El documento presenta información sobre matrices, incluyendo definiciones de matriz, orden de una matriz, construcción de matrices, igualdad de matrices, tipos de matrices especiales como nulas, cuadradas, diagonales e identidad, y operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.

1. MATEMATICA II Prof. NORMA ACOSTA TAFUR Licenciada en Matemática Pura Maestr í a en Docencia Universitaria Doctorado en Educación normaflor23@ yahoo. com.br

2. EVALUACIÓN 3 Prácticas Calificadas (Lunes) Examen Parcial y Final (Domingo) Evaluación Continua (Mensual) Puntualidad Tareas Talleres Evaluación Individual Participación en clase

3. Actitud Positiva hacia el Curso

4. MATRICES MATEMÁTICA II

5. MATRIZ Ejemplo : Es una matriz de 3 filas y 2 columnas Por definición es un arreglo de números ordenados en filas y columnas. COLUMNAS FILAS Orden de una matriz Esta dado por el número de filas y columnas. 3x2 2x3 3/2 2 3/2 2 5/2

6. En general: A = [ a ij ] m x n 3x3

7. Construcción de una Matriz Construir la siguiente matriz: A = [ a ij ] 2x3 tal que: a 11 = ,a 12 = a 13 = ,a 21 = a 22 = ,a 23 = Solución: 1 3/2 2 3/2 2 5/2 3/2 2 3/2 2 5/2

8. IGUALDAD DE MATRICES TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ Definición.- Si A es de orden m x n , entonces A T es de orden n x m ( la transpuesta cambia filas por columnas). PROPIEDAD: (A T ) T = A Ejemplo: Ejemplo: Dos matrices son iguales si y solo si, tienen el mismo orden y los mismos elementos

9. Matriz fila B = [ 3 -2 5 6 1 ] 1 x 5 Matriz columna CLASES DE MATRICES

10. Matrices Especiales Matriz Nula Matriz Cuadrada Matriz Diagonal Matriz identidad Matriz Escalar Diagonal principal

11. Matriz Triangular superior.- Matriz Triangular inferior.-

12. Matriz Simétrica La Diagonal principal toma cualquier valor Extremos iguales

13. Matriz Antisimétrica La Diagonal principal son ceros Extremos iguales con signo diferente

14. OPERACIONES CON MATRICES MATEMÁTICA II Norma Flor Acosta Tafur

15. SUMA DE MATRICES Definición.- y Ejemplos: No existe la suma ya que las matrices son de diferente orden

16. RESTA DE MATRICES Definición.- y Ejemplos: No existe la resta ya que las matrices son de diferente orden

17. PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES 1. A + B = B + A (propiedad conmutativa) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo) 4. ( A + B) T = A T + B T Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:

18. MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Ejm:

19. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR 1. k(A + B) = kA + kB 2. (k 1 + k 2 )A = k 1 A + k 2 A k 1 (k 2 A) = (k 1 k 2 )A 4. 0A = O kO = O 6. (k A ) T= k A T

20. MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Ejemplo: C 14 = C 12 = C 13 = C 21 = 2(3) + (  1)(  2)+4(  4) = C 22 = C 23 = C 24 = C 11 = 2(2) + (  1)(3) + 4(7) = 2(1) + (  1)(5) + 4(  2) = 2(0) + (  1)(9) + 4(1) = 5(3) + (3)(  2) + 0(  4) = 5(2) + (3)(3) + 0(7) = 5(1) + (3)(5) + 0(  2) = 5(0) + (3)(9) + 0(1) = 29  11  5 9 19 20 27  8 C 11 C 12 C 13 C 14 C 21 C 22 C 23 C 24

21. PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C Propiedad distributiva: A(B+C) = AB + BC Transpuesta de un producto: (AB) T = B T A T 4. A I = I A = A OJO 1. El producto de dos matrices no siempre es conmutativo Ejemplo: Luego: AB  BA

22. Hallar el producto de matrices 2 - 4 2 0 1 -3 M = 2 1 0 4 2 2 N = 2 3 4 A = 7 5 11 Q =

23. POTENCIA DE UNA MATRIZ Si A es una matriz cuadrada y “k” un entero positivo, entonces la k-ésima potencia de A denotada A k es el producto de k factores de A A k = A.A.A . . . A K factores Ejemplo: Solución:

24. APLICACIÓN La empresa distribuidora de auto Toyota Mitsui de San Borja presenta las ventas del mes de Diciembre, de los autos Toyota modelo Yaris y Corolla mediante la matriz: Mientras que las ventas en la Av. La Marina está representada por a) ¿Cuál es el modelo y color más vendido en cada local? b) ¿Cómo podría representar la venta total de ambos locales? c) ¿Cuál es el modelo y color del auto menos vendido en el mes de diciembre? Negro Yaris Corolla Rojo Plata Negro Yaris Corolla Rojo Plata

25. Más Vendido por local: En San Borja Yaris color Plata En la Av. La Marina Yaris color Rojo b) Venta Total= Menos Vendido en el mes de Diciembre: Corolla color Rojo Negro Rojo Plata Yaris Corolla

26. 8. Un agente de bolsa vendi ó a un cliente 150 acciones del tipo A, 250 del tipo B, 120 del tipo C y 300 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 15; $25, $ 50 y $ 70 por acci ó n respectivamente, determine el valor total de la transacci ó n comercial en forma matricial . Solución: = Rpta._ el valor total de la transacción es de $ 35,500 150 250 120 300 A B C D 15 25 50 70 A B C D 35,500