Este documento describe los conceptos fundamentales del movimiento curvilíneo y circular. Explica que en un movimiento curvilíneo la posición está dada por una curva paramétrica y define los vectores de velocidad y aceleración. También describe cómo se pueden descomponer la velocidad y aceleración en componentes tangenciales y normales. Finalmente, analiza el movimiento circular uniforme y en coordenadas polares.

1. 1
Movimiento curvilíneo
Es aquel tipo de movimiento en que la trayectoria es una curva, la posición de la partícula en un instante
cualquiera, está dada parenéticamente esto es, donde el vector de posición es
    
r r t x t i y t j z t k
En el instante t, el móvil se encuentra en el
punto A, o en otras palabras, su vector posición

es r y en el instante t' se encuentra en el punto


B, su posición viene dada por el vector ri
Diremos que el móvil se ha desplazado
  

r ri r en el intervalo de tiempo t=t'-t.
Dicho vector tiene la dirección de la secante
que une los puntos A y B
Vector velocidad media
El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento r y el tiempo que
ha empleado en desplazarse t.
 

 
 ri r
v vm
ti t
El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los
puntos A y B, cuando se calcula la velocidad media <v> entre los instantes t y t1.
Vector velocidad instantánea
El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo
tiende a cero.

   
 ri r r dr
v lim lim
t o ti t t o t dt
Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección
del vector velocidad media, la recta secante que une el punto A, con el punto B tiende hacia la tangente
a la trayectoria en el punto A. En el instante t, el móvil se encuentra en A y tiene una velocidad v cuya
dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.
Si el movimiento se efectúa a lo largo de la curva C en termino del parámetro s donde s es la distancia
recorrida por la partícula con respecto al punto O, donde la forma paramétrica queda especificada por
x x s , y y s , z z s

2. 2
    
En forma vectorial r r s x s i y s j z s k

 ds x y  z  ds r
Derivando para hallar la velocidad v i j k
dt t t t dt t
  
r x y  z  
v ve
Si i j k e entonces
t t t t
donde representa a un vector unitario tangente a la curva en el punto A y apunta en la dirección en que “s”
crece
Vector aceleración
En el instante t el móvil se encuentra en A y tiene
una velocidad v cuya dirección es tangente a la
trayectoria en dicho punto.
En el instante t i el móvil se encuentra en el punto B

y tiene una velocidad v i .
El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto
en módulo como en dirección, en la cantidad dada
  
por el vector diferencia v vi v
Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad v y el intervalo de

  vi v
tiempo t=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio. a am
ti t
 
 vi v v dv
Y la aceleración a en un instante a lim lim
t o ti t t o t dt
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo son
    
r r t x t i y t j z t k
  dx t  dy t  dz t 
v v t i j k
dt dt dt
  dvx t  dv y t  dvz t 
a a t i j k
dt dt dt

3. 3
Componentes tangencial y normal de la aceleración
Consideremos una partícula que describe la
trayectoria mostrada en la figura.
En un instante t la partícula se encuentra en la

posición A con una velocidad v y es tangente a la

trayectoria y una aceleración a que está dirigida
hacia el lado cóncavo de la trayectoria,
Descomponemos la aceleración de tal forma que una
componente será paralela al vector velocidad, la


cual llamaremos aceleración tangencial a T , y será
responsable del cambio de magnitud de la velocidad.
La otra componente será perpendicular a ella, la

cual llamaremos aceleración normal a N y produce
. un cambio en la dirección de la velocidad
La velocidad se puede expresar de la siguiente
 
 

manera v v eT donde eT es un vector unitario
tangente a la trayectoria en el punto A, entonces la
aceleración es
 
 

 dv d v eT d v 
 d eT
a eT v
dt dt dt dt
*1
Se observa en el grafico que

 
 
uT u x co s u y sen
 
 
uN u x sen u y co s
.


d uT 
 d  d 
  d  d
u x sen u y cos u x sen u y cos uN
dt dt dt dt dt
d d ds d
v
dt ds dt ds
d 1
Pero ds d
ds

4. 4
d v
Lo cual se obtiene la cual lo reemplazamos en la ecuación
dt


d uT  d v 
uN uN
dt dt
Este resultado lo reemplazamos en *1


 d v 
 d eT d v 
 v
2 

a eT v eT eN
dt dt dt
 
 
 dv v
2
a a T eT a N eN aT , aN
dt
Movimiento circular
Se define movimiento circular como aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Este movimiento es
un caso particular del movimiento curvilíneo esto es que a T 0 , a N 0
Posición angular,
La distancia recorrida por la partícula a través de una
circunferencia de radio R está dada por S R , de donde
se obtiene que
ds d R dR d d
v R R
dt dt dt dt dt
la cantidad
d
dt
Se denomina Velocidad angular, cuyas unidades son
radianes por segundo
La velocidad queda de la siguiente forma v R

5. 5
Movimiento Circular Uniforme
Periodo.- (P): Es el tiempo requerido para realizar una vuelta completa o revolución
t tiem po transcurrido
P
n num ero de vueltas
Frecuencia.- (γ).- Es el numero de revoluciones por unidad de tiempo es decir
n num ero de vueltas
f
t tiem po transcurrido
f tf tf
d dt dt f o
t to
o to to
Nota: para una revolución completa
2
2 2 f
P
Aceleración angular,
Si en el instante t, la velocidad angular del móvil es
o y en el instante t’, la velocidad angular del móvil
es f .
La velocidad angular del móvil ha cambiado
f o en el intervalo de tiempo
t tf to comprendido entre t y t'.
Se denomina aceleración angular media al cociente entre
el cambio de velocidad angular y el intervalo de tiempo
que tarda en efectuar dicho cambio.

6. 6
f o
m
tf to
La aceleración angular en un instante, se obtiene calculando la aceleración angular media en un
intervalo de tiempo que tiende a cero.
d
lim
t o t dt
2
d
2
dt
Cuando la aceleración angular es constante se tiene
t
d dt o
t to
o to
d d
Si o
t to
dt dt
1 2
Entonces se tiene o o
t to t to
2
La cual representa la posición angular de la partícula en cualquier instante.
Movimiento en coordenadas polares
La localización de una partícula , viene expresado mediante
el radio de posición esto es
 

r r ur
Se observa en la grafica x r cos y r sen
y y x
a rtg a rcsen a r co s
2 2 2 2
x x y x y
Se define los vectores unitarios
  
u u X sen u Y cos

  
ur u X cos u Y sen

7. 7

du   o  o
si u X sen u Y co s u
dx
 
 

 dr d r ur d ur  d r
 o  o 

la velocidad será v r ur r u r ur
dt dt dt dt
 o
 o  
 
v r ur r u vr u r v u
o
Donde r vr velocidad radial
o
r v velocidad tangencial
 
 
 dv d vr u r v u oo o 
 oo o o 
2
La velocidad será a r r( ) ur r 2r u
dt dt
 
 
a ar u r a u
oo o
2
Donde ar r r( ) velocidad radial
oo o o
a r 2r velocidad tangencial