Materia académica de nivel preuniversitario

2. Tema: Regla del Tanto por Ciento
ARITMÉTICA
Docente: Julio Omar Torres Pérez

3. Comprender la diferencia entre tanto por
ciento y porcentaje.
1
Entender y saber aplicar los
descuentos y aumentos sucesivos.
2
Conocer las operaciones comerciales de
compra - venta.
3
OBJETIVOS

4. INTRODUCCIÓN
Es cotidiano observar como el Tanto por Ciento está presente en nuestra vida diaria; por ejemplo, al pedir la boleta
de compra el IGV es del 18% del valor total, el avance al descargar o almacenar un archivo en el computador o
celular se expresa en tanto por ciento; los descuentos que se ofrecen en farmacias, tiendas comerciales, etc.
Observa estas imágenes:
Los valores que miden
porcentualmente las cantidades
nutricionales que hay en éstos.
Los descuentos expresados en
tantos por ciento, en ciertos
productos de tiendas comerciales.
Las tasas de interés en créditos
hipotecarios, las tasas de interés
en soles o dólares para depósitos
CTS.

5. TANTO POR CIENTO
Definición
Es un procedimiento aritmético que consiste en dividir
un total en 100 partes iguales para luego considerar
tantas de ellas como se indique. Su notación es mediante
el símbolo %.
La parte sombreada de
amarillo:
25
100
= 25%
25
100
Parte sombreada
Total de partes
Es decir: 25
100
<> 0,25 <> 25%
Gráficamente:
Observe:
De igual manera para:
Para la parte sombreada de azul:
25
100
= 25%
Para la parte sombreada de naranja:
12
100
= 12%
Para la parte sombreada de verde:
1
100
= 1%
En General:
= 𝑎% =
𝐸𝑙 “𝑎” 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑎
100

6. 10
100
<>
10% <>
1
10
20
100
<>
20% <>
1
5
1
4
<>
25%
2
5
<>
40%
•
•
• •
1
2
<>
50%
3
5
<>
60%
• •
3
4
<>
75%
4
5
<>
80%
• •
1
<>
100%
•
1
3
<>
33,3%
• •
2
3
<>
66,6%
Equivalencias del Tanto por Ciento a Fracción
Consideremos:
𝐓𝐨𝐝𝐚 𝐜𝐚𝐧𝐭𝐢𝐝𝐚𝐝 𝐞𝐬 𝐞𝐥 𝟏𝟎𝟎% 𝐝𝐞 𝐬í 𝐦𝐢𝐬𝐦𝐚
𝐍 = 𝟏𝟎𝟎%𝐍
Observaciones:
• Las palabras de, del y de los indican multiplicación.
La palabra el … por … indica división.
Ejemplo:
Halle el 75% del 80% del 1 por 3 de 220.
75% 220 = ¿?
80% 1
3
× × ×
3
4
220 = 44
220
5
=
1
3
× × ×
4
5
• El símbolo %, en forma práctica, se puede cancelar con
el factor 100.
Ejemplo:
Halle el 40% de 150.
= 60
40
100
(150) 40% (150) = 60
× ×
ó

7. • Para expresar una fracción como tanto por ciento, se
multiplicará a la fracción por 100%.
Ejemplo:
Exprese como tanto por ciento a 1/20.
1
20
(100%) = 5%
Fracción
La unidad
Tanto por
ciento
×
• Cuando se requiera saber el tanto por ciento que
representa una cantidad respecto de otra (¿Qué tanto
por ciento de “B” es “A”?) se calcula así:
𝑥% =
𝐴
𝐵
× 100%
Es, son, será, representan
De, del, de los, de las
En una reunión hay 48 varones y 32 mujeres. ¿Qué tanto
por ciento del total son las mujeres?, ¿Qué tanto por
ciento de las mujeres representan los varones?
Aplicación 1
Resolución:
Del texto:
N° varones N° mujeres Total de personas
32
48 80
x% =
32
80
× 100%
Piden:
x% = 40%
y% =
48
32
× 100% y% = 150%
• ¿Qué tanto por ciento del total son las mujeres?
• ¿Qué tanto por ciento de las mujeres representan
los varones?

8. Porcentaje
Calcule el 20% de 800.
Ejemplo:
20% (800) = 160
Tanto por
ciento
Cantidad
Porcentaje
×
Es el resultado de aplicar el tanto por ciento a una
cantidad.
Operaciones con el Tanto por Ciento respecto a
una misma Cantidad
Para poder calcular las siguientes operaciones con el
tanto por ciento, éstas deben aplicarse sobre una misma
cantidad.
𝑎% 𝑁 + 𝑏% 𝑁 = (𝑎 + 𝑏)% 𝑁
1.
𝑎% 𝑁– 𝑏% 𝑁 = (𝑎 – 𝑏)% 𝑁
Ejemplos:
• 32% A + 16% A = 48% A
• B + 45% B = 100% B + 45% B = 145% B
D − 15% D = 100% D −15% D = 85% D
•
54% C − 38% C = 16% C
2.
Ejemplos:
•
𝑎 × (𝑏% 𝑁) = (𝑎 × 𝑏)% 𝑁
4(75% N) = 300%N
•
3(50% M) = 150% M
3.
Ejemplos:
•
= 3N

9. VARIACIÓN PORCENTUAL (∆%)
Es el tanto por ciento de aumento o disminución que sufre
una cantidad inicial. Se calcula de la siguiente manera:
∆% =
Cantidad final − Cantidad inicial
Cantidad inicial
× 100%
Aplicación 2
Si el lado de un cuadrado aumenta en un 20%. ¿En qué
tanto por ciento aumentará su área?
Inicio Final
5𝑎
5𝑎 6𝑎
6𝑎
Aumenta 20%
𝟐𝟓𝐚𝟐 𝟑𝟔𝒂𝟐
∆% =
36 − 25
25
× 100%
Suponemos
Resolución:
= 44%
De aquí:
Otra forma de desarrollar problemas de variación porcentual:
Aplicación 3
¿En qué tanto por ciento aumenta el área de un círculo si
su radio aumenta en 10%?
Piden: La variación porcentual del área del círculo.
10 u
Inicio
10%(10)
+
11 u
<>
100 %
100 𝜋 𝑢2
Final
121 𝜋 𝑢2
<>
121 %
Se observa
relación de
1 a 1
∆% = 121% − 100%
← Área →
+1
También la
relación es de
1 a 1
Como 10%
equivale a 1/10
consideramos el
radio del círculo
como 10
Resolución:
= 21%
Piden: La variación porcentual del área del cuadrado.
Por lo tanto: El área del cuadrado aumenta en 44%.
Por lo tanto: El área del círculo aumenta en 21%.
Del enunciado:

10. DESCUENTOS SUCESIVOS
Son descuentos que no se aplican sobre la misma
cantidad inicial, cuando hagamos descuentos sucesivos,
el primer descuento se aplica a la cantidad inicial, y los
siguientes descuentos, se irán aplicando a la cantidad
que va quedando.
Ejemplo:
¿A qué descuento único equivale dos descuentos
sucesivos del 30% y 40%?
Inicio
100%
Descuento
30%
Queda
70%
Descuento
40% (70%)
Final
42%
28%
Descuento único: 58%
Dos descuentos sucesivos del 30% y 40% equivale a un
descuento único del 58%.
En forma práctica tenemos:
Inicio
100%
Descuenta
30%
Descuenta
40%
(100 − 30)%
(100 − 40)%
Final: 42%
Descuento único
58%
∴ Descuento único = 58%
Nota:
Solo para dos descuentos sucesivos 𝐷1% y 𝐷2% cumple
la siguiente relación:
𝐷1 𝐷2
+ −
100
%
=
𝐷ú𝑛𝑖𝑐𝑜
×
𝐷1 𝐷2

11. AUMENTOS SUCESIVOS
Ejemplo:
¿A qué aumento único equivale dos aumentos
sucesivos del 30% y 40%?
Cuando hagamos aumentos sucesivos, el primer
aumento se aplica a la cantidad inicial, y los siguientes
aumentos, se irán aplicando a la nueva cantidad que se
va teniendo.
Inicio
100%
Aumenta
30%
Se tiene
130%
Aumenta
40% (130%)
Final
182%
52%
Aumento único: 82%
Dos aumentos sucesivos del 30% y 40% equivale a un
aumento único del 82%.
En forma práctica tenemos:
Inicio
100%
Aumenta
30%
Aumenta
40%
(100 + 30)%
(100 + 40)%
Final: 182%
Aumento único
82%
∴ Aumento único = 82%
Nota:
Solo para dos aumentos sucesivos 𝐴1% y 𝐴2% cumple
la siguiente relación:
𝐴1 𝐴2
+ +
100
%
=
𝐴ú𝑛𝑖𝑐𝑜
×
𝐴1 𝐴2

12. Aplicación 4
Resolución:
Aplicación 5
Resolución:
Una cantidad aumenta 20% y luego disminuye 20%
sucesivamente. ¿En qué tanto por ciento varía?
Carlos decide apostar todo su dinero y gana el 20%,
nuevamente apuesta todo y pierde el 20% por último
apuesta todo y gana el 10% retirándose del juego con
2112 soles ¿Cuánto ganó o perdió en todo el juego?

13. APLICACIONES COMERCIALES
El tanto por ciento se utiliza en una gran cantidad de
aplicaciones comerciales, aquí estudiaremos los casos
de compra - venta.
Ejemplo:
Un comerciante compra un Smart TV en S/1300, luego
incrementa su costo en S/700 para ponerle este precio
en el mostrador de su tienda, sin embargo lo vende en
S/1800 debido a que hizo una rebaja de S/200. Según
ello aparentemente se está ganando S/800, pero dicha
operación comercial le generó gastos equivalentes a
S/50, por lo que realmente está ganando S/550.
Gráficamente:
𝑮𝑩: S/800
𝑮𝑵: S/750 𝑮∗
: S/50
𝑷𝑭: S/2000
𝑷𝑽: S/1800
𝑷𝑪: S/1300
∗ 𝑃𝐶: Precio de costo.
∗ 𝑃𝑉: Precio de venta.
∗ 𝑃𝐹: Precio fijado o de lista.
∗ 𝐺𝐵: Ganancia bruta.
∗ 𝐺𝑁: Ganancia neta.
∗ 𝐺∗
: Gastos.
𝑫: S/200
∗ 𝐷: Descuento.
Donde:
Notamos que:
Incremento: S/700
𝑃𝐹 = 𝑃𝐶 + 𝐼𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑃𝑉 = 𝑃𝐶 + 𝐺𝐵 𝑃𝑉 = 𝑃𝐹 − 𝐷 𝐺𝐵= 𝐺𝑁 + 𝐺∗
Notas:
∗ Algunas veces se puede producir una pérdida, en estos casos:
𝑃𝑉 = 𝑃𝐶 − 𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
∗ Generalmente:
- Las ganancias o pérdidas se representan como un tanto por
ciento del precio de costo.
- Las descuentos o rebajas se representan como un tanto
por ciento del precio de fijado.

14. Ejercicios
Dadas las siguientes expresiones, represéntelas en un
gráfico aplicando la proporcionalidad:
• “Valery vende un televisor ganando el 30%”:
Del texto:
𝐺 = 30% × Pc →
𝐺
𝑃𝑐
=
3
10
→
𝐺 = 3𝑘
𝑃𝑐 = 10𝑘
Graficando:
𝑷𝒄:
𝑮:
10𝑘
3𝑘
𝑷𝒗: 13𝑘
• “Para fijar el precio de venta de un artículo se
incrementa su costo en 25%”:
Del texto:
𝐴 = 25% × Pc →
𝐴
𝑃𝑐
=
1
4
→
𝐴 = 1𝑘
𝑃𝑐 = 4𝑘
Graficando:
𝑷𝒄:
𝑨:
4𝑘
𝑘
𝑷𝒇: 5𝑘
• “En la venta de un artículo se rebaja el 20% y aún se
gana el 20%”:
Del texto: 𝐷 = 20% × 𝑃𝑓
𝐷
𝑃𝑓
=
1
5
Graficando:
𝑷𝒇:
𝑫:
: 𝑷𝒗 ∶ 5( )
1( )
4( )
𝐺 = 20% × 𝑃𝑐
𝐺
𝑃𝑐
=
1
5
𝑷𝒄:
𝑮:
5( )
1( )
6( )
MCM(6; 4) = 12
↑
2𝑘
2𝑘
2𝑘 3𝑘
3𝑘
3k

15. B I B L I O G R A F Í A
 Asociación Fondo de
Investigadores y Editores.
Aritmética: Colección
compendio académico UNI.
Lumbreras Editores, 2010.
 Asociación Fondo de
Investigadores y Editores.
Aritmética Esencial -
Colección Esencial.
Lumbreras Editores, 2016.
 Asociación Fondo de
Investigadores y Editores.
Aritmética: Análisis razonado
del número y sus aplicaciones.
Lumbreras Editores, 2020.