La distribución de Poisson describe la probabilidad de que ocurran ciertos números de eventos en periodos de tiempo o espacio, basado en una tasa de ocurrencia promedio. El documento proporciona ejemplos de cómo calcular probabilidades usando la distribución de Poisson, como la probabilidad de atender menos de 3 pacientes en media hora o de identificar al menos 2 imperfecciones en 5 minutos basado en tasas de ocurrencia promedio dadas.

1. Carolina Zúñiga Rivera 2B Procesos Industriales
Universidad Tecnológica de Torreón

3. La "Curva de Bell" es una Distribución Normal.
A menudo se llama una “curva de Bell” porque se parece a una
campana, Nosotros decimos que los datos se "distribuye
normalmente".
La distribución normal tiene: media = mediana = modo
simetría con respecto al centro
50% de los valores menor que la media
y el 50% mayor que la media
Las desviaciones estándar
La desviación estándar es una medida de qué tan extendido números
son (leer esa página para obtener más información sobre la forma de
calcular).
Al calcular la desviación estándar de los datos, se dará cuenta de que
(en general):

4. 68% de los valores están dentro
de 1 desviación estándar de la
media
95% se encuentran dentro de 2
desviaciones estándar
99,7% se encuentran dentro
de 3 desviaciones estándar

5. DISTRIBUCIÓN
NORMAL

6. Xm= 2.0746
Desviaciones
-1=1.883 +1=2.2610 =230/300 = 0.7666 = 76.6 %
-2=1.7018 +2=2.447 =296/300 = 0.986 =98.6%
-3=1.155 +3=2.6338 =300 /300 = 1 =100%
La distribución de estos datos no es normal
Desviaciones
-1=1.4700 +1=1.5378 =210/300 = 0.7 = 70 %
-2=1.4361 +2=1.5717 =294/300 = 0.98 =98%
-3=1.4022 +3=1.6056 =299 /300 = 0.996 =99.6%
Esta distribución es normal porque los valores se encuentran
dentro de 1 desviación, 2 desviaciones y 3 desviaciones con
porcentaje de 68%, 95% y 99% o se acercan a dichos valores

8. El numero se desviaciones estándar de la medida también se le
llama “Técnica Estándar”, “sigma” o “z-score” Así que para
convertir un valor a una puntuación estándar ("z-score"):
Primero restar la media, y se divide por la desviación estándar y
hacer eso se llama "normalización"
Aquí está la fórmula para z-score
que hemos estado utilizando:
z es la "z-score"
(Puntuación estándar)
x es el valor a ser
estandarizado
μ es la media
σ es la desviación
estándar

9. DISTRIBUCIÓN
ESTÁNDAR

10. Una encuesta sobre el tiempo de viaje al día tuvieron estos resultados (en
minutos):
26, 33, 65, 28, 34, 55, 25, 44, 50, 36, 26, 37, 43, 62, 35, 38, 45, 32, 28, 34
La media es de 38,8 minutos , y la desviación estándar es de 11,4
minutos (puede copiar y pegar los valores en la calculadora de Desviación
Estándar si lo desea).
Convertir los valores de z-scores (puntuaciones de "estándar").
Para convertir 26 :
primero restar la media: 26-38.8 = -12.8,
y se divide por la desviación estándar: -12.8/11.4 = -1,12
Así que 26 es -1,12 desviaciones estándar de la media
Aquí están las tres primeras conversiones
Valor original Cálculo Resultado oficial
(z-score)
26 (26-38.8) / 11,4 = -1,12
33 (33-38.8) / 11,4 = -0,51
65 (65-38.8) / 11,4 = 2.30

11. Xm=53.8
Desv. Estándar = 9.66
a) Determina la probabilidad de que el alumno tenga una
probabilidad de 70
70 53.8 Z .9525
Z 1.67
9.66 1 9525 0.47 4.75%
b) Determina la probabilidad de que el alumno tenga una
calificación ente 52 y 64
64 53.6 P (52 X 64 )
Z 1.05
9.66
0.8531 0.4285 0.4246
52 53.8
Z 0.1862 42 .46 %
9.66
c)La probabilidad de que un estudiante tenga una
calificación menor a 50
50 53.8
Z 0.3482
Z 0.39
9.66 1 0.3482 0.6518 65.18%

13. En esta practica es posible extraer varios componentes de una
gran población y contar el numero de elementos defectuosos.
Esto implica hacer varios ensayos de Bernoulli independientes y
contar el numero de éxitos. El numero de éxitos es una variable
aleatoria, que tiene una Distribución Binominal
Suponga que una población finita contiene elementos de dos
tipos, éxitos y fracasos y que se extrae una muestra aleatoria
simple de una población. Si el tamaño muestral no es mayor a
5%, se puede utilizar la distribución binominal para modelar el
numero de éxitos
La formula para esta distribución es:
P(X=k)= nCk(Pk)(q)n-k

14. DISTRIBUCIÓN
BINOMINAL

15. Se toma una muestra de 5 elementos de una población grande en la
cual el 10% de los elementos esta defectuoso.
Determine la probabilidad de que ninguno de los elementos de la
muestra este defectuoso.
p(x=0)= 5 0.1⁰(1-0.1)µ⁻⁰=0.59049
0
Determine la probabilidad de que solo uno de ellos tenga defectos.
p(x=1)= 5 0.1¹(1-0.1)µ⁻¹=0.32805
1
Determine la probabilidad de que uno o más de los elementos de la muestra estén
defectuosos.
p(x=3)= 5 0.1³(1-0.1)µ⁻³=0.0081
3
p(x=4)= 5 0.1´(1-0.1)µ⁻´=0.00045
4
p(x=5)= 5 0.1µ(1-0.1)µ⁻µ=0.00001
5

16. Se lanza al aire una moneda 10 veces.
¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente tres veces “cara”?
p(x=0)= 10 0.5³(1-0.5)¹⁰⁻³=0.1171875
3
Determine la media del número de caras obtenidas.
p(x=2)= 10 0.5²(1-0.5)¹⁰⁻²=0.043945312
2

17. Un jugador de baloncesto tiene que tirar 3 tiros libres. Su promedio de
acierto es de 80%
Probabilidad que enceste 0,1,2 o 3 canastas
Éxito= Encestar P(X=k)= nCk(Pk)(q)n-k
P= .8
(1)(1)(0.008)=0.008
q=.2
n=3
k=0
P= .8
q=.2 (3)(0.08)(0.04)=0.096
n=3
k=1
P= .8 P= .8
q=.2 (3)(0.64)(0.2)=0.384 q=.2 (1)(512)(1)=.512
n=3 n=3
k=2 k=3

19. El experimento tiene dos resultados, al
primero se le llama “éxito” y al otro
“fracaso”. La probabilidad de éxito se
denota (p). Por consecuencia la
probabilidad del fracaso es (1 – p).
Esto representa un ensayo de
Bernoulli con probabilidad de éxito
p. El mas sencillo de este tipo es el
lanzamiento de una moneda. Los
posibles resultados son “cara” o “cruz”.

20. DISTRIBUCIÓN
BERNOULLI

21. En un restaurante de comida básica 25% de las órdenes para beber es una bebida
pequeña, en 35% una mediana y 40% una grande. Sea X =1 si se escoge aleatoriamente
una orden de una bebida pequeña, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la orden es una
bebida mediana y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si la orden es una bebida pequeña
o mediana, Z=0 para cualquier otro caso.
Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px
Eventos probabilidades
X=1 si es una bebida chica 1 0.25 (p)= 1(0.25)= 0.25
X=0 si no lo es 0 0.75 (1-p)=0(0.75)=__0__
Media= 0.25
0.25(1-0.25)=0.1875

22. Se lanza al aire una moneda de 1 y de 5 centavos sea X= 1 si sale “cara” en la
moneda de 1 centavo, X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si sale “cara” en la
moneda de 5 centavos, Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale “cara” en
ambas monedas, Z=0 en cualquier otro caso.
Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px
Eventos probabilidades
X=1 si sale cara 1 0.50 (p)= 1(0.50)= 0.50
X=0 si no 0 0.50 1-p)=0(0.50)=__0__
Media= 0.50
0.50(1-0.50)=0.25

23. Se lanzan 2 dados. Sea X=1 si sale el mismo numero en
ambos y X=0 en cualquier otro caso. Sea Y=1 si la sume es
6 y Y=0 en cualquier otro caso. Sea Z=1 si sale el mismo
numero en los dados y ambos sumen 6 (es decir, que
salgan 3 en los dos dados) y Z=0en cualquier otro caso.
•Sea px la probabilidad de éxito de X. determine px
Eventos probabilidades
X=1 si sale el mismo numero 1 0.16 (p)= 1(0.16)= 0.16
X=0 si no 0 0.84 (1-p)=0(0.84)=__0__
Media= 0.16
0.16(1-0.16)=0.1344
•Sea py la probabilidad de éxito de Y. determine py
Eventos probabilidades
X=1 si sale el mismo numero 1 0.064 (p)= 1(0.064)= 0.064
X=0 si no 0 0.936 (1-p)=0(0.036)=__0__
Media= 0.064
0.064(1-0.064)=0.059904

25. La distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de
ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número
de eventos durante cierto periodo de tiempo.
La función de masa de la
distribución de Poisson es:
Donde:
k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la
función nos da la probabilidad de que el evento suceda
precisamente k veces).
λ es un parámetro positivo que representa el número de veces
que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo
dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en
promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la
probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de
10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ
= 10×4 = 40.
e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)

26. DISTRIBUCIÓN
POISSON

27. En una clínica el promedio de atención es 16 pacientes por 4 horas, encuentre
la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas y que en
180 minutos se atiendan 12 pacientes.
Usamos la distribución de Poisson
P(X=x) = exp(-λ) * λ^x / x!
**la probabilidad que en 30 minutos se atiendan menos de 3 personas
λ=16 pacientes en 4 horas --> λ=4 pacientes/hora --> λ=2 pacientes/media hora
debemos calcular P(X<3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=0) = exp(-2) * 2^0 / 0! = 0.1353
P(X=1) = exp(-2) * 2^1 / 1! = 0.2707
P(X=2) = exp(-2) * 2^2 / 2! = 0.2707

28. En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se
identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las
probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos
imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.
Solución:
a) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 3 minutos
= 0, 1, 2, 3, ....
= 0.2 x 3 =0.6 imperfecciones en promedio por cada 3 minutos en la hojalata
b) x = variable que nos define el número de imperfecciones en la hojalata por cada 5 minutos =
0, 1, 2, 3, ....
= 0.2 x 5 =1 imperfección en promedio por cada 5 minutos en la hojalata
=1-(0.367918+0.367918) = 0.26416