Este documento presenta un examen final de didáctica de la matemática. Contiene cuatro preguntas con sus respectivas respuestas. La primera pregunta trata sobre la dialéctica antiguo-nuevo en la enseñanza y aprendizaje de la matemática. La segunda pregunta se refiere al concepto de transposición didáctica desarrollado por Chevallard. La tercera pregunta define el sentido de un conocimiento matemático según Brousseau. Y la cuarta pregunta describe la teoría de los campos conceptuales de Vergn

1. Trabajo final del curso de didáctica de la matemática
Como trabajo final, elabore un diseño de un examen de didáctica de
la matemática teniendo en cuenta la siguiente guia, donde se enuncia
una pregunta con respecto a los referentes que manejamos en el
curso y a renglón seguido se da la respuesta, la cual puede se una
compilación o un pequeño ensayo que enuncie las ideas mas
importantes sobre el tema de la pregunta
Problema de la matemática.
Examen final
Silvia E. López
Calificación: 10 (diez)
30/09/05
1. ¿Cómo funciona en la enseñanza y aprendizaje de la matemática la
contradicción antiguo – nuevo?
La didáctica de la matemática estudia las relaciones y transformaciones
que realiza el sujeto en relación a un saber.
Esta se funda en supuestos epistemológicos y psicológicos. Uno de esos
supuestos constituye la construcción de conceptos nuevos basados o apoyados
en los antiguos.
Es Regine Douady quien establece que la construcción de un conocimiento
se realiza sobre tres puntos fundamentales:
a) La dialéctica instrumento – objeto.
b) La dialéctica antiguo – nuevo.
c) El juego de marcos.
a) Un concepto puede ser trabajado como instrumento o como objeto del
saber. Cuando el concepto matemático es tomado como herramienta para
resolver situaciones entonces la situación problemática, o mejor dicho la
situación didáctica estará orientada hacia el concepto como instrumento.
Ej: la suma como primera herramienta para el tratamiento del concepto
de multiplicación.
En cambio cuando ese concepto es tomado como objeto, la
diagramación se realiza apuntando a la construcción del concepto en sí. En
este caso, el concepto y algoritmo de la suma.

2. b) La dialéctica antiguo – nuevo se determina por el tratamiento de un
aprendizaje en etapas:
1. Etapa de búsqueda: El alumno frente a una situación planteada
comienza a movilizar esquemas y modelos explícitos que le harán
comenzar a intentar resolver la situación planteada. Podrá
movilizar los primeros esquemas de resolución (en términos de
Vergnaud) para organizar, mediante construcciones mentales,
lingüísticas, gestuales, los pasos a seguir.
2. La segunda etapa es la de nuevo implícito: La situación hará que
sus modelos no le sean suficientes, resultarán entonces,
ineficaces como para que la resolución evolucione. Se movilizan,
entonces, nuevos saberes, esta vez implícitos ya que el sujeto
todavía no puede explicar ni dar fundamentos a lo que va
construyendo o resolviendo. Aquí es importante que el docente,
que hasta ahora si no intervino en la relación sujeto – saber, esté
atento ya que si la situación cae en un estancamiento debido a la
falta de herramientas o a obstáculos por malas concepciones, por
ejemplo, deberá intervenir para que el alumno no pierda el interés
ni se diluya el sentido que en sí encierra la situación.
3. En esta tercera etapa estos nuevos conceptos que se comienzan a
construir se explicitan. El alumno está en condiciones de
apropiarse del saber. Se denomina “explicitación” o nuevo
explícito.
4. Institucionalización: Esta es una etapa muy importante ya que, en
términos de Brousseau aquí el docente debe ayudar al sujeto a ver
que fue lo que aprendió, es decir qué concepto pudo construir.
5. En esta etapa se realiza la reinversión del saber en cuestión
tratando de que se puedan formar modelos de resolución (en
términos de Brousseau) y por lo tanto la fijación del mismo. El
concepto ahora podrá constituirse como “antiguo” y será o podrá
ser la base para conceptos más complejos.
6. En esta última etapa se complejizará la situación de aprendizaje
pudiendo comenzarse nuevamente con la evolución de un nuevo
concepto.
c)Juegos de marcos: Douady afirma que para que un concepto pueda
construirse es necesario, además, su tratamiento en diferentes
marcos. Por ejemplo: fracciones en el marco numérico o en el marco
geométrico.

3. Y que para lograr una evolución satisfactoria es necesario
trabajar los conceptos desde, al menos, dos marcos diferentes.
2. Chevallard sostiene que el saber no lleva en sí mismo la finalidad de ser
enseñado, sino solamente la necesidad de ser enseñado. Es la sociedad
la que requiere que una parte del saber científico se lleve a la
enseñanza porque será de utilidad social
¿Cuál es el concepto desarrollado por Chevallard como respuesta al
mencionado pensamiento?
¿Cuál es el rol en la enseñanza de la matemática dentro de un sistema educativo?
En la década de los ´80 Ives Chevallard comienza a preocuparse por la
relación del sujeto con el saber. Ya en la década del ´70 la preocupación de los
estudiosos de la matemática apuntan al estudio de las relaciones que conforman la
tríada saber – docente- sujeto ya que hasta entonces se tenía en cuenta la díada
sujeto – docente. Nace en este período la llamada didáctica fundamental con
personalidades como Artigue (estudio de la ingeniería didáctica) Vergnaud (campos
conceptuales) Brousseau (Teoría de la situaciones) y el propio Chevallard que,
preocupado, específicamente por el tratamiento del saber propone la Teoría de la
transposición didáctica, que no está pensada exclusivamente para la didáctica de la
matemática sino también para otras ciencias, sobre todo las de tipo experimental.
Esta teoría se fundamenta en que el saber, generado por el investigador,
llamado saber sabio debía sufrir una transformación para que pueda ser ingresado en
el sistema didáctico.
En la primera parte de la teoría se describe la historia como su definición, en
una segunda parte se realizan los fundamentos epistemológicos y la distribución del
tiempo.
La transposición didáctica consta de dos partes. Una primera parte que es el
pasaje del saber sabio al saber a enseñar y una segunda parte que es el pasaje del
saber a enseñar al saber enseñado.
La primera se realiza en el nivel externo o sea, en la noosfera que la integran
todos los que piensan la matemática (si de esta didáctica hablamos). En esta etapa el
docente no participa. Es el pasaje de los saberes sabios al currículum formal.
Constituyen la noosfera, los políticos, los pensadores del currículum, los
diagramadores de los libros y manuales, los directivos, administradores y hasta los
padres. Es aquí donde la transposición tiene incidencia en la enseñanza dentro del
sistema educativo.

4. La segunda parte es la transposición interna y esta se realiza en el seno del
aula. La realiza el docente y debe tener en cuenta en ella el currículum real (en
términos de Perronault) ya que debe tener presente la realidad cultural, social y
económica del sujeto que aprende.
Toda la reforma de los currículums en la Argentina, que tuvo lugar en la
década del ´90 fue consecuencia de esta mirada diferente del tratamiento del
saber. La creación de los CBC en sus tres niveles, nacional, jurisdiccional y el PEI
(Proyecto de Educación Institucional) generaron documentos de capacitación
docente para entrenar a los docentes en esta nueva mirada.
La transposición puede ser vista como un mal necesario cuando los integrantes
de la noosfera sienten que se está faltando al saber erudito, al saber del científico.
Lo cierto es que Chevallard indica que es necesario tener buenas transposiciones
para construir buenos conocimientos y que “el saber no lleva en sí mismo la finalidad
de ser enseñado, sino solamente la necesidad de ser enseñado” tomándose como
herramienta para que el sujeto se relacione con el medio.
Cuando el saber pasa a ser textualizado o sea cuando se elabora el texto del
saber (en la noosfera) este sufre la influencia de:
 La desincretización : cuando es dividido en unidades más pequeñas para
su tratamiento.
 La redespersonalización ya que el docente realiza el trabajo inverso al
científico quien personaliza y contextualiza el saber.
 La programabilidad : Esta influye ya que aquí depende mucho de la
mirada que el docente tenga sobre el contrato didáctico, sobre el
contrato pedagógico (propio de la institución) del concepto que el tenga
de qué es aprender o enseñar y que no se sienta presionado para evitar
que saltee etapas en la construcción del conocimiento.
 También influye la cronogénesis (manejo del tiempo) ya que el tiempo de
enseñar reconstruye y el tiempo de aprendizaje destruye la
cronogénesis. Todo oo que el docente puede haber supuesto que le
llevaría (en términos de tiempo de enseñanza) sufre las consecuencias
del tiempo de aprendizaje que no siempre se puede suponer de
antemano. El docente controla el futuro.
 La topogénesis: es el lugar del docente y del alumno con respecto al
saber. El docente sabe todo y sabe más. Pero debe, realizar siempre,
una vigilancia epistemológica (en términos de Chevallard) para no caer
en la obsolescencia del saber, es decir que siempre el saber debe, tener
como referencia el saber sabio, aún después de la transposición y debe
estar lo suficientemente alejado del saber banal de los padres.

5.  Además debe, poder ser evaluado y debe tener carácter social, tomado
esto como sinónimo de público.
3. ¿Cómo define Guy Brousseau el sentido de un conocimiento
matemático?
Brousseau indica, en su teoría de Situaciones, que el alumno aprende sólo
cuando la situación planteada tiene sentido, tiene significado para él.
El sentido de una situación (Brousseau trata a la situación en términos de
relaciones) está dada por :
El tejido de situaciones de prueba que harán que el alumno comience a
movilizar sus saberes previos.
El tejido de formulaciones y representaciones que generarán la manipulación
del saber generando pasos a seguir, diagramación de la actividad.
Los modelos explícitos: como los saberes previos que harán que movilice y
genere modelos implícitos.
El tejido de relaciones: Entre los diferentes elementos del sistema didáctico.
Charnay, determina que, según Brousseau, el sentido de un conocimiento se
define por:
No sólo la colección de situaciones en la que el conocimiento es tomado como
teoría matemática. No sólo por la colección de situaciones en las que el conocimiento
es tomado como instrumento valido de resolución, sino también por los errores que
evita, las concepciones que rechaza y las formulaciones que retoma.
Y determina, además, que el sentido está dado en dos niveles:
 Un nivel externo: Es el campo en el que el concepto es utilizado y sus
limitaciones y…
 Un nivel interno: Que es donde se observa el funcionamiento de esa
situación. Como funciona en sí (algoritmo, etc)
Ejemplo: (Real realizado en un colegio de Tigre)
Para la enseñanza de los números decimales, más específicamente la
multiplicación de números decimales se propuso la fabricación de dos arcos de fútbol
en caños de PVC.
El proyecto, por supuesto, estaba cargado de significado para los chicos
ya que poseían una motivación generada por el uso de los arcos en sí.
A la hora de comprar los materiales tuvieron que realizar los cálculos
correspondientes. Al no tener el concepto de multiplicación de números decimales
(aunque sé se había trabajado el concepto de decimal a través del armado con

6. material concreto) se tuvieron que organizar para calcular cuánto costarían los 18
metros de caño a $3,75 el metro.
El nivel externo de la situación estaba dado por el tratamiento de los
números decimales y la operación (en este caso multiplicación) y la limitación fue el
precio por metro.
Los alumnos pudieron resolverlo separando pesos de centavos y
multiplicando por separado pudieron realizar al final el canje de los centavos a pesos
y por suma realizar el cálculo final:
3,75
X 18
3 Centavos
X 18 75
X18
…………… centavos
El nivel interno estuvo dado por el uso de cálculos aproximativos,
estimación de cálculos previamente a resolver cuyo concepto les sirvió para
institucionalizar el saber o sea, determinar cómo se realizaba el algoritmo de la
multiplicación de números decimales.
4. Desarrolle sintéticamente el aporte que Vergnaud realiza a la didáctica de la
matemática con la teoría de los Campos conceptuales.
Vergnaud es un psicólogo y especialista en didáctica de la matemática, por lo
tanto su teoría de los campos conceptuales está basada en la psicología. Tanto en
Piaget cuando indica que el sujeto aprende por relaciones con un medio que le
proporciona contradicciones y hace que se generen acomodaciones y asimilaciones.
También se apoya en la noción de aprendizaje por adaptación de Brousseau.
Para Vergnaud, quien hace una primera redacción de su teoría en 1981 y una
segunda versión en 1991, es fundamental basar el aprendizaje en la relación entre
conceptos y el nivel cognitivo del sujeto.
Define campo conceptual como el conjunto de situaciones o problemas que
conllevan procedimientos y conceptos variados en estrecha relación.
Su teoría se basa en que:

7.  Una misma situación puede engendrar varios conceptos y un mismo
concepto puede estar involucrado en varias situaciones.
 Que los aprendizajes, no se realizan de un día para el otro, muchas
veces lleva años su construcción.
 Que son importantes los teoremas en acto que son las preposiciones
verdaderas o falsas que el sujeto enuncia ante una situación (invariables
operatorias).
 Que es importante jerarquizar la parcialización que se realiza de los
conceptos tratando de conformar una estructura.
 Que son importantes, también, los esquemas que el sujeto posee
(representaciones mentales, gestuales, lingüísticos, etc) que el sujeto
posee para comenzar a ordenar su razonamiento.
Vergnaud, en su teoría, realiza el estudio de conceptos de relación estrecha
estudiados como campos conceptuales.
Así comienza estudiando diferentes campos como:
 El de las estructuras aditivas: incluyen suma, resta, numeración, relacion
parte todo, nociones de geometría, etc.
 El de las estructuras multiplicativas: Multiplicación, división, proporcionalidad,
función lineal, etc.
Además de:
 El campo de las magnitudes continuas de carácter estático: volumen,
superficie, peso específico, etc. (perímetro y magnitudes).
 El campo de la dinámica: Que incluye los conceptos trabajados en física como
movimiento, aceleración, etc.
Vergnaud realiza, además, una detallada descripción de los elementos que
intervienen en su teoría como los esquemas, las situaciones, los conceptos y las ya
nombradas invariables operatorias, pero respetando la consigna que indica
sintetizar, me parece oportuno sólo nombrarlas.
Silvia López.