1. El documento presenta una guía sobre conceptos básicos de cálculo como funciones, valor absoluto, intervalos, sucesiones y límites. 2. Define funciones, inyectividad, sobreyectividad y graficas funciones. Explica valor absoluto, intervalos abiertos y cerrados. 3. Introduce sucesiones, convergencia, subsucesiones y teoremas relacionados. Finalmente, define límites de forma informal y formal.

1. Universidad Nacional Andrés Bello
Facultad de Economía y Negocios
Microeconomía Avanzada
Prof: C. Belmar
Guía Resumen de Cálculo
Ayudante: Mauricio Vargas
2 de septiembre de 2013
Nota: Recomiendo leer esta guía junto con cualquier texto de Cálculo (Piskunov, Apostol, Stewart, Larsson,
etc.) en caso de que existan muchas dudas.
1. Funciones de una variable
Intuituivamente (y también de manera imprecisa), una función y = f (x) se refiere a una “regla” de trasforma-
ción. Una función corresponde a una relación entre un conjunto X (dominio) y un conjunto Y (imagen) que a
cada elemento de X, en caso de haber una asociación, asigna un único elemento de Y a un elemento de X. Se
denota
f X → Y
x ↦ f (x)
Se hace la distinción de función inyectiva o sobreyectiva. Inyectividad se refiere a que dos elementos del dominio
no tienen la misma imagen. Sobreyectividad se refiere a que todos los elementos del dominio tienen imagen.
No hay que confundir la inyectividad con la diferencia de función o no función. Para fijar ideas, si trazamos
una recta vertical al gráfico de una función y efectivamente la recta y el gráfico de la función se intersectan en
un único punto, entonces efectivamente se trata de una función. Por otra parte, si se traza una recta horizontal
al gráfico de una función y esta intersecta al gráfico de la función en dos o más puntos, entonces la aplicación
no es inyectiva.
x
f (x)
x0
x
y0
f (x)
Figura 1: Un caso que no es función y otro que si lo es.
1

2. 2. Valor absoluto
Definición 1. Para todo número x ∈ R, el valor absoluto de x es la distancia desde x a 0 y se denota x . Como
función corresponde a
x =
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
x si x > 0
0 si x = 0
-x si x < 0
por lo tanto, si k es un número real, tenemos
x − k =
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
x − k si x > k
0 si x = k
k − x si x < k
x − k es la distancia de x a k.
Dos equivalencias que involucra el valor absoluto son
x − k < δ ⇔ − δ < x − k < δ ⇔ k − δ < x < k + δ
en palabras: “x es menor que δ veces k si y sólo si la diferencia x − k está comprendida entre −δ y δ si y sólo si
x está en el intervalo (k − δ, k + δ)”.
Tarea. Realizar un dibujo que represente claramente esta idea.
3. Intervalos abiertos y cerrados
Definición 2. Un intervalo abierto de centro x0 ∈ R y radio r > 0 se define como
A = {x ∈ R x − x0 < r}
mientras que un intervalo cerrado de centro x0 ∈ R y radio r > 0 se define como
B = {x ∈ R x − x0 ≤ r}
Nótese que si x pertenece a un intervalo abierto se tendrá que
r − x0 < x < r + x0
mientras que si x pertenece a un intervalo cerrado se tendrá que
r − x0 ≤ x ≤ x + x0
De manera alternativa A = (r − x0, r + x0) y B = [r − x0, r + x0].
2

3. 4. Sucesiones
Definición 3. (Sucesión) Una sucesión en R es una función (cuyos términos no están todos definidos)
N → E
n ↦ xn
y se anota usualmente como {xn}n∈N. Una sucesión {xn}n∈N converge a x si
∀ε > 0, ∃n ∈ N tal que xn − x < ε, ∀n ≥ N
Ejemplo 1. Son sucesiones:
{xn}n∈N = 1, n ∈ N
{xn}n∈N = (−1)n
, n ∈ N
{xn}n∈N =
1
n
, n ∈ N
{xn}n∈N = n2
, n ∈ N
{xn}n∈N = 1 +
(−1)n
n
, n ∈ N
pero {xn}n∈N =
√
(−1)n no es una sucesión ya que no tiene una cantidad finita de términos que no están
definidos.
Definición 4. La sucesión {xn}n∈N se dirá acotada (superior o inferiormente), si su recorrido es acotado, es
decir, si el conjunto de los xn es acotado.
Nota 1. En el ejemplo anterior, excepto para {xn}n∈N = n2
, se tiene que todas las sucesiones son acotadas. Más
aún, (−1)n
es una sucesión acotada superior e inferiormente.
Definición 5. (Convergencia) Sea {xn}n∈N una sucesión con valores en R y ℓ ∈ R. Diremos que {xn}n∈N
converge a ℓ o bien que los términos de {xn}n∈N tienden a ℓ (se denota xn → ℓ) si se cumple que
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0) xn ∈ [ℓ − ε, ℓ + ε]
o equivalentemente
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0) ℓ − ε ≤ xn ≤ ℓ + ε
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ≥ n0) xn − ℓ ≤ ε
donde xn − ℓ es la distancia entre xn y ℓ, entonces xn → ℓ es equivalente a decir que a partir de cierto n0 la
distancia entre xn y ℓ es menor o igual que ε. Como esto último debe cumplirse para todo ε, se concluye que
cuando xn → ℓ, la distancia entre xn y ℓ puede tomar un valor arbitrariamente pequeño.
Definición 6. La sucesión {xn}n∈N se dice que tiene límite o que converge a ℓ ∈ R, finito, si para todo n ≈ ∞
se tiene xn ≈ ℓ. Alternativamente, {xn}n≤m, m ≈ ∞ se dice que tiene límite o que converge a ℓ ∈ R, finito, si
para todo n ≈ ∞, n ≤ m se tiene que xn ≈ ℓ. En caso contrario, se dice que la sucesión diverge.
Notación: xn → ℓ si n → ∞, dada una sucesión convergente {xn}n∈N, se escribe
l´ım
n→∞
xn = ℓ
3

4. Nota 2. En caso de que la sucesión tenga límite (no necesariamente una sucesión tiene límite), este límite es
único. En el ejemplo anterior las sucesiones (−1)n
y n2
no convergen mientras que la sucesión 1 converge a 1
(obvio), 1/n converge a 0 y 1 +
(−1)n
n converge a 1.
Proposición 1. El límite de una sucesión, cuando existe, es único.
Demostración. Supongamos que {xn}n∈N → α y también {xn}n∈N → β, se tendrá que
{xn}n∈N → α ⇔ ε > 0 ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1, xn − α ≤
ε
2
{xn}n∈N → β ⇔ ε > 0 ∃n1 ∈ N ∀n ≥ n1, xn − β ≤
ε
2
y entonces
∀n > n0 = m´ax{n1, n2} xn − α ≤
ε
2
, xn − β ≤
ε
2
Además, si tomamos la definición de desigualdad triangular
x + y ≤ x + y
tenemos que
α − β = α − xn + xn − β ≤ xn − α + xn − β ≤ ε
y se concluye que, dado un valor arbitrario de ε tan pequeño como se desee, α = β ∎
Teorema 1. Sean {an}n∈N, {bn}n∈N y {cn}n∈N sucesiones tales que
1. an ≤ bn ≤ cn, para n ∈ N con n ≥ m, para m finito.
2. {an}n∈N y {bn}n∈N convergen a ℓ.
Entonces {bn}n∈N también converge a ℓ.
Demostración. Si tomamos n ≈ ∞ se tendrá que an ≈ ℓ ≈ cn. Entonces bn ≈ ℓ. ∎
Proposición 2. (álgebra de sucesiones) Sean {an}n∈N y {bn}n∈N sucesiones tales que an → a y bn → b.
Entonces:
1. an + bn → a + b
2. Dado λ ∈ R, λan → λa
3. anbn → ab
4. Dado bn ≠ 0, an
bn
→ a
b
5. Si an ≤ bn, entonces a ≤ b
Definición 7. la sucesión {xn}n∈N se dirá:
1. (Estrictamente) creciente si xn ≤ xn+1 (xn < xn+1)
2. (Estrictamente) decreciente si xn ≥ xn+1 (xn > xn+1)
4

5. 3. (Estrictamente) monotona si es (estrictamente) creciente o decreciente.
Definición 8. (Subsucesión) Sea {xn}n∈N una sucesión en (R. Consideremos una función f N → N
estrictamente creciente, es decir, n < m ⇒ f (n) < f (m). Entonces, la nueva sucesión {xf (k)}k∈N se llama
subsucesión de {xn}. A menudo se anota nk = f (k) y así la subsucesión se anota como {xnk
}k∈N.
Ejemplo 2. Las sucesiones siguientes:
{(−
1
2
)
2n
}
n∈N
, {(−
1
2
)
2n+1
}
n∈N
y {(−
1
2
)
8n+7
}
n∈N
,
son subsucesiones de {(− 1
2)
n
}n∈N
Teorema 2. Sea {xn}n∈N una sucesión en un espacio normado. Entonces {xn}n∈N converge a x si y sólo si
toda subsucesión {xnk
}k∈N de {xn}n∈N converge a x
Demostración. linea en blanco
(⇐): Directo pues {xn}n∈N es una subsucesión de si misma.
(⇒): {xn}n∈N converge a x, entonces ∀ε > 0 ∃N ∈ N tal que
xn − x < ε ∀n ≥ N
Sea {xnk
}k∈N una subsucesión de {xn}n∈N entonces ∃k ∈ N tal que
n1 < n2 < . . . < nk < nk+1 < nk+2 < . . . < nk+m
Entonces
xnk
− x < ε ∀k ≥ K
Por lo tanto {xnk
}k∈N converge a x. ∎
5. Límite
Definición 9. (Definición Informal de Límite) Si f es una función definida para todos los valores de x cercanos
a x = k, sin que necesariamente f (k) esté definida, y si ℓ es un número real tal que los valores de f se acercan
sucesivamente a ℓ en la medida que los valores de x sean más cercanos a k, entonces decimos que ℓ es el límite
de f cuando x se aproxima a k y escribimos
l´ım
x→k
f (x) = ℓ
Cuando decimos que los valores de f se acercan cada vez más a ℓ en la medida que los valores de x sean más
cercanos a k, estamos dando una idea intuitiva. Necesitamos precisar qué es lo que quiere decir esta frase. Si
dos cantidades se van acercando entre si, entonces la distancia entre ellas será cada vez más pequeña. Esto es,
la distancia puede tomar un valor tan pequeño como se desee y más pequeño que cualquier número positivo
especificado.
Si tomamos x cada vez más cercano a k tendremos que f (x) tendrá un valor cada vez más cercano a ℓ. Más
adelante veremos que al escribir una demostración, buscamos que al tomar x suficientemente cercano a k,
hacemos que f (x) tome un valor arbitrariamente cercano a ℓ. Sin embargo, necesitamos precisar cuán cercano
a k es suficientemente cerca, esto significa que necesitamos encontrar un valor para δ.
Teniendo estas ideas en mente podemos dar la definición precisa.
5

6. Definición 10. (Definición Formal de Límite) Sean x y k dos números reales y f una función definida en un
intervalo abierto que contiene a k, aunque no necesariamente definida para x = k. Si para cualquier número
positivo ε > 0, existe un número positivo δ > 0 (que depende de ε) tal que
0 < x − k < δ ⇒ f (x) − k < ε
entonces decimos que ℓ es el límite de f cuando x se aproxima a k y escribimos
l´ım
x→k
f (x) = ℓ
Ejemplo 3. Calcular los siguientes límites:
1. l´ımn→∞
n
n+1
2. l´ımn→∞
n−1
n+1
3. l´ımn→∞
n2+1
n3+3n2−2
Solución
l´ım
n→∞
n
n + 1
= l´ım
n→∞
1
1 + 1
n
= 1
l´ım
n→∞
n − 1
n + 1
= l´ım
n→∞
1 − 1
n
1 + 1
n
= 1
l´ım
n→∞
n2
+ 1
n3 + 3n2 − 2
= l´ım
n→∞
1
n + 1
n3
1 + 3
n − 2
n3
= 0
Ejemplo 4. Demostrar que l´ımx→2(3x − 5) = 1.
Demostración. Sea ε > 0 y definamos δ = ε/3. Entonces si 0 < x − 2 < δ, tenemos
(3x − 5) − 1 = 3x − 6
= 3 x − 2
< 3 ⋅
ε
3
= ε
Por lo tanto,
0 < x − 2 < δ ⇒ (3x − 5) − 1 < ε
entonces por definición
l´ım
x→2
(3x − 5) = 1
∎
Ejemplo 5. Demostrar que l´ımx→4(7x − 1) = 27.
6

7. Demostración. Sea ε > 0 y definamos δ = ε/7. Entonces si 0 < x − 4 < δ, tenemos
(7x − 1) − 27 = 7x − 28
= 7 x − 4
< 7 ⋅
ε
7
= ε
Por lo tanto,
0 < x − 4 < δ ⇒ (7x − 1) − 27 < ε
entonces por definición
l´ım
x→4
(7x − 1) = 27
∎
Hasta ahora no hemos respondido cómo se pueden elegir los valores de δ. Analizaremos esto a continuación:
Para el Ejemplo 1. deseamos que (3x − 5) − 1 < ε cuando 0 < x − 2 < δ. Resolviendo para x − 2
(3x − 5) − 1 < ε ⇔ 3x − 6 < ε ⇔ 3 x − 2 < ε ⇔ x − 2 <
ε
3
la ultima desigualdad muestra que debemos tomar δ = ε/3 dado que cada paso para llegar a x − 2 es reversible.
Para el Ejemplo 2. deseamos que (7x − 1) − 27 < ε cuando 0 < x − 4 < δ. Resolviendo para x − 7
(7x − 1) − 27 < ε ⇔ 7x − 28 < ε ⇔ 7 x − 4 < ε ⇔ x − 7 <
ε
7
la ultima desigualdad muestra que debemos tomar δ = ε/7 dado que cada paso para llegar a x −4 es reversible.
Nota 3. En caso de que la función f sobre la cual estamos trabajando sea un polinomio de grado n > 1, es
necesario restringir el valor de x para acotar cualquier término extraño que pueda aparecer en las desigualdades.
Restringir x es equivalente a mantener su valor a una cierta distancia de k, lo que es equivalente a elegir un
valor para δ.
Ejemplo 6. Demostrar que l´ımx→5 x2
= 25
Demostración. Sea ε > 0 y definamos δ = m´ın{1, ε/11}. Entonces si 0 < x − 5 < δ, tenemos
x2
− 25 = x + 5 x − 5
= 11 x − 5
< 11 ⋅
ε
11
= ε
Por lo tanto,
0 < x − 5 < δ ⇒ x2
− 25 < ε
entonces por definición
l´ım
x→5
x2
= 25
∎
7

8. Si queremos una explicación más detallada, lo que deseamos es que x2
− 25 < ε cuando 0 < x − 5 < δ.
Resolviendo para x − 5
x2
− 25 < ε ⇔ x − 5 x + 5 < ε ⇔ x − 5 <
ε
x + 5
este caso difiere de los ejemplos anteriores. En este caso δ no sólo depende de ε sino que también depende de
x. Una forma de resolver este inconveniente es es reemplazar x + 5 por un valor que cumpla x + 5 ≤ µ. Se
obtiene
x2
− 25 < ε ⇔ x − 5 x + 5 < ε ⇔ x − 5 <
ε
µ
y ahora se puede tomar δ = ε/µ. Sin embargo, µ no puede tomar cualquier valor real pero lo que nos interesa
son los valores de x cercanos a k = 5. Independientemente de cuán cercano sean x y k, lo que nos interesa es
acotar x + 5 restringiendo x cercano a 5. Por ejemplo, si deseamos que 0 < x + 5 < 1 tendremos que δ = 1,
entonces
x − 5 < 1 ⇔ − 1 < x − 5 < 1 ⇔ 9 < x + 5 < 11
y podemos tomar µ = 11 y δ = ε/11. También necesitamos que x − 5 < 1 tal que si definimos
δ = m´ın{1,
ε
11
}
, entonces
0 < x − 5 < δ ⇒ x − 5 < 1, x − 5 <
ε
11
Ejemplo 7. Demostrar que l´ımx→3
1
x+1 = 1
4
Demostración. Sea ε > 0 y definamos δ = m´ın{1, 12ε}. Entonces si 0 < x − 3 < δ, tenemos
1
x + 1
−
1
4
=
4 − x − 1
4(x + 1)
=
x − 3
4 x + 1
<
1
3
⋅
x − 3
4
<
1
12
⋅ 12ε
= ε
Por lo tanto,
0 < x − 3 < δ ⇒
1
x + 1
−
1
4
< ε
entonces por definición
l´ım
x→3
1
x + 1
=
1
4
∎
Si queremos una explicación más detallada, lo que deseamos es que 1/(x + 1) − 4 < ε cuando 0 < x − 3 < δ.
Resolviendo para x − 3
1
x + 1
−
1
4
< ε ⇔
4 − x − 1
4(x + 1)
< ε ⇔
3 − x
4(x + 1)
< ε ⇔
x − 3
x + 1
< 4ε
8

9. En este caso δ no sólo depende de ε sino que también depende de x. Una forma de resolver este inconveniente
es es reemplazar 1/ x + 1 por un valor que cumpla
1
x + 1
≤ µ
Se puede tomar δ = 4ε/µ. Sin embargo, µ no puede tomar cualquier valor real pero lo que nos interesa son los
valores de x cercanos a k = 3. Independientemente de cuán cercano sean x y k, lo que nos interesa es acotar
1/ x + 1 restringiendo x cercano a 3. Por ejemplo, si deseamos que 0 < x − 3 < 1 tendremos que δ = 1, entonces
x − 3 < 1 ⇔ − 1 < x − 3 < 1 ⇔ 3 < x + 1 < 5 ⇔
1
x + 1
<
1
3
y podemos tomar µ = 1/3 y δ = m´ın{1, 12ε}. También necesitamos que x − 3 < 1 tal que si definimos
δ = m´ın{1, 12ε}, entonces
0 < x − 3 < δ ⇒ x − 3 < 1, x − 3 < 12ε
El último límite que veremos es de suma importancia en todo lo que sigue, se trata de
l´ım
x→∞
(1 +
1
x
)
x
Proposición 3. La sucesión
{xn}n∈N =
n
∑
k=0
1
k!
es tal que su límite está dado por
l´ım
n→∞
n
∑
k=0
1
k!
=
∞
∑
k=0
1
k!
= e
donde e toma el valor 2, 718282 . . .
Demostración. No es difícil verificar que la sucesión es creciente ya que xn ≤ xn+1, ∀n ∈ N. Luego,
xn = 1 + 1 +
1
2
+
1
3!
+
1
4!
+ . . . +
1
n!
≤ 1 + 1 +
1
2
+
1
22
+ . . . +
1
2n−1
= 1 +
1 − 1
2n
1
2
= 1 + 2 −
1 − 1
2n
2n−1
= 3 −
1
2n−1
< 3
entonces la sucesión {xn}n∈N es creciente y acotada, por lo tanto converge. ∎
Nos falta saber cuán menor a 3 es el valor al cual la sucesión converge. Para distintos valores de n obtenemos
9

10. n xn
100
2
101
2,59374246
102
2,704813829
103
2,716923932
104
2,718145927
105
2,718268237
106
2,718280469
107
2,718281694
108
2,718281786
109
2,718282031
1010
2,718282053
Proposición 4.
l´ım
n→∞
(1 +
1
n
)
n
= e
Demostración.
(1 +
1
n
)
n
= 1 + n ⋅
1
n
+
n(n − 1)
2
⋅
1
n2
+ . . . +
n(n − 1)(n − 2) ⋅ . . . ⋅ 1
n!
⋅
1
nn
= 1 + 1 +
1
2
⋅ (1 −
1
n
) + . . . +
1
n!
⋅ (1 −
1
n
)(1 −
2
n
) ⋅ . . . ⋅
1
n
≤ 1 + 1 +
1
2
+ . . . +
1
n!
=
n
∑
k=0
1
k!
< 3
∎
Proposición 5. (álgebra de límites)
1. l´ımn→n0 (an + bn) = l´ımn→n0 an + l´ımn→n0 bn
2. Dado λ ∈ R, l´ımn→n0 λan = λ l´ımn→n0 an
3. l´ımn→n0 anbn = l´ımn→n0 an ⋅ l´ımn→n0 bn
4. Dado bn ≠ 0, l´ımn→n0
an
bn
→
l´ımn→n0 an
l´ımn→n0 bn
Tarea. Demostrar que
l´ım
x→0
ex
− 1
x
= l´ım
x→0
ln(1 + x)
x
= 1
teniendo en cuenta que
l´ım
x→∞
(1 +
1
x
)
x
= e
10

11. 6. Continuidad
Definición 11. (Continuidad en un punto) Sea f D ⊂ R → R diremos que f es continua en x0 si para todo
x ∈ D con x ≈ x0 se tiene que f (x) ≈ f (x0). Alternativamente, En x0 una función f D ⊂ R → R es continua
si para todo ε > 0 ∃δ > 0 tal que para todo x ∈ dom(f ) se cumple que
0 < x − x0 < δ ⇒ f (x) − f (x0) < ε
lo cual significa que
l´ım
x→x0
x>x0
f (x) = l´ım
x→x0
x<x0
f (x) = f (x0)
x
f (x)
x0
x
f (x)
x0
Figura 2: Caso discontinuo y caso continuo respectivamente.
La definición anterior nos dice que una función continua no presenta saltos en su gráfico.
Nota 4. f es continua si y sólo si esta definida en x0 y f (x) → f (x0) si x → x0.
Definición 12. Sean a, b finitos con a ≠ b y tales que si x ∈ D con x ≈ x0 se tiene f (x) ≈ a, cuando x < x0 y
f (x) = b, cuando x > x0. Entonces se dice que en x0 hay un salto finito de f de tamaño b − a .
Tenemos que en x0 hay un salto finito de f de tamaño b − a si y sólo si f (x) → a, cuando x → x−
0 , y f (x) → b,
cuando x → x+
0 .
f (x)
x0
x
b
a
Figura 3: Caso de una discontinuidad (salto finito).
Proposición 6. Sea f D ⊂ R → R. Diremos que f es continua en x0 si y sólo si f (x0) está definida y para
todo ε > 0 existe δ > 0 ta que f (x) − f (x0) < ε, si x ∈ D con x − x0 < δ
Proposición 7. (álgebra de funciones continuas) Si f y д son funciones continuas en x0 entonces también son
continuas en x0
11

12. 1. (f + д)(x0)
2. (f ⋅ д)(x0)
3. (
f
д )(x0), д(x0) ≠ 0
4. (f ○ д)(x0)
7. Derivadas
Definición 13. La derivada de una función corresponde a la razón de cambio a lo largo de la “curva” que
describe una función f (x). La notación es la siguiente
dy
dx
= f ′
(x)
que es una razón instantánea de cambio, es decir
f ′
(x0) = l´ım
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h
f (x)
x0 x1
x
Figura 4: Idea geométrica de derivada.
si este límite queda bien definido cuando h → 0 independientemente de que si h > 0 o h < 0 se tiene que f es
derivable en x0.
Es importante hacer énfasis en esta idea, en otras palabras estamos diciendo que una función f es derivable en
x0 si existe a ∈ R tal que
l´ım
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h
= a
y más aún
l´ım
h→0
h>0
f (x0 + h) − f (x0)
h
= a+
l´ım
h→0
h<0
f (x0 + h) − f (x0)
h
= a−
de manera que a−
= a+
.
12

13. En caso de que los últimos dos límites sean distintos, se tendrá que la función f no es diferenciable en x0. La
siguiente figura nos da una idea geométrica de lo que ocurre.
f ′
(x0)
f (x0)
f (x0 + h)
x
x0 x0 + h
f (x) a−
x
x0
f (x)
a+
Figura 5: Una función derivable y otra que no lo es en x0
Nota 5. Por definición, una función diferenciable es continua. No es correcto decir que una función continua
es siempre diferenciable.
f (x)
x0
f (x)
x
x0
x
Figura 6: Una función diferenciable y otra que es continua no diferenciable.
La derivada, vista como otra función, puede cambiar de signo dependiendo de la pendiente que tome la función
en determinados puntos. Por ejemplo, si tomamos el siguiente gráfico
13

14. f (x)
x
d f (x)
x
Figura 7: Idea geométrica de derivada.
En los puntos donde f (x) alcanza máximos o mínimos el valor de la derivada d f (x) es cero y en los gráficos
se observa que la derivada cambia de signo tras alcanzar un máximo o mínimo. Además observen que en los
puntos donde f (x) tiene valor cero, la función d f (x) alcanza un máximo o mínimo (¿Por qué?)
Tarea. Analice detalladamente la relación entre la pendiente de la función f (x) y el signo de su derivada d f (x).
Además realice el análisis a la inversa es decir, la relación entre la pendiente de la función f (x) y el signo de su
derivada d f (x).
Definición 14. Para las funciones de la forma f D ⊂ R → R la diferenciabilidad se tiene cuando la tasa de
crecimiento es calculable mediante derivadas, es decir derivable es lo mismo que diferenciable en tal caso. Una
función de variable real es diferenciable si existe
l´ım
h→0
f (x0 + h) − f (x0)
h
que implica
l´ım
x→x0
f (x0 + h) − f (x0) − f ′
(x0)h
h
= 0
de manera alternativa, podemos decir que f es diferenciable en x0 si y sólo si existe f ′
(x0) ∈ R tal que
f (x0 + h) = f (x0) + f ′
(x0)h + θ(h)
donde θ(h) = f (x0 + h) − f (x0) − f ′
(x0)h que cumple
l´ım
h→0
θ(h)
h
= 0
Lo anterior da cuenta de que la función θ(h) en valor se acerca más rápido al valor 0 en comparación a la
función f (h) = h. Esto último nos lleva nuevamente a la definición de derivada, ya que en caso de cumplirse
14

15. se obtiene
f (x0 + h) − f (x0) = f ′
(x) ⋅ h + θ(h)
f (x0 + h) − f (x0)
h
= f ′
(x) +
θ(h)
h
y tomando límite con h → 0 se llega a la definición de derivada.
Ejemplo 8. Si C(x) es la función de costo de una empresa por producir x unidades de un producto. Al
aumentar la producción de x0 a x1 el costo adicional es
∆C = C(x1) − C(x0)
y la tasa promedio del cambio del costo es
∆C
∆x
=
C(x1) − C(x0)
x1 − x0
tomando ∆x = dx ≈ 0 se tiene la razón de cambio instantáneo del costo respecto a la cantidad producida, esto
es el costo marginal. Supongamos que la función f es diferenciable, entonces
CMa(x) = C′
(x) ≈
dC
dx
tomando ∆x = 1 y n → ∞, es razonable suponer que 1 es mucho más pequeño que n y por lo tanto
C′
(n) ≈
C(n + 1) − C(n)
1
= C(n + 1) − C(n)
en el caso en que asumimos ∆x = 1 se tiene que dC ≈ C′
(n) entonces el costo marginal para producir n
unidades es aproximadamente igual al costo para producir una unidad más (la unidad n + 1). En el caso en que
el aumento es distinto de 1 unidad la expresión encontrada para el costo marginal nos dice que el cambio en el
costo está dado por
dC ≈ C′
(x)dx
8. Cálculo de derivadas
Proposición 8. El cálculo de derivadas está dado por las siguientes propiedades:
1. f (x) = c ⇒ f ′
(x) = 0
2. f (x) = axb
⇒ f ′
(x) = ab ⋅ xb−1
, b ∈ R
f ′
(x) = a ⋅ l´ım
h→0
(x + h)n
− xn
h
Primero veamos el caso b ∈ N. Si tomamos el Binomio de Newton
(x + h)b
=
b
∑
k=0
(
b
k
)xb−k
hk
15

16. se obtiene
f ′
(x) = a ⋅ l´ım
h→0
(xb
+ bxb−1
h + . . . + hb
) − xb
h
= a ⋅
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l´ım
h→0
bxb−1
+ . . . + l´ım
h→0
hb−1
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= ab ⋅ xb−1
Para el caso b ∈ R
f ′
(x) = a ⋅ l´ım
h→0
eb ln(x+h)
− eb ln(x)
h
= a ⋅ l´ım
h→0
eb ln(x)
(eb ln(1+h/x)
− 1)
h
= a ⋅ l´ım
h→0
xb
(eb ln(1+h/x)
− 1)
h
⋅
b ln(1 + h/x)
b ln(1 + h/x)
⋅
x
x
= a ⋅ l´ım
h→0
bxb−1
⋅
eb ln(1+h/x)
− 1
b ln(1 + h/x)
⋅
ln(1 + h/x)
h/x
= ab ⋅ xb−1
⋅
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
l´ım
h→0
eb ln(1+h/x)
− 1
b ln(1 + h/x)
1
⋅ l´ım
h→0
ln(1 + h/x)
h/x
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3. f (x) = ex
⇒ f ′
(x) = ex
f ′
(x) = l´ım
h→0
ex+h
− ex
h
f ′
(x) = l´ım
h→0
ex
(eh
− 1)
h
= ex
⋅ l´ım
h→0
(eh
− 1)
h
1
16

17. 4. f (x) = ln(x) ⇒ f ′
(x) = 1/x
f ′
(x) = l´ım
h→0
ln(x + h) − ln(x)
h
= l´ım
h→0
ln(x+h
h
)
h
= l´ım
h→0
ln(1 + h
x
)
h
= l´ım
h→0
1
x
⋅
ln(1 + h
x
)
h/x
= l´ım
h→0
1
x
⋅ ln(1 +
h
x
)
h/x
=
1
x
⋅ l´ım
h→0
ln(1 +
h
x
)
h/x
1
5. f (x) = loga(x) ⇒ f ′
(x) = 1
ln(a)⋅x
f ′
(x) = l´ım
h→0
loga(x + h) − loga(x)
h
Si tomamos la fórmula de cambio de base
loga(x) =
ln(x)
ln(a)
bastará con aplicar que ln(a) es constante y la propiedad 4. permite concluir.
6. f (x) = ax
⇒ f ′
(x) = ax
⋅ ln(a)
f ′
(x) = l´ım
h→0
ax+h
− ax
h
= l´ım
h→0
ax
(ah
− 1)
h
= l´ım
h→0
ax
⋅
eh ln(a)
− 1
h
= l´ım
h→0
ax
⋅
eh ln(a)
− 1
h
⋅
ln(a)
ln(a)
= (ax
⋅ ln(a)) ⋅ l´ım
h→0
eh ln(a)
− 1
h ln(a)
1
Además de las derivada de funciones tenemos algunas propiedades para las operaciones con funciones.
Proposición 9. (álgebra de Derivadas) Si f y д son dos funciones diferenciables entonces:
17

18. 1. (f ± д)′
(x) = f ′
(x) ± д′
(x)
(f ± д)′
(x) =
(f ± д)(x + h) − (f ± д)(x)
h
= l´ım
h→0
f (x + h) − f (x)
h
± l´ım
h→0
д(x + h) − д(x)
h
= f ′
(x) ± д′
(x)
2. (af )′
(x) = af ′
(x)
(af )′
(x) = l´ım
h→0
(af )(x + h) − (af )(x)
h
= l´ım
h→0
af (x + h) − af (x)
h
= a ⋅ l´ım
h→0
f (x + h) − f (x)
h
= af ′
(x)
3. (f ⋅ д)′
(x) = f ′
(x) ⋅ д(x) + f (x) ⋅ д′
(x)
(f ⋅ д)′
(x) = l´ım
h→0
(f ⋅ д)(x + h) − (f ⋅ д)(x)
h
= l´ım
h→0
f (x + h)д(x + h) − f (x)д(x)
h
= l´ım
h→0
f (x + h)д(x + h) + f (x)д(x + h) − f (x)д(x + h) − f (x)д(x)
h
= l´ım
h→0
(f (x + h) − f (x)) ⋅ д(x + h) + f (x) ⋅ (д(x + h) − д(x))
h
= д(x) ⋅ l´ım
h→0
f (x + h) − f (x)
h
+ f (x) ⋅ l´ım
h→0
д(x + h) − д(x)
h
= д(x) ⋅ f ′
(x) + f (x) ⋅ д′
(x)
= f ′
(x) ⋅ д(x) + f (x) ⋅ д′
(x)
18

19. 4. (
f
д
)
′
(x) =
f ′
(x) ⋅ д(x) − f (x) ⋅ д′
(x)
[д(x)]2
(con д(x) ≠ 0)
(
f
д
)
′
(x) = l´ım
h→0
(
f
д )(x + h) − (
f
д )(x)
h
= l´ım
h→0
f (x+h)
д(x+h) −
f (x)
д(x)
h
=
1
[д(x)]2
⋅ l´ım
h→0
f (x + h) ⋅ д(x) − f (x) ⋅ д(x + h)
h
=
1
[д(x)]2
⋅ l´ım
h→0
f (x + h) ⋅ д(x) − f (x)д(x) + f (x)д(x) − f (x)д(x + h)
h
=
1
[д(x)]2
⋅ l´ım
h→0
(f (x + h) − f (x)) ⋅ д(x) − f (x) ⋅ (д(x + h) − д(x))
h
=
1
[д(x)]2
⋅ (l´ım
h→0
(f (x + h) − f (x)) ⋅ д(x)
h
− l´ım
h→0
f (x) ⋅ (д(x + h) − д(x))
h
)
=
1
[д(x)]2
⋅ (f ′
(x) ⋅ д(x) − f (x) ⋅ д′
(x))
Proposición 10. (Regla de la cadena) Si f D ⊂ R → R y д E ⊂ R → R son funciones diferenciables en x0 e
y0 = f (x0) respectivamente, entonces д○ f es diferenciable en x0 y se cumple que (f ○д)′
(x) = f ′
(д(x))⋅д′
(x).
Por definición, si д ○ f es diferenciable
(д ○ f )(x + h) = (д ○ f )(x) + (д ○ f )′
(x) ⋅ (f (x + h) − f (x)) + θ(f (x + h) − f (x))
д(f (x + h)) = д(f (x)) + д′
(f (x)) ⋅ (f (x + h) − f (x)) + θ(f (x + h) − f (x))
entonces,
д(f (x + h)) − д(f (x)) = д′
(f (x)) ⋅ (f (x + h) − f (x)) + θ(f (x + h) − f (x))
д(f (x + h)) − д(f (x))
h
= д′
(f (x)) ⋅
f (x + h) − f (x)
h
+
θ(f (x + h) − f (x))
h
En la medida que h → 0 se tendrá que
l´ım
h→0
д(f (x + h)) − д(f (x))
h
= l´ım
h→0
д′
(f (x)) ⋅
f (x + h) − f (x)
h
+ l´ım
h→0
θ(f (x + h) − f (x))
h
0
l´ım
h→0
д(f (x + h)) − д(f (x))
h
= д′
(f (x)) ⋅ l´ım
h→0
f (x + h) − f (x)
h
l´ım
h→0
д(f (x + h)) − д(f (x))
h
= д′
(f (x)) ⋅ f ′
(x)
9. Teoremas importantes
Teorema 3. (Teorema de Bolzano-Weierstrass en R)
Sean [a, b] un intervalo cerrado y acotado y f [a, b] → R continua tal que f (a) y f (b) tienen signos
contrarios, entonces existe c ∈ [a, b] tal que f (c) = 0.
19

20. Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que f (a) < 0 y f (b) > 0. Escojamos c ∈ (a, b) y de
esto se tienen tres casos
1. f (c) < 0 y nos restringimos al intervalo [a1, b1] con a1 = c y b1 = b.
2. f (c) = 0 en este caso concluye la demostración.
3. f (c) > 0 y nos restringimos al intervalo [a1, b1] con a1 = a y b1 = c.
Para los casos 1. y 3. consideremos intervalos [an, bn] ⊂ [an−1, bn−1] ⊂ . . . ⊂ [a, b] tal que f (an) < 0 y
f (bn) > 0. Escojamos para cada intervalo un c que es punto medio y así cada intervalo es la mitad del anterior.
De esta forma, bn − an = b−a
2n y para n → ∞ se tendrá que an − bn → 0 y l´ımn→∞ an = l´ımn→∞ bn.
Sea c = l´ımn→∞ an, por ser f continua
f (c) = f ( l´ım
n→∞
an) = l´ım
n→∞
f (an)
como f (an) < 0 tenemos que l´ımn→∞ f (an) ≤ 0.
Análogamente si tomamos
f (c) = f ( l´ım
n→∞
bn) = l´ım
n→∞
f (bn)
como f (bn) < 0 tenemos que l´ımn→∞ f (an) ≥ 0. Se concluye entonces que f (c) = 0. ∎
Teorema 4. (Teorema del valor intermedio en R)
Sean [a, b] un intervalo cerrado y acotado y f [a, b] → R continua. Si f (a) ≠ f (b), entonces dado
k ∈ (f (a), f (b)) existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = k.
Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que f (a) < f (b). Definamos д(x) = f (x) − k y
entonces д(a) = f (a)− k < 0 y д(b) = f (b)− k > 0. De acuerdo al teorema 3 existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = k.
∎
Teorema 5. Sean [a, b] un intervalo cerrado y acotado y f [a, b] → R continua y diferenciable en (a, b).
Entonces, f tiene un máximo (o mínimo) en al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f ′
(c) = 0.
Demostración. Haremos la demostración para el caso de máximos. La demostración para el caso de un mínimo
es análoga y queda de tarea.
Si f tiene al menos un máximo en c entonces
f (c + h) ≤ f (c) ∀h tal que c + h ∈ [a, b]
De esta forma, f (c + h) − f (c) ≤ 0.
Tomando h > 0 se tiene que
f (c + h) − f (c)
h
≤ 0 ⇒ f ′
(c) ≤ 0 (*)
Tomando h < 0 se tiene que
f (c + h) − f (c)
h
≥ 0 ⇒ f ′
(c) ≥ 0 (**)
De (*) y (**) se concluye que f ′
(c) = 0. ∎
20

21. Teorema 6. (Teorema de Rolle en R)
Sean [a, b] cerrado y acotado y f [a, b] → R continua y diferenciable. Si f (a) = f (b), entonces existe al
menos un c ∈ (a, b) tal que f ′
(c) = 0.
Demostración. Tenemos tres casos posibles:
1. Si f (c) < f (a) para algún c ∈ (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) donde f alcanza su valor mínimo. De
acuerdo al teorema 5 f ′
(c) = 0.
2. Si f (a) = f (c) ∀c ∈ (a, b). Entonces, por ser f constante, su derivada es nula en (a, b) y se cumple el
teorema.
3. Si f (c) > f (a) para algún c ∈ (a, b). Entonces, existe c ∈ (a, b) donde f alcanza su valor máximo. De
acuerdo al teorema 5 f ′
(c) = 0.
∎
Nota 6. La interpretación geométrica del teorema es la siguiente: Si una función continua y derivable cruza dos
veces una recta paralela al eje x, entonces existe entre los dos cruces consecutivos un punto donde la tangente
al gráfico de la función es paralela al eje x.
f (x)
x0
x
f ′
(x0) = 0
Figura 8: Teorema de Rolle.
Teorema 7. (Teorema del valor medio en R)
Sean [a, b] un intervalo cerrado y acotado y f [a, b] → R continua y derivable en (a, b). Entonces, existe un
punto c ∈ (a, b) tal que
f ′
(c) =
f (b) − f (a)
b − a
Demostración. Definamos
д(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
b − a
(x − a)
se tiene que д es continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Observemos que
д(a) = f (a) д(b) = f (a)
lo que implica д(a) = д(b) por lo tanto podemos aplicar el teorema 6. Entonces, existe c ∈ (a, b) tal que
д′
(x) = 0 y se tendrá que
f ′
(c) =
f (b) − f (a)
b − a
∎
21

22. Nota 7. La interpretación geométrica del teorema es la siguiente: Si trazamos una secante que une dos puntos
de una función continua y derivable, entonces existe un punto donde la tangente al gráfico de la función y la
secante ya definida son paralelas.
f (x)
x0
x
f ′
(x)
Figura 9: Teorema del valor medio.
10. Funciones cóncavas
Consideremos una función f (x) diferenciable. La primera derivada está dada por
f ′
(x0) =
f (x) − f (x0)
x − x0
reordenando esto obtenemos
f (x) = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
De acuerdo a esto, una función diferenciable es cóncava si dada una recta tangente l(x) a f (x) se tiene que
l(x) = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
y además la recta tangente indica que la función no toma valores mayores a los de la recta tangente, es decir
l(x) ≥ f (x), lo cual geométricamente indica que la función es creciente a tasa decreciente por lo que f ′′
(x) ≤ 0
(si f ′′
(x) < 0 entonces la función es estrictamente cóncava).
Estos hechos nos llevan a que una función cóncava es tal que
f (x) ≤ f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
geométricamente se tiene lo siguiente
x
y
x0 x1
l0
l1
Figura 10: Concavidad (curvatura)
22

23. Cuando f es diferenciable, en el caso de una variable basta con que f ′′
(x) ≤ 0 para determinar que f es
cóncava y si f ′′
(x) < 0 entonces f es estrictamente cóncava.
11. Funciones convexas
De manera contraria al concepto anterior, una función diferenciable es convexa si dada una recta tangente
l(x) a f (x) se tiene que
l(x) = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
y además la recta tangente indica que la función no toma valores menores a los de la recta tangente, es decir
l(x) ≤ f (x), lo cual geométricamente indica que la función es creciente a tasa decreciente por lo que f ′′
(x) ≥ 0
(si f ′′
(x) > 0 entonces la función es estrictamente cóncava).
Estos hechos nos llevan a que una función cóncava es tal que
f (x) ≥ f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
geométricamente se tiene lo siguiente
x
y
x0 x1
l0
l1
Figura 11: Convexidad (curvatura)
Cuando f es diferenciable, en el caso de una variable basta con que f ′′
(x) ≥ 0 para determinar que f es
convexa y si f ′′
(x) > 0 entonces f es estrictamente convexa.
12. Comentarios finales sobre derivadas
Momentáneamente tomaremos las funciones de dos variables f (x1, x2) = z. Ya conocemos las reglas de
derivadas para funciones de una variable y veámos como estas se pueden aplicar al caso de 2 variables (se
podria extender fácilemente a n variables pero de momento no tiene utilidad)
Volviendo al ejemplo (8) tenemos que el cambio en el costo está dado por
dC =
d
dx
C ⋅ dx = C′
(x)dx
La magnitud de cambio dC corresponde al diferencial de la función de costo y la definición de diferencial se
puede extender a funciones de n variables pero nos quedaremos con el caso n = 2.
Sea f A ⊆ R2
→ R y x = (x1, x2) ∈ R2
. Para j = {1, 2} fijo, definimos la función:
f R → R
h ↦ f (x + hej)
23

24. donde ej corresponde al vector (1, 0) si j = 1 y (0, 1) si j = 2. Notemos que x + hej = (x1 + h, x2) si j = 1. A esta
función, siendo de R en R, le podemos aplicar la diferenciabilidad que ya hemos visto. Si j = 1, la variable x2 se
mantiene fija.
Definición 15. Llamaremos derivada parcial de f con respecto a xj en x ∈ R2
a
∂ f
∂xj
(x) = l´ım
h→0
f (x + hej) − f (x)
h
si dicho límite existe. Cuando la derivada parcial de f con respecto a xj existe en todo punto de A, entonces
ella define una función
∂ f
∂xj
A ⊆ Rn
→ R
Nota 8. Notemos que, como una derivada parcial es una derivada de una función de R en R, uno puede usar
todas las reglas de derivación ya vistas.
Ejemplo 9. Calcular la derivada parcial de la función f con respecto a x1 para f (x1, x2) = x1x2√
x2
1 +x2
2
.
Solución
Para esto notamos que si (x1, x2) ≠ (0, 0) entonces
∂ f
∂x1
=
x3
2
√
x2
1 + x2
2
Si definimos f (0, 0) = 0 entonces podemos calcular también la derivada parcial de f con respecto a x1 en
(0, 0). Aquí usamos la definición
∂ f
∂x1
(0, 0) = l´ım
h→0
f (h, 0) − f (0, 0)
h
= l´ım
h→0
0
h
= 0
Definición 16. (Diferencial) Sea
f R2
→ R
(x1, x2) ↦ z
donde z es un valor real, tenemos que el diferencial de la función esta dado por
d f =
∂ f
∂x1
dx1 +
∂ f
∂x2
dx2
Ejemplo 10. (Teoria del consumidor) Si la función de utilidad es U(x1, x2) = x
1/2
1 x
1/2
2 , entonces el diferencial
de la función corresponde a
dU =
1
2
x
−1/2
1 x
1/2
2 dx1 +
1
2
x
1/2
1 x
−1/2
2 dx2
En términos más generales, si las derivadas parciales de una función U(x1, x2) cualquiera existen, entonces su
diferencial esta dado por
dU =
∂U
∂x1
dx1 +
∂U
∂x2
dx2
24

25. si nos mantenemos en la misma curva de indiferencia (combinación de valores que generan el mismo nivel de
utilidad) se tendra que dU = 0 entonces
0 =
∂U
∂x1
dx1 +
∂U
∂x2
dx2 (*)
La restricción de consumo dependerá del nivel de ingreso. Cuando se gasta todo el ingreso en consumir x1 y x2,
sin posibilidades de contraer deudas, se tendrá que I = p1x1 + p2x2. Si graficamos todas las combinaciones que
se pueden adquirir gastando todo el ingreso se obtiene una recta y si nos mantenemos en dicha recta cambian
las combinaciones de x1 y x2 pero no el valor de I, entonces
dI = 0 = p1dx1 + p2dx2 (**)
Asumiendo que x2 ≠ 0 de la ecuacion (**) tenemos
dx2
dx1
= −
p1
p2
Reordenando (*) y como la derivada parcial corresponde a la utilidad marginal se tiene
Umд(x2)
Umд(x1)
= −
dx2
dx1
Si combinamos estos dos resultados llegamos a
Umд(x2)
Umд(x1)
=
p1
p2
⇒ Umд(x1) ⋅ p1 = Umд(x2) ⋅ p2
que en palabras corresponde a: “la utilidad marginal del último peso gastado en el bien uno, en el óptimo, es
igual a la utilidad marginal del último peso gastado en el bien dos”.
Definición 17. (Polinomio de Taylor) Sea f R → R una función diferenciable con segunda derivada también
diferenciable. Tenemos que el polinomio de Taylor de grado uno de f en x0 corresponde a
p(x) = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0)
mientras que el de grado dos corresponde a
p(x) = f (x0) + f ′
(x0)(x − x0) + f ′′
(x0)(x − x0)2
Esta definición nos sirve para dar un poco más de justificación sobre las elasticidades. Sabemos que la elasticidad
mide la variación porcentual como se ha visto en el curso.
Ejemplo 11. (Elasticidades) Digamos que las variables x1 y x2 son unidimensionales y que además se puede
escribir x2 en términos de x1, es decir, x2 = f (x1). Sobre esto se tiene que la elasticidad de x2 respecto de x1 es
εx2,x1 =
∂x2
∂x1
⋅
x1
x2
que se interpreta como la variación porcentual en x2 cuando x1 aumenta en un 1%.
25

26. Si queremos determinar la diferencia en los valores de la función f cuando esta aumenta en un 1% tenemos
f (1, 01x1) − f (x1), para determinar la variación porcentual tenemos
f (1, 01x1) − f (x1)
f (x1)
⋅ 100
Si f es diferenciable, podemos aplicar el polinomio de Taylor de grado uno y tomar x0 = 0 para obtener
f (1, 01x1) − f (x1)
f (x1)
⋅ 100 ≈ 0, 01x1
∂ f (x1)
∂x1
f (x1)
⋅ 100
Como f (x1) = x2 tenemos que
f (1, 01x1) − f (x1)
f (x1)
⋅ 100 ≈
∂x2
∂x1
⋅
x1
x2
También se tiene que la elasticidad puede expresarse
εx2,x1 =
d ln(x2)
d ln(x1)
Para probar esto definamos x2 = f (x1) y entonces ln(x2) = ln(f (x1)). Definamos además д(x1) = ln(f (x1)).
Se cumplirá que
ln(x2) = д(ln(x1))
y por lo tanto
д′
(x1) =
1
f (ex)
f ′
(ex
)ex
luego
д′
(ln(x1)) =
1
f (x1)
f ′
(x1)x
=
dx2
dx1
⋅
x
y
= εx2,x1
13. Optimización en una variable
Definición 18. Consideremos una función f D ⊂ R → R diferenciable (y por ende, continua). Diremos que f
tiene un máximo local en x0 si f (x0) ≥ f (x) para valores comprendidos en un intervalo (x −ε, x +ε). Diremos
que f tiene un mínimo local en x0 si f (x0) ≤ f (x) para valores comprendidos en un intervalo (x − ε, x + ε).
El caso que nos interesa es el de máximos y mínimos globales, es decir los casos en que en torno a x0 se tiene
que f (x0) > f (x) para un máximo local y f (x0) < f (x) para un mínimo local. Este es el caso que vamos a
trabajar para poder utilizar convenientemente los criterios de convexidad y concavidad de la sección anterior.
Para fijar ideas, pensemos en una función f [0, 1] → [0, 1] que, independiente de su forma funcional, su
gráfico es el siguiente:
26

27. 0
0
1
1x1 x3 x4 x6 0
0
1
1x2 x5 x7
Figura 12: Caso en que hay varios máximos y mínimos.
En este caso la función alcanza máximos locales en x1, [x3, x4], x6 y 1, estos valores corresponden a f (x1),
f (αx3 + (1 − α)x4) con α ∈ [0, 1], f (x6) y f (1). Los mínimos locales se alcanzan en 0, x2, x5 y x7, estos valores
corresponden a f (0), f (x2), f (x5) y f (x7).
Los valores f (0) y f (1) corresponden a óptimos de esquina y los demás valores corresponden a óptimos
interiores, la diferencia está en que los óptimos de esquina no se pueden encontrar directamente utilizando
derivadas, la explicación la daremos de forma geométrica: Consideremos otra función f [0, 1] → [0, 1] cuyo
gráfico es el siguiente
0
0
1
1x1x2
Figura 13: Óptimos interiores y de esquina.
En f (x1) la pendiente es única y está dada por f ′
(x1) que por tratarse de un máximo local se tiene que
f ′
(x1) = 0 (en este caso el máximo también es global). En f (x2) la pendiente es única y está dada por f ′
(x2)
que por tratarse de un mínimo local se tiene que f ′
(x2) = 0 (en este caso el mínimo también es global). Para
f (0) y f (1) se tiene que la tangente en esos puntos del gráfico, como que la función es diferenciable en [0, 1],
toma valores bien definidos pero f ′
(0) ≠ 0 y f ′
(1) ≠ 0.
No hay que confundir los valores del eje x, llamados argm´ax, que son los argumentos que maximizan f , con
los valores máximos.
Veamos ahora un caso en que una función de la forma f [0, 1] → [0, 1] es continua pero no es diferenciable
en todo su dominio
27

28. 0
0
1
1x2x1 x3
Figura 14: Caso en que la derivada en un punto no es única.
En f (x1) la pendiente no es única pero sin embargo f (x1) es el máximo valor de f en su dominio y se tiene
entonces un máximo global, pese a que no es posible aplicar el criterio de que f ′
(x1) = 0. Un hecho que valida
que f (x1) es máximo es que f ′
(x1 − ε) > 0 y f ′
(x1 + ε) < 0 con ε → 0, entonces si f fuera diferenciable en x1
existiría f ′
(x1) = 0.
Para f (αx2 + (1 − α)x3) con α ∈ [0, 1] se tiene que f ′
(αx2 + (1 − α)x3) = 0 y se tiene que cualquier punto de
[αx2 + (1 − α)x3] es un mínimo local de la función.
Ahora estamos en condiciones de dar un criterio eficiente para la optimalidad de funciones:
Proposición 11. Sea f D ⊂ R → R una función dos veces continua y diferenciable. Entonces f tiene un
óptimo en x0 si se cumplen
1. En el caso de maximización
Condición de primer orden: f ′
(x0) = 0
Condición de segundo orden: f ′′
(x0) ≤ 0
2. En el caso de minimización
Condición de primer orden: f ′
(x0) = 0
Condición de segundo orden: f ′′
(x0) ≥ 0
Nota 9. En la proposición anterior el óptimo puede no ser único. Damos la condición de que f sea dos veces
diferenciable para que no existan indeterminaciones en los signos que toma la segunda derivada o que esta no
se anule. Un ejemplo sencillo es que para f (x) = x la condición de segundo orden nos dice que no existe un
mínimo o máximo estricto de la función.
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