Solución Álgebra Lineal ESPOL 2016 1T

1. Ángel Guale
Solución Álgebra Lineal 2016 -2T
1. Califique como verdadero o falso.
1.a. Si 𝒑(𝒙) = 𝟐𝒙 𝟐
+ 𝒙, y [𝒑(𝒙)] 𝑩 = (
𝟐
𝟏
𝟎
), entonces B es la base canónica 𝑩 = {𝒙 𝟐
, 𝒙, 𝟏}
Solución:
Por contraejemplo:
Consideremos la base 𝐵 = {𝑥2
+ 1, 𝑥 − 2, 𝑥}, si calculamos las coordenadas de 𝑝(𝑥) = 2𝑥2
+ 𝑥,
tendríamos el siguiente sistema
(
1
0
1
−2
1
0
0
1
0
|
0
1
2
)
El cual tiene como solución
[𝑝(𝑥)] 𝐵 = (
2
1
0
)
Por lo tanto, la base no necesariamente es la canónica, y la proposición es FALSA.
1.b. Sean V= ℝ 𝟑
. Se define H un subconjunto de V como:
𝑯 = {(
𝒙
𝒚
𝒛
) |𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒛 𝟐
≤ 𝟎}
Entonces H es un subespacio vectorial de V.
Solución:
La inecuación
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒛 𝟐
≤ 𝟎
Tiene como solución x=0, y=0, z=0, ya que la suma de cuadrados nunca es menor que cero, y solo es
cero cuando todos los sumandos son cero. Entonces H es:
𝑯 = {(
𝒙
𝒚
𝒛
) |𝒙 = 𝟎, 𝒚 = 𝟎, 𝒛 = 𝟎}
El cual, es el subespacio de ℝ3
que solo contiene al cero vector. La proposición es VERDADERA.

2. Ángel Guale
1.c. Sea V el espacio de las funciones continuas definidas sobre el conjunto de los números reales. Sea
H el subespacio vectorial generado por el conjunto de vectores {1, sen(x), cos(x)}, entonces el vector
u=tan(x) pertenece al subespacio vectorial H.
Estrictamente la función tan(x) no es continua en los reales, por lo cual 𝑢 ∉ 𝑉, de esto se deduce también
que 𝑢 ∉ 𝐻. Finalmente se deduce que 𝑢 no pertenece al subespacio vectorial H.
La proposición es FALSA.
Nota: No sé si el hecho de que tan(x) no sea continua en los reales se les pasó por alto a los profesores o
esa era su intención. Si se les pasó por alto la solución que esperaban era que tan(x) no se puede escribir
como combinación lineal de 1, sen(x), cos(x), y de todas formas la proposición era falsa.
1.d. Sean A y B dos matrices de cambio de base en un espacio vectorial V. Entonces se cumple que
𝒅𝒆𝒕(𝑨 + 𝑩) ≠ 𝟎
Consideremos las bases de V=P1:
𝐵1 = {1, 𝑥, 𝑥2} 𝑦 𝐵2 = {2, 2𝑥, 2𝑥2
}
Si A es la matriz de cambio de base de B2 a B1 sería:
𝐴 = (
2
0
0
0
2
0
0
0
2
)
Además, consideremos las bases de P1
𝐵3 = {1, 𝑥, 𝑥2} 𝑦 𝐵4 = {−2, −2𝑥, − 2𝑥2
}
Si B es la matriz de cambio de base de B4 a B3 sería:
𝐵 = (
−2
0
0
−
0
2
0
0
0
−2
)
Entonces tendríamos que
det(𝐴 + 𝐵) = 0
La proposición es FALSA.

3. Ángel Guale
3. Un nutricionista considera que una persona en su dieta debe consumir diariamente 13 unidades de
carbohidratos(c), 22 de proteínas(p) y 31 de grasas(g). Un restaurante lanza 3 tipos de platos. El plato I
contiene 1 unidad de c, 1 unidad de p, y 1 unidad de g. El plato II contiene una unidad de c, 2 de p y 3
de g, y el plato III contiene 4 unidades de c, 7 unidades de p y 10 unidades de g. Encuentre las distintas
combinaciones de platos que debería consumir una persona en el día para que complete los niveles de
c, p y g que sugiere el nutricionista. Las personas no aceptan servirse fracciones de platos.
Solución
Se tiene que:
𝑃1 = 1𝑢 + 1𝑝 + 1𝑔
𝑃2 = 1𝑢 + 2𝑝 + 3𝑔
𝑃3 = 4𝑢 + 7𝑝 + 10𝑔
Además, la dieta diaria debe ser
13𝑐 + 22𝑝 + 31𝑔 = 𝛼1 𝑃1 + 𝛼2 𝑃2 + 𝛼3 𝑃3
Reemplazando
13𝑐 + 22𝑝 + 31𝑔 = 𝛼1(1𝑢 + 1𝑝 + 1𝑔) + 𝛼2(1𝑢 + 2𝑝 + 3𝑔) + 𝛼3(4𝑢 + 7𝑝 + 10𝑔)
Resolviendo el sistema para 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3
(
1
1
1
1
2
3
4
7
10
|
13
22
31
) ~ … ~ (
1
0
0
1
1
0
4
3
0
|
13
9
0
)
Es decir
𝛼2 = 9 − 3𝛼3
𝛼1 = 13 − 4𝛼3 − 𝛼2 = 4 − 𝛼3
Como no se pueden comer fracciones, las combinaciones serían
𝛼3 = 0, 𝛼2 = 9, 𝛼1 = 4
𝛼3 = 1, 𝛼2 = 6, 𝛼1 = 3
𝛼3 = 2, 𝛼2 = 3, 𝛼1 = 2
𝛼3 = 3, 𝛼2 = 0, 𝛼1 = 1

4. Ángel Guale
4. Sean las matrices 𝑨 = (
𝟏
−𝟏
𝟐
𝟏
) 𝒚 𝑩 = (
𝟎
𝟏
−𝟏
𝟐
), encuentre la matriz X tal que (𝑨𝑿 𝑻
+ 𝑩)
𝑻
= 𝑿
Solución
(𝐴𝑋 𝑇
+ 𝐵) 𝑇
= 𝑋
(𝐴𝑋 𝑇) 𝑇
+ 𝐵 𝑇
= 𝑋
𝑋𝐴 𝑇
+ 𝐵 𝑇
= 𝑋
𝐵 𝑇
= 𝑋 − 𝑋𝐴 𝑇
𝐵 𝑇
= 𝑋(𝐼 − 𝐴 𝑇
)
𝐵 𝑇(𝐼 − 𝐴 𝑇)−1
= 𝑋
Realizando este cálculo tendríamos
𝑋 = (
0
−1
1
2
) ( (
1
0
0
1
) − (
1
2
−1
1
))
−1
𝑋 = (
0
−1
1
2
) (
0
−2
1
0
)
−1
𝑋 = (
0
−1
1
2
) (
0
1
−1/2
0
)
𝑋 = (
1
2
0
1/2
)

5. Ángel Guale
5. Sea el sistema de ecuaciones lineales {
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝒂
𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝒃
𝒙 + 𝒚 − 𝒛 = 𝒄
Determine los valores que deben tomar a, b, c para que el sistema sea consistente
Solución:
Hay que resolver el sistema
(
1
1
1
1
2
1
1
−1
−1
|
𝑎
𝑏
𝑐
) ~ (
1
0
0
1
1
0
1
−2
2
|
𝑎
𝑏 − 𝑎
𝑎 − 𝑐
)
Por lo que el sistema siempre es consistente sin importar los valores de a, b, c; es decir 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ