Este documento presenta una tabla de integrales inmediatas y varios métodos para calcular integrales más complejas, como integración por partes, sustitución trigonométrica, fracciones parciales y fórmulas de reducción. También introduce el segundo teorema fundamental del cálculo para relacionar la integral definida de una función con la diferencia entre los valores de su función primitiva.

1. PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV
I.-TABLA DE INTEGRALES
INMEDIATAS
1
2
1
3
4
5
6
7
1
.
.
. ln
.
ln
.
. sen cos
. cos sen
a du a u c
u du
u
n
c
du
u
u c
a du
a
a
c
e du e c
u du u c
u du u c
n
n
u
u
u u
 



 
 
 
  
 








8
9
10
11
12
13
14
15
2
2
. ln(cos )
. cot ln sen
. sec ln(sec )
. csc ln(csc cot )
. sec
. csc cot
. sec sec
. csc cot csc
tan u du u c
u du u c
u du u tan u c
u du u u c
u du tan u c
u du u c
u tan u du u c
u u du u c
  
 
  
  
 
  
 
  








16
17
1
18
1
19
1
2
2 2
2 2
2 2
2 2
. sen
.
. sec
. ln
du
a u
arc
u
a
c
du
u a a
arctan
u
a
c
du
u u a a
arc
u
a
c
du
u a a
u a
u a
c

 

 

 









20
1
2
21
2 2
2 2
2 2
. ln
. ln
du
a u a
a u
a u
c
du
u a
u u a c






  

 

 


 
22
1
2
1
2
23
1
2
1
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
. sen
. ln
a u du u a u a arc
u
a
c
u a du u u a a u u a c
    
      


II.- PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
INDEFINIDA
1. La integral indefinida de la suma o resta de dos o
más funciones es igual a la suma o resta de sus
integrales.
 f x g x dx f x dx g x dx( ) ( ) ( ) ( )   
2. El factor constante se puede sacar del signo de la
integral.
c f x dx c f x dx( ) ( ) 
III.- INTEGRACION POR CAMBIO DE
VARIABLE
En algunos casos, para obtener integrales
que no se pueden calcular en forma inmediata, se
arregla el integrando mediante un cambio de variable
de tal manera que tome la forma de una integral
inmediata. Esto es, si la integral existe en la forma
f x dx f g x g x dx
Inte l no
inmediata
Funcion
erna
Derivada
de la funcion
erna
( ) ( ( )) '( )
gra int
int
 
      
haciendo el cambio de variable: u = g (x) y por
tanto du = g’(x) dx , se facilita la integración
f x dx f u du( ) ( ) 
IV.- INTEGRACION POR PARTES
Cuando la integral no es inmediata, pero el
integrando es igual al producto o al cociente de dos
funciones; es decir, de la forma
 f g dx o dx f
g
dx
f
g






 





  
1
,
la integración se hace aplicando la fórmula de
integración por partes:
u dv uv v du   ,
donde se debe:
1) Identificar a las funciones u y dv
2) Determinar du diferenciando, y v
integrando
3) Sustituir el resultado de du y v en la fórmula
de integración por partes y calcular la integral
v du

2. FORMULARIO DE MATEMÁTICA IV
PROFESOR: JULIO BARRETO 2 MATERIA: MATEMÁTICA IV
V.- INTEGRACION POR SUSTITUCION
TRIGONOMETRICA
Si el integrando contiene una expresión de
la forma: a u u a o a u2 2 2 2 2 2
  ,
elevada a cualquier exponente, la integración se
realiza mediante una sustitución trigonométrica, de
acuerdo con la siguiente tabla:
FORMA DEL TRIANGULO SUSTITUCION
RADICAL RECTANGULO TRIGONOMETRICA
a u2 2
 sen  = u / a
a sen  = u
a cos  d = du
a u2 2
 tan  = u / a
a tan  = u
a sec2
 d = du
u a2 2
 sec  = u / a
a sec  = u
a sec  tan  d = du
VI.- INTEGRACION DE FRACCIONES
PARCIALES
La integración por el método de fracciones
parciales consiste en descomponer una fracción
propia de la forma P (x) Q (x) , en una suma
de dos o más fracciones parciales. Los
denominadores de las fracciones parciales se
obtienen mediante la factorización de Q (x) en
factores lineales y cuadráticos. Se tienen así los
siguientes casos:
1.- Los factores de Q(x) son todos lineales y ninguno
se repite, es decir, el denominador se descompone en
raíces reales de primer grado y diferentes. La
descomposición se da en la forma:
P x
Q x
A
x a
B
x b
C
x c
D
x d
( )
( )








 
2. Los factores de Q(x) son todos lineales y algunos
se repiten; es decir, las raíces del denominador son
números reales, repitiéndose algunos de ellos. A cada
factor de Q(x) de la forma (ax + b)n
le corresponde
una suma de n fracciones parciales :
     
A
ax b
A
ax b
A
ax b
A
ax b
n
n
1 2
2
3
3




 


3. El denominador Q(x) tiene factores cuadráticos
con raíces complejas que no se repiten. Para cada
factor cuadrático ax2
+ bx + c existe la fracción
parcial
Ax B
ax bx c

 2
4. El denominador Q(x) contiene factores cuadráticos
con raíces complejas que se repiten. A cada factor
cuadrático (ax2
+ bx + c)n
le corresponde la suma
de n fracciones parciales
   
A x B
ax bx c
A x B
ax bx c
A x B
ax bx c
n n
n
1 1
2
2 2
2 2 2

 


 
 

 

VII.- FORMULAS DE REDUCCION
Las fórmulas de reducción se obtienen
integrando por partes, y entre las más comunes se
encuentran las siguientes:
1
2
3
4
5
6
1 1 1 2
1 1 1 2
1
1
1 2
1
1
1 2
1
1
2 2
1
2
1
1
2 2
1
2
.
.
.
.
.
.
sen sen cos sen
cos cos sen cos
cot cot cot
sec sec sec
csc cot csc csc
n
x dx
n
n
x x
n
n
n
x
n
x dx
n
n
x x
n
n
n
x
tan
n
x dx
n
tan
n
x tan
n
x dx
n
x dx
n
n
x
n
x dx
dx
dx
n
x dx
n
tanx
n
x
n
n
n
x dx
n
x dx
n
x
n
x
n
n
n
x dx
 


 



 





 

















 







7
1 1
1 2
. cos sen
cos sen
cos sen
m
x
n
x dx
m
x
n
x
m n
m
m n
m x n x dx

 








8
9
10
11
1 1
1 2
1
1
1
.
.
sen cos
sen cos
sen cos
. sen cos cos
. cos sen sen
m
x
n
x dx
m
x
n
x
m n
m
m n
m
x
n
x dx
xn x dx xn x n xn x dx
xn x dx xn x n xn x dx
xn ex dx xn ex xn ex dx


 






   
  
  





VIII. SEGUNDO TEOREMA
FUNDAMENTAL DEL CALCULO
Si f es una función continua en [a , b  y F
(x) una función primitiva de f, entonces:
 f x dx F x F b F aa
b
a
b
( ) ( ) ( ) ( )  