Conjuntos numéricos y operaciones

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL RESISTENCIA
SEMINARIO UNIVERSITARIO
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS
EJE TEMÁTICO I:
CONJUNTOS NUMÉRICOS
[Contenidos: I) CONJUNTO DE NÚMEROS .
II) GEOMETRIA
El buen Dios creó los números naturales: todo lo demás es obra del hombre.
Leopold Kronecker
COORDINADORA MODULO MATEMATICA
ESP.ING. DURE, DIANA ANALIA

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
MODULO DE
MATEMATICASEMINARIO UNIVERSITARIO
Coordinadora: Ing. DURE,DIANA ANALIA
MODULO MATEMÁTICA- Página 2
GUÍA DE TRABAJO PRÁCTICO N°1: CONJUNTOS NUMÉRICOS
A) Resolver e identificar a qué conjuntos numéricos pertence el resultado:
( ) ( ) =−
−
+=





−=−+− 64
4
25
8)3
2
16
43)2
2
4
25.323)1
22
2
( )
( )
=−−−
+
−+=− 236100
7
615
)61
3
4
4
3
)53.412)4
2
4
( ) 7
210
2
32
16
15
)7 +−
−
= 8) =




 −
+





−−−
−33
3
3
2
2
2
1
8
7
1
9) =











+
−− 22
3
1
.
2
1
1
B) Determinar cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales:
............36)4............25)3............91,13)2.........
17
3
)1 −−
...............333333,12)7............16)6............19)5 −−
......................00010100100010,5)9..........................857142857142,2)8 −
C) Resolver teniendo en cuenta las operaciones y sus propiedades:
2
22
3
2
1
4
3
1
2
1
.
2
1
.
4
6
.
6
2
3
1
)1 −
−






−−


















+
=
( )
3
3
1
5
4
1
9
1
.
4
1
)2
−












−
−
− =




















−
−
3
3
125
1
.
3
1
.)9(
3
)3 = =−




















−
−
−
−
−
4 1
1
1
)81(
2
1
1.
6
7
50
17
2
1
)4
=





−−+
2
5
20
12
5
5
3
2
125
6
1
5)5 =





−











−
−− 122
5
8
4
1
.4
2
5
)6
=+






−






−
−
25
5
9
4
16
32
1
.
32
1
)7
2
1
3
1
4
=






−+
−−
−
2
56
2
3
:2
16
4
)3(:)3(
813144.4
)8
T P 1

MODULO DE
D) Efectuar las siguientes operaciones convirtiendo previamente los decimales en fracciones:
( ) ( ) =+−+−
2,0
5
2
9:3,05,2)1 1
( )
=
−
−−
−1
4
5,01.1,1
81
1
34,05,0
)2
=−+
−
− 4
1
5,0
)4,0(
225,1
)3
1
( )[ ] =+−+
−−
8
7
625,02,01,0)4
12
E) Resolver aplicando propiedades de:
• Potencia:
( ) ( )
( ) ( )
=−−−
−−−
3542
2342
2.2
2.2
)1 =





−
−
− −−
4
32
3
413
3
2
.)3(.)9()2
yx
x
yxyx =





−
− 2
4
63
3
2
)3
b
ba
=




















−
−
−−
12
3
43
7
2
:)4
b
a
b
a
• Radicales
( ) aa..
a
1
10)ba.ba9)
x
y
.
y
x
8)
c.2.a
.xa.x.ya.
7)
c
b.a
6)
55.5.5)x4)33.3)x2)31)
33
6 55
3 2
b a c3 2
++
F) Racionalizar:
m
m
a
a
2
4
)4
3
2
)3
3
4
)2
5
6
)1
3
25
32
)6
35
56
)5
35
4
)8
21
5
)7
−
−
−
255
20
)11
24
16
)10
53
23
)9
−+
−
+ y
y
MAS EJERCICIOS COMBINADOS.
A) Resolver las siguientes operaciones aplicando las propiedades:
( ) =





+−−−− −−
10
1
1030,811) 113
)
=−+





− −
−
90,5
3
5
12) 1
2
)
=








−−−+





−
−
−
1
31
1
81,273
3
1
3)
)
=














−
−
−
2
32
2
27
1
..0,3
3
1
4) =














−





−
42,3:
3
2
:
2
3
5)
42
)
( ) 2:816:236)
133 1
4
−−
−
+−





T P 1

MODULO DE
( )
3
11
1
2
1
2:
4
3
2
1
:8:
3
2
)7
−
−−














−−−+











−
B) Resolver :
( )( )=−+ 33.24..35.28.1) ( ) ( ) =++−+ 1332.510.32.52)
2
( )( ) =−−− 22.21.23.23) ( )( ) ( ) =++−−− 231.221.324)
( ) ( )=+−− 23.2125)
3
=
62
3
25.5
5.125.5
6)
6
33
32
4.2.2
7) =+
3
3
9
3.3
.
3
2
8)
6
3
C) Resolver las siguientes operaciones con radicales
( )2
632.6)1 − ( )635.5)2 − ( )333
3224.2)3 −
( )( )23.23)4 +− 




 +3 23 23
162.)5 aaa ( )( )2.67.32.47.2)6 +−
( ) abba .)7 + ( )( )322328 ..) +−
( )( )7.43.5.3.27.3)9 +− ( )( )785.5.7.115.7)10 −−
D) Racionalizar
3
22
4
7
10
3
6
11
2
5
6
1 ))))
ab
a
yx
yx
xy
y
ba
b
4
23
)8
5
3
)7
4
17
)6
3
4
)5
−
+
−
+
+
−
+
3223
2335
)1
543
625
)11
1
)10
1
)9
−
−
−
−
+++
+
2
xx
x
xyx
y
SOBRE NÚMEROS IRRACIONALES
Problema 1:
El siguiente dibujo representa un cubo de 4 cm de arista. ¿Cuál es la longitud del
segmento que une un vértice con el vértice opuesto, tal como se muestra en el
dibujo?
Problema 2: El número e, un irracional muy conocido
a) Calcular el número "e" a través de la siguiente fórmula, empleando siete términos de
aproximación:
....
.21
1
.21
1
.21
1
.21
1
21
1
1
1
1 +++++++=
6.54..3.54..3.4.3.3..
e
b) Considerar e= 2,718281828459045235360287471 35266 y compararlo con el resultado anterior,
con ayuda de la calculadora.
c) Observar y escribir qué sucede si se continúan agregando términos al cálculo del ítem a) y el
resultado obtenido se compara con el valor dado de e.
Problema 3 :
Calcular: a) El perímetro y superficie de un triángulo isósceles de
2
1
cm de base y 3
4
1
cm de lado
T P 1

MODULO DE
congruente. b) La longitud de la circunferencia y superficie del círculo de radio π cm c) El volumen del
cilindro de altura 2 π cm y radio de la base π cm.
EXPRESIONES DECIMALES PERIÓDICAS Y NO PERIÓDICAS
Transformar en fracciones y calcular:
( ) ( ) =+−+−
2.0
5
2
9.3,05,2)1 1
( )
=
−
−−
−1
4
5,01.61,1
81
1
34,05,0
)2
( )
( ) ( )
( )
( )( )
( ) ( )( )
( )
=
+−
−
−
+−−+−−
−
−
−
++






+
−





−+
+−+
=
+





+−−
+





=++
−
−
2
1
2
3
2.
2
3
2
16.100,4.5
12.513
2
0,251
13.0,31,1.3
10
1
.0,010,4.0,6
3
1
2.
2
1
25949
5)
9
4
13.
11
1
40,080,.1,662,
.550,
3
1
-4:21,
4)
4
1
5,0
4,0
225,1
)3
3 2
2
2
3 22
))))
))
INTERVALOS
A. Establecer una relación entre las desigualdades > (mayor), < (menor), ≥ (mayor o igual), ≤
(menor o igual) y los siguientes intervalos, escribiendo en cada caso etc.c,x,x, ≥<≤ bax
B. Representa en la recta real los siguientes intervalos (cada uno en una recta distinta):
C. en la recta real los siguientes intervalos (cada uno en una recta distinta):
T P 1

MODULO DE
D. Representa en la recta real los siguientes intervalos:
1) 2) 3) 4) 4) 6)
PLANTEAR Y RESOLVER:
1) ¿Es posible encontrar un número que al restárselo a 20 dé por resultado 27?
2) En la siguiente recta numérica están ubicados el 0 y el 8. ¿Dónde se ubica el número 5? ¿Dónde se
ubican los números –1 y –2?
3) a. ¿Cuántos números enteros hay ente 10 y 14?
b. ¿Cuántos números enteros hay entre –303 y 304? ¿Y entre –400 y –126?
c. ¿Hay alguna forma de calcular la cantidad de números enteros que hay entre dos números
enteros p y q?
4) Ubicar el número
3
1
− en la siguiente recta numérica.
5) ¿Cuántos números racionales hay entre 1 y 2?
6) Donde estará ubicado el numero 5 y 11 en la recta numérica?
7) En la figura se ven dos cuadrados de áreas 8 2
cm y 2 2
cm respectivamente.
Calcular el perímetro de la figura sombreada.
8) Comparar, en cada caso, los siguientes números.
( ) ( ) 626342332)
22
22
2
2
2
3
2
3
22
−+−−
−
+
con
b)
c
concona)
9) a. ¿Es cierto que 3=x es solución de la ecuación xxx 45)1.(2 22
−=−+− ?
b. ¿Cuáles son todas las soluciones de la ecuación anterior?
10) ¿Es posible encontrar un número que, multiplicado por 5, dé como resultado 13?
11) ¿Existe algún número irracional cercano a 2 ? ¿Y alguno que se encuentre próximo al número π?.
12) Calcular la base media y el perímetro del trapecio isósceles.
13)Las medidas indicadas en las siguientes figuras están expresadas en cm, Calcular el volumen
T P 1
5
25 +
520 +

MODULO DE
14) Si la hipotenusa de un triangulo rectángulo, cuyos lados miden 1cm cada uno, es 2 . Determinar la
medida de la hipotenusa del segundo triangulo rectángulo dibujado:
T.P.1

MODULO DE
GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS - FORMULAS Y ECUACIONES DE GEOMETRÍA
A..CALCULAR PERÍMETRO Y ÁREA
1) ABCD cuadrado, determina BC si:
a) área de ABCD = 441 cm2.
b) perímetro de ABCD = 38 cm.
c) AC = cm.
d) BD = 4 m.
2) PQRS rectángulo, determina PS si:
a) PQ = 12 cm., perímetro de PQRS = 32 cm.
b) PQ = 8 m., área de PQRS = 136 m2.
c) PQ = 2QR, perímetro de PQRS = 42 cm.
d) PR = 20 mm., PQ = 16 mm.
3) O es el centro de la circunferencia, determina OS si:
a) diámetro de la circunferencia = 17 cm.
b) perímetro de la circunferencia = 16πm.
c) área de la circunferencia = 225π m².
B. TRIANGULOS
C. CUADRILATEROS
1) ABCD trapezoide 2) PQRS cuadrado; x + y = ?
x + y + w = 290º;
z = ?
3) MNOP rectángulo,
C
BA
D
P Q
RS
O
A
D
C
B
z
yx
w
S
R
QP
y
x
T P 1

MODULO DE
<PMO = 60º, x = ?
D: TRAPECIOS.
CALCULAR PERÍMETRO Y ÁREA DE DISTINTAS FIGURAS
1) ABCD cuadrado, M, N, P, Q, 2)La figura representa un cuadrado de
puntos medios, BN = 3 cm. lado 24 cm
3) ABCD cuadrado, BC = 6 m., 4) ABC triángulo equilátero,
cada lado está dividido en circunscrito a la circunferencia
partes iguales. de radio 10 cm.
RELACIONEMOS CON LOS TEMAS DADOS.
NM
P
x
O
A B
CD
M
N
P
Q
A B
CD
A B
C
T P 1

MODULO DE
Ecuaciones en perímetros, superficies y volúmenes
a) El perímetro de un triángulo equilátero es de 327 cm. ¿Cuál es la longitud de cada uno de
sus lados?
b) La longitud de una circunferencia es 628 cm. ¿Cuál es la longitud de su radio?
c) ¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 216 3
cm ?
Ecuaciones: El álgebra y el trapecio
a. La superficie de un trapecio es 72 2
cm , sus bases tienen 11 cm y 7cm de longitud. Calculen cuánto
mide su altura.
b. Un trapecio mide 15cm de altura y 12cm de base menor; calculen la longitud de
su base mayor sabiendo que su superficie es 240 2
cm
c. La superficie de un trapecio es 420 2
cm y la suma de sus bases es 28 cm; calculen su
altura.
d. Calculen las longitudes de las bases de un trapecio, sabiendo que una es el doble de la otra, la
altura mide 10 cm y la superficie es 105 2
cm .
PROBLEMAS.
1. Un tanque australiano tiene capacidad para 70 000 litros de agua y mide 1,25 m de altura. ¿Cuánto
mide su radio? Recuerden que 1 litro equivale a 1 3
dm
2. Se tiene un pocillo cilíndrico de 4 cm de diámetro por 6 cm de altura, y un tazón del doble de
diámetro y del doble de altura. Si llenamos ambos con café, ¿en el tazón cabe el doble de lo que
cabe en el pocillo?
3. Los lados de un cuadrado se extienden para formar un rectángulo. Como lo muestra la figura un lado
se extiende 2 cm y otro 5cm. Si el área del rectángulo resultante es menor de 130
2
m ¿Cuáles son las
posibles longitudes de un lado del cuadrado original?
4. En la figura, A; B; C y D son puntos medios de los
lados del rectángulo EFGH Si el lado EH mide
6 2 cm. y el lado EA 6 cm..a)Calcula el perímetro
del rombo. b)Calcula el área del triángulo de vértices
EAD .c) Calcula el área del rombo.
T P 1

MODULO DE
HALLAR EL ÁREA DEL SECTOR PINTADO EN CADA UNA DE LAS SIGUIENTES FIGURAS
F. VOLUMENES
1. Calcular el volumen de los siguientes cuerpos en 3
mm
T P 1

MODULO DE
PROBLEMAS DE ÁREAS Y VOLÚMENES
1. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de
ancho y 2500 mm de alto.
2. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón
de 6 $ el metro cuadrado. A) Cuánto costará pintarla. B) Cuántos litros de agua serán necesarios
para llenarla.
3. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar
cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuántas cajas podremos
almacenar?
4. Determina el área total de un tetraedro, un octaedro y un icosaedro de 5 cm de arista.
5. Calcula la altura de un prisma que tiene como área de la base 12
2
dm y 48 lts. de capacidad.
6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10
cm de diámetro y 20 cm de altura.
7. Un cilindro tiene por altura la misma longitud que la circunferencia de la base. Y la altura mide
125.66 cm. Calcular: A)El área total. B)El volumen
8. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué
altura llegará el agua cuando se derritan?
9. La cúpula de una catedral tiene forma semiesférica, de diámetro 50 m. Si restaurarla tiene un
coste de 300 $ el
2
m , ¿A cuánto ascenderá el presupuesto de la restauración?
10. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una
piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad?
11. Un recipiente cilíndrico de 5 cm de radio y 10 cm de altura se llena de agua. Si la masa del
recipiente lleno es de 2 kg, ¿cuál es la masa del recipiente vacío?
12. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá
utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz?
13. Un cubo de 20 cm de arista está lleno de agua. ¿Cabría esta agua en una esfera de 20 cm de
radio?
T P 1

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