Modelo Markov

> Conceptos para desarrollar cadenas de Markov El proceso Markov Adriana Inés Ávila Geovany Guatibonza

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],Conceptos

[object Object],¿Qué es un vector? ,[object Object],[object Object],V1= [0, 0, ½, ½,] V = [a1, a2, a3… an]

[object Object],¿Qué es un vector? ,[object Object],V1= [0, 0, ½, ½,]

[object Object],¿Qué es una matriz? ,[object Object],[object Object],0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0

[object Object],¿Qué es una matriz? ,[object Object],0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0

[object Object],¿Qué es una matriz? ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

[object Object],¿Qué es una matriz? 0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0 0 0 ½ ½ ¼ ½ ¼ 0 ½ 0 ½ 0 0 ½ 0 ½ X = ¼ ¼ ¼ ¼ ½ 0 ½ 0 ¼ 0 ½ ¼ ½ 0 ½ 0 Ejemplo de la primera fila por columna: A11= 0*0+ 0*1/4+ 1/2*1/2+1/2*0= 1/4 A12= 0*0+ 0*1/2+ 1/2*0+ 1/2*1/2=1/4 A13= 0*1/2+ 0*1/4+ 1/2*1/2+ 1/2*0=1/4 A14= 0*1/2+ 0*0+ 1/2*0+ 1/2*1/2=1/4 Así obtenemos la primera fila de la nueva matriz.

[object Object],¿Qué es una matriz? ,[object Object],0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0 0 0 ½ ½ ¼ ½ ¼ 0 ½ 0 ½ 0 0 ½ 0 ½ X = ¼ ¼ ¼ ¼ ½ 0 ½ 0 ¼ 0 ½ ¼ ½ 0 ½ 0 VER VIDEO

[object Object],Cadenas de Markov ,[object Object]

[object Object],Cadenas de Markov ,[object Object],V1= [0, 0, ½, ½,] Es un vector de probabilidad V2= [1, 0, ½, ½,] NO es un vector de probabilidad

[object Object],Cadenas de Markov Los vectores que no son de probabilidad, (la suma de sus componentes es mayor que 1) pero que cumplen con la condición de que todos sus componentes son positivos, tienen algo llamado vector único de probabilidad, el cual corresponde a un escalar múltiplo de si mismo. El vector único de probabilidad (qv) se obtiene de la siguiente manera: 1. Se calcula la suma todos los componentes del vector 2. El vector se multiplica por ese resultado Ejemplo: Tengo la matriz: V2= [1, 0, ½, ½,] Observo que no es un vector de probabilidad, pero que todos sus elementos son positivos Calculo la suma de sus elementos: 1+0+1/2+1/2 = 2 qv = 1/2 V2 = [1/2, 0, 1/4, 1/4]

[object Object],Cadenas de Markov ,[object Object],0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0 0 1 ½ ½ 1 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 4 1 0 Estocástica NO Estocástica

[object Object],Cadenas de Markov Una matriz estocástica es regular, cuando todos los elementos de una potencia son positivos. Como ejemplo, tomaremos nuestra matriz estocástica de la diapositiva anterior la elevamos al cuadrado: 0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0 A²= X 0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0 ¼ 0 ¾ 0 ½ 0 ½ 0 ¼ 0 ½ ¼ ½ 0 ½ 0 =

[object Object],Cadenas de Markov Las características de una matriz estocástica regular son: La matriz (P) tiene un vector de probabilidad fijo (t) cuyos componentes son todos positivos. La sucesión de potencias de la matriz: P, P2, P3, se aproxima a la matriz T cuyas filas son cada punto fijo (t). Si p es un vector de probabilidad, entonces la sucesión de vectores: pP, pP2, pP3, se aproxima al punto fijo t. X

[object Object],Cadenas de Markov El vector de probabilidad fijo es una característica de las matrices estocásticas regulares. Para hallarlo se requiere multiplicar cualquier matriz por incógnitas con la finalidad de que estas puedan ser despejadas. Tomaremos como ejemplo una matriz trabajada con anterioridad: 0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0 [w, x, y, z] X Se realiza la multiplicación de las matrices y luego se despeja cada una de las incógnitas para hallar el vector de probabilidad fijo (t). Si este no es un vector de probabilidad, puede convertirse utilizando lo aprendido en diapositivas anteriores

[object Object],Cadenas de Markov Para calcular lo que sucederá en un tiempo determinado, el proceso es el siguiente: Tomo el vector que representa el estado inicial del problema, este se llamará q0 Si multiplico q0 por la Matriz me dará el estado 1, entonces para hallar un estado n la fórmula es: q0 Mn = qn

[object Object],Cadenas de Markov Ejemplo: Si queremos hallar lo que sucederá en la transición 150, entonces: 0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0 V1= [0, 0, ½, ½,] Estado inicial X = 150 V150= [23/100, 3/20, 19/50, 23/100]

[object Object],Cadenas de Markov Ejemplo: Si queremos hallar lo que sucederá en la transición 150 en MATLAB revisa el siguiente video: 0 0 ½ ½ 0 0 1 0 ½ 0 ½ 0 0 0 1 0 V1= [0, 0, ½, ½,] Estado inicial X = 150 V150= [23/100, 3/20, 19/50, 23/100] VER VIDEO

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