Este documento describe el movimiento curvilíneo de una partícula. Explica conceptos como velocidad, aceleración, trayectoria y magnitudes cinemáticas para movimientos curvilíneos, circulares y de proyectiles. También define ecuaciones para calcular distancias, tiempos y velocidades en estos tipos de movimiento.

2. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Al finalizar este capítulo el estudiante estará en capacidad de:
Aplicar su conocimiento del movimiento unidimensional al movimiento no
rectilíneo.
Dadas las funciones X(t), Y(t) de una partícula, identificar la trayectoria
y calcular las componentes de los vectores velocidad y aceleración.
CONTENIDO
Aplicación de los conceptos vectoriales al movimiento curvilíneo de una
partícula.
Movimiento de proyectiles.
Velocidad y aceleración en el movimiento circular.

3. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO
Y+
 
V0 V

∆r
 
r0 r
X+
VECTOR POSICIÓN VECTOR DESPLAZAMIENTO
r 0 = x 0ˆ + y0ˆ
i j Δr = r - ro
r = x ˆ + yˆ
i j Δr = x ˆ + yˆ
i j

4. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO
Y(+)

V2

V1
 
- V2 V2

ΔV 
V3
X(+)
VELOCIDAD
  
V = Vx ˆ + Vy ˆ
i j ΔV = V − V0

5. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MAGNITUDES CINEMÁTICAS EN EL MOVIMIENTO
Y(+)

V2

V1
at
ar at
ar
 
a  V3
a
X(+)
 
ACELERACIÓN a = (ar ) 2 + (at ) 2
ACELERACIÓN RADIAL ACELERACIÓN TANGENCIAL

 V2  ∆V
ar = at =
R ∆t

6. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACELERACIÓN CONSTANTE

a = a x ˆ + ay ˆ
i j
Vx= Vox + axt
ax= constante
X = Xo + Voxt + (axt2)/2
Vy= Voy + ayt
ay= constante
Y = Yo + Voyt + (ayt2)/2
 
V = Vx i + Vy j r = r o + v ot + 12 at 2
  
V = V0 + at r = x ˆ + yˆ
i j

7. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Es un caso particular de movimiento bidimensional con aceleración
constante.
Consideraciones
Se desprecia la curvatura terrestre.
Se desprecia la resistencia del aire.
Características
Verticalmente el cuerpo se mueve bajo la acción de la
aceleración de la gravedad.
Horizontalmente el cuerpo se mueve a velocidad constante.
La trayectoria descrita por el cuerpo es una parábola.

8. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
DEFINICIONES BÁSICAS
ALTURA MÁXIMA
Es la máxima altura alcanzada por el móvil en su trayectoria (Ymáx). Se
considera VY=0.
TIEMPO DE VUELO
Es el tiempo durante el cual la partícula estuvo en movimiento (tv).
ALCANCE MÁXIMO
Es la distancia máxima horizontal recorrida durante el tiempo de vuelo
(Xmáx).
Y
V0
Ymáx
θ
Xmáx X

9. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE PROYECTILES
Supongamos un lanzamiento desde el
suelo con una V0
Vo x =Vo ⋅ cosθ
V0
Vo y =Vo ⋅ senθ
Eje X Eje Y
ax = 0 ay = -g Si despejamos t de
Vx = Vo x = Vo ⋅ cosθ Vy = Vo y - g ⋅ t = Vo ⋅ senθ - g ⋅ t la expresión de X
X = Vo ⋅ cosθ ⋅ t g ⋅ t2
Y = Vo ⋅ senθ ⋅ t -
2 2
 X 
X g⋅ 
t= Y sustituyendo en Y
Y = Vo ⋅ senθ ⋅
X
-  Vo ⋅ cosθ 
Vo ⋅ cosθ Vo ⋅ cosθ 2
g Ecuación de la Trayectoria
tenemos Y = X ⋅ tgθ - X2 Parabólica
2V02 cos2θ

10. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
TIPOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTIL
LANZAMIENTO HACIA ARRIBA DESDE UNA ALTURA Yo
Y(+)
Vy Vx
θ1
Voy
Vo Vx
θ Vx
θ2
Vox Vy
a = -g
YO
Vx
0
x θ3
X(+)
Vy

11. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
LANZAMIENTO HACIA ABAJO DESDE UNA ALTURA Yo
Y(+)
Vox
θ
Voy Vo
Vx
θ1
Yo Vy
V
a=g
Vx
X(+)
0 θ2
Vy
X
V

12. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
LANZAMIENTO HORIZONTAL
Y(+)
Y(+)
y
Vo = Vox
Vx
θ
1
Yo Vy
a=g
Vx
0 x θ2 X(+)
Vy

13. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MOVIMIENTO CIRCULAR
Es un movimiento donde la trayectoria descrita por el cuerpo es una
circunferencia de radio R.
Y(+) R : radio de la circunferencia.
V2 ∆s V1, V2, V3 : vectores Velocidad.
r2 ∆r V1 r1, r2: vectores Posición.
∆θ r1
θ2
θ1 ∆r= r2-r1 : desplazamiento lineal
X(+)
0 θ 1, θ 2 : posición angular.
R
∆ θ : desplazamiento angular.
V3
∆S= ∆θ.R : Espacio Recorrido

14. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
COMPONENTES RADIALES Y TANGENCIALES DE LA ACELERACIÓN
Ur(+)
vt Ut(+) a = ±ar Ur ± at Ut
at
V2 cambio en ΔV cambio en la
ar = dirección y at = magnitud de
ar R sentido de V Δt V
a
 
a = ( − ar ) 2 + ( at ) 2
GRÁFICA DE LA ACELERACIÓN TOTAL
Si V2 > V1 Si V2 < V1
Ur(+)
Ur(+)
at
at
V2
V2 ar V1 V1
a a
Ut(+) Ut(+)
ar

15. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
En este movimiento la velocidad es constante en módulo y varía en dirección y
sentido. Esta variación es producida por la aceleración radial.
V1 = V2 = V3
ar =v2 / R : aceleración radial
Y(+)
at = ∆V/ ∆t = 0 : aceleración tangencial
a: aceleración total
V2 ∆s 
a = ar
r2 ∆r V1
r1
∆θ
El Espacio Recorrido lo podemos
θ2 θ1
0
X(+) calcular:
∆S= ∆θ.R
ar También, por analogía con el MRU:
at .t 2
V3 ∆S = Vo .t + → ∆S = V.t
2

16. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
CONCEPTOS BÁSICOS
VELOCIDAD ANGULAR (ω )
Es el desplazamiento angular entre el intervalo de tiempo.
Δθ  rad 
ω=  s 
Δt  
PERÍODO ( T)
Es el tiempo que tarda la partícula en completar una vuelta.
T=
2π
ω
[ s]
FRECUENCIA (f)
Representa el número de vueltas que efectúa la partícula por unidad de tiempo.
f =
1
T
[s ]
−1

17. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
MOVIMIENTO CIRCULAR CON MÓDULO DE VELOCIDAD VARIABLE
En este movimiento la velocidad varía en módulo, en dirección y sentido.
Esta variación en el módulo es producida por una aceleración perpendicular
a la radial denominada aceleración tangencial.
Velocidad en cualquier instante de la
trayectoria:
V1 ≠ V2 ≠ V3
V = Vo + at .t
Ut(+)
at= ∆V/∆t : aceleración tangencial
v2 Ur(+)
Y(+) ar= V2/R : aceleración radial
at a: aceleración total
a
 
( - ar ) 2 + ( at ) 2
ar
a =
X(+)
v1 Espacio Recorrido: ∆S= ∆θ.R
También, por analogía con el MRU:
v3
at .t 2
∆S = Vo .t +
2

18. MOVIMIENTO CURVILÍNEO DE UNA PARTÍCULA
PARÁMETROS LINEALES Y ANGULARES EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR
ESPACIO RECORRIDO:
ΔS =R ⋅ Δθ ΔS = Vo ⋅ t + 2 at ⋅ t 2
1
VELOCIDAD:
Como R = constante ΔS = R ⋅ Δθ dividimos entre Δt
ΔS Δθ
=R ⋅ ⇒ V =ω ⋅R
Δt Δt
ACELERACIÓN:
Relación entre la aceleración tangencial (at) y la aceleración angular (α)
V − Vo ωR − ω oR R( ω − ω o ) R ⋅ Δω
at = = = =
t − to t − to Δt Δt
Como la
Δω
aceleración α= sustituyendo at = R ⋅ α
angular es Δt