Práctica Aplicaciones de la Integral Definida.pdf

LA INTEGRAL DEFINIDA CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA / JULIO LECCA
Universidad Nacional del Santa
1
EJERCICIOS SOBRE CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES
PLANAS
FORMA CARTESIANA
En los problemas 1-20 dibuje la región limitada por las
gráficas de las ecuaciones dadas, muestre un rectángulo
diferencial, aproxime su área y formule la integral, para
calcular el área de la región.
1.
2
1
4 , 0,
3
y x y
= − = entre 0
x = y 3
x =
2.
2
4 , 0,
y x x y
= − = entre 1
x = y 3
x =
3.
2
2 3, 0,
y x x y
= − − = entre 0
x = y 2
x =
4. ( )
2
1
10 , 0,
2
y x y
= − = entre 2
x = − y 3
x =
ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 01
Resuelva a continuación los siguientes

2
5.
3
, 0, 1, 2
y x y x x
= = = − =
6.
3 , 0, 1, 8
y x y x x
= = = − =
7. 4, 0, 8
y x y x
= − = =
8.
2
4 3, 1 0
y x x x y
= − + − − =
9. 2 , 2 4, 0
y x y x x
= = − =
10.
2 2
4 ,
y x x y x
= − = −
11.
2 2
2, 2 4
y x y x x
= − = + −
12.
2
6 , 0
x y y x
= − =
13.
2
2, 0
x y y x
= − + + =
14.
2
4 , 2 0
x y x y
= − + − =
15.
2
3 , 3 0
x y y x y
= − − + =
16.
2 2
2 0, 4 12 0
y x y x
− = + − =
17.
4 4
, 2
x y x y
= = −
18.  
2 , 2 , 0,
y sen x y sen x x 
= = 
19.  
2
8 cos , sec , 3, 3
y x y x x  
= =  −
20. ( ) 2
cos 2 , 1
y x y x

= = −
21. Dibuje la región R limitada por
3
6,
y x y x
= + = y
2 0
y x
+ = . Halle después su área. Sugerencia: Tendrá
que dividir a R en dos partes.

3
22. Halle por integración el área del triángulo cuyos
vértices son ( 1,4), (2, 2)
− − y (5,1) .
FORMA POLAR
En cada uno de los problemas 23-32, dibuje la gráfica de la
ecuación dada y halle el área de la región limitada por ella.
23. , 0
r a a
= 
24. 2 , 0
r a sin a

= 
25. 3 cos
r 
= +
26. 4 3cos
r 
= +
27. 4 4cos
r 
= −
28. 7 7
r sin
= −
29. (1 ), 0
r a sin a

= + 
30. 5 cos 2
r 
=
31. 4 2
r sen 
=
32. 2 , 0
r a sin a

= 
33. Dibuje el caracol 2 4 cos
r 
= − , y halle el área de la
región interior al rizo menor.
34. Dibuje el caracol 3 6
r sin 
región interior al rizo pequeño.

4
35. Dibuje el caracol 2 4
r sin 
región interior al rizo grande.
36. Dibuje uno de los cuatro pétalos de la rosa
3 cos 2
r 
= , y halle el área de la región encerrada en
él.
37. Dibuje la rosa de tres pétalos 4 cos 3
r 
= , y halle el
área de la región total encerrada en ella.
38. Dibuje la rosa de tres pétalos 2 sin 3
r 
= , y halle el
área de la región limitada por ella.
39. Halle el área de la región comprendida entre los dos
círculos concéntricos 2
r = y 10
r = .
40. Dibuje la región interior al círculo 3
r sin
= y
exterior al cardioide 1
r sin 
= + , y halle su área.
41. Dibuje la región exterior al círculo 2
r = e interior a
la lemniscata
2
8 cos 2
r 
= , y halle su área.
42. Dibuje el frijol 3 6
r sin
= − y halle el área de la
región interior al rizo grande y exterior al rizo pequeño.
43. Dibuje la región en el primer cuadrante interior al
cardioide 3 3
r sin 
= + , y halle su área.
44. Dibuje la región en el segundo cuadrante interior al
cardioide 2 2
r sin
= + y exterior al cardioide
2 2 cos
r 
= + y halle su área.

5
FORMA PARAMÉTRICA
45. Halle el área de la región limitada por la elipse:
, cos
x a sin t y b t
= =
46. Calcule el área de la región limitada por la curva:
2
2 cot , 2sin
x t y t
= =
47. Graficar la cisoide:
2 2
2sin , 2sin tan
x t y t t
= =
y calcule el área de la región comprendida entre la
curva y su asíntota en el primer cuadrante.

6
EJERCICIOS SOBRE LONGITUD DE ARCO
En los ejercicios 1 a 20, grafique y halle la longitud de arco
de la función en el intervalo indicado.
1.  
5
3
1
, 1,2
10 6
x
y
x
= +
2.  
2 3
3
4, 1,27
2
y x
= +
3. ln( ), ,
3 2
y sen x
 
 
=  
 
4. ln(cos ), 0,
3
y x

 
=  
 
5.  
1
( ), 0,2
2
x x
y e e−
= +
ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 02

7
6.  
1
ln , ln 2,ln3
1
x
x
e
y
e
 
+
=  
−
 
7.
2 3 2
1
( 2) , 0 4
3
x y y
= +  
8.
1
( 3), 1 4
3
x y y y
= −  
9.  
2 3
(4 ), 1,4
y x
= −
10.
4
2
1
, 2 1
16 2
y
x y
y
= + −   −
11.
2
y x x arcsen x
= − +
12.
3
4
4
2 2
5 3
y x x x
= − entre los puntos de intersección con
el eje x.
13.  
2
3sec , 0, 2
2
r

 
 
= 
 
 
14.  
3
16cos , 0, 2
3
r

 
 
= 
 
 
15.  
2
, 0,
r   
= 
16.  
3 2
1
, 2, 0,3
3
x t t y t t
= − = + 

8
17.  
cos , , 0,ln
t t
x e t y e sent t 
= = 
18. 8 6cos , 6 8cos , 0,
2
x sent t y sent t t

 
= + = −   
 
19. ( ) ( )
9 , 9 1 cos
x t sent y t
= − = − arco de cicloide
20. cos ln tan , , 0
2
t
x a t y a sent a
 
= − + = 
 
 
, desde el
punto ( )
0,
A a hasta el punto genérico ( )
,
P x y de esta
curva.
21. Halle la longitud de arco de ( )
0,3 en el sentido de las
manecillas del reloj a ( )
2, 5 sobre la circunferencia
2 2
9
x y
+ = .
22. Halle la longitud de arco de ( )
3,4
− en el sentido de las
manecillas del reloj a ( )
4,3 sobre la circunferencia
2 2
25
x y
+ = . Grafique y muestre que el resultado es
una cuarta parte de la circunferencia.
23. Halle la longitud total de la gráfica del astroide
2 3 2 3
4
x y
+ = . Trace el gráfico correspondiente.

9
24. Halle el perímetro de la figura limitada por la recta 1
y =
y la curva:
2 2
4 x x
y e e−
= + . Trace el gráfico
correspondiente.
25. Halle la longitud de arco de la parábola semi cúbica
( )3
2
1
2
: 1
3
y x
 = − comprendida dentro de la parábola
2
2 :
3
x
y
 = . Trace el gráfico correspondiente.
26. Calcule la longitud de arco del rizo interno del caracol
de Pascal 1 2cos
r 
= + que se muestra en la siguiente
gráfica.
27. Dadas las curvas 𝐶1 : 𝑟 = 2 − 2𝑠𝑖𝑛 𝜃 y 𝐶2 : 𝑟 = −6 𝑠𝑖𝑛 𝜃.
Calcule el perímetro de la región
a) interior a 𝐶1 y exterior a 𝐶2
b) común a 𝐶1 y 𝐶2

10
Trace el gráfico correspondiente para cada caso.
28. Un círculo de radio 1 rueda sobre un círculo de radio 4.
La trayectoria de un punto del borde del círculo menor
está dada por:
5cos cos5 , 5sin sin5
x t t y t t
= − = −
Calcule la distancia recorrida por dicho punto en el
transcurso de una vuelta completa alrededor del círculo
mayor. Trace el gráfico correspondiente.
29. Halle la longitud de arco de la curva:
2 3
y x
= entre 1
x = − y 8
x = .
Trace el gráfico correspondiente.
30. Sea E la región del plano limitada superiormente por
la curva
2 2
1 : 2
x y
 + = , e inferiormente por la curva
2 3
2 : x y
 = − . Grafique y halle la longitud de arco de
E .
31. Halle la longitud de la cisoide:
𝐶: 𝑟 = 2𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝜃 𝑠𝑖𝑛 𝜃 desde 𝜃 = 0 hasta 𝜃 =
𝜋
3
.

11
32. En el instante 𝑡, la posición de una partícula está dada
por:
2
1 arctan , 1 ln 1
x t y t
= + = − + . Halle el
recorrido desde el instante 𝑡 = 0 hasta 𝑡 = 2 𝜋. Trace
el gráfico correspondiente.
33. Un punto se mueve en un plano sobre la curva con
representación paramétrica:
2 3 2
1 4
,
2 3
x t t y t
= − =
Donde 𝑡 representa el tiempo en segundos. Halle la
distancia recorrida en los 2 primeros segundos. Trace el
gráfico correspondiente.
34. Calcule el perímetro de la región, exterior al cardioide:
𝑟 = 2 + 2𝑠𝑖𝑛 𝜃 e interior a la circunferencia:
𝑟 = 6 𝑠𝑖𝑛 𝜃.

12
35. Calcule la longitud del arco de la curva cuya ecuación:
8𝑎2
𝑦2
= 𝑥2(𝑎2
− 𝑥2), 𝑎 > 0

13
EJERCICIOS SOBRE VOLÚMENES DE SÓLIDOS
En los ejercicios 1 a 6, halle el volumen del sólido generado
cuando la región indicada gira alrededor del eje que se
especifica; rebane, aproxime e integre.
1. eje x
ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 03

14
2. eje x
3.
a) eje x
b) eje y
4.
a) eje x
b) eje y
5.
a) eje x
b) la recta 1
y =

15
c) la recta 8 5
y =
d) la recta 2 5
y = −
6.
a) eje x
b) la recta 2
y =
c) la recta 5
y =
d) la recta 5 8
y = −
En los problemas 7 a 12, dibuje la región R limitada por las
gráficas de las ecuaciones dadas, mostrando un rectángulo
vertical característico. Halle después el volumen del sólido
generado por la rotación de R alrededor del eje x.

16
7.
2
, 4, 0
4
x
y x y
= = =
8.
3
, 2, 0
y x x y
= = =
9.
1
, 1, 4, 0
y x x y
x
= = = =
10.
3 2
, 0
y x y
= = , entre 1
x = y 3
x =
11. 2
4 , 0
y x y
= − = , entre 1
x = − y 2
x =
12.
2 3
, 0
y x y
= = , entre 1
x = y 8
x =
En los problemas 13 a 18, dibuje la región R limitada por
las gráficas de las ecuaciones dadas y muestre un
rectángulo horizontal característico. Halle el volumen del
sólido generado mediante la rotación de R alrededor del
eje y.
13.
2
, 0, 2
x y x y
= = =
14.
2
, 1, 0
x y x
y
= = =
15.
2
4 , 2 0
x y x y
= − + − =
16.
2 3
, 8, 0
x y y x
= = =
17.
3 2
, 4, 0
x y y x
= = =
18.
2
9 , 0
x y x
= − =

17
19. Halle el volumen del sólido generado por la rotación
alrededor del eje x de la región limitada por la mitad
superior de la elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
y el eje x; halle después el volumen del esferoide
alargado. Aquí, a y b son constantes positivas, siendo
a b
 .
alrededor del eje x de la región limitada por la recta
4
y x
= y la parábola
2
4
y x
= . Haga un diagrama.
alrededor del eje x de la región limitada por la recta
2 0
x y
− = y la parábola
2
2 0
y x
− = . Haga un diagrama.
alrededor del eje x de la región del primer cuadrante
limitada por la recta x r h
= − , el círculo 2 2 2
x y r
+ = y el
eje x, siendo 0 h r
  , y halle después el volumen de

18
un segmento esférico de altura h , si el radio de la
esfera es r .
alrededor del eje y de la región limitada por la recta
4
y x
= y la parábola
2
4
y x
= . Haga un diagrama.
alrededor de la recta 2
y = de la región del primer
cuadrante limitada por las parábolas
2
3 16 48 0
x y
− + =
y
2
16 80 0
x y
− + = y el eje y. Haga un diagrama.
25. La base de un sólido es la región interior del círculo
2 2
4
x y
+ = . Halle el volumen del sólido si toda sección
transversal mediante un plano perpendicular al eje x es
un cuadrado.
26. Haga el problema 25 suponiendo que toda sección
transversal mediante un plano perpendicular al eje x es
un triángulo isósceles, cuya base está en el plano xy y
cuya altura es 4.

19
27. La base de un sólido está limitada por un arco de
 
cos , 2, 2
y x x  
=  − , y el eje x. Toda sección
transversal perpendicular al eje x es un cuadrado
apoyado sobre su base. Halle el volumen del sólido.
28. La base de un sólido es la región limitada por
2
1
y x
= −
y
4
1
y x
= − . La sección transversal del sólido
perpendicular al eje x, es un cuadrado. Halle el
volumen del sólido.
29. Halle el volumen de un octante (un octavo) de la región
sólida común a dos cilindros circulares rectos de radio
1, cuyos ejes se intersecan en ángulo recto. Sugerencia:
Las secciones transversales horizontales son cuadradas.
30. La base de un sólido es la región R limitada por y x
=
y
2
y x
= . Toda sección transversal perpendicular al eje
x es un semicírculo cuyo diámetro se extiende a lo largo
de R . Halle el volumen del sólido.

20
31. Halle el volumen del sólido generado por la rotación de
la región del primer cuadrante limitada por la curva
2 3
y x
= , la recta 4
x = y el eje x.
a) Alrededor de la línea 4
x =
b) Alrededor de la recta 8
y =
32. Halle el volumen del sólido generado por la revolución
de la región en el primer cuadrante limitada por la
curva 2 3
y x
= , la línea 8
y = y el eje y.
c) Alrededor de la línea 4
x =
d) Alrededor de la recta 8
y =
33. Halle el volumen del sólido que se encuentra entre los
planos perpendiculares a eje x en 1
x = − y 1
x = . Las
secciones transversales perpendiculares al eje x son
discos circulares cuyos diámetros van de la parábola
2
y x
= a la parábola 2
2
y x
= − .

21
34. Halle el volumen del sólido cuya base es la región entre
la curva 2
y sen x
= y el intervalo  
0, en el eje x. Las
secciones transversales perpendiculares al eje son:
a) triángulos equiláteros con bases que van del eje x a
la curva, como se muestra en la figura.
b) cuadrados con bases que van del eje x a la curva.
35. Halle el volumen del sólido cuya base es el disco
2 2
1
x y
+  . Las secciones transversales son triángulos
rectángulos isósceles determinados por planos
perpendiculares al eje y entre 1
y = − y 1
y = , con uno de
los catetos en el disco.

22
36. Se corta una cuña curva de un cilindro con radio 3 en
dos planos. Uno de los planos es perpendicular al eje
del cilindro; el otro, cruza al primero formando un
ángulo de 4
 en el centro del cilindro. Determine el
volumen de la cuña.
37. Una pirámide de 3 m de altura tiene una base cuadrada
que tiene 3 m por lado. La sección transversal de la
pirámide, perpendicular a una altura de x m del
vértice, es un cuadrado de x m por lado. Determine el
volumen de la pirámide.

23
EJERCICIOS SOBRE TRABAJO REALIZADO POR UNA
FUERZA VARIABLE
1. Se necesita una fuerza de 8 libras para mantener
estirado un resorte de 1 2 pie más de su longitud
normal. Encuentre el valor de la constante del resorte
y el trabajo realizado al retirarlo 1 2 pie más de su
longitud normal.
2. ¿Qué cantidad de trabajo se requiere para estirar 1 pie
el resorte del problema 1?
3. Se necesita una fuerza de 200 dinas para mantener
comprimidos 8 centímetros menos de su longitud
ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 04

24
natural un resorte de 10 centímetros. Encuentre el
trabajo realizado al comprimir el resorte 6 centímetros
a partir de su longitud normal. (La ley de Hooke se
aplica tanto a la compresión como al estiramiento).
4. Se requiere un trabajo de 60 ergios (dinas-centímetros)
para estirar un resorte de 8 centímetros de longitud a
9, y otros 120 ergios para estirarlo de 9 a 10
centímetros. Calcule la constante del resorte y
encuentre la longitud normal del resorte.
5. Demuestre que, para cualquier resorte que obedezca la
ley de Hooke, el trabajo realizado el estirarlo una
distancia d es
2
1
2
W kd
= .
6. En cierto tipo de resorte no lineal, la fuerza requerida
para mantenerlo estirado una distancia s está dado por
la fórmula
4 3
F k s
= . Si para estirarlo 8 pulgadas se
necesita una fuerza de 1 libra, ¿qué trabajo se realiza
al estirarlo 27 pulgadas?
7. La fuerza necesaria para estirar un resorte s pies es
11
F s
= . ¿Qué trabajo se realiza para estirarlo 2 pies?

25
8. Dos resortes similares 1
S y 2
S , cada uno de 3 pies de
longitud, son tales que la fuerza requerida para
mantener a cualquiera de ellos estirado una distancia
de s pies es 6
F s
= libras. Un extremo de uno de los
resortes se sujeta a un extremo del otro, y la
combinación se estira entre las paredes de un cuarto de
10 pies de ancho (véase la figura). ¿Qué cantidad de
trabajo se requiere para mover el punto medio P, 1 pie
hacia la derecha?
En cada uno de los problemas 9 a 12, se muestra el extremo
vertical de un depósito. Suponga que el depósito tiene 10
pies de largo y que está lleno de agua, la cual va a ser
bombeada a una altura de 5 pies arriba del borde del
depósito. Encuentre el trabajo necesario para vaciar el
depósito.
9.

26
10.
11.
12.
13. Encuentre el trabajo realizado al bombear todo el
aceite (densidad 50
 = libras por pie3) sobre el borde
de un recipiente cilíndrico apoyado sobre su base.
Suponga que el radio de la base es de 5 pies, que su
altura es de 10 pies y que está lleno de aceite.

27
14. Resuelva el problema 13 suponiendo que el recipiente
tiene una sección transversal circular de radio: 5 x
+ a
la altura x sobre la base.
15. Un volumen v de gas está confinado en un cilindro, una
base del cual está tapada por un pistón móvil. Si A es
el área en pulgadas2 de la cara del pistón y x es la
distancia en pulgadas de la cabeza del cilindro al
pistón, entonces v A x
= . La presión del gas confinado
es una función continua p del volumen y ( ) ( )
p v p A x
=
se designará como ( )
f x . Demuestre que el trabajo
realizado por el pistón al comprimir el gas del volumen
1 1
v Ax
= al volumen 2 2
v Ax
= es
( )
2
1
x
x
W f x dx
= 
Sugerencia: la fuerza total sobre la cara del pistón es:
( ) ( ) ( )
p v A p A x A A f x
 =  = 
16. Un cilindro con pistón, cuya área de sección transversal
es de 1 pulgada2, contiene 16 pulgadas3 de gas a una
presión de 40 libras por pulgada2. Si la presión y el
volumen del gas están relacionados adiabáticamente
(es decir, sin pérdida de calor) por la ley
1.4
pv c
= (una

28
constante), ¿qué cantidad de trabajo se realiza cuando
el pistón comprime el gas 2 pulgadas3?
17. Encuentre el trabajo realizado por el pistón del
problema 16, si el área de la cara del pistón es de 2
pulgadas2.
18. Un pie3 de aire a una presión de 80 libras por pulgada2
se expande adiabáticamente 4 pies3 de acuerdo con la
ley
1.4
pv c
= . Encuentre el trabajo realizado por el gas.
19. Un cable que pesa 2 libras por pie se utiliza para
levantar una carga de 200 libras al borde de un pozo de
500 pies de profundidad. ¿Qué trabajo se realiza?
20. Un mono de 10 libras cuelga del extremo de una cadena
de 20 pies, que pesa 1 2 libra por pie. ¿Qué trabajo
realiza al trepar por la cadena hasta su extremo
superior? Suponga que el extremo inferior de la cadena
está sujeto al mono.
21. Una cápsula espacial que pesa 5000 libras es impulsada
a una altura de 200 millas sobre la superficie de la
Tierra. ¿Qué trabajo se realiza para vencer la fuerza de
la gravedad? Suponga que la Tierra es una esfera de
4000 millas de radio y que la fuerza de gravedad es

29
2
( )
k
f x
x
= − donde x es la distancia del centro de la
Tierra a la cápsula (ley inversa del cuadrado). Así es que
la fuerza de elevación que se requiere es
2
/
k x y es
igual a 5000 cuando 4000
x = .
22. De acuerdo con la ley de Coulomb, dos cargas
eléctricas del mismo signo se repelen entre sí con una
fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia entre ellas. Si la fuerza de repulsión es de 20
dinas cuando están separadas 2 centímetros, encuentre
el trabajo realizado al juntar las cargas desde 5 a 1
centímetro.
23. Un depósito con peso de 100 libras se llena con arena,
la cual pesa 500 libras. Una grúa levanta el depósito
desde el piso hasta un punto a 80 pies a una velocidad
de 2 pies por segundo, pero al mismo tiempo la arena
sale por un agujero a razón de 3 libras por segundo. Sin
tomar en cuenta la fricción ni el peso del cable,
determine cuánto trabajo se realiza. Sugerencia:
comience por estimar W
 , el trabajo requerido para
elevar el depósito desde y y hasta y y
+  .
24. Un objeto que pesa 300 libras está suspendido desde lo
alto de un edificio mediante un cable uniforme. Si el

30
cable tiene 100 pies de longitud y pesa 120 libras, ¿qué
cantidad de trabajo se requiere para llevar el objeto
hasta lo alto?
25. Una fuerza de cos
2
x

 
 
 
actúa sobre un objeto cuando
está a x metros alejados de su origen. ¿Cuánto trabajo
realiza esta fuerza para mover el objeto desde 1
x = a
5
x = metros?
26. Se tiene un tanque lleno con agua hasta 25 cm de
profundidad, la cual va a ser bombeada a una altura de
15 cm arriba del borde del tanque. Encuentre el trabajo
necesario para vaciar el depósito. El tanque tiene base
rectangular, dos lados laterales en forma de trapecio y
los otros dos rectangulares. Ver figura.

31
27. En el tanque de la figura, se vierte agua, a razón de 4
pies3/min. Las secciones transversales del tanque son
semicírculos de 4 pies de diámetro. Un extremo del
tanque es móvil, pero al moverlo para incrementar el
volumen del tanque comprime un resorte. La constante
del resorte es 100 /
k lb pie
= . Si el extremo del
tanque se mueve 5 pies comprimiendo el resorte, el
agua escapará por un agujero del fondo a razón de 5
pies3/min. ¿Llegará a desbordarse el tanque?

32
EJERCICIOS SOBRE ÁREAS DE SUPERFICIES DE
REVOLUCIÓN
En los ejercicios 1 a 13, grafique y halle el área de las
superficies de revolución que se obtienen al girar alrededor
del eje x, las curvas dadas por:
1.  
3
1
4, 0,3
3
y x x
= + 
2.
3.  
, 1,4
y x x
= 
4.  
cos , 2, 2
y x x  
=  −
5.
2 2 2
( ) , 0
x y b a a b
+ − =   toro de revolución
 
3
1
, 1,2
6 2
x
y x
x
= − 
ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 05

33
6. Un lazo de la curva
2 2 2 2 4
8a y a x x
= −
7. Un lazo de la curva
2 2
9 (3 )
ay x a x
= −
8.  
2 4 4
6 3 , ,2
a xy x a x a a
= + 
9.  
2
4 2ln , 1,2
y x y y
+ = 
10. ( )  
2 2
2 1 ln 1 , 2,5
x y y y y y
= − + − − 
11.
3 3
cos , sin
x a t y a t
= =
12.  
sin , cos ; 0, 2
t t
x e t y e t t 
= = 
13. ( )
[cos ln 2 ], sin
x a t tg t y a t
= + =
del eje y, las curvas dadas por:
14.  
2
4 , 0,2
y x x
= − 
15.  
3
2, 1,8
y x x
= + 
16.  
3
, 0,3
x y y
= 
17.  
2 4 4
6 3 , ,3
a xy x a x a a
= + 

34
18. ( )  
2 2
2 1 ln 1 , 2,5
y x x x x x
= − + − − 
19.
2 2
4 16
x y
+ =
20. ( )
1
cosh , , cosh 1
x
y a x a a
a
−  
=   
   
 
21. ( )  
2
1
2ln , 1,4
4
y x x x
= − 
del eje dado, las curvas dadas por:
22.  
3 2
: 1; , 1,8
eje y y x x
= = 
23.  
3
1
: 1; , 1,2
3 4
x
eje y y x
x
= = + 
24.  
3
: 1; , 1,2
eje y y x x
= − = 
25. ( ) 2
: 1; ln 1 , 2, 1
eje x y x x e
 
= = −  +
 
26. Halle el área del casquete esférico formado al girar la
gráfica de  
2
9 , 0,2
y x x
= −  , alrededor del eje y.
Trace el gráfico correspondiente.

35
27. Halle el área del casquete esférico generado por
revolución de la gráfica de  
2 2
, 0,
y r x x a
= −  ,
alrededor del eje y. Supóngase a r
 . Trace el gráfico
correspondiente.
28. Parte de la curva 1 cos
r 
= + situada en el primer
cuadrante, gira alrededor del eje y. Halle el área de la
superficie generada.
29. Halle el área de la superficie de revolución generada al
girar la lemniscata:
2 2
cos2
r a 
=
alrededor del Eje: 4
 
= .

36
EJERCICIOS SOBRE FUERZA DE FLUIDOS
En los problemas 1 a 8 suponga que la región sombreada es
parte de una pared vertical de un tanque lleno de agua
(cuya densidad es 62.4
 = libras por pie cúbico) hasta el
nivel que se muestra. Encuentre la fuerza total ejercida
sobre esa región.
1.
2.
ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 06

37
3.
4.
5.
6.
(9,3)
y x
= I I
x
y

38
7.
x
y
y2
x
2
4
1
=
+
8.
9. Demuestre que, si una compuerta vertical en forma de
rectángulo se divide a la mitad mediante una diagonal,
la fuerza total sobre una de las mitades de la pared es
el doble que la de la otra mitad. Suponga que el borde
superior de la compuerta está al nivel de la superficie
del agua.
10. Determine la fuerza total ejercida por el agua sobre
todas las caras de un cubo de 2 pies de arista, si su cara
superior es horizontal y está 100 pies debajo de la
superficie de un lago.

39
11. Determine la fuerza total ejercida por el agua contra el
fondo de la alberca de natación que se muestra en la
figura, suponiendo que está llena de agua.
12. Encuentre la fuerza total que se ejerce contra la
superficie lateral de un cilindro recto de 6 pies de
altura, que se apoya en su base circular de 5 pies de
radio, cuando se llena de petróleo ( 50
 = libras/pie3).
13. Encuentre la fuerza total que se ejerce sobre la
superficie de un depósito cónico de 6 pies de altura si
el radio del borde superior es de 3 pies y está lleno de
agua.
14. Encuentre la fuerza total que se ejerce sobre la
superficie de un depósito hemisférico sin tapa de a pies
de radio lleno de agua.

40
Fuerza ejercida en una estructura de concreto
(hormigón)
En los problemas 15 a 18, la figura es el lado vertical de una
estructura de concreto armado que pesa 140.7 libras/pie3.
Determine la fuerza en esta parte de la estructura de
concreto.
15. Rectángulo
16. Semielipse
17. Rectángulo

41
18. Triángulo
19. Compuerta de un canal de irrigación
La sección transversal vertical de una compuerta de un
canal de irrigación es diseñada por
( )
2
2
5
4
x
f x
x
=
+
donde x se mide en pies y 0
x = corresponden al centro
del canal. Use las capacidades de integración de una
calculadora para aproximar la fuerza de fluido contra
calculadora para aproximar la fuerza del fluido contra
una compuerta vertical que detiene el flujo de agua si
el agua está a 3 pies de profundidad.

42
20. La piscina que se muestra a continuación se llena con
agua a razón de 1000 pies3/h.
a) Determine la fuerza del fluido contra la placa de
drenado triangular después de 9 h de llenar la
piscina.
b) La placa de drenado está diseñada para soportar
una fuerza de 520 lb. ¿Hasta qué altura se puede
llenar la piscina sin exceder esta limitación?
21. Abrevadero de miel de maple
La placa trapezoidal vertical que se muestra a
continuación es el extremo de un abrevadero lleno de
miel de maple, que pesa 75 lb/pie3.

43
¿Cuál es la fuerza ejercida por la miel contra la placa
del abrevadero cuando la miel tiene una profundidad
de 10 pulgadas?
22. El contenedor que se bosqueja en la figura siguiente, se
llena con dos líquidos que no se mezclan, de densidades
1
w y 2
w .
Determine la fuerza del fluido sobre un lado de la placa
cuadrada vertical ABCD. Los puntos B y D se encuentran
en la capa que divide los líquidos, y el cuadrado mide
6 2 pies por lado.

44
23. Un dique está inclinado un ángulo de 30° respecto a la
vertical y tiene la forma de un trapecio isósceles de 100
pies de ancho en la parte superior y 50 pies de ancho
en la parte inferior con una distancia inclinada de 70
pies. Halle la fuerza hidrostática que actúa sobre el
dique cuando se encuentra lleno de agua.
24. El centro de presión en un lado de una región plana
sumergida en un fluido se define como el punto en
donde la fuerza total ejercida por el fluido puede
aplicarse sin cambiar el momento total respecto de
cualquier eje del plano. Determine la profundidad del
centro de presión
a) en un rectángulo vertical de altura h y ancho b , si
su borde superior está en la superficie del fluido;
b) en un triángulo vertical de altura h y base b , si el
vértice opuesto a b tiene a pies y la base b está
( )
a h
+ pies por debajo de la superficie del fluido.

45
EJERCICIOS SOBRE CENTROS DE MASA DE REGIONES
PLANAS
1. Las masas y coordenadas de un sistema de partículas
están dadas por:
5, (-3,2); 6, (-2,-2); 2, (3,5); 7, (4,3); 1, (7,-1).
Encuentre
a) los momentos de este sistema respecto a los ejes
coordenados
b) las coordenadas del centro de masa.
Haga el diagrama correspondiente.
En los problemas 2 a 9 encuentre el centroide de la región
limitada por las curvas dadas. Haga el diagrama
correspondiente y use la simetría cuando sea posible.
ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 07

46
2.
2
4 , 0
y x y
= − =
3.
2
1
, 0, 4
2
y x y x
= = =
4.
3
, 0, 2
y x y x
= = =
5. ( )
2
1
10 , 0
2
y x y
= − = , y entre 2
x = − y 3
x =
6. 2 4, 2 , 0
y x y x x
= − = =
7.
2
, 2
y x y x
= = +
8.
2
, 4
x y x
= =
9.
2
3 4, 1
x y y x y
= − − = − −
10. Considere las láminas homogéneas 1
R y 2
R , que se
muestran en la figura 23, y la lámina homogénea 3
R ,
que es la unión de 1
R y 2
R . Para 1,2,3
i = , sean i
mR ,
( )
y i
M R y ( )
x i
M R denote la masa, el momento respecto
al eje y y el momento respecto al eje x ,
respectivamente, de i
R . Demuestre que:
( ) ( ) ( )
3 1 2
m R m R m R
= +
( ) ( ) ( )
3 1 2
y y y
M R M R M R
= +
( ) ( ) ( )
3 1 2
x x x
M R M R M R
= +

47
FIGURA 23
11. Repita el problema 10 para las láminas 1
R y 2
R que se
muestran en la figura 24.
FIGURA 24
En los problemas del 12 al 15 divida la región que se muestra
en piezas rectangulares y suponga que los momentos x
M y
y
M de toda la región pueden determinarse sumando los
momentos correspondientes de las piezas. (Véanse los
problemas 10 y 11.) Utilice esto para determinar el
centroide de cada región.
12.

48
13.
14.
15.

49
16. Use el teorema de Pappus para encontrar el volumen
del sólido obtenido cuando la región limitada por
3
, 0
y x y
= = y 2
x = gira alrededor del eje de las y
(vea el centroide en el problema 4). Resuelva el mismo
problema mediante cascarones cilíndricos para
verificar su respuesta.
17. Use el teorema de Pappus para hallar el volumen del
sólido obtenido cuando la región limitada por las
curvas:  
sin , cos , , 0, 2
y x y x eje x x 
= =  ,
gira alrededor de la recta: 3 4
x 
= .
18. Use el teorema de Pappus para encontrar el volumen
del toro obtenido cuando la región interior del círculo
2 2 2
x y a
+ = gira alrededor de la recta 2
x a
= .

50
19. Use el teorema de Pappus junto con el volumen
conocido de una esfera para determinar el centroide de
una región semicircular de radio a .
20. Demuestre el teorema de Pappus suponiendo que la
región de área A , en la figura 21, se hace girar
alrededor del eje y . Sugerencia: 2 ( )
b
a
V x h x dx

=  y
1
( )
b
a
x x h x dx
A
=  .
21. La región de la figura 21 se hace girar alrededor de la
recta y k
= , generando un sólido.
a) Utilice cascarones cilíndricos para escribir una
fórmula para el volumen en términos de ( )
y
 .
b) Demuestre que la fórmula de Pappus, cuando se
simplifica, proporciona el mismo resultado.
FIGURA 21

51
22. Considere el triángulo T de la figura 22.
a) Demuestre que 3
y h
= (y, por lo tanto, que el
centroide de un triángulo está en la intersección de
las medianas).
b) Encuentre el volumen del sólido que se obtiene
cuando T se hace girar alrededor de y k
=
(teorema de Pappus).
FIGURA 22
23. Un polígono regular P con 2n lados está inscrito en un
círculo de radio r .
a) Encuentre el volumen del sólido que se obtiene
cuando P se hace girar alrededor de uno de sus
lados.
b) Verifique su respuesta haciendo n →  .
24. Aproxime el centroide de la lámina que se muestra en
la figura 23. Todas las medidas están en centímetros y

52
las medidas horizontales están separadas 5 centímetros
una de la otra.
FIGURA 23 FIGURA 24
25. Se taladra un agujero con radio de 2.5 centímetros en
la lámina que se describe en el problema 24. La
ubicación del agujero se muestra en la figura 24.
Encuentre el centroide de la lámina resultante.

53
EJERCICIOS SOBRE INTEGRALES IMPROPIAS
A En los ejercicios 1 a 21, analice la convergencia de las
integrales dadas. Evalúe aquéllas que sean
convergentes.
1. 2
1
3
dx
x
+
+

2.
( )
1
2
1
2 3
dx
x
−
−

3. x dx
+
−

ACTIVIDAD DE
TRABAJO N° 08

54
4.
2
x
xe dx
+
−
−

5. ( )( )
0
5
2 3
dx
x x
+
+ +

6. 0
cos x dx
+

7. 0
5
2 3
dx
x
+
+

8. 1
ln x
dx
x
+

9. 2
1
x
dx
x
+
− +

10. 2
1
ln x
dx
x
+

11. 0
1
2x
dx
+


55
12. 0
1
dx
x
+

13.
0
2
1
1
dx
x
−

14.
3
4
2
1
dx
x
−

15.
( )
5
2 5
4
1
5
dx
x
−

16.
2
2
4
tg xdx



17.
2
2
0
4
x
dx
x
−

18. 0
sec x dx



56
19.
2
2
2
1
1
dx
x
− −

20. 4
1
1
ln
e
dx
x x

21.
1
0
ln
x x dx

B En los ejercicios 22 a 25, dibuje la región dada y halle
el área (si el área es finita).
22. ( )
 
, : 1, 0, x
S x y x y e
 
=    
23. ( )
 
2
, : 2, 0 x
S x y x y e−
=  −  
24. ( )
 
2
, :0 2, 0 sec
S x y x y x

=    
25. ( )
 
, : 2 0, 0 1 3
S x y x y x
= −     −

57
C En los ejercicios 26 a 32, analice la convergencia de las
siguientes integrales usando el teorema de
comparación.
26.
2
2
1
sen x
dx
x
+

27. 1
1 x
dx
x
+ +

28. 2
1
1
x
dx
x e
+
+

29. 3
1
1
1
dx
x
+
+

30.
2
0
1
dx
x sen x


31.
2
2
1
sen x
dx
x
+


58
32.
1
0
x
e
dx
x
−

33. Dibuje la región dada y halle el área de la región S
limitada por la curva
1
x
y e
− −
= y el eje x.
34. Halle el valor de la constante k para la cual la integral
dada sea convergente y evalúe la integral para este
valor de k .
a) 2
0 1 3 1
x k
dx
x x
+  
−
 
+ +
 

b) 2
0
1
1
2 1
k
dx
x
x
+  
−
 
+
+
 

35. Determine para qué valores de k convergen las
siguientes integrales impropias:
b. 1
1
ln
k
dx
x x
+

c.
( )
4
2
1
ln
k
dx
x x
+


59
36. Halle el área de la región S limitada superiormente por
1
xy = , inferiormente por 2
1
x
y
x
=
+ , y a la izquierda
por 1
x = .
37. Halle el área de la región S limitada superiormente por
1
xy = , inferiormente por
2
0
yx y x
+ − = , y a la
izquierda por 1
x = .
38. Halle el área de la región S limitada por las curvas
( )
1 1
x y − = y
2
( 1) 1
x y y x
− + − = , ubicada a la
derecha de la recta 1
x = .
39.
a) Si ( ) ( )
2 2
sin
g x x x
= , use su calculadora o
computadora para hacer una tabla de valores
aproximados de ( )
1
t
g x dx
 para
2, 5, 10, 100, 1000 10,000
t y
= .
¿Parece que ( )
1
g x dx

 es convergente?

60
b) Use el Teorema de Comparación con ( ) 2
1
f x x
=
para demostrar que es convergente.
c) Ilustre el inciso (b) al graficar f y g en la misma
pantalla para 1 10
x
  . Use su gráfica para
explicar intuitivamente por qué es convergente.
40. El promedio de rapidez de moléculas en un gas
perfecto es
( )
2
3 2
2
3
0
4
2
Mv RT
M
v v e dv
RT

 −
 
=  
 

donde M es el peso molecular del gas, R es la
constante del gas, T es la temperatura del gas y v es
la rapidez molecular.
Demuestre que
8RT
v
M

= .
41. Función gamma. La función gamma ( )
n
 se define por
( ) 1
0
, 0
n x
n x e dx n

− −
 = 

a) Encuentre ( )
1
 , ( )
2
 y ( )
3
 .
b) Use la integración por partes para mostrar que
( ) ( )
1
n n n
 + =  .

61
c) Escriba ( )
n
 usando notación factorial donde
n +
 .
42. Transformada de Laplace. Sea ( )
f t una función
definida para todos los valores positivos de t . La
transformada de Laplace de ( )
f t se define por
( ) ( )
0
st
F s e f t dt

−
= 
si la integral impropia existe. Se usa la transformada de
Laplace para resolver las ecuaciones diferenciales.
Halle la transformada de Laplace de las siguientes
funciones:
a) ( ) 1
f t =
b) ( )
f t t
=
c) ( ) 2
f t t
=
d) ( ) at
f t e
=
e) ( ) cos
f t at
=
f) ( ) sin
f t at
=
g) ( ) cosh
f t at
=
h) ( ) sinh
f t at
=

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