Modelo analítico para comparar asignaciones eficientes con externalidades, el equilibrio competitivo con externalidades e intentos de solución

1. Apuntes/EP8059-Economía del Bienestar Prof. Miguel Angel Alcántara Santillán
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UN MODELO INTEGRAL DE ANALISIS DE LAS EXTERNALIDADES
Introducción
1. Asignaciones óptimas con externalidades
2. Equilibrio competitivo con externalidades
3. Creación de mercados de derechos
4. Intervención pública: impuestos o subvenciones óptimas
Introducción
El modelo desarrollado demuestra formalmente la ineficiencia del equilibrio
competitivo en presencia de externalidades. Para ello se determinarán por separado
las condiciones de eficiencia y de equilibrio competitivo. En presencia de
externalidades, las condiciones difieren para el caso del agente generador de
externalidad. Es decir, el productor causante de la externalidad, maximiza beneficios
produciendo una cantidad mayor (menor) que la requerida para obtener eficiencia
económica (u óptimo social), si la externalidad es negativa (positiva). En ausencia
de externalidades, las condiciones serían iguales.
Luego se analizarán dos opciones para restituir la eficiencia del equilibrio
competitivo, en presencia de externalidades: a través de la aplicación del Teorema
de Coase, es decir, vía la creación de mercados de derechos y, finalmente, mediante
la aplicación de impuestos pigouvianos.

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1. Asignaciones óptimas con externalidades
Supuestos:
 Se tienen una economía cerrada, con un consumidor, dos bienes y dos empresas.
 La empresa 1 produce el bien 1 usando como factor el bien 2.
 La empresa 2 produce el bien 2 sujeto a una externalidad (la producción de la
empresa 1) y usando como factor al bien 1.
Sean:
x1, x2: cantidades consumidas de los bienes 1 y 2.
w1, w2: dotaciones iniciales de los bienes 1 y 2.
r1: cantidad del bien 2 que la empresa 1 emplea como input.
r2: cantidad del bien 1 que la empresa 2 emplea como input.
El consumidor es descrito por:    2121 ,;, wwWxxu
Las empresas son descritas por sus funciones de producción:    1222111 ,; qrFqrFq 
La externalidad es positiva si 0
1
2



q
F
; y será negativa si 0
1
2



q
F
Las condiciones marginales de optimalidad se obtienen resolviendo el siguiente
problema de optimización:
Max  21, xxu
Sujeto a :
1222
2111
rqWx
rqWx


 
 1222
111
,qrFq
rFq


El Lagrangiano será:
           22241113122222111121, rFqrFqrqWxrqWxxxu  
Derivando respecto a las seis variables de elección se obtienen las siguientes
condiciones de primer orden:
 
  02
01
2
22
1
11














x
u
x
x
u
x


Restricciones de factibilidad
Restricciones tecnológicas

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3
 
  04
03
2
2
41
2
1
1
32
1












r
F
r
r
F
r




 
  06
05
42
2
1
2
431
1











q
q
F
q


A partir de (6) se obtiene que: 42  
Reemplazando en (5) se tiene:
1
2
213
q
F


 
Reemplazando a su vez en (3):
01
0
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
212


























r
F
r
F
q
F
r
F
q
F


De donde, despejamos el siguiente ratio:
1
1
1
1
1
2
2
1
1
r
F
r
F
q
F










Por otro lado, de las ecuaciones (1) y (2) se tiene:
2
1
2
1
x
u
x
u







Y de las ecuaciones (4) y (6) obtenemos:
2
2
2
1
r
F






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4
En consecuencia:
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
r
F
r
F
r
F
q
F
x
u
x
u


















Es decir, en el óptimo:
TMSS = TMTS1
= TMTS2
Tasa Marginal de Sustitución Social = Tasa Marginal de Transformación Social de la
Empresa 1 = Tasa Marginal de Transformación Social de la Empresa 2

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5
2. Equilibrio competitivo con externalidades
Supuesto: Cada agente maximiza su función objetivo tomando como dados los precios
de mercado y las acciones de los demás agentes:
Los problemas de optimización son por tanto:
Para el consumidor: Max  21, xxu , sujeto a Mxpxp  2211
Para la empresa 1: Max 1211 rpqp  , sujeto a  111 rFq 
Para la empresa 2: Max 2122 rpqp  , sujeto a  1222 ,qrFq 
Resolviendo el problema del consumidor:
   Mxpxpxxu  2211121, 
Por condiciones de primer orden:
 
  08
07
21
22
11
11












p
x
u
x
p
x
u
x




2
1
2
1
p
p
x
u
x
u





Resolviendo el problema de la empresa 1:
  11121211 rFqrpqp  
Por condiciones de primer orden:
 
  010
09
21
1
1
1
22
1











p
q
r
F
p
r


2
1
1
1
1
p
p
r
F




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6
Resolviendo el problema de la empresa 2:
  122232122 ,qrFqrpqp  
Por condiciones de primer orden:
 
  012
011
32
2
2
2
31
2











p
q
r
F
p
r


2
1
2
2
p
p
r
F



Por tanto, las condiciones de equilibrio son:
2
2
1
1
2
1
2
1 1
r
F
r
F
x
u
x
u
p
p











Es decir:
TMS= TMT1
= TMT2
Tasa Marginal de Sustitución = Tasa Marginal de Transformación de la Empresa 1 =
Tasa Marginal de Transformación de la Empresa 2
Comparando con la condiciones de eficiencia, vemos que:
TMS = TMSS
TMT1
 TMTS1
TMT2
= TMTS2
Las condiciones son las mismas tanto para el consumidor como para la empresa 2,
porque ninguno de ellos genera externalidad.
En cambio para la empresa 1, el equilibrio competitivo no es eficiente, porque dicha
empresa genera una externalidad. Al utilizar una unidad adicional de input produce
adicionalmente
1
1
r
F


sin tener en cuenta que esto afecta a la empresa 2 en
1
2
1
1
q
F
r
F




.
Entonces, dado que el agente que genera la externalidad no computa los efectos que
genera, las condiciones marginales de optimalidad son diferentes a las condiciones
marginales de equilibrio. Sólo si no hubiera externalidad 








0
1
2
q
F
, la condición de
equilibrio competitivo para la empresa 1 coincidiría con su condición de óptimo.

7. Apuntes/EP8059-Economía del Bienestar Prof. Miguel Angel Alcántara Santillán
7
3. Creación de mercados de derechos
Supuesto: 0
1
2



q
F
, es decir, la empresa 1 genera una externalidad negativa (digamos,
contaminación) sobre la empresa 2.
Si se concede a la empresa 2 el derecho a disfrutar de un entorno libre de
contaminación, para que la empresa 1 (contaminante) produzca, tendrá que comprar el
derecho a contaminar a la empresa 2.
Entonces, por cada unidad producida, dada la contaminación generada, la empresa 1
debe pagar “s” unidades monetarias a la empresa 2.
En consecuencia, los problemas a resolver serán:
Para la empresa 1: Max 11211 sqrpqp  , sujeto a  111 rFq 
Para la empresa 2: Max 12122 sqrpqp  , sujeto a  1222 ,qrFq 
Resolviendo el problema de la empresa 1:
  111111211 rFqsqrpqp  
Por condiciones de primer orden:
 
  014
013
11
1
1
1
12
1











sp
q
r
F
p
r


  2
1
1
1 p
r
F
sp 



Resolviendo el problema de la empresa 2:
  1222212122 ,qrFqsqrpqp  
Por condiciones de primer orden:
 
 
  017
016
015
1
2
2
1
22
2
2
2
21
2















q
F
s
q
p
q
r
F
p
r






1
2
2
2
2
2
1
q
F
ps
r
F
p
p







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8
De los dos problemas de optimización, tenemos el siguiente sistema:
   
 
1
2
2
2
1
1
1
19
18
q
F
ps
p
r
F
sp







Reemplazando (19) en (18), tenemos:
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
2
21
1
TMT
r
F
r
F
q
F
p
p
p
r
F
q
F
p
r
F
p
p
r
F
q
F
pp





























Es decir: TMT1
=TMTS1
.
Lo que implica que la creación de mercados de derechos permite restablecer la
eficiencia del equilibrio en presencia de efectos externos.

9. Apuntes/EP8059-Economía del Bienestar Prof. Miguel Angel Alcántara Santillán
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4. Intervención pública: impuestos o subvenciones óptimas
La interrogante a resolver es ¿puede un impuesto pigouviano restablecer la eficiencia
del equilibrio competitivo?
El modelo tiene ahora las siguientes características:
 Aplicando el principio “el que contamina paga”, la empresa 1, que ocasiona la
externalidad debe pagar un impuesto.
 Impuesto óptimo= aquel que restablezca la eficiencia del equilibrio competitivo,
alcanzando el nivel óptimo de externalidad.
El consumidor y la empresa 2 (que padece la externalidad) resuelven los mismos
problemas que sin intervención pública.
Para la empresa 1 (que genera la externalidad), el problema a resolver es:
Max 11211 tqrpqp  , sujeto a  111 rFq 
Resolviendo el problema de la empresa 1:
  111111211 rFqtqrpqp  
Por condiciones de primer orden:
 
  021
020
11
1
1
1
12
1











tp
q
r
F
p
r


   
1
1
12
1
1
1
2
22
r
F
tpp
tp
r
F
p






Para que la producción q1 coincida con el óptimo social, debe cumplirse que:
 
1
1
1
2
1
1
2
1
1
23
r
F
q
F
r
F
p
p








Reemplazando (23) en (22):
1
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
r
F
tp
r
F
q
F
r
F
p




































10. Apuntes/EP8059-Economía del Bienestar Prof. Miguel Angel Alcántara Santillán
10
Operando:
1
1
2
1
2
1
1
2 1
r
F
tp
q
F
r
F
p













Despejando:
1
2
2
1
1
1
2
1
1
2
q
F
p
r
F
q
F
r
F
p
t











Si la externalidad es negativa 00
1
2









t
q
F
. Es decir, la empresa 1 pagará un
impuesto.
Si la externalidad es positiva 00
1
2









t
q
F
. Es decir, la empresa 1 recibirá una
subvención.
En cualquier caso se llega a:
2
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
r
F
r
F
q
F
r
F
x
u
x
u
p
p















 ; es decir, se consigue que la solución competitiva sea
socialmente eficiente.
Importante:
 La empresa que sufre el efecto externo no es compensada por ello.
 Para que los impuestos pigouvianos restablezcan la solución eficiente, se
requiere que el planificador tenga suficiente información.
La Molina, 2016
Bibliografía
 Mas-Colell, A., Whinston, M.D. y Green, J.R. (1995),
Microeconomic Theory. Oxford University Press. New
York.
 Pazó Martinez, Consuelo (2004), Microeconomíoa IV-
Apuntes de clase. Universidad de Vigo
 Villar, A. (2006), Microeconomía. McGrawHill. Madrid