Ejercicio resuelto de oligopolio: modelo de Bertrand

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EJERCICIO RESUELTO DE OLIGOPOLIO CON LOS PRECIOS
COMO VARIABLE DE DECISIÓN (TIPO BERTRAND)
Si necesita repasar los conceptos utilizados en este ejercicio, puede consultar los
vídeos correspondientes a través de mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
Suponga que un mercado está abastecido por dos empresas, cuyos costes totales son
100.iCT 
Sus respectivas funciones de demanda son: 1 1 2120 2q p p   y 2 2 1120 2 .q p p  
La variable de decisión de estas empresas es el precio, que deciden de manera
simultánea.
Se pide:
a) Calcule la función de beneficios y la función de reacción de ambas
empresas.
b) ¿Cuáles serán los precios de equilibrio en el mercado?
c) Represente gráficamente las funciones de reacción.
d) ¿Qué cantidad producirá cada una de las empresas en el equilibrio?
e) Calcule los beneficios que obtendrán ambas empresas en el equilibrio.
f) Calcule los precios que fijarán, las cantidades que producirán y los
beneficios que obtendrán si la empresa nº 1 toma su decisión de qué precio
fijar antes que la empresa nº 2.

SOLUCIÓN:
a)
La función de beneficios de la empresa nº 1 será la diferencia entre sus ingresos totales
y sus costes totales. Los ingresos totales son el resultado de multiplicar el precio que
establezca esa empresa, p1, por la cantidad que produzca (q1). Los costes totales nos los
da el enunciado:
2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2(120 2 ) 100 120 2 100B IT CT p q CT p p p p p p p            
Si la empresa nº 1 pretende maximizar los beneficios, tendremos que derivar su función
de beneficios respecto de su variable de decisión, que es su precio, e igualar a cero:
𝜕𝐵1
𝜕𝑝1
= 120 – 4p1 + p2 = 0
despejando el valor de 1p obtenemos la función de reacción de la empresa nº 1, que nos
indica cuál es su precio óptimo en función del precio que pueda fijar la empresa nº 2:
1
41 2
* 30p p 
Procedemos de manera análoga para la empresa nº 2, hallando su función de
beneficios, derivando respecto de 2p y obteniendo su función de reacción:
B2 = IT2 – CT2 = p2·q2 – CT2 = p2(120 – 2p2 + p1) – 100 = 120 p2 – 2p2
2
+ p1p2 – 100
Derivando e igualando a cero:
𝜕𝐵2
𝜕𝑝2
= 120 – 4p2 + p1 = 0

La función de reacción de la empresa nº 2 será, por tanto,
p2
*
= 30 + ¼ p1
b)
Resolviendo el sistema de ecuaciones que suponen las dos funciones de reacción,
obtendremos cuál es el precio óptimo para la empresa nº 1 en función de lo que produzca
la empresa nº 2 y viceversa;
1
41 2
1 2
1
42 1
* 30
* * 40
* 30
p p
p p
p p
  
 
  
c)
La representación gráfica de sus funciones de reacción y del equilibrio sería la de la
figura siguiente:
.
d)
30
40
4030
p1
p2

La cantidad que una y otra empresa producirán la obtendremos simplemente
sustituyendo en sus respectivas funciones de demanda:
1 1 2
2 2 1
120 2 120 2 40 40 80
120 2 120 2 40 40 80
q p p
q p p
       
       
e)
Los beneficios, por tanto, serán:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
40 80 100 3100
40 80 100 3100
B IT CT p q CT
B IT CT p q CT
        
        
Lógicamente, dado que tomaban su decisión acerca del precio de forma simultánea,
tenían funciones de demanda similares y funciones de costes idénticas, fijarán el mismo
precio, producirán la misma cantidad y obtendrán los mismos beneficios.
f)
Supondremos ahora que la empresa nº 1 fija su precio en primer lugar, y que la
empresa nº 2, conociendo qué precio ha fijado la empresa nº 1, decide el suyo.
La empresa nº 1 sabe de qué forma va a reaccionar la empresa nº 2 ante el precio que
ella fije; se lo dice su función de reacción, que indica cuál es el precio óptimo para la
empresa nº 2 en función del precio que fije la empresa nº 1: 1
42 1
* 30 .p p 
Así, esta información ha de tenerla en consideración e incorporarla en su función de
beneficios antes de tomar la decisión acerca de qué precio establecer. Como ya la hemos
calculado anteriormente, sabemos que:
2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2(120 2 ) 100 120 2 100B IT CT p q CT p p p p p p p            
Dado que 1
42 130 ,p p  sustituimos el valor de 2p en la función de beneficios de la
empresa nº 1:

2 21
41 1 1 1 1 1 1120 2 (30 ) 100 150 7 4 100B p p p p p p       
Si la empresa nº 1 pretende maximizar los beneficios, tendremos que derivar su
función de beneficios respecto de su variable de decisión, que es su precio, e igualar a
cero:
𝜕𝐵1
𝜕𝑝1
= 150 – 3’5p1 = 0
p1
*
= 42’86
El precio óptimo de la empresa nº 2 lo obtenemos, simplemente, sustituyendo este
valor en su función de reacción:
1
42 1
* 30 40,71p p  
Podemos ya obtener los beneficios de una y otra empresa, pues sustituyendo el valor
del precio óptimo para ambas empresas calculamos la cantidad que producirán:
1 1 2
2 2 1
120 2 120 2 42,86 40,71 75
120 2 120 2 40,71 42,86 81,43
q p p
q p p
       
       
Los beneficios, por tanto, serán:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
42,86 75 100 3114,29
40 81,86 100 3215,31
B IT CT p q CT
B IT CT p q CT
        
        

Como se puede apreciar, la empresa que decide el precio en segundo lugar tiene
ventaja dado que, al existir una cierta sustituibilidad entre los productos que una y otra
producen, si fija un precio algo menor conseguirá arrebatar parte de la cuota de mercado
a la primera, obteniendo de esta manera un mayor beneficio.
Si necesita repasar los conceptos utilizados en este ejercicio, puede consultar los
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