 10 = 77
c) Cuando el número es mayor, por ejemplo 2 982, el proceso se repite tantas veces como sea necesario. Analicemos si 2 982 es múltiplo de 7.
Separen el dígito de las unidades:
298 2
Dupliquen el dígito separado:
2×2=4
Resten el producto a las cifras que quedaron a la izquierda: 298 − 4 = 294
Se repite el procedimiento con el número obtenido en el paso anterior, para ver
si es múltiplo de 7, es decir, el 294.
Separen el dígito de las unidades:
29 4
Dupliquen el dígito de las unidades:
4×2=8
Resten el producto a las cifras que quedaron a la izquierda: 29 – 8 = 21
El 21 es múltiplo de 7, entonces el 2 982 es divisible entre 7.
4. Analiza los siguientes números. Emplea el procedimiento anterior para determinar si el número es divisible entre 7, y si el número es divisible, subráyalo.
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
Si tienen resultados distintos, comprueben realizando
la división.
602
2520
907
787
875
339
644
337
Un dato interesante…
Se cree, pero no se ha demostrado, que todo número par mayor que 2 se puede escribir
como suma de dos números primos. Este resultado se conoce como la conjetura de
Goldbach.
Ejemplos:
4=2+2
6=3+3
8=3+5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
84
Versión de evaluación 23/04/12
Como el 77 es múltiplo de 7, entonces el 875 es divisible entre 7. Realicen la
división y compruébenlo.

85. S10
Sesión 43
En esta sesión conocerás qué son los números primos
y los números compuestos.

Manos a la obra
¿Qué tipos de números conoces?
1°, 2°, 3°…
1, 2, 3, 4,…
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
0, 2, 4, 6, 8…
2. Escriban qué otro tipo de números conocen y den un ejemplo de ellos.
Comparen sus respuestas con las de otra pareja y en caso de duda comenten con su maestro.
3. En equipos, resuelvan el problema siguiente.
Número
Fátima tiene un pasatiempo: le gusta analizar números y
determinar cuáles son sus divisores. Ella sabe que un
número es divisor de otro cuando lo divide exactamente.
240
Ayúdale a completar la tabla.
Divisible entre…
1, 2, 3, 4, 5, 6,
47
43
246
¿Entre qué números fue divisible el 43?
¿y el 47?
Esta fue la forma en que Jorge analizó los números 43 y 47.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, escriban qué tipos de números son los siguientes:
No son divisibles entre 2 porque no terminan en número par. No son divisibles entre
3 porque sus dígitos no suman un múltiplo de 3. No son divisibles entre 5 porque
no terminan en 0 o en 5. No son divisibles entre 7 porque al duplicar el dígito
de las unidades y restarlo a lo demás no da un múltiplo de 7. ¡No son divisibles
entre esos números!
¿Qué opinan del análisis que hizo Jorge?
85

86. B2
En su cuaderno dividan los números 43 y 47 entre sí mismos y comenten lo que sucede.
¿Pudieron dividirse entre sí mismos?
¿Qué cociente obtuvieron?
Ahora dividan entre 1 los números señalados.
¿Qué pueden concluir?
Hay números que sólo tienen dos divisores
diferentes: ellos mismos y la unidad. Los
números que sólo tienen dos divisores diferentes
se llaman números primos.
De acuerdo con la definición anterior, ¿el número 1 es un
número primo?
1 13 , 13 13 ; 1 43 , 43 43 ; 1 47 , 47 47
4. En equipos, realicen la actividad siguiente.
La criba de Eratóstenes
Eratóstenes (276-194 a.n.e.) fue un matemático griego que ideó una forma para reconocer
cuáles números son primos. Háganla ustedes también.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
•• En la siguiente tabla tachen el 1 porque
no es número primo.
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
•• Encierren con un círculo el 2 y tachen todos sus múltiplos (4, 6, 8, etcétera).
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
86
•• Encierren con otro círculo el siguiente número que no esté tachado, en este caso el
3, y tachen todos sus múltiplos (6, 9, 12,
etcétera).
•• Encierren con un nuevo círculo el siguiente
número que no esté tachado, ahora sería
el 5, y tachen todos sus múltiplos (5, 10,
15, etcétera).
•• Encierren con un círculo el siguiente número que no esté tachado, que será el 7,
y tachen todos sus múltiplos.
•• Busquen el siguiente número sin tachar y
enciérrenlo en un círculo. Después tachen
todos sus múltiplos.
•• Continúen así hasta que todos los números estén tachados o encerrados.
Versión de evaluación 23/04/12
¿Qué cociente obtuvieron?

87. S10
Los números encerrados en círculo, es decir, los que quedaron sin tachar, son los números
primos menores de 100. Escríbanlos a continuación.
Escriban con sus propias palabras lo que entienden por número compuesto.
Comparen su texto con el de otros equipos, y si tienen alguna duda coméntenla con el
maestro.
Consulta en…
Entra a los sitios: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/primos.htm
y http://thales.cica.es/cadiz2/ecoweb/ed0898/recursos/sabiasque.htm,
donde encontrarás otros aspectos interesantes de los números primos.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• Determina entre qué números primos son divisibles los siguientes números:
210, 105, 77, 184, 91.
Versión de evaluación 23/04/12
Todos los números que fueron tachados, a partir del 4 reciben el nombre de números compuestos.
87

88. 11
cia
Resolución de problemas que impliquen
el cálculo del máximo común divisor
y el mínimo común múltiplo.
Sesión 44
En esta sesión resolverás problemas efectuando el cálculo del máximo común
divisor.
 sabes tú?
¿Qué
1. Reúnete con un compañero para resolver el problema siguiente.
Se inscribieron 240 personas en un curso de idiomas. Todas deben pertenecer a algún
grupo. Si se forman grupos con el mismo número de integrantes, cuántas personas habrá
en cada uno si se tienen:
Cinco grupos
Seis grupos
Ocho grupos
Doce grupos
¿Qué hicieron para saber cuántas personas correspondían a cada grupo?
Comprueben si 240 tiene como divisores a 5, 6, 8 y 12.
88
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
MCD y mcm

89. 
Manos a la obra
En la tabla se muestran los participantes que se han inscrito para las distintas disciplinas
de las pruebas de atletismo.
Disciplina
Número de participantes
Carreras
60
Salto
48
Lanzamientos
30
Marcha
120
a) Se trata de formar equipos de manera que haya el mismo número de participantes de
cada disciplina. ¿Cuál es el mayor número de equipos que se pueden crear?
¿Cuántos integrantes de cada prueba habrá por equipo?
b) Diana dice que para contestar las preguntas la operación que se necesita emplear es la
división. ¿Tiene razón?
¿Qué números son los que hay que dividir?
¿Entre qué número habría que dividir?
c) Pedro dice que hay que multiplicar. ¿Tiene razón?
¿Qué números son los que
¿Por qué número habría que mul-
hay que multiplicar?
tiplicar?
d) Escriban en la tabla todos los divisores que tiene cada número
Número
Divisores
60
48
30
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, resuelvan los problemas siguientes.
120
¿Cuáles divisores son comunes a todos los números?
e) Comenten lo siguiente.
De los divisores comunes, ¿cuál es el mayor?
¿Cómo se relaciona este número con la solución del problema?
89

90. B2
2. En equipos, resuelvan el problema siguiente.
El máximo común divisor (mcd) de varios números corresponde al
divisor que es común para todos los números dados y además
es el mayor.
Por ejemplo:
El mcd de los números
132
Números
120
¿Cuál es el número máximo de bolsas que
144
Divisores
puede llenar sin que le sobren o le falten
galletas?
¿Cuántas galletas
108
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 54, 108
132
1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 22, 33, 44, 66, 132
de cada sabor deberá poner en cada bol-
120
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120
sa?
144
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144
Los divisores comunes son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12, y el mayor es el 12.
Por lo tanto, el mcd de 108, 132, 120 y 144 es 12, esto quiere
decir que el número 12 es el número mayor que puede dividir
exactamente a todos los números mencionados.
Sesión 45
Comparen sus respuestas con las de otro
equipo, y en caso de duda pidan que justifiquen su respuesta y analicen cuál consideran que es el procedimiento correcto.
En esta sesión resolverás problemas encontrando el mínimo común múltiplo.

Manos a la obra
1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
a) Rosa, Raúl y Rita juegan a la pulga y las trampas en una tira que llega hasta el 50.
Rosa dice que su pulga saltará de 3 en 3 empezando en el 1, Raúl dice que su pulga
saltará de 5 en 5 empezando en el 2, Rita podrá poner 2 trampas.
¿Los podrá atrapar con las dos trampas o necesitará más?
¿Podría atraparlos con una trampa o necesitará las dos?
Escriban los números por los que pasará la pulga de cada uno.
Rosa:
Raúl:
¿En qué números le conviene a Rita poner sus trampas para atrapar a sus compañeros?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, y en caso de duda pidan que
justifiquen sus respuestas.
90
Versión de evaluación 23/04/12
108
Edna horneó galletas de diferentes sabores: nuez, 216 piezas; vainilla, 264; chocolate, 240; fresa, 288, y con azúcar,
144. Quiere empacarlas en bolsas distribuidas equitativamente.

91. S11
b) Luis, Leti, Luci y Lalo juegan a la pulga y las trampas en una tira que llega hasta el 100.
Todos iniciarán en el cero. Luis saltará de 4 en 4, Leti de 6 en 6, Luci de 3 en 3, y Lalo
solamente tendrá oportunidad de colocar una trampa.
¿Bastará una trampa para atraparlos a todos?
Si quiere atraparlos a todos lo antes posible, ¿en qué casilla deberá poner la trampa?
Escriban los números por los que pasará la pulga de cada uno.
Luis:
Leti:
Luci:
Observen los números por los que pasarán las pulgas y contesten:
¿Cuáles son los números comunes a todos?
¿Cuál es el número menor por el que pasarán todas las pulgas?
¿En qué número le conviene a Lalo poner la trampa?
Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan que las
justifiquen.
El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números corresponde al múltiplo positivo que es común para
todos los números dados y además es el menor.
Por ejemplo:
El mcm de los números
18
12
10
Números
Versión de evaluación 23/04/12
¿En dónde le conviene a Lalo colocar la trampa para atrapar al mayor número de compañeros?
Divisores
18
36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162, 180, 198, 216, 234,…
12
24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192, 204,…
10
20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120, 130, 140, 150, 160, 170, 180,…
El primer múltiplo común es 180.
Por lo tanto, el mcm de 18, 12 y 10 es 180. Esto quiere decir que el número 180 es el menor múltiplo
común y que puede ser dividido exactamente entre todos los números mencionados.
91

92. B2
Sesión 46
En esta sesión resolverás problemas realizando el cálculo del máximo común
divisor o del mínimo común múltiplo.
1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
a) Carlos tiene los dulces que se enlistan a continuación: 40 higos, 56 alegrías,
48 pepitorias y 24 calabazas. Los quiere empacar en cajas para su venta, de
tal forma que use el mayor número de cajas y que en cada una haya la misma
cantidad de cada tipo de dulces. ¿Cuántas cajas usará y cuántos dulces de
cada tipo habrá en cada una?
parada
b) Para cubrir una ruta de 60 cuadras hay tres líneas de autobuses que suben o
bajan pasaje al final de las cuadras de la siguiente forma: la línea verde hace
parada cada 3 cuadras; la azul, cada 4 cuadras, y la rápida solamente se
detiene cada 6 cuadras.
Si Enrique vive en la esquina del final de la cuadra 7 y quiere caminar hasta
la calle más próxima en la que hagan parada las tres líneas, para que pueda
parada
tomar cualquiera de ellas, ¿cuál es la cuadra a la que debe caminar?
Mónica vive en la esquina del principio de la calle 15 y quiere caminar a su
casa desde cualquier cuadra en la que pare una de las líneas. ¿Cuál parada
le queda más cerca?
¿De qué línea de autobús es?
Comparen sus respuestas con las de otro equipo, y en caso de duda pidan
que las justifiquen.
Avenida Central

Autoevaluación
Responde en tu cuaderno lo siguiente.
• Escribe una forma de calcular el mínimo común múltiplo de varios números.
• Escribe una forma de calcular el máximo común divisor de varios números.
• Usando los números 18, 12 y 36, inventa dos problemas, uno que involucre el cálculo del
mínimo común múltiplo y otro que requiera el cálculo del máximo común divisor.
92
Versión de evaluación 23/04/12
parada
Enrique

Manos a la obra

93. 12
cia
Resolución de problemas aditivos en los que
se combinan números fraccionarios y decimales
en distintos contextos, empleando los algoritmos
convencionales.
En esta sesión resolverás problemas utilizando la equivalencia
entre fracciones.
 sabes tú?
¿Qué
Trabajen en parejas para resolver la siguiente actividad.
Al comienzo del año, doce personas participan en una tanda, que es una modalidad de ahorro
en la que todos aportan al mes la misma cantidad de dinero, la cual se entrega en su totalidad
en cada ocasión a una persona diferente. En el mes de agosto un integrante salió de viaje y
otro tuvo un accidente, lo que les impidió hacer su aportación.
¿Qué fracción de la tanda recibió la persona en turno?

Manos a la obra
1. Resuelve los problemas siguientes.
a) Hoy en la mañana Luis Adrián tomó medio litro de leche antes de ir a la escuela. Por la
tarde, al regresar a su casa, tomó otro vaso de leche, equivalente a un cuarto de litro, y
finalmente, antes de irse a dormir bebió leche en un vaso con capacidad de tres cuartos
de litro. Si consideramos que un vaso equivale a un cuarto de litro, ¿cuántos vasos de
leche tomó el día de hoy Luis Adrián?
b) El señor López utiliza la tercera parte de su día de trabajo en contestar llamadas; asimismo, durante la mitad de la jornada laboral se encuentra en juntas con clientes. El
tiempo restante lo considera como su momento productivo. Conforme a la percepción
del señor López, ¿a cuántos momentos productivos es equivalente el tiempo destinado
a atender llamadas y a estar en juntas con clientes?
Comenta tus resultados con el grupo.
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Sumas con fracciones
y decimales
Sesión 47
Cuando dos o más fracciones representan la
misma cantidad, entonces son equivalentes;
es decir, 1 = 2 .
2 4
93

94. B2
Sesión 48
En esta sesión resolverás problemas que implican el empleo de fracciones.

Manos a la obra
En equipos, resuelvan los siguientes problemas.
en lo que quieran durante la semana. Pasados tres días los niños deciden juntar la cantidad
de dinero con que cuentan en ese momento porque quieren comprar un juguete que vale
1 1 veces lo que recibió alguno de ellos. Si al primero le queda la mitad de lo que recibió,
3
al segundo 2 y al tercero 7 , ¿será posible que les alcance el total de su dinero para com8
6
prar el juguete que quieren?
b) La señora Tina decidió hacer la dieta de la luna para bajar de peso. Al terminarla pesaba
9 de lo que tenía al comienzo de su dieta, sin embargo, debido a que tuvo una descom10
pensación estuvo en el hospital una semana. Al salir pesaba 1 menos que cuando inició la
8
dieta. ¿Qué fracción de peso perdió en total la señora Tina?
Para sumar o restar dos o más fracciones que
tienen diferente denominador se deben obtener
fracciones equivalentes con denominador común.
Un denominador común es cualquier múltiplo común de los denominadores de las fracciones,
así que por conveniencia utilizaremos el mínimo común múltiplo. Por ejemplo, en el caso de
3 + 5 − 1 el mínimo común múltiplo de los denominadores es 6, de forma que las fracciones
2 3 6
18
equivalentes son 9 , 10 y 1 , siendo el resultado de la operación 6 = 3.
6 6 6
94
Versión de evaluación 23/04/12
a) Tres hermanos reciben cada uno de sus papás la misma cantidad de dinero para utilizarla

95. S12
Sesión 49
En esta sesión compararás fracciones.

Manos a la obra
a) En el siguiente cuadro se muestra la fracción que representan los maestros de secundaria
con respecto al número de alumnos de ese nivel en siete países. Esto es, la tabla nos dice
cuántos maestros hay por número de alumnos.
País
Argentina
Maestros por número de alumnos
3
50
Brasil
3
50
Chile
1
25
Corea
1
20
España
2
25
Estados Unidos
7
100
México
1
20
Fuente: Elaboración propia con base en información del INEE.
Panorama educativo de México 2009, p. 40.
¿Qué países superan a México en mayor número de maestros por número de alumnos?
¿Por cuánto más?
¿Qué país es el que tiene mayor número de maestros por número de alumnos?
b) La familia Pérez fue a Acapulco, realizando el trayecto en un tiempo de 6 1 horas. Estando
8
allí se encontraron a la familia López, quienes llegaron por otro camino, empleando un
tiempo de 3 2 horas.
3
¿Cuánto tiempo se hubiera ahorrado la familia Pérez de haber tomado el mismo camino que
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
la familia López?
Para hacer una suma o una resta de números mixtos se acostumbra convertirlos a
fracciones impropias. Luego, las fracciones impropias se transforman en fracciones equivalentes con denominador común para poder efectuar la operación.
95

96. B2
Sesión 50
En esta sesión verás cómo se trabaja con números decimales en ciertas
actividades cotidianas.

Manos a la obra
Los precios de algunos productos que se venden en la papelería “La Goma” son los siguientes:
Producto
Lápiz de 2 1
2
Cuaderno profesional
Precio
$ 3.00
$ 17.80
Goma
$ 6.20
Bolígrafo
$ 4.20
Fotocopia
$ 0.60
Fólder
$ 1.50
Encuentren el costo de:
Diez copias, un fólder y un bolígrafo
1
Un cuaderno profesional, lápiz de 2 2 y una goma
80 copias, dos fólderes y tres cuadernos
Si una persona que va a “La Goma” tiene destinado pagar $100.00, ¿qué podría comprar?
Escriban una opción.
Para realizar la adición o la sustracción con números decimales se
escriben los números en forma vertical, de manera tal que las cifras
queden alineadas a partir del punto decimal, esto permite sumar
décimos con décimos, centésimos con centésimos, y así sucesivamente.
Ejemplo:
96
9.05
+ 12.50
25.00
46.55
Versión de evaluación 23/04/12
Trabajen en equipos la actividad siguiente.

97. S12
En esta sesión resolverás problemas utilizando tanto fracciones como decimales.
Sesión 51

Manos a la obra
a) En un grupo de secundaria la mitad de los hombres está en el taller de electrónica,
mientras que la tercera parte de las mujeres cursa el de computación, ¿cuál es la diferencia entre la fracción de hombres que estudian electrónica y la de mujeres que cursan
computación?
1
b) Una persona tiene que trabajar 40 horas a la semana. Si el lunes laboró 7 4 h, el mar1
2
5
tes 9 2 h, el miércoles 10 3 h, y el jueves 6 6 h, ¿cuánto tiempo tendrá que laborar el
viernes?
c) En una tlapalería, el señor Robles pagó por un kilogramo de cemento la cantidad de $35.60,
y por dos kilogramos de estopa, $15.06. Al pagar con un billete de $200, el encargado le
dice que no cuenta con centavos, por lo que el señor Robles acepta que no le dé los centavos
de cambio. ¿Cuánto recibió de cambio?
d) En el refrigerador de la casa de Juan hay un recipiente con 3.5 litros de leche; si él toma
1
4 L de leche por día, ¿para cuántos días le alcanza la leche que hay?
e) En un frutero hay 2 1 kg de fruta; si hay 0.125 kg de melón, 1 kg de manzana y medio
2
4
kilogramo de sandía, ¿qué cantidad de kilogramos hay de otras frutas?

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• ¿Cómo resolverías la siguiente operación?
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
3
2
5 + 7 10 + 0.85
• ¿Cuál es el resultado expresado en fracción?
• ¿Cuál es el resultado expresado con número decimal?
97

98. 13
cia
Resolución de problemas que impliquen
la multiplicación y la división con números
fraccionarios en distintos contextos,
utilizando los algoritmos usuales.
Sesión 52
En esta sesión resolverás problemas cotidianos empleando la multiplicación
y la división de fracciones.
 sabes tú?
¿Qué
1. Contesta lo siguiente.
Óscar compra 1 kg de carne, 3 kg de cebolla, 3 kg de tortillas, 1 1 kg de jitomate y
4
4
2
2
verdura que pesó 2 1 kg, y todo lo pone en una bolsa, ¿cuánto peso lleva la bolsa?
2
Si su hermana le ayuda con la verdura y la carne, ¿cuánto peso lleva cada uno?
98
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Multiplicación y división
con fracciones

99. 
Manos a la obra
1. En parejas, completen la tabla y contesten las preguntas.
Cantidad
de kilogramos
Mercancías
Precios
por kilogramo
Cebollas
3
$6
Azúcar
1 1
2
$18
Carne
3
4
$80
Huevo
1
4
Cantidad de dinero
a pagar
$24
¿Por cuál de las cuatro mercancías pagó más?
¿Cuánto pagó en total?
Si compran tres veces esa cantidad de cebollas, ¿cuánto deben pagar?
¿Cuánto cuesta 1 kg de azúcar?
2
Si compran 2 kg de carne, ¿cuánto deben pagar?
¿Y si compran 1 kg de huevo?
2
¿Cómo calculan cuánto pagó esa persona por la carne?
Si por 1 de kg de huevo paga 6 pesos, ¿cuánto dinero pagará por 3 kg?
4
4
2. Resuelve el problema siguiente.
Versión de evaluación 23/04/12
Una persona compró en el mercado las siguientes mercancías para su despensa.
El señor Pedro compró una pieza de 15 m de tela. Va a utilizar 4 1 m para hacer sus pan2
talones. El resto de la tela lo va a repartir en partes iguales a sus tres hijos.
¿Cuántos metros de tela le corresponden a cada hijo?
Pedro va a confeccionar dos pantalones con la tela que tiene, ¿cuántos metros utilizará
para cada pantalón?
Analiza con un compañero la estrategia seguida para resolver los problemas anteriores.
99

100. B2
Sesión 53
En esta sesión seguirás aplicando la multiplicación y la división de fracciones
en diferentes contextos, ahora las estudiarás para calcular áreas.

Manos a la obra
¿Cuánto tendrá de área un espejo rectangular que mide 2 m de alto y 5 m de largo?
alto
largo
2. En parejas, realicen la actividad siguiente y anoten los resultados en su cuaderno.
Una persona necesita comprar tres hojas de triplay con las siguientes medidas:
Hoja 1: 1 m × 1 m
3
6
Hoja 2: 1 1 m × 3 m
2
5
Hoja 3: 5 m × 3 m
6
La hoja de triplay que mide 6.10 m × 1.83 m vale $250.00.
Calculen el área y el costo de las hojas 1, 2 y 3.
Describan brevemente el método que siguieron para calcular el costo de las hojas.
Si se necesita una hoja de triplay que mida 3 m de largo y 1 m de ancho, ¿cuánto medirá
4
su área?, ¿y cuál será su costo?
Comparen sus respuestas y los procedimientos que emplearon con los de otras parejas.
3. Contesta lo siguiente.
Don José tiene una parcela de forma cuadrada. Si aró las 3 partes de su parcela y sembró
4
2 partes de la parte arada, ¿qué parte de la parcela sembró?
3
En la parte de la parcela que está sin arar construyó un corral que ocupa la mitad de ésta.
¿Qué parte de la parcela ocupa el corral?
Si el terreno mide de largo 1 de kilómetro, ¿cuál es el área en metros cuadrados de la
5
parcela de don José?
4. Comenten en grupo cómo se obtiene el producto y el cociente de dos fracciones.
100
Versión de evaluación 23/04/12
1. Contesta lo siguiente.

101. S13
En esta sesión resolverás problemas de multiplicación de fracciones.
Sesión 54

Manos a la obra
En el museo Universum de la unam, en la ciudad de México, se tienen simuladores en los que
se representa la fuerza de gravedad de los planetas de nuestro sistema solar.
La fuerza de gravedad en la Tierra es 5 veces la fuerza en Neptuno. Esto significa que en Nep6
5 veces menos alto de lo que salta en la Tierra, y que su peso sería
tuno una persona saltaría
6
6 veces mayor.
5
Si en la Tierra el récord de salto de altura es cercano a 2.5 m, ¿cuál sería la altura de este
récord en Neptuno?
Una persona que pesa 80 kg en la Tierra, ¿cuánto pesaría en Neptuno?
1. En equipos, completen la tabla siguiente.
Integrantes
del equipo
Peso en la Tierra
(en kg)
Peso en la Luna
( 1 del peso en la Tierra)
6
Peso en Marte
( 2 del peso en la Tierra)
5
Peso en
Neptuno
Cuando se multiplica cualquier número por una fracción menor que 1, el producto es menor
que ese número, porque se toma sólo una parte de él:
Versión de evaluación 23/04/12
Los planetas atraen a los objetos con distinta intensidad.
5 × 9 = 45 = 7 3 = 7 1 ; 7 1 es menor que 9;
6
6
2
2
6
5 × 1 = 5 5 es menor que 1 .
;
2
6 2 12 12
Y cuando se multiplica cualquier número por una fracción mayor que 1, el producto es mayor
que ese número, porque se toma más de una vez:
5 × 4 = 20 = 10; 10 es mayor que 4;
2
2
5 × 2 = 10 10 es mayor que 2 .
;
2 3 6 6
3
101

102. B2
Consulta en…
2. Contesta lo siguiente.
La fracción recíproca o inversa de una fracción es otra fracción que se obtiene al invertir sus términos. Por ejemplo:
de 2 su recíproca o inversa es 3 .
3
2
Entra al sitio http://www.universum.unam.mx/
y analiza la información que contiene acerca
de los planetas y la fuerza de gravedad.
recíproca?
Sesión 55
En esta sesión resolverás problemas de división de fracciones en
distintos contextos.

Manos a la obra
1. Resuelve el problema siguiente.
Si en una papelería tienen un rollo de hule para forrar de 12 m y necesitan cortar trozos
de 2 m cada uno, ¿cuántos trozos se obtienen?
3
Si el rollo tuviera 15 1 m y necesitaran cortar trozos de 1 m cada uno, ¿cuántos trozos
2
4
se obtendrían?
2. En equipos, realicen las siguientes actividades.
La siguiente figura representa un rollo de hule de 12 m de largo.
Marquen la medida del largo de los trozos ( 2 m) tantas veces como se pueda a lo
3
largo del hule.
¿Cuántos trozos obtuvieron?
1m
102
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
Versión de evaluación 23/04/12
¿Cuál será el resultado de multiplicar una fracción por su

103. S13
Completen la siguiente tabla.
12 m
12 m
12 m
12 m
12 m
12 m
12 m
Medida del largo
de los trozos
12 m
6m
3m
11 m
4
13 m
4
1m
6
1m
8
Número de trozos
que se obtienen
Si el rollo de hule mide 12 m y cortan trozos de 1 de m, ¿cuántos trozos se obtienen?
3
Escriban la división que corresponde a cada situación:
Si el rollo de hule mide 15 1 m y cortan trozos de 1 m, ¿cuántos trozos se obtienen?
2
6
Escriban la división que modela esta situación:
÷
=
Si tienen 10 trozos de 1 m y los unen, ¿cuántos metros de hule tienen en total?
2
Dividir un entero entre una fracción es equivalente a multiplicar el
entero por el recíproco de la fracción. Por ejemplo:
12 ÷ 3 = 12 ×
4
12 ÷ 1 = 12 ×
2
4 = 12 × 4 = 48 = 16
3 1 3 3
2 = 12× 2 = 24 = 24
1 1 1 1
Dividir cualquier fracción (dividendo) entre otra (divisor) es equivalente
a multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.
Versión de evaluación 23/04/12
Cantidad de hule
disponible
Por ejemplo:
9 ÷ 3 = 9 × 4 = 36 = 12
5 4 5 3 15 5
103

104. B2
Sesión 56
En esta sesión estudiarás problemas de multiplicación y división de fracciones
en diversos contextos.

Manos a la obra
a) En una planta lechera se tienen distintas presentaciones de un mismo producto. Un
tanque de leche deslactosada tiene 36 000 L, con los que se llenarán 20 000 garrafones, sin que sobre leche.
¿De qué capacidad deben ser los garrafones?
¿Qué operación realizaron para encontrar la respuesta?
b) Se van a repartir 6 3 L de leche light en 27 en­ ases. Se quiere que en cada envase haya
v
4
la misma cantidad de líquido y que no sobre.
Encierra la operación que resuelve correcta­ ente el problema.
m
6 3 ÷ 27
4
27 ÷ 6 3
4
27 × 18
4
4
6 3 × 27
4
¿Qué cantidad de leche quedará en cada envase?
2. En parejas, analicen las siguientes divisiones y, sin resolverlas, escriban frente a cada una:
cociente entero, resultado menor que el dividendo o resultado mayor que el dividendo, según sea el caso. Resuelvan las operaciones en su cuaderno y corroboren sus cálculos.
3 ÷ 2 =
4
5 3 ÷ 3 2 =
3
4
2÷3=
7 5
4 ÷ 3 =
7 4
104
2 1 ÷ 3=
3
24 ÷ 14 =
3
7
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve los problemas siguientes.

105. S13
3. En parejas, resuelvan los siguientes problemas.
b) El rendimiento de gasolina de un automóvil A es de 11 1 km/L, y el del automóvil B es
2
de 15 1 km/L. Si con el tanque lleno el automóvil A recorre 690 km, ¿cuál es la capa4
cidad del tanque A?
¿Cuánto recorre el automóvil B
con la misma cantidad de gasolina?
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas.

Autoevaluación
Responde en tu cuaderno lo siguiente.
En una escuela presentaron examen 240 alumnos.
1. Si 3 de los alumnos que aprobaron son mujeres, ¿cuántas mujeres aprobaron?
6
a) 82
b) 104
c) 98
d) 72
2. Del total de alumnos que presentaron el examen, 5 están en primer grado, y de éstos,
12
4 lo aprobaron. ¿Cuántos alumnos de primer grado aprobaron?
5
a) 80
b) 65
c) 102
d) 78
Versión de evaluación 23/04/12
a) Se tienen 9 litros de miel y se van a envasar en botellas de 3 , ¿cuántas botellas se
4
llenarán?
105

106. 14
cia
Resolución de problemas geométricos que impliquen
el uso de las propiedades de la mediatriz de un
segmento y de la bisectriz de un ángulo.
Sesión 57
En esta sesión conocerás las aplicaciones que tienen las diferentes
propiedades de la mediatriz de un segmento.
 sabes tú?
¿Qué
En temas del bloque anterior viste el trazo de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de
un ángulo. Algunos problemas y situaciones generales en geometría implican el conocimiento
y análisis de las propiedades de dichos lugares geométricos.
El maestro de Matemáticas de 1°B ha organizado un concurso de construcción de papalotes
entre sus alumnos, con la condición de que los papalotes sean diseñados con figuras geométricas y que contengan representaciones de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un
ángulo. El papalote ganador será premiado.
Chucho y su amigo entraron al concurso e investigaron algunos esquemas de figuras que cumplen con las condiciones solicitadas.
¿Qué necesitan saber Chucho y su amigo acerca de la mediatriz y la bisectriz para armar el
papalote y ganar el concurso?
Dibuja algunas figuras geométricas que conozcas, con las condiciones que puso el profesor.
106
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Propiedades de la mediatriz
y la bisectriz

107. 
Manos a la obra
En un concurso de tiro con arco se colocan cinco blancos frente al tirador en turno; a éste
se le indica que debe situarse en el centro de la línea de tiro y desde ahí efectuar sus
disparos.
Localiza el punto P sobre la línea de tiro desde donde su disparo al punto C sea una perpendicular. Dibuja ahora los segmentos que parten del centro de la línea de tiro hacia cada
uno de los blancos marcados con las letras A, B, D y E.
E
D
C
B
A
¿Cuántos pares de segmentos iguales hay y cuáles son?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, analicen el siguiente problema y contesten.
Si acercamos la línea de tiro, ¿cuántos pares de segmentos iguales quedan?
En caso de que se decida alejar la línea de tiro, ¿cuántos pares de segmentos iguales
quedan?
¿Cuál es el segmento que tiene diferente medida que los demás?
¿Qué lugar geométrico representa dicho segmento si pasa por el punto medio de la línea
de blancos?
107

108. B2
Sesión 58
En esta sesión definiremos las propiedades de la mediatriz
que nos ayuden a resolver ciertas situaciones de la vida cotidiana.

Manos a la obra
Alto
Al padre de Pepe, que es
herrero, le solicitaron una
puerta que tenga un diseño
como el que se muestra en
la siguiente figura:
Largo
Por la carga de trabajo, el papá le encargó a Pepe que realizara los cortes para la construcción de la puerta, considerando su diseño y el ahorro de material. Reúnanse en equipos y
contesten las siguientes preguntas para ayudar a Pepe con el trabajo. Pueden hacer trazos
en su cuaderno para explicar sus procedimientos.
•• ¿Cómo son entre sí las varillas que forman el contorno de cada figura?
•• Si se pretende utilizar dos varillas para el centro de cada figura, ¿cuántas se necesitan
para armar la secuencia?
•• ¿Qué condición deben cumplir las dos varillas centrales para que la figura se arme correctamente?
•• Observa la secuencia de figuras, ¿cuántas mediatrices encuentras?
¿Cuál es la propiedad de la mediatriz que se usa en el armado del centro de cada rombo?
¿Cuál es la propiedad de la mediatriz que se usa en el armado del contorno de cada
figura?
En equipos, y con ayuda de su profesor, concluyan qué tipo de propiedades de la mediatriz y
su correcto trazo hemos analizado, y que podrían ayudar al padre de Pepe a entregar un mejor
diseño en su trabajo.
La mediatriz es la recta perpendicular a un segmento que
lo corta en su punto medio.
La mediatriz tiene una importante propiedad: la distancia
de cualquier punto de esa recta a cada uno de los dos
extremos del segmento al que divide es la misma.
108
Para finalizar, tracen en su cuaderno un diseño
parecido al que debe entregar el padre de Pepe
con las medidas que ustedes determinen, y marquen con color rojo la distancia de la mediatriz a
los extremos del segmento que divide y con color
azul el ángulo recto que forma la mediatriz con el
segmento que divide.
Versión de evaluación 23/04/12
1. Lee la información siguiente y contesta.

109. S14
En esta sesión resolverás algunos problemas usando las propiedades
de la bisectriz de un ángulo.
Sesión 59

Manos a la obra
El maestro de Matemáticas del 1ºC propuso al grupo construir relojes de manecillas para
analizar las propiedades de la bisectriz de un ángulo , y luego procedió a plantear lo siguiente:
¿Qué hora exacta será cuando el minutero esté en las doce, el horario en las cuatro y el
segundero sea la bisectriz que forman las dos anteriores?
¿Qué tuvieron que hacer para encontrar la respuesta más adecuada?
¿Cómo es la distancia que hay entre cada manecilla a esa hora?
2. Realiza lo que se indica.
Traza en tu cuaderno tres círculos de 5 cm de radio, marca la división de las horas como si
fuera un reloj de manecillas y determina tres ángulos con sus bisectrices, como se hizo en
la actividad anterior.
Compara tus trazos con los de tus compañeros.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, analicen el siguiente problema y contesten.
109

110. B2
Sesión 60
En esta sesión continuarás aplicando las propiedades
de la bisectriz de un ángulo.

Manos a la obra
En la figura de la derecha podemos observar un triángulo
rectángulo. Si el segmento BC representa el pilar central
de un puente, el segmento AB el tirante principal, y se
pretenden colocar tres tirantes más que salgan del vértice B dividiendo al ángulo en partes iguales, ¿en qué puntos deben colocarse los extremos de los tirantes sobre
el puente?
B
c
A
¿En cuántas partes es necesario dividir el ángulo B para
colocar las tres cuerdas?
a
b
C
Elige un punto sobre la primera bisectriz trazada, y con
ayuda de tus escuadras dibuja rectas perpendiculares de
este punto a los lados del ángulo. Mídelas.
¿Qué observas?
¿Los extremos sobre el segmento “b” quedan a la misma
distancia uno del otro?
¿Cuántas veces se puede dividir un ángulo?
En grupo, y con ayuda de su profesor, concluyan las propiedades de la bisectriz que utilizaron en la solución y trazo de esta situación.
Dibujen en su cuaderno tres ángulos de diferentes tamaños y amplitudes, tracen la bisectriz a cada uno y señalen
con color rojo las partes en las que se observen las propiedades de dicho lugar geométrico.
La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos
ángulos iguales.
También es el lugar geométrico de los puntos del plano que
están a la misma distancia (equidistan) de las semirrectas
de un ángulo.
Sólo en un triángulo equilátero la bisectriz de sus tres
ángulos internos es también la mediatriz de los lados
opuestos.
Un dato interesante…
Un problema que interesó durante mucho tiempo a los griegos fue trisecar (dividir en tres
ángulos iguales) un ángulo, utilizando sólo regla y compás. En el siglo XIX se demostró que
esto es imposible.
110
Versión de evaluación 23/04/12
1. Formen equipos, analicen el siguiente problema y contesten.

111. S14
En esta sesión resolverás distintos problemas geométricos que implican el uso de
las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz de un ángulo.
Sesión 61

Manos a la obra
a) Une los puntos y traza la mediatriz al segmento PQ.
P
b) Traza los ejes de simetría de cada figura. Marca con
un color los que, además de ser ejes de simetría,
también sean mediatrices de algún lado de las figuras, y con otro color los que sean bisectrices de
algún ángulo de las figuras.
c) Encuentra un punto que esté a la misma distancia
de los tres lados del siguiente triángulo (pista: recuerda que cualquier punto de la bisectriz de un
ángulo está a la misma distancia de los dos lados
que lo forman).
Consulta en…
Para conocer más sobre este tema busca en las bibliotecas escolares y de aula el siguiente
libro: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Construcciones básicas” y “Paralelas con doblado de
papel”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana, 2003 (Libros del Rincón).
Q
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve lo siguiente.

Autoevaluación
Traza en tu cuaderno un segmento, su mediatriz, marca dos puntos sobre ella y traza con
color rojo las distancias de los puntos a los extremos del segmento. Define la propiedad.
Traza en tu cuaderno un ángulo, su bisectriz, marca puntos sobre la bisectriz y traza con
color rojo las distancias de los puntos a los lados del ángulo. Define la propiedad.
111

112. 15
cia
Justificación de las fórmulas del perímetro y del área
de polígonos regulares, con apoyo de la construcción
y transformación de figuras.
Sesión 62
En esta sesión trabajarás con los perímetros y las áreas de triángulos
y rectángulos.
 sabes tú?
¿Qué
Calcula el perímetro y el área de las siguientes figuras.
Triángulo
Cuadrado
4 cm
3 cm
3 cm
Hexágono
Rectángulo
3 cm
4 cm
2 cm
Compara tus respuestas con las de otro compañero, y comenten los métodos utilizados para
obtenerlas.
112
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Fórmulas para calcular
el área y el perímetro

113. 
Manos a la obra
a) Dibuja y recorta dos triángulos rectángulos cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivamente (igual al de la figura anterior).
Luego pégalos sobre el rectángulo de la figura anterior.
¿Cuál es la relación entre el área del rectángulo y la de cada uno de los triángulos?
¿Qué puedes decir del perímetro del rectángulo y de los triángulos?
b) Ahora dibuja en tu cuaderno un triángulo, con las medidas que desees. Haz dos copias
de tu triángulo y recórtalas.
Recorta cada uno de estos triángulos en dos partes por la altura del lado más largo. Con
las cuatro piezas obtenidas forma dos rectángulos. Describe cómo los acomodaste.
a
h
c
h
h
b
Pega los rectángulos en tu cuaderno, a un lado del triángulo original.
¿Qué tienen en común estos rectángulos?
Versión de evaluación 23/04/12
Realiza las siguientes actividades.
¿Qué relación hay entre el área de tu triángulo original y la suma de las áreas de los
rectángulos obtenidos?
c) Compara y comenta tus respuestas con las de otro compañero.
113

114. B2
Sesión 63
En esta sesión trabajarás con las áreas de rombos, romboides y trapecios.

Manos a la obra
Realiza las actividades siguientes.
Dibuja en ambos rombos su diagonal mayor y su diagonal menor. Ahora recorta la copia a
través de sus diagonales para que obtengas cuatro triángulos.
Utiliza los triángulos para formar un rectángulo, y pégalo a un lado del rombo original.
¿Qué relación tienen las medidas de las diagonales del rombo con los lados del rectángulo
formado?
¿Cuál es la relación entre el área del rombo y la del rectángulo?
2. Dibuja un romboide en tu cuaderno. Haz una copia del romboide y recórtala.
Recorta la copia en dos partes, de modo que con éstas formes un rectángulo. Pega el rectángulo formado a un lado del romboide original.
¿Qué relación tienen las medidas del romboide y las del rectángulo?
¿Cuál es la relación entre sus respectivas áreas?
114
Versión de evaluación 23/04/12
1. Dibuja en tu cuaderno un rombo del tamaño que desees. Después haz una copia del rombo
y recórtala.

115. S15
3. Dibuja en tu cuaderno un trapecio. Haz dos copias del trapecio y recórtalas.
¿Qué relación hay entre las medidas del trapecio y las del romboide?
¿Qué relación hay entre las áreas respectivas?
Compara y comenta tus resultados con los de otro compañero.
En la siguiente tabla se anotan las fórmulas para calcular el área del rombo,
el romboide y el trapecio.
Área
Rombo
D
d
(diagonal mayor × diagonal menor)
2
Romboide
h
base × altura
b
b
Trapecio
Versión de evaluación 23/04/12
Con las dos copias recortadas forma un romboide y pégalo a un lado del trapecio original.
(base mayor + base menor) × altura
h
2
B
Los ejercicios realizados en esta sesión justifican estas fórmulas. Comenten en grupo sus análisis y con ayuda del profesor establezcan una conclusión.
115

116. B2
Sesión 64
En esta sesión trabajarás con las áreas de polígonos regulares.

Manos a la obra
1. Realiza las actividades siguientes.
Utiliza los triángulos para cubrir el hexágono que aparece al principio de esta secuencia
(pág. 112).
¿Qué relación hay entre el área del hexágono y la de uno de los triángulos?
¿Cómo calculas el perímetro del hexágono?
El centro de un polígono regular es el punto que equidista de cada uno de sus vértices; por
lo tanto, el centro del polígono es el centro de la circunferencia que circunscribe al polígono.
b) Dibuja un pentágono regular en tu cuaderno y ubica su centro.
Une cada uno de los vértices del pentágono con el centro mediante una línea recta.
¿En cuántos triángulos queda dividido el pentágono?
¿Qué tienen en común los triángulos?
¿Qué relación hay entre el área del pentágono y la de los triángulos?
Cualquier polígono regular se puede dividir en tantos triángulos como lados tenga, uniendo
cada vértice del polígono con su centro. La altura de los triángulos que va de un lado del
polígono al centro se llama apotema.
2. En parejas, comenten lo siguiente.
¿Es posible hacer algo similar a lo realizado en el ejercicio anterior con un polígono regular
de más de seis lados?
¿Y con un polígono regular de menos de cinco lados?
116
Versión de evaluación 23/04/12
a) Dibuja y recorta seis triángulos equiláteros con lados de 2 cm.

117. S15
Sesión 65
En esta sesión continuarás trabajando las áreas de polígonos regulares.

Manos a la obra
1. Realiza la siguiente actividad.
Área =
perímetro × apotema
2
a) ¿Cómo calculas su perímetro? Da una fórmula.
b) Justifica la fórmula del área de un polígono regular.
2. Calcula el área de la siguiente figura.
Compara y comenta tus resultados con los de otro compañero.

Autoevaluación
Completa la siguiente tabla con las fórmulas para calcular las áreas y los perímetros que se
piden.
Perímetro
Versión de evaluación 23/04/12
Dado un polígono regular de n lados, se puede calcular su área mediante la siguiente
fórmula:
Área
Triángulo
Rombo
Romboide
Polígono regular de n lados
117

118. 16
cia
Identificación y resolución de situaciones de
proporcionalidad directa del tipo “valor faltante”
en diversos contextos, con factores constantes
fraccionarios.
Sesión 66
En esta sesión comenzarás a utilizar las nociones de proporcionalidad.
 sabes tú?
¿Qué
Para el cumpleaños de Mario se esperan veinte invitados. A cada uno le darán dos tamales
oaxaqueños preparados con la receta de la abuelita Carlota.
Tamales oaxaqueños (para 10 porciones)
4 hojas de plátano grandes lavadas y hechas rollo
1 Pollo mediano
1
4
1
2
kg de pierna de puerco
kg de mole negro
¿Para cuántos tamales es la receta?
¿Cuántos tamales necesitan preparar?
Escribe a continuación las cantidades adecuadas para
preparar los tamales que se necesitan.
Tamales oaxaqueños (40 porciones)
hojas de plátano grandes lavadas y hechas rollo
250 g de manteca de cerdo
1 kg de masa blanca para tortillas
Cebolla, ajo y sal al gusto
pollo mediano
kg de pierna de puerco
kg de mole negro
g de manteca de cerdo
kg de masa blanca para tortillas
Cebolla, ajo y sal al gusto
Si disminuimos la cantidad de porciones, ¿qué sucederá con la cantidad de hojas de plátano
que se requiere?
Si aumentan las porciones, ¿qué sucederá con la cantidad de manteca de cerdo que se requiere?
118
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Proporcionalidad directa

119. 1. Con la información de la receta de la abuelita Carlota resuelve el siguiente problema. Como
gustaron tanto los tamales oaxaqueños, la mamá de Mario decidió abrir su propio negocio
de tamales. Mario desea elaborar una tabla para ayudarle a calcular la cantidad de ingredientes que requiere, de acuerdo con el número de porciones que va a preparar. Ayúdale a
completarla.
Ingredientes
(en kg)
Números de Porciones
4
10
15
Masa blanca
3
8
Carne de cerdo
Mole negro
1
2
Para 12 porciones, Ana dice que se necesita 1 kg de carne de cerdo. Explica si ella tiene o
2
no razón.
Verifica con otro compañero tus respuestas.
2. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
a) Para hornear 25 donas se requiere 1 kg de harina, ¿cuántas donas se hornearán con
4
7 kg de harina?
b) En la construcción de una casa, con 3 partes de un bulto de mortero se pueden pegar
4
300 tabiques. Si se solicitaron 2 millares de tabiques, ¿qué cantidad de mortero se
necesita para pegar todo ese material?
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
Expliquen cómo encontraron la solución de cada problema.
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas y reflexionen sobre lo siguiente.
Expliquen la importancia de conocer el valor unitario para resolver este tipo de problemas.
Verifiquen sus respuestas empleando el valor unitario.
119

120. B2
Sesión 67
En esta sesión aplicarás la constante de proporcionalidad para resolver
problemas de proporcionalidad directa.

Manos a la obra
a) Contesten las preguntas.
¿Cuánto miden los lados del cuadrado naranja en el A?
¿Cuánto miden en el B?
¿Cuánto mide el lado más largo del triángulo azul en A?
¿Cuánto mide el lado más largo del triángulo azul en B?
A
¿Cuál es la constante de
proporcionalidad, es decir, cuántas veces es mayor el Tangram B del A
respecto a los lados?
B
120
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, realicen la siguiente actividad con las figuras que se muestran.

121. S16
Uno de los lados del triángulo rosa en el Tangram A mide 3 cm, conociendo la constante de proporcionalidad y sin medir el triángulo rosa en el Tangram B, ¿cómo podrían
saber la longitud de su lado?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros, comprueben que sean correctas.
2. En parejas, resuelvan lo siguiente.
a) Una estatuilla de madera que se talló en una telesecundaria mide 36 cm de altura y
13 cm de ancho. La estatuilla ha gustado tanto que se mandará reproducir de manera
tal que el ancho mida 87.75 cm. ¿Cuánto medirá la altura de dicha reproducción?
b) En una telesecundaria de Guanajuato se tiene la maqueta del taller de carpintería, el
cual mide 28 cm de largo y 12 cm de ancho. Si realmente el taller mide de ancho 14 m
y 3.2 m de altura, ¿cuántos centímetros mide la altura del taller en la maqueta?
¿Cuántos metros de ancho mide el taller?
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros.
Cuando una cantidad aumenta o disminuye en la misma
constante de proporcionalidad respecto de otra, se dice
que están en proporción directa.
Versión de evaluación 23/04/12
En el Tangram B la base del romboide mide 6 cm, sin medirla en el Tangram A y usando
la constante de proporcionalidad, ¿cómo obtendrían la longitud de la base del romboide?
121

122. B2
3. Resuelve los siguientes problemas.
a) Para ilustrar una revista se va a utilizar una fotografía original de 16 cm de largo por 8 cm de alto.
La ilustración para la portada se obtendrá de reducir la fotografía original a la mitad, ¿cuáles serán las medidas de la reproducción?
¿Cuántos litros de gasolina necesita para recorrer
la distancia de un kilómetro?
Si la ilustración de un reportaje se obtendrá de reducir la fotografía de la portada a la cuarta parte, ¿cuáles serán las medidas de esta reproducción?
c) Para limpiar un terreno de tres hectáreas, Andrés y
María emplearon 22 jornadas de trabajo de 6 horas
cada una. Si ellos trabajan al mismo ritmo, ¿cuántas horas se tardarán en limpiar un terreno de 7.5
hectáreas?
Distancia
recorrida (km)
San Juan
de los Lagos
38
Arandas
60.05
Tepatitlán
70.63
Tonalá
130
Cantidad de
gasolina (l)
Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y
comprueben que sean correctas empleando un método
diferente al que usaron.
Planteen en su cuaderno un problema de proporcionalidad
directa, resuélvanlo e intercámbienlo con otro compañero.
A lo largo de esta secuencia hemos visto que los problemas de proporción directa se pueden resolver empleando
el valor unitario o la constante de proporcionalidad, esta
última se determina al comparar dos magnitudes; por
ejemplo, en el problema del Tangram, como cada lado del
A mide 6 cm y el del B 12 cm, la constante de proporcionalidad es 6 , o bien 1 . La constante se multiplica o se
12
2
divide según se quiera determinar una cantidad mayor o
una menor a la que se tiene.
Consulta en…
Entra al sitio http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/
Proporcionalidad_lbc/magdirectprop.htm, y consulta acerca de la proporcionalidad directa.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• ¿Cómo se puede identificar un problema de proporción directa?
• ¿Qué es la constante de proporcionalidad y cómo se emplea?
122
Versión de evaluación 23/04/12
b) Óscar sabe que requiere 4.5 litros de gasolina
para recorrer aproximadamente una distancia de
42.75 km, ¿qué cantidad de gasolina requiere
para llegar a cada uno de los lugares mencionados en la tabla?
¿Cuántos kilómetros recorrerá con un litro de ga­
solina?

123. S16
Sesión 68
Evaluación
Aplica lo aprendido a lo largo del bloque y selecciona la respuesta a cada problema.
a) 11
180
b) 11
360
c) 11
18
d) 22
18
6. Se tiene un terreno de forma irregular, como el de la
imagen. Si se desea saber cuál es su superficie, ¿con
cuál de los procedimientos siguientes se puede obtener esa información?
Versión de evaluación 23/04/12
1. La respuesta a la siguiente operación 3 + 1 – 0.8 es:
4 9
2. La distancia de cada uno de sus puntos a los lados del
ángulo que divide siempre es la misma:
a) mediana
b) mediatriz
c) recta
d) bisectriz
3. Juan desea comprar un vidrio para cubrir una mesa
rectangular, cuyos lados miden 1 m y 1.5 m. Si el metro cuadrado de vidrio cuesta $70, ¿cuánto le costara
el vidrio a Juan?
a) $75
b) $85
c) $95
d) $105
4. Entre qué números primos son divisibles los siguientes
números: 945, 735, 525.
a) 2, 3
b) 2, 3, 5
c) 3, 5, 7
d) 3, 7
5. Una línea de autobuses viaja a tres ciudades distintas,
A, B y C. Rumbo a la ciudad A sale un camión cada 3
horas, a la ciudad B cada 4, y a la ciudad C cada 5. Si
a las 7 de la mañana del lunes salieron los 3 camiones
al mismo tiempo, ¿qué día y a qué hora volverán a
salir al mismo tiempo los camiones?
a) Se mide la longitud de los lados del terreno y se
suman.
b) Se divide el terreno en cuadrados y la suma de las
superficies de cada cuadrado será la superficie del
terreno completo.
c) Se encuentra el centro del terreno, se calcula el
apotema y se multiplica por el número de lados del
terreno.
d) Se segmenta el terreno en triángulos, se calcula la
superficie de cada uno, se suman las superficies
obtenidas y esa es la superficie del terreno.
a) El mismo lunes a las 7 p.m.
b) El mismo lunes a las 10 p.m.
c) El martes a las 3 a.m.
d) El miércoles a las 7 p.m.
7. Mariana y Adriana sembraron 280 arbolitos. Si trabajaron 5 horas diarias durante 4 fines de semana sembrando arbolitos, ¿cuántas horas se tardarán en
sembrar 1 400 arbolitos?
a) 280 horas
c) 56 horas
b) 200 horas
d) 25 horas
123

124. Versión de evaluación 23/04/12
Bloque 3

125. Versión de evaluación 23/04/12
ue efectuar
e se tengan q
y números
mas en los qu
on fracciones
esolver proble
• R
o divisiones c
licaciones y/
multip
cuaciones
decimales.
n el uso de e
que implique
e
er problemas
+ b = c, dond
• Resolv
b; ax = b y ax
.
:x+a=
/o decimales
de las formas
s naturales y
úmero
a, b y c son n
álculo de
impliquen el c
encontrar
as que
fórmulas para
solver problem
• Re
riables de las
teros y
iera de las va
cualqu
gulos, cuadrilá
iste entre
l área de trián
lación que ex
perímetro y e
el
. Explicar la re
nos regulares
polígo
e las figuras.
tro y el área d
el períme

126. 17
cia
Resolución de problemas que impliquen la
multiplicación de números decimales en distintos
contextos, utilizando el algoritmo convencional.
Sesión 69
En esta sesión realizarás multiplicaciones de números decimales
para resolver problemas de escalas.
 sabes tú?
¿Qué
En una fotografía las medidas son proporcionales a las reales. La imagen de una persona en
una foto está a escala 1 a 35, es decir que cada centímetro en la foto corresponde a 35 cm
en la realidad.
Si en la foto la persona mide 5 cm, ¿cuánto mide en la realidad?

Manos a la obra
1. En parejas, observen la siguiente imagen y reprodúzcanla a escala en su cuaderno, de manera que su dibujo sea 4 1 veces más grande que el original.
5
4 cm
6 cm
126
8.24 cm
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Multiplicación con decimales

127. 2. Completen la tabla.
Multiplicación
Producto (resultado de la multiplicación)
4.2 × 6
4.2 × 8.24
3. Calculen las medidas de los lados que miden 4 cm y 8.24 cm con los factores de escala
que aparecen en la tabla.
Factor de escala
Medida del lado de 4 cm
Medida del lado de 8.24 cm
0.15
0.6 cm
1.236 cm
0.7
1
2.2
3.4
8.3
Con base en la información de la tabla, contesten lo siguiente.
¿Qué tienen en común las escalas que amplifican el dibujo?
¿Qué tienen en común las escalas que reducen el dibujo?
4. Calcula mentalmente lo siguiente.
1.25 × 4 =
0.5 × 0.5 =
Versión de evaluación 23/04/12
4.2 × 4
1.4 × 10 =
0.7 × 0.3 =
0.125 × 8 =
1.52 × 5 =
Comenten con otras parejas qué sucede cuando se multiplica un número natural por un
factor menor que la unidad.
127

128. B3
Sesión 70
En esta sesión multiplicarás números decimales en diferentes contextos.

Manos a la obra
1. En parejas, contesten lo siguiente.
¿Cuánto reciben a la semana en pesos?
¿Cuánto reciben al mes en pesos?
b) Una lámina de acero mide 6 × 20 pies. Si 1 pie = 30.48 cm, ¿cuáles son las medidas
de la lámina en centímetros?
¿Cuál es el área en metros cuadrados?
c) En un almacén están estibadas cajas A y B de 45.3 cm y 25.4 cm de altura respectivamente. Si en una primera estiba hay 4 cajas A y 8 cajas B, ¿qué altura alcanza esta
estiba?
Si en otra estiba se encuentran 6 cajas B y 7 cajas A, ¿qué altura alcanza esta otra estiba?
d) En la telesecundaria 11 se organiza un campamento que durará tres días, con un costo
de $125.50 por día. ¿Cuánto pagará cada alumno por el campamento?
Si asistirán 79 alumnos, ¿cuánto dinero se recaudará?
e) A la semana, un automóvil consume 32.8 L de gasolina. Si el costo del litro de gasolina
es de $10.48, ¿cuánto dinero se gasta cada quincena en gasolina?
Comparen sus resultados con los de otra pareja y corrijan de ser necesario.
128
Versión de evaluación 23/04/12
a) El papá de Pedro, que trabaja en California, manda 75 dólares semanalmente para el
gasto familiar. Si el tipo de cambio es 1 dólar = 13.80 pesos…

129. S17
En esta sesión pondrás en práctica los conocimientos aprendidos en las
sesiones anteriores.
Sesión 71

Manos a la obra
I. Adriana quiere cambiar el piso de la sala de su
casa por duela. Si las dimensiones de la sala
son 3.50 m por 4.80 m.
a) ¿Cuántos metros cuadrados de duela comprará?
b) Si el metro cuadrado de duela cuesta
$435.50, ¿cuánto invertirá?
c) La mano de obra del carpintero le va a
costar $160.00 por metro cuadrado, ¿cuánto le
pagará?
d) ¿Cuánto gastará en total Adriana?
II. En la clase de Tecnología se va a elaborar una conserva de frutas de la región. Para ello se utilizan
0.450 kg de pulpa de fruta, 0.225 kg de azúcar y
0.125 L de agua. ¿Cuántos gramos de pulpa de
fruta, azúcar y agua se requieren para elaborar tres
y media veces la cantidad de conserva?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve los problemas siguientes.
III. En el año 2011 México sufrió un fuerte problema de
sequía en la mayoría de los estados, lo que afectó
a un total de 974.92 mil hectáreas de cultivo. Del
total de hectáreas afectadas, Coahuila, Chihuahua
y Zacatecas concentran 1 parte. ¿Cuántas hectá3
reas fueron afectadas en dichos estados?
Comenta con un compañero tus estrategias de solución y compara los procedimientos que sean diferentes.
Consulta en…
Entra al sitio http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm y da clic en “Multiplicando
con decimales” y en “Multiplicando decimales menores que 1”.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• Leonardo debe comprar cuatro y medio manojos de espinacas; si el manojo cuesta $7.75,
¿cuánto pagará Leonardo en total?
129

130. 18
cia
Resolución de problemas que impliquen la división
de números decimales en distintos contextos,
utilizando el algoritmo convencional.
Sesión 72
En esta sesión resolverás problemas de contextos cotidianos utilizando
la división de números decimales.
 sabes tú?
¿Qué
Resuelve el problema siguiente.
Jugando futbol, los compañeros del grupo de primer grado rompieron un cristal de la ventana
del salón. Si el costo del cristal es de $55.20 y deben pagarlo entre los 12 alumnos que estaban jugando, ¿cuánto pagará cada uno?
Comenten con sus compañeros los procedimientos que siguieron.

Manos a la obra
1. En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
a) Para asistir a un paseo se alquiló un autobús en $1 820.00 y cada niño pagó $45.50,
¿cuántos niños asistieron?
Si el alquiler hubiera costado $2 755.00 y cada niño hubiese pagado $72.50, ¿cuántos
niños habrían asistido?
b) Un alumno dedica 12 1 horas a la semana para estudiar 8 asignaturas, dedicando el
2
mismo tiempo a cada una. ¿Cuántas horas a la semana dedica a cada asignatura?
¿Cuántos minutos?
130
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
División con decimales

131. 2. Resuelve mentalmente las divisiones siguientes.
3 ÷ 0.25 =
6 ÷ 0.1 =
13.5 ÷ 0.5 =
2.5 ÷ 0.125 =
4 ÷ 0.1 =
16. 5 ÷ 0.3 =
6 ÷ 0.2 =
Comenta con tus compañeros qué sucede cuando se divide un número natural entre un
número decimal menor que la unidad.
Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse con una multiplicación, convirtiendo el decimal a fracción. Por ejemplo, 5 ÷ 0.2 puede escribirse como 5 ÷ 1
5
que, como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 5 × 5 = 25.
3. Resuelve el problema siguiente.
Raúl va a leer un libro que tiene 184 páginas. Si al día lee 40 páginas, ¿en cuántos días
leerá el libro?
Si lee las 40 páginas en 2 horas, ¿en cuántos minutos lee una página?
Si el libro costó $335.60 y lo compraron entre 4 amigos, ¿con cuánto cooperó cada uno?
Observa la división que se realizó para resolver el problema.
8
3 . 9
0
4
3
3
5 . 6
0
3
2
1
5
1
2
3 6
Versión de evaluación 23/04/12
3 ÷ 1.5 =
3 6
0
0
A cada uno le tocarán $83.90.
El algoritmo para dividir un decimal entre un natural es el mismo que cuando se dividen dos
naturales, sólo debe conservarse la posición del punto decimal, es decir que se sube el punto
al cociente.
131

132. B3
Sesión 73
En esta sesión resolverás problemas de cambio de dinero utilizando
la división de números decimales.

Manos a la obra
Pedro pagó $67.50 por varias copias de una guía; si cada juego de copias le costó $7.50,
¿cuántos juegos de copias sacó?
Describan un procedimiento para poder realizar la división que resuelve el problema.
7.50 67.50
Expliquen a sus compañeros cómo resolvieron la división anterior y por qué lo hicieron así.
2. Resuelvan las siguientes divisiones:
5 6
500 600
50 60
5 000 6 000
a) ¿Cómo son los resultados que obtuvieron?
b) Observen que el dividendo (6) y el divisor (5) de la primera división se multiplicaron por
10 para obtener la segunda división (60 y 50).
c) ¿Por qué número se multiplicaron el dividendo y el divisor de la primera división para
obtener la cuarta división?
3. Consideren que se tiene la siguiente división:
3.4 17
Multipliquen dividendo y divisor por 10, ¿qué división obtienen? Anótenla y resuélvanla.
Esta división es más sencilla que 17 ÷ 3.4, y por la propiedad utilizada en el ejercicio anterior
saben que el resultado de esta división es el mismo para ambas.
132
Versión de evaluación 23/04/12
1. En equipos, contesten lo siguiente.

133. S18
Una división con punto decimal en el divisor se resuelve:
2º Se resuelve la división equivalente una vez que el divisor está expresado como un
número natural.
Por ejemplo, para resolver:
0.25 4.217
Se multiplican por 100 el dividendo y el divisor, porque el divisor tiene dos cifras decimales, para obtener la división:
25 4.217
Y se resuelve.
El resultado de dividir 421.7 ÷ 25 es el mismo que el de dividir 42.17 ÷ 2.5 o 4.217 ÷ 0.25.
Compruébenlo con una calculadora.
Consulta en…
Entra al sitio http://www.sectormatematica.cl/educbasica.htm y da clic en “Dividiendo
con decimales”. Aprenderás sobre la división de números decimales.

Autoevaluación
Versión de evaluación 23/04/12
1º Se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, para ello se
multiplican el dividendo y el divisor por 10, 100, 1 000,... según el divisor tenga 1, 2, 3,...
cifras decimales.
Selecciona la respuesta correcta al problema.
1. Daniela cuenta con $420.00 y desea comprar trompos para regalarlos a sus sobrinos. Si
cada trompo cuesta $21.50, ¿cuántos trompos podrá comprar?
a) 21
b) 18
c) 19
d) 15
c) $12.50
d) $10.50
2. ¿Cuánto dinero le sobrará?
a) $13.00
b) $11.50
133

134. 19
cia
Resolución de problemas que impliquen
el planteamiento de ecuaciones de primer grado
de las formas x + b = c; a x = b; a x + b = c,
utilizando las propiedades de la igualdad,
con a, b y c números naturales, decimales
o fraccionarios.
Sesión 74
En esta sesión resolverás problemas mediante ecuaciones
de primer grado de la forma x + b = c.
 ¿Qué sabes tú?
En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
Si tengo $80.00, ¿cuánto dinero debo ahorrar para reunir $225.00?
a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?
b) ¿Cuál es el número que al sumarle 80 da como resultado 225?
Comenten con sus compañeros cómo resolvieron el problema.
134
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Ecuaciones de primer grado

135. 
Manos a la obra
1. Pedro desea saber qué cantidad tenía inicialmente en su cuenta de ahorros si efectuó un
depósito de $150.00 y al final le quedaron $750.00.
a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo.
La cantidad que depositó
La cantidad ahorrada que tenía
El saldo final de su cuenta
b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?
c) En la siguiente igualdad el valor desconocido del problema es el número que debe estar
en el recuadro. Encuéntralo.
+ 150 = 750
d) ¿Qué operación hicieron con los valores conocidos para encontrar el número que va en
el recuadro?
e) ¿Qué cantidad tenía Pedro inicialmente en su cuenta de ahorros?
2. Representen con una igualdad el problema siguiente.
¿Cuál es el número que al sumarle 85 da como resultado 220?
a) ¿Cuál es la igualdad algebraica que representa el problema?
b) ¿Qué operación deben hacer para encontrar el resultado?
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, lleven a cabo las actividades siguientes.
En Matemáticas se emplean letras para representar los valores desconocidos
o incógnitas. Para representar estos valores comúnmente se usan las últimas
letras del abecedario en minúsculas, siendo x la más utilizada.
135

136. B3
3. El problema anterior podemos representarlo como:
x + 85 = 220, donde x representa el valor desconocido.
a) ¿Cuánto vale x ?
x=
+ 85 = 220
La ecuación x + 85 = 220 se resuelve de la manera siguiente.
Las igualdades en las que hay un valor
desconocido o incógnita reciben
el nombre de ecuaciones.
Se resta 85 a ambos lados de la igualdad:
x + 85 − 85 = 220 − 85
x + 0 = 135
x = 135
4. Ana realizó dos depósitos, uno de $300.00 y otro de $200.00. Ella desea saber cuánto
tenía ahorrado antes de realizarlos, si su saldo actual es de $ 1 400.00.
a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema?
x − 300 – 200 + 1 400
x − 300 + 200 = 1 400
x + 300 + 200 = 1 400
x + 500 = 1 400
b) Resuelvan la ecuación, es decir, encuentren el valor de x.
x=
c) ¿Qué cantidad tenía ahorrada al principio?
d) Hay dos ecuaciones que representan el problema, comprueben la solución sustituyendo
la x en ambas.
+ 500 = 1400
+ 300 + 200 = 1400
5. Luis reparte volantes de publicidad. Sale de su casa con una cantidad y recoge 1 200 volantes antes de empezar su labor. Reparte 450 en la mañana, 680 en la tarde y al final le
sobran 260 volantes.
a) En este problema hay cuatro valores conocidos, ¿cuáles son?
,
,
,
b) La ecuación x + 1200 − 450 − 680 = 260 permite representar el problema. Resuélvanla.
c) ¿Cuántos volantes tenía al salir de casa?
136
Versión de evaluación 23/04/12
b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor obtenido en lugar de x en la igualdad
anterior.

137. S19
Sesión 75
En esta sesión resolverás problemas utilizando ecuaciones
de primer grado de la forma ax = b.

Manos a la obra
1. Una persona tiene un empleo y recibe un salario mensual. Al final de 9 meses ha ganado
$40 500.00. ¿Cuál es su salario mensual?
a) ¿Cuál es el valor desconocido? Subráyenlo.
El número de meses trabajados
El salario de los 9 meses
El salario que cobró cada mes
b) Usando la letra z para representar la incógnita (valor desconocido) escriban una ecuación que represente el problema.
Recuerden que 9z es lo mismo que 9 × z, pues
usualmente en las expresiones algebraicas
no se utiliza el signo × para evitar confundirlo
con otro número desconocido o incógnita
representado con la letra x.
c) Encuentren el valor de z.
d) ¿Cuál es la ecuación que representa el problema anterior? Subráyenla.
40 500 z = 9
40 500 + z = 9
z + 9 = 40 500
9 z = 40 500
e) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de z ? Subráyenla.
9 ÷ 40 500
40 500 ÷ 9
40 500 – 9
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen lo que se les pide a continuación.
9 × 40 500
f) Usando la operación que señalaron, encuentren el valor de z .
z=
g) ¿Cuánto ganó cada mes?
137

138. B3
2. El perímetro de un cuadrado es igual a 50 cm, ¿cuál es la longitud de cada lado?
a) ¿Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a este problema? Se usa la letra L para
representar la longitud de cada lado. Subráyenla.
4 L = 50
L ÷ 4 = 50
L ÷ 50 = 4
4 + L = 50
c) Comprueben la solución en la ecuación que eligieron.
d) ¿Qué operación hicieron para encontrar la longitud?
3. Completen la tabla siguiente, que presenta algunos problemas. Escriban las ecuaciones
correspondientes y las operaciones con las que se pueden resolver hasta obtener el valor
de la incógnita.
Problema
¿Cuál es el número
que al multiplicarlo
por 11 da 132?
Ecuación
Operación
Valor de la incógnita
¿Cuál es el número
que al dividirlo
entre 9 da 172?
Comparen con sus compañeros las respuestas de los problemas de esta sesión y comenten
qué estrategias siguieron para resolverlos.
La ecuación 6 x = 36 se resuelve de la siguiente manera:
Como 6 multiplica a la incógnita x, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 1 ,
6
que es el recíproco del 6.
1 × 6 x = 1 × 36
6
6
1 × 6 × x = 1 × 36
6
6
6 × x = 36
6
6
1 × x = 6,
por lo que x = 6
Compruébenlo sustituyendo el valor de x en la ecuación.
138
Versión de evaluación 23/04/12
b) ¿Cuánto mide cada lado?

139. S19
En esta sesión continuarás analizando diferentes tipos de ecuaciones y la
forma de resolverlas. Ahora trabajarás con ecuaciones de la forma ax + b = c.
Sesión 76

Manos a la obra
1. Cristina ha leído un libro más que el doble de los que ha leído Antonio. Si Cristina ha leído
19 libros, ¿cuántos ha leído Antonio?
b) Escriban una ecuación para representar el problema. Usen la letra L para representar la incógnita.
a) ¿Cuál es la incógnita en este problema?
Subráyenla.
Libros que ha leído Cristina
Libros que ha leído Antonio
c) Resuelvan la ecuación y escriban un enunciado con
Total de libros leídos por los dos
su respuesta.
Comenten en grupo qué operaciones efectuaron para resolver la ecuación.
2. En parejas, completen el proceso para resolver la ecuación 2 x + 1 = 19.
Observen que hay expresadas dos operaciones: primero se multiplica 2 por x, y después al
resultado se le suma 1.
2 x + 1 = 19
2x+1−
2x+
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, resuelvan los problemas siguientes.
= 19 −
=
×2×x=
1×x=
× 18
Por lo que x =
Comparen sus procedimientos con los de otras parejas.
3. En parejas, contesten lo siguiente.
El papá de Julia le dio cierta cantidad de dinero para que la repartiera equitativamente
entre ella y sus tres hermanos, después le dio $6.00 más. Cuando Julia hizo el reparto final,
a cada uno le tocaron $11.00.
a) ¿Qué tuvo que hacer Julia para
repartir el dinero?
b) Escribe una ecuación que represente lo anterior.
c) ¿Qué cantidad de dinero recibió
inicialmente Julia?
Comprueben la solución y compárenla con la de otras parejas.
139

140. B3
Sesión 77
En esta sesión resolverás problemas que se pueden representar
con las ecuaciones vistas anteriormente.

Manos a la obra
En el rectángulo que se muestra en la figura, la medida de la base es igual al triple de la
medida de la altura menos 1 cm.
a
9.5 cm
De las siguientes ecuaciones, subrayen las que sirven para encontrar la altura.
a × 3 + 9.5 = 1
3a − 1 = 9.5
(a ÷ 3 ) − 1 = 9.5
a ÷ 3 + 1 = 9.5
Con la ecuación seleccionada calculen el valor de la altura y comprueben su respuesta
sustituyéndolo en la ecuación.
2. La tercera parte del número de alumnos que hay en el grupo A, más 15, es igual a 29.
a) Escriban una ecuación para resolver este problema.
b) ¿Cuántos alumnos hay en el grupo A?
3. Asombra a tus compañeros adivinando su edad por medio de las ecuaciones algebraicas
que has aprendido.
Les dices: “Multiplica tu edad por 3, agrega 10 al resultado, réstale el doble de tu edad y a
lo que te resulte quítale 6”. A continuación pregúntales qué número obtuvieron. Su edad
será ese resultado menos 4.
Escriban una ecuación que les permita resolver este problema.
Comenten en grupo si obtuvieron la edad de sus compañeros.
140
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan los problemas siguientes.

141. S19
4. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Resuélvelas en tu cuaderno y después
comprueba tus resultados sustituyendo el valor obtenido en la ecuación.
a) 5x + 0.5 = 12
b) ( x ÷ 4 ) + 38 = 120
d) 7 x − 14 = 28
En grupo, den a conocer sus resultados, y en caso de
tener resultados diferentes analícenlos con su profesor.
Para la clase siguiente debes traer recortados
30 triángulos, 10 de cada uno de los modelos
de la página 144.
Consulta en…
Entra al sitio http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo37.html. Juega
y aprende “Cómo se adivina un objeto” utilizando ecuaciones.
En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias para
conocer más sobre este tema:
Carlos Bosch y Claudia Gómez, Una ventana a las incógnitas, México, sep-Santillana, 2003
(Libros del Rincón).
Malba Tahan, El hombre que calculaba, trad. Basilio Lozada, México, sep-Limusa, 2005
(Libros del Rincón).

Autoevaluación
Versión de evaluación 23/04/12
c) x + 32 − 21 = 45.7
Resuelve el siguiente problema planteando una ecuación.
• De una caja de mangos, Luis vendió 6 en la mañana. A media tarde vendió el doble que
en la mañana y por la tarde sólo vendió 8. Si en la noche sólo le quedaban 10 piezas,
¿cuántos mangos había en la caja?
141

142. 20
cia
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas
informaciones (medida de un lado, del ángulo interno, del
ángulo central). Análisis de la relación entre los elementos
de la circunferencia y el polígono inscrito en ella.
Sesión 78
En esta sesión trabajarás con polígonos regulares.
 sabes tú?
¿Qué
Describe con tus propias palabras qué es un polígono.
Comenten en grupo sus descripciones.
Con los triángulos que recortaste, de cada uno de los siguientes modelos,
1
trata de armar los polígonos siguientes:
142
2
3
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Construcción de polígonos
regulares

143. ¿Cuántos triángulos utilizarías?
¿Qué polígono se puede formar con triángulos como el 2?
¿Qué polígono se puede formar utilizando triángulos como el 3?
Calca los triángulos y verifica tus respuestas.
¿Se pueden formar otros polígonos?
¿Qué relación encuentras entre el número de lados y el número de triángulos que forman cada
polígono?
¿Cómo es la medida de los ángulos de los triángulos cuyo vértice coincide con el centro del
polígono?
Un polígono es regular cuando sus lados son iguales y la medida de sus ángulos es la misma.

Manos a la obra
Formen equipos, realicen la siguiente actividad y contesten las preguntas.
1. En hojas blancas o de color tracen tres diferentes polígonos regulares de 5 cm, 8 cm
y 10 cm por lado respectivamente.
¿Cómo trazaron cada polígono para que todos sus lados fueran iguales?
¿Cuántos polígonos más se pueden trazar con las medidas que tienen?
Versión de evaluación 23/04/12
¿Qué polígono se puede formar con triángulos como el 1?
¿Se puede trazar el mismo polígono de tres tamaños diferentes?
Comenten en grupo sus respuestas, y con apoyo de su profesor determinen cómo influye la
medida de los lados de un polígono regular en su construcción.
143

144. B3
Sesión 79
En esta sesión estudiarás las propiedades del ángulo interior
de un polígono regular.

Manos a la obra
1. En los siguientes polígonos regulares marquen con un color los ángulos interiores.
¿Cuántos ángulos tienen cada uno de los polígonos regulares?
Como habrás observado, el ángulo interior de un polígono regular es la
abertura que forman los lados consecutivos de la figura.
Organizados en equipos:
2. Midan con ayuda del transportador y anoten la medida de los ángulos interiores de los
siguientes polígonos regulares.
144
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen la siguiente actividad.

145. S20
3. Escriban en la tabla los datos que obtuvieron.
Medida de cada ángulo interior
4. Contesten lo siguiente.
a) ¿Cómo podemos construir un polígono regular a partir de la medida de su ángulo interior?
b) ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular?
¿Y el de un dodecágono regular?
Analicen en grupo y con su profesor cómo se puede construir un polígono regular a partir de
la medida de su ángulo interior.
5. Tracen en su cuaderno un polígono para cada ángulo interior proporcionado.
a) 90°
b) 108°
c) 120°
Comparen sus trazos con los de sus compañeros.
Versión de evaluación 23/04/12
Nombre del polígono regular
145

146. B3
Sesión 80
En esta sesión estudiarás las propiedades del ángulo central
de un polígono regular.

Manos a la obra
1. En los siguientes polígonos regulares marquen con un
color los ángulos centrales.
¿Cuántos ángulos marcaron en cada uno de los polígonos regulares?
Como habrán observado, los ángulos centrales de un
polígono regular son los que tienen su vértice en el
centro del polígono.
Organizados en equipos, lleven a cabo las actividades siguientes.
2. Tracen en su cuaderno al menos dos polígonos regulares utilizando la medida de los ángulos de las escuadras de su juego de geometría y contesten las siguientes preguntas.
¿Qué procedimiento siguieron para trazar sus polígonos?
¿Cómo son los ángulos centrales de los polígonos trazados en relación con el vértice de la
escuadra que usaron?
3. El número de ángulos centrales en un polígono regular es el mismo que el número de lados
de la figura.
Con base en esta información, completen la siguiente tabla.
Nombre del polígono
Número de lados
Cuadrado
Pentágono
Hexágono
Octágono
Dodecágono
146
Número de ángulos
centrales
Medida de cada
ángulo central
Suma de los ángulos
centrales
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen la siguiente actividad.

147. S20
4. Contesten las preguntas siguientes.
a) ¿Cuál es el resultado de multiplicar el número de lados de un polígono regular por la
medida de su ángulo central?
b) Si el número de lados de un polígono regular es 10, ¿cuál es la medida de su ángulo
central?
Versión de evaluación 23/04/12
c) La medida de cada ángulo central de un polígono regular es 40°, ¿cuántos lados tiene
ese polígono?
d) ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 90°?
Comenten en grupo sus respuestas.
En esta sesión construirás polígonos regulares a partir de la medida
de su ángulo interno, de su ángulo central o de la medida de uno de sus lados.
Sesión 81

Manos a la obra
En el trazo de polígonos regulares inscritos en una circunferencia podemos identificar algunos elementos importantes de la misma.
A
72
°
1. En equipos, realicen lo siguiente.
72
°
B
Ordenen la secuencia de construcción de un pentágono regular y pongan dentro de los recuadros la instrucción que corresponde al trazo realizado.
Contesten lo siguiente.
¿Cuál es la relación entre el total de grados de la
circunferencia y los ángulos centrales de un polígono
regular?
¿Qué procedimiento deben seguir si quieren saber la
medida del ángulo central de un polígono regular con n
número de lados?
A
A
72
°
72
°
B
B
Utilicen su procedimiento para construir un eneágono.
Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor.
147

148. B3
2. En parejas, completen lo que se les pide.
Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula busca el libro con la siguiente referencia para
conocer más sobre este tema: Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Nombre de los polígonos”,
“La miel de los hexágonos”, “Recubrimientos”, “Los reflejos del caleidoscopio”
y “Construcción de un caleidoscopio”, en Una ventana a las formas, México, sep-Santillana,
2003 (Libros del Rincón).

Autoevaluación
Selecciona la respuesta correcta al problema.
1. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular con un ángulo interior de 150º?
a) 15
b) 14
c) 13
d) 12
2. ¿Qué polígono regular tiene un ángulo central de 40º?
a) Pentágono
148
b) Octágono
c) Undecágono
d) Eneágono
Versión de evaluación 23/04/12
A partir del siguiente triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual es de 72º, formen el polígono regular.

149. uen
S ec
21
cia
Cálculo de área y perímetro
En esta sesión resolverás problemas que implican calcular el perímetro
y el área del triángulo y del cuadrado.
 sabes tú?
¿Qué
En la siguiente imagen aparece el tablero de un juego de mesa llamado
“damas chinas”.
El tablero está dividido en pequeños triángulos equiláteros, los cuales
señalan los posibles movimientos de las piezas. Cada uno de estos
triángulos tiene lados de 1 cm y una altura
aproximada de 0.866 cm.
En parejas, contesten las siguientes preguntas.
¿Cuánto mide el perímetro del tablero?
¿Cuánto mide el área del tablero?
Versión de evaluación 23/04/12
Resolución de problemas que impliquen calcular
el perímetro y el área de polígonos regulares.
Sesión 82
¿Cómo calcularon el perímetro y el área?
Comenten sus respuestas con el grupo y con su profesor.
149

150. B3

Manos a la obra
1. Contesta lo que se te pide.
A
B
C
D
E
F
G
H
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
A
B
C
D
E
F
G
H
Si cada casilla del tablero de ajedrez mide 1 cm, ¿cuánto miden el área y el perímetro del
tablero?
2. Ahora, junto con otro compañero, construirán un tablero de damas que tenga un área de
256 cm2.
¿Cuánto medirán los lados del tablero y los lados de las casillas?
Investiguen las reglas para que puedan jugar con su tablero de damas.
150
Versión de evaluación 23/04/12
El ajedrez y las damas son otros juegos de mesa muy populares, los cuales emplean un
tablero cuadrado dividido a su vez en 64 casillas cuadradas, como se muestra en la siguiente imagen.

151. S21
En esta sesión realizarás cálculos relacionados con el perímetro
y el área de polígonos regulares de cinco y seis lados.
Sesión 83

Manos a la obra
1. Regresando al tablero de damas chinas, observa que puedes dividirlo en un hexágono y seis
triángulos equiláteros, los cuales forman las puntas de la estrella de seis picos. Considerando las medidas del tablero de damas chinas, ¿cuánto mide el área de cada uno de los
triángulos que forman los picos de la estrella?
¿Cuánto miden el perímetro y el área del hexágono?
2. Si se quisiera un tablero de damas chinas cuyo perímetro fuera de 96 cm, ¿cuánto mediría
cada lado del hexágono?
¿Cuál sería el perímetro del hexágono?
3. Si en lugar de hexágono tuviéramos un pentágono con un área igual a 17.32 cm y lados de
4 cm, ¿cuánto mediría el apotema del pentágono?
Si sólo conocieras el área y el apotema del pentágono, ¿cómo calcularías su perímetro?
Coméntalo con un compañero.
Un dato interesante…
Un lugar en la naturaleza donde puedes encontrar hexágonos es en una colmena de
abejas. Sobre este hecho, Pappus de Alejandría dijo:
Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono posee
una superficie mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel
con el mismo gasto de material.1
1
Versión de evaluación 23/04/12
Resuelve los siguientes problemas.
http://www.arrakis.es/~mcj/abejas.htm
151

152. B3
Sesión 84
En esta sesión calcularás el área y el perímetro de polígonos regulares
de siete o más lados.

Manos a la obra
Versión de evaluación 23/04/12
1. Considera los siguientes polígonos.
152

153. S21
Haz las mediciones necesarias y completa la siguiente tabla.
Medida de lado
Apotema
Perímetro
Área
Como se observa en la tabla, el perímetro de los polígonos depende del número de lados.
El perímetro de un polígono regular se puede calcular con la fórmula P = n × L
donde P es el perímetro, n el número de lados y L lo que mide el lado de la figura con que se está trabajando.
La fórmula para encontrar el área es la misma para todos los polígonos regulares, es decir:
Área = P × a
donde a es el apotema de la figura a la que se le está calculando el área.
2. Resuelve los ejercicios siguientes.
a) Calcula el área de un octágono cuyo lado mide 6.2 cm y su apotema 7.48 cm.
¿Cuánto mide su perímetro?
b) José quiere saber si con un pliego de papel china de 40 cm de ancho y 60 cm de largo
puede hacer una cometa con forma de decágono regular, con lados iguales a 4 cm
y apotema de 6.15 cm. ¿Logrará José realizar la cometa?
¿Se puede hacer más
¿Qué cantidad de papel china utilizará?
grande la cometa?
c) ¿Cuánto medirán los lados de un dodecágono con un área de 100 cm2, si su apotema
mide 5.5 cm?
Versión de evaluación 23/04/12
Polígono regular
Heptágono
Octágono
Decágono
Dodecágono
Pentadecágono

Autoevaluación
Selecciona la respuesta correcta al problema.
1. ¿Cuánta malla se necesita para cercar un jardín en forma de hexágono, con un apotema
de 2 m y un área de 13.85 m2?
a) 2.30 m
b) 13.85 m
c) 16 m
d) 11.74 m
153

154. 22
cia
Formulación de explicaciones sobre el efecto
de la aplicación sucesiva de factores constantes de
proporcionalidad en situaciones dadas.
Sesión 85
En esta sesión observarás qué sucede al aplicar sucesivamente
un factor de proporcionalidad entero.
 ¿Qué sabes tú?
1. En una clase de Artes Plásticas el profesor pidió a sus estudiantes organizarse en equipos
para dibujar la siguiente imagen, de acuerdo con estas indicaciones:
c
“Elaboren dos copias del dibujo original.
e
• Las medidas de la copia 1 son dos veces
mayores que las medidas del dibujo original.
f
• Las medidas de la copia 2 son tres veces
mayores que las medidas de la copia 1.”
d
154
a
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Factor de proporcionalidad

155. a) Dibuja las copias 1 y 2 en papel cuadriculado.
Medida
Original
Copia 1
Copia 2
a
b
c
d
e
f
c) ¿Cuántas veces son más grandes las medidas de la copia 2 con respecto a las medidas
del original?
d) Completa el esquema. Escribe en cada recuadro el número por el que se deben multiplicar las medidas de un dibujo para conocer las medidas de otro dibujo.
×3
Medidas
del dibujo
Medidas
de la copia 1
Medidas
de la copia 2
El número por el cual se multiplica cada medida de un
dibujo para producir otro se llama factor de escala.
Versión de evaluación 23/04/12
b) Anota en la tabla las medidas que faltan. Comprueba tus respuestas dibujando las
copias.
2. Compara tus resultados con los de tus compañeros, y con ayuda de su profesor completen
las siguientes afirmaciones.
•• Aplicar el factor de escala ×3 a un dibujo, y después, a la copia resultante aplicarle el
factor ×2, equivale a aplicar al dibujo original el factor
.
•• Al aplicar un factor de escala ×p y después ×q es equivalente a aplicar un solo factor,
que es igual
.
155

156. B3
Sesión 86
En esta sesión determinarás el efecto que produce la aplicación
sucesiva de un factor de proporcionalidad fraccionario.

Manos a la obra
a) En tu cuaderno dibuja las copias 3 y 4.
b) Escribe en la tabla las medidas que faltan.
• “Las medidas de la copia 3
son tres veces menores que
las del dibujo original.
Medida
Original
Copia 3
Copia 4
a
• Las medidas de la copia 4
son dos veces mayores que
las de la copia 3.”
b
c
d
e
f
c) Completa el esquema y anota el factor de escala que se aplica en cada dibujo. Luego determina el factor que al aplicarlo en el dibujo original produce
la copia 4.
Recuerda que dividir entre un
número, por ejemplo entre 2,
1
equivale a multiplicar por 2 .
Medidas
del dibujo
Medidas
de la copia 3
Medidas
de la copia 4
2. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Comenten qué ocurre cuando cambian
el orden en que se aplican los factores, ¿la nueva copia es igual o diferente a la copia 4?
Completen la siguiente tabla.
× 1
3
×2
Medida
a
b
c
d
e
f
156
Original
Copia 3
Copia 4
Versión de evaluación 23/04/12
1. En la clase de Artes Plásticas continúan dibujando. Ahora el profesor ha dado las siguientes
indicaciones:

157. S22
3. Observa la copia 5, sus medidas son 2 de las del dibujo
3
original. Anótalas sobre la copia.
c
e
f
d
b
Copia 5
Sesión 87
En esta sesión resolverás problemas que implican aplicar
un factor de proporcionalidad fraccionario.

Manos a la obra
1. Andrés quiere preparar un postre. Observa los ingredientes que
necesita.
Si Andrés lo desea preparar para 6 porciones, ¿qué cantidades
de cada ingrediente debe tener? Completa:
de azúcar
de leche
yemas de huevo
cucharadas de harina de maíz
cáscara de limón
a
Versión de evaluación 23/04/12
¿A las de qué copia son iguales esas medidas?
Por lo tanto, aplicar el factor de escala × 2 equivale a
3
primero obtener la reducción × 1 y después obtener la
3
ampliación ×2. También se cumple si primero se produce
la ampliación ×2 y luego se reduce × 1 .
3
Natilla
Ingredientes para 4 porciones:
100 g de azúcar
500 ml de leche
3 yemas de huevo
1
1 2 cucharadas rasas de harina de maíz
1 cáscara de limón
1 palito de canela
canela en polvo al gusto
palito de canela
Compara tus respuestas con las de otros compañeros y comenten cómo determinaron cada cantidad.
157

158. B3
2. Observa la manera en que Andrés determinó la cantidad que requiere de cada ingrediente.
“Primero calculó los ingredientes para una porción y luego multiplicó por 6”.
Por ejemplo:
100 g de azúcar
Ingredientes para
una porción
100 g de azúcar
4 porciones = 25 g de azúcar por porción.
Ingredientes para
6 porciones
25 g de azúcar por porción × 6 porciones =
150 g de azúcar.
a) Utiliza el procedimiento anterior para calcular la cantidad que se requiere de los otros
ingredientes.
Ingredientes para
4 porciones
Ingredientes para
una porción
Ingredientes para
6 porciones
500 ml de leche
3 yemas de huevo
1 1 cucharadas de harina de maíz
2
b) Para calcular la cantidad de cada ingrediente por porción, ¿por cuál número se divide?
Completa el siguiente esquema.
×
Ingredientes para
4 porciones
Ingredientes para
1 porción
Ingredientes para
6 porciones
c) Considerando la receta original, ¿cuál es el número por el que se multiplica o divide
para calcular de manera directa la cantidad de cada ingrediente, es decir, de 4 a 6
porciones?
Ingredientes para
4 porciones
El número que te permite calcular la
cantidad requerida de cada ingrediente
es la constante de proporcionalidad.
158
Ingredientes para
6 porciones
Compara tus respuestas y utiliza el número que encontraste para verificar la cantidad que se requiere de cada
ingrediente para preparar el postre.
Versión de evaluación 23/04/12
Ingredientes para
4 porciones

159. S22
En esta sesión determinarás qué factor de proporcionalidad se aplica.
Sesión 88

Manos a la obra
1. En parejas, contesten lo siguiente.
Con tres engranes de diferente tamaño se forma una
maquinaria. Observen la imagen.
Versión de evaluación 23/04/12
a) Si el engrane A da 2 vueltas, ¿cuántas vueltas da
y ¿cuántas
el engrane B?
vueltas da el C?
b) Completen la tabla, deben calcular los valores que
faltan.
Engrane A
Engrane B
1
2
1
1
Engrane C
2
A
3
2
4
21
2
5
6
15
B
4
C
30
c) Anoten los factores de proporcionalidad en el siguiente esquema.
Número de vueltas
del engrane A
Número de vueltas
del engrane B
Número de vueltas
del engrane C
159

160. B3
2. Otra maquinaria está formada de la siguiente
manera: el engrane A da cuatro vueltas mientras el B completa una y el C da tres.
a) Completen la tabla, y en el esquema anoten los factores de proporcionalidad.
4
Número de vueltas
del engrane B
b) ¿Cuál de los engranes es el menor? ¿Por
qué?
c) ¿Cuántos dientes tendrá cada engrane?
Hay más de una respuesta, anoten dos
1
2
Sesión 89
Número de vueltas
del engrane C
6
Comparen sus respuestas con las de sus
compañeros y verifíquenlas con ayuda de su
profesor.
En esta sesión resolverás problemas que implican la aplicación
de factores de proporcionalidad.

Manos a la obra
1. La siguiente tabla muestra las medidas reales de un automóvil deportivo y algunas de las
medidas que tendrían sus modelos a escala. Organizados en equipos, complétenla.
Medidas
Medidas reales
Modelo A
Largo
4.2 m
4.83 cm
Ancho
2.2 m
Altura
Modelo B
Modelo C
5.12 cm
9.17 cm
1.5 m
6.25 cm
a) ¿Cuál es el factor de escala de cada modelo?
b) ¿Qué factor de proporcionalidad produjo las longitudes más pequeñas?
c) Los tres factores de proporcionalidad son fraccionarios. Analizando las operaciones que
realizaron, contesten: ¿de qué manera influye el denominador del factor de proporcionalidad?
160
Versión de evaluación 23/04/12
Número de vueltas
del engrane A

161. S22
2. En la siguiente tabla se muestran las medidas que tiene un modelo de automóvil (A) con un
factor de escala de 1 . A partir de esas medidas y del factor de proporcionalidad comple64
ten la tabla.
1
64
Medidas reales
Modelo A
Modelo B
Largo
4.47 m
6.98 cm
cm
Ancho
m
2.66 cm
cm
Altura
m
2.42 cm
cm
a) ¿Cuántas veces es más grande la medida real del largo del automóvil que la medida en
el modelo B?
b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad que te permite pasar de una medida real del
automóvil a su medida en el modelo B?
Comparen sus respuestas y verifiquen que hayan aplicado correctamente los factores de
proporcionalidad.
Cuando se refiere al factor de escala de una ampliación o reducción de una
fotografía, la equis representa la cantidad de aumentos (o de reducciones)
con respecto al original.

Autoevaluación
La mamá de Ernesto tiene una fotografía rectangular que mide 10 cm × 15 cm. Ernesto y
sus hermanas quieren reproducirla en diferentes tamaños. En el estudio fotográfico, él pide
1
una reproducción a 4 ×. Rosaura pide que su copia sea a 2 × de la de su hermano, mientras
que Laura pide que su copia sea 3 × de la copia de su hermana.
Versión de evaluación 23/04/12
Medidas
×2
a) ¿La fotografía de Ernesto es más grande o más pequeña que la original?
b) ¿Cuál de las tres fotografías es la de mayor tamaño?
c) ¿Cuáles son las dimensiones de la copia de Laura?
161

162. 23
cia
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria,
su verificación al realizar el experimento y su registro
en una tabla de frecuencias.
Sesión 90
En esta sesión estimarás el resultado de un juego de azar.
 sabes tú?
¿Qué
En Matemáticas decimos que una situación es de azar o aleatoria si presenta varios resultados
posibles y no se puede asegurar cuál de ellos se obtendrá.
a) Si lanzas una moneda al aire, ¿caerá al piso?
¿Es posible asegurar que siempre pasará lo mismo?
Menciona por qué.
Esta situación, ¿es de azar?
¿Por qué?
b) Si la moneda cae al piso, ¿qué cara quedará hacia arriba?
Esta situación, ¿es de azar?
¿Por qué?
¿Por qué?
Si lo que se quiere es observar la cara que queda hacia arriba al lanzar una moneda, ¿cuáles son los resultados posibles?
Si se lanza una moneda y se observa la cara que queda hacia arriba, ¿puedes afirmar qué
ocurrirá en un siguiente lanzamiento?
¿Por qué?
Si lanzas diez veces una moneda al aire, ¿caerán más águilas o más soles?
162
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Registro de una experiencia
aleatoria

163. 
Manos a la obra
1. Formen equipos y cada integrante, por turnos, lanzará una moneda al aire diez veces. Registren en la siguiente tabla los resultados de cada uno. Tachen A si cae águila y S si cae sol.
Primer juego
1
2
3
Número de volado
Total por resultado
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
(Si su equipo tiene más de tres integrantes, copien la tabla en su cuaderno, agregando
tantos jugadores como sea necesarios.)
Contesten las siguientes preguntas.
b) ¿Cuántos soles por jugador?
a) ¿Cuántas águilas cayeron por jugador?
c) Si vuelven a jugar, ¿obtendrán los mismos resultados?
Al número de veces que cae águila al lanzar diez veces una
moneda al aire se le identifica como su frecuencia. También se puede referir a la frecuencia con que cae sol en
diez lanzamientos.
En una situación de azar, la frecuencia es el
número de veces que ocurre un resultado.
2. Consideren los resultados que obtuvieron y compárenlos con los de otros equipos. Describan cuál es el comportamiento de los resultados. ¿La frecuencia es mayor que la que registraron en su equipo?
¿Es menor?
¿Es igual?
Si los equipos ganan cuando caen más águilas, ¿cuántos equipos ganaron?
En la siguiente tabla escriban los resultados obtenidos por todo el grupo.
Resultados de lanzar una moneda al aire en el grupo
Frecuencia
Versión de evaluación 23/04/12
Jugador
Resultado
Caer águila
Caer sol
Total de lanzamientos
¿Cuál es la diferencia entre el número total de águilas y de soles?
¿Cuál de los siguientes resultados tiene más posibilidades de ocurrir en una serie de diez
lanzamientos de moneda?
a) AAASSAAASS
b) SSSSSSAAAA
c) SASASASAAS
d) Cualquiera de las series puede ocurrir
163

164. B3
Sesión 91
En esta sesión registrarás los resultados de otro juego de azar. Analizarás
dichos resultados para poder proponer alguna manera de ganar.
1. En equipos de seis compañeros jueguen a las carreras. Cada jugador elige un carrito y coloca una ficha sobre él. Por turnos, cada quien lanza el dado, y avanza una casilla el jugador
cuyo carrito corresponde al número que se muestra en la cara superior del dado. Gana
el jugador que llegue primero a la meta.
Número de carrito
META
1
2
3
4
5
6
(Si su equipo tiene menos integrantes pueden elegir más de un carrito.)
¿Quién ganó?
Si se realiza nuevamente el juego, ¿crees que tienes más posibilidades de ganar? ¿Por qué?
Realicen una vez más el juego.
164
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra

165. S23
2. En la siguiente tabla anoten el número de carrito que ganó en cada equipo.
Número de carrito que ganó Número de carrito que ganó
en la primera carrera
en la segunda carrera
Contesten las siguientes preguntas.
¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador en la primera carrera?
¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador en la segunda carrera?
¿Cuál es el número de carrito que más veces aparece como ganador al considerar ambas
carreras?
De acuerdo con los resultados obtenidos, si vuelven a jugar a las carreras, ¿existe algún
número que tenga ventaja sobre los demás?
Si así lo consideran, pruébenlo jugando una carrera más.
3. En un grupo, al analizar los resultados obtenidos, un equipo propuso que para ganar una
carrera conviene apostar por los carritos que tienen un número par.
¿Creen que tienen razón?
Versión de evaluación 23/04/12
Número de equipo
¿Por qué?
Otro equipo propuso apostarle a los carritos con el número 3 o más.
Organicen una carrera más y observen los resultados.
Describan una estrategia en la cual tengan más posibilidades de ganar una carrera.
165

166. B3
Sesión 92
En esta sesión anticiparás el resultado de una extracción y lo verificarás.
Para ello deberás anotar los resultados en una tabla de frecuencias.

Manos a la obra
A
A
Z
R
Si sacas de la caja uno de los papelitos doblados, ¿qué letra es más posible que saques?
¿Por qué?
¿Qué letras tienen las mismas posibilidades de salir?
¿Por qué?
2. Repite el experimento cincuenta veces. En cada extracción, registra una rayita en la columna
de conteo que corresponde a la letra que sale. Luego debes doblar de nuevo el papelito que
sacaste y regresarlo a la caja. Anota los resultados en la siguiente tabla de frecuencias.
Letras
Conteo
Frecuencia
A
Z
R
Total de extracciones
¿Qué letra fue la más frecuente?
¿Por qué?
166
50
¿Era lo que esperabas?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Recorta cuatro cuadritos de papel iguales y escribe en cada uno de ellos una de las letras
de la palabra AZAR. Dóblalos, colócalos en una bolsa o en una caja y revuélvelos.

167. S23
3. Compara tus resultados con los de tus compañeros, ¿cuál fue la letra que se extrajo con
mayor frecuencia?
¿Para qué letras la frecuencia fue la misma?
¿Qué esperas que ocurra si repiten el experimento otras cincuenta veces?
4. Ahora reúnete con un compañero o compañera para realizar el experimento con la palabra
ALEATORIO.
Al sacar de la caja uno de los papelitos, ¿qué letra es más posible que saquen?
¿Por qué?
¿Qué letras consideran que tienen las mismas posibilidades de salir?
¿Por qué?
Elaboren en su cuaderno una tabla de frecuencias como la que utilizaron para registrar los
resultados del experimento con la palabra AZAR, pero ahora para las letras de la palabra
ALEATORIO.
5. Comparen sus resultados con los de sus compañeros y contesten las siguientes preguntas.
¿Qué letra fue la más frecuente?
¿Era lo que esperaban?
¿Por qué?
¿Alguna vez se han preguntado cuál es la letra que más se utiliza en nuestro idioma? ¿Cuál
letra suponen que es?
Propongan una manera de averiguarlo, llévenla a cabo y registren sus resultados en una
tabla de frecuencias. Después muestren sus resultados al grupo.
Versión de evaluación 23/04/12
¿Por qué consideras que los resultados no son siempre los mismos?
167

168. B3
Sesión 93
En esta sesión anticiparás y registrarás los resultados al extraer
una canica de una bolsa.

Manos a la obra
Dos compañeros, María y Joel, colocan dos canicas en una urna; una de las canicas es azul
y la otra es blanca. Después de remover las canicas extraen una, sin mirar, y resulta ser
blanca. Regresan la canica a la bolsa, la remueven y hacen una extracción más. ¿De qué
color piensas que será la canica en esta ocasión?
Haz el experimento varias veces y comprueba si aciertas. ¿Qué piensas que es más fácil,
sacar la canica blanca o la azul?
María y Joel hicieron el experimento diez veces. Para registrar sus resultados, anotan una A
si sale azul, y una B si sale blanca. Observa sus resultados:
ABBABABBAB
¿Cuántas canicas azules sacaron?
¿Y cuántas canicas blancas?
2. Reúnete con un compañero y lleven a cabo el experimento descrito en el problema anterior,
pero primero anoten sus estimaciones en la siguiente tabla.
Estimaciones
Canicas azules que salen en 20 extracciones Canicas blancas que salen en 20 extracciones
Registren en una tabla de frecuencias sus resultados. Pueden anotar una rayita o escribir
una A si sale azul y una B si sale blanca.
Color
Conteo
Frecuencia
Azul
Blanco
Total
Comparen los resultados obtenidos en la estimación que hicieron previamente, ¿acertaron?
3. Comparen sus respuestas con las de otros compañeros y comenten:
¿Qué color de canica es más frecuente de obtener?
¿Podrían adivinar el color de la canica que saldrá en la próxima extracción?
168
Versión de evaluación 23/04/12
1. Lee y realiza lo siguiente.

169. S23
4. Repitan el experimento, pero esta vez pongan en la bolsa tres canicas: dos azules y una
blanca.
¿Consideran que ahora será más fácil obtener una canica blanca o una azul?
Canicas blancas que salen en
30 extracciones de la bolsa 2
Resultados de 30 extracciones
Canicas azules que salen en
30 extracciones de la bolsa 2
Canicas blancas que salen en
30 extracciones de la bolsa 2
¿Qué color de canica es más frecuente sacar en esta situación?
¿Podrían adivinar el color de la canica que saldrá en la próxima extracción?
Consulta en…
Entra al sitio http://www.acanomas.com/Biblioteca.php y consulta la información sobre
otros juegos de azar.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
Observa las cuatro bolsas que se muestran a continuación:
bolsa 1
bolsa 2
bolsa 3
Versión de evaluación 23/04/12
Cálculo
Canicas azules que salen en
30 extracciones de la bolsa 2
bolsa 4
Contienen canicas de color azul (A) y blanco (B).
Marca con una palomita ( ) las frases que son verdaderas.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 1 que de la bolsa 2.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 2 que de la bolsa 4.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 1 que de la bolsa 3.
Es más fácil obtener una canica azul de la bolsa 3 que de la bolsa 4.
169

170. uen
S ec
24
cia
Análisis de frecuencia
absoluta y relativa
Sesión 94
En esta sesión utilizarás tablas de frecuencia absoluta
para obtener la información resumida en ellas.
 ¿Qué sabes tú?
El manejo y la interpretación de información dependen de la cantidad de datos que se tengan;
por ejemplo, si se cuenta con un conjunto de diez datos, sólo bastaría enlistarlos y ordenarlos
para poder describir su comportamiento. Sin embargo, para el análisis de un número mayor de
datos se recomienda utilizar una tabla de frecuencia, la cual concentra y organiza la información.
A continuación se muestran las horas a la semana que cada alumno de tercer grado de la escuela A invierte en estudiar después de clase. El grupo se compone de 50 estudiantes.
4
6
1
5
6
7
8
6
7
1
9
3
2
2
2
0
7
0
0
4
1
6
2
10
0
8
0
9
4
6
10
3
6
10
4
5
10
6
10
2
4
1
10
6
6
7
9
0
7
8
a) ¿Cuál es el mayor número de horas de estudio invertidas por un alumno?
b) ¿Cuál es la diferencia entre el alumno que invierte menos horas de estudio con respecto al
que invierte más horas?
c) ¿Cuántas horas estudian la mayoría de los alumnos?
e) ¿Cómo organizaron los datos para responder las preguntas?
170
Versión de evaluación 23/04/12
Lectura y comunicación de información mediante
el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

171. 
Manos a la obra
Número de
horas invertidas
Conteo
Frecuencia
absoluta
4
3
0
6
a) ¿Cuántas horas diferentes se registraron?
b) ¿Cuáles fueron esas horas?
2. Usen la información que proporciona la tabla para contestar las preguntas
siguientes.
a) ¿Cuántos alumnos invierten 4 horas de estudio?
c) ¿Cuántos alumnos invierten 10 horas de estudio?
d) ¿Cuántos alumnos no invierten tiempo en estudiar?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, completen la siguiente tabla de frecuencias y contesten las preguntas.
En una tabla de frecuencias,
la columna de frecuencia
absoluta se refiere a la cantidad
de veces que aparece un dato
en toda la información, por lo
que al sumar dicha columna
nos dará el total de datos
u observaciones registrados.
En este ejemplo, el total de datos es de 50 alumnos.
171

172. B3
Sesión 95
En esta sesión utilizarás tablas de frecuencia relativa
para obtener información.
1. Continuaremos trabajando con los datos de la tabla de la sesión anterior. Agregaremos a
nuestra tabla de frecuencias las columnas de frecuencia relativa y el porcentaje referente
a cada dato.
En parejas, completen la siguiente tabla (realicen los cálculos que sean necesarios).
Número de
horas invertidas
Frecuencia relativa
Cálculo
Resultado
Porcentaje
Cálculo
Resultado
Conteo
Frecuencia
absoluta
4
4
50
0.08
0.08 × 100
8%
3
3
50
0.06
0.06 × 100
6%
50
50
50
1
1 × 100
100%
0
6
Total
Al dividir la frecuencia absoluta de cada dato entre el número total de datos se obtiene la
frecuencia relativa.
Al sumar los valores de la columna de frecuencia relativa el resultado debe ser igual a
uno. Al multiplicar por 100 la frecuencia relativa de cada dato, obtendremos el porcentaje
que representa ese dato con respecto al total.
2. Con base en los datos de la tabla, contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué número de horas invertidas en estudiar tiene el mayor porcentaje?
b) ¿Cómo comprobarías que la columna de frecuencia relativa es correcta?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
172
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra

173. S24
Sesión 96
En esta sesión continuarás trabajando con tablas de frecuencia relativa.

Manos a la obra
34
34
115
52
106
72
52
40
89
116
114
110
89
67
115
80
96
89
40
89
89
62
40
98
80
46
111
111
29
25
Con la información del cuadro anterior completa la tabla siguiente.
Cantidad de material reciclado
(kg)
Conteo
Frecuencia
absoluta
Frecuencia relativa
Cálculo Resultado
Porcentaje
Cálculo Resultado
1
34
40
3
3
30
0.10
0.1 × 100
10%
1 × 100
100%
2
98
1
114
116
Total
30
Versión de evaluación 23/04/12
1. Se realizó un concurso entre 30 telesecundarias del país para ver cuál reunía
la mayor cantidad de material reciclado
en kilogramos, los resultados se muestran
a continuación.
En equipos, comparen los resultados y contesten las preguntas siguientes.
a) La telesecundaria que ganó, ¿qué cantidad de material reciclado reunió?
b) ¿Qué cantidades de material reciclado reunieron las telesecundarias que quedaron
en segundo y tercer lugar?
c) ¿Cuál fue la menor cantidad de material reciclado que se recolectó?
173

174. B3
Sesión 97
En esta sesión interpretarás la información que se presenta en
distintas tablas.

Manos a la obra
Entidad federativa
Aguascalientes
Baja California
Baja California Sur
Campeche
Coahuila de Zaragoza
Colima
Chiapas
Chihuahua
Distrito Federal
Durango
Guanajuato
Guerrero
Hidalgo
Jalisco
Estado de México
Michoacán de Ocampo
Morelos
Nayarit
Nuevo León
Oaxaca
Puebla
Querétaro
Quintana Roo
San Luis Potosí
Sinaloa
Sonora
Tabasco
Tamaulipas
Tlaxcala
Veracruz de Ignacio de la Llave
Yucatán
Zacatecas
Estados Unidos Mexicanos
2000
25 927
84 377
11 793
8 532
52 571
11 813
22 018
72 885
451 553
21 445
67 668
19 619
23 971
163 935
289 186
46 557
31 704
11 795
127 178
20 482
64 339
38 673
18 557
32 387
37 781
53 505
20 729
54 062
9 042
72 247
28 494
16 610
2 011 425
2005
61 954
188 340
32 352
27 061
129 265
29 665
63 584
183 005
825 157
59 870
163 484
59 908
72 311
371 642
697 749
118 615
73 340
36 568
261 981
65 558
166 162
86 444
47 916
87 448
104 451
135 318
59 110
136 969
28 374
202 314
69 669
49 343
4 694 927
2010
99 579
374 234
72 319
55 160
230 582
58 737
135 322
312 615
1 171 631
105 076
301 818
129 170
134 561
652 230
1 162 156
221 817
137 530
78 882
468 025
134 557
287 815
153 832
115 058
151 052
220 665
267 201
117 126
256 467
53 921
405 608
129 964
84 909
8 279 619
Nota: Cifras correspondientes a las siguientes fechas censales: 14 de febrero (2000), 17 de octubre (2005),
y 12 de junio (2010).
Fuente: http://www.inegi.org.mx/sistemas/sisept/default.aspx?t=mviv41s=estc=26573
174
Versión de evaluación 23/04/12
1. La siguiente tabla muestra el número de viviendas particulares habitadas, por entidad
federativa, con disponibilidad de computadora en los años 2000, 2005 y 2010.

175. S24
En parejas, utilicen la información anterior y calculen el porcentaje por año para cada entidad con respecto al total nacional.
Contesten las siguientes preguntas.
a) Cada uno explique a su compañero, con sus propias palabras, qué información muestra
la tabla.
c) ¿Qué entidad muestra el mayor porcentaje y en qué año?
d) Indiquen por cada año las entidades que tienen los tres primeros lugares en porcentaje.
1º año
2º año
3º año
e) ¿Qué entidades mantienen el mismo porcentaje durante los tres años de análisis?
f) En cada año aumentó el número de computadoras en las viviendas particulares. ¿En qué
año hubo un mayor aumento?
Consulta en…
Entra a la página del INEGI para conocer otros interesantes datos estadísticos sobre
nuestro país.
Versión de evaluación 23/04/12
b) ¿A qué años corresponde la información que presenta la tabla?

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• ¿Qué significaría que el total de la columna de frecuencia relativa fuera mayor a uno?
175

176. B3
Sesión 98
Evaluación
Aplica lo aprendido y selecciona la respuesta correcta a cada problema.
a) $ 2 151.354
b) $ 2 151.4035
c) $ 2 151.435
d) $ 2 151.536
2. Considera la ecuación 9 x = 270.
¿Cuál de los siguientes problemas se puede resolver con la ecuación anterior?
a) El volumen de un eneágono regular mide 270 cm.
b) El área de un eneágono regular mide 270 cm.
c) El perímetro de un eneágono regular mide 270 cm.
d) El perímetro de un eneágono irregular mide 270 cm.
3. Un corredor tarda cierta cantidad de minutos para recorrer diferentes distancias, como se
muestra en la tabla.
Tiempo (minutos)
Distancia
21 min
7 km
42 min
14 km
55 min
84 min
28 km
Si corre durante 55 minutos, ¿qué distancia recorrió?
a) 15.00 km
b) 18.33 km
c) 20 km
d) 22 km
4. Un rollo higiénico contiene 43.7 metros de papel. Si cada hoja mide 10.4 cm, ¿cuántas
hojas higiénicas contiene el rollo?
a) 300.23
b) 400.51
c) 420.19
d) 499.10
176
Versión de evaluación 23/04/12
1. Jacinto requiere comprar 150.45 dólares para pagar un artículo que se ofrece en una tienda
en internet. ¿Cuántos pesos debe juntar para poder pagar, si el tipo de cambio está en
$14.30?

177. S24
5. ¿En cuál de los siguientes polígonos regulares el área es de 20 m2?
2 cm
2 cm
b)
c)
d)
2 cm
2 cm
a=4
a = 2.61
a = 1.37
a = 5.00
6. En una caja se colocan 12 lápices del mismo tamaño y textura, 3 son azules, 3 rojos,
2 amarillos, 2 negros, 1 verde y 1 morado. ¿Cuál de las siguientes frases es verdadera?
a) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color morado que uno verde.
b) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color azul que uno rojo.
c) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color rojo que uno amarillo.
d) Hay más posibilidades de sacar un lápiz color amarillo que uno negro.
La siguiente tabla ilustra el consumo
de energía eléctrica en kilowatts (kW) de
4 casas durante 5 meses.
Mes
Casa 1
Casa 2
Casa 3
Casa 4
Noviembre Diciembre
86
95
78
89
76
98
89
100
7. ¿En qué mes se consumió la mayor cantidad de energía eléctrica?
Enero
105
110
89
65
Febrero
88
80
78
117
Marzo
102
97
114
76
Versión de evaluación 23/04/12
a)
8. ¿Qué casa consumió menos energía durante los cinco
meses?
a) Enero
a) Casa 1
b) Febrero
b) Casa 2
c) Diciembre
c) Casa 3
d) Marzo
d) Casa 4
9. ¿Qué polígono regular se puede generar a partir del ángulo mostrado?
a) Dodecágono
b) Undecágono
c) Pentadecágono
156°
d) Icoságono
177

178. Versión de evaluación 23/04/12
Bloque 4

179. Versión de evaluación 23/04/12
umplan con
gulares que c
y polígonos re
struir círculos
• Con
stablecidas.
condiciones e
cier tas
s de barras
da en gráfica
ación presenta
gráficas para
• Leer inform
stos tipos de
Utilizar e
y circulares.
formación.
comunicar in

180. 25
cia
Planteamiento y resolución de problemas
que impliquen la utilización de números enteros,
fraccionarios o decimales positivos y negativos.
Sesión 99
En esta sesión resolverás problemas que implican utilizar números enteros.
 sabes tú?
¿Qué
En equipos, cada uno de los integrantes escoja un objeto de la ilustración. Luego describan en
un trozo de papel la ubicación de los objetos que eligieron y muéstrenlo a uno de sus compañeros; pueden emplear números y símbolos para la descripción, pero no palabras. Cada uno
debe interpretar el mensaje de su compañero para saber qué objeto eligió. Anoten en el papel
el nombre del objeto y devuélvanlo a su compañero. Finalmente revisen si interpretaron correctamente la descripción y pudieron identificar el objeto. Si hubo equivocaciones, deben encontrar en dónde estuvo la falla y corregirla.
60 m
40 m
22 m
10 m
ESCUELA
1m
4m
1m
4m
10 m
40 m
180
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Números positivos y negativos

181. 
Manos a la obra
Objetos que se eligieron:
60 m
1m
4m
a) Utilicen ese mismo
sistema y completen la tabla.
Ubicación
La persona que recibió el mensaje cree que es:
Helicóptero
Tubería de gas
Rata
Dibujo
Carro del metro
4m
Tubería de agua potable
10 m
b) Hay objetos sobre el nivel del suelo, como el helicóptero, y por debajo de su nivel, como
el metro.
En esta propuesta ¿cómo se representaron los objetos que están ubicados sobre el
nivel del suelo?
¿Y los que se encuentran bajo el nivel del suelo?
Con este sistema, escriban cómo representarían la ubicación de un bache sobre la calle.
2. En parejas, contesten las siguientes preguntas.
En la primera actividad de la sesión, ¿cómo representaron ustedes los objetos que están
sobre el nivel del suelo?
¿Por qué?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En otra telesecundaria,
un equipo elaboró un
mensaje que fue correctamente interpretado. Observen y analicen
cómo lo hicieron.
¿Cómo lo hicieron con los objetos que están ubicados bajo
el nivel del suelo?
¿Por qué?
Comparen sus mensajes con los de otros equipos. ¿Cuáles
les parecen más claros y por qué?
Como hay distintas maneras de comunicar
la ubicación de los objetos, se debe establecer
un acuerdo. En este ejemplo podríamos representar el nivel del suelo con el cero, lo que está
sobre el nivel del suelo con signo positivo +
y lo que está bajo el nivel del suelo con signo
negativo − .
181

182. B4
Sesión 100
En esta sesión localizarás números enteros en un recta númerica.

Manos a la obra
Objeto
Palomas a 20 m sobre el nivel del suelo.
Una señal de tránsito a nivel del suelo.
Un cable de la luz a 4 m de altura.
Una estación del metro a 15 m bajo el nivel del suelo.
Ubicación
+ 20 m
2. En parejas, localicen en la siguiente recta numérica los objetos que se mencionan en la
tabla anterior. Cada división equivale a 5 unidades.
Los números enteros están formados por los enteros positivos, los enteros negativos y el cero. Se pueden representar
en la recta numérica tal y como se hizo con las fracciones
y los decimales. Para ubicarlos, primero se determina
el lugar del cero, a continuación se sitúan a su derecha los
números con signo + (enteros positivos) y a su izquierda
los números con signo – (enteros negativos).
3. Localicen los siguientes números en la recta numérica. Cada división equivale a una unidad.
1, 3, 7, –1, –5, –6, 0
Los números con signo positivo, o simplemente positivos, se ubican a la derecha del cero en
la recta numérica y se escriben con el signo + o sin él; por ejemplo, el 1 positivo se escribe +1
o sólo 1.
Los números negativos se ubican a la izquierda del cero en la recta numérica y siempre se
escriben anteponiéndoles un signo −; por ejemplo, el 16 negativo se escribe −16.
El cero no es ni positivo ni negativo, es neutro, por lo que se escribe sin signo (no se le pone
+ ni –).
182
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, completen la siguiente tabla usando los signos + y – según corresponda.

183. S25
En esta sesión identificarás el orden que tienen los números enteros.
Sesión 101
Conocer la temperatura ambiental es importante para realizar nuestras actividades cotidianas.
Para medirla se emplean los termómetros ambientales, como el de la ilustración, que muestran
tanto temperaturas sobre cero o temperaturas positivas, como temperaturas bajo cero o temperaturas negativas. Las temperaturas bajo cero se acostumbra representarlas anteponiéndoles el signo –.
Conocer los cambios o las variaciones de la temperatura nos permite, entre otras cosas, tener
un mayor control de las cosechas y cuidar mejor nuestra salud.
1. En parejas, contesten las preguntas con los datos de la tabla.
El 16 de enero de 2012 el Servicio Meteorológico Nacional publicó un aviso de las heladas
que se esperaban para ese día en distintas ciudades.
Ciudad
La Rosilla
El Vergel
Creel
La Ascensión
Estado
Durango
Chihuahua
Chihuahua
Nuevo León
Temperatura máxima Temperatura mínima
(°C)
(°C)
16.0
–8.5
14.0
–5.0
22.0
–4.0
23.0
–3.0
¿Qué temperaturas máximas se esperaban en La Rosilla y El Vergel?
¿Cuál es mayor?
¿Cuál de las temperaturas mínimas que se esperaban en Creel y La Ascensión es menor?
¿De cuánto se esperaba la variación de temperatura en El Vergel?
¿Y en Creel?
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
2. En grupo, comparen sus resultados y comenten sus procedimientos.
En el equipo 1 señalaron que la variación de temperatura que se esperaba en El Vergel es
de 9 °C, porque 14 − 5 = 9.
En el equipo 2 utilizaron el termómetro ambiental para localizar las temperaturas y dijeron
que la variación es de 19 °C, porque es el número de grados que hay entre ambas temperaturas.
¿Cuál de los dos equipos obtuvo la variación de temperatura correcta?
183

184. B4
3. En equipos, empleen la imagen del termómetro para contestar las preguntas siguientes.
a) En un cierto día, la temperatura máxima en Toluca fue de 25 °C y la temperatura mínima
fue de −1.5 °C. ¿De cuánto fue la variación de temperatura en esa ciudad?
c) ¿Cuántos grados hay de −9 °C a −26 °C?
d) ¿Cuántos grados hay de −1.5 °C a −15.5 °C?
e) En el termómetro ubiquen las temperaturas 13 °C y 4 °C, ¿cuál de las dos es menor?
f) ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas?
g) Ahora ubiquen las temperaturas –13 °C y –4 °C, ¿cuál de las dos es menor?
h) ¿Cuál es la variación entre estas temperaturas?
i) Entre –13 °C y 4 °C, ¿cuál de las dos temperaturas es menor?
j) Analicen sus respuestas en grupo y en caso de controversia consulten con su profesor.
24.2
La variación de temperatura es el número de grados que hay entre dos temperaturas dadas.
Por ejemplo,
Máxima
Mínima
Diferencia
21.3
–2.9
24.2
Guapoca
La variación de temperatura también la podemos interpretar como la distancia
que hay entre dos números en una recta numérica horizontal.
Por ejemplo: entre −12° y 7° hay una distancia de 19 unidades.
−12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
1
2
3
4
5
6
19
Es decir, la distancia entre dos números es igual a la longitud del segmento
que los une.
184
7
Versión de evaluación 23/04/12
b) La temperatura mínima de Pachuca fue de −2.9 °C. Si se sabe que la variación de temperatura es de 23.4 °C, ¿cuál fue la temperatura máxima de dicha ciudad?

185. S25
4. Calcula la distancia que hay entre cada par de
marcas del mismo color.
Distancia entre marcas naranjas
Distancia entre marcas azules
Versión de evaluación 23/04/12
Distancia entre marcas verdes
20°C
16°C
1°C
−1°C
−8°C
−29°C
Distancia entre marcas rojas
Distancia entre marcas azules
Distancia entre marcas verdes
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Consulta en…
Entra al sitio http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1025, ahí encontrarás más información sobre los números enteros.
185

186. B4
Sesión 102
En esta sesión conocerás el valor absoluto y el simétrico
de los números con signo.
La distancia que hay entre un número dado y el cero se conoce como valor absoluto. Observa
que este valor es siempre positivo porque corresponde a la longitud del segmento que une
a dicho número con el cero.
El valor absoluto de un número se representa por medio de dos barras paralelas.
Por ejemplo: la longitud entre el –11 y el 0 es 11, es decir, el valor absoluto de –11 es 11
y se escribe |–11| = 11.
La longitud entre el 7 y el 0 es 7, es decir, el valor absoluto de 7 es 7 y se escribe |7| = 7.
1. En la recta numérica se han representado algunos números.
1
−1
2
−7.5 −6.5
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
0
1
1
2
1
3.5
2
3
4
5
6
7
8
a) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −6.5?
b) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que 1 ?
2
c) ¿Cuáles números tienen valor absoluto 5?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten los procedimientos que emplearon.
2. Contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué número negativo tiene el mismo valor absoluto que 11?
b) ¿Qué valor absoluto tienen los números 18 y −18?
c) ¿Qué número positivo tiene el mismo valor absoluto que −7.5?
186
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra

187. S25
El valor absoluto de los números positivos y negativos siempre es un número positivo.
Dos números que están a la misma distancia del cero se llaman números simétricos.
Por ejemplo: +3 y –3 son números simétricos.
|-3|=3
-3
|3|=3
0
3
3. En parejas, contesten las siguientes preguntas.
a) ¿Cuál es el simétrico del 5?
b) ¿Cuál es el simétrico del −3?
c) ¿Cuál es el simétrico del −18.9?
d) ¿Cuál es el simétrico del 16.1?
e) ¿Son simétricos los números 3 y − 3 ?
2
2
1?
f) ¿Cuál es el simétrico de −
4
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
Versión de evaluación 23/04/12
Por ejemplo: |–10.2| = 10.2 y |10.5| = 10.5
187

188. B4
Sesión 103
En esta sesión resolverás ejercicios aplicando lo que estudiaste anteriormente.

Manos a la obra
1. En una recta numérica, ¿de qué lado del cero se ubican los siguientes números?
–27
33
–18
–16
8
2. ¿Qué distancia hay entre los siguientes pares de números?
a) −6 y 10
b) 10.3 y 26
c) −9 y −0.5
d) −15 y 3.9
e) −6.1 y 0
f ) 0.9 y 8.1
g) −4.25 y 0.5
3. Escriban mayor que () o menor que () según corresponda.
a) 14.7
6.1
d) –0.98
b) −9.5
e) –15.6
–0.1
5
c) −4.3
−15.7
10.6
Consulta en…
Busca en las bibliotecas escolares y de aula las siguientes referencias con lecturas interesantes sobre este tema:
Carlos Bosch y Claudia Gómez, “Números enteros”, en Una ventana al infinito, México, sep-Santillana, 2002
(Libros del Rincón).
Luz María, Marván, “Números simétricos”, “Números con signo”, “¿Mayor o menor?” y “El valor absoluto”,
en Representación numérica, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
1
1
1. Ubica sobre la recta numérica los números siguientes: –1.5, 2 , –0.25, – 3 , 2.25
-3
-2
-1
0
1
2
3
2. Abajo de cada uno de los números anteriores escribe su valor absoluto.
3. Encuentra el simétrico del mayor número positivo y del menor número negativo.
188
Versión de evaluación 23/04/12
28

189. 26
cia
Construcción de círculos a partir de diferentes datos
(el radio, una cuerda, tres puntos no alineados, etc.)
o que cumplan condiciones dadas.
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
El círculo y cómo construirlo
Sesión 104
En esta sesión reconocerás la diferencia entre círculo y circunferencia.
 sabes tú?
¿Qué
1. Completa la siguiente definición.
Una línea curva cerrada, que cumple con la condición de que todos sus puntos mantienen
la misma distancia con el centro es
2. Organizados en equipos lleven a cabo la siguiente actividad y contesten las preguntas.
Para permitirle a Víctor salir a jugar futbol con sus amigos, su mamá le puso como condición
que armara el siguiente rompecabezas de un círculo, en cuyas piezas se han señalado
algunas rectas notables y ciertos puntos sobre la circunferencia.
C
B
A
En una hoja, calquen el rompecabezas de Víctor, recórtenlo y ármenlo.
¿Cuánto tiempo les tomó armarlo?
189

190. B4

Manos a la obra
Responde las preguntas siguientes.
1. En la imagen del rompecabezas, los puntos A, B y C ¿están sobre la circunferencia o dentro
2. ¿Es lo mismo círculo que circunferencia?
. Si consideras que son distintos, escribe con tus propias palabras una definición de círculo y una de circunferencia.
3. En las siguientes imágenes escribe el nombre de los elementos del círculo y su definición.
Comenten en grupo las respuestas que dieron.
190
Versión de evaluación 23/04/12
del círculo?

191. S26
Sesión 105
En esta sesión trazarás circunferencias a partir de dos puntos dados.

Manos a la obra
1. Organizados en equipos, observen la siguiente situación y contesten
las preguntas.
Versión de evaluación 23/04/12
Javi y Ale jugaban con una cuerda en el patio de su casa. Ale permanecía firme mientras Javi daba vueltas manteniendo tensa la cuerda.
a) ¿Qué figura describe el movimiento de Javi?
b) ¿Qué elemento representa en la figura descrita el punto donde
se paró Ale?
c) ¿Qué elemento de la circunferencia representa la cuerda con la
que jugaban?
d) ¿Se puede trazar una circunferencia conociendo la longitud
de su radio?
2. Observa la siguiente figura y escribe un
procedimiento para trazar una circunferencia, con ayuda del compás, conociendo la longitud de su radio.
a) Si se traza otro segmento del centro a
un punto cualquiera de la circunferencia dibujada, ¿cómo es en relación al
radio?
b) ¿Cuántos radios tiene una circunfe­
rencia?
3. Don Cheto amarró un chivo a una estaca
con una cuerda, como se muestra en la
figura de la derecha.
Cuando está completamente extendida,
la cuerda mide 6 metros.
5m
Colorea la región de pasto que puede comer el chivo mientras está amarrado.
10 m
191

192. B4
Sesión 106
En esta sesión encontrarás un procedimiento para trazar una circunferencia
a partir de su diámetro o de una cuerda de la misma.

Manos a la obra
Yoyis
Arucha
18 cm
20 cm
Para una obra de teatro de la asignatura de Artes se necesitan unas máscaras de cartulina de forma circular. Para
hacerlas, cada alumno midió la distancia de su frente a su
barbilla. A continuación están los segmentos que indican
las distancias obtenidas por dos alumnas.
Conociendo estas distancias, ¿cómo construirán la base de las máscaras?
¿Qué elemento del círculo representarán estos segmentos?
Ahora midan la distancia que hay entre su frente y su barbilla y hagan su propia máscara.
Compartan con el grupo el procedimiento que siguieron para elaborar su máscara y elijan
la mejor máscara (recuerden que debe tener forma circular).
2. Realiza lo siguiente.
a) Marca un punto en tu cuaderno y traza una circunferencia de 5 cm de radio.
b) Señala dos puntos sobre la misma y únelos, procurando que no definan el diámetro.
¿Cómo se llama este segmento?
c) Traza la mediatriz del segmento resultante.
Responde las siguientes preguntas.
Observa que al trazar la mediatriz del segmento
que definen dos puntos sobre la circunferencia,
el centro está sobre dicha mediatriz.
¿Cómo son las distancias del centro a los puntos marcados sobre la circunferencia?
¿Es posible trazar otras circunferencias que pasen por
los mismos puntos que elegiste?
El segmento que determina la unión de dos
puntos dentro de la circunferencia se llama
cuerda.
192
Comenta tus respuestas con tus compañeros.
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan la siguiente actividad.

193. S26
Como ya viste, la mediatriz de un segmento que une dos puntos de la circunferencia pasa por
el centro de la misma; por lo tanto, conociendo dos puntos y tomando un punto sobre la mediatriz como centro, se puede trazar una circunferencia que pase por ellos.
Versión de evaluación 23/04/12
B
Mediatriz
A
3. Encuentra el centro de las circunferencias aplicando los conceptos que manejamos en la
sesión.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Analicen en grupo lo que sucede en el caso de la figura 3.
193

194. B4
Sesión 107
En esta sesión trazarás circunferencias a partir de tres puntos dados.

Manos a la obra
1. La tienda de ropa Mores tiene tres sucursales ubicadas en diferentes puntos de la ciudad.
Si se decide colocar una bodega a la misma distancia de cada una de las tres sucursales,
¿en qué lugar se debe ubicar la bodega? Señálenlo en el croquis.
Los puntos marcados con rojo son los sitios donde se localizan las tiendas.
a) ¿Es posible determinar un punto que se encuentre a la misma distancia de los puntos
rojos?
b) Describan el procedimiento que siguieron para determinarlo y compártanlo con el grupo.
c) ¿Podemos auxiliarnos del trazo de mediatrices para ubicar la bodega del problema
anterior?
d) Para encontrar un punto que equidiste de los puntos rojos, ¿será necesario trazar las
tres mediatrices o será suficiente con trazar sólo dos de ellas?
2. El dueño de la tienda de ropa finalmente construyó la bodega y ahora desea abrir una nueva sucursal. Quiere que ésta se ubique a la misma distancia de la bodega, al igual que las
demás sucursales.
Encuentren en el croquis anterior cinco posibles lugares donde instalarla.
Comparen sus propuestas con las de sus compañeros.
¿Cuáles son todos los posibles lugares en donde pueden situar la nueva sucursal?
194
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, resuelvan lo que se les solicita.

195. S26
3. En su cuaderno marquen tres puntos a diferentes distancias, cuidando de que no sean
colineales (es decir, que no estén en una misma línea recta).
a) Unan los puntos mediante segmentos.
b) Tracen las mediatrices de los segmentos.
d) Tomando como centro el punto O y como radio la distancia de O a cualquiera de los
puntos, tracen una circunferencia. Comprueben que ésta pasa por los puntos marcados.
Comparen con otras parejas los puntos que dibujaron y las circunferencias que trazaron.
4. En grupo, analicen lo siguiente.
Dado que los tres puntos de la actividad anterior no
están en una misma recta, ¿por qué se intersecan
en el mismo punto las mediatrices de los segmentos que los unen?
Versión de evaluación 23/04/12
c) Encuentren la intersección de las mediatrices y llámenlo O.
Dados tres puntos no colineales siempre se puede
trazar una única circunferencia que pase por ellos.
El centro de la misma es el punto de intersección
de las mediatrices.
Cuando los tres puntos son colineales
(es decir, cuando están sobre la misma recta),
no se puede trazar la circunferencia.
¿Cuál fue el objetivo de encontrar este punto de intersección?
Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las siguientes referencias
para saber más sobre este tema:
José Antonio de la Peña, Geometría y el mundo, México, sep-Santillana, 2002
(Libros del Rincón).
Carlos Hernández, La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002
(Libros del Rincón).

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
1. Describe el procedimiento para construir un círculo a partir de tres puntos dados.
2. Si tienes tres puntos, ¿cuántas circunferencias puedes trazar que pasen por ellos?
3. Y si solamente tienes dos puntos, ¿cuántas circunferencias puedes trazar que pasen
por ellos?
195

196. 27
cia
Justificación de la fórmula para calcular la longitud
de la circunferencia y el área del círculo (gráfica
y algebraicamente). Explicación del número π (pi)
como la razón entre la longitud de la circunferencia
y el diámetro.
Sesión 108
En esta sesión medirás el perímetro de una circunferencia.
 sabes tú?
¿Qué
r ad
io
Observa la siguiente imagen.
diámetro
c ir
círculo
nf
cu
er
en
cia
Formen parejas y propongan cómo calcular la longitud de la circunferencia (perímetro) y el área
del círculo de la imagen anterior.
¿Qué métodos se les ocurrieron y qué resultados obtienen utilizándolos?
196
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Pi en el círculo

197. Lleva a cabo las siguientes actividades.
1. Usa tu compás para trazar dos círculos distintos en tu cuaderno. Tú determinarás la medida
de los radios. Ahora mide la longitud de las circunferencias. Dos posibles formas de hacerlo son:
a) Utiliza un trozo de hilo (lo bastante largo), colócalo sobre la circunferencia y marca el
punto donde se encuentra con el extremo inicial del hilo, y ahora mide la distancia entre
este extremo y la marca que realizaste. Haz lo mismo con la otra circunferencia.
b) Recorta una copia de cada círculo. Colócala sobre el borde más largo de una hoja
de papel (como se muestra en la imagen). Marca en la hoja y en el círculo un punto
inicial. Ahora rueda el círculo sobre el borde hasta que gire completamente (lo sabrás
cuando la marca que hiciste vuelva a estar sobre el borde). Mide lo que abarcó el recorrido de la circunferencia.
Borde de la hoja
2. Para cada uno de los círculos que trazaste en tu cuaderno, mide el diámetro, el perímetro
perímetro
y calcula diámetro .
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
3. ¿Qué notas en los resultados de los dos cocientes calculados?
4, Formen equipos, comparen sus resultados y coméntelos.
¿Qué tienen en común los resultados?
197

198. B4
Sesión 109
En esta sesión aprenderás a calcular el perímetro de una circunferencia.

Manos a la obra
Para cualquier círculo este cociente da el mismo valor, el cual se denomina pi y se
representa con la letra griega π. El valor de π es aproximadamente 3.1416.
perímetro
Entonces, dado que para todo círculo tenemos diámetro = π ,
podemos calcular el perímetro del círculo con la fórmula: perímetro = π × diámetro.
1. Utilizando esta fórmula y un valor aproximado para π de 3.14, calcula el perímetro de
los dos círculos que dibujaste en la sesión anterior.
Anota los resultados en tu cuaderno.
¿Es distinto el resultado al del perímetro que habías medido?
¿A qué se podría deber la diferencia?
2. ¿Cuál es la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 10 cm?
Un dato interesante…
Las cifras decimales de π nunca terminan, y además no se puede encontrar un periodo
en ellas. Te presentamos las primeras veinte cifras de π:
3.1415926535897932384…
3. Lee el siguiente poema.
Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.
Manuel Golmayo
Este poema está dedicado al número π, ¿notas alguna relación entre el poema y el valor de π?
Comenta tu respuesta con tu grupo y con ayuda del profesor lleguen a una conclusión.
198
Versión de evaluación 23/04/12
En la sesión anterior calculaste el cociente perímetro/diámetro en círculos distintos, y notaste
que este cociente es aproximadamente 3.14.

199. S27
En esta sesión calcularás el área de círculos.
Sesión 110

Manos a la obra
1. En tu cuaderno traza con color azul un polígono regular (puede ser un triángulo, un cuadrado, un pentágono, un hexágono) y encuentra el punto medio de todos sus lados. Luego
traza una circunferencia que pase por tres de estos puntos, y ahora une con color verde los
puntos medios anteriores.
¿Cuál es el área de cada polígono que dibujaste?
¿Qué relación hay entre estas áreas y el área del círculo?
Comenten sus resultados en parejas.
2. En parejas comenten cómo obtener un valor más aproximado para el área del círculo, y con
ayuda de su profesor den una mejor aproximación.
Cuando una circunferencia pasa por todos los vértices de un polígono regular se
dice que ésta circunscribe al polígono, o que el polígono está circunscrito por la
circunferencia. Por ejemplo, el polígono verde que trazaste está circunscrito
por la circunferencia.
En cambio, una circunferencia está inscrita en un polígono regular cuando pasa
por todos los puntos medios de los lados de dicho polígono. Este es el caso
del polígono que trazaste en color azul.
Versión de evaluación 23/04/12
Lleva a cabo las siguientes actividades.
199

200. B4
Sesión 111
En esta sesión encontrarás una fórmula para calcular el área de un círculo.

Manos a la obra
Lleva a cabo las siguientes actividades.
Mide y calcula el perímetro y el área de los polígonos. Anótalos abajo de cada uno.
¿Qué sucede con los perímetros conforme aumenta el número de lados del polígono?
¿Y con el área?
¿Qué relación hay entre el perímetro de los polígonos y el perímetro de la circunferencia?
¿Qué relación hay entre el área de los polígonos y el área del círculo?
200
2. En equipos, analicen las construcciones de la sesión anterior.
Versión de evaluación 23/04/12
1. Observa la imagen.

201. S27
¿Qué sucede con los perímetros de los polígonos azules conforme aumenta el número
de lados del polígono?
¿Y con el área?
¿Qué relación hay entre el área de estos polígonos y el área del círculo?
Imagina que cada vez hay más lados en el polígono regular que está inscrito en la circunferencia. ¿Cómo será el perímetro del polígono respecto al de la circunferencia?
¿Y el área?
Una circunferencia se puede pensar como un polígono regular con una cantidad infinita de lados,
cuyo apotema coincide con el radio (en la imagen se puede notar cómo al aumentar el número de lados
del polígono el apotema es cada vez más cercana a la longitud del radio).
a
a
r
r
a
r
a
Entonces calculamos el área del círculo utilizando la fórmula del área para polígonos regulares:
Área =
perímetro × apotema
2
Pero sabemos que,
perímetro = π × diámetro
r
Versión de evaluación 23/04/12
¿Qué relación hay entre el perímetro de estos polígonos y el perímetro de la circunferencia?
apotema = radio
Así que sustituyéndolos en la fórmula de área se obtiene:
Área =
π × diámetro × apotema
2
Ahora dado que, diámetro = 2 × radio, la fórmula para calcular el área del círculo es:
Área = π × radio × radio, o lo que es lo mismo:
A = π × r2
201

202. B4
Sesión 112
En esta sesión aplicarás las fórmulas para calcular el perímetro
y el área del círculo.

Manos a la obra
Radio
Diámetro
2 cm
Perímetro
Área
2 cm
3 cm
8 cm
5 cm
Analicen los resultados de la tabla. ¿Qué sucede con el perímetro del círculo cuando se
duplica y se triplica el tamaño de su diámetro?
¿Existe una razón de proporcionalidad?
Coméntalo con un compañero.
¿Sucede lo mismo con el área?
Si el diámetro de un círculo aumenta en una unidad, ¿qué sucede con el perímetro?
Resuelvan mentalmente las preguntas siguientes.
a) Si el radio de un círculo mide 6 cm, ¿cuánto será su perímetro?
b) Si el diámetro de otro círculo mide 7 cm, ¿cuánto mide el perímetro?
Comenten sus respuestas para llegar a una conclusión, con la orientación de su profesor.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
1. Una aproximación del número π
es:
2. ¿Cuáles son las fórmulas del
perímetro y el área del círculo?
202
Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula busca los libros con las
siguientes referencias para saber más sobre este tema:
José Antonio de la Peña, “¿De dónde sale el famoso número Pi?”,
en Geometría y el mundo, México, sep-Santillana, 2002 (Libros
del Rincón).
Carlos Hernández, La geometría en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Carlos Hernández, “Perímetro del círculo”, en La geometría
en el deporte, México, sep-Santillana, 2002 (Libros del Rincón).
Luz María Marván, “Números de cuento y de película”,
en Representación numérica, México, sep-Santillana, 2002
(Libros del Rincón).
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, completen la siguiente tabla. En ella se encuentran los datos de cinco círculos
distintos. Consideren π = 3.14.

203. uen
S ec
28
cia
Regla de tres
En esta sesión resolverás problemas para encontrar el valor unitario.
 sabes tú?
¿Qué
Contesta lo siguiente.
Si se quieren comprar seis latas de rajas, ¿en cuál de las dos tiendas conviene comprar?
“Abarrotes
Don Domingo”
promoción
2x1
$6.74
“TIENDITA
DE LA ESQUINA”
Versión de evaluación 23/04/12
Análisis de la regla de tres empleando valores
enteros o fraccionarios.
Sesión 113
$5.90
APROVECHE
3x2
203

204. B4

Manos a la obra
1. Resuelve los problemas siguientes.
a) Arturo compró 4 kg de azúcar y pagó $48.00, ¿cuánto habría pagado por 2 kg?
¿Cómo obtuviste el precio para 2 kg?
¿Y para 13 kg?
b) Con $71.50 se compraron tres gorras. ¿Cuánto cuesta una gorra?
Completa la tabla.
Núm. de gorras
15
21
55
109
210
Precio
Para saber el precio de cualquier cantidad de gorras, ¿es importante conocer el valor de
¿Por qué?
una sola gorra?
¿Cómo obtuviste el valor de una sola gorra?
2. Resuelve el problema siguiente.
Nombre: Jesús
Domicilio: Central
Teléfono: 663
Cant.
#23
0543
Descripción
1
2
Precio Unitario
Importe
$32.50
5
Codos de 90°
2
Tubos de 2 pulgada, 6m
8
T de 2 pulgada
$88.00
3
Llaves de paso
$162.00
4
204
pulgada
1
1
Paquetes de soldadura
$688.00
$280.00
La siguiente nota de remisión es del material que compró Jesús para la instalación
hidráulica de su baño. El vendedor no llenó la columna de valor unitario.
a) ¿Cuánto cuesta un codo de 90° de
1 pulgada?
2
b) ¿Cuánto se pagará por 3 T de 1 ?
2
c) ¿Cuánto cuesta un metro de tubo
de 1 ?
2
d) Si se compran 2 llaves de paso y 3 paquetes de soldadura, ¿cuánto se debe
pagar?
Versión de evaluación 23/04/12
¿Y por 13 kg?

205. S28
En esta sesión resolverás problemas con la constante de proporcionalidad.
Sesión 114

Manos a la obra
1. En parejas resuelvan el problema siguiente.
Nombre
Cantidad de piezas
Pago total
Víctor
13
$195.00
Mariana
8
$120.00
Angélica
21
$315.00
Daniel
4
$60.00
a) ¿Cuánto pagaría Víctor por una sola pieza?
b) ¿Cuánto pagaría Mariana por 30 piezas?
c) Si se sabe la cantidad de piezas adquiridas, ¿cómo se puede determinar la cantidad a
pagar?
e) Gabriela pagó $270.00 por todas las piezas adquiridas. ¿Cuántas piezas compró?
f) Si se conoce la cantidad pagada, ¿cómo se puede determinar la cantidad de piezas
adquiridas?
Dados dos números a y b, al cociente a se le denomina la razón
b
de a respecto a b.
Dos razones están en proporción si los cocientes respectivos
son equivalentes, esto es:
a = c = constante de proporcionalidad.
b d
Los términos a y d se denominan extremos, y los términos b y c
se denominan medios.
Versión de evaluación 23/04/12
En la tabla se muestra la cantidad de piezas del mismo modelo adquiridas por cada persona y lo que pagaron en total.
En toda proporción se cumple que el producto de los extremos es
igual al producto de los medios, o lo que es lo mismo, a d = b c.
205

206. B4
2. Resuelve los problemas.
a) Rosalba compró 3 kg de azúcar en $57.00, y su mamá compró 5 kg, ¿cuánto pagó la
mamá de Rosalba por el azúcar que compró?
Cantidad
de tacos
Cantidad a cobrar
(pesos)
1
2
3
5
10
60
204
c) Gonzalo y Felipe corrieron a la misma velocidad. Gonzalo corrió 12 km en 48 minutos,
¿en cuánto tiempo corrió Felipe 7 km?
d) Ana, Jesús y Lizbeth tienen el mismo rendimiento de gasolina en sus autos. El auto de
Ana consumió 15 litros de gasolina al recorrer 135 km, Lizbeth recorrió en su auto
99 km, y el auto de Jesús consumió 9 litros de gasolina en su recorrido, ¿cuántos litros
de gasolina consumió el auto de Lizbeth?
La regla de tres es una manera de resolver problemas con valores relacionados en proporción directa,
ésta se denota como a:b : : c:d
también se representa como a = c que es igual que ad = bc
,
b d
La regla de tres se aplica cuando se conocen tres valores y necesitamos averiguar un cuarto, y se basa
en el hecho de que en una proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
Por ejemplo, en los autos del problema anterior, el gasto de gasolina está en proporción directa con
los kilómetros que se recorren.
Para saber qué distancia recorrió Jesús en su automóvil con 9 litros de gasolina formamos la siguiente
proporción:
Lizbeth
15 L =
135 km
Jesús
9 L
x km
De acuerdo con la propiedad de las proporciones que establece que a d = b c, sustituimos los datos
y tenemos que:
15x = 135(9)
Se forma una ecuación
x = 135 (9)
15
Se resuelve la ecuación
x = 81
Jesús recorre 81 km con 9 L de gasolina.
206
Versión de evaluación 23/04/12
b) Juan es taquero, y para no equivocarse al hacer las cuentas y determinar la cantidad de
dinero que debe cobrar, decidió elaborar una tabla, sólo que no la concluyó. Escribe los
valores que faltan.

207. S28
Ensalada de atún
3. Contesten en parejas.
a) Para preparar este platillo para 6 personas, ¿cuántas latas de atún se
necesitan?
(4 porciones)
2 latas de atún
b) Para 20 personas, ¿cuántos kilogramos de lechuga se necesitan?
250 gramos de lechuga
c) En la familia de Reyna prepararon la receta y ocuparon 30 jitomates,
4 jitomates
¿para cuántas porciones alcanzará la ensalada?
4. En equipos, comenten cómo encontraron las respuestas a los problemas
de la sesión.
En esta sesión resolverás problemas encontrando el valor faltante en
una proporción.

Manos a la obra
1. Analiza el procedimiento propuesto y después responde lo que se te pide.
Para transportar a 124 personas se requieren 4 autobuses. Si se emplearon 7 autobuses,
¿cuántas personas se transportaron?
Lo que se tiene es una proporción directa, y para encontrar el valor faltante se multiplican
extremo por extremo y medio por medio.
(124) (7) = (x) (4)
868 = 4 x
Se resuelve la ecuación
Sesión 115
x = 868
4
Se forma una igualdad (ecuación)
Versión de evaluación 23/04/12
4 zanahorias
x = 217
Entonces, en 7 autobuses se transportaron 217 personas.
207

208. B4
La información anterior también se puede representar de las siguientes maneras:
b) 4 autobuses son a 124 personas como 7 autobuses son a x personas
124 : 4 : : x : 7
4 : 124 : : 7 : x
¿Se colocaron los valores en cualquier orden ?
¿Por qué?
¿Qué valores son los extremos en el inciso b?
¿Qué valores son los medios en el inciso b?
Para la forma representada en el inciso a), 124 y 7 son los extremos, mientras que x y 4 son
los medios.
Una forma más de expresar lo anterior es:
124 : 4
x : 7
Si aumentan las personas, ¿aumentará la cantidad de autobuses?
En una proporción se tiene a : b : : c : d
(se lee: a es a b como c es a d)
Si disminuye la cantidad de personas, ¿qué sucederá con la cantidad
de autobuses?
2. Lee los siguientes problemas y contesta las preguntas.
a) Por 3 árboles frutales del mismo precio Ernesto pagó $270. Laura también compró de
los mismos tipos de árboles. Si terminó pagando $630, ¿cuántos árboles frutales compró Laura?
¿Cómo plantearías la proporción?
¿Cuál es la ecuación que se forma?
Encuentra la solución y escribe un enunciado con tu respuesta.
b) Para recorrer 85 kilómetros se emplearon 17 litros de gasolina. Si en total se emplearon
25 litros de gasolina, ¿cuántos kilómetros se recorrieron?
c) Para construir 5 m2 de pared se emplean 140 tabiques; con 476 tabiques, ¿cuántos
metros cuadrados de barda se pueden construir?
En equipos, comparen sus procedimientos y sus resultados.
208
Versión de evaluación 23/04/12
a) 124 personas son a 4 autobuses como x personas son a 7 autobuses

209. S28
En esta sesión resolverás problemas aplicando lo aprendido en las
sesiones anteriores.
Sesión 116

Manos a la obra
a) En un edificio todos los departamentos tienen la misma cantidad de puertas. Si para 5
departamentos se colocaron 24 puertas y el edificio tiene 24 departamentos, ¿cuántas
puertas se deben colocar?
b) Por 200 gramos de jamón se pagaron $25, ¿cuánto se deberá pagar por 750 gramos?
c) De un terreno de 8 hectáreas se cosecharon 72.8 toneladas de aguacate, ¿cuántas
toneladas de aguacate se cosecharán en 15.7 hectáreas?
d) Si el rendimiento de un automóvil es de 18 kilómetros por litro de gasolina, ¿cuántos
kilómetros recorrerá ese automóvil con 2 litros de gasolina?
¿Cuál es la expresión algebraica que permite calcular la distancia recorrida para cualquier cantidad de litros de gasolina?
¿Cuál es la constante de proporcionalidad que permite encontrar el consumo de gasolina a partir de la distancia que se recorre?
¿Cuál es la expresión algebraica que corresponde a esta situación de proporcionalidad?
Consulta en…
Entra al sitio:
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_proporcionalidad/index_1quincena6.htm, ahí podrás conocer más y resolver ejercicios sobre
proporcionalidad.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
1. María fue de vacaciones a Acapulco en su camioneta. Desde su casa recorrió 522 kilómetros y gastó 63 litros de gasolina. En cambio Pepe, en su automóvil, gastó 21 litros de
gasolina para recorrer los 190 kilómetros que lo separaban de Cuernavaca.
¿El rendimiento de estos vehículos es proporcional?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Resuelve en tu cuaderno los siguientes problemas.
Explica por qué.
2. Si el auto de Javier tiene el mismo rendimiento que la camioneta de María, ¿cuánta
gasolina necesitará para recorrer los 28.8 kilómetros de la avenida Insurgentes, que es la
más extensa de la ciudad de México?
209

210. 29
cia
Análisis de los efectos del factor inverso en una
relación de proporcionalidad, en particular
en una reproducción a escala.
Sesión 117
En esta sesión trabajarás con problemas de escalas.
 sabes tú?
¿Qué
1 : 18
24 cm
1 : 24
18 cm
Existen varios objetos que se realizan a escala con fines
diversos. Por ejemplo, los mapas cartográficos, las maquetas que utilizan los arquitectos o los autos a escala. En
la imagen de al lado se muestran las principales escalas
usadas en autos, y una medida aproximada.
Si se hiciera un modelo a tamaño real, ¿a qué escala estaría?
¿En la imagen, a qué escala está el primer auto con res-
1 : 43
10 cm
pecto al último?
1 : 64
7 cm

Manos a la obra
1. Contesten en parejas.
Si el auto a escala 1:64 mide aproximadamente 7 cm de largo, ¿cuál es la medida aproximada del auto original?
¿Cuánto medirían los autos de las otras escalas?
Además de estas escalas, también se utiliza la escala 1:87, ¿cuál sería el tamaño del auto
en esta escala?
Comparen sus resultados con los de otras parejas.
210
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Proporcionalidad
utilizando escala

211. En esta sesión continuarás trabajando con escalas en distintos contextos.
Sesión 118
1. La siguiente imagen muestra el dibujo de un chip, hecho a una escala de 10:1 cm.
5 cm
¿De qué tamaño es el chip real?
¿Cuál es la diferencia entre la escala utilizada en este
dibujo y las que emplearon en los autos de la sesión
anterior?
¿Cómo calculas la razón de proporcionalidad a partir
10 cm
de la escala?
¿Cuál es la razón de proporcionalidad en este caso?
Si a partir del dibujo anterior se hiciera una réplica que
coincidiera en medidas con el chip real, ¿cuál sería la
escala del segundo dibujo, respecto del primero?
¿Cuál sería la razón de proporcionalidad?
10 : 1 cm
¿La multiplicación de ambas razones de proporcionalidad es igual a uno?
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
¿Por qué?
¿Cuál sería la escala del segundo dibujo respecto del
chip original?
Comenten sus respuestas con sus compañeros.
El producto de dos números recíprocos siempre es uno. Por ejemplo,
7 multiplicado por su recíproco 1 es igual a 1, y 2 multiplicado
7
3
por su recíproco 3 es igual a 1.
2
211

212. B4
Sesión 119
En esta sesión aplicarás lo aprendido en las sesiones anteriores.

Manos a la obra
1. Contesten en parejas.
a) ¿Cuánto mide su altura?
b) Si se conserva el valor del área del rectángulo pero la base midiera 12 cm, ¿cuántos
centímetros medirá su altura?
c) Si ahora la base del rectángulo midiera 8 cm de longitud y conservara la misma área,
¿cuántos centímetros medirá su altura?
d) ¿Habría alguna relación de escala entre estos rectángulos?
Comenta tus respuestas con tus compañeros.
2. Resuelve esta actividad de manera individual.
La siguiente es una imagen de una habitación hecha
a escala 1:12.
a) ¿Cuánto mide la habitación real?
b) ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?
200 mm
c) Si quisieras colocar una réplica tuya en la habitación, ¿cuánto mediría de estatura?
Si quisieras hacer la habitación con las medidas originales, ¿a qué escala la harías, tomando como base
la habitación de la imagen?
127 mm
¿Cuál es la relación entre ambas escalas?
160 mm
En grupo, analicen las respuestas de esta actividad
y obtengan una conclusión.
Consulta en…
Entra al sitio http://vela.sep.gob.mx/index.php/primero y selecciona la materia
Matemáticas para ver el video “Proporcionalidad inversa”.
212
Versión de evaluación 23/04/12
Se sabe que un rectángulo tiene un área de 24 cm2 y que su base mide 6 cm de longitud.

213. S29
En esta sesión aplicarás una proporción para ir de una escala a otra.
Sesión 120

Manos a la obra
1. En equipos, realicen la siguiente actividad.
¿A qué escala está el mapa?
Midan la distancia entre dos puntos del mapa, ¿qué distancia encontraron?
¿Cuál es la distancia real entre estos puntos?
Si en el mapa dibujas un cuadrado con lados de 1 cm, ¿cuál sería el área real de la región
que abarca el cuadrado?
Comparen y comenten sus resultados con otros equipos.
2. Responde las siguientes preguntas.
Si hicieras una estatua tuya, ¿de qué tamaño la harías?
¿Qué escala usarías?
Si se hiciera una réplica de tu estatua al doble del tamaño, ¿cuál sería la escala con respecto a la estatua original?
¿Y cuál sería su escala con respecto a ti?
Comenta tus respuestas con un compañero.

Autoevaluación
Responde lo siguiente, completando la afirmación para que sea verdadera.
Versión de evaluación 23/04/12
En su libro de Geografía ubiquen un mapa a escala.
1. El producto de dos números recíprocos es:
2. Un busto que mide 84 pulgadas de altura está hecho a una escala 7:1 pulgadas, ¿cuál es
su medida original en centímetros?
3. El muñeco de un superhéroe está hecho a una escala 1:7 pies, ¿cuál es su estatura
original en metros?
213

214. uen
S ec
Resolución de problemas de conteo mediante
diversos procedimientos. Búsqueda de recursos
para verificar los resultados.
Sesión 121
En esta sesión aprenderás a enumerar todos los resultados posibles
de una situación.
 sabes tú?
¿Qué
alhua
c án
c io
Pala
nte
34
30
33
34
26
25
Br av
o
O te
llegar a la tienda?
3
Croquis
Chim
alhua
este nuevo recorrido?
c án
c io
Pala
34
nte
lc o
V ic e
30
26
34
33
A
27
Vall
31
30
29
28
25
ina
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Ilhu
Cha
31
29
25
26
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Br av
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O te
Ri va
23
33
22
32
30
31
29
28
27
26
25
Ilhu
23
ic am
22
ina
21
19
Marca en la imagen, con color naranja, el recorrido que
hizo alguno de tus compañeros. ¿Por qué calles pasa
Croquis 1
214
Realiza la siguiente actividad.
En este recorrido, ¿por qué calles pasa Adriana para
e de
31
30
29
28
27
Ilhu
Vall
Adriana vive cerca del centro de Ciudad Nezahualcóyotl,
en la esquina que forman las calles 25 y Valle de Bravo.
Ella va a la tienda que se encuentra en la calle 32 esquina
con Chalco. El mapa muestra el recorrido que ayer hizo
Adriana para ir a la tienda.
a) Sobre la imagen anterior marca con rojo otro recorrido
que podría hacer Adriana para ir de su casa a la tienda.
31
29
lc o
V ic e
25
26
A
ina
ic am
Cha
T
Ri va
23
33
22
32
30
31
29
28
27
26
25
Ilhu
23
ic am
22
ina
21
19
Chim
3
Casi todas las calles de Ciudad Nezahualcóyotl son
rectas, por lo que es posible representar el recorrido
que hizo Adriana de su casa (A) a la tienda (T), como
muestra el croquis 1.
Versión de evaluación 23/04/12
30
cia
Problemas de conteo

215. 19
Chim
28
Pala
nte
31
V ic e
29
30
26
Vall
e de
Br av
o
O te
31
30
29
28
27
Ilhu
25
34
33
A
ina
ic am
lc o
Ri va
33
34
25
26
de cuadras?
Marquen esos recorridos de distintos colores en el
croquis 2.
Cha
T
3
Croquis 2

Manos a la obra
1. Contesten en parejas.
Una pareja de alumnos señaló el recorrido que siguió Adriana en color naranja y otra en
color rosa, como sigue:
19
ina
Chim
c io
31
34
e de
Br av
o
O te
Ri va
V ic e
lc o
33
Cha
nte
34
33
Pala
32
31
29
30
3
Vall
31
30
O te
29
o
30
29
28
25
26
23
ic am
25
26
1E
28
Br av
T
1N
A 3E
27
e de
Ilhu
34
31
30
29
28
27
Vall
Pala
nte
33
26
2E
1S
V ic e
lc o
3E
1N
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33
Cha
ina
31
30
A 1E
25
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T
1N
29
25
2S
26
1N
22
c io
31
29
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23
22
ina
ic am
Ilhu
c án
27
25
28
2E
Croquis pareja 1
alhua
26
23
ic am
22
c án
Ilhu
26
1N
alhua
27
25
Ilhu
23
21
Chim
ic am
22
ina
21
19
2E
Versión de evaluación 23/04/12
c io
31
32
30
29
23
¿Cuántos recorridos diferentes hay con este número
Comparen su solución con las de los otros equipos.
c án
26
22
¿Cuántas cuadras tiene ese recorrido?
alhua
27
25
Ilhu
23
ic am
22
ina
21
b) Encuentren en el croquis 2 un recorrido en el que
Adriana camine el menor número de cuadras para
llegar a la tienda (T) y represéntenlo.
3
Croquis pareja 2
a) ¿Puede llegar Adriana a la tienda siguiendo el camino 2N, 5E, 2S, 1N?
Utilicen las letras N, S y E para representar en su cuaderno los recorridos que puede
hacer Adriana para ir de su casa a la tienda caminando el menor número de cuadras.
215

216. alhua
c án
c io
Pala
33
34
26
25
e de
Br av
o
O te
31
30
29
28
27
Ilhu
Vall
Utiliza el código de las letras N, S y E para representar en tu cuaderno los recorridos más cortos
que puede hacer Jessica.
3
Croquis 3
Chim
alhua
3. Consideren el croquis 4. Si alguien vive en la esquina
c án
27
26
25
Ilhu
23
ic am
22
ina
21
19
A los recorridos que constan del menor número
de cuadras se les llamará “recorrido óptimo”.
c io
Pala
nte
34
30
lc o
31
29
26
27
Vall
31
30
29
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25
34
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ina
ic am
Ilhu
Cha
V ic e
25
26
T
menor número de cuadras?
Ri va
33
22
32
30
31
29
28
diferentes puede llegar a la tienda (T) caminando el
23
?
de las calles 23 y Valle de Bravo, ¿de cuántas formas
e de
Br av
o
O te
3
Croquis 4
Al encontrar cuántas formas diferentes hay de realizar un recorrido se está resolviendo
un problema de conteo. En los problemas de conteo es conveniente utilizar una manera
de distinguir un resultado de otro.
Por ejemplo, en el caso de Adriana se puede diferenciar un camino de otro si cada uno
de ellos se distingue con un símbolo, una letra o un nombre. Una manera de representar
uno de los ocho recorridos óptimos que Adriana puede hacer es: 1E, 1N, 6E.
Esta manera de resolver problemas de conteo se llama “procedimiento de enumeración”.
216
Versión de evaluación 23/04/12
nte
34
30
¿Cuál es el menor número de cuadras que debe
caminar Jessica para ir de su casa a la tienda (T)?
c) ¿De cuántas formas diferentes puede ir de su casa a
la tienda caminando el menor número de cuadras?
31
29
lc o
V ic e
25
26
ina
ic am
Cha
T
b) Jessica (J) es prima de Adriana y vive en la esquina
de la calle 28 y Chimalhuacán. Utilicen el croquis 3
para contestar las preguntas.
Ri va
23
33
22
32
30
31
29
28
27
26
25
Ilhu
23
Chim
J
ic am
22
ina
21
19
B4

217. S30
Sesión 122
En esta sesión utilizarás tablas de doble entrada como recurso
para ordenar y contar datos.

Manos a la obra
La Delicia Chocolatería
En la chocolatería La Delicia elaboran chocolates de diferentes tipos, formas y rellenos. Cuando alguien hace un
pedido, el vendedor debe llenar un formato como el siguiente:
a) ¿Habrá más de diez chocolates diferentes?
¿Más de veinte?
Cliente:
Pedido:
Precio:
Fecha de entrega:
Marcar la opción deseada
Barra
Forma
¿Más de cuarenta?
b) ¿Cuántos chocolates diferentes pueden elaborarse en
La Delicia?
Bolitas
Oscuro
Tipo de chocolate
Blanco
Amargo
Compara tus respuestas con las del resto del grupo.
Nuez
Relleno
Almendras
Cacahuate
2. En parejas, completen las siguientes tablas.
a) ¿Cuántas variedades de chocolates en forma de bolita
hay de chocolate amargo?
b) ¿Cuántas variedades hay de chocolate oscuro con relleno de nuez?
c) Si alguien pide un chocolate con relleno de almendra,
¿entre cuántas variedades de chocolate puede elegir?
d) Observen las tablas. En la primera casilla de cada tabla está identificada la forma del chocolate, de la segunda columna en adelante están los rellenos, y del
segundo renglón hacia abajo, los tipos. Si en vez
de construir las tablas a partir de la forma del chocolate se construyen a partir de los diferentes tipos,
¿cuántas tablas tendrían que hacerse?
Elabórenlas en su cuaderno.
Chocolate
en barra
Relleno
nuez
(n)
Oscuro (O)
O-n
Blanco (B)
Relleno
Relleno
almendras cacahuate
(a)
(c)
B-a
Amargo (A)
Chocolate
en bolitas
Relleno
nuez
(n)
Relleno
Relleno
almendras cacahuate
(a)
(c)
Oscuro (O)
Blanco (B)
Amargo (A)
Versión de evaluación 23/04/12
1. Contesta lo siguiente.
A-a
.
e) ¿Cambia el número total de variedades de chocolate?
¿Por qué?
Analicen sus resultados con ayuda del profesor.
217

218. B4
Sesión 123
En esta sesión utilizarás como recurso de conteo el diagrama de árbol.

Manos a la obra
1. En parejas, completen el siguiente diagrama de árbol.
Forma
Relleno
Nuez
Bolitas
Obscuro
Chocolate
Blanco
a) ¿Cuántos chocolates diferentes de tipo amargo se pueden elaborar?
b) ¿Cuántos chocolate diferentes se pueden elaborar con relleno cacahuate?
Un diagrama
de árbol es un
recurso que
permite visualizar
y enumerar todos
los resultados de
un problema de
conteo. Los
diagramas de
árbol están
compuestos por
niveles y ramas.
218
c) ¿Cuántos chocolates diferentes se pueden elaborar en forma de barra?
d) ¿Cuántos chocolates diferentes se pueden elaborar?
e) ¿Obtuvieron el mismo número de chocolates diferentes con las tablas y con el diagrama
de árbol?
f) El diagrama de árbol anterior tiene tres niveles, uno por cada uno de los conjuntos que
definen las características del chocolate, ¿cuál de las tres características del chocolate
se utiliza en el primer nivel del árbol?
g) Supongan que en La Delicia tienen un nuevo relleno: cajeta. ¿Cuántos chocolates distintos podrían elaborarse ahora? Elaboren en su cuaderno el diagrama de árbol que
represente esta situación.
Versión de evaluación 23/04/12
Tipo

219. S30
2. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
La Delicia puede decorar los chocolates con dos ingredientes: café o azúcar glass.
Ahora los ha incluido en el formato de pedidos.
b) ¿Qué recurso les parece más conveniente utilizar para resolver este problema, el diagrama de árbol o las tablas? Empléenlo para resolver este problema en su cuaderno.
Las tablas y los diagramas de árbol son dos recursos para encontrar de
manera sistemática todos los resultados posibles en un problema de conteo.
En ambos casos se ha hecho uso de códigos para enumerar los diferentes
resultados. Cuando se realiza un conteo de modo sistemático, el resultado
será siempre el mismo, no importa el recurso que se utilice.
3. De los caracteres que los seres vivos heredan hay algunos que son dominantes y otros recesivos. Por ejemplo, en tu familia, ¿cuál color de ojos es un carácter dominante?,
¿cuál color de ojos es un carácter recesivo?
4. Supón que en cierto tipo de maíz, el blanco es un carácter dominante y el azul es recesivo. Identifica el
blanco con BB (dos letras porque la información de la
herencia biológica se transmite en pares) y el azul con
aa. Si en la primera generación se cruzan una planta
de maíz blanco y otra de maíz azul, tendrás la siguiente
tabla:
En esta generación todo el maíz que se cosecha es
blanco porque B representa al carácter dominante.
Una planta Ba indica que el maíz es blanco, pero lleva
información del maíz azul (aunque no se manifieste).
La única manera de que el maíz sea azul, por ser carácter recesivo, es cuando ambas letras son aa.
Si se toman dos de los cuatro descendientes y se cruzan, ¿de qué color será el maíz? Averígualo completando la tabla:
Planta BB
(blanco)
Planta aa (azul)
a
a
B
Ba
Ba
B
Ba
Ba
Planta
Ba
B
Planta Ba
B
a
Versión de evaluación 23/04/12
a) ¿Cuántas opciones distintas de chocolates ofrece ahora La Delicia?
a
a) ¿Cuántas plantas dan maíz blanco? (recuerda que
son las que por lo menos tienen una letra B)
b) ¿Cuántas plantas dan maíz azul (aa)?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
219

220. B4
Sesión 124
En esta sesión resolverás un problema de conteo utilizando diferentes
recursos para hacer el recuento.

Manos a la obra
Una aerolínea cubre los siguientes destinos turísticos del país: ciudad de México,
Guadalajara, Monterrey, Huatulco, CanMonterrey
cún. La aerolínea ofrece vuelos directos;
por ejemplo, va de Guadalajara a Cancún
Cancún
Guadalajara
sin hacer escalas, ¿cuántos viajes diferentes ofrece la aerolínea?
Cuidad de
México
Compara tus respuestas con las de tus
compañeros.
Huatulco
Ciudad de salida
Ciudad de llegada
2. En parejas, realicen lo que se les pide.
a) Completen la tabla.
b) Si una persona sale de Monterrey, viajando en esta aerolínea, ¿a cuántos
destinos diferentes puede llegar?
c) Si una persona llega a Huatulco, ¿de
cuántas ciudades diferentes pudo haber salido?
d) En total, ¿cuántos viajes diferentes
hay?
220
Versión de evaluación 23/04/12
1. Contesta lo siguiente.

221. S30
3. La aerolínea ha decidido dar servicio a la ciudad de Los Cabos.
a) ¿Cuántos viajes diferentes ofrece ahora la aerolínea?
Un equipo empezó a resolver el problema mediante el siguiente diagrama de árbol.
b) Complétenlo en su cuaderno.
Huatulco
Ciudades de llegada
Guadalajara
Monterrey
Cancún
México
Avión
4. En equipos, contesten lo siguiente.
a) ¿Cuántos niveles tiene el diagrama de árbol?
b) ¿A qué corresponde cada nivel?
c) ¿Cuántas ramas tiene el primer nivel?
d) ¿A qué corresponde cada rama?
e) ¿Cuántas ramas tiene el segundo nivel?
f) ¿A qué corresponde cada rama?
g) Consideren una ciudad como punto de salida, ¿cuántas opciones
diferentes de viaje hay?
h) Si hay cinco ciudades como punto de salida, ¿cuántas opciones
diferentes de viaje hay?
i) ¿Qué relación encuentran entre el número de ciudades de salida,
el número de ciudades de llegada y el total de viajes que se pue-
Resultados viaje
Versión de evaluación 23/04/12
Ciudades de salida
Huatulco-Monterrey
Para determinar el número total
de viajes que la aerolínea ofrece se
puede multiplicar el número de
ciudades de salida por el número
de ciudades de llegada. Por ejemplo,
si hay cuatro ciudades de salida y
tres ciudades de llegada el número
total de viajes es 4 × 3 = 12.
den realizar?
221

222. B4
Sesión 125
En esta sesión resolverás problemas de conteo a partir de reconocer algunas
regularidades y de utilizar distintos recursos y diferentes estrategias.

Manos a la obra
a) Ahora la aerolínea da servicio a siete ciudades del país. ¿Cuántos viajes diferentes
ofrece la aerolínea?
b) La aerolínea ahora da servicio a diez ciudades. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece?
c) Otra aerolínea tiene como destinos las capitales de los 31 estados del país y la ciudad
de México. ¿Cuántos viajes diferentes ofrece esta otra aerolínea?
Los diagramas de árbol y las tablas son recursos que ayudan a encontrar todas y cada
una de las opciones existentes en un problema de conteo. En ocasiones la multiplicación
es la operación que permite encontrar el número total de opciones existentes.
2. Enrique necesita ponerle una clave a su celular para
que nadie pueda ver las fotos que guarda en él. La
clave debe tener dos cifras y ninguna de las dos puede
ser 0 y deben ser diferentes entre sí.
a) ¿Qué números puede utilizar Enrique como primera
cifra?
¿Cuántos son en total?
3. En parejas, resuelvan el problema siguiente.
Para tener una mayor seguridad Enrique decide que,
en lugar de dos dígitos, su clave tenga tres dígitos,
ahora sí puede utilizar el 0 y repetir dígitos. Supongan
que el primero debe elegirse de los números del 5 al
8, el segundo tiene que ser 1 o 2 y el tercero es menor
que 5.
a) ¿Cuántas claves distintas se pueden formar?
b) Si la primera cifra fuera 8, ¿qué números podría
utilizar como segunda cifra?
¿Cuántos son en total?
c) Entonces, ¿qué números de dos cifras pueden
b) Elaboren tablas de doble entrada para representar
los resultados.
c) ¿Cuántas claves para el celular inician con 51?
ser el número de la clave del celular de Enrique?
¿Cuántos pares de números existen
en total que cumplen con las condiciones del problema?
222
d) ¿Cuántas claves terminan con 0?
e) ¿Cuántas claves tienen el mismo número en los
tres dígitos?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, contesten las siguientes preguntas, considerando la información de la sesión
anterior.

223. S30
Sesión 126
En esta sesión aprenderás a leer e interpretar un diagrama de árbol.

Manos a la obra
1. El siguiente diagrama de árbol muestra algunas de las posibles placas de identificación
vehicular que se pueden formar utilizando únicamente dos dígitos en cada una. Complétenlo en su cuaderno.
Primer dígito
Versión de evaluación 23/04/12
En parejas, realicen lo que se indica.
ALN–81 _ _
ALN–8111
1 2
ALN–8112
1 3
ALN–8113
4
4
1 1
3
3
Posibles placas
2
2
Combinación dígitos
1
1
Segundo dígito
1 4
ALN–8114
5
1 5
ALN–8115
6
1 6
ALN–8116
7
1 7
ALN–8117
8
1 8
ALN–8118
9
1 9
ALN–8119
5
6
7
8
9
a) Contesten las siguientes preguntas.
El resultado (2,1) significa que
b) De esas placas, ¿en cuántas
se cumplen las siguientes condiciones?:
en la placa se tiene el 2 en el
•• Los dígitos se repiten.
primer dígito, ¿qué número tie-
•• En el primer dígito hay un
ne en el segundo dígito?
número mayor que en el
¿Qué significa el resultado
segundo.
(1,2)?
¿Y el resultado (6,6)?
•• En el primer dígito hay un
c) Comparen sus respuestas con
las de sus compañeros y contesten lo que se les pide.
¿Cuántas placas hay en las
que ambos dígitos son números impares?
¿Y cuántas en las que ambos
dígitos son pares?
número par.
¿Cuántas placas distintas puede haber?
223

224. B4
2. Del diagrama de árbol se ha tomado el siguiente conjunto de resultados:
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (4,0).
¿Qué característica tienen en común estos resultados?
¿Qué característica tienen en común los siguientes conjuntos de resultados?
b) (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)
c) (1,3), (2,2), (3,1)
d) (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Comenten con el grupo sus resultados.
Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula busca las siguientes referencias para conocer otros
ejemplos de problemas de conteo:
Akiro Nozaki, Trucos con sombreros, México, sep-fce, 2005 (Libros del Rincón).
Mitsumasa Anno, El jarrón mágico. Una aventura matemática, México, sep-Editorial
Juventud, 2005 (Libros del Rincón).

Autoevaluación
Completa lo que se te pide.
1. Un recurso que permite visualizar y enumerar todos los resultados de un problema de
conteo es:
2. ¿Qué palabras de cuatro letras se pueden crear con las letras de la palabra A M O R?
¿Cuáles de esas palabras tienen un significado?
224
Versión de evaluación 23/04/12
a) (1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)

225. 31
cia
Lectura de información representada en gráficas de barras
y circulares, provenientes de diarios o revistas y de otras
fuentes. Comunicación de información proveniente de estudios
sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada.
Sesión 127
En esta sesión reconocerás algunos tipos de gráficas.
 sabes tú?
¿Qué
Una forma de presentar la información para que sea analizada de manera visual es mediante
gráficas. Las más sencillas son la gráfica de barras y la gráfica circular. En ellas se muestra
el comportamiento de los datos de la población que se está estudiando.
Los diferentes medios de comunicación, como los periódicos y las revistas, utilizan las gráficas
de barra y circular para mostrar a los lectores el comportamiento de diferentes noticias o
investigaciones que realizan, ya sea de manera impresa o electrónica. Ejemplo de ello son
las gráficas siguientes.
Fuente: El economista.mx
REVISTA DEL CONSUMIDOR • MARZO 11 43
¿Con qué frecuencia los niños de
3 a 12 años consumen cereales?
37% 50%
Diario
9%
3%
De 2 a 3
Cada Cada mes
veces por semana
semana
1%
Nunca
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Tipos de gráficas
¿Cuál es la razón principal por la
que compras cereales a los niños?
42% Los niños lo piden (les gusta)
33% Por sus propiedades alimenticias (son nutritivos)
7% Para que desayunen los niños
5% Para darle variedad al desayuno
3% Por costumbre
10% Es práctico (fácil preparación)
Fuente: Revista del Consumidor.
225

226. B4
1. Observa las gráficas y contesta la pregunta siguiente.
a) ¿Qué tema muestran cada uno de los gráficos?
a) Cada uno de los miembros del equipo escojan una de las imágenes anteriores, obsérvenla, analícenla y, con sus palabras, expliquen al resto del equipo lo que la gráfica
informa.

Manos a la obra
1. En parejas, observen la gráfica y contesten.
De acuerdo con la Encuesta Nacional sobre Prácticas de Lectura 2006, el promedio de libros leídos por los alumnos de cuarto a sexto de primaria y de secundaria según el servicio
educativo es de 3.6 a nivel nacional.
Promedio de libros leídos
4.8
5
4.1
3.6
4
3
2.5
2.4
1.7
2
2.3
1
ia
nd
cu
se
Te
le
ar
nd
cu
Se
ar
nd
cu
Se
ar
ni c
Té
c
ia
Ge
ia
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a
l
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o
ad
gr
lt i
Mu
ia
ar
im
Pr
Pr
im
ar
ia
Na
Ge
c io
ne
na
ra
l
l
0
a) En promedio, ¿qué alumnos leen más libros?
b) ¿Cuál es la diferencia entre el mayor promedio de lectura y el promedio nacional?
c) ¿Qué promedio de libros leídos tiene el servicio educativo que menos lee?
d) Al comparar sólo el nivel de secundaria, ¿en qué lugar se ubica el promedio de lectura
de la telesecundaria?
226
Versión de evaluación 23/04/12
2. En equipos de cuatro integrantes, realicen la actividad siguiente.

227. S31
2. La siguiente gráfica muestra información sobre el promedio de libros leídos por los alumnos
de cuarto a sexto de primaria y de secundaria, agrupados por rangos de edad.
1.9
De 8 a 11 años
4.5
De 12 a 15 años
De 16 años y más
2.9
a) ¿En qué grupo de edad se presenta el mayor promedio de libros leídos?
b) ¿Qué grupos de edad presentan un promedio mayor al nacional?
c) ¿Qué promedio de libros leídos presenta el grupo de edad de 8 a 11 años?
Versión de evaluación 23/04/12
Promedio de libros leídos por grupos de edad
227

228. B4
Sesión 128
En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas de barras.

Manos a la obra
Un documento del Instituto Mexicano de Cinematografía presenta toda la información pertinente sobre el desarrollo anual del cine mexicano. La siguiente tabla muestra la asistencia
al cine por día de la semana.
El miércoles el precio promedio de la entrada fue 18% menor respecto al precio habitual.
Distribución de asistencia
30%
26%
25%
21%
20%
15%
15%
10%
8%
14%
7%
8%
5%
o
ng
mi
ba
Sá
Do
do
es
rn
V ie
es
ev
Ju
le s
Mi
ér
co
s
r te
Ma
Lu
ne
s
0%
Fuente: IMCINE, con datos de Rentrak / Anuario estadístico 2010.
a) ¿Qué porcentaje de asistencia se presentó el fin de semana en los cines?
b) ¿Qué día se presenta el mayor número de asistentes?
c) El miércoles se presenta un 15% de asistencia. ¿Podrías justificar el motivo?
En grupo, comparen sus respuestas.
228
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, resuelvan el problema siguiente.

229. S31
2. Observa la siguiente gráfica y contesta.
Películas mexicanas con mayor número de espectadores. 2000–2010
5.2
5
4.0
4
3.2
3.1
3.0
2.9
2.5
2.4
2
1
a
a
v id
a
el
am
Ar
rá
nc
mi
La
tú
es
er
sm
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a
oy
lun
yo
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ur
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31
s
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líc
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Un
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Am
re
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lp
n
0
de
en
im
3.3
3
Ot
ra
pe
El
cr
3.5
Fuente: IMCINE, con datos de Rentrak / Anuario estadístico 2010.
a) ¿Cuál es la película con mayor audiencia?
b) ¿Cuál es la diferencia en audiencia entre la película más vista y la menos vista?
En una gráfica de barras, la altura de cada barra es la cantidad que representa. Su principal
finalidad es comparar datos de las distintas categorías de información. Para comparar categorías es recomendable ordenar las frecuencias, ya sea en orden ascendente o descendente.
Versión de evaluación 23/04/12
Espectadores en millones
6
229

230. B4
Sesión 129
En esta sesión resolverás problemas utilizando gráficas circulares.

Manos a la obra
Convivencia social
Asistencia a eventos
culturales, deportivos
y de entretenimiento
28.1
59.0
Participación en juegos
y aficiones
Deportes y ejercicio físico
2.1
6.7
Utilización de medios
masivos de comunicación
4.2
Fuente: INEGI, Encuesta Nacional de Uso del Tiempo 2009.
¿A qué actividad le dedican más tiempo?
¿A qué actividad le dedican menos tiempo?
A la gráfica circular se le llama también “de pastel”, o diagrama de sectores, y se
construye empleando la frecuencia relativa (fracción o número decimal) de cada dato.
Al sumar los porcentajes de todos los sectores siempre da como resultado 100%.
Consulta en…
Explora los siguientes sitios para conocer otras interesantes gráficas de estadísticas:
http://eleconomista.com.mx/industrias/2012/01/26/buen-fin-impulsa-ventas-minoristas-mexico
http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/05/estudio-cereales2.pdf
http://revistadelconsumidor.gob.mx/wp-content/uploads/2011/11/bebidas-hidratantes.pdf
http://cuentame.inegi.org.mx/poblacion/default.aspx?tema=P
http://www.imcine.gob.mx/informes-y-estadsticas.html
230
Versión de evaluación 23/04/12
1. La siguiente información se refiere a la distribución porcentual de horas a la semana que los
integrantes del hogar de 12 y más años de edad dedican a actividades de esparcimiento.

231. S31
2. El gráfico siguiente muestra el tipo de actividad que desempeña el personal de los gobiernos estatales de la República Mexicana.
9%
53%
Servicios educativos
38%
Servicios de salud
y asistencia social
¿En qué actividad se desempeña el mayor número de personas?
¿En qué actividad se desempeña el menor número de personas?

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• ¿Es correcto utilizar una gráfica de barras para comparar porcentajes, y una gráfica
circular para comparar frecuencias? Justifica tu respuesta.
Versión de evaluación 23/04/12
Actividades de gobierno
231

232. B4
Sesión 130
Evaluación
Aplica lo aprendido a lo largo del bloque y selecciona la respuesta a cada problema.
1. ¿Qué distancia hay entre los números –16.01 y 1.08?
b) –14.93
c) 15.07
d) 14.93
2. Coloca la letra V cuando la afirmación sea verdadera, y la letra F cuando la afirmación sea
falsa.
Para encontrar el centro de un círculo dadas dos paralelas, se traza la mediana a una
de las cuerdas, se identifica el diámetro que está sobre la mediatriz, se obtiene el
punto medio del diámetro, el cual es el centro del círculo.
Dados tres puntos que no son colineales siempre se puede trazar una circunferencia
que pase por ellos. El centro de la circunferencia que pasa por ellos es el punto de
intersección de las mediatrices.
Para encontrar el centro de un círculo dadas dos cuerdas no paralelas, se traza la
mediatriz a cada cuerda y el punto de intersección de las mediatrices trazadas es el
centro de la circunferencia.
3. ¿Cuál es el área de un círculo cuyo diámetro es de 7 cm?
a) 10.9 cm2
b) 21.9 cm2
c) 38.48 cm2
d) 153.93 cm2
4. Si 5 paquetes de arroz cuestan $49.5, ¿cuánto costarán 12 paquetes?
a) $117.6
b) $118.8
c) $119.8
d) $130.8
232
Versión de evaluación 23/04/12
a) –15.07

233. S31
5. Si dos albañiles construyen una barda en 3 días, ¿cuánto tardarían en construirla 4 albañiles?
b) Un día
c) Dos días
d) Dos días y medio
6. ¿Cuántas placas como la siguiente es posible obtener si se pueden repetir los dígitos?
a) 72
b) 81
A – 30 –
c) 90
d) 100
7. Con la información de la siguiente tabla construye una gráfica de barras usando la columna
“ambos sexos”.
2012
Nacimientos totales
Ambos sexos
Varones
10 133
5 191
4 942
365
187
178
Colima
1 842
943
899
Comala
312
160
152
Coquimatlán
246
126
120
Cuauhtémoc
381
195
186
Ixtlahuacán
50
26
24
Manzanillo
2 950
1 511
1 439
Minatitlán
84
44
40
Tecomán
1 800
922
878
Villa de Álvarez
2 103
1 077
1 026
Estado de Colima
Armería
Mujeres
Versión de evaluación 23/04/12
a) Un día y medio
Fuente: SINAIS, Estadística de nacimientos estimados por sexo en el estado de Colima para el año 2012:
http://www.sinais.salud.gob.mx/nacimientos/index.html [Fecha de consulta: 15-12-2011]
233

234. Versión de evaluación 23/04/12
Bloque 5

235. Versión de evaluación 23/04/12
el uso de
que impliquen
mas aditivos
ositivos
esolver proble
o decimales p
• R
fraccionarios
eros enteros,
núm
de la raíz
y negativos.
en el cálculo
s que impliqu
cimales.
lver problema
aturales y de
• Reso
de números n
a y potencias
ta del tipo
cuadrad
nalidad direc
s de proporcio
o externa es
lver problema
razón interna
• Reso
la
”, en los que
valor faltante
“
ccionario.
un número fra

236. uen
S ec
32
cia
Sumas y restas con enteros
Sesión 131
En esta sesión realizarás operaciones con números enteros.
Recuerda que los enteros son el conjunto de números que incluye
a los naturales, sus negativos y al cero.
 sabes tú?
¿Qué
En los torneos de futbol, si un equipo gana un partido se le asignan tres puntos, si empata uno,
y si pierde no se le contabiliza nada. Al final del torneo se suman todos los puntos acumulados
y el que tenga más es el ganador. Si dos equipos tuvieran el mismo número de puntos se utiliza como criterio de desempate la diferencia de goles, es decir, los goles anotados menos los
goles recibidos, de manera que el equipo que tenga un número mayor tendrá mejor posición.
En el mundial de 2010 celebrado en Sudáfrica, la selección mexicana jugó en la primera fase
del torneo contra Sudáfrica, Francia y Uruguay. Los dos primeros lugares del grupo clasificaron
a la segunda ronda. Los resultados de los encuentros de los equipos del grupo se muestran a
continuación.
Sudáfrica
Francia
Francia
Sudáfrica
Uruguay
Sudáfrica
1-1
0-0
0-2
0-3
1-0
2-1
México
Uruguay
México
Uruguay
México
Francia
Fuente: FIFA, World Cup South Africa 2010.
¿Cuántos puntos tuvieron al final de la primera ronda cada uno de los equipos?
¿Qué equipos clasificaron a la siguiente ronda?
¿Por qué?
Comenta con tu grupo tus respuestas.
236
Versión de evaluación 23/04/12
Resolución de problemas que implican el uso
de sumas y restas de números enteros.

237. En parejas, realicen las siguientes actividades.
1. A continuación se muestran los tiros penales a favor y en contra marcados a los equipos
participantes en el torneo de apertura 2011-2012 del futbol mexicano. Completen la tabla.
Equipo
Penales a favor
Penales en contra
Diferencia
UNAM
Atlante
Monterrey
Querétaro
Puebla
San Luis
Guadalajara
Morelia
Pachuca
Jaguares
Toluca
Santos
América
Tijuana
UAG
Cruz Azul
Atlas
UANL
2
6
6
6
4
3
3
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
0
2
0
2
3
4
4
2
3
1
4
3
2
0
5
5
1
3
2
0
−2
Fuente: Federación Mexicana de Futbol.
¿Qué equipos tuvieron más penales a favor?
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
¿Qué equipos tuvieron más penales en contra?
¿Qué equipos tuvieron la misma cantidad de penales a favor y en contra?
¿Qué equipos tuvieron menos penales a favor que en contra?
Comenten sus resultados con el grupo.
237

238. B5
Familia
López
Hernández
Pérez
Rodríguez
García
Ingreso
$5 000.00
$8 500.00
$3 500.00
$6 200.00
$7 490.00
Gasto
$4 500.00
$7 800.00
$3 400.00
$4 950.00
$6 325.00
Después de haber realizado sus gastos, ¿qué familia dispone de mayor cantidad de dinero
para hacer frente a alguna eventualidad?
Supóngase que una de estas familias tiene que hacer un desembolso adicional de $900.00
para la atención médica de uno de sus hijos, ¿qué familia podría realizar este pago sin
necesidad de pedir prestado?
Comenten sus respuestas con sus compañeros.
En una adición de dos números enteros, que cuentan con el mismo
signo, el resultado mantendrá el mismo signo.
En una adición de dos números enteros con diferente signo, el resultado
será positivo si el valor absoluto del número positivo es mayor que el
valor absoluto del número negativo; en caso contrario el resultado es
negativo, y es cero si ambos valores absolutos son iguales. Por ejemplo:
9 + (–5) = 4, pues |9| |–5|
–9 + 5 = –4, pues |5| |–9|
–9 + 9 = 0, pues |–9| = |9|
238
Versión de evaluación 23/04/12
2. El ingreso y el gasto mensual de cinco familias de cierto poblado se muestran a continuación.

239. S32
En esta sesión resolverás problemas haciendo sumas de números enteros.
Sesión 132

Manos a la obra
a) Un juego de lotería tiene 12 planillas (divididas en 9 casillas) y 52 cartas en las que se
encuentran los personajes. Regularmente, para marcar las casillas se utilizan piedras o
algunas semillas. Si hay 12 personas jugando, ¿cuántas piedras o semillas se necesitan
para llenar todas las planillas?
b) La familia Martínez adquirió una casa a través de un crédito bancario y cada mes va a
pagar al banco $3 500.00, que representan la tercera parte de su ingreso. Por otra
parte, el señor Martínez está preocupado porque uno de sus hijos va a estudiar la preparatoria y mensualmente requiere $1 500.00 para cubrir sus nuevas responsabilidades, y además sus gastos habituales por mes ascienden a $4 500.00. ¿Con su ingreso
actual puede cubrir sus gastos?
c) Debido a problemas con el transporte público, Juan casi siempre llega tarde a su trabajo. Su jefe y él acordaron que cada vez que llegue tarde deberá quedarse más tiempo al
final de la jornada, o de lo contrario se le descontará un día por cada hora acumulada.
A continuación se muestra el tiempo que Juan llegó tarde en la última semana.
Día
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Tiempo que llega tarde en minutos
68
43
94
16
19
¿Cuál fue el total de tiempo que tuvo que reponer Juan en esa semana?
Si no hubiera repuesto el tiempo que llegó tarde, y al día gana $200.00, ¿cuánto dinero
le hubieran descontado?
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, realicen las siguientes actividades.
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y coméntenlas.
239

240. B5
Sesión 133
En esta sesión realizarás adiciones con enteros.

Manos a la obra
1. Resuelve las siguientes sumas de números enteros.
(+427) + (+180) =
(110) + (150) =
(−9470) + (+842) =
(+108) + (−487) =
(−57) + (−84) =
2 ¿Qué número se debe sumar en las siguientes operaciones?
+ (−5792) = 0
+ 4865 = 0
Compara tus resultados con el grupo.
3. En parejas, resuelvan la siguiente actividad.
Durante el ciclo escolar 2006-2007, en Veracruz había en total 1 628 telesecundarias. Si
489 eran consideradas urbanas, ¿cuántas telesecundarias eran rurales?
240
Versión de evaluación 23/04/12
Para realizar sumas de números enteros tienes que considerar el valor absoluto de las cifras
y sus signos.

241. S32
Sesión 134
En esta sesión realizarás sustracciones de números enteros.

Manos a la obra
1. José va a la feria del pueblo a jugar, lleva $125.00 para gastar. Si gastó $60.00 en juegos
de destreza y $75.00 en juegos mecánicos, ¿cuánto dinero le queda para seguir jugando?
2. Luis va a presentar un informe de la administración de su edificio; los datos de los movimientos del último mes se muestran en la tabla siguiente.
Concepto
Saldo al cierre del mes anterior
Pago de conserje
Pago de luz
Pago de agua
Pago de vigilancia
Entrada
$6 530.00
Salida
$1 750.00
$487.00
$230.00
$1 200.00
¿Cuál es el saldo al final del mes?
3. Juan recibe en su tarjeta de débito $1 800.00 por su beca. Durante el mes en curso realiza
tres compras, una de $950.00, otra de $300.00 y una más de $250.00, ¿Cuánto será su
saldo para el siguiente mes?
Si antes del corte le depositan $500.00, ¿cuánto tendrá el próximo mes?
4. En equipos, con las siguientes frases construyan un ejemplo para cada una de ellas, completen la información faltante y comenten sus resultados.
Un número positivo “grande” – un número positivo “pequeño” =
Un número positivo “pequeño” – un número positivo “grande” =
Versión de evaluación 23/04/12
Resuelve las actividades siguientes.
Un número negativo “grande” – un número positivo “pequeño” =
Un número positivo “pequeño” – un número positivo “grande” =
Un número positivo “grande” – un número negativo “pequeño” =
Un número positivo “pequeño” – un número negativo “grande” =
Un número negativo “grande” – un número negativo “pequeño” =
Un número positivo “pequeño” – un número negativo “grande” =
241

242. B5
Sesión 135
En esta sesión usarás sumas y restas de números enteros
para resolver problemas.

Manos a la obra
1. Un vehículo de transporte público recorre su ruta generalmente en una hora. La ruta se
conforma de cinco paradas; en la siguiente tabla se muestra el número de pasajeros que
utilizaron el vehículo en la ruta de las 9 a las 10 de la mañana del pasado lunes. Completen
la tabla.
Parada
Pasajeros que suben
al vehículo
Base
La Loma
El Centro
El Fuerte
La Plaza
Base
60
15
25
13
3
0
Pasajeros que
descienden del
vehículo
0
8
49
21
29
Pasajeros a bordo al
dejar la parada
60
43
0
¿Cuántos pasajeros descendieron en total del vehículo durante toda la ruta?
Si el vehículo cobra $8.00 por persona, ¿cuánto llevaba recaudado al salir de El Fuerte?
Comenten sus resultados con el grupo.
242
Versión de evaluación 23/04/12
Resuelvan en parejas los siguientes problemas.

243. S32
2. En la tabla siguiente se muestran los ingresos y egresos del mes de agosto de una taquería.
Costos $
12 000.00
Ventas de la segunda semana
8 000.00
Ventas de la tercera semana
13 500.00
Ventas de la cuarta semana
15 000.00
Renta (mensual)
–5 000.00
Agua (bimestral)
–200.00
Luz (bimestral)
–1 500.00
Pago por seguridad social (mensual)
–1 200.00
Salario de tres personas (quincenal)
–9 000.00
Materia prima (semanal)
–3 500.00
¿Cuál es la ganancia neta del mes de agosto?
Comenten sus respuestas con el resto del grupo.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• ¿Cuáles de las siguientes operaciones resultan en un número negativo? Subráyalas.
–54 + 53
–38 + (–37)
1–2
2 – (3)
Versión de evaluación 23/04/12
Ventas de la primera semana
243

244. 33
cia
Uso de la notación científica para realizar
cálculos en los que intervienen cantidades
muy grandes o muy pequeñas.
Sesión 136
En esta secuencia aprenderás a representar dichas cantidades en una forma
abreviada, llamada notación científica, que ayuda a realizar cálculos
con cantidades muy grandes, como la distancia entre la Tierra y el Sol,
que es de 149 597 870 000 m; o con cantidades muy pequeñas,
como la longitud de una bacteria, que puede ser de 0.000005 m.
 sabes tú?
¿Qué
La imagen muestra las medidas de un abrevadero
que se construirá en un rancho.
10m
70cm
1000mm
1. Completa la tabla con las medidas del abrevadero en las unidades que correspondan.
Largo
Ancho
Altura
Metros (m)
10
Centímetros (cm)
Milímetros (mm)
10 000
100
70
2. Calcula el área de las caras laterales del abrevadero, según la unidad de medida que se
solicita.
a) ¿Cuántos milímetros cuadrados tienen de área las caras laterales del abrevadero?
b) Comparen sus resultados con el grupo.
244
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Notación exponencial

245. 
Manos a la obra
1. Escribe las siguientes potencias como productos y obtén sus resultados.
53 =
= 125
= 10 × 10 =
35 =
=
Recuerda que un número que se multiplica varias veces por sí mismo se representa como
una potencia. Por ejemplo: 3 × 3 × 3 × 3 = 34. En la expresión 34, 3 es la base y 4 es
el exponente.
2. Calcula las potencias de 10 que se indican en las tablas. Si lo requieres usa números
decimales.
Potencia de 10
105
104
103
102
101
100
Cantidad
Potencia de 10
Cantidad
10
10–2
10–3
10–4
–1
100
( )
10–5 = 1 5 = 1
10
10
–6
10
5
0.00001
a) ¿Cuántos ceros hay después del 1 al calcular 103?
b) ¿Cuántos ceros hay después del 1 al calcular 1012?
c) ¿Cuántas cifras (ceros y 1) hay después del punto decimal al calcular 10–4?
d) ¿Cuántas cifras hay después del punto decimal al calcular 10–15?
Versión de evaluación 23/04/12
26 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64
3. Analiza tus respuestas y contesta las siguientes preguntas.
a) ¿Qué relación hay entre el exponente positivo de la potencia de 10 con el número de
ceros que van después del 1?
b) ¿Qué relación hay entre el exponente negativo de la potencia de 10 con el número de
cifras que van después del punto decimal?
En grupo, comenten sus respuestas y entre todos establezcan sus conclusiones.
245

246. B5
Sesión 137
1. Expresa cada cantidad como una potencia de 10.
0.00001 =
10 000 000 =
0.000000001 =
10 =
0.001 =
100 000 =
0.1 =
a) ¿Cómo obtuviste los resultados de la columna izquierda?
b) ¿Cómo obtuviste los resultados de la columna derecha?
2. Analiza los siguientes casos y responde las preguntas. Justifica tus respuestas.
a) Para escribir 10 000 000 como potencia de 10, Ana recorrió el punto decimal hacia la
izquierda hasta llegar a la derecha del 1, luego contó el número de cifras que lo recorrió
y escribió ese número como exponente de la potencia de 10.
10 0 0 0 0 0 0 = 107
•• ¿Es correcto el procedimiento que siguió Ana?
•• Se puede aplicar este procedimiento en los demás casos de números naturales?
¿
b) Para expresar 0.00001 como potencia de 10, José recorrió el punto decimal hacia la
derecha hasta después del 1, luego contó el número de cifras que lo recorrió y escribió
ese número como exponente de la potencia de 10, pero con signo negativo.
0.0 0 0 01 = 10−5
•• Es correcto el procedimiento seguido por José?
¿
•• Se puede aplicar este procedimiento en los demás casos de números decimales?
¿
En grupo, comparen sus respuestas. Entre todos redacten en su cuaderno una regla para
escribir la cantidad que le corresponde a una potencia de 10 (consideren que hay exponentes
positivos y negativos).
246
Versión de evaluación 23/04/12
1 000 =

247. S33
3. Expresa las cantidades como el producto de un número natural por una potencia de 10.
30 000 =
150 000 =
0.12 =
a) José escribió la siguiente respuesta: 30 000 = 34
Explica por qué.
¿Es correcto el resultado de José?
b) Ana escribió la siguiente respuesta: 30 000 = 3 × 10 000 = 3 × 104
Explica por qué.
¿Es correcto el resultado de Ana?
4. Expresa cada cantidad como el producto de un número por un múltiplo de 10; y luego como
potencia de 10.
a) 200 000 = 2 × 100 000 = 2 × 105
b) 4 000 =
× 1 000 =
c) 350 000 000 = 3.5 ×
d)
× 103
=
= 1.25 × 1 000 000 =
Se le llama notación científica a la forma abreviada
de expresar un número muy grande, con una multiplicación donde uno de los factores es una potencia de
10 y el otro es un número menor que 10, por ejemplo:
351 000 000 se puede expresar como 3.51 × 108
Versión de evaluación 23/04/12
0.04 =
6. En equipos, comenten lo siguiente.
¿Qué procedimiento se debe realizar para expresar 0.04 en notación científica?
247

248. B5
Sesión 138
En esta sesión transformarás números muy grandes.

Manos a la obra
1. Resuelve los problemas siguientes.
Distancia Luna a Tierra =
m
b) La vida media de un muón (partícula elemental similar al electrón) es de 0.0000022 s.
Expresa esta cantidad en notación científica.
Vida media del muón =
s
En notación científica un número decimal muy
pequeño se expresa con una multiplicación donde uno
de los factores es una potencia de 10 con exponente
negativo, por ejemplo: 0.0000000017 se expresa
como 1.7 × 10–9
2. Escribe cada número en notación científica.
a) 3 640 000 =
b) 0.0000000000000034 =
c) 47 090 000 000 000 000 =
d) 0.000001006 =
e) 21 890 000 000 =
f) 0.00000005402 =
3. En grupo, redacten una regla para escribir números muy grandes o muy pequeños en notación científica.
248
Versión de evaluación 23/04/12
a) La distancia media entre la Luna y la Tierra es aproximadamente de 380 000 000 m.
Expresa esta cantidad en notación científica.

249. S33
Sesión 139
En esta sesión utilizarás la notación científica para expresar
la resolución de un problema.
¿Sabías que la luz que nos llega del Sol es historia?, esto se debe a que tarda cerca de 8.3 minutos en recorrer una distancia aproximada de 149 597 870 km que hay entre el Sol y la Tierra.
Piensa en cuánto tardará en llegar la luz de estrellas que están a miles de millones de kilómetros de nuestro planeta.
1. Resuelve los problemas siguientes.
a) En números redondos, la distancia media entre la Tierra y el Sol es de 150 000 000 000 m,
y la distancia entre la Tierra y Neptuno es de 4 308 000 000 000 m.
¿Cuál es la distancia aproximada que hay entre el Sol y Neptuno?
b) Expresa las medidas de las distancias de la Tierra al Sol y a Neptuno en notación científica:
Distancia entre la Tierra y el Sol = 150 000 000 000 m =
m
Distancia entre la Tierra y Neptuno = 4 308 000 000 000 m =
m
Realiza la suma de las dos cantidades expresadas en notación científica.
¿Qué resultado obtuviste?
c) En grupo, comenten los procedimientos que siguieron y sus resultados. ¿Hubo diferentes respuestas? Verifiquen sus resultados escribiéndolos en notación decimal.
2. En parejas, lean los siguientes procedimientos.
Emilio resolvió la suma del problema de la siguiente manera:
•• Primero escribió las cantidades como potencias de 10, de manera que ambas tuviesen
el mismo exponente en la potencia de 10.
Distancia entre la Tierra y el Sol = 150 000 000 000 m = 1.5 × 1011 m
Distancia entre la Tierra y Neptuno = 4 308 000 000 000 m = 43.08 × 1011 m
•• Luego sumó sólo la parte decimal de cada cantidad: 43.08 + 1.5 = 44.58
•• Al resultado de esta suma le escribió el producto por la potencia de 10 de las cantidades en notación científica: 44.58 × 1011
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
•• Al final corrió el punto decimal una cifra hacia la izquierda y cambió el exponente: 4.458 × 1012
a) ¿El resultado que obtuviste es igual al de Emilio?
b) Analiza este procedimiento y determina si es correcto o no. Sigue todos los pasos
y verifica la suma: 39 900 000 + 5 470 100 000 = 5.51 × 109
c) En equipos, comenten lo siguiente: ¿se puede aplicar este procedimiento para la resta
de cantidades escritas en notación científica? Entre todos propongan un ejemplo
y realicen las operaciones necesarias.
249

250. B5
3. Escribe en el paréntesis de cada operación la letra que corresponda al resultado.
( ) 971 000 – 77 000 =
(I) 6.21 × 108
( ) 4 806 000 000 + 133 300 000 000 =
(U) 1.381 × 10–11
( ) 6.501 × 10−11 − 512 × 10−13 =
(E) 6.31 × 108
( ) 3.4 × 10−6 + 0.00000692 =
(D) 0.00001032
( ) 778 000 000 − 1.57 × 108 =
(S) 8.94 × 105
( ) 8.22 × 10–10 + 4.51 × 10−10 =
Sesión 140
(T) 1.381 × 1011
(A) 0.000000001273
En esta sesión trabajarás con notación científica para resolver
problemas con números pequeños.

Manos a la obra
¿Sabías que en nuestro cuerpo hay más células bacterianas que células humanas? Se calcula
que hay diez veces más, y el mayor número se localiza en el tracto digestivo y en la piel. Las
bacterias son microorganismos unicelulares de formas diversas que alcanzan un tamaño
que va de algunos milímetros hasta milésimas de milímetro o micrómetros (μm).
No todas las bacterias son perjudiciales para el cuerpo humano; de hecho, necesitamos de
ellas para muchas funciones, como la digestión. ¿Qué otros beneficios generan las bacterias?
1. En equipos, contesten lo siguiente.
Se calcula que en un mililitro de agua dulce hay cerca de
un millón de células bacterianas, mientras que en un gramo de tierra hay hasta 40 millones.
¿Cuántas bacterias habrá en 1 3 litros de agua dulce?
4
Comenten el procedimiento que siguieron y sus resultados. Verifiquen sus respuestas usando la calculadora.
250
Versión de evaluación 23/04/12
( ) 2.3 × 107 + 608 000 000 =

251. S33
2. Realiza los siguientes pasos para calcular el producto de 1 000 000 por 1 750:
•• Escribe 1 000 000 en notación científica:
•• Multiplica 1 750 por la parte decimal (sin la potencia de 10) del número escrito en no=
tación científica: 1 750 ×
•• Multiplica el resultado anterior por la potencia de 10 del número en notación científica:
•• Escribe el resultado en notación científica:
a) ¿El resultado que obtuviste fue 1.75 × 107? Si no es así, repasa el procedimiento anterior y rectifica.
b) Sigue los pasos anteriores y calcula el producto de 0.000000812 × 1 500.
En grupo, comenten cómo resolvieron los problemas de las actividades 1 y 2. Entre todos
propongan un ejemplo y realicen los pasos anteriores para calcular el producto de un número escrito en notación científica por otro escrito en notación decimal.
3. Usa los datos del problema anterior y calcula la cantidad de células bacterianas que hay en
455 g de tierra.
En general, un número está escrito en notación científica si se expresa de la forma a × 10n,
donde a es un número decimal mayor o igual que 1 y menor que 10.
Para sumar o restar dos números expresados en notación científica es necesario escribirlos
de manera que sus respectivas potencias de 10 tengan el mismo exponente. Por ejemplo:
(4.6 × 108) + (5.7 × 106) = (46 × 107) + (0.57 × 107) = 46.57 × 107 = 4.657 × 108
Un dato interesante…
El número 1 seguido de cien ceros, esto es 1 × 10100, se denomina googol.
Para darnos una idea de lo que representa este número: un googol es
mayor que el número de átomos en el universo conocido.
Versión de evaluación 23/04/12
=
1 750 ×

Autoevaluación
Realiza en tu cuaderno las siguientes operaciones.
• 6.91 × 10–10 × 585 =
• 1 071 000 000 − 4.3 × 108 =
• 590 000 000 + 9 060 000 000 =
• 4.04 × 10−11 + 0.000000000839 =
• 5.23 × 105 + 692 000 − 6.7 × 104 =
• 38 000 000 000 × 9 500 =
251

252. 34
cia
Resolución de problemas que impliquen
el cálculo de la raíz cuadrada (diferentes métodos)
y la potencia de exponente natural de números
naturales y decimales.
Sesión 141
En esta secuencia estudiarás potencias y la raíz cuadrada.
 sabes tú?
¿Qué
De manera individual contesta lo que se te pide.
1. Una de las primeras fórmulas que aprendiste en tus cursos de Matemáticas es la que se
utiliza para calcular el área de un cuadrado. Si la medida del lado de un cuadrado es L,
se tiene que su área A se calcula con la fórmula: A = L × L . Esta expresión suele expresarse
como A = L 2. ¿Sabes cómo calcular la medida del lado de un cuadrado si se conoce
la medida de su área?
2. Don Luis va a cercar su terreno para formar parcelas de superficie cuadrada, por lo cual
está calculando las medidas que deben tener los lados y el área de diferentes cuadrados.
Calcula las siguientes medidas.
a) Si el lado de un cuadrado mide 2 m, ¿cuánto mide su área?
b) Si el lado de un cuadrado mide 5 m, ¿cuánto mide su área?
c) Si el lado de un cuadrado mide 3 m, ¿cuánto mide su área?
d) Si un cuadrado tiene un área de 16 m2, ¿cuánto mide su lado?
e) Si un cuadrado tiene un área de 36 m2, ¿cuánto mide su lado?
f) Si un cuadrado tiene un área de 32 m2, ¿cuánto mide su lado?
De manera grupal comparen sus respuestas. Comenten cómo calcularon la medida del
área de un cuadrado cuando se conoce la medida de su lado.
252
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Raíz cuadrada

253. 
Manos a la obra
Lado
Contesta las siguientes preguntas.
a) Con una regla traza la otra diagonal del cuadrado, así obtendrás cuatro triángulos rectángulos iguales.
¿Cuánto mide el área de cada triángulo?
¿Cuánto mide el área del cuadrado?
¿Cuánto mide el lado del cuadrado?
b) Mide con una regla la longitud del lado del cuadrado.
Aplica la fórmula del área del cuadrado A = L × L y verifica la medida que obtuviste para
el lado del cuadrado.
¿Qué medida del área del cuadrado obtuviste usando la fórmula?
c) Compara los resultados que obtuviste con los procedimientos anteriores y contesta:
Versión de evaluación 23/04/12
1. La imagen representa parte del terreno que va a cercar don Luis. Se trata de un cuadrado
del cual sólo conoce la medida de la diagonal.
De los valores del área que obtuviste con la fórmula, ¿cuál se aproxima más a 32 m2?
¿Cuál es la mejor aproximación que obtuviste de la medida del lado del cuadrado?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros.
253

254. B5
Sesión 142
En esta sesión obtendrás valores aproximados de la raíz cuadrada
de números naturales.

Manos a la obra
5.65
Área (m2)
1. Completa la tabla para encontrar valores aproximados de la medida del lado del cuadrado con 32 m2 de área.
a) ¿Cuál es la mejor aproximación que obtuviste para la medida
16
36
del lado del cuadrado?
b) ¿Crees que se puede encontrar una mejor aproximación para la
medida del lado?
, ¿cuál?
Compartan sus respuestas y entre todos establezcan sus conclusiones con respecto a la obtención del lado de un cuadrado cuando se conoce la medida de su área.
2. En parejas, realicen la actividad siguiente.
Un ayudante de don Luis dice que no existe cuadrado alguno que tenga 42 m2 de área;
don Luis asegura que sí.
Medida del lado (m)
6
6.3
6.4
6.5
6.6
7
Área (m2)
36
a) ¿Cuánto medirían los lados del cuadrado?
b) Encuentra algunas aproximaciones a la medida de los lados
que debe tener un cuadrado de 42 m2 de área. Completa la
tabla.
c) ¿Qué valor de la medida del lado genera la mejor aproximación
a 42 m2?
d) Determina un valor de la medida del lado de un cuadrado, que
se encuentre entre 6.4 m y 6.5 m, cuya área se aproxime más
a 42 m2.
¿Qué valor del área obtuviste?
e) De acuerdo con tu resultado anterior, ¿entre qué valores se
encuentra ahora la mejor aproximación a la medida del lado del
cuadrado?
¿Qué valor del área obtuviste?
De manera grupal, comparen sus resultados y los procedimientos
que siguieron. Comenten en qué consiste el método que han venido empleando para obtener la medida del lado de un cuadrado,
cuando se conoce la medida del área.
254
Versión de evaluación 23/04/12
Medida del lado (m)
2
3
5
5.5
5.6
5.7

255. S34
3. Aplica el procedimiento anterior y obtén la mejor aproximación de la medida del lado de
un cuadrado que tiene 53 m2.
Por otra parte, al calcular el lado de un cuadrado cuando se conoce la medida de su área,
decimos que se calcula la raíz cuadrada. La raíz cuadrada de a es el número que multiplicado por sí mismo da a. La forma de escribir esto es a .
Sesión 143
En esta sesión conocerás un procedimiento para calcular
la raíz cuadrada de un número natural.

Manos a la obra
1. Completa la tabla. Puedes usar calculadora para verificar los resultados.
Número
(x)
6
8
10
11
14
16
Cuadrado del número
(x 2)
2. Anota en el paréntesis la letra que relacione correctamente cada
pregunta con su respuesta.
Preguntas
49
( ) ¿Cuánto mide el área de un
terreno cuadrado si sus lados
miden 15 m?
81
( ) ¿Cuál es la raíz cuadrada de
144 ?
Respuestas
a) 100 cm2
b) 196
c) 11
( ) ¿Cuál es el resultado de 289 ?
144
169
225
Versión de evaluación 23/04/12
En las actividades anteriores has visto que al multiplicar un número por sí mismo, como en
el cálculo del área de un cuadrado L × L , decimos que se calcula el cuadrado del número
o la segunda potencia. La forma de escribir esto es L 2 .
¿
( ) Cuál es el resultado de 142 ?
d) 12
( ) ¿Cuánto mide el área de un
cuadrado de 10 cm por lado?
e) 225 m2
( ) ¿Cuál es el resultado de 121 ?
f) 17
Comparen sus respuestas y verifiquen sus procedimientos.
Un dato interesante…
A lo largo de la historia se han desarrollado y perfeccionado muchos de los procedimientos
que en la actualidad empleamos. En el caso del cálculo de la raíz de cuadrada, gracias al
Papiro de Ahmes (1650 a.n.e.) se sabe que los antiguos egipcios extraían la raíz cuadrada
al resolver problemas geométricos. Las antiguas culturas india y griega también desarrollaron conocimiento en este tema.
255

256. B5
3. Aplica los procedimientos que has practicado a lo largo de la secuencia y obtén una aproximación de la medida del lado de los siguientes cuadrados:
a) Área = 2 cm2
4. Analiza el siguiente ejemplo:
El cuadrado de 12 está dado por: 122 = 12 × 12 = 144
La raíz cuadrada de 144 está dada por:
144 = 12
¿Qué observas?
Cuando un número natural ( n ) se eleva al cuadrado ( n 2 ) y al resultado le aplicas la
raíz cuadrada, el resultado que se obtiene es el número original ( n ). Por ello decimos
que el cuadrado de un número y la raíz cuadrada son operaciones inversas.
Sesión 144
En esta sesión conocerás otro procedimiento para calcular
la raíz cuadrada de un número natural.

Manos a la obra
1. Se va a cercar un terreno de forma cuadrada que tiene de 24 m2. ¿Cuál es la medida del
lado del terreno?
Para resolver este problema emplearemos un método desarrollado hace varios siglos.
Sigue los pasos que a continuación se describen.
En tu cuaderno construye las figuras que se indican.
Paso 1. Elige dos números que multiplicados den 24,
por ejemplo 6 y 4. Estas serán las medidas del primer
rectángulo que construirás.
Con ayuda de regla y escuadra, en tu cuaderno construye un rectángulo cuyos lados midan 6 cm y 4 cm. Su
área es de 24 cm2 (ilumínalo de amarillo).
Paso 2. Calcula el promedio de las medidas de los lados del rectángulo:
6+4=
2
256
Versión de evaluación 23/04/12
b) Área = 5 cm2

257. S34
Paso 3. Ahora debes construir otro rectángulo que tenga un lado de 5 cm y área igual a 24 cm2, por lo tanto
hay que calcular la medida del otro lado del rectángulo.
Construye un rectángulo cuyos lados midan 5 cm y 4.8 cm
(ilumínalo de verde).
El área de un rectángulo se obtiene multiplicando la
medida de sus lados. Llamemos x a la medida del lado
desconocida, así obtenemos la ecuación:
Resuelve la ecuación.
Repite el paso 2. Calcula el promedio de las medidas
de los lados del último rectángulo:
5 + 4.8 =
2
Repite el paso 3. Debes construir otro rectángulo que
tenga un lado de 4.9 cm y área igual a 24 cm2, por lo
tanto hay que calcular la medida del otro lado del rectángulo.
Construye un nuevo rectángulo cuyos lados midan 4.9 cm
y 4.89 cm (ilumínalo de azul).
Llamemos x a la medida del lado desconocida, así obtenemos la ecuación:
4.9 x = 24
Resuelve la ecuación.
Continúa con este procedimiento para aproximar cada vez más el valor exacto de la raíz
cuadrada de 24.
Observa que el rectángulo azul es casi un cuadrado. Sus lados miden 4.9 cm y 4.89 cm,
esto significa que la raíz de 24 está entre estos dos números.
2. Calcula lo siguiente (puedes usar calculadora):
•• 4.92 =
3. Los lados del rectángulo verde miden 5 cm y 4.8 cm.
Calcula (pueden usar calculadora):
•• 52 =
•• 4.89 =
2
¿Cuál de los dos números es una mejor aproximación
a 24?
Versión de evaluación 23/04/12
5 x = 24
•• 4.82 =
Comenta con tus compañeros qué rectángulo da mejores aproximaciones a 24, ¿el verde o el azul?
El procedimiento que acabas de desarrollar para calcular la raíz cuadrada de 24 es semejante al que empleaban los antiguos babilónicos, por lo que se conoce como método babilónico
para el cálculo de la raíz cuadrada de un número. El método consiste básicamente en
obtener rectángulos cada vez más parecidos a un cuadrado de igual medida del área.
257

258. B5
Sesión 145
En esta sesión aplicarás el método babilónico para calcular la raíz cuadrada.

Manos a la obra
Usa una calculadora para efectuar las operaciones necesarias y tu juego de geometría para
construir los rectángulos.
1. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 11.5?
Paso 1. Se eligen dos números que multiplicados den 11.5 (sugerencia: inicia con 1
y 11.5). Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyos lados tengan esas medidas.
Recuerda que a partir del siguiente paso el objetivo es encontrar rectángulos cada vez más
parecidos a un cuadrado.
Paso 2. Calcula el promedio de 1 cm y 11.5 cm, ¿cuánto resultó?
Este valor es la medida de uno de los lados del nuevo rectángulo.
Paso 3. Calcula la medida del otro lado del rectángulo.
Para hallar dicha medida resuelve la ecuación: 6.25 x = 11.5
Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyas medidas sean las que acabas de obtener.
Se repite el paso 2. Calcula el promedio de 6.25 cm y 1.84 cm, ¿cuánto resultó?
Este valor es la medida de uno de los lados del nuevo rectángulo.
Se repite el paso 3. Calcula la medida del otro lado del nuevo rectángulo.
Para hallar dicha medida resuelve la ecuación: 4.045 x = 11.5
Construye en tu cuaderno un rectángulo cuyas medidas sean las que acabas de obtener.
Continua aplicando los pasos de forma sucesiva hasta que encuentres la mejor aproxi­
mación al valor exacto de la raíz cuadrada de 11.5.
¿Cuánto es 11.5 ?
Comparen las medidas que obtuvieron siguiendo los pasos del método babilónico.
2. Calcula la raíz cuadrada de 20. Realiza el procedimiento y las construcciones en tu cuaderno.
258
Versión de evaluación 23/04/12
El método babilónico se puede emplear para calcular la raíz cuadrada de cualquier número.
Sigue el procedimiento descrito en la sesión anterior y calcula las raíces cuadradas que se indican en cada caso.

259. S34
En esta sesión observarás que las potencias y los exponentes ayudan
a obtener modelos matemáticos que representan fenómenos biológicos.
Sesión 146
¿Sabías que las células se reproducen por división? La división es parte importante del ciclo
celular, pues en ella sucede que una célula inicial se divide para formar células hijas, luego
éstas se dividen para formar otras, y así sucesivamente.
1. Existe un tipo de división celular que presentan bacterias
y amebas, llamada bipartición, la cual consiste en que una
célula madre se divide en dos células hijas idénticas a
la célula madre.
Llamemos nivel 0 a la etapa en que está solamente la célula madre, sin dividirse.
•• Llamemos nivel 1 a la etapa en que la célula madre se
ha dividido en dos células.
•• Llamemos nivel 2 a la etapa en que las dos células
se dividen cada una en otras dos. Y así sucesivamente.
a) Dibuja las células que se formarán en el nivel 3.
b) ¿Cuántas células hay en el nivel 4?
c) ¿Cuántas células hay en el nivel 6?
d) Si hay 128 células, ¿en qué nivel se encuentra la división
celular?
e) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite obtener el número de células en el
nivel 7?
•• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
•• 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Comparen sus respuestas y expliquen sus procedimientos.
Comenten cómo calcularían el número de células que habrá en el nivel 20, o en el nivel 50.
Versión de evaluación 23/04/12

Manos a la obra
2. Expresa las multiplicaciones como potencia:
a) 3 × 3 × 3 × 3 =
b) 5 × 5 × 5 =
c) 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 =
d) 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 =
259

260. B5
3. Fernanda decidió poner en práctica una forma de enviar buenos deseos a muchas personas. Para iniciar, ella enviará buenos deseos a tres amigos. Luego, cada uno de éstos tendrá que enviar buenos deseos a tres amigos más, quienes también enviarán buenos deseos
a otros tres, y así sucesivamente. Cada persona tendrá que enviar tres buenos deseos.
a) Completa el diagrama de árbol hasta el nivel 3 de envíos de buenos deseos.
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
b) Cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 3?
c) ¿Cuántos buenos deseos hay en el nivel 5?
d) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite calcular el número de envíos de buenos
deseos en el nivel 10?
•• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
•• 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
Expresa la multiplicación correcta como una potencia:
e) Si en vez de enviar buenos deseos a tres personas se envían a cinco, ¿cuántos envíos
de buenos deseos hay en el nivel 4?
f) ¿Cuántos envíos de buenos deseos hay en el nivel 7?
g) ¿Cuál de las siguientes multiplicaciones permite encontrar el número de envíos de buenos deseos en el nivel 11?
•• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
•• 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
Expresa la multiplicación correcta como una potencia:
Las potencias permiten expresar multiplicaciones de manera breve. Por ejemplo,
3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 se abrevia al escribir 36; y se lee “la sexta potencia de 3”.
260
Versión de evaluación 23/04/12
Nivel cero (Fernanda inicia el envío)

261. S34
Sesión 147
En esta sesión obtendrás potencias y raíces cuadradas
de números naturales y decimales.

Manos a la obra
a) ¿Qué número multiplicado tres veces por sí mismo
Número
x
4
Cuadrado Tercera potencia Cuarta potencia
x 2
x 3
x 4
256
5
da 2 197?
100
b) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 16?
c) ¿Qué número tiene raíz cuadrada igual a 10?
125
0.36
0.216
1.2
169
d) ¿Qué número tiene segunda potencia igual a 25?
f) ¿Qué número tiene cuarta potencia igual a 0.1296?
0.3
28 561
0.027
0
0
1
1.5
2.25
16
g) ¿Cuál es la raíz cúbica de 1 000?
225
50 625
h) ¿Cuál es la raíz cuarta de 10 000?
i) La raíz
de 1.44 es 1.2.
j) ¿Cuál es la raíz cúbica de 3.375?
Versión de evaluación 23/04/12
1. Completa la tabla con los números y potencias que
faltan.
k) ¿Cuál es la raíz cuarta de 0.0081?
La raíz cúbica de 125 es 5, porque 53 = 125. La raíz
cúbica de 125 se expresa como 3 125 .
l) ¿Cuál es la raíz cuadrada de 1?
De forma general, la raíz cúbica de un número n es
aquel número que tiene tercera potencia igual a n.
m) ¿Cuál es la raíz cúbica de 0?
2. Resuelve lo siguiente.
Considera que la raíz cúbica de 27 es 3 y que la
raíz cúbica de 64 es 4. Obtén una aproximación de
la raíz cúbica de 40, con una cifra decimal. Puedes
utilizar tu calculadora.
La raíz cuarta de 1 296 es 6, porque 64 = 1 296. La
raíz cuarta de 1 296 se expresa como 4 1 296.
De forma general, la raíz cuarta de un número n es
aquel número que tiene cuarta potencia igual a n.

Autoevaluación
Calcula en tu cuaderno la raíz cuadrada de 53 empleando el método babilónico.
261

262. 35
cia
Obtención de la regla general (en lenguaje
algebraico) de una sucesión con progresión
aritmética.
Sesión 148
En esta sesión aprenderás a obtener la regla para determinar
los términos de una sucesión dada.
 sabes tú?
¿Qué
Dibuja los siguientes dos términos que completan la sucesión.

Manos a la obra
1. Escribe los términos que faltan en la siguiente sucesión numérica.
−5, −2,
31,
, 4, 7, 10,
, 37,
, 16,
,
, 25, 28,
,…
a) Escribe una regla para obtener cada uno de los términos de la sucesión.
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 30?
c) ¿Qué lugar ocupa el número 121 en esta sucesión?
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y analicen qué estrategia siguieron
para encontrar la regla de esta sucesión.
262
Versión de evaluación 23/04/12
uen
S ec
Sucesiones con progresión
aritmética

263. −15, −11, −7, −3, 1, 5,…
3, 6, 9, 12, 15, 18,…
−4, −1, 2, 5, 8, 11,…
−8, −3, 2, 7, 12, 17,…
−7, −4, −1, 2, 5, 8, 11,…
−12, −9, −6, −3, 0,3,…
−14, −6, 2, 10, 18, 26,…
3. En parejas, respondan las preguntas.
a) ¿Con la regla suma cinco al término anterior, podemos obtener muchas sucesiones o
una sola sucesión?
b) Propongan un ejemplo de una sucesión que se obtenga con esta regla.
c) Una regla más precisa para obtener la sucesión que propusieron es: sumar cinco al
término anterior y el primer término es
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de las sucesiones que encontraron en el inciso b)?
d) Obtengan tres sucesiones en las que se cumpla la regla: la diferencia entre dos términos
Versión de evaluación 23/04/12
2. Subraya cuáles de las siguientes sucesiones se pueden obtener utilizando la regla sumar
tres al término anterior.
consecutivos es 7.
En grupo, comparen sus respuestas.
263

264. B5
4. Completen lo que falta en las siguientes expresiones y respondan las preguntas.
a) Una regla para obtener la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, 35,… es: sumar seis al término
anterior y el primer término es
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
al término anterior, y el primer término es
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
c) Escriban la sucesión que se obtiene con la regla sumar cinco al término anterior y el
primer término es −14 :
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de esta sucesión?
La regla para obtener este tipo de sucesiones se puede expresar diciendo cuánto hay que
sumar a cada término para obtener el siguiente y cuál es el primer término. Por ejemplo:
en la sucesión −8, −3, 2, 7, 12, 17,… la diferencia entre dos términos consecutivos sería
.
Por lo tanto, la regla sería: sumar 5 al término anterior, y el primer término es −8.
Es importante indicar cuál es el primer término de una sucesión, ya que de lo contrario
se pueden obtener muchas sucesiones usando la misma regla.
5. En parejas, contesten lo siguiente.
Anoten el primer dígito de la sucesión siguiente y completen la regla.
, −9, −3, 3, 9, 15,…
La regla es sumar
al término anterior y el primer término es
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
Comparen sus resultados con los de otras parejas.
264
.
Versión de evaluación 23/04/12
b) Una regla para obtener la sucesión −12, −10, −8, −6, −4, −2,… es sumar

265. S35
Sesión 149
En esta sesión estudiarás la relación que hay entre un término en la
sucesión y la posición que ocupa en ella.

Manos a la obra
En parejas, contesten.
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
b) ¿Cuál es la regla?
2. Para esta sucesión de números: 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34,…
a) ¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
b) ¿Cuál es la regla?
Para las siguientes sucesiones, n indicará el lugar que ocupa un término en ellas.
Obtengan los términos faltantes en la tabla que corresponden a la sucesión establecida
por la expresión algebraica 4n − 2.
Lugar que
ocupa el
término (n)
1
2
3
4
Expresión
algebraica
4n − 2
Término
5
6
7
8
9
4 × 5 − 2 = 18
18
Comparen los términos obtenidos en la tabla con
los de la sucesión anterior, ¿qué observan en ellos?
¿Las sucesiones son distintas?
¿Por qué?
¿Cómo es la regla que establecieron en el inciso b)
respecto a la dada por la expresión algebraica?
Cuando hay varias reglas para obtener la misma
sucesión de números se dice que son reglas
equivalentes. Por ejemplo, las siguientes reglas
son equivalentes:
Versión de evaluación 23/04/12
1. Para la siguiente sucesión de números: −11, −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, 13,…
a) umar 5 al término anterior y el primer
S
término es 12,
b) a regla dada por la expresión algebraica
L
5n + 7, donde n representa el lugar que ocupa
cada término en la sucesión.
En grupo, comparen sus respuestas.
265

266. B5
Sesión 150
En esta sesión encontrarás expresiones equivalentes
para obtener una sucesión.

Manos a la obra
a) Una regla equivalente para obtener esta sucesión es sumar
anterior y el primer término es
al término
.
b) ¿Cuál es el término que está en el lugar 40?
c) ¿Cuál de las dos reglas utilizaste para encontrar ese término?
d) ¿Cuál es el término que está en el lugar 48?
2. En parejas, respondan.
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16,…?
Observen las dos sucesiones y respondan.
3, 6, 9, 12, 15, 18,…
1, 4, 7, 10, 13, 16,…
¿Cuál es la expresión algebraica para obtener la primera sucesión?
En las sucesiones en que la diferencia entre dos
términos consecutivos es una constante (k),
podemos obtener la expresión algebraica:
multiplicando el lugar del término (n) por la
diferencia de los términos consecutivos (k) y
sumando o restando, según sea conveniente,
la diferencia (r) entre k y el primer término de la
sucesión, esto es, kn ± r.
Por ejemplo: en la sucesión 2, 7, 12, 17,… para
encontrar la expresión algebraica que la define
obtenemos la diferencia entre dos términos
consecutivos, que es k = 5. Ahora obtenemos la
diferencia entre k = 5 y el primer término de
la sucesión, que es 2, por lo que r = 3. De aquí la
expresión algebraica podría ser 5n + 3 o 5n − 3;
para determinar cuál es la expresión conveniente
calculamos el valor del primer término
empleando las dos expresiones. En este caso
la expresión conveniente es 5n − 3.
266
Subrayen la operación que debemos hacer para pasar de
un término en la primera sucesión a su correspondiente término en la segunda sucesión:
Restar 2
Sumar 2
¿Cuál es la expresión algebraica para obtener la segunda
sucesión?
Comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
Comenten qué hicieron para encontrar las expresiones
algebraicas.
3. En parejas, encuentren la regla y la expresión algebraica
para obtener la sucesión −11, −6, −1, 4, 9, 14,…
4. Realicen lo siguiente en parejas. Obtengan la expresión algebraica que defina la sucesión −3, 2, 7, 12, 17, 22,…
Versión de evaluación 23/04/12
1. Responde las preguntas sobre la sucesión que se obtiene con la regla 3n − 7.

267. S35
Sesión 151
En esta sesión completarán sucesiones.

Manos a la obra
Trabajen en equipos para realizar las siguientes actividades.
2. Completen la siguiente sucesión de números:
6, 2,
,
, −10,
, −18, −22,
,
,…
¿Cuál es la diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión?
Comenten cómo hicieron para encontrar la diferencia entre dos términos consecutivos.
Comparen con sus compañeros sus respuestas.
3. Dada la regla 7n − 5 obtengan los términos que se encuentran en los lugares 20, 21, 32,
100, 150.
4. Completen la siguiente tabla.
Lugar del
término
4n+6
4n−2
35
45
74
324
En grupo, comparen y comenten sus respuestas.
4n–5
Versión de evaluación 23/04/12
1. Encuentren los primeros diez términos de la sucesión que se obtiene con la regla 9n − 3
267

268. B5
Sesión 152
En esta sesión aplicarás lo aprendido en sesiones anteriores.

Manos a la obra
En parejas, den una expresión algebraica que determine las siguientes sucesiones.
a) −12, −7, −2, 3, 8, 13,…
c) 9, 22, 35, 48, 61,…
Consulta en…
En las bibliotecas escolares y de aula y busca el libro con la siguiente referencia para conocer más sobre este tema:
Concepción Ruiz y Sergio Régules, El piropo matemático, de los números a las estrellas, México, sep-Editorial
Lectorum, 2003 (Libros del Rincón).
Entra a la página del Proyecto Descartes http://descartes.cnice.mec.es/Descartes1/Bach_HCS_2/Sucesiones_
numeros_reales_limites/Progresiones_aritmeticas.htm, y explora las actividades del interactivo “Sucesiones
geométricas con Logo”.

Autoevaluación
Responde lo siguiente.
• Determina una expresión algebraica y encuentra los primeros diez términos de la sucesión dada por la regla sumar 15 al término anterior y el primer término es 3.
268
Versión de evaluación 23/04/12
b) 5, 10, 15, 20, 25, 30,…

269. uen
S ec
36
cia
Área y perímetro del círculo
En esta sesión resolverás problemas usando la fórmula del perímetro del círculo.
 sabes tú?
¿Qué
En la siguiente figura marca con rojo el contorno del círculo y su superficie con azul; traza con
verde el radio y con negro el diámetro.
Contesta las siguientes preguntas.
¿A qué se le llama π?
¿Cuál es un valor aproximado de pi?
Versión de evaluación 23/04/12
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro
y el área del círculo en la resolución de problemas.
Sesión 153
¿Cómo se calcula el perímetro de un círculo?
¿Qué datos se necesitan para calcular el perímetro del círculo?
269

270. B5

Manos a la obra
10 cm
22 cm
32.9 cm
40.8 cm
2. Completen la tabla, tomen π = 3.14
Círculo
1
2
3
4
Radio
Diámetro
R
5 cm
D
Perímetro
22 cm
103.30 cm
40.8 cm
¿Cómo obtuvieron el radio del círculo 3?
¿Cómo obtuvieron el radio del círculo 4?
3. Resuelve los problemas siguientes.
a) Ernesto es herrero y le pidieron que hiciera con perfil redondo dos aros para tableros
de basquetbol. Uno de ellos debe tener 27 cm de radio y el otro 27 cm de diámetro.
¿Qué cantidad de perfil debe cortar para ambos aros?
b) Para reforzar un barril se necesitan tres cinturones de acero inoxidable de 4 cm de ancho. Dos de los cinturones tienen 60 cm de diámetro, mientras que el radio del cinturón
que se coloca a la mitad del barril es 4.5 cm más grande que el de los otros dos. ¿Qué
cantidad de lámina se necesita para reforzar medio centenar de barriles?
Comparen sus procedimientos y respuestas, verifiquen que sean correctas. Si hay algún procedimiento diferente verifiquen que sea efectivo.
Para calcular el perímetro de un círculo
podemos usar la fórmula P = 2rπ, donde r
es el radio del círculo, o P = D π, si recordamos que el diámetro es dos veces el radio.
270
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, calculen el perímetro de los siguientes círculos.

271. S36
Sesión 154
En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula
del perímetro del círculo.

Manos a la obra
1. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Tomen π = 3.14
9.76 m
9.76 m
b) La imagen anterior corresponde a la ciclopista del
deportivo de la comunidad. Edna la recorre diariamente con su bicicleta hasta 9 veces, mientras que
Braulio sólo recorre 5 km.
¿Quién de los dos da más vueltas al circuito?
92.52 m
B
73.00 m
36
.5
A
Versión de evaluación 23/04/12
157.39 m
0m
9.76 m
9.76 m
a) ¿Cuál es la longitud de la línea AB?
¿Cómo resolvieron los problemas anteriores?
271

272. B5
¿Cuántos círculos completos tienen en su diseño?
¿Cuánto mide su radio?
¿Cuál es el perímetro?
Intercambien su problema con alguno de sus compañeros y verifiquen que la solución sea
correcta.
Para resolver problemas por medio del cálculo de perímetros de figuras compuestas con círculos de un mismo radio,
debemos determinar la cantidad de círculos que forman la
figura para multiplicarla por su perímetro.
272
Versión de evaluación 23/04/12
2. En parejas, diseñen una figura empleando círculos del mismo diámetro y planteen un problema que se resuelva tomando como base su diseño.

273. S36
En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del área del círculo.
Sesión 155

Manos a la obra
6 cm
¿Cómo se determina el área de un círculo?
Si sólo se conoce el diámetro del círculo, ¿cómo se calcula el área?
2. En equipos, resuelvan los siguientes problemas. Usen 3.14 para π.
a) Una tapa de forma circular de 18 cm de diámetro se empleó para marcar una circun­
ferencia sobre un pedazo de tela de forma cuadrada de 20 cm por lado. Después de
recortar el círculo de tela, ¿cuál es el área de la tela que se desperdicia?
b) En el patio de la secundaria el profesor de Educación Física trazó tres círculos para
pintarlos de color amarillo, rojo y azul, como se muestra en la imagen.
1m
80 cm
1m
Versión de evaluación 23/04/12
1. Calcula el área del siguiente círculo.
Alberto dice que el área de los círculos pequeños es igual a la del círculo azul. ¿Tiene
razón?
¿Por qué?
Para que el área del círculo amarillo, más el área del círculo rojo, sea el área del azul,
¿cuánto tendrá que medir el radio del círculo amarillo?
273

274. B5
c) Reyna decora tablas circulares como las de la imagen para usarlas como portarretratos.
Le han solicitado media docena de cada modelo, ¿cuál es el área total que pintará de
2
cm
3
cm
¿Cómo determinaron el área de la superficie azul?
¿Qué portarretrato tiene la mayor superficie pintada de azul?
Para calcular el área de un círculo se emplea la formula A= π r2, donde el
radio se multiplica por sí mismo y luego por π. Cuando un círculo está dentro
de otro, sin importar si tienen o no el mismo centro, una forma de calcular
el área limitada entre las dos circunferencias es restar los cuadrados de los
radios y la diferencia multiplicarla por π. Por ejemplo, para calcular el área
limitada entre un círculo cuyo radio mide 4 cm que está dentro de otro cuyo
radio mide 6 cm es: 20π = 62.8 cm2, dado que 36 – 16 = 20.
274
5 cm
Versión de evaluación 23/04/12
cm
cm
6
3
5
cm
azul?

275. S36
Sesión 156
En esta sesión resolverás problemas utilizando la fórmula del área del círculo.

Manos a la obra
1. En parejas, resuelvan el siguiente problema.
6 cm
12 cm
30 cm
1.2 m
40 cm
80 cm
1.2 m
¿Cómo calcularon el área de la figura naranja?
Versión de evaluación 23/04/12
¿Cuál es área de cada una de las siguientes figuras?
¿Qué figuras forman la figura verde?
¿Qué figuras forman la figura azul?
¿Cuál de las figuras está formada por más círculos?
2. Resuelvan los problemas.
275

276. B5
a) La siguiente figura es el modelo de un aspa que se fabrica en acero, ¿cuál es el área del
60 cm
60 cm
b) Para una ruleta se cortó un círculo de 60 cm de radio y se decoró como se muestra en
la imagen. ¿Cuál es el área de la superficie en rojo?
c) ¿Cómo determinaron el área solicitada?
d) ¿Cuál es el área de la superficie en negro?
e) Con respecto al problema del aspa y al de la ruleta, ¿cuántos círculos forman las figuras?
¿Cómo resolvieron ambos problemas?
276
3. Resuelve el problema.
Versión de evaluación 23/04/12
aspa?

277. S36
Alexa es pintora y las obras de arte que muestra a continuación están hechas sobre un cuadrado de 90 cm por lado. ¿En cuál de ellas utilizó más pintura?

Autoevaluación
Contesta lo siguiente.
• ¿Cómo determinarías el perímetro de la siguiente figura?
• ¿Y el área de la superficie naranja?
Versión de evaluación 23/04/12
¿Por qué?
277

278. uen
S ec
37
cia
Proporcionalidad múltiple
Sesión 157
En esta sesión reconocerás y resolverás problemas que implican el uso
de distintos tipos de proporcionalidad en situaciones de la vida cotidiana.
 sabes tú?
¿Qué
Para organizar su convivio, los 25 alumnos de 1º A llevaron tostadas y agua de jamaica. Como
la mamá de uno de ellos tiene una fonda les dio la siguiente información:
•• Un paquete de tostadas tiene 20 piezas.
•• 3 1 vasos de crema alcanzan para cubrir 40 tostadas.
2
•• 1 kg de pata de res es suficiente para 10 tostadas.
•• 1 kg de queso rallado alcanza para 50 tostadas.
4
•• 1 kg de pechuga de pollo es suficiente para 25 tostadas.
Si quedaron de acuerdo en que se llevaría lo necesario para que cada quien comiera dos tostadas de pata y dos de pollo, ¿qué cantidad de tostadas se deben comprar?
278
Versión de evaluación 23/04/12
Resolución de problemas de proporcionalidad
múltiple.

279. 
Manos a la obra
Ingredientes
Cantidad que se requiere
Paquetes de tostadas
Kilogramos de pata
Vasos de crema
Queso rallado
Kilogramos de pechuga de pollo
a) ¿Usaron el mismo procedimiento para encontrar la cantidad de cada ingrediente que se
necesita?
b) Para la kermés de la escuela el grupo decidió preparar todas las tostadas que salieran
con 9 kg de pechuga, ¿qué cantidad de queso rallado se necesitará para las tostadas
que se preparen?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y escriban el procedimiento que siguieron para obtener la respuesta de la última pregunta.
De manera grupal, verifiquen sus procedimientos y reflexionen sobre el uso de distintos
tipos de proporcionalidad para la solución de este problema.
2. Resuelve los siguientes problemas.
a) En una escuela se va a realizar una excursión. Los organizadores saben que, en promedio, 12 niños consumen 144 litros de agua durante 6 días. ¿Cuántos litros de agua hay
que llevar a una excursión de 3 días, si van a ir 60 niños?
b) Rubén tiene 5 vacas, cada una de ellas produce 6 litros de leche diariamente; con
15 litros de leche obtiene 2.5 litros de crema y vende 2 litros de crema por $75.00. Si
destinó la producción de dos semanas para obtener crema, ¿cuánto dinero recibirá por
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, con la información del problema de las tostadas, completen la tabla.
la venta de toda la crema producida en el tiempo mencionado?
Compara tus respuestas con las de
otros compañeros.
Cuando se usan la proporcionalidad directa y la inversa
en la solución de un mismo problema, se dice que este
problema es de proporcionalidad múltiple.
279

280. B5
Sesión 158
En esta sesión resolverás problemas de proporcionalidad múltiple en
situaciones como el cálculo de perímetros y áreas.

Manos a la obra
Tracen en hojas blancas tres rectángulos con las siguientes medidas y recórtenlos: Rectángulo 1: 3 cm de base y 4 cm de altura.
Rectángulo 2: 6 cm de base y 8 cm de altura.
Rectángulo 3: 15 cm de base y 20 cm de altura.
Calculen el perímetro y el área y completen la tabla.
Rectángulo 1
Base
Rectángulo 2
Rectángulo 3
3
Altura
15
8
20
Perímetro
Área
¿Cuántas veces es mayor la base del rectángulo 2 con respecto a la base del rectángulo 1?
¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rectángulo 2 con respecto al perímetro del rectángulo 1?
¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo 1 y el área del rectángulo 2?
¿Cuántas veces es mayor el perímetro del rectángulo 3 con respecto al perímetro del rectángulo 1?
¿Cuál es la razón entre el área del rectángulo 3 y el área del rectángulo 1?
Comparen sus respuestas con las de otras parejas y reflexionen sobre la forma en que aumentan el área y el perímetro de un rectángulo cuando aumentan las medidas de sus lados.
2. Contesta lo siguiente.
Los lados de un rectángulo han aumentado tres veces su tamaño, ¿cuál será la razón
entre los perímetros de los rectángulos?
¿Cuál es la razón entre las áreas de los rectángulos?
280
Versión de evaluación 23/04/12
1. En parejas, realicen la siguiente actividad y contesten las preguntas.

281. S37
3. Resuelve los siguientes problemas.
a) A un cuadrado de 4.5 cm por lado se le triplicó la longitud de cada uno de sus lados,
¿cuánto mide el perímetro del nuevo cuadrado?
b) Se reproduce un rectángulo con perímetro de 35 cm y 75 cm2 de área hasta obtener
otro rectángulo con un perímetro de 157.5 cm, ¿cuánto mide el área de la figura repro-
c) Se tienen dos círculos, uno de 4 cm de radio y otro de 12 cm de radio, ¿cómo es el
perímetro del segundo círculo con respecto al perímetro del primero?
Compara tus respuestas con las de otros compañeros y reflexionen si al duplicar o triplicar
las medidas de los lados en un polígono regular su perímetro y su área también se duplican
o triplican, respectivamente. Escriban sus conclusiones en su cuaderno.
Sesión 159
En esta sesión resolverás problemas de proporcionalidad múltiple en
diferentes contextos.

Manos a la obra
1. En equipos, observen el prisma.
¿Cuántos cubos verdes tiene?
¿Cuántos cubos en total lo forman?
Alto
a) Si se aumentan al doble los cubos del ancho, del
largo y de la altura, ¿cuántos cubos formarán
el nuevo prisma?
b) ¿Cuántas veces será mayor el número de cubos
del prisma nuevo con respecto al de la ilustración?
Versión de evaluación 23/04/12
ducida?
Largo
Ancho
c) ¿Habrá alguna forma directa de conocer el número de cubos sin contarlos uno a uno?
Si al prisma de la ilustración se le triplican los cubos del ancho, del largo y de la altura,
¿cuántos cubos formarán el nuevo prisma?
¿Cuántas veces es mayor el número de cubos de este nuevo prisma con respecto al de
la ilustración?
281

282. B5
2. Se sabe que para construir un muro de 3 m de largo y 2 m de altura se necesitan 150 tabiques, y que para construir 2 m2 de barda se necesitan 3 de un bulto de cemento.
4
Si el albañil mezcló tres bultos, ¿cuántos tabiques pegará con esa mezcla?
Si en la construcción del baño se ocuparon 600 tabiques, ¿cuántos bultos se emplearon
Para la cocina se levantaron tres bardas de 12 m2 y una de 9 m2, ¿qué cantidad de tabiques
y de bultos se emplearon?
3. Damián es un granjero que se dedica a la crianza de guajolotes. Él sabe que 10 guajolotes
consumen aproximadamente 120 kg de alimento durante tres días. También sabe que cada
bulto de alimento contiene aproximadamente 50 kg. ¿Cuántos bultos deberá comprar para
alimentar por tres semanas a las tres docenas de guajolotes que tiene?
Comparen sus resultados con los de otros compañeros, verifiquen que sean correctos
y reflexionen en qué otros contextos se pueden encontrar problemas de proporcionalidad
múltiple.
En esta secuencia observamos que las situaciones de proporcionalidad múltiple se
caracterizan porque dos o más cantidades están relacionadas proporcionalmente.
Una proporción múltiple se denota como:
a : b : : c : d : : e : f , o también se representa como a = c = e , y cumple que
b d f
ad = bc = cf = de = af = be
Consulta en…
Entra al sitio: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/MATEGENERAL/t5geometria/Geometria/node9.html,
y consulta la información sobre los prismas rectangulares y otras figuras geométricas.

Autoevaluación
Plantea en tu cuaderno un problema de proporción múltiple.
282
Versión de evaluación 23/04/12
para levantar las bardas del baño?

283. S37
Sesión 160
Evaluación
1. En un congelador se registraron las siguientes variaciones de temperatura: −7°, 12°, −5°,
−10°, 6°; si la temperatura inicial era de −20°, en cuántos grados quedó la temperatura.
b) 18°
c) −22°
d) −24°
2. La distancia media de Urano al Sol es aproximadamente de 525 000 000 km. Señala cuál
de las siguientes expresiones es igual a esta cantidad en notación científica.
a) 525 × 10 6 km
b) 5.25 × 10 8 km
c) 5.25 × 10 9 km
d) 525 × 10 8 km
3. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado que tiene de área 289 cm 2?
a) 72.25 cm
b) 28.9 cm
c) 28 cm
d) 17 cm
4. Si una persona cuenta una historia a tres personas, y cada una de éstas, a su vez, la cuentan a otras tres, y éstas hacen lo mismo, ¿cuántas personas escucharon la historia?
a) 9
b) 18
c) 27
d) 81
5. ¿Cuál es la regla que forma la sucesión 1, 3, 5, 7, 9,…?
a) 2 x + 1
b) 2 x
c) x + 2
d) x − 2
6. ¿Qué operación debe realizarse para obtener el área de un círculo con 15 cm de diámetro?
a) 15 × 3.14
b) 7.5 × 3.14
c) 15 × 15 × 3.14
d) 7.5 × 7.5 × 3.14
7. Si el perímetro de un cuadrado aumenta al doble, su área aumenta:
a) al doble
b) al triple
c) al cuádruple
d) al séxtuple
Versión de evaluación 23/04/12
a) 40°
283

284. Hoja para las familias
Seguimiento de los avances de los niños
en la escuela
Con el propósito de fortalecer su participación en la escuela para impulsar las actividades escolares y extraescolares que sus niños y niñas realizan, les presentamos el siguiente cuestionario en el
cual pueden registrar sus avances y tomar decisiones junto con los docentes para mejorar el aprovechamiento escolar.
Algunas recomendaciones:
• Si a usted se le dificulta el llenado del cuestionario, solicite ayuda a un familiar o
amigo para responderlo e interpretar el resultado. Recuerde que es muy importante dar
seguimiento a los avances y logros de su niña o niño.
• Cuando su desempeño no sea óptimo, usted puede acudir a la escuela para recibir
asesoría sobre cómo apoyar al niño en su formación académica.
• Si al revisar las tareas y ejercicios del niño no están registradas las calificaciones o algún
dato que le permita responder cuestionario, pida ayuda al maestro para determinar con él
cómo puede dar seguimiento a los resultados del niño.
• Recuerde que este cuestionario no es una evaluación o examen, es un registro que sirve para
reconocer y ayudar a las niñas y los niños a nuestro cargo de una manera oportuna y eficaz.
Para dar seguimiento a los avances de los niños es importante que:
• Revise con atención las tareas, los ejercicios y las actividades del libro de texto y del
cuaderno de trabajo al menos cada dos meses (duración aproximada de un bloque).
• Observe su conducta al realizar las actividades extraescolares y ponga atención en lo que
platica de sus actividades en la escuela.
Cuestionario
Con base en sus observaciones sobre el trabajo del niño, marque la respuesta que corresponde a
cada pregunta.
A. Excelente
B. Bueno o bien
C. Mal o malo
D. No lo he observado
Desempeño del niño
N˚
Reactivos
1
Las calificaciones obtenidas en las tareas del libro de texto
reflejan que su trabajo fue
2
Las calificaciones obtenidas en los ejercicios realizados en su
cuaderno reflejan que su trabajo fue
3
Al realizar actividades fuera de la escuela su desempeño fue
284
Bloque
i
ii
iii
iv
v
Versión de evaluación 23/04/12
Estimada familia y tutores

285. N˚
Bloque
Reactivos
iv
v
iv
v
Las actividades de estudio extras las hace
6
iii
He observado que trabaja en equipo y lo hace
5
ii
Su actitud para sistir a la escuela generalmente es
Mi desempeño
N˚
Bloque
Reactivos
i
1
Su puntualidad en la escuela es
3
iii
Su asistencia a la escuela es
2
ii
Su aseo personal y de sus útiles para asistir a la escuela es
Recomendaciones para contribuir a mejorar el desempeño de su niño
Si obtuvo de
7 a 10 respuestas
Si obtuvo
de 5 a 7 respuestas
Si obtuvo en más
de 4 preguntas
Si en 2 o más
preguntas respondió
A. Excelente
B. Bien, aunque necesita
apoyo
C. Mal. Requiere apoyo
urgente
D. No lo he observado
Se recomienda felicitar
a su niño o niña y
preguntarle sobre el tipo
de apoyo que requiere
para seguir con ese
avance y mantener los
buenos resultados.
Se recomienda poner
atención en aquellas
actividades en las que se
obtuvo esta valoración y
acompañar a los niños
para repasar las tareas
y/o ejercicios en los
cuales no obtuvo un
buen desempeño. Si
tiene dudas al respecto,
es recomendable que se
acerque con el maestro
de grupo.
Se recomienda consultar
con el maestro de su hijo
o hija sobre cómo puede
ayudarlo a mejorar el
desempeño educativo.
Versión de evaluación 23/04/12
4
i
Recuerde que en el buen
desempeño de sus hijos
en la escuela también
influye la familia. Le
recomendamos contribuir
con la escuela estando al
pendiente de sus avances.
285