Este documento presenta la unidad didáctica número 1 sobre entes geométricos del módulo de Matemática II. Introduce conceptos básicos como punto, recta, plano y ángulo, y explica cómo medir ángulos utilizando el sistema sexagesimal y la calculadora científica. También clasifica los ángulos según su amplitud, complemento, suplemento y posición, y propone ejercicios de aplicación.
6. Sistema Provincial de Teleducación y Desarrollo
Gobernador
Lic. Hugo Mario Passalacqua
Vicegobernador
Dr. Oscar Herrera Ahuad
Ministra de Cultura, Educación, Ciencia y Tecnología
Mgter. Ivonne Stella Maris Aquino
Subsecretario de Educación
Dr. Cristian Dechat
Director General del SiPTeD
Juan Ramón Da Silva
Director de Administración y Finanzas
Lic. Agustín Ramón Suarez
Directora de Educación Secundaria Abierta y a
Distancia
Lic. Iris Norma Haase
Prof.JuanIgnacioHenzel
Esp.RossanaIsabelLaszlo
Prof.ElbaPfaffenzeller
Prof.JuanIgnacioPérezCampos
Tec.Sup.SantiagoSebastiánSuárez
10. LENGUA Y
LITERATURA I
LENGUA Y
LITERATURA II
BIOLOGÍA II
FILOSOFÍA
GEOGRAFÍA II
HISTORIA II MATEMÁTICA III
PROYECTO DE
INVESTIGACIÓN E
INTERVENCIÓN
SOCIO-
COMUNITARIA
PORTUGUÉS
PSICOLOGÍA
MATEMÁTICA I
EDUCACIÓN
ARTÍSTICA
FÍSICO
QUÍMICA
BIOLOGÍA I
LENGUA I
LENGUA II
GEOGRAFÍA I HISTORIA I
TECNOLOGÍA DE
LA INFORMACIÓN
Y LA
COMUNICACIÓN
Ciclo Formación Básica
Ciclo Formación Orientada
ÉTICA, POLÍTICA,
CIUDADANÍA
Y DERECHO
MATEMÁTICA II
7
Elpresentemódulohasidodiseñadoparadesarrollarconocimientosbásicossobregeometría.
En el Antiguo Egipto y Babilonia, la geometría surgió como ciencia práctica relacionada con la
agricultura. Es en Grecia que se convierte en una ciencia abstracta, en la cual se destacaron Thales
deMileto,PitágorasyEuclides.
Si bien la geometría en sus inicios aparece para solucionar problemas concretos como la
medición de tierras, construcción de viviendas, etc., en la actualidad, nos permite apreciar infi-
nidaddeformasqueseencuentranenelmundoquenosrodea.
La geometría se encuentra en todas partes y el hombre la observa, la aprende, la admira y la
comprendeentodo elUniverso.Enelespacioquenos rodea,descubrimosunlenguajegeométrico
ilimitadoalcualpodemosrepresentar.
A medida que vayas avanzando en la lectura, descubrirás actividades que te van a ayudar a
comprobar que estás entendiendo, no sólo para asegurarte el éxito en la evaluación final, sino para
queaprendastodosloscontenidosquesonimportantes.
Antes de iniciar este recorrido matemático, te contamos que el SiPTeD también pone a tu
disposición una Plataforma Educativa On-line como herramienta complementaria al material
¡BienvenidoalmódulodeMatemáticaII!.Estelibroformapartedelosmódulosqueintegranla
Orientación General del Plan del Estudio. Tal como lo podés ver y ubicar en el cuadro que se
encuentraacontinuación:
¡Bienvenido!
11. 8
impreso. Esto significa que no es obligatorio que ingreses, aunque estamos seguros de que te va a
ser de mucha utilidad; por eso nos parece importante destacar la posibilidad de contar con dicho
espacio, el cual permite conocer recursos tecnológicos actuales además de resultarnos conve-
niente para poder reflexionar acerca de la inclusión de tecnologías para mejorar el desarrollo del
procesodeenseñanza–aprendizajeyeldesafíoqueellorepresenta.
En la plataforma vas a encontrar un aula por cada módulo
impreso. Dentro del aula de tu asignatura, tienes un docente on-
line a tu disposición y compañeros que están, al igual que vos,
estudiando este módulo. Además, vas a encontrar materiales
de lectura complementarios, videos, actividades y un
espacio en donde podrás escribirle al docente todas las
dudas o consultas que tengas acerca de lo leído en tu material
impreso. Para ello, tendrías que ingresar a la dirección
www.sipted.misiones.gov.ar y acceder desde el menú “Plata-
forma”yunavezallí,buscarelMódulodeMatemáticaII.
No perdamos más tiempo, te invitamos a recorrer el módulo
conbuenánimo,sinpensarquelostemassondifíciles.
Nadaesimposiblesólohayqueintentarlo.¡Adelanteyéxitos!
12. UNIDAD DIDÁCTICA N° 1 Entes geométricos
9
Para comenzar, daremos la definición de entes geométricos, estos son conceptos primitivos o
elementos sin definir, sólo se aceptan: punto, recta y plano. También hay ciertas propiedades que
seaceptansinnecesidaddeserdemostradas:losaxiomas.
Apartirdelosentesgeométricosylosaxiomassedefinennuevosconceptos(definiciones)yse
demuestrannuevaspropiedades(teoremas).
La geometría está en todos lados: desde la forma del planeta, que es una esfera, hasta el plato
con el que comés tienen una forma geométrica. Muchas veces habrás dicho que ciertas calles por
lasquetransitásadiariosonparalelas.
Todos estos ejemplos son parte de la geometría; por eso en esta unidad vas a estudiar las
nocioneselementalesdelageometría,losángulosyelsistemasexagesimalparamedirlosángulos.
Además, vas a estudiar algunas propiedades de los ángulos de las figuras y vas a aprender a usar la
calculadoracientíficaparaoperarconángulos.
Esimportantequetrabajescontusapuntespararealizarloscálculosyquetengaspresenteque
matemática se aprende practicando. También necesitás tener a mano: semicírculo, compás, regla,
lápizy¡¡¡muchasganasdeaprender!!!
13. 10
Punto, recta y plano
Punto: se representa un punto con la marca que deja un lápiz sobre el papel. Se simboliza con
letrasminúsculasdeimprenta.
Recta:eslasucesióninfinitadepuntos.Sesimbolizaconletrasmayúsculasdeimprenta.
Plano:esunentegeométricoqueseaceptasindefinición.Porejemplolaspáginasdeéstelibro
olasiguientefigura:
a b
Punto
B
Recta
Plano
Semirrecta: si se considera un punto “o” sobre la recta, queda dividida en dos semirrectas
y .
Notación: se designa al plano con una letra del alfabeto griego.
Planoα.
Elementos que se desprenden de entes geométricos:
semirrecta, segmento y semiplano
14. Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
11
Semirrecta con origen
en el punto o y que
contiene al punto a y
su notación es
Se lee: Semirrecta con
origen en el punto o y
que contiene al punto
b y su notación es
Origen
Sentido
de la flecha
Semirrecta
Segmento: si se considera una porción de la recta delimitada por dos puntos, se le llama
segmento.Porejemplo,sitenemosalospuntosaybsobrelarectaB,obtenemosalsegmento:
Semiplano: toda recta perteneciente a un plano separa al mismo en dos porciones, cada uno
de ellos recibe el nombre de semiplano. A la recta que da lugar a los dos semiplanos se la llama
fronteraorectadedivisión.
Estas semirrectas son opuestas, es decir que tienen sentidos
opuestos,talcomoloindicalaflecha.
B
Segmento:
Semiplano
Recta de división
a
r
Se lee: semiplano
con borde en la
recta r que contiene
al punto a.
Entoncesdecimosquelarectarseparaalplanoαenlossemiplanos y .
15. 12
Punto Recta Plano
Actividad N° 1
Escogélaopciónymarcaconuna“X”alaquemejorclasifiquealossiguientesobjetos:
4
a)Unaservilleta
b)Eltallodeunaflor
c)Laportadadeunlibro
d)Unaestrellalejanavistadesdelaventana
Punto
Punto
Punto
Recta
Recta
Recta
Plano
Plano
Plano
Seguimosavanzando…
Ángulo: se llama ángulo a la región del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el
mismoorigen.Porejemplo,dadaslassemirrectas y tenemosalángulo .
Elinstrumentoqueseutilizaparamedirlosánguloseselsemicírculo:
Definición de ángulo
Se lee: ángulo
Ángulo
Medición de ángulos
16. 13
Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
El semicírculo está dividido en 180 partes iguales y por doble numeración, de izquierda a
derechaydederechaaizquierda.Acadaunadeesaspartessedenominagradoyseescribe1°.
¿Cómoloutilizamos?
Dibujaunángulode135°:
TrazaunasemirrectadeorigenBquepaseporC.
Sitúa el centro del transportador en el vértice B de modo que la recta pase por la
marcade0°.
Marcaunputoen135°yllámaloA.
UneAyB.
Ejercicio de ejemplo
17. 14
Clasificación de ángulos según su amplitud
Ángulo recto = 90°
Ángulo llano = 180°
Ángulo completo = 360°
Ángulo obtuso
más de 90°
Ángulo agudo
menos de 90°
Clasificación de ángulos: su complemento y su
suplemento
Son complementarios por que al
sumarlos da como resultado 90°.
Son suplementarios por que al
sumarlos da como resultado 180°.
18. 15
Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
Clasificación según su posición: ángulos consecutivos,
adyacentes y opuestos por el vértice.
Consecutivos Adyacentes Opuestos por el vértice
Tienen el vértice y un
lado común.
Tienen el vértice y un
lado común y suman
180°.
Tienen solo el vértice
en común. Miden lo
mismo.
A
B
C
D
E
F
Ahora vamos a trabajar para calcular los ángulos, pero antes
tenés que saber que los ángulos se miden en grados, minutos y
segundosyporesoteenseñaremosautilizarlacalculadoracientífi-
caquetepermitiráobtenerlosdemaneramássimple.
Tecla de grados,
minutos y segundos
En primer lugar, la tecla de la calculadora que
indica los grados (°), los minutos ( ) y los segundos
( )eslasiguiente:
19. 16
Para introducir el ángulo 90° 45' 53" tecleamos lo siguiente:
y aparece en pantalla
Pulsando obtenemos
9 0 4 5 5 3
Ahora,tevamosamostrarcómointroducirelángulo:
Ejercicio de ejemplo
4 Ejemplo1:Calcular90°45'53"+23°45'59".Presionalosiguiente:
+
9 0 4 5 5 3
2 3 4 5 5 9 =
114.5311111
Pulsando resulta
4 Ejemplo2:Calcular2.120°14'23"-45°16':24°12".Presionalosiguiente:
-
2 0 1 4 2 3
4 5 1 6 5 9
238.5935953
Pulsando resulta
2 X 1
2 4 0 1 2 =
Atención:
Observa que al introducir el ángulo 24° 12" hemos tenido que poner 0',
para que distinga los minutos de los segundos. Además, el resultado 238° 35' 36.9"
lo aproximaremos por 238° 35' 37"
20. Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
Actividad N° 2
Calculálassiguientessumasyrestasdeángulos:
4
a)25°33'57"+34º89'56"=
b)109°31'27"-56º12'78"=
Posiciones relativas entre dos rectas.
Rectas secantes: son rectas que se cortan en un punto, según la posición que tengan pueden
clasificarseen:
Rectas no secantes: son rectas que no se cortan entre sí, es decir que no tienen puntos en
común,seclasificanen:
Rectas perpendiculares Rectas oblicuas
90°
A A
A
B
B
B
Rectas paralelas
a
Al cortarse forman cuatro ángulos no
rectos. Simbólicamente: A / B. ( es el
/
símbolodeoblicua)
17
Notienenningúnpuntoencomún.
Simbólicamente:A//B( eselsímbolodeparalelismo)
//
21. 18
Pares de ángulos formados por dos rectas paralelas
cortadas por una transversal
A º B
Rectas coincidentes
Tienentodossuspuntosencomún.
Simbólicamente:AºB(Aescoincidentea B).
Dadas las siguientes rectas paralelas A y B, cortadas por la transversal C, se forman los siguien-
tesángulos:
A
B
C
Los ángulos comprendidos entre las rectas A
y B se denominan ángulos interiores ( , , y )
Los demás ángulos se denominan ángulos
exteriores ( , , y )
Transversal C
Paralelas A y B
Ángulos
Se definen teniendo en cuenta las rectas paralelas A//B y, con respecto a la transversal, semi-
plano izquierdo y semiplano derecho. De esta manera, se delimitan nuevos ángulos (siempre se los
comparadeapares):
Ánguloscorrespondientes:
Ÿ Estánenelmismosemiplanoconrespectoalatransversal.
Ÿ Unoesinternoyelotroexternoconrespectoalasparalelas.
Ÿ Propiedad:igualesentreellos.
22. 19
Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
A
B
C
Correspondientes
Correspondientes
Correspondientes
Correspondientes
Ángulos correspondientes
Enelgráficosoncorrespondienteslossiguientesángulos:
y ; y ; y ; y
Esdecirque,alserigualesambos,sepuedeafirmarque:
; ; ; (vanamedirlomismo)
Conjugados:puedenserinternosoexternos.
A A
B B
C C
Conjugados
internos
Conjugados
externos
Conjugados
internos
Conjugados
externos
Internos Externos
Ÿ Estánenelmismosemiplanoconrespectoalatransversal.
Ÿ Soninternosoexternosambosconrespectoalasparalelas.
Ÿ Propiedad:suplementarios(suman180°)entreellos.
23. 20
Enelgráficosonalternosinternoslossiguientesángulos:
y ; y .
Esdecirque,alserigualesambos,sepuedeafirmarque:
= ; =
Sonalternosexternoslossiguientesángulos:
y ; y
Esdecirque,alserigualesambos,sepuedeafirmarque:
= ; =
Enelgráficosonconjugadosinternoslossiguientesángulos:
y ; y
Esdecirque,alsersuplementariosambos,sepuedeafirmarque:
=180°; =180°
Sonconjugadosexternoslossiguientesángulos:
y ; y
Esdecirque,alsersuplementariosambos,sepuedeafirmarque:
=180°; =180°
Alternos:puedenserinternosoexternos.
Ÿ Estánendistintosemiplanoconrespectoalatransversal.
Ÿ Soninternosoexternosambosconrespectoalasparalelas.
Ÿ Propiedad:igualesentreellos.
A A
B B
C C
Alternos
internos
Alternos
externos
Alternos
internos Alternos
externos
Internos Externos
Alternos
24. 21
Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
A
B
C
Opuestos por el vértice
Opuestos por el vértice
Opuestos por el vértice Opuestos por el vértice
Ángulos opuestos por el vértice
Suplementarios:(suman180°) .
Ejercicio de ejemplo
A
B
T
4 Calculalaamplituddelosángulos .Justifica.
s,g yp
A//B
T: transversal
por ser conjugados externos
por ser correspondientes
por ser alternos internos
25. 22
Dadoslossiguientesángulos:
4
y
Realizálassiguientesoperacionesenlacalculadora:
a)
b)
c)
Observá la siguiente figura y luego contestá las preguntas justificando tu
4
respuesta:(elprimerocomoejemplo,luegoseguíshaciendovos).
Actividad N° 3
Ejercicios
a)¿Cómosonlosángulos y ?...
Sonadyacentesysuplementariosporquesuman180°.
b)¿Cómopodemosllamaralosángulos y ?
c)¿Sonsuplementarioslosángulos y ?
d)¿Sonigualeslosángulos y ?¿Porqué?
e)¿Soncorrespondienteslosángulos y ?
f)¿Cómosonlosángulos y ?
A
B
S
1 2
3 4
7 8
6
5
26. 23
Ejemplo porseralternosinternos.
Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
g)¿Eselángulo correspondientealángulo ?
h)¿Sonigualeslosángulos y ?¿Porqué?
i)¿Cómopodemosllamaralosángulos y ?
j)¿Sonalternosinternoslosángulos y ?
Calculálaamplituddelosángulosfaltantesjustificandoturespuesta:
4
A
B
T
Bisectriz de un ángulo
Seguimosadelante…
Eslasemirrectaquepartedelvérticedeunánguloylodivideendosexactamenteiguales.
Seguíelsiguienteprocedimientoparadividirunánguloendosiguales:
27. 24
Unimos el vértice del ángulo con el punto
decortedelosdosarcos.
Estasemirrectaesla delángulo.
bisectriz
A A
A
B
B
B
Pinchamos el compás en el vértice del
ángulo y trazamos un arco que corta los
ladosendospuntosAyB.
Pinchamos el compás en el punto A y
trazamos un arco. Con la misma abertura
trazamosotroarcodesdeB.
Losarcossecortanenunpunto.
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular (forma un ángulo de 90°) a dicho
segmentoquecortaaésteendospartesiguales.
Porejemplo,dadoelsegmento:
28. 25
Propiedad de la mediatriz: todos los puntos de la mediatriz equidistan (están a la misma
distancia)delosextremosdelsegmento.
Procedimientoparalaconstruccióndelamediatriz:
Tomáelcompásy hacélosiguiente:
Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
90°
A
A
A
A
B
B
B
B
a
Mediatriz
La abertura del compás debe
llegarmásalládelpuntomediode .
Mantener la misma abertura para
losdosarcos.
d mediatriz
esla de .
d
29. 26
Ejercicios de la Unidad N° 1
4 Dibujálossiguientesángulosyclasificalossegúnsuamplitud:
a) 135°
b) 45°
c) 365°
d) 90°
e) 180°
4 Hallá el valor de los ángulos faltantes que se forman con estas dos rectas
paralelascortadasporunatransversal,apartirdelquesetienecomodato:
4 Hallálamediatrizdelsiguientesegmento:
4 Hallálabisectrizdelsiguienteángulo:
D
E
d
D e
d
30. 27
Entes geométricos UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
Hemos finalizado la primera unidad de es este módulo, esperamos que hayas comprendido. Si
no es así, volvé a leer y a hacer los ejercicios propuestos, también acordate que contás con la
apoyaturadelostutoresenlosnúcleosyenelaulavirtual.
¡Ánimosyadelante!
31.
32. 29
A continuación, estudiaremos los triángulos pero, para poder definirlos, primero tenemos que
aprender quésonlospolígonos:
Triángulos. Resolución
de triángulos rectángulos.
Cuadriláteros.
UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
Polígonos
Unpolígonoesunafigurade3omáslados.Poli:muchosyGonos:ángulos
4
Clasificación de polígonos según su cantidad de lados
Triángulo: tres lados Cuadrilátero: cuatro lados Pentágono: cinco lados
Hexágono: seis lados Heptágono: siete lados Octógono: ocho lados
Eneágono: nueve lados Decágono: diez lados Undecágono: once lados
33. 30
Es el polígono de tres lados, quizás por ser el polígono de menor cantidad de lados ha sido una
de las figuras más estudiadas. Al ser una figura rígida e indeformable ha servido para ser elegido
comosoportededistintosdiseñosestructurales.
Elementosdeuntriángulo:(Mirandolafigurapodemosvisualizar)
Loselementosdeuntriánguloson:
Vértices: A ,B, C
Lados:a,b,c
ÁngulosInteriores: .
Elementos de un polígono
A
B
C D
E
a
b
c
d
e
Loselementosdeunpolígonoson:
Vértices:A, B, C, D, E.
Lados: segmentos determinados por dos
vérticesconsecutivos:a,b,c,d,e.
Diagonales: segmentos determinados por dos
vértices no consecutivos. (son los segmentos en
líneapunteada): .
Ángulosinteriores: .
Ángulos exteriores: son adyacentes a los
ángulosinteriores: .
Triángulo
A
B
C
a b
c
35. 32
Conociendodosángulos y podemoshallarel
ángulofaltante :
Sabemos que por la propiedad la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
iguala180°.
Propiedades de los triángulos: suma de los ángulos
interiores
Vamosaresolverunejemploparaquepuedascomprenderlapropiedad.
Entodotriángulolasumadelosángulosinterioresesiguala180°.
4
a b
c
Ejercicio de ejemplo
4 Respondélassiguientespreguntasentucuadernodeapuntes:
A B
C = ?
a b
c
Reemplazamos:
1)Sumamoslosángulosconocidos: 2)Luegoa180°lerestamosesteresultado:
36. 33
Propiedad:entodotriángulo,lasumadelosángulosexterioresesiguala360°
4
Porlotanto,elángulofaltantemide122°4'55"
Apretamos
+
2 5 3 0
3 2 2 5 3 1 =
57,565
Luego apretamos la tecla y se obtiene
Seguidamente, a 180° le restamos este resultado
1 8 0
5 7 5 6 5 =
4 Sumaconlacalculadora
Sumamoslosángulosconocidos:
Suma de ángulos exteriores
Losángulosexterioressonlosángulosadyacentesalosángulosinteriores.
Porejemplo,eneltriángulolosángulosexterioresson:
A
B
C
a
b c
4
3
55
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
37. 34
Actividad N° 4
Ejercicios
4 Calculáelángulointeriorfaltante:
4 Calculáelánguloexteriorquefalta,resolvemosjuntosunodeejemplo.
Al igual que en la suma de los ángulos interiores, vamos a resolver unos ejercicios de aplicación
parairfamiliarizándonosconlosconceptostrabajados.
Ejercicio de ejemplo
Para calcular el ángulo que falta, planteamos la propiedad de los ángulos exterio-
resdelostriángulos.
Reemplazamos:
127°+42°+x=360°
Sumamoslosángulosconocidos
169°+x=360° Despejamosla“x”
x=360°-169° lerestamosa360°lasumadelosángulosconocidos
x=191°
Entonces
(escribimos “x” porque es la
incógnita que queremos calcular)
B
C
A
a
b
c
F = 80°
V
A = 45°
k
j
l
38. 35
“En todo triángulo cada ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adya-
centesaél”.
Tenemos que en el triángulo , es un ángulo exterior y los ángulos , son ángulos
interioresnoadyacentesa ,(nosuman180°),porlotantosecumpleque:
4 Dadoelsiguientetriángulo,calculáelánguloexterior :
4 Calculálamedidadelánguloexteriorfaltante:
Ejercicio de ejemplo
A
l k
j
Ángulos externos y ángulos interiores
B
C
A
a
b
c
B
C
A
a
b
c
68°
56°
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
40. 37
Enéstetriángulotenemosque:
a=hipotenusa
b=cateto
c=cateto
Porlotanto, secumpleloqueproponerelteorema:
2 2 2
a = b + c
4 Lahipotenusaalcuadradoesigualalasumadesuscatetosalcuadrado.
Podemos decir que si se cumple el Teorema de Pitágoras, el triángulo será rectán-
gulo,esdecirque:
Para que un triángulo sea rectángulo, el cuadrado de lado mayor (hipotenusa) ha
deserigualalasumadeloscuadradosdelosdoscatetos(TeoremadePitágoras).
Enestecaso,tenemosque:
5=hipotenusa; 3=cateto; 4=cateto.
PlanteandoelTeoremadePitágoras:
,resolviendoambosmiembros:
Por lo tanto, como cumple con lo que propone el teorema, podemos asegurar que
estetriánguloesrectángulo.
Ejercicio de ejemplo
Teorema de Pitágoras
Ejemplo1
Indicásielsiguientetriánguloesonorectángulo:
4
4 m
3 m
5 m
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
41. 38
Ejemplo2
4 Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 m y 4 m respectivamente.
¿Cuántomidelahipotenusa?
Ejemplo3:
4 Lahipotenusadeuntriángulorectángulovale5myunodesuscatetosvale3m.
¿Cuántovaleelcatetofaltante?
b
4 m
3 m
3 m
5 m
a
PlanteandoelTeoremadePitágorasqueda:
, despejando “a” (la potencia del pri-
mermiembropasacomoraízalsegundomiembro):
,calculandoelresultadoesa=5m.
Porlotanto,lahipotenusavale .
5metros
PlanteandoelTeoremadePitágoras:
, despejando la incógnita que
enestecasoesellado“b”nosqueda:
Porlotanto,elladobmide4metros.
Ahorateproponemoselsiguienteejerciciodepráctica:
42. 39
Alturasdeuntriángulo
Denominamos altura a cada una de las rectas perpendiculares
trazadasdesdeunvérticealladoopuesto(osuprolongación).
¿Cómo se trazan? Veamos en el siguiente triángulo, recordá
teneramanounaescuadra.
Sigamosanalizandoalostriángulos…
x
5 cm
7 cm
Calculácuántovaleelladofaltantedelsiguientetriángulorectángulo:
4
Actividad N° 5
Elementos notables de un triángulo
A A
B B
C C
A
B C
Dibujo con escuadra
altura del lado BC altura del lado AB
altura del lado AC
S:
Á H
T
I O
S J
E A
C
E
N
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
43. 40
Ortocentro
Eselpuntodecortedelastresalturas,loidentificamosconlaletra“O”.
Por ejemplo, si trazamos las alturas como vimos en el ejemplo anterior, en el siguiente triángu-
loéstassecortaríanenelpunto“O”queseríael“ortocentro”:
Medianasdeuntriángulo
Llamamos mediana a cada una de las rectas que une el punto medio de un lado con el vértice
opuesto:
Baricentro
Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une al baricentro con
el vértice mide el doble que el segmento que une al baricentro con el punto medio del lado
opuesto.
En el siguiente triángulo, si trazamos las medianas de los lados, éstas se van a cortar en el
punto “G” y éste será el baricentro:
Ortocentro
A B
C
O
b
a
c
G
44. 41
G
Baricentro
Mediatrices de un triángulo
Denominamos mediatriz a cada una de las rectas perpendiculares trazadas a un lado por su
punto medio.
Por ejemplo, si trazamos en el siguiente triángulo rectas perpendiculares a los lados, que
pasen por su punto medio y que formen un ángulo de 90°, obtendremos las mediatrices:
Ma
Mb
Mc
A
B
C
Circuncentro
Es el punto de corte de las tres mediatrices. Además, este punto es el centro de una circun-
ferencia circunscripta en el triángulo, es decir que ésta pasa por sus tres vértices al mismo
tiempo. Veamos un ejemplo:
Si trazamos las mediatrices de un triángulo y marcamos su punto de corte (circuncentro),
tomamos el compás y trazamos una circunferencia desde este punto y que pase por uno de los
vértices:
Entonces vemos cómo la circunferencia se circunscribe en el triángulo.
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
45. 42
Bisectrices de un triángulo
Llamamos bisectriz a cada una de las rectas que divide a un ángulo en dos ángulos iguales.
En la unidad I te mostramos cómo construirlo.
Como los triángulos tienen tres ángulos, debemos trazar las bisectrices de cada uno de éstos
comoenelsiguientetriángulo:
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisectrices y por éste pasa una circunferencia que se inscribe en
eltriángulo.
Si trazamos las bisectrices en el triángulo anterior se cortarán en un punto I que es el incentro;
luego, si trazamos una circunferencia con centro en este punto y que pase por los lados del triángu-
lo,obtendremosunacircunferenciadentrodeltriángulo,porlotantoinscriptaalmismo:
Mediatriz
Circuncentro
Circunferencia
Circunscrita
A B
C
S
R
T
P
I
A B
C
a
b
c
r
46. 43
Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no equilátero están alineados, es
decir,pertenecenalamismarecta,llamadaRectadeEuler.
Ahora te damos un ejercicio para que practiques, recordá tener a mano regla, compás, escua-
draytodosloselementosdegeometría.
4 Trazá la circunferencia inscripta y circunscripta al siguiente triángulo:
Recta de Euler
S:
Á H
T
I O
S J
E A
C
E
N
B
a
c
A
C
b
Ejercicio de ejemplo
4 Trazá la “recta de Euler” en el siguiente triángulo:
A
B
C
a
b
c
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
47. Esperamos que estés entendiendo hasta aquí, vamos a seguir avanzando…
Cuadriláteros. Clasificación. Área y superficie
Los cuadriláteros son figuras geométricas de 4 lados. Cuadrilátero significa "cuatro
4
lados"(cuadsignificacuatro,láterosignificalado).
Clasificacióndecuadriláteros
La forma más habitual de clasificar a los cuadriláteros es por el paralelismo de sus lados. Según
estecriterioloscuadriláterospuedenser:
Lados iguales dos a dos.
Cuatro ángulos rectos.
Cuatro lados iguales.
Cuatro ángulos rectos.
Solo dos lados paralelos.
Cuadrado
Rectángulo Trapecio
PARALELOGRAMOS NO PARALELOGRAMOS
Son cuadriláteros con lados paralelos dos a dos.
44
Romboide Rombo Trapezoide
Lados iguales dos a dos.
Ángulos iguales dos a dos.
Cuatro lados iguales.
Ángulos iguales dos a dos.
No tiene lados paralelos.
45
48. 45
Deacuerdoalparalelismodesuslados,podemosclasificaraloscuadriláterosen:
Paralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos. Por ejemplo, mirando el cuadro anterior,
elrectángulo,elcuadrado,elromboyelromboidesonparalelogramos.
Trapecios:tienenunpardeladosparalelos.Porejemplo,segúnelcuadro,eltrapecio.
Trapezoides:sonloscuadriláterosquenotienenladosparalelos.Porejemplo,segúnelcuadro,
eltrapezoide.
Paralelogramo Trapecio Trapezoide
Paralelogramos
Losparalelogramossoncuadriláterosquetienendosparesdeladosparalelos.
Todoslosparalelogramoscumplenconlassiguientescaracterísticas:
Ÿ Susladosopuestostienenlamismalongitud,comovemosenelsiguienteparalelogramo:
y
A B
C
D
Ÿ Sus ángulos opuestos son iguales y los consecutivos suplementarios, como vemos en el
siguienteparalelogramo: y
A B
C
D
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
50. 47
Esunparalelogramoconsus4ladosiguales.
Sus diagonales son perpendiculares entre sí, se cortan en su punto medio y son bisectrices de
losángulosopuestos.ObserváestoenelromboFGHI:
Estapropiedadparticulardelromboesmuyimportanteyaquepermitefácilmentelaconstruc-
cióndelafigura.
F
G
H
I
Bisectrices
Punto medio
Cuadrado
Es un paralelogramo que tiene sus lados y sus ángulos iguales. Es un cuadrilátero especial ya
que cumple con la condición de rectángulo (4 ángulos rectos) y de rombo (4 lados iguales), por este
motivosedicequeelcuadradoesrectánguloyromboalavez.
Trapecios
Son cuadriláteros con un par de lados paralelos pero de distinta longitud a los cuales se deno-
minabases.Susotrosdosladosnosonparalelos.
Ladistanciaentrelasbasesdeltrapeciosellamaaltura.Sedenominamedianaalsegmentoque
tieneporextremoslospuntosmediosdelosladosnoparalelos.
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
51. 48
Tiposdetrapecios
Denominamos trapecio rectángulo al que posee un lado perpendicular a sus bases.
Tienedosángulosrectos,unoagudoyotroobtuso.
Algunosautoreslollamantrapeciobirrectángulo.
Lollamaremostrapecioisóscelessilosladosnoparalelosposeenigualmedida.
Tienedosángulosinternosagudosydosobtusos,quesonigualesentresí.
La mediana de un trapecio es igual a la semisuma (suma de las dos bases dividido dos) de sus
bases.Esdecir,simiráselsiguientetrapecioadvertirásque:
altura bases
mediana
altura bases
base 1
base 1 + base 1
2
base 2
mediana(me)
me =
ángulos rectos
M L
F T
53. 50
Perímetro y área de figuras planas
Elperímetrodeunafiguraesigualalasumadesuslados.
El área de una figura es la porción del plano que cubre. Para medir las superficies se utiliza como
unidad de medida el cuadrado cuyo lado es de longitud 1. Las áreas se miden en centímetros cua-
drados,decímetroscuadradosymetroscuadrados.
Para cada figura vamos a tener fórmulas distintas de perímetro y área porque de la forma de
ésta dependerá la porción del plano que va a cubrir. Veamos el perímetro y área para las diferentes
figuras.Comenzamosconlostriángulos:
PerímetrodeTriángulo(P):esigualalasumadesuslados.
Áreadeltriángulo:esigualalproductoentrelabaseylaalturadivididodos.
Área de un triángulo rectángulo: el área de un triángulo rectángulo es igual al producto de
loscatetospartidopor2.
Base
Altura
Catetos
b
b
a
a
c
c
h
c
b
a
Altura
55. 52
Romboide
Trapecio
Polígono regular
Terminamos con esta unidad. Vamos a hacer ahora algunos ejercicios para complementar la
lecturaasítequedanbienenclarolosconocimientos.
¡Éxitosyadelante!
a
b
h
a
b
B
h
a
l
56. 53
Ejercicio1
4 En tu cuaderno de apuntes dibujá el siguiente
cuadro y completá la tabla teniendo en cuenta
los ángulos interiores del triángulo ABC.
(Te recomendamos que uses la calculadora).
Ejercicio2
4 Graficá y resolvé aplicando las propiedades de los
ángulosdeuntriángulo:
En un triángulo un ángulo interior es igual a 79° y
otro64°,¿cuántovaleelángulofaltante?
Uno de los ángulos congruentes de un triángulo isósceles mide 66°. ¿Cuánto
mideeltercerángulo?
Unánguloagudodeuntriángulorectángulomide59°.¿Cuántomideelotro?
73° 52'37" 51° 16'41"
41°21'35" 32°47'36"
27°52'36" 62°7'24"
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
57. 54
Ejercicio3
4 Calculá los ángulos y lados desconocidos, según el gráfico y los datos que se
plantean.
b) =120°
=70°
=?
a) =105°
=80°
=?
B
C
A
a
b
c
Ejercicio4
4 Halláelvalordesconocidoencadacasodelsiguientetriángulorectángulo:
a) a=8cm
b=9cm
c=x
b) a=5cm
b=4cm
c=x
c) a=x
b=8cm
c=10cm
d) a=6cm
b=x
c=8cm
a
b c
58. 55
Ejercicio5
4 Planteáyresolvélossiguientesproblemascontriángulosrectángulos.
a) Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie de
laescaleradista6mdelapared.¿Quéalturaalcanzalaescalerasobrela
pared?
b) Una escalera de 2,5 m de longitud está apoyada sobre la pared. La
altura que alcanza la escalera sobre la pared es de 1,5 m. ¿Cuánto dista
laescaleradelapared?
* Hacé un bosquejo previamente con los datos para organizar el
problema.
1
0
m
6 m
x
Ejercicio6
4 Resolvélassiguientessituaciones:
a) Calculáelperímetroyeláreadeunrectángulosisulargomide18cmysu
anchoeslamitaddellargo.
b) Sisenecesitaron16metrosdemolduraparadecorarlaorilladeuntecho
cuadrado¿Cuántomidecadaorilladeltecho?
c) Paraelmarcodeunaventanaenformadepentágonoseutilizaron60cm
demadera,¿quécantidaddemoldurallevaencadalado?
d) En la casa de Joaquín han instalado una piscina. Por seguridad, quieren
poner una malla (como cerca) que cubra todo el contorno. Si la piscina
tiene forma rectangular, siendo su largo 9m y su ancho 5m, ¿cuántos
metrosdemallanecesitanparaasegurarlapiscina?
Triángulos. Res. de Triángulos. Cuadriláteros. UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
59. 56
e) Don Carlos necesita cercar un terreno recién sembrado para protegerlo
de los animales. Si el terreno tiene forma rectangular y mide 50 m de
largo y 20 m de ancho, ¿cuántos metros de alambre necesita para poner
4corridasdealambre?
2
f) Calculáelperímetrodeuncuadradode576m deárea.
g) Encontráeláreadeuncuadradoquetiene12hmdeperímetro.
h) Sielperímetrodeuncuadradoes36m,calculásuárea.
60. 57
Seguramente, muchas veces habrás hecho o por lo menos habrás escuchado comparaciones
comolassiguientes:
Ÿ “Elanchodeunterrenoeseldobledesulargo”
Ÿ “La cantidad de habitantes masculinos de una determinada región es la mitad de los
habitantesfemeninos”
Ÿ “Los votos obtenidos por el adversario representan la tercera parte de los que obtuvo el
candidatoganador”
Lascomparacionesquepodemosestablecersonlassiguientes:
Ÿ a)Dosanchos-unlargo
Ÿ b)Unhabitantemasculino–Doshabitantesfemeninos
Ÿ c)Unvotodeladversario–Tresdelcandidatoganador
¿Cómopodemosinterpretarmatemáticamentelascomparacionesanteriores?
Explicándolasdelasiguientemanera:
Ena)larazónquehayentreelanchoyellargodeunterrenoesde2a1obien
Enb)larazónentreloshabitantesmasculinosyfemeninosdeunaregiónes1a2obien
Yenelc)larazónentrelosvotosdeladversarioyelcandidatoganadoresde1a3obien
Cuandosecomparandosmagnitudes:ellargoyelancho,lacantidaddehabitantesmasculinos
y femeninos o la votación obtenida por los candidatos en una elección, se establece la razón entre
lasmagnitudespormediodeunadivisiónindicada.
Paraquepuedasentendermejor,analicemosotrassituaciones:
Razones y proporciones
geométricas
UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
Razón y proporción
61. 58
En unas elecciones, el candidato A obtuvo 320.000 votos y el candidato B 160.000, entonces
larazónentrelosvotosdeAyBesde320.000a160.000,éstaseescribe,
al simplificar da , lo cual indica que por cada 2 votos que obtuvo el candidato A. el candidato B
obtuvo1voto.
Si invertimos la expresión, se obtiene la razón , que significa que por cada voto que obtuvo
elcandidatoB,elcandidatoAobtuvodosvotos.
El delantero de un equipo de fútbol, en 18 partidos, anotó 3 goles. ¿Cuál es la razón entre el
númerodegolesypartidosjugados?
¡Claro!, este jugador tuvo una pobre actuación ya que es la razón entre los goles converti-
dosylospartidosjugados,sisimplificamos,larazónes loquesignificaqueconvirtióungolcada
seispartidos.
Porlodichoanteriormenteestamosencondicionesdedarlassiguientesdefiniciones:
160.000
320.000
Razón:Larazóneselcocienteindicadoentredosnúmeros.
4
Al numerador (el 5) lo denominamos antecedente y al denominador (el 3) lo llamamos
consecuente.
5
3
antecedente
división
consecuente
El cociente o división entre 5 y 3
se llama razón
¡Seguimos!
Vamosaverunaaplicacióndelconceptoderazónenlavidacotidiana.
Porejemplo:
Decirqueparacadahectáreanecesitamos5bolsasdeabonoseríalomismoquedecirquepara
cada4hectáreasnecesitamos20bolsasdeabono.¿Porqué?
Como dijimos, para 1 (una) hectárea necesitamos 5 bolsas, matemáticamente será y que
para4hectáreasnecesitamos20bolsas,locualserá
Porlotanto,larazóndelasexpresionesanterioreses:
=0,2(1dividido5es0,2) y =0,2(4dividido20es0,2)
1
5
4
20
62. Razones y proporciones geométricas. UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
59
Entonces:
Aligualardosrazonesobtenemosunaproporción.Ahorapodemosdefiniresteconcepto.
Enunaproporciónintervienendosrazonesycadarazónconstadedosnúmeros.Ensímboloslo
expresamosasí:
con b y d distintos de 0
=
Proporción:Unaproporciónesunaigualdadentredosrazones.
4
a
b
c
d
=
a
b
c
d
medios
extremos
Ÿ aydsellamanextremosdelaproporción.
Ÿ bycsellamanmediosdelaproporción.
Ahora,volvamosanuestroejemploanterior:
Para verificar si es correcto igualar dos razones sin efectuar el cociente, realizamos el siguiente
procedimiento:multiplicamoslosmedioseigualamoslamultiplicacióndelosextremos:
=
63. 60
Al ser iguales estas multiplicaciones podemos asegurar que estos números forman una
proporción.
Lo que aplicamos fue una propiedad importante de las proporciones a la cual vamos a enunciar
delasiguientemanera:
En símbolos:
Entonces: a . d = b . c
1
5
4
20
medios
medios
extremos
extremos
20
20
20
.
1
4
.
5
=
=
Propiedad fundamental de las proporciones: En toda proporción, el producto de los
4
mediosesigualalproductodelosextremos.
4 Comprobá con la propiedad fundamental si las siguientes expresiones son
proporciones.(Resolvemoslaprimeracomoejemplo)
aplicando la propiedad; por lo tanto no es una proporción.
Actividad N° 6
a)
b) c)
Recordá:
La propiedad fundamental también nos permite hallar el valor de un elemento
desconocido en una proporción.
Propiedad fundamental de las proporciones
65. 62
Aplicamos la propiedad
distributiva.
Efectuamos el pasaje de
términos (los coeficientes
con x al primer miembro
y los sin x al segundo
miembro).
Resolvemos las opera-
ciones en cada miembro
Verificamosreemplazandoelvalordexencontradoenlaecuación.
c)
Atención:
Para calcular en forma práctica el elemento desconocido de una proporción también
podemos proceder de la siguiente manera:
Para calcular un extremo multiplicamos los
medios entre sí y dividimos por el extremo
conocido.
Para calcular un medio multiplicamos los
extremos entre sí y dividimos por el medio
conocido.
66. 63
Entucuadernodeapuntes:
4 Calculá el valor de x teniendo en cuenta si es el medio o el extremo. Podés
guiarte con los ejercicios hechos anteriormente o con el último procedi-
miento enunciado:
Ahoraqueyasabésloqueesunaproporción,podemosdarunadefinición:
Actividad N° 7
a) b) c)
Chocolates
Precio $
1 2 3 4
20 40 60 80
x2
x2
x3
x3
x4
x4
Podemos ver un ejemplo de esto en el siguiente cuadro que nos muestra chocolates y sus
preciosrespectivos:
Magnitudes directamente proporcionales: Dos magnitudes son directamente
4
proporcionales si al aumentar o disminuir una de las magnitudes, aumentamos o
disminuimosenlamismaproporciónlaotramagnitud.
Por lo tanto, estas magnitudes (chocolates y precio) son directamente proporcionales puesto
quealaumentarloschocolates,elprecioaumentaenlamismaproporción.
Lomismopasaríasidisminuimoslacantidaddechocolates,elpreciotambiénvaadisminuiren
lamismaproporción.
Magnitudes directamente proporcionales
Razones y proporciones geométricas. UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
67. 64
Primeraformaderesolver:
1) Porproporción:
Podemos plantear como una proporción y resolver ésta como lo hacíamos anteriormente, es
decir:
Con frecuencia, se nos presentan estos tipos de problemas
cuya solución la podemos obtener planteando una proporción,
comoporejemplo:
Ÿ a) Para pintar una pared de 96m² utilizamos 1,6 litros de
pintura, ¿Cuántos litros de pintura necesitaremos para
pintar480m²depared?
Analizamos las magnitudes que intervienen: superficie de la
pared y cantidad de pintura. Éstas son directamente proporcio-
nales ya que si aumenta la superficie, también aumentará en la
mismaproporciónlacantidaddepinturaquevamosanecesitar.
¿Cómopodemosplantearelproblema?Tenemosdosopciones:
1)Proporción
2)Regladetres.
Y podemos resolverlo, primero aplicando la propiedad fundamental y luego despejando la
incógnita:
Propiedad fundamental Resolvemos la ecuación
Porlotanto,parapintar480m² deparednecesitaremos litrosdepintura.
8
69. 66
Primeraformaderesolver:
1)Porproporción:
Analicemos las magnitudes que intervienen: cantidad de
bolsas y dinero necesario para comprarlas. Las magnitudes son
directamente proporcionales ya que al aumentar la cantidad de
bolsas,senecesitamásdineroparacomprarlas.
Efectuamos el planteo del problema como una proporción y
resolvemos aplicando la propiedad fundamental y resolviendo la
ecuación:
Otroproblemadeejemplo…
Ÿ Si 3 bolsas de abono químico cuestan $1,80. ¿Cuánto
cuestan120bolsasdeabonodelamismacalidad?
Proporción Teorema
fundamental
Resolución
de la ecuación
Porlotanto,120bolsasdeabonocostarán .
$72
Porlotanto,120bolsasdeabonocostarán .
$72
Segundaformaderesolver:
2)Porregladetressimple:
Actividad N° 8
Recordá tener a un lado la calculadora. Podés utilizar cualquiera
de los procedimientos vistos (proporción o regla de tres simple).
70. 67
4 Teproponemosahoraqueresuelvaslossiguientesproblemas,teniendocomo
ejemplolosqueresolvimosanteriormente.
a) Si utilizamos 50 grs de yerba para preparar dos mates, con 3000 grs de yerba.
¿Cuántosmatespodemospreparar?
b) Siparaunapizzanecesitamos120gramosdequeso.¿Cuántosgramosvamosa
necesitarpara8pizzas?
Sigamosadelante…
Debemos tener cuidado al resolver estos problemas porque puede pasar que las magnitudes
con las que estemos trabajando no sean directamente proporcionales; por esto, vamos a definir y
estudiarlasmagnitudesinversamenteproporcionales.
Podemosentendermejorestadefiniciónconelsiguientecuadro:
La velocidad y el tiempo son magnitudes inversamente proporcionales puesto que a mayor
velocidad, menor será el tiempo que se tarde o a menor velocidad, mayor será el tiempo que se
tarde.
Magnitudes inversamente proporcionales
Magnitudes inversamente proporcionales: dos magnitudes son inversamente
4
proporcionales si al aumentar una, la otra disminuye y viceversa, y el producto entre
cadaunadelasrelacionesesconstante.
Velocidad (km/hrs)
Tiempo (hrs)
80 40 20 10
1 2 4 8
÷2
x2
÷4
x4
5
16
Razones y proporciones geométricas. UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
71. 68
En el cuadro, podemos ver cómo cuando la velocidad disminuye de 80 km/h a 20 km/h, (dividi-
mos80k/h:4),eltiempoaumentaen4unidades(multiplicamos1hs.4).
También, al disminuir de 20 km/h a 10 km/h (dividimos 20 km/h:2), el tiempo aumenta en la
mismaproporción,esdecir,de4hsa8hs(4hs.2).
Paraentendermejorestasituaciónvamosaanalizarelsiguienteejemplo:
Ÿ Si 2 obreros tardan 5 días en hacer un muro, ¿cuánto
tardarán4obrerosenhacerelmismomuro?
Si lo quisiéramos resolver como un problema de proporcio-
nalidaddirectapasaríalosiguiente:
Planteamos la proporción, aplicamos la propiedad funda-
mentalyresolvemoslaecuación:
La respuesta sería: 4 obreros tardarían 10 días en hacer el
muro.
¿Quéestápasando?
¡Así es!, no tiene sentido ésta respuesta puesto que 2 obreros tardan 5 dias en hacer el muro y
4 obreros tardan 10 días; no tiene sentido que más cantidad de obreros tarden más días, tendrían
quetardarmenos.
Esto pasa porque resolvimos un problema en el que las magnitudes son inversamente propor-
cionalescomodirectamenteproporcional.
¿Cómoresolveríamosdemaneracorrecta?
Veamos:
Primeroplantemoslaproporcióndelamismaforma
Ahora, cómo nos dice la definición que el producto entre
cada una de las relaciones es constante, podemos calcular
los siguientes productos:
72. 69
Luego, igualamos estas
expresiones y resolvemos la
ecuación:
Porlotanto,4obrerostardarían2díasymedioenhacerelmuro.
Veamosjuntosotroejemployluegovasaprobarvos:
Ÿ Un colono cuenta con alimento balanceado para mantener a 540 pollos durante 12 meses.
Consumiendo la misma cantidad de alimentos, ¿cuántos pollos podrán mantenerse
durante4meses?
Porlotanto, .
sepodránmantener1620pollosen4meses
Ahoravasaponerapruebatusconocimientos.
Igualamos los
productos
Resolvemos la ecuación
Aclaración:
Estos problemas de magnitudes inversamente proporcionales tampoco se pueden resolver por
regla de tres simple directa.
Planteamos el problema
como una proporción:
Realizamos las multiplicaciones, igualamos y resolvemos la
ecuación:
Razones y proporciones geométricas. UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
73. 70
Sigamosavanzando…
Al estudiar el módulo 1, vimos las formas equivalentes de expresar un número decimal, ahora
levamosaagregarunadefiniciónmás:elporcentaje.
Como dijimos, si queremos expresar la forma equivalente de un número decimal,por ejemplo,
comofracciónsería:
Actividad N° 9
Resolvé los siguientes problemas de magnitudes inversamente propor-
4
cionales,teniendoencuentalasresolucionesanteriores.
Ÿ Veinticuatro trabajadores emplean 5 días en limpiar un campo para el cultivo.
Trabajando en las mismas condiciones, ¿cuántos días tardarán 6 trabajadores
enrealizarelmismotrabajo?
Ÿ Si dos personas tardan 5 días en pintar una casa, ¿cuántas personas se nece-
sitanparapintarlamismacasaen2días?
Ahora, vamos a agregarle a esta expresión que = 3%, es decir que dividir 3 por 100 es lo
mismoquecalcularel3%dealgo;entoncestenemosque:
Definimosentonces:
En matemática, se denomina porcentaje a una porción proporcional del número 100,
4
por lo tanto, puede expresarse como fracción. Si decimos 50 % (este es el símbolo que
representaelporcentaje),significalamitaddecien,el100%eseltotal.
Porcentaje
es el porcentaje
es la razón
es la expresión decimal
74. 71
A continuación, te mostraremos distintas situaciones que se nos pueden presentar y, también,
cómo podemosresolverlasporproporciones.
Ÿ a) Si hay 10 coches en un estacionamiento y 3 son de color amarillo, ¿qué porcentaje (que
partedeltotal)representanestos3coches?
El total (los 10 coches estacionados) se considera que es el 100 por cien (se representa
por100%).
10cochesrepresentanel100%
3cochesnosabemoscuántorepresentan(x%)
Para calcular el porcentaje que representan los 3 coches amarillos, planteamos la proporción,
aplicamoslapropiedadfundamentalyresolvemoslaecuación.
0,5 = un medio
decimos que 0,5 es el 50%
(50 porciento) de la figura.
Entonces,podemosdecirquelostresautosdecoloramarillorepresentanel30%deltotal.
Tambiénpodemosresolverporregladetressimple,esdecir:
Ynossaleelmismoresultado:tresautosdecoloramarillorepresentanel .
30%
Ÿ b) En una familia de 6 hermanos, 4 son rubios. ¿Qué porcentaje representan del total de los
hermanos?
Siempretenemosquebuscarcuálesel100%,esdecir,eltotaldeloquequeremoscalcular.
Por ejemplo, en este caso, tenemos que 6 hermanos representan el 100% y los 4 hermanos
rubiosesloquenosabemos(x),esdecir:
Razones y proporciones geométricas. UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
75. 72
Porlotanto,tenemosqueel deloshermanossonrubios.
66,6%
¿Quépasaríasitedamoselporcentajey queremosobtenerelvalor?
Porejemplo:
Ÿ c)Enunnegociodeelectrodomésticosanuncianqueseharáel25%derebajaporlacompra
al contado. Si el importe de la compra fue de $175. ¿Cuál fue el importe de la rebaja?
¿Cuántodebemospagar?
Enestecaso,el100%representalos$175yel25%esloquedesconocemos(x).
Podemosplantearlaproporción,aplicarlapropiedadfundamentalyresolverlaecuación:
Porlotanto,por$175nosrebajan$43,75pero,¿cuáleselimporteaabonar?
Deberíamosrestareltotalmenoseldescuentoquenoshacen,esdecir:
Porlotanto,elpreciorebajadoseráde$131,25.
Ÿ d) Por una compra de $320, el comerciante efectúa una rebaja de $112, ¿cuál es el porcen-
tajedeldescuento?
Planteamoslaproporción,aplicamoslapropiedadfundamentalyresolvemoslaecuación:
Con esto planteamos la proporción, aplicamos la propiedad fundamental y resolvemos la
ecuación:
Planteamos
la proporción
Aplicamos
la propiedad
fundamental
Resolvemos la ecuación
76. 73
Porlotanto,$112representael35%de .
$320
Ahoratetocaavos…
Aclaración:
Como podemos ver, para formar la proporción, siempre las divisiones se hacen entre las
mismas magnitudes. (Pesos debajo de pesos, porcentaje debajo de porcentaje).
Actividad N° 10
4 Resolvé los siguientes problemas de porcentajes, teniendo en cuenta las
resolucionesanteriores.
a) El 30% del valor de un automóvil es de $2400. ¿Cuál es el valor total del
vehículo?
b) Por la compra de un televisor de $3568, un comerciante efectúa una rebaja
de$465.¿Cuáleselporcentajedeldescuento?
c)Enunnegocioderopaanuncianqueseharáel32%derebajaporlacompraal
contado. Si el importe de la compra es de $587, ¿cuál fue el importe de la
rebaja?¿Cuántopagaráalfinal?
¡Hemos llegado hasta aquí! Ahora vas a seguir afianzando y profundizando tus conocimientos,
ynosotrosteayudaremosenlatarea.
Ahoravamosavercómoserelacionalaproporcionalidadconunpocodegeometría.
Razones y proporciones geométricas. UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
77. 74
Proporcionalidad y semejanza.
Proporcionalidaddesegmentos
Antes de dar definiciones, vamos a recordar qué es la razón entre dos magnitudes. Habíamos
dicho que tenemos que hacer el cociente o división entre esas magnitudes, esto nos da como
resultadounnúmerosinunidades.Porejemplo:
Sisimplificamosel4yel6,nosdacomoresultado ,esdecir:
Larazónentre4my6mserá:
Lo mismo pasa con los segmentos, si tenemos un segmento de 8 cm y otro de 4 cm, sabemos
quelarazónentreéstoses2,esdecir:
También, recordaremos cómo construir un triángulo, ya que éstos están formados por seg-
mentos;porejemplo,eltriángulo:abc
Tenemos que está formado por la unión de los
segmentos
Habiendo recordado esto, podemos definir el teorema fundamental de proporcionalidad en
lostriángulos.
8 cm
4cm
a
b c
Teorema fundamental de proporcionalidad en los
triángulos
Enlossiguientestriángulos,trazamosunsegmentoparaleloaunladodeltriángulo.
79. 76
División de segmentos en partes iguales
Si queremos dividir un segmento cualquiera en partes iguales, realizamos el siguiente
procedimiento:
Dividirelsegmentoab en3partesiguales.
Paso 1: Trazamos una semirrecta que tenga por origen uno
de los extremos del segmento de manera que forme
unánguloagudoconelsegmento.
Paso 2: Consideramos un segmento cualquiera sobre la
semirrectaquesetrazó.
Paso 3: Transportamos este segmento a partir de a, tres
vecesconsecutivassobrelasemirrecta.
Paso 4: Unimos r con el extremo b del segmento dado y por
lospuntosqyptrazamosparalelasarb.
Entonces podemos decir que
Si quisiéramos dividir en 4, 5 o más partes iguales, solamente debemos transportar sobre la
semirrectaauxiliaren4,5omásveces.
a b
b
b
b
b
p
p
q
q
r
r
m n
a
a
a
a
p
Dividíelsiguientesegmentoen6partesiguales:
4
z
Actividad N° 11
80. 77
Observamos que cada punto en una de
las transversales tiene su correspondiente
en la otra transversal, y se distinguen colo-
cando un apóstrofe en la letra; por ejemplo a
sucorrespondienteesa´.
Vemos que las rectas transversales son
R y T y las paralelas entre sí son A//B//C. (A
paralelaaByparalelaaC).
Los segmentos que se forman en la recta R son: etc.... tienen sus segmentos corres-
pondientesenlarectaT
Teorema de Thales: si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales, la razón
4
de cualquier segmento de una de ellas, es igual a la razón de los segmentos
correspondientesenlaotra.
Esdecirqueelcorrespondientedelsegmento es ,elde es …etc.
SegúnelteoremadeThalessecumplelosiguiente:
Aplicaciones del teorema de Thales
Resolveremosalgunosejerciciosenlosqueaplicaremoselteoremaenunciado:
R T
B
A
C
a
b
c
a’
b’
c’
o también entre otras igualdades…
4 Calculáelvalordex.
Datos:
A//B//C
Ejercicios de ejemplo
F
G
H
M N
f
g
h
f’
g’
h’
x
Incógnita:
Razones y proporciones geométricas. UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
81. 78
4 Halláelvalordexey:
Datos:
A//B//C
Incógnitas:
Establecemoslaproporción aplicando elTeoremade
Thales:
y reemplazando los valores nos queda:
Hallamos el valor de x: (primero aplicamos la propiedad fundamental y luego
despejamosx)
Parahallarelvalordeyformamoslasiguienteproporción:
y reemplazando los valores queda
AplicamoselteoremadeThalesyformamoslaproporción:
, reemplazando los valores:
Hallamoselvalordexresolviendolaecuación:
B
A C
a b c
a’
b’
c’
x
y
Atención:
El segmento = 7,7cm +
a’c’
4,4cm = 12,1cm
82. 79
4 1)Calculáelelementodesconocidoencadacaso:
a) b)
4 2) Resolvé el siguiente problema sabiendo que son magnitudes directamente
proporcionales.
Ÿ Si utilizamos 750 grs de harina para preparar dos tartas, con 3000 grs de
harina. ¿Cuántas tartas podemos preparar?
3) Resolvé el siguiente problema con porcentajes:
4
Por la compra de un televisor de $7568, un comerciante efectúa una rebaja
=
de $665. ¿Cuál es el porcentaje del descuento? ¿Cuánto cuesta el televisor
coneldescuento?
4)Resolvéelsiguienteproblemademagnitudesinversamenteproporcionales:
4
5obrerostardan3díasenconstruirunmuro;¿cuántotardarán8obreros?
=
5)Dividíelsegmento en9partesiguales:
4
Por último, resolvemos como siempre, aplicamos la propiedad fundamental y
resolvemoslaecuación,entoncesnosquedaría:
a b
Razones y proporciones geométricas. UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
84. 81
Para comenzar esta unidad te proponemos representar puntos en el plano. Probablemente te
estaráspreguntado:¿Enquéplano?¿Cómosehaceelplano?¿Quépuntos?
Bueno,pasoapasote vamosairacompañandoenesterecorridodeaprendizaje.
Representarlospuntosteserviráparaelsiguientetemaquevasaestudiar:funciones.
Sinmástiempoqueperdernosadentramoseneltema.
Funciones y ecuaciones
UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
Antesdecomenzarconestaunidadvamosadefinirquesonlosejescartesianosycómodibujar
puntossobreelmismo.Prestámuchaatención.
Ejes cartesianos: representación de puntos en el plano
Los ejes cartesianos son dos rectas perpendiculares que dividen al plano en cuatro
4
cuadrantes.
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5 6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0
0
I Cuadrante
II Cuadrante
III Cuadrante IV Cuadrante
LarectahorizontalsedenominaEjeXodelasAbscisas.
LarectaverticalsedenominaEjeYodelasOrdenadas.
85. 82
4 SitenemosunpuntoA=(3,-2).
La primera coordenada 3 corresponde al eje x (horizontal) y la segunda coorde-
nada-2correspondealejey.
Por lo tanto, para representar el punto: tenés que unir con regla mediante líneas
punteadas el 3 del eje x(con una recta paralela a eje y) con el -2 del eje y (Con una recta
paralelaalejex).LainterseccióndeambaslíneaspunteadasrepresentaelpuntoA.
Para analizar mejor, te proponemos que observes y resuelvas en tu cuaderno de apuntes el
siguiente ejemplo para ir clarificando las ideas. Para que te resulte más sencillo podés utilizar hojas
cuadriculadas.
Lospuntosseexpresancomoparordenadodenúmerosllamadoscoordenadasdelpunto.
P = (x, y)
Por ejemplo: P(3,2); Q(-4,7); T(2;-1)
Laprimeracoordenadaxsemideenelejehorizontal(ejex)ylasegundacoordenadayeneleje
vertical(ejey).
Ejercicios de ejemplo
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
1 2 4 5
-1
-2
-3
-4
-5
0
0
-X X
-Y
Y
A (3, -2)
a
b
2) después de moverte 3cm,
desde ese punto te mueves
2cm hacia abajo (por ser negativo)
sobre el eje -y.
3
1) Me muevo 3 cm
hacia la derecha en el eje x
86. Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
83
A continuación te mostramos en un cuadro las referencias de los puntos para que analices,
prestámuchaatención:
Para que vayas practicando a continuación te presentamos un ejercicio: intenta hacerlos
mirandoelejercicioqueacabamosdehacer.
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0
0
-X X
-Y
Y
A
B
C
D
E
F
G
H
S:
Á H
T
I O
S J
E A
C
E
N
CUAD
R
I
C
U
L
A
D
A
,
Punto Par Ordenado
X Y Ubicación
A -4 3 (-4,3) II Cuadrante
B 0 5 (0,5) Eje Y
C 6 2 (6,2) I cuadrante
D 3 0 (3,0) Eje X
E -7 -2 (-7,-2) III cuadrante
F -1 0 (-1,0) Eje X
G 0 -2 (0,-2) Eje Y
H 4 -3 (4,-3) IV Cuadrante
87. 84
Indica las coordenadas de los puntos representados y su ubicación en el
4
plano.
1
2
3
4
5
6
-1
-2
1 2 3 4 5 6 7 8
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0
0
-X X
Y
E
I
K
D
B
J
A
F
C
G
H
-3
-4
-5
-6
-Y
Vamos avanzando en esta unidad y para continuar estudiarás la noción de función. Es impor-
tantequeaprendasestetemaporquelovamosautilizaralolargodelmódulo.
Noción de función
Para introducirnos en el mundo de las funciones te proponemos que analices la siguiente
situación:
En la siguiente tabla se muestran las temperaturas máximas de cada día, medidas en grado
centígrado(°C),entreel1yel9deAbril.
Actividad N° 12
88. 85
Si observás la tabla, podrás ver que te brinda información de los días y las temperaturas alcan-
zadas, por ejemplo: el día 1 de abril la temperatura fue de 14 °C, el 2 de abril la temperatura fue de
10°C,el6deabrilfuede14°C.
Esta relación entre los días y la temperatura, se llama Función. La temperatura está en función
delosdíasdelmesdeabril.
También podemos ver la información de la tabla, en un gráfico, lo que podemos hacer es
expresarlainformacióndelatablacomoparesordenados,P(x,y)endondelosvaloresde“x”serían
los días de abril y los de “y” la temperatura que corresponde a cada uno de esos días y representar
esospuntosenlosejescartesianos.
Por lo tanto, los pares ordenados serían: P(1,14); Q(2,10); T(3,12); U(4,8); O(5,16); W(6,14);
……; E(9,13), Representamos entonces en los ejes cartesianos, como vemos que aparecen todos en
elprimercuadrante,dibujamossolamenteéste:
Días de abril 1 2 3 4 5 6 7 8 9
14 10 12 8 16 14 5 10 13
Temperatura en (°C)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1
-1
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Días de abril
Temperatura en (°C)
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
89. 86
En el eje horizontal podés visualizar los días del mes de abril y en el eje vertical figuran las
temperaturas.
Observandoelgráficopodemosdecirque:
Ÿ Eneldía1deabrillatemperaturafuede14°C.
Ÿ Eneldía4deabrillatemperaturafuede8°C.
Ÿ Lamayortemperaturasedioeldía5deabrilyfuede16°C(sedenominapuntomáximo).
Ÿ Lamenortemperaturafuede5°Celdía7deabril (se denominapuntomínimo).
Ÿ Entre el 5 y el 7 de abril la temperatura descendió, porque la gráfica decrece (a medida que
aumentaxdecrecey,lagráficabaja).
Ÿ Entre el 7 y el 9 de abril subió la temperatura (a medida que x aumenta también aumente y,
lagráficasube).
También se podrían sacar conclusiones acerca de la variación de la temperatura, teniendo en
cuentadosdíasysustemperaturascorrespondientes:
Ÿ Entre el 5 de abril y el 7 abril la temperatura descendió 11°C. Para calcular la variación de la
temperatura hay que restar la temperatura del día 7 y la temperatura del día 5 de
abril:5-16=-11
Ÿ Entreeldía7deabrilyeldía9deabrillatemperaturaascendióoaumento8°C.
Como te habrás dado cuenta, relacionamos los días del mes de abril y las temperaturas, esto
representaunafunción.
Funciones
Para determinar cuándo una gráfica es función hay que trazar rectas verticales y observar
cuantasvecescortanalagráfica.
Ÿ Si corta una sola vez, la gráfica representa una función, porque para un valor de x existe un
únicovalordey.
Una función es una relación entre dos variables x e y. A cada valor de x (variable
4
independiente)lecorrespondeunúnicovalordelavariable y(variabledependiente),
Si“y”estáenfunciónde“x”,seescribey=f(x)selee:“yesigualaefedeequis”
90. 87
Ÿ Si corta más de una vez, la gráfica no representa una función, porque para un valor de x
existemásdeunvalordey.
Cada vez que hago una
recta paralela al eje y, se
corta en un solo punto.
Cada vez que hago una
recta paralela al eje y, se
corta en un solo punto.
1
2
3
4
5
6
-1
-2
1 2 3 4 5 6 7 8
-2 -1
-3
-4
-5
-6
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
91. 88
4 Indicá cuáles de las siguientes gráficas representa
funciones y justificá tu respuesta.
0,5
1
1,5
-0,5
-1
0,5 1 1,5 2
-0,5
X
Y
-1
0
1 2 3 4 5
1
-1
-2
-3
-4 -3 -2 -1
-4
-3
-2
-1
4
3
2
1
4
3
2
1
0
a) b)
c) d)
Actividad N° 13
X
X
X
Y
Y
Y
92. 89
e)
-2 -1 1 2
-1
1
-2
-3
Para comenzar a trabajar con esta nueva función te presentamos una situación de aplicación
quetalvezteresultaconocida.
Un tarefero recoge 30 kg de yerba mate por cada hora y demora media hora preparándose
todoslosdíascuandoinicialajornada.
Realizamosunatablaparaanalizarlasituación:
Función lineal
Demora media (0,5hs) hora preparándose todos los días cuando
inicialajornada,esdecirquenorecogeningúnkgdeyerba.
A una hora y media (1,5 hs) de inicio de la jornada lleva media
horadeorganizacióny1hsdetrabajo,esdecirquerecoge30kgde
yerba.
0.5
1.5
A la primera hora de haber iniciado la jornada recoge 15 kg de
yerba mate porque por hora recoge 30 kg, pero en media hora
recogelamitad.
A las dos horas de inicio de la jornada lleva media hora de orga-
nización y una hora y media de trabajo, es decir que lleva recogido
45kgdeyerba.
Análisis de la situación
Tiempo
en horas
Yerba mate
en Kg
1
2
0
15
30
45
Y
X
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
93. 90
El eje horizontal representa el tiempo en horas y el eje vertical representa la yerba mate en
kilogramos.
La representación gráfica, como observaste, es una línea recta. Ésta representa una función
lineal.
Entonceslacantidaddekgdeyerbarecogidosdependedelacantidaddehorasdetrabajo.
¿CuántosKgdeyerbamate serecogeránenunajornadade8horas?
En ese caso hay que tener en cuenta que en media hora de la jornada no recoge nada, tendrías
quecalcularcuántoskgdeyerbarecogeen7,5horas.
Siporhorarecoge30kg,en7horasrecoge210kg.
Yenmediahoralamitadde30kg,quesería15kg.
Entoncesenunajornadade8hsrecogería:210kg+15kg= 225kgdeyerba.
Estasituacióntambiénlapodemosrepresentargráficamente:
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
10
20
30
40
50
60
Yerba Mate (Kg)
Tiempo (horas)
La función lineal que representa la situación es y = 30x – 15 donde “y” representa los kg de
yerbamaterecogidoy“x”eltiempotranscurridoenhoras.
Toda función del tipo y = a. x + b se denomina función lineal donde a y b son números
4
cualquiera.
94. 91
Teniendo en cuenta que la función lineal se puede representar mediante una fórmula:
Y= a.x+b:
“a” es la pendiente e indica la inclinación de la recta y “b” es la ordenada al origen, indica el
puntodeinterseccióndelagráficaconelejey(esendondelagráficacortaalejedelasy).
La pendiente puede ser positiva o negativa, entonces la gráfica puede ser creciente o decre-
ciente.
Representación de la función lineal
4 Analizamoslasdistintasfuncioneslineales:
Y=2x-1
La pendiente a = 2 y la ordenada al origen b = -1. Esto indica que como la pendiente
2espositivalagráficaserácreciente.
Y la ordenada al origen es el punto de intersección de la recta con el eje y. Observá
detenidamentelagráfica, cortaalejeyen-1,ésaeslaordenadaalorigen.
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
1 2 3 4 5
-1
-2
-3
0
0
-Y
ordena al origen
Ejercicios de ejemplo
Y
X
-X
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
95. 92
La pendiente a = - 2 y la ordenada al origen b = +3. Esto indica que como la pen-
diente -2esnegativalagráficaserádecreciente.
Ylaordenadaalorigen,queeslainterseccióndelarectaconelejey, es+3.
1
2
3
4
-1
-2
1 2 3 4 5
-1
-2
-3
0
0
Y
Ahora que ya tienes una idea general de cómo tiene que salirte la gráfica de una función lineal,
¡¡vamos agraficar!!
Recordá que las gráficas se hacen con lápiz negro, regla y, si tenés, hojas cuadriculadas ya que
teresultaránmásfácilesparagraficar.
Cuando las funciones están definidas por fórmulas, se pueden obtener los puntos que perte-
necenalagráficamediantelaconstruccióndelaTabladeValores,luegoserepresentanlospuntos
enelplanoysetrazalarectaconregla.
X Y = 3x + 1
-2
-1
0
1
2
Ejercicios de ejemplo
Pararepresentary=3.x+1
4
1) Tabla de Valores: se
debe asignar a X
cualquier número real
(convienen siempre
números pequeños).
Y= -2x+3
X
-X
-Y
96. 93
2) Se calcula las operaciones que se obtienen al reemplazar la x por el valor asig-
nadoenlafórmula.
X Y = 3x + 1
3 . (-2) + 1 = -5
par ordenado
-2
-1
0
1
2
3 . (-1) + 1 = -2
3 . 0 + 1 = 1
3 . 1 + 1 = 4
3 . 2 + 1 = 7
(-1, -2)
(-2, -5)
(2, 7)
(1, 4)
(0, 1)
3)Lospuntosobtenidosson:(-2,-5);(-1,-2);(0,1);(1,4);(2,7)
4) Se representan los puntos en el plano, recordando que la primera componente
del punto corresponde al eje x y la segunda componente corresponde al eje y, las
cuales se deben trazar con líneas punteadas y en la intersección de ambas se marca el
punto.
1
-1 2
-2 3
-3 4
-4 5
-5 6
-6
1
0
2
-7
3
-6
4
-5
5
-4
6
-3
7
-2
-1
A
B
C
D
E
X
-X
Y
-Y
Se escribe como
par ordenado;
primero escribimos
al valor que le
damos y luego el
resultado que sale
de reemplazar en
la función.
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
97. 94
1
-1 2
-2 3
-3 4
-4 5
-5 6
-6
1
0
2
-7
3
-6
4
-5
5
-4
6
-3
7
-2
8
-1
A
B
C
D
E
X
-X
Y
-Y
5) Se unen los puntos marcados con regla. Así el grafico obtenido representa una
funciónlineal.
Delagráficalogradasepuededecirqueescrecienteporquelapendienteespositiva+3.
Para que vayas aplicando lo estudiado hasta el momento, te invitamos a representar las
siguientesfuncioneslineales,vasanecesitarreglaylápiznegropararealizarlasgráficas.
4 Representá las siguientes funciones lineales, indicá si son crecientes o
decrecientesteniendoencuentalapendienteylaordenadaalorigen.
a)Y=-2.x+3 c)Y=x-3 e)Y=4.x-5
b)Y=-1.x+1 d)Y=-3.x+2
Actividad N° 14
98. 95
Como vimos en las gráficas anteriores, cuando dibujamos una función lineal, ésta representa
una recta. Vamos a ver cuándo dos rectas son paralelas (no se cortan nunca) o perpendiculares
(entrelasdosformanunángulode90º).
4 Representá los pares de puntos en el plano e indicá si representan una
funciónlineal.
X -2 -1 0 1 2
Y 3 5 0 3 5
X -2 -1 0 2 4
Y 7 6 5 3 1
X -2 -1 0 1 2
Y -8 -4 0 4 8
a)
b)
c)
Rectas paralelas y perpendiculares
Dichodeotramanera,enfórmula:
Y = ax+b va a ser paralela a otra recta: y = cx+d si se cumple que a = c (si las pendientes son
iguales).
Porejemplo:
Y=3.x+1vaaserparalelaalarectay=3.x-2 porquetienelamismapendiente:3
Para que puedas verificar que ambas rectas son paralelas, vamos a graficarla en un mismo
sistemadeejesyvasaverquenosecortan,esdecir,salenparalelas.
Y=3.x+1
y=3.x-2
Dosrectassonparalelassitienenlamismapendiente
4
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
99. 96
Para representar realizamos las tablas de valores para las dos funciones y luego marcamos los
puntosenelplanoytrazamoslasrectas.
Y = 3.x+1 y = 3.x-2
Recordá:
A la x (variable independiente) se le puede asignar cualquier número real.
1
-1 2
-2 3
-3 4
-4 5
-5 6
-6
1
0
2
-7
3
-6
4
-5
5
-4
6
-3
7
-2
8
-1
X
-X
Y
-Y
X X
Y = 3 . x + 1 Y = 3 . x - 2
3. (-2)+ 1 = -5 3 . (-1) - 2 = -5
3. 0 + 1 = 1 3 . 0 - 2 = -2
3. 1 + 1 = 4 3 . 2 - 2 = 4
-2 -1
0 0
1 2
100. 97
X Y = 3 . x + 1
3. (-2)+ 1 = -5
3. 0 + 1 = 1
3. 1 + 1 = 4
-2
0
1
X
-3
0
6
-— . (-3) -2 = -1
-— . 0 -2 = -2
-— . 6 -2 = -4
1
3
1
3
1
3
1
3
Rectas perpendiculares
Dosrectassonperpendicularessitienensuspendientesinversasyopuestas
4
1
c
- —
1
3
—
1
-1 2
-2 3
-3 4
-4 5
-5 6
-6
1
0
2
3
4
-5
5
-4
-3
X
-X
Y
-Y
-1
-2
Y = 3 . x + 1 es perpendicular a la recta: y= - . x-2 porque tiene las pendientes inversas y
opuestas:3y- .
1
3
—
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
101. 98
4 Dada las siguientes rectas, encontrá una paralela y una perpendicular a ella y
representágráficamente.
Y=-2.x+3
Y=-1.x+1
Y=x-3
Y=-3.x+2
Y=4.x-5
Paraquetepuedasguiar,temostramoselejercicioa)
Dadalarecta Y=-2.x+3
Ÿ Para obtener una recta paralela, la condición es que tengan la misma pendien-
te, entonces basta con copiar la misma pendiente y cambiar la ordenada al
origen. Por ejemplo: y = -2.x -2; y = -2.x +1; y = -2-x +5. Existen infinitas rectas
paralelas.
Ÿ Para obtener rectas perpendiculares, la condición es que las pendientes sean
inversasyopuestas.Porejemplo:Y=
Una vez encontrada la recta paralela y la perpendicular, representamos las tres
rectasenelsistemadeejescartesianos.
Y=-2.x+3
Paralela:y=-2.x-2
Perpendicular:Y=
1
2
1
2
x + 1
x + 1
5
3
-1
-3 4
-2
-4
X
X
-1
0
0
2
1
Y= -2 . x -2
Y = -2 . x + 3
Actividad N° 15
102. 99
-2 0
0 1
2 2
X Y =
1
-1 2
-2 3
-3 4
-4 5
-5 6
-6
1
0
2
3
4
-5
5
-4
-3
X
-X
Y
-Y
-1
-2
paralelas perpendiculares
Ecuaciones lineales
Ecuacioneslinealesdeprimergrado
Las ecuaciones lineales de primer grado son del tipo ax + b = 0 con a ≠0, o cualquier otra
ecuación,enlaquealoperaralgebraicamente,adoptenesaexpresión.
Resolucióndeecuacionesdeprimergrado
Engeneral,pararesolverunaecuacióndeprimergradodebemosseguirlossiguientespasos:
1ºQuitarparéntesis.
2ºQuitardenominadores.
1
2
x + 1
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
103. 100
3ºAgruparlostérminosenxenunmiembroylostérminosindependientesenelotro.
4ºReducirlostérminossemejantes.
5ºDespejarlaincógnita.
Empecemosconunejemplosencillo:
Recordá:
Que para pasar un término a otro miembro, lo hacés con su operación opuesta, como lo
vimos en el módulo I.
Ejemplo1:
2x=6
Despejamos la incógnita: (el 2 le está multiplicando a la x por lo tanto pasa al otro miembro
dividiendo).
6
2
x = x = 3
Ejemplo2:
Agrupamos los términos semejantes y los independientes (lo que tiene x en el primer
miembro, lo que no tiene x al segundo miembro), recordando qué pasa con su operación
opuesta:
Ejemplo3:
Quitamosparéntesisdelprimermiembroaplicandolapropiedaddistributiva:
2 x – 3 = 6 + x
2x - x = 6 + 3 x = 9
El x positivo del segundo miembro, pasa
al primer miembro negativo y el 3
negativo del primer miembro pasa al
segundo miembro positivo.
Resolvemos el
primer miembro: 2x
-x = x y el segundo
miembro: 6 +3 = 9
2 (2x -3) = 6 + x
104. 101
Los sistemas de dos ecuaciones se utilizan para resolver situaciones en las que intervienen dos
incógnitas.
Resolverelsistemaeshallarelpar(x,y)quesatisfacesimultáneamentealasdosecuaciones.
Pararesolverlossistemasdeecuacionesexistenvariosmétodos:
Ÿ Métodográfico.
Ÿ Métododeigualación.
Ÿ Métododesustitución.
Ÿ Métododereducciónporsumaorestas.
Ÿ Métododedeterminantes.
En este módulo vamos a trabajar el método gráfico y el de igualación. Los demás métodos
no se estudiarán pero vas a tener las herramientas necesarias como para desarrollarlos si en algún
momentolosnecesitás.
12
3
x = x = 4
LuegoresolvemoscomovimosenelejercicioanterioryenelmóduloI:
Despejamoslaincógnita:
Parareforzar,vamosahaceralgunasecuaciones.
2 . (2x - 3) = 6 + x
4x - 6 = 6 + x
4x – x = 6 + 6
Sistema de ecuaciones
4 Halláelvalordex
a)3.(2x-3)=4.x-5 b)5.x-1=9
Actividad N° 16
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
105. 102
Método gráfico
Elmétodográficonospermiteverlasolucióndelsistemagráficamente.Paraello,tenemosque
representarlasfuncioneslinealesqueestudiasteanteriormente.
La función lineal tiene la forma y = ax+b, lo que significa que debemos despejar “y” de las dos
ecuaciones,yluegorepresentarelsistemadeejescartesianos.
La solución del sistema es el punto de intersección de ambas rectas, es decir, en donde se
cortanlasdosrectas.
4 Representamoselsiguientesistemadeecuaciones:
Debemosdespejarla“y”delasdosecuaciones:
Y = 20-x
Y = 50-4x
Luego,construimoslatabladevaloresparacadaunadelasfuncioneslineales:
Una vez finalizadas las tablas, representamos gráficamente y observamos el punto
deinterseccióndelasdosrectas.
Ejercicios de ejemplo
î
í
ì
=
+
=
+
50
4
20
y
x
y
x
0 50
30
10
0 20
5 15
10 10
X
X
5
10
Y = 20 - x
Y= 50-4x
106. 103
Observáqueexisteunsolopuntodeinterseccióncomúnaambasrectas.
Cuyascoordenadasson:x=10y=10
LasolucióndelsistemaesS=(10,10)
Debemostenerencuentalosdiferentesgráficosporque existentresposibilidades:
Ÿ 1) Que las rectas tengan un solo punto en común, que es lo que pasó en el ejercicio hecho
anteriormente, esto significa que el sistema tendrá una única solución y vendrá dada por
lascoordenadasdelpuntodecorteentrelasdos.
Ÿ 2) Que las rectas no se corten en ningún punto, es decir, que sean paralelas y distintas. Esto
quieredecirqueelsistemanotendrásolución.
Ÿ 3) Que las dos rectas, al ser dibujadas, coincidan en todos sus puntos, esto quiere decir que
elsistemavaatenerinfinitassoluciones.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
-5
-10
-15
-20
-25
-30
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
solución
x=10
y=10
y = 50 - 4x
y = 20 - x
4 Encontrá la solución de los siguientes sistemas resolviendo por el método
gráfico y decidí si tienen una única solución, no tienen solución o tienen
infinitassoluciones:
Actividad N° 17
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
107. 104
Método de igualación
Elmétododeigualaciónconsisteen:
Ÿ 1)Despejardelasdosecuacioneslamismaincógnita.
Ÿ 2)Igualarlasdosexpresionesobtenidas.
Ÿ 3)Resolverlaecuaciónconunasolaincógnitaqueresultadelaigualación.
Ÿ 4) Reemplazar el valor obtenido en el paso anterior, en cualquiera de las dos expresiones
delprimerpaso.
4 Resolvemoselsistemasiguiendolospasos:
Despejamosdelasdosecuacioneslamismaincógnita.
Vamosadespejardelasdosecuacioneslay:
Y = 20-x
Y =50 - 4x
Los primeros miembros son iguales ya que se trata de la misma incógnita, es decir,
representanelmismovalorenambasecuaciones.Entonces:
Igualamoslasdosexpresioneslogradas.
î
í
ì
+
-
=
-
=
3
1
3
x
y
x
y
î
í
ì
+
-
=
+
=
10
2
5
3
x
y
y
x
y
1) 2)
î
í
ì
=
-
=
+
2
0
y
x
y
x
î
í
ì
=
-
=
-
1
2
12
x
y
y
x
3) 4)
Seguidamente, estudiaremos el método de igualación. Éste es un método analítico que te
permitiráencontrarlasolucióndelsistemasinrealizarlagráfica.
î
í
ì
=
+
=
+
50
4
20
y
x
y
x
20 – x = 50 – 4x
Ejercicios de ejemplo
108. 105
Observá que obtuvimos una ecuación con una sola incógnita que es x, por lo tanto,
podemoshallarsuvalor.
Resolvemos la ecuación con una sola incógnita que resulta de la igualación y
despejamos:
20 – x = 50 – 4x
Reemplazamos el valor obtenido en el paso anterior en cualquiera de las dos expre-
sionesdelprimerpaso.
Reemplazamosx=10enunadelas dosexpresionesobtenidasaldespejary.
Y= 20 - x
Y= 50 - 4x
Obtenemos Y = 20-10 = 10 Y=10
Concluimosquelasolucióndelsistemaesx=10;y=10.Tambiénloexpresamosasí:
S={(10;10)}
Enelcasoanalíticotambiénpodemostenerlastresposibilidadesparalasolución.
-x + 4x = 50 20
3x = 30
x = 10
¡Felicitaciones! Terminamos con esta última unidad, ahora vamos a hacer algunos ejercicios
paraquequedebienenclarotodo…
–
Funciones y ecuaciones. UNIDAD DIDÁCTICA N° 4
109. 106
4 Resolvélassiguientesecuacioneslineales:
a) 3x-7=-5x+9
b) 4.(2x+3)=2x+9
4 Decidí si los siguientes pares de rectas son paralelas, perpendiculares o
ningunadelasdos,justificandoturespuesta:
4 Resolvé los siguientes sistemas de ecuación por método gráfico y decidí si
tienen:únicasolución,notienensoluciónotieneninfinitassoluciones:
4 Resolvé los sistemas de ecuaciones del ítem 2) por método de igualación y
decidir si tienen: única solución, no tienen solución o tienen infinitas
soluciones.
y=3x+7
y=-3x-5
y=4x+3
y=4x-5
y=x+7
y=x-5
a) b) c)
12x -3y = 6
-3x + y = -1
112. 109
EJERCICIOS DE LA
UNIDAD DIDÁCTICA N° 1
SOLUCIONES
Ejercicio N° 2
Hallar el valor de los ángulos faltantes que se forman con estas dos rectas paralelas cortadas por una transversal, a
partirdelquesetienecomodato:
Por ser opuestos por el vértice.
Por ser adyacentes; por lo tanto:
Por ser correspondientes.
Por ser correspondientes.
Por ser opuestos por el vértice.
Por ser opuestos por el vértice.
Ejercicio 4:
Hallarlabisectrizdelsiguienteángulo:
D
D
d
d
e
e
1er paso: apoyo el compás sobre la semi-
rrecta e y formo un arco. Luego hago lo mismo
desde la semirrecta d y formo otro arco de tal
manera que se corte en un punto P con el hecho
anteriormente:
P
113. 110
d
2do paso: trazo la bisectriz desde el vértice
DquepaseporelpuntoP.
D
e
P
Bisectriz
EJERCICIOS DE LA
UNIDAD DIDÁCTICA N° 2
Ejercicio 2:
Graficaryresolveraplicandolaspropiedadesdelosángulosdeuntriángulo:
a) Enuntriángulounángulointerioresiguala79°yotro64°,¿cuántovaleelángulofaltante?
b) Unodelosánguloscongruentesdeuntriánguloisóscelesmide66°.¿Cuántomideeltercerángulo?
c) Unánguloagudodeuntriángulorectángulomide59°.¿Cuántomideelotro?.
Enestecasoresolveremosel ítema)puestoquelosotrossonsemejantes…
a) Enuntriángulounángulointerioresiguala79°yotro64°,¿cuántovaleelángulofaltante?
En primer lugar dibujamos el triángulos para ver la situación; tienes que tener a mano los elementos de
geometría:
Por propiedad, sabemos que la suma
de los tres ángulos de un triánguloda como
máximos 180°; por los tanto plantemos la
ecuación y despejamos el ángulo descono-
cidoX:
A B
C = x?
a b
c 79°
64°
Por lo tanto el ángulo faltante vale 37°.
Ejercicio 3:
Calcularlosángulosy ladosdesconocidos,segúnelgráficoylosdatosqueseplantean
114. 111
SOLUCIONES
B
C
A
a
b
c
En este caso por propiedad sabemos que la suma de los ángulos exteriores de un triángulo da como resultado
360°;planteamosestoydespejamoslavariabledesconocida:
Por lo tanto, la variable desconocida vale 175°.
Hallarelvalordesconocidoencadacasodelsiguientetriángulorectángulo:
a) a=12cm
b=x
c=8cm
En primer lugar planteamos el teorema de Pitágoras; puesto que
estamostrabajandocontriángulosrectángulos:
b
c
a
Luego reemplazamos los datos que conocemos.
; despejamos la x y nos queda:
Por lo tanto la variable desconocida vale 8,9cm.
115. 112
Ejercicio N° 5, b)
Una escalera de 2,5 m de longitud está apoyada sobre la pared. La altura que alcanza la escalera sobre la pared es
1,5m.¿Cuántodistalaescaleradelapared?Haceunbosquejopreviamenteconlosdatosparaorganizarelproblema.
Primerohacemoselbosquejoparaanalizarlasituación:
Longitud de la escalera
Altura de la pared
Distancia entre la pared y la escalera
Como se forma un triángulo rectángulo, podemos plantear el teorema de Pitágoras y luego despejar la variable
desconocida:
Porlotantoladistanciaentrelaescaleraylaparedesde .
2metros
Ejercicio N° 6, d)
Resolvélassiguientessituaciones:
En la casa de Joaquín han instalado una piscina. Por seguridad, quieren poner una malla (como cerca) que cubra
todo el contorno. Si la piscina tiene forma rectangular, siendo su largo 9m y su ancho 5m, ¿cuántos metros de malla
necesitanparaasegurarlapiscina?
Primerodibujamoselrectánguloquesimulalasituación:
5m
9m
2,5 m
1,5 m
x
116. 113
SOLUCIONES
Como los que nos pide es el perímetro y sabemos que la fórmula correspondiente es la de la suma de los lados, es
decir;P=9m+5m+9m+5m=28m
Porlotantonecesitarán28mdemallaparaasegurarlaspiscina.
2
Ÿ f)Calculáelperímetrodeuncuadradode576m deárea
Sabemosqueuncuadradotienetodossuslasigualesyquelafórmuladesuáreaes: porlotantopodemos
decirque ,despejando, .
Por lo tanto sabiendo que cada lado vale 24m, podemos calcular su perímetro sumando 4 veces 24m o
multiplicando a 24 por 4:
P= 24m+24m+24m+24m= 96m
En consecuencia el perímetro es de 96m.
EJERCICIOS DE LA
UNIDAD DIDÁCTICA N° 3
Ejercicio N° 1
Calculáelelementodesconocidoencadacaso:
b)
Aplicandolapropiedadfundamentaldelasproporciones:
7.x=5.5
Despejamoslax:
Ejercicio N°2
Resolvéelsiguienteproblemasabiendoquesonmagnitudesdirectamenteproporcionales.
Siutilizamos750grsdeharinaparapreparardostartas,con3000grsdeharina.¿Cuántastartas
podemospreparar?
Aplicandolaregladetressimpledirecta:
