Este documento presenta una serie de problemas matemáticos relacionados con funciones de variables múltiples. Incluye problemas sobre rectas, planos, esferas, elipsoides y funciones en varias variables. El documento contiene 33 problemas que abarcan temas como ecuaciones de rectas y planos, puntos en rectas y planos, distancias mínimas, volúmenes, dominios de funciones, curvas de nivel y reconocimiento de cuádricas.

1. Funciones de variables múltiples Carrera de Ing. Industrial y Petrolera
PRÁCTICO Nº 1
FUNCIONES DE VARIABLES MÚLTIPLES
1. Si los puntos dados son vértices de un triangulo, demostrar que tales triángulos (T) son:
a) P1 (1,-1,3); P2 (2,1,7) ; P3(4,2,6) T rectángulo
b) P1 (3,-1,2); P2 (0,-4,2); P3(-3,2,1) T isosceles
2. Demostrar que P1(1,3,2); P2(4,10,4); P3(2,6,8); P4(5,13,10) son vértices de un Paralelogramo.
3. Dado los vértices de un triángulo: P1(3,3,2), P2 (1,1,5); P3 (2,6,3)
Hallar: a) El perímetro del triangulo y el baricentro
b) La longitud de las medianas
c) El área del triangulo
d) Los ángulos internos del triangulo
8. Hallar la ecuación vectorial, paramétrica, cartesianas, si es posible, de la recta que cumplen con
las siguientes condiciones:
a) Pasa por Po (3,6,3), Dirección: )
4
,
2
,
1
(

v ;
b) Pasa por los puntos P1(3,2,4) , P2 (3,6,2).
c) Pasa por Po (3,5,4), es paralela al Eje Z
d) paralela a L:
4
3
2
3
1
2 



 z
y
x
. Pasa por P1(3,6,5)
9. Hallar el vector Dirección y un punto que pertenezca a las rectas:
a)
8
5
9
4
7
2 



 z
y
x
b)
5
3
7
4
6 z
y
x




c) 6
;
9
5
4




z
y
x
10. Indicar si pertenecen o no (V o F) a la Recta L los puntos P1 ( 8,2,9);
P2 (4,-4,-1); P3 (14,5,9) L:
5
4
3
1
2
6 



 z
y
x
11. hallar tres puntos que pertenezcan a la recta
3
9
4
8
2
7 



 z
y
x
12. Hallar las Ecuaciones Cartesianas de las siguientes Rectas, expresadas de otras maneras:
a) 0
6
2
3 


 z
y
x b) t
x 3
7 

0
4
3
2 


 z
y
x t
y 4
8 

t
z 2
5

13. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (0,2,-1) y es paralela a










t
z
t
y
t
x
L
7
5
3
2
1
:
14. Determinar el punto de intersección entre los siguientes pares de Rectas:
a)
1
3
2
3
2
1 



 z
y
x
;
2
6
2
7
1
2 




 z
y
x
15. Hallar la mínima Distancia entre las Rectas y los puntos indicados:

2. Funciones de variables múltiples Carrera de Ing. Industrial y Petrolera
a)
3
2
6
5
2
1





 z
y
x
b)
2
4
1
5
2
3 



 z
y
x
Pe(4,6,5) Pe(8,9,7)
16. Hallar la mínima Distancia y el ángulo que forma entre las Rectas: L1,L2:
a)
3
9
1
7
2
8 



 z
y
x
b) 8
;
1
7
5
6




z
y
x
3
6
3
1
4
5 



 z
y
x
1
3
2
3
4 


 z
y
x
17. Hallar las Ecuaciones de los planos, que cumplen con las siguientes condiciones:
a) El Plano π pasa por el punto Po (2,5,3), su vector Normal es: )
2
,
3
,
1
(

N
b) El Plano π pasa por el punto Po (3,5,4), su vector Normal es: )
0
,
2
,
0
(

N
c) El Plano π pasa por el punto Po (3,4,4) , es perpendicular al vector )
2
,
1
,
1
(

A
d) El plano π pasa por los puntos (2,2,3); (3,5,2); (1,4,3)
e) El plano π pasa por : Po(2,5,6); es paralelo al plano π: 0
31
4
2 


 z
y
x
18. Dado el plano π : 3x − 5y + z − 2 = 0 , determinar la ecuación de un plano
π' , paralelo a π que contenga al punto A(-3, 2, 4).
19. ¿Pertenecen al Plano: 0
20
5
3 


 z
y
x los puntos P1(3,4,1); P2(4,2,2); P3(2,6,4)?
20. Averiguar el ángulo que forman los planos: π : 2x + 4y − z + 8 = 0 y π': x + y + 6z − 6 = 0
21. Hallar la ecuacion del plano perpendicular al plano 4x-3y+2z-9=0 y que pasa por los puntos
P1(2;-6;4) y P2(3;-7;5).
22. Hallar el volumen del tetraedro formado por los planos coordenados y el plano
6x+7y+14z-42=0
23. Hallar la ecuación de la esfera, cuyo centro es C(3,5,3); y es tangente al plano que pasa por los
puntos (1,4,-2); (-2,5,0) y (2,-5,3) y graficar.
24. Hallar la ecuación de las esfera, que cumplen las siguientes condiciones: Centro en C(3,5,3);
radio R = 2
25. Hallar el Centro y Radio de las siguientes Esferas :
a) 0
4
8
6
4
2
2
2






 z
y
x
z
y
x
b) 0
15
4
2
8
2
2
2






 z
y
x
z
y
x
26. Hallar las Ecuaciones de Elipsoide, que cumplen las siguientes condiciones:
a) Centro en C(3,5,4); Semiejes: a = 2;b = 4; c = 3
b) Centro en C(0,0,0); Pasa por los puntos P1(2,2,4); P2(0,0,6); P3(2,4,2)
27. Hallar el Centro y Semiejes de los siguientes Elipsoides:
a) 621
24
192
10
4
16 2
2
2






 z
y
x
z
y
x
b) 197
90
32
36
9
4 2
2
2




 y
x
z
y
x
28. Calcular el dominio de las funciones y representar gráficamente:
a)  
y
x
z 

 ln
b)
2
2
4 y
x
z 


c) 2
2
2
2
2 y
x
x
x
y
x
z





d)
16
5
2
2



y
x
z
e)
 
x
y
y
x
z




4
ln 2
2

3. Funciones de variables múltiples Carrera de Ing. Industrial y Petrolera
f)
 
16
ln
9
2
2
2
2






y
x
y
x
y
x
z
g)
 
4
9
2
ln
49
2
2
2
2









y
x
y
x
y
x
z
h)  
2
2
2
4
4
16
ln z
y
x
w 



i)  
y
x
y
x
z 2
ln
4 2
2





j)
1
1
2
2
2




z
y
x
w
29. Calcular el Dominio, el Imagen y graficar las siguientes funciones:
a)
2
2
25 y
x
z 


b)  
y
x
z 
 2
ln
c)  
2
2
9
4
36
ln y
x
z 


d) 3
2 

 y
x
z
e)
2
2
5 y
x
z 


f)
y
x
e
z 

2
g) 5
2 

 y
x
z
h)
y
x
z


2
i) y
x
z 

30. Dibuje la grafica de las siguientes funciones: (con software derive, maple, matemáticas
Microsoft)
a)
2
2
2 y
x
z 

b)
2
2
y
x
z 

c) 1
2

 x
z
d)
2
2
9 y
x
z 


e) 1
2
2


 y
x
z
f)
2
2
y
x
z 

g)
2
2
2
2 y
x
e
y
x
z 


h) 2
2
4
1
y
x
z


i)    
y
sen
x
sen
z 

j)  
2
2
y
x
sen
z 

31. Reconocer y graficar las siguientes cuadricas.
a) x2 + y2 + z2 = 9
b) 621
24
192
10
4
16 2
2
2






 z
y
x
z
y
x
c) 36x2 +4y2 + 9z2 = 36
d) 0
15
4
2
8
2
2
2






 z
y
x
z
y
x
e) x2 + y2 - 4x - 8y – z = -23
f) 0
4
8
6
4
2
2
2






 z
y
x
z
y
x
g) x2 + y2 + z = 6
h) 197
90
32
36
9
4 2
2
2




 y
x
z
y
x
i) 9
2
2

 z
y
j) 0
2
2
2


 z
y
x
32. Dibuje las curvas de nivel de las siguientes funciones:
a)
2
2
9 y
x
z 


b)
2
2
9y
x
z 

c)
2
y
x
z 

d)
y
x
y
x
z



e) xy
z 
f)
2
2
2
2 y
x
e
y
x
z 



4. Funciones de variables múltiples Carrera de Ing. Industrial y Petrolera
33. Aplicaciones:
1) Función homogénea: Para cada una de las siguientes funciones indicar si es homogénea, el
grado de homogeneidad.
1)
2)
3)
4)
5)
2) Función de producción lineal homogénea
1) Dada la función de producción determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza
de los rendimientos a escala
2) Dada la función de producción determinar el grado de homogeneidad y la naturaleza
de los rendimientos a escala
3) La función de producción de Cobb – Douglas para la economía en conjunto esta dada
por: 2n la que “Z” es el producto total “x” es la cantidad de
trabajo, “y” es la cantidad de capital, “a, b y c” son constantes se supone
frecuentemente . ¿Es una funcion homogenea y de que grado?
4) Suponer que la producción Q está dada por la función de producción de Cobb – Douglas
, donde A y a son constantes positivas y 0 < a < 1. Demostrar que si
K y L se multiplican por el mismo número positivo m, la producción Q se multiplicará
también por m. Es decir, demostrar que Q(mK, mL) = mQ (K, L)
5) La compañía agrícola Easy – Gro estima que cuando se empleen 100x horas –
trabajador de mano de obra en y acres de tierra, la cantidad de arrobas de trigo
producido es f (x, y) = Axa yb, donde A, a y b son constantes positivas. Si la compañía
decide duplicar los factores de producción "x" y "y", determinar cómo afecta esta
decisión a la producción de trigo en cada uno de estos casos:
a) a + b > 1
b) a + b < 1
c) a + b = 1
6) Con x trabajadores calificados y y trabajadores no calificados, un fabricante puede
producir Q(x, y) = 10x2y unidades por día. En la actualidad laboran 20 trabajadores
calificados y 40 no calificados.
a) ¿Cuántas unidades se producen cada día?
b) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador
calificado a la fuerza laboral actual?
c) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador no
calificado a la fuerza laboral actual?
d) ¿En cuánto cambiará el nivel de producción diario si se adiciona un trabajador
calificado y uno no calificado a la fuerza laboral actual?
34. Calcular los limites de funciones de varias variables:
a)
    









 4
4
7
7
2
,
2
,
lim
x
y
y
x
y
x
b)
    













 3
3
3
3
3
3
3
3
,
,
lim
b
a
y
x
b
x
y
a
a
b
x
y
a
y
x
b
b
a
y
x
c)
   
 
 
xy
sen
sen
xy
sen
y
x 3
4
cos
1
lim 2
0
,
0
,


d)
    y
x
y
x
y
x 


2
2
0
,
0
,
lim
e)
   
x
a
y
x x
y









1
lim
,
,
f)
    x
senxy
y
x 2
,
0
,
lim

g)
   
y
x
a
a
y
x
e 
 ,
,
lim
h)
   
 
y
x
y
x
5
lim 2
3
,
2
,


i)
   
 
y
x
y
x
Sen
y
x 

 0
,
0
,
lim

5. Funciones de variables múltiples Carrera de Ing. Industrial y Petrolera
j)
    2
2
2
2
0
,
0
,
lim
y
x
y
x
y
x 


k)
    6
6
lim
3
,
2
, 

 xy
xy
y
x

6. Funciones de variables múltiples Carrera de Ing. Industrial y Petrolera