2. Escuela de Talentos- Porcentajes
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INTRODUCCIÓN
En el quehacer cotidiano muchas veces nos encontramos con
frases que dicen:
“…hoy mejoré en 50%...”
“…el candidato Ollanta encabeza la lista de…quien será el
presidente las próximas elecciones, con 75% de intención de
voto…”
Todo esto nos indica cuánto tomamos de una cantidad
referencias igual a 100, pero tantas aplicaciones ya sea en
cálculos matemáticos o en el comercio y es por ello que se
desarrolla ampliamente, cuidando claro el enfoque razonado y
lógico que debemos dar al alumno en general.
No olvidemos que el concepto de tanto por ciento surgió por el
comercio y al igual que el tanto por mil (0/00) se usaban de
manera cotidiana en la aritmética elemental, pero con el
transcurrir del tiempo y por la versatilidad de su uso y
aplicaciones prevaleció hasta nuestros días como herramientas
en los cálculos comerciales e interpretaciones estadísticas.

3. Escuela de Talentos- Porcentajes
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Es importante también recalcar que cuando no se
tiene muy claro el concepto se puede dejar de
engañar por y manipular por rótulos comunes :
“¡Hoy! descuento 40% + 40% en ropas”
“…estamos liquidando a la competencia…75% de
nuestros alumnos ingresan a San Marcos…”
(No se dice respecto a que cantidad se está
aplicando, “nuestros” alumnos pudieron ser
10000 e ingresaron 7500 y de la competencia sus
alumnos fueron 5 e ingresaron 5, y el 100% de
sus alumnos ingresó)
Por ello debemos comprender con claridad que
es el tanto por ciento y como se aplica en los
diversos cálculos, pero para eso primero
desarrollaremos el concepto de “Tanto por
cuanto” pues el tanto por ciento es un caso
particular de él.

4. Escuela de Talentos- Porcentajes
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PORCENTAJES
Consideremos el siguiente ejemplo:
Panchito al agrupar sus pelotitas de 7 en 7, nota que 3 de cada grupo son de color rojo.
Esto significa que:
3 de cada 3 por cada El 3 por 7 3/7 del total
7 son de color <> 7 son de color <> es de color <> es de color
rojo rojo rojo rojo
El 3 por 7 <>
3
7
Luego:
El 3 por 7
Total <> 7 partes iguales
3 partes iguales
Es decir:
TANTO POR CUANTO

5. Escuela de Talentos- Porcentajes
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En general:
Si tuviéramos una cantidad dividida en “n” partes iguales y tomáramos “m” de sus partes;
estaríamos tomando el “m” por “n” de dicha cantidad.
“n” partes iguales
“m” partes iguales
𝑬𝒍 𝒎 𝒑𝒐𝒓 𝒏 <>
𝒎
𝒏
𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒕𝒐
EJEMPLO N° 1
Calcule
I. El 5 por 9 de 72
II. El 2,5 por 20 de 80
III. El 2 por 9 del 3 por 20 del 15 por 7 de 70
Solución:
I. 𝐸𝑙 5 𝑝𝑜𝑟 9 𝑑𝑒 72 =
5
9
. 72 = 40
II. 𝐸𝑙 2,5 𝑝𝑜𝑟 20 𝑑𝑒 80 =
2,5
20
. 80 = 10
III. 𝐸𝑙 2 𝑝𝑜𝑟 9 𝑑𝑒𝑙 3 𝑝𝑜𝑟 20 𝑑𝑒𝑙 15 𝑝𝑜𝑟 7 𝑑𝑒 70 =
2
9
.
3
20
.
15
7
. 70 = 5

6. TANTO POR CIENTO %
Escuela de Talentos- Porcentajes
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Se denomina así a un caso particular del tanto por cuanto y se da cuando el total se divide en 100
partes iguales y tomamos cierto número “m” de estas partes:
El m por ciento
(%)
Total <> 100 partes iguales
“m” partes iguales
Entonces las m partes equivalen al m por
100 del total o la m por ciento del total, es
decir
𝑚
100
del total.
𝒎 𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 <> 𝒎% <>
𝒎
𝟏𝟎𝟎
Ejemplo:
 𝐸𝑙 8 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 <> 8% <>
8
100
 𝐸𝑙 25 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 <> 25% <>
25
100
 𝐸𝑙 300 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 <> 300% <>
300
100

7. Escuela de Talentos- Porcentajes
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 15%𝑁 + 60%𝑁 = 75%𝑁
 80%𝑃 − 25%𝑃 = 55%𝑃
 𝐴 + 10%𝐴 = 100%𝐴 + 10%𝐴 = 110%𝐴
 𝑋 − 35%𝑋 = 100%𝑋 − 35%𝑋 = 65%𝑋
Observación:
Como 100% <> 1; el todo equivale a la
unidad y como tal equivale al 100%.
Nota:
RELACIÓN PARTE – TODO APLICADO AL TANTO POR CIENTO
Se denomina así a la relación:
es, son representa ...
de, del, respecto de ...
Ejemplo:
 ¿Qué tanto por ciento de 80 es 12?
𝐸𝑠
𝐷𝑒
:
12
80
𝑥100% = 15%
 ¿Qué tanto por ciento más es 60 respecto de 40?
Aquí lo que se está comparando es el exceso
respecto de 40; entonces la parte es: 60 −
40 = 20 y el todo es 40.
Luego;
20
40
𝑥100% = 50%

8. Escuela de Talentos- Porcentajes
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DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
Veamos algunos ejemplos ilustrativos:
Ejemplo: ¿A qué descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y el 40%?
Solución:
¡Cuidado!... la respuesta no es 60%. Veamos cómo se resuelve. Considerando la cantidad inicial 100,
tenemos:
100 80 48
DESCUENTO DE
20%(100)= 20
DESCUENTO:
40%(80)=32
SE DESCONTÓ 52 <> 52%
Por lo tanto el descuento único <> 52%

9. Escuela de Talentos- Porcentajes
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EJEMPLO N° 2
¿A qué aumento único equivalen dos aumentos sucesivos del 20% y 40%?
Solución:
Consideramos la cantidad inicial 100 y luego:
100 120 168
AUMENTO DE
20%(100)= 20
AUMENTO DE
40%(120)=48
AUMENTÓ 68 <> 68%
Por lo tanto el aumento único <> 68%

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EJEMPLO N° 3
¿A qué aumento o descuento único equivalen dos descuentos sucesivos del 20% y 50%
seguido de dos aumentos sucesivos del 20% y 50%?
Solución:
Sea la cantidad inicial 100

11. Escuela de Talentos- Porcentajes
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VARIACIÓN PORCENTUAL
Se utiliza para calcular el aumento o disminución porcentual de una cantidad
EJEMPLO N° 4
Si en la mañana cuando sale el sol la temperatura es 15°C y al mediodía la temperatura es
18°C. ¿En qué tanto por ciento aumenta la temperatura?
Solución:
15 18
AUMENTO 3° C
𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓𝒄𝒆𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 =
𝟑
𝟏𝟓
𝒙𝟏𝟎𝟎%
Inicio Final

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APLICACIONES COMERCIALES
Donde más encontraremos aplicaciones del tanto por ciento es en las actividades comerciales, por
ejemplo en el banco (en las tasas de interés), en la SUNAT (al pagar un impuesto), etc.
Cuando resolvamos problemas de este tipo nos tocaremos con nombres como: precio de venta,
descuento, ganancia bruta, etc. Por ello especificamos la relación entre estas:
Nota:

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EJEMPLO N° 4
Se compra un artículo en 800 soles ¿Qué precio debe fijarse para su venta al público, para
hacer un descuento del 20% y aun así ganar el 25%?
Solución:
Según el enunciado:
Ganancia: 25%(800)=200 soles
Descuento: 20%(precio fijado) <>15 (precio fijado)
Precio fijado = 5k ⇒ Descuento = k
Gráficamente:

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MEZCLAS PORCENTUALES
Cuando vamos a la farmacia a comprar alcohol encontraremos alcohol al 75%, alcohol de 75° o
concentrado al 75%, todas estas expresiones indican lo mismo.