El documento presenta las fórmulas para calcular estadísticas descriptivas de una lotería de tres dígitos. Incluye las fórmulas para calcular la cantidad de clases, el ancho de cada clase, la media aritmética, y la desviación estándar de una distribución uniforme de números de tres dígitos de 000 a 999. También presenta la fórmula para calcular la probabilidad condicional de obtener un número específico.

1. P (A | V) = P (A V) / P (V)
K= 1+3.3 log (n)
Decision Analyst STATS 2.0
௡
௡ ௞ ௡ି௞
σ= మ
W= R/k
௞ୀ଴
,
௡
௜ୀଵ
μ=
x̄= /n Ejercicio 6.1, página 223
Se titula: The Daily 3 Lottery λ
Ziz- Xi P (A V) = P (A) + P (V) – P (A V)
— mean/standard deviation
Por:
Emmanuel Guzmán Rodríguez

2. Introducción
• Aplicaré alguna de las fórmulas estudiadas
para abundar en la explicación del problema.
The "Daily 3" Lottery
Many states have a "daily 3" lottery The daily 3 is a uniformly distributed discrete random
variable whose values range from 000 through 999. There are 1,000 equally likely out-
comes, so the probability of any given three-digit number is 1/1,000. The theoretical char-
acteristics of this lottery are:
1 1
P( X— x)= = = — .001
b a+ 1 999 —0+ 1 1.000
a+b 0+999
1
1 -= 499_5
+1)2 -- I 11(999— 0 + 1)2— I
a= — 288.67
1 12

3. Extración de Datos
The "Daily 3" Lotter),
Many states have a "daily 3" lottery. The daily 3 is a uniformly distributed discrete random
variable whose values range from 000 through 999. There are 1,000 equally likely out-
comes. so theprobability ofanygiven three-digit number is 1/1.000. The theoretical char-
acteristics of this lottery are:
1 1
P(X = = = . 1
00
b — a ± 1 = 999 — 0 -1- 1 = 1,000
± b 0+999
ft = = 499_5
2
1/(17 a 1)2— 1
+ 1/(999 — 0 + 1)2— 1
= - _ — 288,67
12 12
Identificación de Variables:
1. Variables (b, a), b= límite superior, a= límite inferior (Rango= b-a);
2. Los otros números son dados por las fórmulas, ref. página 222;
3. Media= 499.5 (se identifica como la media, pero parece ser el Puntomedio);
4. Desviación Estándard= 288.67

4. Aplicación de Poisson con ayuda de STATS 2.0
0 : Decision Analyst STATS' 2.0
Sanzpie Size Determination
(Sample Size fir Pa_p !dation Percentage Estbnates ..
I
uL Results
Universe Size The Sample Size Should Be...
If univ.arse is less than 99:999-:replace 121
99:999 with the smallu numb
1.131)D
Maximum Acceptable Percentage Points.
of Error
Estimated Percentage Level
110%.or913% .2j
Desired Confidence Level
__•_ _•
1 -= _ • Decision Analyst
J The global leader in anab,tical research syslems
F
Calculate
MEW
640-6166 I www.d-ecisionanalystcom

5. ¿Puedo aplicar probabilidades de
Poisson?
• Requisitos:
– ¿Son sucesos impredecibles?,
– ¿Se puede obtener la probabilidad con eventos
discretos?,
– ¿La muestra es grande?, &
– ¿Y la probabilidad de éxito es pequeña?

6. Aplicación de la Probabilidad de Poisson
• Variables:
– N= 1,000
– P=.001
– lambda= 999*.001= 1.00,
– Buscar la probabilidad de X personas (o la probabilidad
de éxito de los tres números seleccionados) saquen los
números del sorteo Daily 3 Lottery.
– X=0; X=1; X=2; X=3.
Aplicar la fórmula o utilizar las tablas de
Poisson. 2I = k) = ' -' *
k

7. Ilustración
• Buscando probabilidades para: X=0; X=1; X=2 & X=3
Probabilidad según Poisson
0.4
0.3679 0.3679
0.3 Probabilidad según Poisson
0.2 0.1839
0.1
0.0613
0.0153
0.0031 0.0005 0.0001
0
0 1 2 3 4 5 6 7

8. Demostración Sumaria de STATS 2.0

9. 10 10
10
9
8 8 8
8
7
7
6
5
5
4
3
2
Puntuación
Promedio
1
0 0 0 0 0 0 0
0
Evaluación del programa

10. Conclusión
• El programa en sus funciones básicas es fácil de
utilizar y cubre algunas de las fórmulas estudiadas
en clase. Recomendaría utilizar otro programa
como excel, porque STATS 2.0 da un poco de
problema al utilizar sus funciones avanzadas.

11. Referencias
• Berenson, M. L. & Levine D. M. (1999) Basic Business Statistics: Concepts and
Applications (7th Ed.). Prentice-Hall Inc. Upper River, New Jersey 07458.
• Doane D., P & Seward L., E. (2011). Applied Statistics in Business & Economics
(3rd. e.d.). McGraw-Hill/Irwin, a business unit of the McGraw-Hill
Companies, Inc.: 1221 Avenue of the Americas, New York, NY 10020.
• Duncan, Cramer and Howitt D. (2004) The SAGE Dictionary of Statistics. SAGE
Publications Inc. 2455 Teller Road: Thousand Oaks, California 91320.
• Tallarida R. J. (2008) Pocket Book for integrals and Mathematical Formulas (4th
Ed.). Chapman & Hall/CRC, Taylor & Francis Group: 6000 Broken Sound
Parkway NW, Suite 300, Boca Raton, FL 33487-2742
• W. L. Morreno. (Course MATH 555, May @ July, 2011)
• Búsqueda de Videos (2011) Decision Analyst STATSTM 2.0. Obtenido el 7 de julio
de 2011, en www.Youtube.com; http://www1.teachertube.com &
http://www.scribd.com/
• STATS 2.0 (2011) Decision Analyst STATSTM2.0.0.2. Obtenido el 26 de mayo de
2011, en http://www.decisionanalyst.com/download.aspx

12. Sradaz pcg zia 2mc°On
• Referencias para comunicarse:
– Correo-e: eguzman39@email.suagm.edu;

13. fl
Decision A liedyst STA ISrm 2.0
Click o n function below to start
Meari
rariance, Standard Dav-iatiljn
Sample Size Determination
Dependent Proportions Test
Difference - Two Percentages
Difference - Two Means

14. Decision Analyst STATS"' 2.0
•
•s
r -arianre, Standard Deviation
In.pam Results
Data E utry Mean Median Mode
Type in each numba.and press Enta.Return (or
Tab) to create dataset I 11.250 B. 12
12
9
Idioimuna Maximum. RanRe
13
3 IR 10
Stand rd Standard
"arc ane Deviatim Err CT
11.071 3.327 1..17€
Data Type
Papuhtion
maple Decision Analyst
ft. The global leader in analytical research systems
Cal cu I ate
MEM
817 640-6166 I
www. d eci si on an alyst. corn

15. Nombres de las Fórmulas
• Cantidad de clases, K= 1+3.3 log (n)
• Ancho de cada clase, W= R/k
• Media arithmética (n), x̄ f,௡ୀଵ Xi /n
௜ =
మ
• Desviación Estándard, σ= ing (1 — n- ) ,
l
௡
• Probabilidades, P (A | V) = P (A n V) / P (V) P (A U V) = P (A) + P (V) – P (A n V)
• P (Binomial), ௡ ௞ ௡ି௞
= ௞ୀ଴ (:) x a
I,
• Media binomial, μ= nit
• Lambda, λ
• Desviación Estádard d lambda,
• Varianza, S = f,(x — x̄)^2/ n-1

16. Resultado de las Fórmulas
• P (X=k) = e^-lambda (lambda^k)/k!
• P(X=0) = 2.71828^-1.00* (1.00^0/1),
• P(X=0) = 0.36788(1/1)= .36788;
• P(X=1) = 0.36788;
• P(X=2) = 0.13534;
• P(X=3) = 0.04979;
• P(X=4) = 0.01832;
• P(X=5) = 0.00674;
• P(X=6) = 0.00248; &
• P (X=7) = 0.000911886

17. La Distribución de Poisson
X10-3
2.5
2
Walter López Moreno, MBA, cDBA
5
0.5
Módulo Instruccional Preparado para el
2
Centro de Competencias de la Comunicación
Universidad de Puerto Rico en Humacao
©Todos los derechos son reservados
2006-07

18. Tabla de contenido
Introducción
Objetivos de la Presentación
Instrucciones de cómo usar la presentación
Dato Histórico
Utilidad
Propiedades de un Proceso de Poisson
La Distribución de Poisson
La Función
Ejemplos
La Tabla de la Probabilidad de Poisson
Ejemplos
Ejercicio de Redacción
La media y la Desviación Estandar
Resumen
Ejercicios de Prueba
Video de Repaso de Conceptos
Glosario de Términos
Referencias

19. Introducción
En este módulo se describe el uso de la distribución de Poisson
para obtener la probabilidad de ocurrencia de sucesos raros
cuyo resultado lo representa una variable discreta.
Se recomienda haber estudiado primero los módulos de las Reglas
de Probabilidad, el de Distribución Normal y luego el de
Distribución Binomial.
Este módulo va dirigido a todos los estudiantes de Administración
de Empresas en sus distintas concentraciones.

20. Objetivo General del Módulo
Esperamos que cuando termines esta presentación puedas
determinar cómo y cuándo se debe utilizar la Distribución de
Poisson para obtener las probabilidades de aquellas situaciones
gerenciales que ocurren de forma impredecible y ocasional.

21. Objetivos Específicos
Además esperamos que puedas:
1. Identificar las propiedades de una distribución poisson.
2. Determinar los valores de frecuencia p y segmento n para
establecer las bases para el cómputo de las probabilidades.
3. Determinar el promedio, la varianza y la desviación estándard
utilizando las varibles de la Distribución de Poisson.

22. Instrucciones de cómo usar la
presentación
La presentación inicia con las características que definen un
proceso de Poisson.
Se recomienda que tengas acceso a Internet mientras trabajas
la presentación.
Siempre que se presente la siguiente figura:
puedes presionarla para navegar adecuadamente
a través de toda la presentación.

23. Instrucciones de cómo usar la
presentación
Durante la lectura del módulo tendrás la oportunidad de enlazar
el glosario de términos y regresar al lugar de origen
presionando:
<
También encontrarás comentarios de apoyo y
retroalimentación en recuadros como el siguiente:
Notas de apoyo y
retroalimentación
Luego de leer el material que sirve de introducción, podrás
establecer enlaces que demuestran los conceptos teóricos.

24. Dato Histórico
La Distribución de Poisson se llama así
en honor a su creador el francés
Simeón Dennis Poisson (1781-1840),
Esta distribución de probabilidades fue
uno de los múltiples trabajos matemáticos
que Dennis completó en su productiva trayectoria.

25. Utilidad
 La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son
impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el
total de posibles resultados.
 Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con
resultado discreto.
 Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad
de éxitos p es pequeña.
 Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se
distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia,
área, volumen o tiempo definido.

26. Ejemplos de la
Utilidad
 La llegada de un cliente al negocio durante una hora.
 Las llamadas telefónicas que se reciben en un día.
 Los defectos en manufactura de papel por cada metro producido.
 Los envases llenados fuera de los límites por cada 100 galones de
producto terminado.
La distribución de Poisson se emplea
para describir procesos con un elemento
en común, pueden ser descritos por una
variable aleatoria discreta.

27. Propiedades de un
Proceso De Poisson
1. La probabilidad de observar exactamente un éxito en el
segmento o tamano de muestra n es constante.
2. El evento debe considerarse un suceso raro.
3. El evento debe ser aleatorio e independiente de otros
eventos
Si repetimos el experimento n veces podemos
obtener resultados para la construcción de la
distribución de Poisson.

28. La Distribución de Poisson
La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de
distribución de probabilidad discreta.
La distribución de Poisson parte de la distribución binomial.
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento
muchas veces, la muestra n es grande y la probabilidad de
éxito p en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el
modelo de Distribución de Poisson.
Se tiene que cumplir que:
p < 0.10
p * n < 10

29. La Función P(x=k) Return
A continuación veremos la función de Probabilidad de la
Distribución de Poisson.
P (x = 1-0 = e - '*
k
Donde:
P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta
X toma un valor finito k.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,
volumen, área, etc.). Es igual a p por el segmento dado. La
constante e tiene un valor aproximado de 2.711828
K es el número de éxitos por unidad

30. Glosario de Términos
 Resultado Discreto – Son resultados con un número finito de
valores (3 defectos, menos de 8, hasta 5 etc.)
 Suceso Raro – Un evento que ocurre con poca frecuencia.
 Segmento - es un intervalo, porción, fragmento o tamaño de
muestra ya sea en unidades de distancia, área, volumen, tiempo
o cualquier otra medida.
 Variable Aleatoria Discreta - Variable que puede obtener un
número finito de valores de forma impredecible o al azar.
 Variable Discreta – Variable que puede obtener un
número finito de valores como 0, 1, 2, 3.
<

31. Referencias
Anderson, Sweeney, Estadísticas para administración y economía, 8tva edición, Thomson, México 2006
Newbold P., Statistics for Business And Economics, Prentice Hall, 5ta edición,New Jersey, 2003.
Bluman, Allan G. Statistics,6ta edición, Mc Graw Hil,New York, 2007.
http://cyber.gwc.cccd.edu/faculty/jmiller/Binom_Tab.pdf
http://stattrek.com/Tables/poisson.aspx#calculator
http://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/documentos-pdf/dmtablas.pdf
http://karnak.upc.es/teaching/estad/MC/taules/com-usar-taules.pdf
http://www.capdm.com/demos/software/html/capdm/qm/poissondist/usage.html
http://www.uv.es/zuniga/09_La_distribucion_de_Poisson.pdf
http://www.matematicas.net/paraiso/download.php?id=formula/fr_poisson.zip

32. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
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'Lally 2
, ,''.; Tue. 07/20/10 950
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33. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
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Del14,42 Thu. 07/22/10 282
Del0.32 Fri. 07/23/10 776
DoiIraj Sat. 07/24/10 805
Delly.31 Sun. 07/25/10 664
Delly.31 Mon. 07/26/10 115
DeIly.31 Tue. 07/27/10 424
Doi0.31 Wed. 07/28/10 916
Doily.31 Thu. 07/29/10 002
Delly.31 Fri. 07/30/10 873
Del14,42 Sat. 07/31/10 871
lisily.3 Sun. 08/01/10 195
Dely.31 Mon. 08/02/10 313
Dmily.31 Tue. 08/03/10 163
Ddly.31 Wed. 08/04/10 957
Del0.31 Thu. 08/05/10 114
Daikr.31 Fri. 08/06/10 686
Deikr.32 Sat. 08/07/10 131
Delly.3J Sun. 08/08/10 669
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Do10.32 Tue. 08/10/10 671
Dely.31 Wed. 08/11/10 218
Doi0.31 Thu. 08/12/10 054
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Del0.32 Sun. 08/15/10 083
DoiIraj Mon. 08/16/10 807
Delly.31 Tue. 08/17/10 332
Delly.31 Wed. 08/18/10 212
DeIly.31 Thu. 08/19/10 350
Doi0.31 Fri. 08/20/10 048
Doily.31 Sat. 08/21/10 342
Delly.31 Sun. 08/22/10 435
Del14,42 Mon. 08/23/10 386
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Del0.31 Sat. 08/28/10 556
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Del0.31 Mon. 09/20/10 169
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Doi0.31 Mon. 09/27/10 762
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Doi0.31 Tue. 10/05/10 613
Doily.31 Wed. 10/06/10 200
Delly.31 Thu. 10/07/10 059
Del14,42 Fri. 10/08/10 766
lisily.3 Sat. 10/09/10 325
Dely.31 Sun. 10/10/10 467
Dmily.31 Mon. 10/11/10 568
Ddly.31 Tue. 10/12/10 378
Del0.31 Wed. 10/13/10 318
Daikr.31 Thu. 10/14/10 755
Deikr.32 Fri. 10/15/10 870
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DeIly.32 Sun. 10/17/10 308
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Dely.31 Tue. 10/19/10 561
Doi0.31 Wed. 10/20/10 485
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Dmily.31 Wed. 11/03/10 502
Ddly.31 Thu. 11/04/10 179
Del0.31 Fri. 11/05/10 259
Daikr.31 Sat. 11/06/10 807
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Dely.31 Thu. 11/11/10 074
Doi0.31 Fri. 11/12/10 254
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38. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Sat. 11/13/10 133
Del14,42 Sun. 11/14/10 923
Del0.32 Mon. 11/15/10 762
DoiIraj Tue. 11/16/10 266
Delly.31 Wed. 11/17/10 834
Delly.31 Thu. 11/18/10 242
DeIly.31 Fri. 11/19/10 056
Doi0.31 Sat. 11/20/10 074
Doily.31 Sun. 11/21/10 841
Delly.31 Mon. 11/22/10 154
Del14,42 Tue. 11/23/10 682
lisily.3 Wed. 11/24/10 308
Dely.31 Thu. 11/25/10 416
Dmily.31 Fri. 11/26/10 821
Ddly.31 Sat. 11/27/10 528
Del0.31 Sun. 11/28/10 319
Daikr.31 Mon. 11/29/10 655
Deikr.32 Tue. 11/30/10 216
Delly.3J Wed. 12/01/10 685
DeIly.32 Thu. 12/02/10 419
Do10.32 Fri. 12/03/10 574
Dely.31 Sat. 12/04/10 614
Doi0.31 Sun. 12/05/10 374
7 of 17 7/4/2011 12:49 AM

39. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Mon. 12/06/10 496
Del14,42 Tue. 12/07/10 177
Del0.32 Wed. 12/08/10 350
DoiIraj Thu. 12/09/10 638
Delly.31 Fri. 12/10/10 592
Delly.31 Sat. 12/11/10 578
DeIly.31 Sun. 12/12/10 553
Doi0.31 Mon. 12/13/10 250
Doily.31 Tue. 12/14/10 175
Delly.31 Wed. 12/15/10 128
Del14,42 Thu. 12/16/10 812
lisily.3 Fri. 12/17/10 433
Dely.31 Sat. 12/18/10 693
Dmily.31 Sun. 12/19/10 853
Ddly.31 Mon. 12/20/10 259
Del0.31 Tue. 12/21/10 397
Daikr.31 Wed. 12/22/10 441
Deikr.32 Thu. 12/23/10 948
Delly.3J Fri. 12/24/10 066
DeIly.32 Sun. 12/26/10 256
Do10.32 Mon. 12/27/10 649
Dely.31 Tue. 12/28/10 742
Doi0.31 Wed. 12/29/10 589
8 of 17 7/4/2011 12:49 AM

40. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Thu. 12/30/10 129
Del14,42 Fri. 12/31/10 844
Del0.32 Sat. 01/01/11 200
DoiIraj Sun. 01/02/11 857
Delly.31 Mon. 01/03/11 985
Delly.31 Tue. 01/04/11 808
DeIly.31 Wed. 01/05/11 416
Doi0.31 Thu. 01/06/11 915
Doily.31 Fri. 01/07/11 932
Delly.31 Sat. 01/08/11 204
Del14,42 Sun. 01/09/11 079
lisily.3 Mon. 01/10/11 209
Dely.31 Tue. 01/11/11 975
Dmily.31 Wed. 01/12/11 246
Ddly.31 Thu. 01/13/11 869
Del0.31 Fri. 01/14/11 692
Daikr.31 Sat. 01/15/11 393
Deikr.32 Sun. 01/16/11 050
Delly.3J Mon. 01/17/11 885
DeIly.32 Tue. 01/18/11 511
Do10.32 Wed. 01/19/11 401
Dely.31 Thu. 01/20/11 338
Doi0.31 Fri. 01/21/11 292
9 of 17 7/4/2011 12:49 AM

41. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Sat. 01/22/11 498
Del14,42 Sun. 01/23/11 736
Del0.32 Mon. 01/24/11 581
DoiIraj Tue. 01/25/11 350
Delly.31 Wed. 01/26/11 246
Delly.31 Thu. 01/27/11 038
DeIly.31 Fri. 01/28/11 849
Doi0.31 Sat. 01/29/11 406
Doily.31 Sun. 01/30/11 103
Delly.31 Mon. 01/31/11 346
Del14,42 Tue. 02/01/11 972
lisily.3 Wed. 02/02/11 470
Dely.31 Thu. 02/03/11 970
Dmily.31 Fri. 02/04/11 246
Ddly.31 Sat. 02/05/11 542
Del0.31 Sun. 02/06/11 980
Daikr.31 Mon. 02/07/11 464
Deikr.32 Tue. 02/08/11 113
Delly.3J Wed. 02/09/11 331
DeIly.32 Thu. 02/10/11 010
Do10.32 Fri. 02/11/11 045
Dely.31 Sat. 02/12/11 319
Doi0.31 Sun. 02/13/11 654
10 of 17 7/4/2011 12:49 AM

42. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Mon. 02/14/11 615
Del14,42 Tue. 02/15/11 150
Del0.32 Wed. 02/16/11 010
DoiIraj Thu. 02/17/11 284
Delly.31 Fri. 02/18/11 884
Delly.31 Sat. 02/19/11 182
DeIly.31 Sun. 02/20/11 058
Doi0.31 Mon. 02/21/11 711
Doily.31 Tue. 02/22/11 119
Delly.31 Wed. 02/23/11 699
Del14,42 Thu. 02/24/11 452
lisily.3 Fri. 02/25/11 805
Dely.31 Sat. 02/26/11 345
Dmily.31 Sun. 02/27/11 290
Ddly.31 Mon. 02/28/11 215
Del0.31 Tue. 03/01/11 200
Daikr.31 Wed. 03/02/11 542
Deikr.32 Thu. 03/03/11 432
Delly.3J Fri. 03/04/11 551
DeIly.32 Sat. 03/05/11 398
Do10.32 Sun. 03/06/11 423
Dely.31 Mon. 03/07/11 287
Doi0.31 Tue. 03/08/11 966
11 of 17 7/4/2011 12:49 AM

43. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Wed. 03/09/11 674
Del14,42 Thu. 03/10/11 961
Del0.32 Fri. 03/11/11 133
DoiIraj Sat. 03/12/11 743
Delly.31 Sun. 03/13/11 889
Delly.31 Mon. 03/14/11 501
DeIly.31 Tue. 03/15/11 563
Doi0.31 Wed. 03/16/11 902
Doily.31 Thu. 03/17/11 001
Delly.31 Fri. 03/18/11 321
Del14,42 Sat. 03/19/11 532
lisily.3 Sun. 03/20/11 652
Dely.31 Mon. 03/21/11 819
Dmily.31 Tue. 03/22/11 343
Ddly.31 Wed. 03/23/11 662
Del0.31 Thu. 03/24/11 152
Daikr.31 Fri. 03/25/11 391
Deikr.32 Sat. 03/26/11 810
Delly.3J Sun. 03/27/11 684
DeIly.32 Mon. 03/28/11 673
Do10.32 Tue. 03/29/11 095
Dely.31 Wed. 03/30/11 833
Doi0.31 Thu. 03/31/11 882
12 of 17 7/4/2011 12:49 AM

44. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Fri. 04/01/11 761
Del14,42 Sat. 04/02/11 529
Del0.32 Sun. 04/03/11 111
DoiIraj Mon. 04/04/11 871
Delly.31 Tue. 04/05/11 937
Delly.31 Wed. 04/06/11 456
DeIly.31 Thu. 04/07/11 931
Doi0.31 Fri. 04/08/11 885
Doily.31 Sat. 04/09/11 074
Delly.31 Sun. 04/10/11 051
Del14,42 Mon. 04/11/11 430
lisily.3 Tue. 04/12/11 879
Dely.31 Wed. 04/13/11 552
Dmily.31 Thu. 04/14/11 861
Ddly.31 Fri. 04/15/11 203
Del0.31 Sat. 04/16/11 558
Daikr.31 Sun. 04/17/11 278
Deikr.32 Mon. 04/18/11 960
Delly.3J Tue. 04/19/11 545
DeIly.32 Wed. 04/20/11 135
Do10.32 Thu. 04/21/11 614
Dely.31 Fri. 04/22/11 729
Doi0.31 Sat. 04/23/11 091
13 of 17 7/4/2011 12:49 AM

45. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Sun. 04/24/11 477
Del14,42 Mon. 04/25/11 335
Del0.32 Tue. 04/26/11 006
DoiIraj Wed. 04/27/11 835
Delly.31 Thu. 04/28/11 539
Delly.31 Fri. 04/29/11 790
DeIly.31 Sat. 04/30/11 583
Doi0.31 Sun. 05/01/11 171
Doily.31 Mon. 05/02/11 206
Delly.31 Tue. 05/03/11 061
Del14,42 Wed. 05/04/11 493
lisily.3 Thu. 05/05/11 677
Dely.31 Fri. 05/06/11 072
Dmily.31 Sat. 05/07/11 098
Ddly.31 Sun. 05/08/11 295
Del0.31 Mon. 05/09/11 044
Daikr.31 Tue. 05/10/11 598
Deikr.32 Wed. 05/11/11 913
Delly.3J Thu. 05/12/11 508
DeIly.32 Fri. 05/13/11 201
Do10.32 Sat. 05/14/11 016
Dely.31 Sun. 05/15/11 668
Doi0.31 Mon. 05/16/11 944
14 of 17 7/4/2011 12:49 AM

46. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Tue. 05/17/11 110
Del14,42 Wed. 05/18/11 331
Del0.32 Thu. 05/19/11 302
DoiIraj Fri. 05/20/11 009
Delly.31 Sat. 05/21/11 636
Delly.31 Sun. 05/22/11 927
DeIly.31 Mon. 05/23/11 144
Doi0.31 Tue. 05/24/11 660
Doily.31 Wed. 05/25/11 985
Delly.31 Thu. 05/26/11 733
Del14,42 Fri. 05/27/11 405
lisily.3 Sat. 05/28/11 776
Dely.31 Sun. 05/29/11 886
Dmily.31 Mon. 05/30/11 748
Ddly.31 Tue. 05/31/11 871
Del0.31 Wed. 06/01/11 338
Daikr.31 Thu. 06/02/11 755
Deikr.32 Fri. 06/03/11 487
Delly.3J Sat. 06/04/11 321
DeIly.32 Sun. 06/05/11 357
Do10.32 Mon. 06/06/11 806
Dely.31 Tue. 06/07/11 892
Doi0.31 Wed. 06/08/11 622
15 of 17 7/4/2011 12:49 AM

47. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3J Thu. 06/09/11 125
Del14,42 Fri. 06/10/11 144
Del0.32 Sat. 06/11/11 596
DoiIraj Sun. 06/12/11 874
Delly.31 Mon. 06/13/11 876
Delly.31 Tue. 06/14/11 545
DeIly.31 Wed. 06/15/11 966
Doi0.31 Thu. 06/16/11 802
Doily.31 Fri. 06/17/11 655
Delly.31 Sat. 06/18/11 065
Del14,42 Sun. 06/19/11 367
lisily.3 Mon. 06/20/11 149
Dely.31 Tue. 06/21/11 257
Dmily.31 Wed. 06/22/11 669
Ddly.31 Thu. 06/23/11 739
Del0.31 Fri. 06/24/11 156
Daikr.31 Sat. 06/25/11 312
Deikr.32 Sun. 06/26/11 645
Delly.3J Mon. 06/27/11 419
DeIly.32 Tue. 06/28/11 070
Do10.32 Wed. 06/29/11 567
Dely.31 Thu. 06/30/11 735
Doi0.31 Fri. 07/01/11 019
16 of 17 7/4/2011 12:49 AM

48. Michigan Lottery - Past Winning Numbers http://milottery.state.mi.us/msl-og-results.php
Delly.3 j Sat. 07/02/11 754
Ddly.3 j Sun. 07/03/11 896
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17 of 17 7/4/2011 12:49 AM

49. 222 Applied Statistics in Business and Economics Return
;FABLE 6.5
Parameters a = lower limit
Uniform Discrete b = upper limit
Distribution 1
PDF P(X = x) =
Equally likely outcomes, because its result b-a+1
can only be one within the data selected.
CDF P(X < x) x-a+1
P (S) = P (U b- a + 1
Domain x =a,a +1,a + 2 ..... b
L04 a+b
Mean
Know the mean and 2
variance of a uniform
discrete model.
Standard deviation
I [(b -a) +1)2 -1
12
Random data generation in Excel .RANDBETWEEN(a,b)
Comments Used mainly as a benchmark, to generate
random integers, or to create other
distributions.
EXAMPLE When you roll one die, the number of dots forms a uniform discrete random variable
Rolling a nic with six equally likely integer values 1, 2, 3, 4, 5, 6, shown in the PDF in Figure 6.6. The
CDF is also shown in Figure 6.6.
DieRoll
For this example, the mean and standard deviation are
1 1
PDF P(X x)= 1 for x 1, 2, 6
b - a +1 6-1+1 6
a+b 1+6
Mean = 3.5
2 2
- a) + 1]2 -1 [(6 - 1) + 1]2 - 1
Std. Dev. ff = = 1.708
12
You can see that the mean (3.5) must be halfway between 1 and 6, but there is no way you
could anticipate the standard deviation without using a formula. Try rolling a die many
times, or use Excel to simulate the rolling of a die by generating random integers from
1 through 6. Compare the mean and standard deviation from your random experiment to the
values we calculated above.
FIGURE 6.6
PDF and CDF for Rolling a Die
P(X = x) for one Die --s x) for one Die
1.00 ---- --
.90 -
.80
.70
.10 .60
-a .08 .50
ci .06
t 2 .40 -
- .30 -
.04
.20 -
.02 .10 -
.00 .00
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
Number M Dots Showing on the Die Number of Dots Showing on the Die

50. Return Aparenta haber un error en el cálculo de
lambda 1.0, luego de X=2, Ref. ver último
slide del PWP.
Appendix B-1: Poisson Probabilities
l
X 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 0.3679 0.3329 0.3012 0.2725 0.2466 0.2231
1 0.0905 0.1637 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3595 0.3659 0.3679 0.3662 0.3614 0.3543 0.3452 0.3347
2 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.1647 0.1839 0.2014 0.2169 0.2303 0.2417 0.2510
3 0.0002 0.0011 0.0033 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.0494 0.0613 0.0738 0.0867 0.0998 0.1128 0.1255
4 -- 0.0001 0.0003 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.0111 0.0153 0.0203 0.0260 0.0324 0.0395 0.0471
5 -- -- -- 0.0001 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.0020 0.0031 0.0045 0.0062 0.0084 0.0111 0.0141
6 -- -- -- -- -- -- 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0008 0.0012 0.0018 0.0026 0.0035
7 -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.0001 0.0001 0.0002 0.0003 0.0005 0.0008
8 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- 0.0001 0.0001 0.0001
l
X 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
0 0.2019 0.1827 0.1653 0.1496 0.1353 0.1225 0.1108 0.1003 0.0907 0.0821 0.0743 0.0672 0.0608 0.0550 0.0498
1 0.3230 0.3106 0.2975 0.2842 0.2707 0.2572 0.2438 0.2306 0.2177 0.2052 0.1931 0.1815 0.1703 0.1596 0.1494
2 0.2584 0.2640 0.2678 0.2700 0.2707 0.2700 0.2681 0.2652 0.2613 0.2565 0.2510 0.2450 0.2384 0.2314 0.2240
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