Porcentajes

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email: mitagi@gmail.com – mitagi@hotmail.com
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ÁREA: MATEMÁTICA ARITMÉTICA PUENTE PIEDRA
2018 - ITEMA: Porcentajes
PORCENTAJES %
Definición: Un porcentaje es una proporción tomando
como referencia el número 100.
Se expresa con un número entre 0 y 100 seguido del
símbolo %.
Ejemplos:
El 50% es la mitad ya que 50 es la mitad de
100.
El 50% de 200 es 100.
El veinte por ciento (20%) es la quinta
parte ya que 20 es la quinta parte de 100.
El 20% de 500 es 100.
El 100% es el total ya que 100 es el total de
100.
El 100% de 250 es 250.
2. Cálculo de Porcentajes
Métodos para obtener el tanto por ciento (porcentaje) de
una determinada cantidad.
Veremos dos métodos para calcular porcentajes: aplicar
una regla de tres o multiplicar por un decimal.
En realidad, el segundo de los métodos es el mismo que
el primero: se aplica una regla de tres, pero multiplicando
directamente por un número decimal.
Método 1: Regla de tres
Los porcentajes son siempre relaciones de
proporcionalidad directa.
Identificaremos el total con el 100% para obtener los
porcentajes.
Ejemplo: Vamos a calcular el 25% de 324.
Como 324 es el total, lo identificamos con el 100%:
Aplicando la regla de tres, podemos calcular el valor de
la incógnita x que representa el 25% de 324:
Por tanto, el 25% de 324 es 81.
Nota: el 25% es una cuarta parte ya que 25 es la cuarta
parte de 100.
Nota 2: para obtener x hemos multiplicado 324 por 25 y
dividido entre 100. Esto es lo mismo que multiplicar 324
por la fracción 25/100, es decir, multiplicar por el decimal
0,25. Esta operación es la clave del siguiente método.
Método 2: Multiplicar por un Decimal
En realidad este método es calcular una regla de tres, pero
de forma más rápida (omitiendo operaciones).
Como hemos visto, para calcular el tanto por ciento de una
cantidad multiplicamos dicha cantidad por el número del
porcentaje y dividimos por 100.
Estas dos operaciones podemos realizarlas directamente
multiplicando por un decimal.
Ejemplo:
 Calculamos el 35% de 80
Solo tenemos que multiplicar 80 por el decimal 0,35
(0,35 es 35 dividido entre 100):
 Calculamos el 2% de 80
Solo tenemos que multiplicar 80 por el decimal 0,02
(0,02 es 2 dividido entre 100):

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4. Tanto por ciento mayor que 100%
También podemos calcular porcentajes mayores que 100.
El procedimiento es el mismo.
Ejemplo: Vamos a calcular el 150% de 30 aplicando una
regla de tres:
Como 30 es el total, lo identificamos con el 100%:
Calculamos la incógnita x:
Por tanto, el 150% de 30 es 45.
Nota (ejemplo): el porcentaje que hemos calculado es
150% que es, en realidad, 100% + 50%.
Es decir, podemos ver el porcentaje 150% como el total
más la mitad ya que el 100% es el total y el 50% es la
mitad.
5. Porcentajes y Fracciones
En este punto veremos la relación que hay entre las
fracciones y los porcentajes.
Las fracciones expresan proporciones tomando como
referencia el 1, mientras que los porcentajes toman como
referencia el 100.
Para comprenderlo mejor, pondremos un ejemplo:
El 20% de una cantidad es la quinta parte de dicha
cantidad ya que 20 es la quinta parte de 100.
Por tanto, podemos expresar el 20% de x como la fracción
1/5 de x.
En efecto, si queremos calcular la fracción un quinto de x,
multiplicamos x por la fracción un quinto, que es 0,20.
Notemos que al multiplicar por 0,20 estamos haciendo la
misma operación que cuando calculamos el porcentaje
20%.
Ejemplos: El 80% de x son cuatro quintos de x ya que
El 45% de x son nueve veinteavos de x ya que
6. Rebajas y Descuentos:
Es muy frecuente emplear porcentajes para expresar
disminuciones o decrecimientos. Lo vemos todos los años
en las rebajas de las tiendas.
Si un precio está rebajado, por ejemplo, un 40%, quiere
decir que el precio actual es el precio inicial menos su
40%. Esto es, el precio actual es el 60% del precio inicial
ya que al 100% le hemos quitado el 40%:
Generalmente, para expresar que aplicamos un descuento
(una rebaja), se escribe el signo negativo delante del tanto
por ciento.
Siguiendo con el mismo ejemplo, veríamos en la tienda:
Por tanto, si queremos calcular el precio después del
descuento, la forma más rápida es calcular el porcentaje
que vamos a pagar. En el ejemplo, calculamos el 60%.
Si lo que queremos saber es cuánto ha bajado el precio, es
decir, cuánto dinero estamos ahorrando, entonces
calculamos el porcentaje rebajado. En el ejemplo,
calculamos el 40%.
Ejemplo: En un artículo de 62$ rebajado un 30%
Observad que en la segunda columna están escritos el
70% y el 50% del precio inicial, que es la cantidad que
pagamos.
Mientras que en la cuarta columna hemos escrito la
cantidad rebajada: el 30% y el 50% del precio inicial (el
dinero que ahorramos).

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Podemos observar, como es de esperar, que cuanto mayor
sea el porcentaje del descuento más decrece el precio.
7. Aumentos o incrementos
Del mismo modo que empleamos los porcentajes para
expresar descensos, también podemos emplearlos para
expresar aumentos.
Ejemplo: el salario de un trabajador es de 800$ y se le
aplica un aumento del 20%.
Esto quiere decir que al salario inicial le hemos sumado el
20%.
El 20% de 800$ es
Por tanto, el salario actual es
Suele escribirse el signo positivo delante del porcentaje
para enfatizar que se trata de un incremento:
Ejemplo: el salario de un trabajador era de 800$ pero
ahora cobra el 120%
Esta situación es la misma que la del ejemplo anterior ya
que:
 El salario inicial es 800, es decir, el 100% son 800$
 Ahora el salario es el 120%, es decir, 100% más 20%
Por lo que vimos anteriormente, el salario actual es de
960$.
Test sobre Porcentajes
Pregunta 1: Un porcentaje es una proporción tomando
como referencia el número 100. Escoger la opción
correcta:
 Los porcentajes deben ser menores o iguales que
100%.
 Se pueden emplear porcentajes mayores que 100%,
pero únicamente para expresar aumentos o
incrementos.
 Ninguna de las anteriores. Verdadera
SOLUCION
La primera opción es incorrecta. Hemos visto en ejemplos
anteriores que podemos calcular porcentajes mayores que
100%.
La segunda opción es incorrecta ya que, por ejemplo,
también podemos utilizar porcentajes mayores que 100%
para expresar descensos.
Por ejemplo, las ganancias de una empresa pueden caer
un 200% respecto al año anterior, lo que supondría que la
empresa tiene pérdidas.
Ejercicio 2: El 75% de una cantidad representa...
 La tercera parte.
 La cuarta parte.
 Tres cuartas partes. Respuesta
Solución
75% corresponde a la fracción ¾ ya que
Notemos que una cuarta parte es el 25%, por tanto, tres
cuartas partes son:
25% + 25% + 25% = 75%
Ejercicio 3: El 25% del 50% de una cantidad es...
 La quinta parte de la mitad de dicha cantidad.
 La sexta parte de dicha cantidad.
 La mitad de la cuarta parte de dicha cantidad.
Respuesta
Solución
El 25% es una cuarta parte y el 50% es la mitad. Por tanto,
el 25% del 50% es la cuarta parte de la mitad.
Para calcular el 50% de x se multiplica por 0,5:
50% de x es 0,5·x.
El 25% se calcula multiplicando por 0,25.
Luego el 25% del 50% de x es
0,25·0,5·x = 0,125·x.
Como el producto es conmutativo (el
orden de los factores no altera el
producto), podemos escribir:
0,25·0,5·x = 0,5·0,25·x
Así, estamos calculando el 50% del 25%,
es decir, la mitad de la cuarta parte.
Por tanto, la mitad de la cuarta parte es
lo mismo que la cuarta parte de la
mitad.
En realidad, esto es exactamente la octava
parte, es decir, 12,5% porque estamos multiplicando por
0,125 = 1/8:

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Ejercicio 4: El 150% del 50% es lo mismo que...
 El 75%. Respuesta
 El 200%.
 Ninguna de las anteriores.
Solución
El 50% de x lo obtenemos
multiplicando x por 0,5.
El 150% lo obtenemos multiplicando por
1,5.
Por tanto, el 150% del 50% de x es
1,5 (0,5 ) 0,75x x   
Es decir, es el 75%.
En la imagen:
El primer cuadrado lo hemos dividido en
dos (50% y 50%).
En el siguiente paso hemos dividido una
de las mitades (un 50%) en dos,
obteniendo dos mitades de la mitad.
En el siguiente paso hemos representado
el 150% (50% + 50% + 50%) del 50% del
cuadrado inicial.
En el siguiente paso representamos estas
tres mitades juntas para comprobar que conforman el 75%
del primer cuadrado.
Ejercicio 5: Si el precio de un artículo se rebaja en un
35%, entonces...
 Pagaremos sólo el 35% del precio inicial.
 Pagaremos sólo el 65% del precio inicial. Respuesta
 Pagaremos sólo el 135% del precio inicial.
Solución
Si el precio se rebaja en un 35%, estamos restando al
precio el 35%. Por tanto, pagaremos el
100% 35% 65% 
Ejercicio 6: Si el precio de una antigüedad sube un 25%,
entonces...
 Tendremos que pagar una cuarta parte más.
Respuesta
 Tendremos que pagar un 85% del precio inicial.
 Tendremos que pagar un 150% del precio inicial.
Solución
El 25% es una cuarta parte. Luego si el precio sube un
25%, tendremos que pagar una cuarta parte más del precio
inicial.
Ejercicio 7
Si el salario de un trabajador aumenta un 150%,
entonces...
 El salario sube un 50%.
 El salario será el 250% del salario inicial. Respuesta
 El salario será el doble del salario inicial.
Solución
El salario aumenta un 150%, por tanto, el salario actual es
el 100% + 150% = 250% del salario inicial.
Para que el salario sea el doble (200%), el aumento debe
ser del 100% ya que 100% + 100% = 200%.
Ejercicio 8: La fracción dos quintos es el porcentaje...
 2,5%
 0,4%
 40% Respuesta
Solución
La fracción dos quintos es
Por tanto, dos quintos de x son
Como multiplicamos por 0,4, estamos calculando el 40%.
Notemos que una quinta parte es el 20%. Por tanto, dos
quintas partes son el 20% + 20% = 40%.
Ejercicio 9: La décima parte es el porcentaje...
 1%
 10% Respuesta
 0,1%
Solución
La décima parte es la fracción
110=0,1110=0,1
Por tanto, es el 10%.
Notemos que la décima parte de 100 es 10, por tanto, el
10% es la décima parte.
Ejercicio 10: Si pagamos por adelantado el 40% del
precio de un artículo que ha sido rebajado...
 Falta por pagar un 60%. Respuesta
 Falta por pagar un 40%.
 El artículo ya está pagado.
Solución
Si hemos pagado el 40%, falta por pagar el 60%.

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El hecho de que el precio haya sido rebajado es
irrelevante.
Problemas
PROBLEMAS
Problema 1
En un parque infantil hay 125 bolas. Calcular el
porcentaje de bolas de cada color sabiendo que el número
de bolas es:
 Rojas: 40
 Verdes: 10
 Naranjas: 25
 Azules: 20
 Rosas: 30
Solución
Para obtener todos los porcentajes tenemos que realizar
las mismas operaciones (pero con distintos números).
Aplicamos una regla de tres:
El 100% de las bolas son 125 (todas las bolas).
Calculamos x, que es el porcentaje de bolas rojas:
40 100
32%
125
x

 
Para calcular los otros porcentajes procedemos del mismo
modo:
Verdes:
Naranjas:
Azules:
Rosas:
Representamos los datos en un Diagrama de Sectores
Circulares:
Notemos que si sumamos todos los porcentajes
obtenemos 100%.
Problema 2: Reescribir las siguientes proporciones en
forma de porcentajes:
a. Un cuarto de la población mundial vive sin
electricidad.
b. Sólo dos de cada cien personas en el mundo tienen los
ojos verdes. Sin embargo, ocho de cada diez personas
de Islandia tienen este color de ojos.
c. En Rumanía, en casi la mitad de los hogares hay un
gato y un perro. En Turquía, el porcentaje no llega a
uno de cada diez.
Solución
a. La fracción un cuarto es:
Un 25% de la población mundial vive sin electricidad.
b. Dos de cada cien es el 2%.
Ocho de cada diez es la fracción
Sólo el 2% de las personas tienen los ojos verdes. Sin
embargo, el 80% de la población de Islandia tiene este
color de ojos.
c. La mitad es el 50% y uno de cada diez es la fracción
En Rumanía, en casi en el 50% de los hogares hay un gato
y un perro. En Turquía, el porcentaje no llega al 10%.
Problema 3: Calcular cuánto pagaremos por un libro
cuyo precio es de 25$ si le aplicamos un descuento del
25%. ¿Cuánto dinero ahorramos?
Solución

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Como se aplica un descuento del 25%, pagaremos sólo el
75%.
El 75% de 25$ es
El dinero que ahorramos es el 25%, es decir,
Problema 4: Después de aplicar un 30% de descuento, el
precio de una computadora es de 490$. Calcular el precio
inicial.
Solución
Llamaremos x al precio de la computadora.
Como el precio ya está rebajado un 30%, pagaremos el
70%.
Sabemos que 490$ es el precio rebajado, por tanto,
Resolvemos la ecuación:
El precio inicial de la computadora es 700$.
Problema 5: Ahorramos 7,05$ al aplicarle un 15% de
descuento a unos pantalones. Calcular el precio inicial de
los pantalones.
Solución
El ahorro es el porcentaje que se ha descontado, es decir,
los 7,05$ son el 15% del precio inicial de los pantalones
(x).
Por tanto,
El precio inicial de los pantalones es 47$.
Problema 6: Si el número de mujeres de una población
ha crecido un 20% (hay un 20% más), calcular cuántas
mujeres hay ahora si antes había 2000.
Solución
Antes había 2000 mujeres. Esta cantidad era el 100% ya
que era el total de mujeres.
El 20% de dicha cantidad es
Por tanto, ahora hay 400 mujeres más. Es decir, hay un
total de 2400 mujeres.
El porcentaje de mujeres en la actualidad es el 120%
respecto al año anterior.
Problema 7: Leemos en el cartel de una tienda que sus
precios están rebajados hasta un 60%. Pero el artículo que
hemos comprado nos ha costado 52$ y su precio anterior
era 65$. Calcular el porcentaje de la rebaja aplicada.
Solución
El precio inicial, 65$, es el precio total, es decir, el 100%
del precio.
Nosotros pagamos 52$. Vamos a calcular qué porcentaje
del total es esta cantidad:
Calculamos la incógnita x aplicando una regla de tres:
Como hemos pagado el 80% del precio inicial, el artículo
ha sido rebajado un 20%.
Problema 8: Una piscina olímpica de 2,5 millones de
litros de agua está llena al 95% de su capacidad. Se calcula
que se evaporará una cantidad de agua correspondiente al
5% de su capacidad total. Calcular cuántos litros se van a
evaporar.
Solución
Como los porcentajes son con respecto a la capacidad
total, vamos a calcular los litros que representan:
El 95% de 2,5 millones es 2500000 0,95 2375000L 
El 5% de 2,5 millones es 2500000 0,05 125000L 
Por tanto, en la piscina hay 2,375 millones de litros y se
van a evaporar 125 mil litros.
Quedarán 2 250 000 litros, es decir, 2,25 millones de
litros.
Nota: el porcentaje de agua que se evapora depende,
sobre todo, de la forma de la piscina (su superficie) y las
condiciones ambientales. Por eso, el porcentaje de agua
que se evapora es el mismo aunque la piscina no esté llena
del todo.
Problema 9: En una granja escuela hay caballos, vacas,
gansos y pollitos. Se sabe:
 El 44% de los animales tienen cuatro patas y el resto
de los animales tienen dos.
 El número de caballos es el mismo que el de gansos.

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 El número de vacas es 84.
 El 40% de los animales son pollitos.
Calcular el número total de animales.
Solución
Tenemos los animales divididos en dos grandes grupos:
los que tienen cuatro patas (caballos y vacas) y los que
tienen dos patas (gansos y pollitos).
El primero de los grupos conforma el 44% de los
animales. Por tanto, el otro grupo es el 56%.
Sabemos que los pollitos suponen el 40% de los animales
y que hay 84 vacas:
Como los animales de dos patas (56%) se dividen en
pollitos (40%) y gansos, entonces hay un 16% de gansos
ya que 56% - 40% = 16%.
Como el número de gansos es el mismo que el de caballos,
entonces la proporción de caballos es la misma que la de
gansos: 16%
Como el grupo de 4 patas es el 44% y el de caballos
conforma el 16%, entonces el de vacas es 28%.
Finalmente, como sabemos que el 28% del total son 84
animales, podemos calcular el número total de animales:
Calculamos la incógnita:
Por tanto, el número de total de animales es 300.
Problema 10
Tenemos 5000$ en una cuenta. A final de cada mes, se
ingresa un 5% del dinero que hay en la cuenta en dicho
momento. Calcular el dinero que habrá en la cuenta
después de un trimestre (3 meses).
Solución
En el mes 1 hay 5000$.
El 5% de dicha cantidad es
Por tanto, una vez realizado el ingreso, tendremos 5250$.
En el mes 2 hay 5250$. El 5% de dicha cantidad es:
Por tanto, una vez realizado el ingreso tendremos
En el mes 3 hay 5512,5$. El 5% de dicha cantidad es
Por tanto, después del ingreso tendremos
En total, hemos ganado 788,125$.
El 100% del dinero invertido es 5000$. Vamos a calcular
el porcentaje que corresponde a 788,125$:
Calculamos la incógnita, x:

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Por tanto, hemos ganado un 15,76% del dinero invertido.
Problema 11: En una empresa automovilística, las
ganancias del año pasado fueron 123 millones. Según las
estadísticas, en el año actual, las ganancias van a reducirse
en un 115% con respecto al año anterior. Calcular las
ganancias que habrá este año.
Solución
Vamos a trabajar con unidades de millón para evitar
tantos ceros.
El 115% de 123 millones es
(Es decir, 141 450 000$).
En este año, las ganancias serán
Hemos restado el 115% a la cantidad de ganancias del año
anterior ya que se trata de un descenso en dicha cantidad.
Obtenemos un número negativo, lo que significa que no
sólo no habrá ganancias, sino que, además, habrá pérdidas
(con respecto al año anterior).
Las pérdidas serán de 22,45 millones.
Importancia del porcentaje
El porcentaje se utiliza en distintos ámbitos de la vida
cotidiana:
Tasa de Interés: Cuando en una entidad
financiera aperturamos una cuenta de ahorros ó
solicitamos un crédito, medimos el rendimiento en
nuestras cuentas de CTS, etc.
Encuestas realizadas: Para medir los niveles alcanzados
de los datos consultados.
En el Comercio: Por ejemplo, para ver los descuentos
realizados a determinados productos o servicios.
En la Tecnología: Un ejemplo sería, para ver el avance
en la descarga de archivos en la red o en un computador;
espacio libre o utilizado en la unidad de almacenamiento
de datos, etc.
En nuestra vida diaria nos enfrentamos muchas veces con
situaciones en las que necesitamos calcular el porcentaje
de una cifra; sea por descuentos salariales, promociones,
u otras circunstancias.
Aquí les dejo algunos ejemplos.
En la compra de productos el supermercado (un juguete
tiene 40 % de descuento).
En la revisión del consumo recomendable en alimentos
(Un alimento tiene 3 % de sodio y 19 % de carbohidratos).
En las mediciones de bateria de los aparatos (al iphone le
queda 50 % de carga).
En los impuestos de los productos (esa tele cuesta 1000
soles más 18 % de iva).
El tema tiene un buen informe y bien detallado, los felicito
a los ponentes.
Referencia:
https://www.matesfacil.com/ESO/numeros/porcentajes/p
orcentaje-por-ciento-proporcion-definicion-concepto-
ejemplos-test-problemas-resueltos-oferta-rebaja-
aumento-ejercicios.html
http://importanciaporcentajes.blogspot.pe/2015/10/el-
uso-del-porcentaje-en-nuestra-vida.html

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