Este documento presenta fórmulas y conceptos relacionados con cálculo vectorial y geometría diferencial. En 3 oraciones o menos: Resume los principales temas tratados como vectores, productos escalares y vectoriales, ecuaciones de rectas y planos en el espacio, derivadas parciales, cambio de variables y coordenadas cilíndricas y esféricas, así como fórmulas para curvatura de curvas planas y espaciales.

1. 1
UNIVERSIDAD LA SALLE ESCUELA DE INGENIERÍA ÁREA DE MATEMÁTICAS
FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
VECTORES:
Norma de un vector: Vector unitario: Producto punto o producto escalar:
2 2 2 u
u = u +u
1 2
+  + un u
n
u ⋅ v = ∑ u i ⋅ vi = u1v1 + u 2 v 2 +  + u n vn
i =1
Cosenos directores: Angulo entre dos Componente de v a lo largo de u:
u u u vectores: u v u ⋅v
cos(α) = 1 , cos( β ) = 2 , cos(γ ) = 3 ; comp u v = cos(θ) = = v cos(θ)
u u u cos(θ) = u ⋅ v u u
u v
cos 2 (α) + cos 2 ( β ) + cos 2 (γ ) =1
Producto cruz o producto vectorial: Área del triángulo Producto cruz o producto vectorial:
u ×v = u v sen(θ) es la mitad del
u ×v
2
=u
2
v
2
−(u ⋅ v ) 2 área del i j k
paralelogramo u × v = u1 u2 u3 =
Área del paralelogramo generado por u y
generado por u y v
v: A = u ×v v1 v2 v3
= i (u 2 v 3 − v 2 u 3 ) − j (u1 v 3 − v1u 3 ) + k (u1 v 2 − v1 u 2 )
u1 u2 u3 Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w:
V = u ⋅ (v ×w)
Triple producto escalar: u ⋅ (v × w) = v1 v2 v3
Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen
w1 w2 w3 del paralelepípedo generado por u, v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
Ecuación vectorial de la recta: r = r0 + tv : donde v es el x = x 0 + tv1
vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar. Ecuaciones paramétricas de la recta: y = y 0 + tv 2
z = z 0 + tv3
Ecuaciones simétricas de la recta:
x − x0 y − y0 z − z0
= = ; con v1v2v3 ≠ 0
v1 v2 v3
Ecuación vectorial del plano: n ⋅ ( r − r0 ) = 0 donde n es el Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0)
vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z). y tiene como vector normal a
n =(a,b,c):
a ( x − x 0 ) + b( y − y 0 ) + c ( z − z 0 ) = 0 .
x = x 0 + tv1 + su1 Distancia de un punto Q a un plano:
→
Ecuaciones paramétricas del plano: y = y 0 + tv 2 + su 2 →
PQ n
ax 0 +by 0 + cz 0 − d
D = comp n ( PQ) = =
z = z 0 + tv3 + su 3 n a 2 +b 2 + c 2
→
PQ×u
Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por: D = , donde P es un punto cualquiera de la recta.
u
SUPERFICIES.
Una superficie de revolución tiene la ecuación: Superficies cuadráticas:
x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0
y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x
x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una
hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular
recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide
elíptico, paraboloide hiperbólico.
DERIVADAS PARCIALES

2. 2
Derivadas parciales de orden superior: Gradiente de z=f(x,y) ∇ ( x, y ) =( f x , f y ) .
f
∂2 ∂ ∂ 
f ∂ ∂2 ∂  ∂  de ∂
f
f ( x, y ) =  = f x = f xx ; f ( x, y ) = Gradiente = w=f(x,y,z) yy
  fy = f
∂x 2
∂ ∂  ∂
x x x ∂ 2
y ∂  ∂ , , z )y=( f x , f y , f z )
∇ (x  ∂
y y y
f
∂2 ∂ ∂ f ∂ ∂2 Si ∂  ∂  z – ∂
F(x,y,z)=
f f(x,y)= 0, entonces un vector
f ( x, y ) = 
 ∂  = ∂ f y = f yx ;
 f ( x, y ) =
normal a x  = ∂ f x z está dado por:
 la superficie = f xy
∂∂
x y ∂  y
x x ∂∂
y x ∂ ∂ 
y y
∇ ( x, y, z ) = ( Fx , Fy , Fz )
F
La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto
del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por: (x0,y0) entonces:
Du f ( x 0 , y 0 ) = u • ∇f ( x 0 , y 0 ) = ∆z ≅ dz = f x ( x 0 , y 0 ) dx + f y ( x 0 , y 0 ) dy
= (u1 , u 2 ) ⋅ ( f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ))
La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano
punto P=(x0,y0,z0) está dada por: tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:
∇F ( x0 , y0 , z0 ) • ( x − x0 , y − y0 , z − z 0 ) = 0 ( f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y 0 ),−1) • ( x − x0 , y − y0 , z − z 0 ) = 0
La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta
punto P=(x0,y0,z0) está dada por: normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:
x = x0 + Fx ( x 0 , y 0 , z 0 ) t ; y = y 0 + Fy ( x 0 , y 0 , z 0 ) t ; z = z 0 x = zx( x−, f x0(,x 00,)y0 ) t ;
+F 0 0 y z t y = y 0 − f y ( x 0 , y0 ) t ; z = z0 + t
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es: REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión)
∂z ∂z Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:
dz = dx + dy
∂x ∂y dz ∂ dx ∂ dy
z z
= +
dt ∂ dt
x ∂ dt
y
REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión) DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en
Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces: donde z=f(x,y), entonces:
∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z ∂z ∂x ∂z ∂y ∂F ∂F
= + ; = +
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s ∂t ∂x ∂t ∂y ∂t ∂z Fx ∂z Fy ∂y
=− = − ∂x ; =− =−
∂x Fz ∂F ∂y Fz ∂F
∂z ∂z
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).
Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:
1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)<0
2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)>0
3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0
4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá
SEA H ( x, y, λ) = f ( x, y ) + λ(h( x, y ) − c )
resolver el sistema: ∂H ∂H ∂H
=0 ; =0 ; =0
∂x ∂y ∂λ
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

3. 3
CILINDRICAS (r, θ , z) ESFERICAS ( ρ , θ , φ )
 tan − 1 ( y x) si x > 0, y ≥ 0 x = ρ sen(φ ) cos(θ ); y = ρ sen(φ )sen(θ ); z = ρ cos(φ ); ρ
 −1
x = r cos(θ ) ; y = rsen(θ ) ; z = z; x + y = r ; θ =  π + tan ( y x) si x < 0
2 2 2
 tan − 1 ( y x)
 
 2π + tan ( y x) si x > 0, y < 0 ρ = x + y + z ; φ = cos ( z / ρ ); θ =  π + tan − 1 ( y
−1 2 2 2 −1
 2π + tan − 1 ( y
r ≥ 0; 0 ≤ θ ≤ 2π 
CAMBIO DE VARIABLE
POLARES ∫∫f(x, y)dxdy = ∫∫f(rcos(θ ), rsen(θ )) r drdθ
R Q
CILINDRICAS : ∫∫∫f(x, y, z)dxdydz = ∫∫∫f(rcos(θ ), rsen(θ ), z) r drdθ dz
R Q
∫∫∫f(x, y, z)dxdydz =∫∫∫f(ρ sen(φ )cos(θ ),ρ sen(φ )sen(θ ),ρ cos(φ ))ρ
2
ESFERICAS : sen(φ )dρ dφ dθ
S Q
SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:

4. 4
r (t ) = x(t )i + y (t ) ˆ
ˆ j CURVA EN EL PLANO
r (t ) = x(t )i ˆ
ˆ + y (t ) ˆ + z (t )k CURVA EN EL ESPACIO, ENTONCES :
j
VECTOR VELOCIDAD v(t ) = r ' (t )
ds
RAPIDEZ v(t ) = = r ' (t )
dt
VECTOR ACELERACION a (t ) = r ' ' (t ) = aT T (t ) + a N N (t )
r ' (t )
VECTOR TANGENTE UNITARIO T (t ) =
r ' (t )
T ' (t )
VECTOR NORMAL PRINCIPAL UNITARIO N (t ) =
T ' (t )
VECTOR BINORMAL B (t ) = T (t ) × N (t )
v(t ) ⋅ a (t ) d 2 s
COMPONENTES DE LA ACELERACION aT = a (t ) ⋅ T (t ) = = 2
v(t ) dt
2
2 v(t ) × a (t )  ds 
COMPONENTES DE LA ACELERACION a N = a (t ) ⋅ N (t ) = a (t ) − aT =
2
= K 
v(t )  dt 
FORMULAS PARA LA CURVATURA EN EL PLANO
y' '
K = C DADA POR y = f ( x)
[1 + ( y') ] 2
3
2
x' y ' '−y ' x' '
K = C DADA POR x = x(t ), y = y (t )
[( x')
+ ( y ')
2 32
2
]
FORMULAS PARA LA CURVATURA EN EL PLANO O EN EL ESPACIO
T ' (t ) r ' (t ) × r ' ' (t )
K = = 3
r ' (t ) r ' (t )
a (t ) ⋅ N (t )
K = 2
v(t )
RECUERDE QUE LAS FORMULAS CON PRODUCTOS VECTORIALES SOLO SE APLICAN A CURVAS
EN EL ESPACIO.
AREA DE LA SUPERFICIE INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO)
[ ]
b
∫∫dS = ∫∫ 1 +[ f x ( x, y )] + f y ( x, y ) dAF ⋅ dr = ∫ F ⋅ Tds = ∫ F ( x(t ), y(t ), z (t )) ⋅ r ' (t )dt
2 2
R R
∫ C C a
LONGITUD DE ARCO
SI F ES UN CAMPO VECTORIAL DE LA FORMA F ( x, y ) = Mi + Nˆ
ˆ j
b b
s = ∫ r ' (t ) dt = ∫ [ x' (t )] 2 + [ y ' (t )] 2 + [ zr(tt)]=dt (t )iˆ + y (t ) ˆ
'
2
a a
( ) x j ENTONCES ∫ F ⋅ dr = ∫ Mdx + Ndy
C C
SI F ES UN CAMPO VECTORIAL DE LA FORMA F ( x, y , z ) = Mi +
ˆ
j ˆ
r (t ) = x (t )i + y (t ) ˆ + z (t ) k
ˆ ENTONCES ∫ F ⋅ dr = ∫ Mdx + Ndy + P
C C
INTEGRAL DE LÍNEA SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI
∂M ∂N
=
∂ y ∂x
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO
SI

5. 5
SI C ESTA DADA POR r (t ) = x (t )i + y (t ) ˆ
ˆ j ˆ
i ˆ
j kˆ
b ∂ ∂ ∂  ∂P ∂N   ∂P ∂M  ˆ ∂N
rot ( F ) = =i 
ˆ −  − ˆ
j −  +k 
 ∂x −
∫ f ( x, y )ds = ∫ f ( x(t ), y (t )) [ x' (t )] +[ y ' (t )] dtj ∂z 
2 2
∂x ∂y ∂z  ∂y   ∂x ∂z  
C a M N P
SI C ESTA DADA POR r (t ) = x (t )i + y (t ) ˆ + z (t ) k
ˆ j ˆ
b
∫ f ( x, y, z )ds = ∫ f ( x(t ), y (t ), z (t )) [ x' (t )]2 + [ y ' (t )]2 + [ z ' (t )]2 dt
C a
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO,
SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES: ENTONCES
1. − F ES CONSERVATIVO. ESTO ES F = ∇f PARA ALGUNA f f ( x(b), y (b)) − f ( x ( a ), y ( a ))
∫ F ⋅ dr = C ∇f ⋅ dr =
∫
2. − ∫ F ⋅ dr ES INDEPENDIENTE DEL CAMINO
C
C
DONDE f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR:
F ( x, y ) = ∇ ( x, y )
f
3. − ∫ F ⋅ dr = 0 PARA TODA CURVA C CERRADA
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES
C
ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA. ∂M ∂N
divF ( x, y ) = +
AREA DE LA SUPERFICE = ∫∫ dS = ∫∫ ru × rv dA ∂x ∂y
S D
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F
∂x ∂y ∂z ˆ ∂x ∂y ∂z ˆ ∂M ∂N ∂P
DONDE : ru = i+
ˆ ˆ+
j k , rv = i + ES ˆdivF (k , y , z ) = ∂x + ∂y + ∂z
ˆ j+ x
∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v
TEOREMA DE GREEN INTEGRALES DE SUPERFICIE
 ∂N ∂M 
∫ Mdx + Ndy = ∫∫ ∂x


−
∂y
dA


z = g ( x, y )
[ ]
C R
ds = 1 + [ g x ( x, y )] + g y ( x, y ) dA
2 2
 ∂N ∂M 
∫ F ⋅ dr = ∫∫ 
 ∂x − dA = ∫∫ rot ( F ) ⋅ k dA
∂y 
ˆ
[
f ( x, y , z )dS = ∫∫ f ( x, y, g ( x, y )) 1 + [ g x ( x, y )] + g y ( x, y ) dA Forma e ]
∫∫
2 2
C R   R
∫ F ⋅ N ds = ∫∫ div( F ) dA
S R
C R ∫∫ F ⋅ N [
dS = ∫∫ F ⋅ − g x ( x, y ) i − g y ( x, y ) ˆ + k dA
ˆ j ˆ ] Forma vectorial ( nor
S R
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS). Forma paramétrica
Relaciona una integral triple sobre una región
sólida Q, con una integral de superficie sobre la ∫∫ f ( x, y, z )dS = ∫∫ f ( x(u, v), y(u, v), z (u, v))dS Forma escalar
superficie de Q S D
∫∫ F ⋅ N dS = ∫∫ F ⋅ [ ru × rv ]dA Forma vectorial
∫∫ F ⋅ N dS = ∫∫∫div( F )dV
S Q
S R
TEOREMA DE STOKES.
Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada
que constituye el borde de S.
∫ F ⋅ dr = ∫∫ (rot ( F )) ⋅ N dS
C S