Movimiento circular uniforme

7
C.T.A.
"Tu Misericordia Señor nos lleva a ser Luz en Nuestras Bodas de Oro"
7 Movimiento Parabólico
Movimiento Compuesto
Principio de la Independencia de los
Movimientos
Movimiento Parabólico de Caída Libre
En todo movimiento compuesto, cada movimiento
individual se comporta como si los demás no existieran, es
decir, el desarrollo de un movimiento no afecta para nada
el desarrollo del otro movimiento.
Son aquellos movimientos que están conformados por
dos o más movimientos simples.
Es aquel movimiento compuesto que está conformado
por un movimiento rectilíneo uniforme y un movimiento
vertical de caída libre. Al igual que en todo movimiento
compuesto, los movimientos individuales son totalmente
independientes.
En la figura se muestra un cuerpo lanzado en A de
manera horizontal con velocidad Vx, que se mantendrá
constante a lo largo del movimiento; en el movimiento
vertical se observa que la velocidad vertical en A es nula
(Vy = 0), pero a medida que el cuerpo cae, esta velocidad
va aumentando de valor. Las distancias recorridas tanto en
el eje vertical como en el horizontal se han efectuado en
intervalos de tiempos iguales.
dddd
Vx
Vx
Vx
Vx
Vx
A
B
V1
V2
V3
V4
1k
3k
5k
7k
9k
Tiro
Semiparabólico
Donde:
k =
g
2
g
Recuerda
Todos los tiros semiparabólicos causados por la
gravedad se resuelven con las siguiente relaciones:
a) Movimiento Vertical : y = gt2
b) Movimiento Horizontal : x = Vx
. t
1
2
TIRO PARABÓLICO
Un cañón dispara un proyectil desde A con una
velocidad V0
y una inclinación θ, tal como muestra la figura.
Por efecto de la gravedad, a medida que el proyectil sube de
manera inclinada, se ve forzado a bajar, retornando al piso
en B.
d d d d
B
A
V2x
V2
β
H
V2y
Vx
M
V1V1y
Vx
α
V0
V0y
Vx
L
g
θ

8
4to Secundaria
3. Alcance horizontal
L =
2. Altura máxima
H =
En el punto A, los componentes de la velocidad son:
• Componente horizontal: Vx
= Vi cos θ
• Componente vertical inicial: Vy
= Vi sen θ
Además se verifica:
• α = β
• |V1y
| = |V2y
|
• |V1
| = |V2
|
Del gráfico podemos concluir además:
a) En el movimiento horizontal, la componente Vx
permanece constante, pues de acuerdo con el principio
de independencia de los movimientos, no se ve afectado
por la gravedad que actúe en el eje vertical. La ecuación
de movimiento horizontal estará dado por:
b) En el movimiento vertical se observa que la componente
vertical de la velocidad (Vy
) va disminuyendo a medida
que el cuerpo sube, se anula en el punto «M» de
máxima altura, y a continuación cambia de dirección y
va aumentando gradualmente a medida que el cuerpo
desciende.
Las ecuaciones vectoriales del movimiento vertical:
• Para la velocidad vertical : Vfy
= Viy
+ gt
• Para el desplazamiento vertical :
Y = Viy
. t + gt2
• La velocidad total del proyectil es siempre tangente
a la parábola en cualquier punto y su valor a
determinar es:
|VT
| = Vx
2
+ Vfy
X = Vx
. t
FÓRMULAS ESPECIALES
1. Tiempo de vuelo
T =
2V0
sen θ
g
V0
2
sen2
θ
2g
V0
2
sen2 θ
g
2
• Relación entre la altura máxima y el alcance
horizontal.
tgθ =
• Relación entre la altura máxima y el tiempo de
vuelo.
H =
• Si dos cuerpos son lanzados con velocidades de
igual módulo (V0
) y con distintas inclinaciones
α y β, de manera que los alcances horizontales
sean iguales, en los dos casos se verifica que:
α + β = 90º
(2)
(1)
α
β
V0
V0
L1
= L2
Observación
gt2
8
4 H
L
1
2
a La velocidad es una magnitud vectorial (tiene
módulo y dirección).
a La velocidad es relativa y depende del sistema de
referencia.
Recuerda

9
C.T.A.
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Se lanza un cuerpo como indica la figura. Halla
la velocidad en el punto más alto.
Resolución:
45°
V=30 2 m/s
Calcula el alcance PQ. (g = 10 m/s2
)
Resolución:
90 m/s
30°
P
Q
30°
Halla la longitud del plano inclinado si la pelo-
tita se lanza en forma horizontal con V=20m/s.
(g = 10 m/s2
)
45°
V
Resolución:
Para el gráfico mostrado, deter–mina el tiempo
empleado desde «M» hasta «N» si v=60m/s.
30°
60°
VM
N
Resolución:

10
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6 En la figura, calcula «α». (g = 10 m/s2
)

Resolución:
45°
α
V
7. Un proyectil se mueve siguiendo la trayectoria
parabólica mostrada. Si tAB
= 3s, determina el
tiempo que demora en ir de «A» hasta «D».
θ
2d 2d dd
B
C
D
A
Hallar V0
para que el proyectil impacte en for-
ma perpendicular al plano inclinado.
(g=10 m/s2
).

Resolución:
V0
170m
53°
9. En la figura mostrada, en el mismo instante que se
abandonalaesferita«A»selanzalaesferita«B»conuna
velocidad«V0
».Determinaelángulodelanzamiento,tal
que, las esferitas A y B colisionen en el punto P.
A
40m
B
V0
θ
30m
8. Ronaldo patea una pelota en la gran final, y ésta
choca en el travesaño justo cuando alcanza su
altura máxima. Halla el ángulo de elevación con
que se pateó.
2,5m
5m
V
θ
10. Dos proyectiles se lanzan simultá–neamente desde las
posicionesmostradas.HallaH,demodoqueelproyectil
«B» llegue también al punto «E» (g = 10 m/s2
).
37°
25m/s
20m/s
H
B
E

11
C.T.A.
11. Desde las posiciones mostradas, dos cuerpos son
lanzadossimultáneamenteconigualrapidez.Siéstos
prácticamente chocan en «O», determina «θ».
100m
V
O
θ
θ
50m
12. Un proyectil se lanza tal como se indica. Halla
«V», de tal manera que la distancia «d» tome
su mínimo valor (g = 10 m/s2
).
37°
V
240m 135m
d
1. Si V = 10 m/s y g =10 m/s2
, halla la velocidad
del proyectil después de 1s.
V
a) 10 m/s b) 20 m/s
c) 10 3 m/s
d) 10 2 m/s e) 5 m/s
2. Se lanza el cuerpo como indica la figura, halla
la velocidad después de 3 s.
V
40m
a) 40 m/s b) 30 m/s
c) 50 m/s
d) 70 m/s e) 30 2 m/s
4. Se lanza un cuerpo como indica la figura. Halla
la velocidad en el punto más alto.
a) 40 m/s b) 50 m/s
c) 0
d) 30 m/s e) 20 m/s
37°
V=50m/s
3. En la gráfica, halla el valor de la velocidad con
la que fue lanzado.
V0
50m/s
37°
a) 30 m/s b) 40 m/s
c) 50 m/s
d) 50 2 m/s e) 30 2 m/s

12
4to Secundaria
7. En la gráfica mostrada, determina el tiempo
que el cuerpo demora en caer.
V
45m
a) 1 s b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s e) 5 s
9. Un proyectil se lanza con una velocidad de
30 2m/s. Si impacta en la ventana de un edi-
ficio con 50 m/s, halla x (g = 10 m/s2
).
a) 70 m b) 30 m
c) 140 m
d) 210 m e) 230 m
11. Calcula la distancia AB. (g = 10 m/s2
)
a) 16 m b) 8 m
c) 32 m
d) 45 m e) 56 m
37°
A
B
16 2m/s
8°
12. Se muestra el lanzamiento parabólico de una
pelota elástica. Halla el tiempo para el trayecto
BC si para el trayecto AB se emplea 16 s.
a) 1 s b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s e) 5 s
10. Calcula el ángulo θ.
a) 30° b) 37°
c) 45°
d) 60° e) 53°
V
x
4x
θ
8. En la gráfica mostrada, determina el tiempo
que el cuerpo demora en caer.
V
80m
a) 1 s b) 2 s
c) 3 s
d) 4 s e) 5 s
5. Se lanza un cuerpo como indica la figura.
Halla su velocidad después de 1 s.
a) 40 m/s b) 30 m/s
c) 0
d) 30 2 m/s e) 40 2 m/s
53°
V = 50 m/s
6. Un proyectil se lanza con una velocidad de
50 m/s. Halla la velocidad con la que impacta
en la pared (g = 10 m/s2
).
a) 10 m b) 10 5 m
c) 20 5 m
d) 20 m e) 40 m
200m
37°
x
45°
V
x7x
C
B
V
A

13
C.T.A.
8 MovimientoCircunferencial
Uniforme I
Introducción
1. VELOCIDAD ANGULAR (ω)
Cuando una partícula describe una circunferencia de
manera que recorre arcos iguales en tiempos también
iguales, decimos que la partícula posee un movimiento
circular uniforme.
Es aquella magnitud vectorial que representa el ángulo
que gira la partícula en el centro de su trayectoria en cada
unidad de tiempo. La velocidad angular se representa
mediante un vector perpendicular al plano de rotación,
y su módulo permanece constante si el movimiento
circular es uniforme.
‘‘Movimiento de
rotación uniforme’’
Enestamontañarusa,notalacurvadelmovimiento.
ω = constante
O
θ
θ
θ
T
T
T
θ
t
ω =
rad
s
Unidad:
a. Período (T)
b. Frecuencia (f)
Se define como el tiempo que emplea una partícula en
realizar una vuelta, y se mide en segundos
Nos indica la cantidad de vueltas que realiza una
partícula en cada unidad de tiempo. La frecuencia es lo
inverso del período y se mide en rps.
θ = 2π rad
ω = 2πf
t = Τ
[f = frecuencia]
Para una
revolución
ω =
2π
T
[T = Período]
Es aquella magnitud vectorial que representa el arco
recorrido por el móvil, en cada unidad de tiempo.
La velocidad tangencial está aplicada al mismo cuerpo que
gira y como su nombre lo indica, siempre es tangencial a la
circunferencia, además, su módulo permanece constante si
el movimiento es uniforme.
2. VELOCIDAD TANGENCIAL (Vt)
ω
O
Vt
Vt
Vt
Vt
ac
ac
ac
ac
ac
VT
; ac
ω
VT
= S
t
m
s
Unidad:

14
4to Secundaria
Eje de giro
VT
= ωr
m
s
O
Vt
ω
s
r
t
Unidad:
ac = =
3. ACELERACIÓN CENTRÍPETA (ac)
Es aquella cantidad vectorial que representa el cambio de
dirección que experimenta la velocidad tangencial.
En todo movimiento circular, la aceleración centrípeta
siempre es radial y su sentido es hacia el centro de la
trayectoriacircunferencial.Sumódulopermanececonstante
si el movimiento es uniforme.
ω2
.r
VT
2
r
Aceleración centrípeta en los juegos
mecánicos.
Ejemplo :
La Luna gira alrededor de su eje en 27 días y 11 horas.
UNIDADES DE MEDIDA
SÍMBOLO MAGNITUD MAGNITUD DE MEDIDA
ω velocidad angular radianes por segundo rad/s
θ ángulo barrido radianes rad
t tiempo segundo s
v velocidad lineal metro por segundo m/s
S arco recorrido metro m
T período segundo s
f frecuencia revolución por segundo rps
R radio metro m
a
c metros por segundo al cuadrado m/s2
aceleración centrípeta

15
C.T.A.
EJERCICIOS RESUELTOS
Radio = 0,5 m
ω = 120 rpm
Recordamos : 1 rev = 2p rad
1 min = 60s
ω = 120 x
ω = 4π rad/s
Velocidad lineal:
V = ωR
V = 4π m
V= 2π m/s π = 3,14
V = 2(3,14) m/s ∴V = 6,28 m/s

2π rad
60s
ω =
ω = = 0,4 rad/s
1. Una partícula describe un arco de 40 cm con MCU
en 10 s. Halla su rapidez angular si el radio de su tra-
yectoria es de 10 cm.
a) 0,20 rad/s b) 0,35 rad/s c) 0,80 rad/s
d) 0,40 rad/s e) 0,25 rad/s
R=10cm
40cm=S
tiempo=10s
θ
Resolución:
Sabemos : V = ωR
y también: V =
Igualando las fórmulas:
S
t
S
Rt
40cm
10cm x 10s
Rpta.: Clave «d»
2. La esferita mostrada gira uniformemente a razón de
120 rpm. Si la cuerda que la sostiene tiene una longi-
tud de 1m, halla la rapidez lineal de la esferita.
a) 2,28 m/s b) 3,14 m/s c) 4,71 m/s
d) 5,34 m/s e) 6,28 m/s
30°
1m
( )( )
Descomponemos las longitudes del triángulo notable.
30°1m
0,5m
rad
s
1
2
Rpta.: Clave «e»
Resolución:
S
t
= ωR
3. Los puntos periféricos de un disco que gira uniforme-
mente se mueven a razón de 40 cm/s y los puntos que
se encuentran a 2cm de la periferie giran a 30 cm/s.
¿Qué radio tiene el disco?
a) 4 cm b) 8 cm c) 12 cm
d) 16 cm e) 20 cm
Recordamos:
La periferie es el punto más alejado del disco (el borde).
Además: Radio =
R = ⇒ D = 2R
Diámetro
2
D
2
Resolución:

16
4to Secundaria
( )
Como los puntos pertenecen al mismo disco, entonces
tienen la misma velocidad angular:
ω =
ωA
= ωB
=
=
4R – 8 = 3R
R = 8cm
V
R
40
R
30
R–2
Rpta.: Clave «b»
R
R
30cm/s
40cm/s
A
B
R=2cm
VA
VB
RA
RB
4. Desde qué altura se debe dejar caer una piedra para que
pase por el agujero cuando el disco haya girado 3 vueltas.
La rapidez angular del disco es 6π rad/s (g = 10 m/s2
).
a) 2,0 m b) 5,0 m c) 3,0 m
d) 1,5 m e) 2,5 m
h
ω
El disco va a girar y dar 3 vueltas en un tiempo; el mismo
tiempo que la piedra tarda en caer. Hallemos el tiempo.
3 vueltas → 3(2π rad) = 6π rad
ω = ⇒ t =
t =
t = 1s
En ese tiempo la piedra debe de recorrer la altura «h».
h = x; Vi
= 0, t = 1, g = 10 m/s2
h = Vit + gt2
x = 0 x 1 + x (10)(1)2
h = 5 m
θ
t
θ
ω
6π rad
6π rad/s
1
2
1
2
Rpta.: Clave «b»
5. La llanta mostrada rueda sin resbalar. Si la rapidez de
su centro es 5 m/s, halla el valor de la velocidad en el
punto «B».
a) 3 m/s
b) 4 m/s
c) 5 m/s
d) 6 m/s
e) 8 m/s
37°
B
Según el gráfico sabemos que el punto «A» es tomado
como centro de giro.
5k5m/s
2,5k3k
B
A
2,5k
37°
4k
VB VC
rC
=2,5k
rB
=4k
Resolución:
Resolución:
( )
ωA
= = =
ωA
= VB
= ωA
x rB
VB
= (4k)
VB
= 8 m/s
VC
rC
5m/s
2,5 k
2
k
m
s
VB
rB
2
k
m
s
Rpta.: Clave «e»
Interesante
Cuandonosfijamosenelmovimientodeunapiedraatadaa
unacuerda,oenelquetieneunpuntodelaspadeunmolino
girando,oenelquedesarrollaunpuntoenlaTierrarespecto
al eje terrestre, o en el que tiene la Tierra respecto al centro
del Sol, estamos hablando de movimientos curvilíneos.

17
C.T.A.
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
R = 4m
V
La partícula mostrada se encuentra girando a
10 rad/s. Calcula su velocidad tangencial.
Resolución:
R = 2m
V
La partícula mostrada se encuentra girando a
12rad/s. Calcula su velocidad tangencial.
Resolución:
Si la rueda A gira con un período de 20 s,
¿con qué velocidad desciende el bloque B?
A
B
0,8m
Resolución:
El hemisferio mostrado gira a razón de 3 rad/s.
Halla la velocidad tangencial del punto “P”.
Resolución:
R = 5m
P
37º
ω

18
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6La figura muestra el MCU de un móvil con un
período de 24 s. ¿Qué tiempo tarda el móvil
para ir de «A» hacia «B»?

Resolución:
30°
(B)
(A)
La esferita mostrada gira uniformemente a razón
de 120 rpm. Si la cuerda que la sostiene tiene
una longitud de 1 m, ¿qué velocidad lineal tiene
la esferita?
Resolución:
30°
L ω
7. Dos móviles parten simultáneamente con velo-
cidades constantes de ωA
=4π rad/s y ωB
= 2
π rad/s. ¿Luego de qué tiempo se encontraron?
8. Determina con qué velocidad angular gira la
rueda «B», sabiendo que la rueda «A» tiene
una velocidad angular de 30 rad/s.
B A
20cm 30cm
10. El engranaje «B» posee una velocidad de 10
rad/s. ¿Cuál es la velocidad del engranaje «C»?
(RA
=0,2m, RB
=0,5 m; RC
=0,4 m).
11. ¿Conquévelocidadestádescen–diendoelbloque?
A
BC
100rad/s
R
12. Determina la velocidad del bloque si R= 5 cm y
además ω= 4 rad/s.
9. Una partícula que está girando con MCU tiene
una velocidad angular de 4 rad/s. ¿Qué ángulo
habrá girado en un minuto?
C
B
A

19
C.T.A.
5. ¿Cuál será la velocidad angular del segundero
de un reloj de agua?(en rad/s)
a)
π
12
b)
π
40
c)
π
30
d)
π
20
e)
π
50
1. Si un disco emplea 10 s en dar media vuelta,
¿cuál será su período?
a) 5 s b) 10 s c) 20 s
d) 25 s e) 50 s
2. Un disco da 100 vueltas en 50 s. Calcula la
frecuencia del disco.
a) 1 rps b) 2 rps c) 3 rps
d) 4 rps e) 5 rps
3. El período de giro de un dispositivo mecánico
es 1 s. Halla la frecuencia.
a) 0,1 rps b) 10 rps c) 0,5 rps
d) 50 rps e) 100 rps
4. El período de giro de una partícula es de 5 s.
Halla la frecuencia.
a) 2 rps b) 0,2 rps c) 0,5 rps
d) 5 rps e) 0,1 rps
6. ¿Cuál será la velocidad angular del minutero de
un reloj de agua?(en rad/s)
a)
π
450
b) π
3000
c)
π
1800
d)
π
800
e)
π
3600
V
R = 4m
9. La partícula mostrada se encuentra girando a
8rad/s. Calcula su velocidad tangencial en m/s.
a) 24 b) 36 c) 32
d) 40 e) 42
8. Una partícula que está girando con MCU tiene
una velocidad angular de 3 rad/s. ¿Qué ángulo
habrá girado en dos minutos?
a) 300 rad b) 340 rad c) 360 rad
d) 400 rad e) 450 rad
7. Una partícula que describe una trayectoria
circular gira 270º en 3 s. Halla su velocidad
angular.
a)
3π
2
rad
s
b) 90
rad
s
c)
rad
s
π
2
d) π
rad
s
e) 2π
rad
s
10. Un cilindro de 20 cm de radio gira en torno a
su eje con una frecuencia de 75 rpm. ¿Cuál es la
velocidad tangencial de los puntos de superficie?
a) 0,3π m/s b) 0,4π m/s c) 0,5πm/s
d) 0,6π m/s e) 0,8πm/s
11. Jaimito está volando una cometa que durante
3,14 s describe en el cielo un arco de 18°. ¿Cuál
es la velocidad tangencial de la cometa si la
longitud del hilo que la sostiene es de 60 m?
a) 3 m/s b) 6 m/s c) 8 m/s
d) 12 m/s e) 15 m/s
12. Si una partícula gira con un período de 5 s, des-
cribiendo una circunferencia de 10 m de radio,
¿cuál es el módulo de su aceleración centrípeta?
(π2
= 10)
a) 4 m/s2
b) 8 m/s2
c) 12 m/s2
d) 16 m/s2
e) 20 m/s2

20
4to Secundaria

21
C.T.A.
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTO
R
A
r
B
V
A
= V
B
ω
A
. R
A
= ω
B
. R
B
r
BR
A
I.
A
r

R

B r
A
B
R
ωB
ωA
ω
A
= ω
B
V
A
R
A
V
B
R
B
=
II.
1. Un par de poleas de radios R y r (r = R/4) giran por
acción de una faja. Si el movimiento de cada polea es
uniforme y el período de rotación de la polea mayor es 4
segundos, ¿cuál es el período (en segundos) de la polea
de radio menor?
r
R
a) 1 s b) 2 s c) 4 s
d) 8 s e) 16 s
Al tratarse de una faja, ésta no se estira, por eso cada punto
de la faja tiene la misma velocidad lineal.
Resolución:
9 Movimiento Circunferencial
Uniforme II
OBJETIVOS:
a Reconocer los tipos de acoplamientos mecánicos.
a Utilizar apropiadamente la transmisión del movimiento.
VA
= VB
ωA
r = ωB
R
Además ω =

. = (R)
TB
= 4TA
4s = 4(TA
) ⇒ TA
= 1s
( )
Rpta.: Clave «a»
VBVAA B
R
A
r
ωA
ωB
B
2π
TA
R
4
2π
TB
2π
T

22
4to Secundaria
ω1
x R1
= ω4
x R4
ω4
= ... (α)
ω4
= ω5
... (β)
Por ser poleas con eje de giro común.
También:
V6
= V5
→ Por la faja
ω6
R6
= ω5
R5
ω6
= de (β) ω4
= ω5
ω6
=
De (α): ω4
=
2. Las poleas ingrávidas giran a razón de 0,25 rad/s y los
bloques inicialmente están en un mismo nivel hori-
zontal. Después de 3s, halla la distancia de separación
entre los bloques. (R = 16cm y r = 8cm)
a) 18 cm
b) 24 cm
c) 26 cm
d) 28 cm
e) 30 cm
A
B r
R
Nivel
Horizontal
Hallamos la velocidad lineal de «A» y «B».
VA
= ωA
R VB
= ωB
r
Pero:
ωA
= ωB
= 0,25 rad/s = 1/4 rad/s
VA
= (16cm)
VA
= 4 cm/s
VB
= (8cm)
VB
= 2 cm/s
Resolución:
1
4
rad
s
1
4
rad
s
P
4cm/s
Q
2cm/s
Nivel
Si cada segundo se alejan 6 cm; entonces en 3s se
alejaron 18 cm.
Rpta.: Clave «a»
3. Si la rapidez angular de la polea «1» es 16 rad/s, halla la
rapidez angular de la polea «6».
R4
R5
R3
R2
R1
R6
Resolución:
Utilizaremos: V = ωR
Por simple inspección
V1
= V2
= V3
= V4
(por ser tangentes)
ω
1
x R1
R4
ω
5
x R5
R6
ω
4
x R5
R6
ω
1
x R1
R4
( )
ω6
=
=
ω6
=
ω6
=
ω
1
x R1
R4
R5
R6
ω
1
x R1
x R5
R4
x R6
(16 rad/s) (2 cm) (1 cm)
(4 cm) (6 cm)
4
3
rad
s Rpta.: Clave «d»
4. Si la aguja del minutero del reloj de la catedral tiene una
longitud de 60 cm, halla su velocidad lineal en cm/s.
a) π/10 b) π/20 c) π/30
d) π/40 e) π/50
El período de giro del minutero es 1 hora.
T = 1 hora = 3600 s
Sabemos: ω = =
V = ωR → V = x 60cm
V =
2π
T
2πrad
3600s
2π
3600s
π
30
cm
s
Rpta.: Clave «c»
Resolución:
R1
= 2 cm R2
= 8 cm
R3
= 4 cm R4
= 4 cm
R5
= 1 cm R6
= 6 cm
a) 2 rad/s b) 1/3 rad/s c) 2/3 rad/s
d) 4/3 rad/s e) 1 rad/s

23
C.T.A.
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Si la velocidad angular del disco “A” es 9 m/s,
halla la velocidad angular del disco “B”.
Resolución:
4m
A
3m
B
Si la velocidad angular de “A” es 9 rad/s, halla
la velocidad angular de “B”.
Resolución:
4m 3m
BA
Si el bloque “A” tiene una velocidad de 60 cm/s,
¿cuál será la velocidad de “B” si las poleas son
ingrávidas.
Resolución:
3R
R
A
B
Si la ω1
= 4 rad/s, ¿qué velocidad tangencial
tienen los puntos periféricos de “3”?
(R1
=12cm; R2
=6cm; R3
=8cm)
Resolución:
3
2 1
ω
ω

24
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6
B
A
1 m
3 m
Halla la diferencia entre las velocidades
tangenciales de los puntos “A” y “B” que se
encuentran girando sobre un disco cuya velo-
cidad angular es 12 rad/s.
Resolución:
A B
C
5m
3m
1m
Si la velocidad angular de “A” es 2 rad/s, halla
la velocidad tangencial de “C”.
Resolución:
7. Si la velocidad tangencial de “A” es 12 rad/s, halla
A 7m
B
4m 6m
C
ω
1
2
o
10. La figura muestra esquemá-ticamente a un disco
rotando con velocidad angular constante. Si los
puntos 1 y 2 distan del centro “O” 1,5 cm u 3 cm,
respectivamente, la relación de sus rapideces V1/
V2 será:
8. Halla la velocidad angular con que gira la rueda
“C” si la rueda “A” gira a razón de 4π rad/s.
8cm
VB
VA
9. Si la VA= 3VB, determina el radio de la polea
menor. Además se sabe que el sistema gira con
velocidad angular constante.
5m
4m 2m
A B C

25
C.T.A.
11. Lapartículamostradaseencuentragirandoa8rad/s.
Calcula su velocidad tangencial en m/s.
V
R=4m
12. Si la velocidad tangencial de “A” es 10 m/s, halla
60m
B
20m
A
6m
A
4m
B
1. Si la velocidad angular del disco “A” es 18 m/s,
a) 2 rad/s b) 4 rad/s c) 6 rad/s
d) 8 rad/s e) 10 rad/s
2. Si la velocidad angular del disco “A” es 8 rad/s,
a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s
d) 8 m/s e) 10 m/s
9m
2m
B
A
3m
7m
A
B
3. Si la velocidad tangencial del disco “A” es 18 m/s,
halla la velocidad tangencial del disco “B”.
a) 6 m/s b) 8 m/s c) 10 m/s
d) 12 m/s e) 14 m/s
A 5r
B
3r 2r
C

26
4to Secundaria
a) 6 m/s b) 8 m/s c) 10 m/s
d) 12 m/s e) 16 m/s
12. ¿Con qué velocidad desciende el bloque si el período
de rotación de «C» es de π/50 s?
(RC
= 2RB
= 4RA
=40 cm)
a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s
d) 20 m/s e) 25 m/s
A
4m
C 5m
B
2m
5m
C A6m
B2m
6. Si la velocidad tangencial de “B” es 10 m/s, halla
a) 10 m/s b) 15 m/s c) 20 m/s
d) 25 m/s e) 30 m/s
7. Si la velocidad angular de “C” es 12 rad/s, halla la
velocidad tangencial de “B”.
a) 10 m/s b) 40 m/s c) 20 m/s
d) 50 m/s e) 30 m/s
5R 2R
BA
8. Si la velocidad angular de “B” es 25 rad/s, halla la
velocidad angular de “A”.
9. Determina con qué velocidad angular gira la rueda
«B», sabiendo que la rueda «A» tiene una velocidad
angular de 30 rad/s.
B A
20cm 30cm
10. Determina con qué velocidad angular gira la rueda
«B», sabiendo que la rueda «A» tiene una velocidad
angular de 60 rad/s.
a) 45 rad /s b) 80 rad /s c) 60 rad /s
d) 40 rad /s e) 90 rad /s
24cm18cm
(B) (A)
11. En la figura, el bloque «A» sube a 10 m/s. ¿Con qué
velocidad sube el bloque «B».
RB
=2RA
= 20cm?
a) 5 m/s b) 10 m/s c) 15 m/s
d) 20 m/s e) 25 m/s
B A
(C)
A
r
B
3r

27
C.T.A.
10 Estática I
OBJETIVOS:
a Conocer e interpretar las leyes de Newton.
a Saber las condiciones para el equilibrio.
a Dibujar correctamente las fuerzas que actúan sobre un cuerpo.
ESTÁTICA
Es aquella parte
de la mecánica
que estudia la
condición de las
fuerzas aplicadas
a un cuerpo y
el equilibrio que
éste posee.
FUERZA
Es aquella cantidad vectorial que mide el grado de interac-
ción entre los cu-erpos del universo, también, la fuerza es
el agente que produce movimiento o deformación de los
cuerpos.
Por su naturaleza las fuerzas pueden ser: gravitacionales,
electromagnéticas, nucleares y pueden ser a distancia o
por contacto.
Su nombre griego original es dina, y aunque su definición
actualmente se encuentra en revisión, podemos decir que
se trata de una magnitud física de tipo vectorial, porque
además de una intensidad (valor) posee una dirección y
un punto de aplicación, y surge cada vez que dos cuerpos
interactuán, ya sea por contacto o a distancia. Por lo general
asociamos la idea de fuerza con los efectos de jalar, empu-
jar, comprimir, tensar, atraer, repeler, etc. Así cada vez que
jalamos un cuerpo, decimos que estamos aplicando una
fuerza; del mismo modo cuando colocamos un libro sobre
una mesa, decimos que el libro comprime a la mesa con una
fuerza determinada.
Interacción por
contacto
Interacción a
distancia
Uno de los bloques de piedra que conforman la for-
taleza de Sacsayhuaman tiene el tamaño de una casa
de cinco plantas y un peso aproximado de 20000
toneladas.
F

28
4to Secundaria
1. MEDICIÓN DE LAS FUERZAS
La intensidad de las fuerzas se miden por el efecto
de deformación que ellas producen sobre los cuerpos
elásticos. Es por intermedio del inglés Robert Hooke
(1635 - 1703) que se descubre una relación empírica
entre la fuerza aplicada y la deformación producida, que
hoy se anota así:
F = K . x
Deformación (m)
Constante de
elasticidad
N
m( )
Todo objeto persiste en su estado de reposo, o de
movimiento en línea recta con rapidez constante,
a menos que se aplique fuerzas que lo obligen a
cambiar dicho estado.
En palabras sencillas, las cosas tienden a seguir
haciendo lo que ya estaban haciendo.
Los platos sobre la mesa por ejemplo, se
encuentran en reposo y tienden a permanecer
en estas condiciones como podrás comprobarlo
si tiras repentinamente del mantel sobre el cual
descansan.
2. LEYES DE NEWTON
2.1. Primera ley (Ley de la inercia)
a) La masa: una medida de la inercia
Si pateas una lata vacía, se mueve. Si la lata está llena
de arena no se moverá con tanta facilidad, y si está llena
de clavos de acero te lastimarás el pie, en conclusión
la lata llena de clavos tiene más inercia que la que está
vacía. La cantidad de inercia de un objeto depende de su
masa, que es aproximadamente la cantidad de material
presente en el objeto. Cuando mayor es su masa mayor
es su inercia y más fuerza se necesita para cambiar su
estado de movimiento. La masa es una medida de la
inercia de un objeto.
Puedes saber cuánta materia
contiene una lata si la pateas.
b) La masa no es lo mismo que el volumen
No debes confundir la masa con el volumen, pues son
dos conceptos totalmente distintos, volumen es una
medida del espacio y se mide en unidades como centí-
metros cúbicos, metros cúbicos y litros. La masa se mide
en kilogramos. Un objeto que tiene mucha masa puede
tener o no un gran volumen. Por ejemplo, un saco lleno
de algodón y otro del mismo tamaño lleno de clavos
tienen el mismo volumen, pero diferente masa.
2.2. Tercera ley (Ley de la acción y reacción)
Cuando dos cuerpos interactúan entre sí, aparece una
fuerza de acción que va del primer cuerpo al segundo
y por consecuencia aparece una fuerza de reacción
que va del segundo cuerpo al primero.
La fuerza de acción y de reacción tienen igual valor,
sólo que direcciones contrarias y como actúan en
cuerpos diferentes no se cancelan.

29
C.T.A.
3. FUERZAS INTERNAS
Designamos con este nombre a aquellas fuerzas que
se manifiestan en el interior de cuerpos, cuando
éstos se ven sometidos a efectos externos. Aunque su
explicación radica en el mundo atómico y molecular, aquí
presentaremos sólo sus características macroscópicas.
3.1. Peso (P)
Llamamos así a la fuerza con la que la Tierra atrae
a todo cuerpo que se encuentra en su cercanía.
Es directamente proporcional con la masa de los
cuerpos y con la gravedad local. Se le representa
por un vector vertical y dirigido al centro de la
Tierra (P=mg).
3.2. Normal (N)
3.3. Tensión (T)
Se le llama también fuerza de contacto, y viene a ser
la resultante de las infinitas fuerzas que se generan
entre las superficies de dos cuerpos cuando éstos
se acercan a distancias relativamente pequeñas,
predominando las fuerzas repulsivas. La línea de
acción de la normal es siempre perpendicular a las
superficies en contacto.
Es la fuerza resultante que se genera en el interior de
una cuerda o un alambre, y que surge para oponerse
a los efectos de estiramiento por parte de fuerzas
extremas que actúan en los extremos de aquellos.
En estas fuerzas predominan los efectos de atracción.
T
4. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Es aquel procedimiento que consiste en aislar parte de
una estructura para analizar las fuerzas que actúan sobre
él. Se recomienda seguir los siguientes pasos:
1) Peso
2) Tensión
3) Tercera ley y fuerzas externas.
w
w
w
N
N
N1
N2

30
4to Secundaria
Los gráficos siguientes te muestran el D.C.L. de algunos
cuerpos suspendidos y apoyados.
5. EQUILIBRIO
Un cuerpo se encuentra en equilibrio si dicho cuerpo no
experimenta ningún tipo de aceleración, y se encuentra
en equilibrio estático cuando el cuerpo no se mueve
y, en equilibrio cinético cuando el cuerpo se mueve a
velocidad constante.
V=0 (Reposo)
E. Estático
V=Cte. (MRU)
E. Cinético
Primera condición de equilibrio
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación si
sobre él la sumatoria de fuerzas, osea la fuerza resultante,
es igual a cero.
* ΣFx = 0
* ΣFy = 0
R=ΣF=0
Cuerpo
Suspendido
D.C.L. del
cuerpo suspendido
A
T
P
T=Tensión
P=Peso
Cuerpo
apoyado en una
superficie
D.C.L. del cuerpo
apoyadoenunasuperficie
B
P
N
P=Peso
N=Normal o
reacción del
piso
P
N
TCuerpo
apoyado y
suspendido
D.C.L. del
cuerpo apoyado y
suspendido
1. Realiza el D.C.L. para el siguiente sistema:
Para la esfera «A»:
A
B
Para la esfera «B»:
B
T
A
WA
RBA
R2
B
A
RAB
R1
WB
Recuerda |RBA
| = |RAB
|
Son iguales en módulo pero tienen sentidos opuestos.
Resolución:
2. Determina la reacción normal si el cuerpo está en
equilibrio. (g = 10 m/s2
)
a) 50 N
b) 100 N
c) 150 N
d) 200 N
e) 250 N
18kg
30N

31
C.T.A.
Hacemos el D.C.L. para el bloque:
Σ Fy = 0
N + 30 – 180 = 0
N = 150 N
30NN
180N
Rpta.: Clave «c»
3. Halla T si el sistema está en equilibrio (g = 10 m/s2
).
a) 20 N
b) 40 N
c) 60 N
d) 80 N
e) 120 N
Colocamos la tensión que corresponde a cada cuerda.
64kg
T
De aquí:
16T = 640 N
T = 40 N
Rpta.:
Clave «b»
640N
T T
2T 2T
4T 4T
8T 8T
16T
Resolución:
Resolución:
4. RealizaelD.C.L.delaesferaydibujasutriángulodefuerza.
θ
Hacemos el D.C.L. de la esfera:
T
N
w
θ
θ
θ
N
T
w⇒
5. Una esfera homogénea de peso «w» se encuentra en
equilibrio apoyada sobre dos planos inclinados lisos.
Halla la magnitud de la reacción en el apoyo «B».
a) w
(4cos2
α–1)
b) w senα c) w sen2α
d) w cosα e) wcos2α
B
A
α2α
Hacemos el D.C.L.
RB
RA
2α
2α
2α
α
90–α
90–α
A
B
w
Resolución:
Resolución:
W = 2RB
cos2α + RB
W = RB
(2cos2α + 1)
Por trigonometría:
cos2α = 2cos2
α – 1
W = RB
(2(2cos2
α – 1) + 1)
W = RB
(4cos2
α – 2 + 1)
RB
= w
(4cos2
α–1)
Rpta.: Clave «a»
w
RB
cos2α
RB
cos2α
RB
RB
RA
90–α
α
α
2α 2α
RB
2α

32
4to Secundaria
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Realiza el diagrama del cuerpo libre de cada
esfera.
Resolución:
F
R
R
Realiza el D.C.L. de la esfera y el bloque «A».
Resolución:
Realiza el D.C.L. de la barra y del punto «B»
de la cuerda.
Resolución:
Realiza el D.C.L. y reconoce el tipo de fuerzas.
Resolución:
B
A37°
A B
Q
α

33
C.T.A.
Rpta:
5
Rpta:
6Halla «T» si el sistema está en equilibrio.
Resolución:
T
10kg
9. Realiza el D.C.L. de la polea del bloque y del
punto «O».
O
7. Realiza el D.C.L. de la barra.
O
M
P
N
8. Realiza el D.C.L. de la esferita.
R R
w
θ
Un sistema de masa - resorte está oscilando
sobre un piso horizontal sin fricción en una
trayectoria rectilínea en torno a la posición de
equilibrio «O» de la masa. Cuando la masa se
está desplazando a la derecha de su posición
de equilibrio el diagrama de cuerpo libre de las
fuerzas que actúan sobre ella será:
Resolución:
K
O
V
10. ¿Qué sistema se encuentra en equilibrio?
V
V
(I)
V 2V
(III)
V
V
(II)

34
4to Secundaria
11. Realiza el D.C.L. de la barra.
10m 5m 5m
12. Realiza el D.C.L. correcto para la esfera mostrada.
θ
I. Realiza el D.C.L para los siguientes casos.
A

35
C.T.A.
5. Realiza el D.C.L para ambas esferas.
6. Realiza el D.C.L para la esfera.
7. Realiza el D.C.L para la esfera.
8. Haz el D.C.L. para la barra.
9. Haz el D.C.L. de la esfera.
Superficie
Lisa
37°
10. Realiza el D.C.L. de la esfera.
60°

36
4to Secundaria

37
C.T.A.
11 Estática II
OBJETIVOS:
a Reconocer a las fuerzas de la naturaleza, su representación vectorial y el modo de medirlos.
a Aplicar los conceptos de cálculo matemático para el equilibrio de los cuerpos.
De lo visto anteriormente sabemos que un cuerpo
está en equilibrio cuando no presenta ningún tipo de
aceleración, además su fuerza resultante será igual a cero.
Entonces se debe cumplir:
Gráficamente:
R = ∑F = 0
∑Fx = 0
∑Fy = 0
F3
F1 F2
Un objeto a menudo se comporta como si todo su peso
actuara en un punto. La posición de este punto afecta
el lugar donde el objeto alcanzará su equilibrio y la
probabilidad que tiene de caerse.
Determinación del centro de gravedad de un pedazo de
cartulina plana.
Cuando se suelta el pedazo de cartulina de la figura,
ésta oscila libremente colgado del alfiler clavado en una
esquina superior. Las fuerzas actúan sobre la cartulina,
formando un par de fuerzas que hacen que oscile hacia
abajo y alcance el reposo.
2. CENTRO DE GRAVEDAD
Peso
Centro de
gravedad
Alfiler
Fuerza ascendente del alfiler
Línea de
plomada
Alfiler
A Pedazo
de cartulina
Centro de
gravedad
D
C
B
Alfiler Centro de
gravedad
1. EQUILIBRIO DE FUERZAS CONCURRENTES
El nombre de Arquímedes se recuerda con frecuencia
cuando estudiamos el uso de las palancas, pues a él debemos
el descubrimiento de la «Ley del equilibrio de las palancas».
d1 d2
F2F1
3. LA PALANCA

38
4to Secundaria
Colocamos sobre una botella un tapón de corcho
y sobre el tapón una bala, hacemos saltar el tapón
lateralmente mediante un choque brusco, la bala, por
la inercia, persiste en su posición y por falta de apoyo
cae dentro de la botella.
¿Qué principio se demuestra?
1. La bala que cae en la botella
Como usted ya debe haber visto muchas veces, el principio
de la palanca es empleado en numerosos dispositivos que
encontramos en nuestra vida diaria. Por ejemplo, cuando
una persona intenta aflojar las tuercas de la rueda de un
automóvil, cuando mayor sea la distancia «d» que se indica
en la figura, tanto menor será el esfuerzo que deberá hacer
para conseguir su objetivo.
Arquímedes comprendió que, por mayor que fuese el peso
F2
, siempre sería posible equilibrarlo (o
desplazarlo) aumentando adecuadamente
la distancia d1
. El entusiasmo de esta
conclusión provocó en Arquímedes a
pronunciar la célebre frase: «Denme una
palanca y un punto de apoyo, y moveré el
mundo».
Para aflojar (o apretar) la tuerca de la rueda, una persona
desarrollará un esfuerzo menor si emplea una llave que sea lo
más larga posible.
Uno de los descubrimientos más importantes de Arquímedes
fue la «ley de las palancas», con gran empleo desde entonces.
‘‘Denme una palanca y un punto de apoyo, y moveré el
mundo’’. (Arquímedes).
Con una pequeña
inclinación la caja
regresa a su posición
original.
Con una inclinación
grande la caja
ladea más hacia la
derecha.
Una caja que
tenga una base más
ancha y un centro
de gravedad en un
punto más bajo,
puede inclinarse un
ángulo mayor antes
de volcarse.
Si no hay inclinación
la caja se mantiene
estable.
Peso
Centro de
GravedadFuerza ascen-
dente ejercida
por el piso. Base
Algunas cosas se derriban con mayor facilidad que otras.
Las figuras, muestran lo que ocurre cuando una caja alta
y estrecha es empujada hasta que comienza a volcarse.
4. ESTABILIDAD
Observación

39
C.T.A.
1. Halla la tensión en la cuerda si la esfera tiene una masa
de 6 kg. (g = 10 m/s2
)
a) 100 N
b) 60 N
c) 600 N
d) 300 N
e) 150 N
Hacemos el D.C.L.
53°
53°
T
N
W=60N N=4k
37°
T=5k
53°60N
3k⇒
60N = 3k ⇒ k = 20N
T = 5k = 5 x 20N= 100 N
Rpta.: Clave «a»
2. Si las esferitas mostradas pesan 70 N cada una, halla la
reacción en A. (g = 10 m/s2
)
a) 70 N b) 90 N c) 160 N
d) 240 N e) 250 N
Q
A
P
16°
D.C.L. para la esfera «Q».
16°
P
A
RPARED
W=70N
Resolución:
Resolución:
Ahora dibujamos el triángulo de fuerzas.
16°
70N
24k
25k
7k
16°
RA
RPARED
<>
= ⇒ RA
=
RA
= 250 N
RA
70
25 k
7 k
70 x 25
7
Rpta.: Clave «e»
3. Halla la tensión en la cuerda 1 si el bloque está en
equilibrio. (g = 10 m/s2
)
a) 60 N
b) 80 N
c) 100 N
d) 120 N
e) 160 N
74°
53°
2
A
8kg
1
Hacemos el D.C.L. del sistema en el nudo «A».
37°
53°
74°
74°
T2
Peso=80N
<> 37°
37°T2
T1
74°
80N
El triángulo mostrado es isósceles, entonces T1
= 80N.
Rpta.: Clave «b»
Resolución:
4. Un bloque «A» de 70 3 N de peso es elevado a velo-
cidad constante por m edio de una fuerza «F» horizon-
tal de 300 N. Determina la medida del ángulo «ψ»,
aproximadamente, si todas las superficies son lisas.
a) 37º b) 53º c) 82º
d) 8º e) 60º
A
B
F
ψ

40
4to Secundaria
HacemosunD.C.L.delosbloquescomosifueranunsolocuerpo.
Como lo trabajamos como si fuera un solo cuerpo, no uti-
lizamos la fuerza de contacto entre «A» y «B» pues pasaría
a ser una fuerza interna del sistema.
A
B
F
R
N
WA
+WB
Notamos: F = R
N = WA
+ WB
F = 300 = 3 x 100 = 10 3 N
Ahora el D.C.L., sólo para el bloque «A».
RA/B
N
WAψ
ψ
N=10 3=1(10 3)
RA/B
ψ
WA
=70 3
WA
=7(10 3)
Resolución:
1k
7k
8°5 2k
<>
Entonces :
ψ = 8°
Rpta.: Clave «d»
5. El sistema mostrado en la figura está en equilibrio. Los
pesos de las poleas y de la palanca, así como las fuerzas
de fricción son despreciables.
Determina la reacción del apoyo «O» sobre la palanca.
a) 10 N b) 20 N c) 30 N
d) 40 N e) 50 N
2m 4m
O
80N
Para la polea.
80N
T T
2T2T
4T
80N
2m 4m
T
A
R0
Para la palanca.
ΣMA
= Suma de momentos en el
punto «A».
ΣMA
= 0, pues la palanca no gira.
R0
x 4m + T x 6m = 0
T x 6 = 4 R0
R0
= = 30 N
20 x 6
4
Rpta.: Clave «c»
Resolución:
Si un cuerpo está en equilibrio y le hacemos su D.C.L.,
y resulta que sólo lo afectan tres fuerzas, entonces
dichas fuerzas dibujadas en secuencia formarán un
triángulo.
T
N
ω
W T
N
Importante
Ejemplo :

41
C.T.A.
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3Halla la lectura del dinamómetro si el sistema está
en equilibrio, y además m= 4,6 kg (g= 10 m/s2
).
Resolución:
Las esferas mostradas pesan 50 N cada una.
Halla la reacción en A.
Resolución:
Calcula la deformación del resorte si el sistema
se encuentra en equilibrio, WA
= 50N y la cons-
tante elástica del resorte es 100 N/m.
Resolución:
37°
A
Calcula la lectura del dinamómetro si el
bloque de 30N de peso se encuentra en
reposo. (Poleas de peso despreciable)
Resolución:
dinamómetro
30º
A
53º

42
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6En el sistema en equilibrio,
halla
Resolución:
WA
WB
B
A
Una esfera de radio r y peso W está en con-
tacto con a una esfera inmóvil de radio R,
mediante una cuerda de longitud L. Halla la
fuerza de contacto si no existe rozamiento.
Resolución:
L
W
R
r
7. Los pesos de los bloques A y B son 5 y 12N
respectivamente. Halla la tensión en la cuerda
oblicua.

α
A B
8. Si la esfera mostrada tiene una masa de 32kg,
calcula la tensión que soporta la cuerda que
sostiene a la esfera.
(g = 10m/s2
)

53°
53°
9. El sistema mostrado está en equilibrio. Si la
barra pesa 80 3 N y la tensión en la cuerda es
de 80N, halla θ.
θ
32°
10. Halla la relación entre las tensiones de las
cuerdas A y B.
α
α
A
B
g

43
C.T.A.
11. En el sistema mostrado, calcula la tensión en
el punto A si el bloque tiene un peso de 100N
y el sistema está en equilibrio.
A
θ
2θ
12. Determina la longitud de la cuerda AB, de
modo que el resorte AC se mantenga horizontal,
además la longitud libre de AC es 0,6m,
KAC
= 300n/m y el peso del bloque es de 90N.

37°A
B
2m
C
w
T
2kg
a) 2 N
b) 20 N
c) 30 N
d) 10 N
e) 40 N
1. Halla la tensión de la cuerda si el sistema está en
equilibrio.
(g= 10 m/s2
)
ω1
ω2
A
w
A
a) 50 N
b) 80 N
c) 130 N
d) 150 N
e) 130 N
2. Halla la tensión de la cuerda “A” si ω1
= 50N y
ω2
= 80N.
a) 15 N
b) 45 N
c) 70 N
d) 30 N
e) 60 N
3. Halla la tensión de la cuerda “A” si: w = 30 N.
mB
mA
a) 100 N
b) 110 N
c) 120 N
d) 130 N
e) 140 N
4. Halla el módulo de la reacción del piso si el
sistema está en equilibrio. (mA
=20kg ; mB
=2 kg,
g=10m/s2
).
a) 75 N
b) 600 N
c) 300 N
d) 150 N
e) 140 N
5. Calcula la fuerza “F” que equilibra el sistema si
Q=600 N.
F
Q
6. Si el sistema está en equilibrio, halla la fuerza de
rozamiento. (m = 2kg; g = 10m/s2
)
a) 12 N
b) 20 N
c) 16 N
d) 4 N
e) 10 N
12N
53º

44
4to Secundaria
7. Si el sistema mostrado en la figura se encuentra en
equilibrio, halla θ.
(WA
= 30 N y WB
= 40N).
A B
θ
a) 37º b) 45º c) 60º
d) 53º e) 30º
8. El bloque de 80N se encuentra en equilibrio.
DeterminaladeformacióndelresortesiK=100N/m
(no considere rozamiento).

a) 10 cm b) 20 cm c) 30 cm
d) 40 cm e) 50 cm
60°
9. El bloque de la figura se encuentra en equilibrio,
calcula la tensión en la cuerda horizontal sabiendo
que el bloque pesa 60N.
37°
a) 60 N b) 70 N c) 80 N
d) 90 N e) 100 N
10. Halla la reacción del piso si cada polea pesa
10N. (WA
= 150N ; WB
= 30N)
a) 10 N b) 20 N c) 30 N
d) 50 N e) 40 N
11. Determina la fuerza horizontal que ejerció
el obrero al bloque para mantenerlo en
reposo si el resorte está deformado 5 cm.
(K = 100N/cm)
a) 200 N b) 100 N c) 500 N
d) 20 N e) 50 N
B
12. Los bloques A y B pesan 8N y 6N,
respectivamente. Si el sistema está en equilibrio,
halla la medida del ángulo α.
a) 37° b) 53° c) 45°
d) 16° e) 18,5°
α
A
B
A

45
C.T.A.
12 Dinámica Lineal
OBJETIVOS:
a Conocer las leyes de la mecánica que permitan explicar las causas del movimiento, las cuales se denominan leyes de Newton.
a Aprender las principales aplicaciones de la dinámica, como son: la máquina de Atwood, gravedad efectiva y poleas móviles.
1. ¿QUÉ SIGNIFICADO TIENE LA PALABRA
DINÁMICA?
Proviene del griego dynamis que significa fuerza. Uno de
los estudiosos de la dinámica fue Isaac Newton, físico
y matemático de nacionalidad inglesa (1642 – 1727).
Se le considera el inventor del cálculo, descubridor de
la composición de la luz blanca y concibió la idea de la
Gravitación Universal. Este científico tuvo el mérito de ser
el primero en sistematizar los conceptos de fuerza y masa.
Newton descubre que un cuerpo sometido a una fuerza
resultante (R) no nula presenta siempre una velocidad
variable, es decir, el cuerpo experimenta una aceleración.
Sus observaciones y experimentos le permitieron
establecer la siguiente ley: ‘‘Toda fuerza resultante
desequilibrada que actúe sobre un cuerpo le produce una
aceleración que será de la misma dirección y sentido que
aquella, y su valor será directamente proporcional con
la fuerza, pero inversamente proporcional con su masa’’.
Toda fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo,
originará en él una aceleración en su misma dirección.
2. SEGUNDA LEY DE NEWTON
m
FR
a FR
: fuerza resultante
m : masa
a : aceleración
FR
= m . a
m a FR
kg m/s2 Newton (N)
Halla la aceleración si m = 5kg.
∴ W = N
Ejemplo:
Las fuerzas que son perpendiculares al movimiento
se anulan.
a
W
N
F2
=60NF1
=100N
2.1. Unidades en el S.I.
Segunda ley de Newton
FR2
= m.a
F1
- F2
= m.a
100 - 60 = 5.a
a = 8 m/s2
m
La relación vista antes es preferible aplicarla así:
ma = R.
Memotecnia : La ecuación se lee como ‘‘mar’’.
Dado que: R = ∑ F, entonces cuando se tiene
sistemas físicos que presentan un buen número
de fuerzas componentes será preferible aplicar la
segunda. Ley de Newton de la siguiente forma:
2.2. ¿Cómo aplicar la Segunda ley de
Newton?

46
4to Secundaria
Si no existiera rozamiento sería imposible caminar; no
obstante sería posible desplazarse por una superficie
perfectamente lisa.
Superficie Lisa
F
W
R=N
Recuerda
Fuerzas a
favor de
a
Fuerzas en
contra de
a
– = m . a
F1
+ F2
– F3
= m . a
F1
m
a
F2
F3
Completa correctamente las oraciones con la lista de
palabras siguientes:
fuerzas; velocidades; masa
inercia; 20 kg; peso
• Las ________________ producen aceleraciones pero
no producen ____________________.
• La ___________________ es la medida dinámica de la
________________ de un cuerpo.
• Si un cuerpo tiene de masa __________________,
entonces su _____________ es 200 newton.
Recondando Estática
Los gráficos siguientes te muestran el D.C.L. de algunos
cuerpos suspendidos y apoyados.
Cuerpo
suspendido
A
D.C.L. del
Cuerpo
suspendido
T : Tensión
P : Peso
T
P
Cuerpo
apoyado en
una superficie
B
D.C.L. del
cuerpo
apoyado en
una superficie
P : Peso
N : Normal o reacción
del piso
P
N
Equilibrio
D.C.L. del
cuerpo apoyado
y suspendidoP
N
T
Cuerpo apoyado
y suspendido
T : Tensión
P : Peso
N : Normal o reacción del piso
Un cuerpo se encuentra en equilibrio si dicho cuerpo no
experimentaningúntipodeaceleración,seencuentraenequilibrio
estático cuando el cuerpo no se mueve, y en equilibrio cinético
cuando el cuerpo se mueve a velocidad constante.
V = 0 (Reposo) V = Cte. (MRU)
E. Estático E. Cinético
Uncuerposeencuentraenequilibriodetraslaciónsisobreélla
sumatoria de fuerzas, osea la fuerza resultante, es igual a cero.
Primera condición de equilibrio
R = ∑F = 0
∑Fx
= 0
∑Fy
= 0

47
C.T.A.
( )
1. ¿Cuál será la aceleración del bloque de 10 kg de masa
si F = 70 N? (g = 10 m/s2
)
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 7 m/s2
e) 10 m/s2
D.C.L. para el bloque:
F
a
ΣF = ma
100 N–70 N=(10kg)a
30N = 10kgxa
a = 3m/s2
↓
70N
a
100N
10kg
Rpta.: Clave «c»
2. Del siguiente gráfico, determina la aceleración del
sistema si m1
> m2
y g es la aceleración de la gravedad.
a) a = g
b) a = g
c) a =
d) a =
e) a =
(m1
+ m2
)
(m1
x m2
)
(m1
2
– m2
2
)g
m1
+ m2
( )m1
2
+ m2
2
m1
– m2
g
m1
– m2
m1
+ m2
g
Resolución:
D.C.L. para la polea y luego para m1
.
m1
g
m2
g
m1
a
m1
x g
m2
x g
Al estar los bloques unidos por una cuerda la masa del
sistema es m1
+m2
.
En «m1
»:
ΣF = ma
m1
x g – m2
x g = (m1
+ m2
)a
g(m1
– m2
) = (m1
+ m2
)a
a =
(m1
– m2
)g
(m1
+ m2
)
Rpta.: Clave «e»
3. Halla la aceleración del bloque. (g = 10 m/s2
)
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 4 m/s2
e) 5 m/s2
37°
37°
5kg
50N
D.C.L. para el bloque
37°
37°
y
x
50N
40N30N
30N
37° 50N
40N
Normal
ΣFx
= ma
40 N – 30N = (5kg)a
10 N = 5kg (a)
a = 2 m/s2
Rpta.: Clave «b»
Resolución:
Resolución:
4. En el techo de un auto se cuelga una esfera, cuando
el carro acelera la cuerda forma un ángulo «θ» con la
vertical. Halla la aceleración del auto.
a) a = g senθ
b) a = g sen2θ
c) a = gtg2
θ
d) a = gtg2θ
e) a = gtgθ
a
θ
m1
m2
aa

48
4to Secundaria
Hacemos el D.C.L. de la esfera considerando que, por
estar dentro del automóvil, tiene su misma aceleración.
Resolución:
ΣFx
= ma
Tsenθ = ma
senθ = ma
g = a ⇒ a = gtgθ
( )mg
cosθ
( )senθ
cosθ
Rpta.: Clave «e»
5. Los bloques «A» y «B» tienen 8 y 10 kg, respectivamente.
Si no existe rozamiento, halla el módulo de la aceleración
de B (desprecia el peso de las poleas) g = 10 m/s2
.
A
B
a) 98/21 m/s2
b) 49/21 m/s2
c) 92/21 m/s2
d) 50/21 m/s2
e) 30/21 m/s2
ΣFy = 0
Tcosθ = mg
T = mg
cosθ
T a
Tsenθ
Tcosθ θ
mg
Evaluamos todo el sistema.
8kg
10kg
T
T T
2T
100N
A
B
a
Razonemos: Si el bloque «B» baja 1 metro, las dos cuerdas
tendrían que bajar 1m cada una, es decir, utilizar en total
2m (el doble). Es lógico pensar que la aceleración de «A»
es el doble de la aceleración de «B».
Para «A»:
ΣF = ma
T = 8 x (2a)
T = 16a
Para «B»:
ΣF = ma
100 – 2T=10 x a
100 – 2T = 10a
100 – 2(16a)=10 a
100 – 32a = 10a
100 = 42a
a = ⇒ a = m/s2100
42
50
21
Rpta.: Clave «d»
Resolución:
COPÉRNICO
La concepción aristotélica del movimiento perduró casi
2000 años, y empezó a derrumbarse a partir de la nueva
concepción de un sistema heliocéntrico, defendido por
Copérnico (1473 – 1543), quién llegó a la conclusión
de que los planetas giraban alrededor del Sol.
Galileo, partidario activo del sistema heliocéntrico de
Copérnico, propuso posteriormente, en contra de las
ideas de Aristóteles, que el estado natural de los cuerpos
era el movimiento rectilíneo uniforme.
Para Galileo, un cuerpo en movimiento sobre el que no
actúan fuerzas, continuará moviéndose indefinidamente
en línea recta, sin necesidad de fuerza alguna.
Esta facultad de un cuerpo para moverse uniformemente
en línea recta, sin que intervenga fuerza alguna, es lo
que se conoce como INERCIA.
GALILEO GALILEI

49
C.T.A.
Rpta:
2
Rpta:
4
Rpta:
1
Rpta:
3
5 kg
F
37º
a=10 m/s2
Halla la fuerza F que lleva el bloque con una
aceleración constante.
Resolución:
µK
=0,25
En el sistema, calcula la tensión en la cuerda.
(mA
= 2 kg; mB
= 3 kg; g = m/s2
)
Resolución:
A
B
Determina la fuerza de contacto entre los
bloques.
Resolución:
12N
7NA B
Calcula la aceleración de los bloques.
(mA
= 4 kg, mB
= 6kg)
Resolución:

A B
F=80N

50
4to Secundaria
Rpta:
5
Rpta:
6Encuentra la tensión en la cuerda que une a los
bloques si no existe rozamiento.
Resolución:
20N
9kg 11kg
60N
Halla “a” si no hay rozamiento.
(g = 10 m/s2
)
Resolución:
a
1kg
aa
6kg 3kg
7. Calcula la aceleración del péndulo mostrado.
(g = 10 m/s2
; α = 37°)
α
8. Un coche lleva un péndulo, de modo que éste se
encuentra desviado de la vertical un ángulo θ =
37°. Si el coche acelera, ¿hacia dónde lo hace y
cuál es su valor?
(g = 10 m/s2
)
θ
9. Calcula la aceleración con la cual desciende el
bloque.
a
m
θ
liso
10. Calcula la tensión en la cuerda si el ascensor
sube a razón de 5 m/s2
(m = 4kg).

a
m

51
C.T.A.
11. Si el ascensor baja desacele–rando a razón de 4
m/s2
y la lectura del dinamómetro indica 100 N,
halla la lectura de la balanza siendo la masa del
muchacho 50 kg.
(g = 10 m/s2
)
m
a
12. Un carrito de 12 kg es impulsado por una fuerza
F = 200 N. Determina el ángulo θ si la masa de
la esfera es de 3 kg.
(g = 10 m/s2
)
F
m
M
liso
θ
1. En cada caso, halla la aceleración con que es
llevado el bloque sobre la superficie lisa.
a) 2 m/s2
b) 4 m/s2
c) 6 m/s2
d) 8 m/s2
e) 10 m/s2
4. ¿Con qué aceleración baja la esfera de 6 kg cuan-
do es jalado con una fuerza F=30 N?
(g = 10m/s2
)
a) 3 m/s2
b) 8 m/s2
c) 7 m/s2
d) 6 m/s2
e) 5 m/s2
a) 10 N b) 30 N c) 50 N
d) 20 N e) 40 N
2 kg
a=5 m/s2
F 50N
2. En cada caso, halla la fuerza “F”.
5 kg
a
10N 40N
3. Halla la aceleración del bloque.
a) 5 m/s2
b) 3 m/s2
c) 6 m/s2
d) 2 m/s2
e) 9 m/s2
5 kg
a
37º10N
50 N
F
a

52
4to Secundaria
7. Calcula F si el bloque sube a razón de «g» m/s2
.
a) 10 N b) 8 N c) 2 N
d) 16 N e) 4 N
37°
m=1kg
F
8. Halla la aceleración con que se desplazan los bloques
de igual masa.
a) g b) g/2 c) 2g
d) 3g/2 e) g/4
30°
9. Halla la tensión de la cuerda que une los bloques.
(m1
= 9 kg, m2
= 11 kg)
a) 32 N b) 34 N c) 36 N
d) 38 N e) 40 N
60N20N
(2)(1)
10. Halla la fuerza de interacción entre los bloques si
no existe rozamiento. (m1
= 6 kg; m2
= 4 kg)
a) 40 N b) 42 N c) 44 N
d) 46 N e) 48 N
10N
30N(1) (2)
11. Calcula la aceleración de m=2kg si la fuerza F es
100 N. (g = 10 m/s2
)
a) 8 m/s2
b) 19 m/s2
c) 12 m/s2
d) 16 m/s2
e) 20 m/s2
F
4m
m
12. Halla la tensión (T) en la cuerda indicada.
(g = 10 m/s2
)

a) 36 N b) 18 N c) 40 N
d) 20 N e) 32 N
T
4kg
6kg
30°
∼
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 4 m/s2
e) 5 m/s2
7 kg
3 kg
5. Halla la aceleración del sistema si g = 10m/s2
.
5 kg
40N
37º
6. Halla la aceleración del sistema.
(g = 10m/s2
)
a) 1 m/s2
b) 2 m/s2
c) 3 m/s2
d) 4 m/s2
e) 5 m/s2

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