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Funciones Trigonométricas
Trigonometría
1
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Objetivos
2
• Definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.
• Hallar la razones trigonométricas de un ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.
• Identificar la circunferencia unitaria y su relación con los números
reales.
• Evaluar las funciones seno, coseno, tangente, cosecante, secante y
cotangente de números reales.
• Definir las funciones trigonométricas de arcos comunes.
• Evaluar expresiones trigonométricas utilizando la circunferencia
unitaria.
• Evaluar expresiones trigonométricas utilizando el ángulo de
referencia.
www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas
Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos
maneras distintas pero equivalentes; como funciones de
números reales o como funciones de ángulos.
Funciones Trigonométricas
3
es cualquier número real es cualquier ángulo
θ
1
1
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Trigonometría del Triángulo Rectángulo
4
Razones trigonométricas del ángulo
seno
= =
coseno
= =
tangente
= =
cosecante
= =
secante
= =
cotangente
= =
θ
Los triángulos rectángulos son
aquellos que tienen un ángulo de 90°.
El teorema de Pitágoras aplica, la
suma de los cuadrados de los
catetos es igual que el cuadrado de
la hipotenusa.
Cateto
opuesto al
ángulo (b)
Cateto adyacente al ángulo (a)
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Trigonometría del Triángulo Rectángulo
5
Ejemplo:
Encuentre el valor de cada una de las seis
razones trigonométricas del ángulo en el
triángulo de la derecha.
θ
24
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Trigonometría del Triángulo Rectángulo
5
Solución:
Ejemplo:
Encuentre el valor de cada una de las seis
razones trigonométricas del ángulo en el
triángulo de la derecha. = 24
θ
= =
24
26
=
12
13
= =
10
26
=
5
13
= =
24
10=
12
5
Nota:
Los valores del numerador y denominador son pares por lo tanto ambos son divisibles por 2.
= =
26
24
=
13
12
= =
26
10
=
13
5
= =
10
24
=
5
12
Identificar la hipotenusa, el lado
opuesto y el lado adyacente al ángulo.
La relación de Pitágoras + =
se utiliza para hallar la medida del lado
desconocido en el triángulo.
Utilizar la definición de las razones
trigonométricas del ángulo para
hallar el valor de estas. Si es posible
simplificar.
= (10) +(24)= +
c = 100 + 576 = 676 = 26
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Práctica
6
Buscar el Manual de práctica
Hacer el ejercicio 1 de la página 1
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Trigonometría del Triángulo Rectángulo
7
θ
Práctica:
Encuentre el valor de cada una de las seis
razones trigonométricas del ángulo en el
triángulo de la derecha.
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Funciones Trigonométricas
8
El número real , que es la longitud del arco $% de la circunferencia
unitaria U, es la medida en radianes del ángulo .
Se puede asociar a cada ∈ ', un punto único %( ) de la circunferencia
unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de
las coordenadas , de %( ) .
=
=
=
=
1
=
1
=
+ = 1
$ 1, 0
)
% = ( , )
θ
Si es un numero real y %( , ) es el punto de una circunferencia
unitaria U que corresponde a entonces:
de números reales
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Ejemplo:
Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*+
,
, -
,
) es el punto
de una circunferencia unitaria U que corresponde a .
Funciones Trigonométricas
9
de números reales
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Nota:
Se aplica la definición de las razones trigonométricas y luego se simplifica si es posible.
Ejemplo:
Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*+
,
, -
,
) es el punto
de una circunferencia unitaria U que corresponde a .
=
=
=
=
4
5
=
−3
5
=
/
0
12
0
=
4
5
·
−5
3
=
−4
3
=
1
=
1
=
=
1
/
0
=
1
12
0
=
12
0
/
0
=
−3
5
·
5
4
=
−3
4
=
5
4
=
−5
3
Funciones Trigonométricas
9
Solución:
)
= 1
t
(12
0
, /
0
)
de números reales
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Práctica
10
Buscar el Manual de práctica
Hacer el ejercicio 3 de la página 2
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Funciones Trigonométricas
11
Práctica:
Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*4
5
, *4
5
) es el punto
de una circunferencia unitaria U que corresponde a .
de números reales
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Práctica
12
Buscar el Manual de práctica
Hacer la actividad de la página 3 y 4
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6 = 7:
Busca las seis funciones trigonométricas del arco = 0. El punto
en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como
se muestra en la figura.
Funciones Trigonométricas
13
para arcos comunes
0 =
co 0 =
tan 0 =
csc 0 =
0 =
cot 0 =
% 1, 0
)
0= 1
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6 =
=
>
:
Busca las seis funciones trigonométricas del arco =
=
>
. El punto
en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como
se muestra en la figura.
Funciones Trigonométricas
14
para arcos comunes
=
>
=
co
=
>
=
tan
=
>
=
csc
=
>
=
=
>
=
cot
=
>
=
?
)
%( 2
, @
)
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6 =
=
A
:
Busca las seis funciones trigonométricas del arco =
=
A
. El punto
en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como
se muestra en la figura.
Funciones Trigonométricas
15
para arcos comunes
?
)
%( , )
=
A
=
co
=
A
=
tan
=
A
=
csc
=
A
=
=
A
=
cot
=
A
== 1 = 1
@
= 1 ∗ = 2
@ = 1 ∗ = 2
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6 =
=
C
:
Busca las seis funciones trigonométricas del arco =
=
C
. El punto
en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como
se muestra en la figura.
Funciones Trigonométricas
16
para arcos comunes
=
C
=
co
=
C
=
tan
=
C
=
csc
=
C
=
=
C
=
cot
=
C
=
2
@
@
2
=
3
3
2
@
@
2 2
= 1 ∗
@
@ @
= 1 ∗ = 2
= 3
?
)
%(@
, 2
)
D
@
∗
2
=
2 3
3
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6 =
=
E
:
Busca las seis funciones trigonométricas del arco =
=
E
. El punto
en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como
se muestra en la figura.
Funciones Trigonométricas
17
para arcos comunes
=
E
=
co
=
E
=
tan
=
E
=
%(0, 1)
?
)
csc
=
E
=
=
E
=
cot
=
E
=
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Funciones Trigonométricas
18
Valores de las funciones trigonométricas para arcos comunes
t θ (x, y) sen t cos t tan t csc t sec t cot t
0
6
π
4
π
3
π
2
π
para arcos comunes
Llena la tabla utilizando las coordenadas de los arcos comunes, el valor
de las funciones trigonométricas de estos arcos y la conversión de ángulos
medidos en radianes a grados.
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones.
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
Evaluar Funciones Trigonométricas
19
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones.
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
Evaluar Funciones Trigonométricas
19
@ @
+
1
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones.
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
Evaluar Funciones Trigonométricas
19
@ @
+
1
3 + 2
2
3 + 3
2 3
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones.
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
Evaluar Funciones Trigonométricas
19
@ @
+
1
3 + 2
2
3 + 3
2 3
2 + 12
2 + 2
4
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones.
1. cos F
+
+ F
G
2. F
+
+ 2 F
G
3. sec F
+
+ 2 F
-
4. F
G
+ 2 3 F
G
Evaluar Funciones Trigonométricas
19
@ @
+
1
3 + 2
2
3 + 3
2 3
2 + 12
2 + 2
4
2 + 3
2 + 2
2 3
5
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Práctica
20
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la parte VI en la página 4
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Práctica:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones.
1. cos 0 + F
5
2. F
+
− 2 F
+
3. sec F
G
+ 2 F
+
4. F
G
+ 2 F
+
Evaluar Funciones Trigonométricas
21
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Práctica
22
Buscar el Manual de práctica
Hacer la actividad de la página 5
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Actividad Círculo Unitario
Primer
cuadrante
Segundo
cuadrante
Tercer
cuadrante
Cuarto
cuadrante
?
I
12
I
6
I
4
I
3
5I
12
I
2
7I
122I
3
3I
4
5I
6
11I
12
I 0
13I
12
7I
6
5I
4
4I
3 17I
12
3I
2
19I
12
5I
3
7I
4
11I
6
23I
12
2I
Llena los blancos para completar el círculo unitario. Utiliza las
coordenadas de los arcos comunes para llenar los blancos del primer
cuadrante y los conceptos simetría y ángulo de referencia para llenar los
blancos de los otros cuadrantes.
23
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión cos -F
+
Evaluar Funciones Trigonométricas
24
Circunferencia Unitaria
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión cos -F
+
Evaluar Funciones Trigonométricas
24
Solución:
cos -F
+
=
Circunferencia Unitaria
1
2
,
3
2
I
3
4I
3
−1
2
,
− 3
2
Primeramente se localiza el ángulo en el sistema
de coordenadas rectangulares.
El ángulo
/K
2
es un múltiplo de
K
2
por lo tanto las
coordenadas del punto en la circunferencia unitaria
del ángulo
/K
2
se obtienen por simetría con el origen.
Luego se utiliza la definición de la función
trigonométrica cos = en la circunferencia
unitaria.
Finalmente cos
/K
2
=
1@
porque la simetría con
el origen implica signos opuesto de y .
=
−1
2
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión +F
-
Evaluar Funciones Trigonométricas
25
Circunferencia Unitaria
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión +F
-
Evaluar Funciones Trigonométricas
25
Circunferencia Unitaria
2
2
,
2
2
− 2
2
,
2
2
Solución:
+F
-
=
3I
4 I
4
Primeramente se localiza el ángulo en el sistema
de coordenadas rectangulares.
El ángulo
2K
/
es un múltiplo de
K
/
por lo tanto las
coordenadas del punto en la circunferencia
unitaria del ángulo
2K
/
se obtienen por simetría con
el eje de .
Luego se utiliza la definición de la función
trigonométrica s = en la circunferencia
unitaria.
Finalmente s
2K
/
= porque la simetría
con el eje de implica signo opuesto de y el
mismo signo de .
=
2
2
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión *4+F
G
Evaluar Funciones Trigonométricas
26
Circunferencia Unitaria
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión *4+F
G
Evaluar Funciones Trigonométricas
26
Circunferencia Unitaria
3
2
,
1
2
3
2
,
−1
2
Solución:
*4+F
G
=
I
6
−13I
6
Primeramente se localiza el ángulo en el
sistema de coordenadas rectangulares.
El ángulo
1@2K
L
es un múltiplo de
K
L
por lo tanto
las coordenadas del punto en la circunferencia
unitaria del ángulo
1@2K
L
se obtienen por simetría
con el eje de .
Luego se utiliza la definición de la función
trigonométrica = M
N
en la circunferencia
unitaria.
Finalmente
1@2K
L
=
1 2
2
porque la simetría
con el eje de implica signos opuesto de .
O
P
=
−@
2
=
− 3
3
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Práctica
27
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de la parte VIII en la página 6
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Evaluar Funciones Trigonométricas
28
1. csc(,F
-
) =
2.
RF
G
=
3. cos(4SF
+
) =
Práctica:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones
4.
44F
G
=
5. (4TF
G
) =
6.
,F
-
=
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Funciones trigonométricas
29
Sea el ángulo en posición estándar cuyo lado terminal contiene
un punto P = ( , ) cualquiera. La medida del segmento que forma el
lado terminal del ángulo siempre corresponde al radio de una
circunferencia cualquiera.
La ecuación de una circunferencia cualquiera con centro en el
origen es + =
=
=
=
=
=
=
Definición:
θ
% = ( , )
para un ángulo cualquiera
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Funciones trigonométricas
30
Ejemplo:
Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del
ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (−5, −12).
para un ángulo cualquiera
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Funciones trigonométricas
30
Ejemplo:
Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del
ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (−5, −12).
=
=
=
=
−12
13
=
−5
13
=
−12
−5
(10,1@ )
=
12
5
+ =
(−5) +(−12) =
169 =
= 169 = 13
Solución:
Se localiza el punto y se
identifica el lado terminal del
ángulo en el sistema rectangular.
Después se busca el radio de la
circunferencia para aplicar la
definición y obtener el valor de
las funciones trigonométricas del
ángulo .
Nota:
El signo de cada función
trigonométrica depende del signo
de la y la del punto dado.
= 13
para un ángulo cualquiera
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Ejemplo:
Hallar la cotangente del ángulo si, cos( ) =
10
@2
y csc( ) > 0.
Funciones trigonométricas
31
para un ángulo cualquiera
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Ejemplo:
Hallar la cotangente del ángulo si, cos( ) =
10
@2
y csc( ) > 0.
+ =
(−5) + = (13)
= 169 − 25
= 144
= ± 144
= 12
13
Primeramente se localiza el lado
terminal del ángulo en el sistema de
coordenadas rectangulares que cumple
con los signos de las funciones
presentadas.
Después se construye el triángulo
trazando un segmento desde el punto en
la circunferencia que está en el lado
terminal del ángulo hasta el eje
horizontal.
Luego se utiliza la definición de la
función trigonométrica para identificar
los valores de , ó .
Después se busca el lado que falta del
triángulo.
Finalmente se buscan las funciones
trigonométricas indicadas.
cos = P
X
< 0
cos = P
X
< 0 csc = O
X
> 0
csc = O
X
> 0
=
−5
13
=
Funciones trigonométricas
31
Solución:
−5
12
para un ángulo cualquiera
= ?= =
−5
12
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Práctica
32
Buscar el Manual de práctica
Hacer los ejercicios de las páginas 7 y 8
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Funciones trigonométricas
33
para un ángulo cualquiera
Práctica:
Hallar las funciones trigonométricas seno, secante y tangente del
ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (3, − 4).
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Funciones trigonométricas
34
para un ángulo cualquiera
Práctica:
Hallar el seno del ángulo si, sec( ) =
@2
@
y tan < 0.
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Signos de las funciones
trigonométricas en cada cuadrante
35
1
0 1−1
−1
∝
Algunas funciones tienen
signos diferentes
 es negativo
 es negativo
 es positivo
 es negativo
 es negativo
 es positivo
Algunas funciones tienen
signos diferentes
 es positivo
 es negativo
 es negativo
 es positivo
 es negativo
 es negativo
Las seis funciones tienen
signo positivo
 es positivo
 es positivo
 es positivo
 es positivo
 es positivo
 es positivo
Algunas funciones tienen
signos diferentes
 es negativo
 es positivo
 es negativo
 es negativo
 es positivo
 es negativo
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión 135°
Evaluar Funciones Trigonométricas
36
para un ángulo cualquiera
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión 135°
Evaluar Funciones Trigonométricas
36
para un ángulo cualquiera
Solución:
135° =
45°
135°
=
− 2
2
− 45° Primeramente se dibuja el ángulo en el
sistema de coordenadas rectangulares.
El lado terminal del ángulo 135° esta en
el segundo cuadrante, por lo tanto el
coseno del ángulo tiene signo negativo.
El ángulo de referencia de 135° es 45°,
por lo tanto el valor numérico del coseno
de 135° es opuesto al valor del coseno de
45°.
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Evaluar Funciones Trigonométricas
37
para un ángulo cualquiera
Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión 390°
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión 390°
Evaluar Funciones Trigonométricas
37
para un ángulo cualquiera
Solución:
390° =
30°
390°
=
3
3
30° Primeramente se dibuja el ángulo en el
sistema de coordenadas rectangulares.
El lado terminal del ángulo 390° esta en
el primer cuadrante, por lo tanto la
tangente del ángulo tiene signo positivo.
El ángulo de referencia de 390° es 30°,
por lo tanto el valor numérico de la
tangente de 390° es igual al valor de la
tangente de 30°.
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión −600°
Evaluar Funciones Trigonométricas
38
para un ángulo cualquiera
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Ejemplo:
Hallar el valor exacto de la expresión −600°
Evaluar Funciones Trigonométricas
38
para un ángulo cualquiera
Solución:
−600° =
60°
−600°
=
2 3
3
60° Primeramente se dibuja el ángulo en el
sistema de coordenadas rectangulares.
El lado terminal del ángulo −600° esta
en el segundo cuadrante, por lo tanto la
cosecante del ángulo tiene signo positivo.
El ángulo de referencia de −600° es 60°,
por lo tanto el valor numérico de la
cosecante de −600° es igual al valor de la
cosecante de 60°.
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Práctica:
Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones
d) 600° =
e) tan(−930°) =
f) 315° =
Evaluar Funciones Trigonométricas
40
a) csc(−225°) =
b) −210° =
c) cos(660°) =
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Funciones Trigonométricas

  • 1. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc. Funciones Trigonométricas Trigonometría 1
  • 2. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Objetivos 2 • Definir las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. • Hallar la razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo. • Identificar la circunferencia unitaria y su relación con los números reales. • Evaluar las funciones seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente de números reales. • Definir las funciones trigonométricas de arcos comunes. • Evaluar expresiones trigonométricas utilizando la circunferencia unitaria. • Evaluar expresiones trigonométricas utilizando el ángulo de referencia.
  • 3. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Las funciones trigonométricas se pueden dividir en dos maneras distintas pero equivalentes; como funciones de números reales o como funciones de ángulos. Funciones Trigonométricas 3 es cualquier número real es cualquier ángulo θ 1 1
  • 4. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Trigonometría del Triángulo Rectángulo 4 Razones trigonométricas del ángulo seno = = coseno = = tangente = = cosecante = = secante = = cotangente = = θ Los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo de 90°. El teorema de Pitágoras aplica, la suma de los cuadrados de los catetos es igual que el cuadrado de la hipotenusa. Cateto opuesto al ángulo (b) Cateto adyacente al ángulo (a)
  • 5. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Trigonometría del Triángulo Rectángulo 5 Ejemplo: Encuentre el valor de cada una de las seis razones trigonométricas del ángulo en el triángulo de la derecha. θ 24
  • 6. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Trigonometría del Triángulo Rectángulo 5 Solución: Ejemplo: Encuentre el valor de cada una de las seis razones trigonométricas del ángulo en el triángulo de la derecha. = 24 θ = = 24 26 = 12 13 = = 10 26 = 5 13 = = 24 10= 12 5 Nota: Los valores del numerador y denominador son pares por lo tanto ambos son divisibles por 2. = = 26 24 = 13 12 = = 26 10 = 13 5 = = 10 24 = 5 12 Identificar la hipotenusa, el lado opuesto y el lado adyacente al ángulo. La relación de Pitágoras + = se utiliza para hallar la medida del lado desconocido en el triángulo. Utilizar la definición de las razones trigonométricas del ángulo para hallar el valor de estas. Si es posible simplificar. = (10) +(24)= + c = 100 + 576 = 676 = 26
  • 7. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 6 Buscar el Manual de práctica Hacer el ejercicio 1 de la página 1
  • 8. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Trigonometría del Triángulo Rectángulo 7 θ Práctica: Encuentre el valor de cada una de las seis razones trigonométricas del ángulo en el triángulo de la derecha.
  • 9. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas 8 El número real , que es la longitud del arco $% de la circunferencia unitaria U, es la medida en radianes del ángulo . Se puede asociar a cada ∈ ', un punto único %( ) de la circunferencia unitaria U. Las seis funciones trigonométricas se pueden definir a partir de las coordenadas , de %( ) . = = = = 1 = 1 = + = 1 $ 1, 0 ) % = ( , ) θ Si es un numero real y %( , ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a entonces: de números reales
  • 10. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*+ , , - , ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a . Funciones Trigonométricas 9 de números reales
  • 11. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Nota: Se aplica la definición de las razones trigonométricas y luego se simplifica si es posible. Ejemplo: Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*+ , , - , ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a . = = = = 4 5 = −3 5 = / 0 12 0 = 4 5 · −5 3 = −4 3 = 1 = 1 = = 1 / 0 = 1 12 0 = 12 0 / 0 = −3 5 · 5 4 = −3 4 = 5 4 = −5 3 Funciones Trigonométricas 9 Solución: ) = 1 t (12 0 , / 0 ) de números reales
  • 12. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 10 Buscar el Manual de práctica Hacer el ejercicio 3 de la página 2
  • 13. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas 11 Práctica: Hallar las seis funciones trigonométricas de , si (*4 5 , *4 5 ) es el punto de una circunferencia unitaria U que corresponde a . de números reales
  • 14. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 12 Buscar el Manual de práctica Hacer la actividad de la página 3 y 4
  • 15. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = 7: Busca las seis funciones trigonométricas del arco = 0. El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 13 para arcos comunes 0 = co 0 = tan 0 = csc 0 = 0 = cot 0 = % 1, 0 ) 0= 1
  • 16. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = = > : Busca las seis funciones trigonométricas del arco = = > . El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 14 para arcos comunes = > = co = > = tan = > = csc = > = = > = cot = > = ? ) %( 2 , @ )
  • 17. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = = A : Busca las seis funciones trigonométricas del arco = = A . El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 15 para arcos comunes ? ) %( , ) = A = co = A = tan = A = csc = A = = A = cot = A == 1 = 1 @ = 1 ∗ = 2 @ = 1 ∗ = 2
  • 18. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = = C : Busca las seis funciones trigonométricas del arco = = C . El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 16 para arcos comunes = C = co = C = tan = C = csc = C = = C = cot = C = 2 @ @ 2 = 3 3 2 @ @ 2 2 = 1 ∗ @ @ @ = 1 ∗ = 2 = 3 ? ) %(@ , 2 ) D @ ∗ 2 = 2 3 3
  • 19. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas 6 = = E : Busca las seis funciones trigonométricas del arco = = E . El punto en la circunferencia unitaria que corresponde a es el punto P como se muestra en la figura. Funciones Trigonométricas 17 para arcos comunes = E = co = E = tan = E = %(0, 1) ? ) csc = E = = E = cot = E =
  • 20. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones Trigonométricas 18 Valores de las funciones trigonométricas para arcos comunes t θ (x, y) sen t cos t tan t csc t sec t cot t 0 6 π 4 π 3 π 2 π para arcos comunes Llena la tabla utilizando las coordenadas de los arcos comunes, el valor de las funciones trigonométricas de estos arcos y la conversión de ángulos medidos en radianes a grados.
  • 21. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19
  • 22. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19 @ @ + 1
  • 23. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19 @ @ + 1 3 + 2 2 3 + 3 2 3
  • 24. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19 @ @ + 1 3 + 2 2 3 + 3 2 3 2 + 12 2 + 2 4
  • 25. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos F + + F G 2. F + + 2 F G 3. sec F + + 2 F - 4. F G + 2 3 F G Evaluar Funciones Trigonométricas 19 @ @ + 1 3 + 2 2 3 + 3 2 3 2 + 12 2 + 2 4 2 + 3 2 + 2 2 3 5
  • 26. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 20 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la parte VI en la página 4
  • 27. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones. 1. cos 0 + F 5 2. F + − 2 F + 3. sec F G + 2 F + 4. F G + 2 F + Evaluar Funciones Trigonométricas 21
  • 28. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 22 Buscar el Manual de práctica Hacer la actividad de la página 5
  • 29. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Actividad Círculo Unitario Primer cuadrante Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante ? I 12 I 6 I 4 I 3 5I 12 I 2 7I 122I 3 3I 4 5I 6 11I 12 I 0 13I 12 7I 6 5I 4 4I 3 17I 12 3I 2 19I 12 5I 3 7I 4 11I 6 23I 12 2I Llena los blancos para completar el círculo unitario. Utiliza las coordenadas de los arcos comunes para llenar los blancos del primer cuadrante y los conceptos simetría y ángulo de referencia para llenar los blancos de los otros cuadrantes. 23 , , , , , , , , , , , , , , , ,
  • 30. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión cos -F + Evaluar Funciones Trigonométricas 24 Circunferencia Unitaria
  • 31. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión cos -F + Evaluar Funciones Trigonométricas 24 Solución: cos -F + = Circunferencia Unitaria 1 2 , 3 2 I 3 4I 3 −1 2 , − 3 2 Primeramente se localiza el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El ángulo /K 2 es un múltiplo de K 2 por lo tanto las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria del ángulo /K 2 se obtienen por simetría con el origen. Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica cos = en la circunferencia unitaria. Finalmente cos /K 2 = 1@ porque la simetría con el origen implica signos opuesto de y . = −1 2
  • 32. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión +F - Evaluar Funciones Trigonométricas 25 Circunferencia Unitaria
  • 33. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión +F - Evaluar Funciones Trigonométricas 25 Circunferencia Unitaria 2 2 , 2 2 − 2 2 , 2 2 Solución: +F - = 3I 4 I 4 Primeramente se localiza el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El ángulo 2K / es un múltiplo de K / por lo tanto las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria del ángulo 2K / se obtienen por simetría con el eje de . Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica s = en la circunferencia unitaria. Finalmente s 2K / = porque la simetría con el eje de implica signo opuesto de y el mismo signo de . = 2 2
  • 34. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión *4+F G Evaluar Funciones Trigonométricas 26 Circunferencia Unitaria
  • 35. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión *4+F G Evaluar Funciones Trigonométricas 26 Circunferencia Unitaria 3 2 , 1 2 3 2 , −1 2 Solución: *4+F G = I 6 −13I 6 Primeramente se localiza el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El ángulo 1@2K L es un múltiplo de K L por lo tanto las coordenadas del punto en la circunferencia unitaria del ángulo 1@2K L se obtienen por simetría con el eje de . Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica = M N en la circunferencia unitaria. Finalmente 1@2K L = 1 2 2 porque la simetría con el eje de implica signos opuesto de . O P = −@ 2 = − 3 3
  • 36. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 27 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la parte VIII en la página 6
  • 37. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Evaluar Funciones Trigonométricas 28 1. csc(,F - ) = 2. RF G = 3. cos(4SF + ) = Práctica: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones 4. 44F G = 5. (4TF G ) = 6. ,F - =
  • 38. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 29 Sea el ángulo en posición estándar cuyo lado terminal contiene un punto P = ( , ) cualquiera. La medida del segmento que forma el lado terminal del ángulo siempre corresponde al radio de una circunferencia cualquiera. La ecuación de una circunferencia cualquiera con centro en el origen es + = = = = = = = Definición: θ % = ( , ) para un ángulo cualquiera
  • 39. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 30 Ejemplo: Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (−5, −12). para un ángulo cualquiera
  • 40. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 30 Ejemplo: Hallar las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente del ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (−5, −12). = = = = −12 13 = −5 13 = −12 −5 (10,1@ ) = 12 5 + = (−5) +(−12) = 169 = = 169 = 13 Solución: Se localiza el punto y se identifica el lado terminal del ángulo en el sistema rectangular. Después se busca el radio de la circunferencia para aplicar la definición y obtener el valor de las funciones trigonométricas del ángulo . Nota: El signo de cada función trigonométrica depende del signo de la y la del punto dado. = 13 para un ángulo cualquiera
  • 41. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar la cotangente del ángulo si, cos( ) = 10 @2 y csc( ) > 0. Funciones trigonométricas 31 para un ángulo cualquiera
  • 42. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar la cotangente del ángulo si, cos( ) = 10 @2 y csc( ) > 0. + = (−5) + = (13) = 169 − 25 = 144 = ± 144 = 12 13 Primeramente se localiza el lado terminal del ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares que cumple con los signos de las funciones presentadas. Después se construye el triángulo trazando un segmento desde el punto en la circunferencia que está en el lado terminal del ángulo hasta el eje horizontal. Luego se utiliza la definición de la función trigonométrica para identificar los valores de , ó . Después se busca el lado que falta del triángulo. Finalmente se buscan las funciones trigonométricas indicadas. cos = P X < 0 cos = P X < 0 csc = O X > 0 csc = O X > 0 = −5 13 = Funciones trigonométricas 31 Solución: −5 12 para un ángulo cualquiera = ?= = −5 12
  • 43. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica 32 Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de las páginas 7 y 8
  • 44. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 33 para un ángulo cualquiera Práctica: Hallar las funciones trigonométricas seno, secante y tangente del ángulo , cuyo lado terminal contiene el punto (3, − 4).
  • 45. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Funciones trigonométricas 34 para un ángulo cualquiera Práctica: Hallar el seno del ángulo si, sec( ) = @2 @ y tan < 0.
  • 46. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante 35 1 0 1−1 −1 ∝ Algunas funciones tienen signos diferentes es negativo es negativo es positivo es negativo es negativo es positivo Algunas funciones tienen signos diferentes es positivo es negativo es negativo es positivo es negativo es negativo Las seis funciones tienen signo positivo es positivo es positivo es positivo es positivo es positivo es positivo Algunas funciones tienen signos diferentes es negativo es positivo es negativo es negativo es positivo es negativo
  • 47. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión 135° Evaluar Funciones Trigonométricas 36 para un ángulo cualquiera
  • 48. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión 135° Evaluar Funciones Trigonométricas 36 para un ángulo cualquiera Solución: 135° = 45° 135° = − 2 2 − 45° Primeramente se dibuja el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El lado terminal del ángulo 135° esta en el segundo cuadrante, por lo tanto el coseno del ángulo tiene signo negativo. El ángulo de referencia de 135° es 45°, por lo tanto el valor numérico del coseno de 135° es opuesto al valor del coseno de 45°.
  • 49. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Evaluar Funciones Trigonométricas 37 para un ángulo cualquiera Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión 390°
  • 50. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión 390° Evaluar Funciones Trigonométricas 37 para un ángulo cualquiera Solución: 390° = 30° 390° = 3 3 30° Primeramente se dibuja el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El lado terminal del ángulo 390° esta en el primer cuadrante, por lo tanto la tangente del ángulo tiene signo positivo. El ángulo de referencia de 390° es 30°, por lo tanto el valor numérico de la tangente de 390° es igual al valor de la tangente de 30°.
  • 51. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión −600° Evaluar Funciones Trigonométricas 38 para un ángulo cualquiera
  • 52. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Ejemplo: Hallar el valor exacto de la expresión −600° Evaluar Funciones Trigonométricas 38 para un ángulo cualquiera Solución: −600° = 60° −600° = 2 3 3 60° Primeramente se dibuja el ángulo en el sistema de coordenadas rectangulares. El lado terminal del ángulo −600° esta en el segundo cuadrante, por lo tanto la cosecante del ángulo tiene signo positivo. El ángulo de referencia de −600° es 60°, por lo tanto el valor numérico de la cosecante de −600° es igual al valor de la cosecante de 60°.
  • 53. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica Buscar el Manual de práctica Hacer los ejercicios de la página 9 39
  • 54. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Práctica: Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones d) 600° = e) tan(−930°) = f) 315° = Evaluar Funciones Trigonométricas 40 a) csc(−225°) = b) −210° = c) cos(660°) =
  • 55. www.matematicaspr.com © L2DJ Temas de Matemáticas Inc.Mapa Funciones Trigonométricas Mapa Funciones Trigonométricas 41 Números Reales Arcos Comunes Cualquier Ángulo Ángulos Agudos Triángulos